la gestion indicielle comme gestion optimale philippe bernard master ingénierie economique...
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La gestion indicielle comme gestion optimale
Philippe Bernard
Master Ingénierie EconomiqueDépartement d’Economie Appliquée
Université Paris Dauphine
Les styles de gestion Dans la pratique, diversité des
styles de gestion, avec notamment L’opposition entre gestion active et
gestion passive Un exemple de gestion passive : la
gestion indicielle, i.e. détention d’un portefeuille reproduisant un indice
Question La gestion indicielle peut-elle être
optimale?
Justifications de la gestion indicielle : littérature empirique : performances
décevantes des fonds actifs théorique : théorème des deux
fonds
Historique Théorème de Tobin [1958] Réinterprétation au cours des
années 60 du résultat de Tobin (notamment par Sharpe et Black)
Au début des années 70, multiplication des fonds indiciels à l’initiative de Wells Fargo (conseillée par Sharpe et Black)
Cadre formel L’univers de titres : J actifs risqués indicés j=1,…,J 1 actif sans risque
Hypothèse (fondamentale) : l’actif certain est supposé être échangé sur un marché parfait (même taux, absence de contraintes quantitatives sur les transactions).
Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine
La contrainte budgétaire :
conséquence : la position monétaire nécessaire pour équilibrer le budget
1.1ou 1 0
1
0
xxxx TJ
j
j
J
j
jxx
1
0 1
La contrainte de rendement objectif
rxrxrr Tp ˆ00
00 ˆ).1.( rrxrr TT
Après prise en compte de la contrainte budgétaire
portefeuille au sens stricte (a fully invested portfolio)
1.1 xT
sinon une source de financement supplémentaire (si >1) est nécessaire
Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine
Le programme d’optimisation
rxrr TT
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: s.c.21 min
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Le lagrangien
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Propriété Dérivée de la covariance
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Dérivée du lagrangien
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Les conditions marginales Pour tout titre j
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Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine
Interprétation
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Le portefeuille risqué optimal portefeuille totalement investi (a
fully invested portfolio)
1.1 xT
Le système
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01
01
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J
j
Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine
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:est optimal leportefeuil le doncet
)1.(. 01rrx
Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine
Commentaires Le portefeuille optimal est donc
déterminé par le jeu de deux variables: le rendement objectif qui détermine
notamment la valeur du multiplicateur le contexte du marché qui détermine
complètement :
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)1.( 01rr
L’invariance du portefeuille risqué Le portefeuille (total) comprend
d’une part un investissement (ou un endettement) en actif certain et un portefeuille risqué.
La part de chaque actif j dans ce dernier est donnée par :
i
i
jj
x
xz
Le portefeuille risqué (suite) Comme
on a :
xx TJ
i
i
.1
1
)1.(.1..1 01rrx TT
Le portefeuille risqué (suite) est un nombre il ne dépend que des conditions
du marché on peut donc le considéré comme
donné, comme une constante
)1.(.1 01rrT
)1.(.1 01rrc T
Le portefeuille risqué (suite) Le portefeuille risqué peut se
réécrire
Et ne dépend donc pas de l’objectif de rendement assigné, et donc pas des caractéristiques individuelles des investisseurs (tolérance au risque, richesse)
)1.(.1)./1( 01rrcz T
Le processus d’investissement Le processus d’investissement
peut se décomposer en deux étapes :
partage de la richesse entre investissement certain et investissement risqué choix de
détermination du portefeuille risqué
0x
La gestion indicielle optimale Dans le contexte adopté, portefeuille risqué optimale = Z quel
que soit l’investisseur l’indice d’actifs risqués pertinent pour
les investisseurs = l’indice défini par Z
produits à utiliser = actif certain + fonds investi dans l’indice défini par Z
« Il est impossible de battre le marché » La stratégie optimale étant de
détenir l’indice défini par Z, quelle sera la performance de cette stratégie?
Le ratio de Sharpe comme mesure de performance corrigé du risque
)~(0p
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« Il est impossible… » La performance du portefeuile optimal :
La performance de tout portefeuille optimal, quel que soit le partage actif certain / actifs risqués a la performance de l’indice z. Cet indice z étant l’indice pertinent du marché des titres risqués, « il est impossible de battre le marché. »
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