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La méthode des simulations dans les simulations et ses alternatives

Mémoire d'actuariat présenté par Cyril Bosse-Platiere

Le 19 novembre 2012

PwC

Sommaire

1.  Introduction et problématique 2.  Les simulations dans les simulations 3.  L’accélérateur Devineau-Loisel 4.  Le weighted Monte Carlo 5.  Le least-squares Monte Carlo 6.  Conclusion

2 19 novembre 2012 La méthode des simulations dans les simulations et ses alternatives

PwC

1 Introduction et problématique

La méthode des simulations dans les simulations et ses alternatives 3

19 novembre 2012

PwC

Ø  Une nouvelle régulation prudentielle du secteur des assurances va entrer en vigueur en 2014 : Solvabilité 2 q  Remplacer Solvabilité 1

q  Renforcer la solvabilité des assureurs

q  Uniformiser le marché européen des assurances

Ø  Cette directive comporte plusieurs volets quantitatifs q  Connaissance des risques de l’assureur et de leurs impacts extrêmes

à notion de SCR : Solvency Capital Requirement

Ø  Pour y répondre les assureurs doivent construire un modèle de calcul des risques q  Il faut obtenir une distribution des risques

à Complexité de mise en place et de calibration des modèles

4 19 novembre 2012 La méthode des simulations dans les simulations et ses alternatives

Paramètres d’entrée

Besoin de fonds propres

Contexte

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Le bilan économique Sous solvabilité 1 : §  Estimation prudente des engagements de l’assureur : les Provisions techniques

§  EMS : Exigence de Marge de Solvabilité à pourcentage des provisions techniques

Sous solvabilité 2 : §  Estimation au plus précis des engagements de l’assureur : le Best Estimate of Liabilities

§  Estimation de leur distribution : le SCR permet de couvrir 99,5 % des situations dans un an

§  La Net Assets Value est la différence entre les actifs et les provisions techniques : à NAV > SCR


19 novembre 2012

ACTIF (Valeur

comptable) PROVISIONS TECHNIQUES

FONDS PROPRES

ACTIF (Valeur de marché)

MARGE DE RISQUE

NET ASSETS VALUE

BEST ESTIMATE

OF LIABILITIES

Provisions techniques

SCR SURPLUS

EMS

SURPLUS

PwC

Le bilan économique Solvabilité 2 Ø  Plaçons nous 1 an plus tard :

q  Estimation dans un an : le SCR doit permettre de couvrir 99,5 % des situations dans un an

Ø  Seul un évènement bicentenaire rendrait la compagnie insolvable

MARGE DE RISQUE (dans un an)


19 novembre 2012

ACTIF (dans un an)

NET ASSETS VALUE

(dans un an)

BEST ESTIMATE

OF LIABILITIES

MARGE DE RISQUE

BEST ESTIMATE

OF LIABILITIES (dans un an)

NET ASSETS VALUE

ACTIF

SCR

PwC

Matrice des risques


19 novembre 2012

Ø  SCR = quantile à 99,5% du besoin de fonds propres pour un risque dans un an

q  Si X le besoin de fonds propres pour un risque x : P( X < SCR(x) ) = 0.5 %

Ø  Difficulté d’estimer le SCR commun à plusieurs risques

q  Si on a SCR(x) et SCR(y), que vaut SCR(x+y) ?

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2 Les Simulations dans les Simulations (ou SdS)


19 novembre 2012

t =1 t = horizon t = 0

Monde réel Risque neutre

PwC

Le SCR marché et l’approche par scenarii


19 novembre 2012

Ø  Idées : utiliser des scenarii d’actifs pour connaitre le SCR q  Première étape : pour connaitre le quantile à un an, déterminons la distribution

à générer différents scenarii d’actifs à un an

à Si 1000 scenarii, le SCR sera le 5ème pire scenario à S’assurer de la consistance de ces scenarii avec les dynamiques réelles : monde réel

q  A partir d’un scenario d’actifs donné : on actualise la somme des cash-flows pour déterminer la valeur de la compagnie sur ce scenario t = 1 t = 30 ans

cash-flows dégagés chaque année par l’assureur sur le scenario

q  Seconde étape : à partir des scenarii à un an, on génère des scenarii de valorisation (cf. exemple) à Comment trouver la valeur de la compagnie à partir des différents scenarii ? à Si la dynamique de ces scenarii est risque neutre : il suffit de moyenner les valeurs.

•  S11 •  S12 •  S13 •  S14 •  …

•  S0

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On vient de présenter la méthode des simulations dans les simulations


19 novembre 2012

Ø  1000 simulations primaires à effectuer pour déterminer la distribution Ø  1000 simulations secondaires pour connaitre la valeur sur chaque point de la

distribution à  1 000 000 de simulations : irréalisable dans la pratique

Ø  Axes de travail : q  Réduire le nombre de simulations primaires : on s’intéresse à un quantile, donc aux points

extrêmes de la distribution

q  Réduire le nombre de simulations secondaires en améliorant leur qualité (moyenne pondérée)

q  Utiliser un unique jeu de scenarii et faire des inférences à partir de celui-ci

Graphique issu de Devineau-Loisel

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Bases de travail - Résultats du SdS


Ø  Nous avons créé une compagnie d’assurance fictive : q  Contrat de type euro avec TMG, gestion de la PB, rachats dynamique et structurel, mortalité,

investis en obligations (80 %) et actions (20 %) et gestion actif-passif (taux cible, réallocation, vente d’actifs pour faire face aux sorties de cash…)

Ø  Nous avons créé un générateur de scenarios économiques q  Taux : modèle C.I.R. / Actions : modèle Black & Scholes / Corrélation linéaire des mouvements

browniens

q  Fonctionne en risque réel et risque neutre

Ø  Nous avons effectué les calculs sur 2 types de simulations q  Avec une première volatilité action / taux à 5 % et avec une seconde volatilité action / taux à 10

%

q  Il s’agira là de nos valeurs cibles

Ø  Graphiques q  Volatilité à 5 % / 10 %

Ø  graphiques

11 19 novembre 2012

Volatilité σ = 5 % σ = 10 % SCR 2728 6928 Nombre de simulations 1 000 000 1 000 000

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3 Accélérateur Devineau-Loisel


19 novembre 2012

Méthode publiée en 2009 dans le bulletin français d’actuariat

PwC La méthode des simulations dans les simulations et ses alternatives

13 19 novembre 2012

volatilité σ = 5 %

σ = 5 %

σ = 10 %

σ = 10 %

Nombre de situations à 1 an

1 000 10 000 1 000 10 000

piégeage Non Non Non Non

SCR 2 700 2 728 6 947 6 928

Nombre de simulations primaires explorées

30 400 30 300

Nombre de simulations au total

30 000 400 000 30 000 300 000

Facteur de gain 33 25 33 33

Ø  Principe : la connaissance de la distribution des fonds propres à un an est inutile, on est en effet seulement intéressé par le quantile à 99,5% q  Si dans 1 an, une situation A des actifs est meilleure qu’une situation B , il n’y a a priori pas de

raison pour que la situation issue de A se détériore en moyenne vis-à-vis de celle issue de B.

Ø  Idées : on va sélectionner les scenarii susceptibles d’intervenir dans l’estimation du quantile q  On isole l’intensité des aléas des actions et des zéro-coupons

àOn calcule le besoin de fonds propres sur les points les plus éloignés avec des scenarii secondaires

Ø  Résultats

Principe de l’accélérateur primaire de Devineau-Loisel

PwC


19 novembre 2012



15 19 novembre 2012

volatilité σ = 5 %

σ = 5 %

σ = 10 %

σ = 10 %

Nombre de situations à 1 an

1 000 10 000 1 000 10 000

piégeage Non Non Non Non

SCR 2 700 2 728 6 947 6 928

Nombre de simulations primaires explorées

30 400 30 300

Nombre de simulations au total

30 000 400 000 30 000 300 000

Facteur de gain 33 25 33 33

Ø  Principe : la connaissance de la distribution des fonds propres à un an est inutile, on est en effet seulement intéressé par le quantile à 99,5% q  Si dans 1 an, une situation A des actifs est meilleure qu’une situation B, il n’y a a priori pas de

raison pour que la situation issue de A se détériore en moyenne vis-à-vis de celle issue de B.

Ø  Idées : on va sélectionner les scenarii susceptibles d’intervenir dans l’estimation du quantile q  On isole l’intensité des aléas des actions et des zéro-coupons

àOn calcule le besoin de fonds propres sur les points les plus éloignés avec des scenarii secondaires

Ø  Résultats


PwC

Conclusions – Limites – Ouvertures

Ø  La méthode permet de réduire les temps de calcul par un facteur important ( ≥ 25 dans notre modélisation)

Ø  Elle est généralisable au-delà de la dimension 2 Ø  Elle est plus efficace lorsque les aléas sont marqués (queue de

distribution plus épaisse) q  Distinction plus aisée des situations à un an extrêmes

Ø  Elle admet cependant des limitations importantes q  Les ESG des assureurs possèdent de nombreux browniens

§  plusieurs actifs modélisés : change, immobilier…

àComplication de la convergence

q  Les assureurs peuvent avoir des expositions limitées sur certains risques §  Emploi de réassurance, de produits dérivés pour de la couverture

àDifficultés lors de la définition de la norme

Ø  L’emploi de cette technique requiert de connaitre finement les sensibilités du bilan aux variations des actifs et les potentielles couvertures


16 19 novembre 2012


PwC

4 Le weighted Monte Carlo


19 novembre 2012

Méthode inspirée d’un article publié en 2001 dans le ”International Journal of Theoretical and Applied Finance” par Avellaneda, Buff, Grandechamp, Kruk et Newman

PwC

Principe du weighted Monte Carlo : réduction des scenarii secondaires Ø  Évaluation en risque neutre

q  on génère des scenarii de manière aléatoire, suivant une dynamique risque neutre

q  On calcule les cash-flows générés sur le chemin de chaque scenario pour obtenir la valeur du scenario

q  Puis on moyenne les valeurs par scenario pour obtenir la valeur (propriété de martingalité)


19 novembre 2012

Ø  Évaluation en risque neutre pondéré q  on génère des scenarii de manière aléatoire,

suivant une dynamique risque neutre

q  On considère ces scenarii comme étant les différents états du monde

à On va chercher la distribution de la probabilité risque neutre sur ces différents états

q  Une fois que l’on connait le poids de chaque scenario : on peut calculer la valeur

∫=

−

=∑

t

sdsrT

tt

i eCFV 01

∑=

=N

i

iVN

V1

1

∑=

=QN

i

iiVqV

1

PwC

Ø  La méthode permet de réduire les temps de calcul par un peu plus de 3 Ø  Elle a aussi la propriété remarquable d’améliorer la précision des calculs ( σ = 5 % et σ = 10 % )

Ø  La méthode admet cependant certaines limitations q  La distribution obtenue Q peut ne pas entièrement vérifier les contraintes du risque neutre,

notamment celles de martingalité

à On peut intégrer ces contraintes dans le calibrage


19 novembre 2012

Résultats – Conclusions

σ = 5 % σ = 10 % SdS

classique Scenarii

secondaires 1 000 1 000

précision 3 % 3 %

SdS avec weighted MC

Scenarii secondaires

300 300

précision 2 % 2 %

Gains de temps 3.3 3.3

PwC

4 Le Least-squares Monte Carlo


19 novembre 2012

Méthode inspirée de l’article "Solvency 2 and nested simulations – a Least-squares Monte Carlo approach" paru en 2008 de Bauer, Bergmann et Reuss

PwC

[ ]22 XXYEX =→

[ ]NN XXYEX =→

Emploi du Least-Squares Monte Carlo : partie 1

Ø  Principe : Obtenir le calcul d’espérances conditionnelles par des régressions linéaires q  Valorisation d’options américaines à choix d’exercice ou non à chaque instant

Ø  Idée : le SdS est dans la pratique un calcul d’espérances conditionnelles q  Chaque situation à un an est représentée par une situation d’actifs : les .

q  A partir de laquelle on génère des scenarii d’actifs.

q  Cela revient à calculer la valeur de l’espérance conditionnelle de Y pour chaque réalisation de .


19 novembre 2012

1X

2X

NX

iX

iX

PwC

( )2

111 )(minarg ∑

=

−=v

i

ii

polynômesPXPYf

Ø  L’espérance conditionnelle a aussi d’autres propriétés que nous allons utiliser : q  Minimisation quadratique :

q  Expression avec une fonction :

Ø  Nous allons tenter d’approcher la fonction de lien f en utilisant un unique scenario secondaire par scenario primaire

Ø  Nous allons tenter d’approcher f avec une fonction polynomiale en en minimisant les écarts avec les réalisations



19 novembre 2012

[ ]mesurableXZ

ZYXYE1

21 )min(arg

∀

−=

[ ] )(/ 11 XfXYEf =∃

t=0 t=1 t=2 t=3 … t=T !11 !12 !13 … !1& '(( !21 !22 !23 … !2& '(*

!31 !32 !33 … !3& '(+ ……………………………………….

1X1Y

PwC

Ø  Cette méthode permet les plus fortes réductions de temps de calcul Ø  Cependant, elle génère des imprécisions

Ø  La méthode admet cependant certaines limitations : q  Imprécisions intrinsèques à la régression linéaire

à La vraie fonction de lien entre et est plus compliquée qu’une base polynomiale

q  Plus le σ est important, plus on doit effectuer de régressions : ici on double les scenarii risque-neutre

à Lors de volatilité stochastique, cela se complique encore

Ø  Cette méthode procure rapidement une approximation relative du SCR

σ = 5 % σ = 10 %

SdS classique Nombre de

scenarii 1 000 000 1 000 000

LSMC Nombre de

scenarii 10 000 x 2 10 000 x 2

Précision < 5 % < 5 %

Gains de temps 50 50


19 novembre 2012


1X[ ]1XYE

PwC

5 Conclusions


19 novembre 2012

PwC

Ø  Nous avons développé trois approches permettant d’adresser la problématique du SdS q  Accélérateur primaire : Devineau-Loisel

q  Accélérateur secondaire : weighted Monte-Carlo

q  Utilisation d’un unique jeu de scenarii : least-squares Monte Carlo

Ø  Les qualités de ces trois approches :

Ø  Ces méthodes peuvent être combinées q  Les accélérateurs primaires et secondaires pourraient être combinés afin d’obtenir un facteur de gain de

l’ordre de 80

q  Une autre idée serait d’utiliser le LSMC comme un accélérateur primaire en sélectionnant après application du LSMC les situations à un an susceptibles d’intervenir dans le calcul du quantile : facteur de gain de l’ordre de 15


19 novembre 2012


Méthode Accélérateur primaire

Accélérateur secondaire

Unique jeu de scenarii

Gains de temps 25 3.3 50 Précision Idem SdS Gain de

précision Perte de précision

PwC

Merci de votre attention


19 novembre 2012

PwC

Distribution 1


19 novembre 2012

Pour la volatilité à 5 %, distribution obtenue avec la fonction density de R

PwC

Distribution 2


19 novembre 2012

Pour la volatilité à 10 %, distribution obtenue avec la fonction density de R

PwC

Principe de l’accélérateur primaire de Devineau-Loisel Ø  On sélectionne les points par ordre décroissant de distance et on estime les fonds

propres correspondants. On poursuit l’algorithme tant que l’ajout de nouveaux points ne permet pas stabiliser le quantile.

q  Exemple : si on a 1000 situations à un an à explorer, on cherche la 5ème pire valeur. On calcule les 10 points de plus grandes normes, on regarde quelle est la 5ème pire valeur,

q  puis on calcule les 10 points de pire norme suivants et on regarde la 5ème pire valeur des 20 points,

q  si celle-ci est la même que pour 10 points, on a là le SCR, sinon on rajoute 10 nouveaux points…

Ø  Important d’éviter le piégeage : oublier de sélectionner une valeur intervenant dans l’estimation du SCR

q  Avec notre ESG , en ajoutant les points par quantité doublant le quantile voulu (si le quantile est la 10ème pire valeur, on ajoute les points par lots de 20), la situation de piégeage n’est jamais survenue


19 novembre 2012


PwC

∑=

=QN

iii Cgq

1

Comment obtenir la distribution de la probabilité risque neutre

Ø  On va utiliser la propriété de martingalité du risque neutre q  Tout actif actualisé est une martingale sous la probabilité risque neutre

à Cette propriété est utilisée pour la valorisation

q  On va calibrer nos poids de manière à retrouver des prix de références à grâce aux propriétés du risque neutre

§  Dans la pratique, on a profité des formules fermées de nos modèles pour retrouver des prix de calls, obligations, actions…

Ø  Une contrainte est rajoutée afin d’uniformiser la distribution

Ø  On a aussi les contraintes relatives à une probabilité à et

Ø  On se retrouve, après un peu de travail, avec une fonction convexe à minimiser pour obtenir les solutions q  Minimisation effectuée avec un algorithme de descente suivant le gradient : L-BFGS


19 novembre 2012

0≥∀ iqi 1=∑ iq


31 19 novembre 2012

Graphique convergence WMC vol à 5 %

0,00%

1,00%

2,00%

3,00%

4,00%

5,00%

6,00%

7,00%

8,00%

9,00%

10,00%

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Ecar

ts e

n %

Erreur moyenne

WMC 24

WMC 13

MC classique


32 19 novembre 2012

Graphique convergence WMC vol à 10 %

0,00%

1,00%

2,00%

3,00%

4,00%

5,00%

6,00%

7,00%

8,00%

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Ecar

ts e

n %

Erreur moyenne

WMC 24

WMC 13

MC classique

PwC

Ø  implémentation q  Construction de la base des éléments susceptibles d’intervenir (polynômes de degré 2 et

croisés, fractions)

q  Sélection des éléments pertinents de cette base (algorithmes backward, forward…)

q  Sélection graphique du bon nombre de régresseurs

Ø  Exemple graphique : σ = 5 % pour 10 000 x 1 scenarii



19 novembre 2012

PwC

Ø  On garde la même procédure que précédemment q  Sauf que l’on ne génère plus 1 mais plusieurs scenarii risque-neutre

q  Ici, fait avec 2 quantités à minimiser :

Ø  Exemple graphique : σ = 5 % pour 10 000 x 2 scenarii

Améliorations


19 novembre 2012

( ) ( )21212

11

11 )()(minarg

iiv

i

ii

polynômesPXPYXPYf −+−= ∑

=

PwC

Graphiques LSMC

Ø  Expected shortfall vol à 5 %


19 novembre 2012

la méthode des simulations dans les simulations et ses ......la méthode permet de réduire les...

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