La théorie du monde est petit

I. Simulation d’un réseau

1. Monde ordonné

2. Permutations de relations

II. Théorie1. Chemin le plus court

2. Effet de l’aléatoire

III. Une autre manière de voir les choses

1. Nouvelle disposition

2. Proximité 3.Quelqus résultats

Introduction• Expérience de Milgram

– idée de « six degrés de séparations »• Les premières expériences furent un échec• Après d’autre réitérations le nombre 6 se dégagea

– Existence « d’entonnoirs »

• Nombre d’Erdõs– Défini par récurrence

• Le nombre d’Erdõs du mathématicien Erdõs est 0• Une personne qui a cosigné un article de

mathématiques avec un mathématicien ayant un nombre d’Erdõs (N) a un nombre (N+1)

• Si une personne n'a cosigné aucun article avec ces mathématiciens, il a par définition un nombre d'Erdős égal à

I. Simulation d’un réseau

• 1. Monde ordonné– On considèrera qu’un monde est ordonné

lorsque positionné en cercle son graphe est

symétrique par rapport à tous ses diamètres

– Il est possible de simuler un tel monde en

Caml• type gens = {nom : string ; mutable relation :

string list};;

• type monde = {mutable reseau:gens list};;

• On donne au gens des numéros de 1 à n

• Chaque personne connaît les personnes ayant les k/2 numéros précédant le sien et les k/2 suivant le sien

Un monde ordonné de 40 personnes ayant chacune 10

relations

• 2. Permutation de relation

– On peut créer un modèle plus proche de la réalité en introduisant un part d’aléatoire dans un monde ordonné

– Pour cela on modifie le monde en supprimant des relations aléatoirement et en recréant d’autres au hasard

– La fonction prend en argument un monde et un réel (p) entre 0 et 1 pour supprimer aléatoirement k relations et en créer k au hasard avec n le nombre de relations dans le monde et

E p n

Un monde désordonné à 40personnes ayant chacune

10 relations

k E p n

II. Théorie

• 1. Chemin le plus court– On définit le chemin le plus court entre deux personnes par le plus petit nombre

d’intermédiaires entre ces deux personnes plus 1– Le chemin le plus court moyen est la moyenne des chemins les plus courts entre

toutes les personnes du monde

– On peut le calculer le chemin le plus court entre une personne p1 et une personne p2 récursivement avec

• Les deux personnes sont en relation renvoie 1

• Sinon renvoie 1 plus le chemin le plus court entre p1 et une personne imaginaire ayant le même nom que p2 et connaissant l’ensemble des connaissances des connaissances de p2

• Si que le chemin est plus long que le nombre de gens dans le monde p1 et p2 ne sont pas en relation, la fonction renvoie un message d’erreur

• 2. les effets de l’aléatoire

– les test montrent que dès que l’on rajoute un peu d’aléatoire le chemin le plus court diminue rapidement pour garder ensuite une valeur presque constante

– On observe également que plus le nombre de relation est grand plus l’influence de l’aléatoire est faible

Comparaison entre un monde ordonné et un monde moins ordonné(60 personnes ayant chacune 15 relations)

III. Une autre manière de voir les choses

• 1. Nouvelle disposition– On considère une nouvelle représentation: au lieu de considérer une disposition

en cercle, on place les habitants sur une grille nxn. On a donc n² habitants.

– On propose en même temps un nouveau modèle du réseau social: chaque habitant (représenté comme un nœud sur la grille) a des connaissances locales et des connaissances à longue distance.

Deux mondes à 121 personnes

• 2. Proximité– On définit la distance d entre 2 nœuds (i,j) et(k,l) comme

d= |k-i|+|l-j|

– On définit ainsi trois nombres:• p tel que chaque nœud u connaisse tous les nœuds situés dans une distance

inférieure ou égale à p

• q comme le nombre de connaissances à longue distance de chaque nœud

• r tel que P(u connaisse v) est proportionnelle à .u , v d u , v r

Trois mondes de 121 personnes avec respectivementp=1 et q=0p=1 et q=1p=3 et q=0

• 3.Quelques résultats.– On forme un algorithme pour transmettre un message d’un nœud t à un

nœud s. Il y a certaines conditions, à chaque étape u on a connaissance de: la structure de la grille emplacement de t des gens qui ont déjà eu le message et de leurs contacts

– On appelle temps de livraison le nombre d’ étapes entre t et s.

– Lorsque r=0, la théorie des graphes permet de montrer qu il y a une très large probabilité.