la cotation fonctionnelle

LA COTATION FONCTIONNELLE _____________________________________________________________________________________________________

Lycée Vauban – Brest - Classe de PTSI

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La cotation fonctionnelle

I - Généralités I.1 La cotation fonctionnelle : Pourquoi ? Un mécanisme est constitué de différentes pièces. Pour que ce système fonctionne, des conditions doivent être assurées (jeu, dépassement, serrage, réserve de filetage, montage...). La cotation fonctionnelle permet la recherche des différentes cotes à respecter pour le bon fonctionnement du mécanisme : elle permet la détermination des spécifications fonctionnelles du système. Les cotes obtenues sont appelées cotes fonctionne lles. I.2 La cote condition La cote condition J

rest un vecteur qui exprime une exigence fonctionnelle.

Les 2 éléments qui limitent la cote condition sont appelées surfaces terminales. Les surfaces de contact entre les pièces sont appelées surfaces de liaison. Si la cote condition est positive on parle de jeu , dans le cas contraire on parle de serrage . Par convention, la cote condition (cc) sera représentée par un vecteur à double trait. Une cc horizontale sera dirigée de gauche à droite (⇒). Une cc verticale sera dirigée de bas en haut ( ⇑ ).

Dans l'exemple ci-dessus, le jeu JJr

= doit être positif pour éviter que le serrage de l'écrou supérieur

ne vienne appuyer la rondelle sur le palier lisse mais sur l'arbre. I.3 Etablissement d'une chaîne de cotes Une chaîne de cotes est un ensemble de cotes nécessaires et suffisantes au respect de la cote condition.

a1a3



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Dans l'exemple ci-dessus, le jeu ne doit pas dépasser une valeur limite au delà de laquelle le mouvement axial du palier 1 deviendrait trop important. Voici quelques règles simples qui s'appliquent à la construction des chaînes de cotes. La chaîne de cotes débute à l'origine du vecteur condition et se termine à son extrémité, de sorte que : 1 3J a a= +

r r r

• 1 - Chaque cote de la chaîne, commence et se termine su r la même pièce . Le problème

initial est de coter les différentes pièces du mécanisme ; • 2 - Il ne peut y avoir qu'une seule cote par pièce dans une même chaîne de cotes . La

chaîne de cotes doit être la plus courte possible, afin de faire intervenir le moins de cotes possible. Si deux cotes de la chaîne appartiennent à la même pièce, c'est qu'il existe une chaîne de cotes encore plus courte réalisant le même vecteur condition ;

• 3 - Le passage d'une cote de la chaîne à la suivante se fait par la surface d'appui entre les deux pièces cotées . En effet, la fermeture vectorielle exprimée plus haut n'a de sens que si les origines des différents ai correspondent aux extrémités du aj précédent ;

La relation vectorielle écrite plus haut conduit en projection, aux relations suivantes :

1 3J a a= − pour les cotes nominales

1 3MAXI MAXI miniJ a a= −

1 3mini mini MAXIJ a a= − pour les conditions extrêmes

La différence entre les deux dernières équations conduit à la relation sur les intervalles de tolérance : 1 3J a aIT IT IT= +

• 4 - La somme des intervalles de tolérance des cotes int ervenant dans une chaîne de cotes est égale à l'intervalle de tolérance de la c ote condition . Cette propriété impose de choisir pour les cotes conditions de IT les plus larges possibles, afin de réduire le coût des pièces entrant dans la constitution de la chaîne.

Rechercher la fonction à assurer sur le

dessin d’ensemble du système

Repérer les surfaces fonctionnelles -

les surfaces terminales et de liaison

Installer le vecteur cote condition Jr

A partir de l’origine de Jr, tracer le vecteur qui aboutira

à la surface de liaison située sur la même pièce

Joindre, dans l’ordre indiqué par le sens de la condition, les

appuis consécutifs des pièces intermédiaires

Le dernier appui appartient à la dernière pièce, le dernier

vecteur va donc du dernier appui à l’extrémité de Jr

Etablissement d’une chaine minimale de cotes - méthode -



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II – La cotation par la méthode iso-qualité 2.1- L'intervalle de tolérance Une pièce peut être mesurée de façon précise, à l'aide d'un pied à coulisse, d'un micromètre ou d'un autre instrument de mesure. On accède de cette façon à la dimension de la pièce. Sur un dessin technique, les solides sont modélisés. On y indique les dimensions admissibles pour le bon fonctionnement à l'aide des cotes. Celles-ci sont constituées d'une cote nominale et d'un intervalle de tolérance (IT) autour de cette cote nominale. Le problème de la cotation est lié au problème de la fabrication des pièces mécaniques. La dispersion des dimensions d'une pièce exécutée en série suit une distribution gaussienne. Cette dispersion varie suivant le procédé utilisé. Les pièces se trouvant en dehors de l'IT iront au rebut. La réduction de l'IT a pour conséquence d'augmenter considérablement le coût d'une pièce. De plus, on comprend qu'une précision importante sera plus difficile à obtenir sur un cylindre de 100 mm de diamètre que sur un cylindre de 10 mm de diamètre. La méthode retenue pour prendre en compte ces différentes remarques est le système ISO : On affecte à une pièce une dimension nominale prise de préférence dans les dimensions de la série Renard de façon à pouvoir utiliser un outillage normalisé ; on définit l'intervalle de tolérance (qui n'est plus forcément centré autour de la cote nominale) par deux symboles : - une lettre caractérisant la position de l'IT par rapport à la cote nominale - un chiffre caractérisant l'amplitude de l'IT. En ce qui concerne les lettres, les minuscules sont réservées aux pièces contenues (arbres,...) et les majuscules aux pièces contenantes (alésages,...). La classe de qualité d'une tolérance (symbolisée par un chiffre) caractérise la valeur de l'IT. Cet intervalle varie de façon discrète en fonction de la cote nominale φ. La relation liant la valeur moyenne de l'IT en fonction de la cote nominale est du type :

3IT k φ= dans laquelle k est l'indice de classe

Le tableau ci-après donne la corrélation entre les valeurs des indices k et les valeurs de la classe de qualité q. La valeur de l'IT est donc de plus en plus grande pour des indices de classe de plus en plus grands.

INTERVALLE DE TOLERANCE EN FONCTON DE LA COTE NOMINALE

0

20

40

60

80

100

120

0 25 50 75 100 125 150 175 200

cote nominale en mm

inte

rval

le d

e to

léra

nce

en m

icro

n

q = 5

q = 6

q = 7

q = 8

q = 9



4

Pour des usinages précis, on utilise les classes 6, 7 et 8. Pour une précision moyenne, on utilise les classes 10, 11 et 12. Les classe 4 et 5 sont réservées à des qualités exceptionnelles d'usinage.

q 4 5 6 7 8 9 10 11 12 k 2 3,3 4,6 7,5 11,5 18,5 30,5 47 74

2.2 - Le principe de cotation iso-qualité La règle 4 ci-dessus relie l'IT de la cote condition aux IT qui interviennent dans la chaîne par la relation : J ai

i

IT IT=∑ (1)

Cette dernière relation assure que le montage sera possible même si toutes les dimensions des pièces à assembler sont aux extrémités de leur IT. Mais cette dernière situation a une probabilité assez faible. Aussi, lors de la réalisation de pièces en série, puisque la répartition des dimensions des pièces est du type gaussien, il est préférable d'utiliser, pour une question de coût, une répartition plus rationnelle des IT dès que le nombre de cotes dans la chaîne étudiée est suffisan t ; on montre qu'alors : 2 2

J aiIT IT= ∑ (2)

2.3 - La méthode de résolution iso-qualité Dans une liaison, il n'est pas rare qu'une même cote ai intervienne dans plusieurs chaînes (j). La résolution doit se faire alors de façon globale . Supposons qu'il y ait k cotes intervenant dans la réunion de toutes les chaînes de cotes. Il faut alors écrire ces n chaînes sous la forme :

1

i k

j ij ii

J aε=

=

= ∑ et 1

i kp p

Jj ij aii

IT ITε=

=

= ∑

dans lesquelles, p est un exposant qui vaut 1 si les chaînes contiennent moins de 4 cotes, et 2 dans le cas contraire. εij est un chiffre qui vaut -1, 0 ou +1 suivant le sens de la cote dans la chaîne lorsqu'elle intervient. Parmi les k cotes certaines proviennent de composants du commerce, supposons leur nombre égal à m. Leur cote moyenne et leur IT sont imposés . Il reste donc à déterminer les k-m cotes restantes. Pour ces cotes, on peut exprimer que :

1/3ai i iIT k a= ⇒ / 3

1 1

m kp p p p

Jj ij ai ij i ii i m

IT IT k aε ε= = +

− =∑ ∑

Si l'on souhaite une iso-qualité pour chaque chaîne j, l'indice de qualité associé à chaque cote ai doit être identique pour toutes les cotes de la chaîne. On pose ainsi : ki = kj, et l'on cherche la plus petite valeur des kj, que l'on calcule par :

1

/ 3

1

mp p

Jj ij aii

j kp

ij ii m

IT ITk

a

ε

ε

=

= +

− =

∑

∑

On peut alors déterminer toutes les cotes de la chaîne correspondante. On considère maintenant ces cotes comme connues et l'on recommence le procédé pour les n-1 chaînes restantes. On remplace



5

les cotes obtenues qui deviennent des grandeurs connues au même titre que les composants du commerce et on cherche le nouvel inf (kj)... 2.4 - Application Reprendre l’articulation dont on a modifié localement certaines longueurs pour faire apparaître les jeux de manière visible. Après avoir tracé les chaînes de cotes des conditions Ja et Jb, appliquer la méthode décrite au § précédent pour déterminer les tolérances sur les solides 1, 2 et 3 afin que les jeux fonctionnels Ja et Jb soient respectés. On prendra :

1 21,5a = , 3 3 22a b= = , 1 2,5b = , 2 19b = , 0,150,3Ja ±= et 0,20,5Jb ±= (la lettre correspond à la condition et le chiffre au solide coté.) 2.5 - Les conditions unilimites La méthode iso-qualité atteint ses limites lorsque l'on se trouve dans le cas de conditions unilimites. Prenons l'exemple ci-après : Deux solides s'emboîtent, par l'intermédiaire d'une rainure et des exigences fonctionnelles plus ou moins évidentes, imposent les cotes conditions JA et JB. Suivant la direction des efforts appliqués dans la liaison, la surface d'appui est différente et l'on aboutit à deux configurations :

Dans les deux cas, la localisation de JA à droite ou à gauche du guidage n'a pas d'effet sur la chaîne de cotes. Ce sont toujours a1 et a2 qui interviennent. Par contre, suivant le contact, la chaîne de cotes équivalente à JB est différente. Dans un cas on fait intervenir b1 et b2, dans l'autre b'1 et b'2. Les équations qui en découlent sont : JA = a1 - a2 et ITJA = ITa1 + IT a2 JBMAXI = b2MAXI - b1mini JBmini = b'2mini + b'1MAXI Les cotes bi et b'i sont unilimites, la notion d'intervalle de tolérance n'a plus de sens. Il n'est plus possible de résoudre ce type de problème par la méthode iso-qualité. De plus, si on reporte ces cotes sur chacune des pièces 1 et 2, on remarque qu'il y a surabondance de la cotation.

JB

JA

1

2

a2 a1

b'2

b'1

JB

JA

1

2

a1

a2

b1

b2

JB

JA

1

2

b’2mini

a2±εa2 b2MAXI

b'1MAXI

b1mini a1±εa1



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En effet, la pièce 1 réalisée en respectant les cotes a1 et b1 peut être plus longue que la condition b'1MAXI imposée. Il est donc nécessaire d'analyser plus finement ces conditions. Si on reporte autour de la pièce les zones possibles occupées par les plans orthogonaux à la chaîne. On a :

Pour que les conditions unilimites soient compatibles, il faut que : 1MAXI 1MAXI 1minib a b′ > + 2mini 2mini 2MAXI'b a b< + En ce qui concerne la démarche de résolution des problèmes contenant des conditions bi-limite et unilimite, on procède de la façon suivante :

• On résout en premier lieu, par une méthode d'iso-qualité, le système des chaînes de cotes bilimites ;

• On reporte ensuite les valeurs obtenues dans le système des chaînes unilimites ; • On résout les équations aux dimensions restantes en respectant les conditions de

compatibilité.

a2MAXI

b2mini

b'2MAXI a2mini

b'1MAXI

b1mini a1mini

a1MAXI

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