KK

KK22

KK33

KKss : :

KKss : :

KKss22 : :

Ks3 : :

le rapport de similitudele rapport de similitude

le rapport des périmètresle rapport des périmètres

le rapport des airesle rapport des aires

le rapport des volumesle rapport des volumes

(Ra)(Ra)

(Rp)(Rp)

(Rv)(Rv)

Le rapport de similitude

Exemple :

4

6A

B

C

12

8

A’

B’

C’

m A’C’Ks :

m A C=

12

6= ou 8

4==

m hauteur A’B’C’

m hauteur ABC

Il s’établit comme suit:Il s’établit comme suit: mesure d’un segment de la figure imagemesure d’un segment de la figure image

mesure du segment homologue de la figure initialemesure du segment homologue de la figure initiale

Si 0 Si 0 < K< Kss < 1, il s’agit d’une réduction; < 1, il s’agit d’une réduction;

est le rapport des segments homologues,

22 22

si Ksi Kss > 1, il s’agit d’un agrandissement. > 1, il s’agit d’un agrandissement.

noté Ks.

Rapport des périmètres

Le rapport des périmètres = le rapport de similitude

Rp = Ks

A’

B’

C’

D’

3 cm

5 cm

A

B

C

D

6 cm

10 cm

Ks =m A’B’

m AB=

3

6=

1

2Rp =

Périmètre A’B’C’D’

Périmètre ABCD=

16

32=

1

2

Exemple:Exemple:

A’

B’

C’

D’

3 cm

5 cm

A

B

C

D

6 cm

10 cm

Rapport des aires

Le rapport des aires = le rapport de similitude au carré

Ra = Ks 2

Ks =12

Ra =15

60=

1

4soit

1

2

2

Exemple:Exemple:

Aire A’B’C’D’

Aire ABCD=

Rapport des volumes

Le rapport des volumes = le rapport de similitude au cube

Rv = Ks3

3 cm

5 cm

2 cm

Prisme 2

10 cm

6 cm

4 cm

Prisme 1

Ks =1

2Rv =

Volume du prisme 2

Volume du prisme 1=

1

8240

30= soit 1

2

3

Exemple:Exemple:

KKss : : le rapport de similitudele rapport de similitude

KKss22 : : le rapport des airesle rapport des aires (Ra)(Ra)

KKss : : le rapport des périmètresle rapport des périmètres (Rp)(Rp)

KKss33 : : le rapport des volumesle rapport des volumes (Rv)(Rv)

Ces 4 rapports Ces 4 rapports

permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions.permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions.

aa

bb

cc

dd==

Problème 1 : Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK.Problème 1 : Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK.

AA BB

CC DD EE

2020 4040

3030

1414

GG HH

II KK LL

3434

KKss = =m GIm GI

m ACm AC==

2020

3434==

1010

1717

m GHm GH :: ==3030

xx

1010

1717x =x = 30 X 1730 X 17

1010x =x = 5151

m IHm IH :: ==4040

xx

1010

1717x =x = 40 X 1740 X 17

1010x =x = 6868

m LHm LH :: ==1414

xx

1010

1717x =x =

14 X 1714 X 17

1010x =x = 23,823,8

Problème 2 : Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK.Problème 2 : Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK.

AA BB

CC DD EE

2020 4040

3030

1414

GG HH

II KK LL

3434

KKss = =m ACm AC

m GIm GI==

2020

3434==

1010

1717

Périmètre ABCD :Périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 1002 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 100

==100100

xx

1010

1717x =x =

100 X 17100 X 17

1010x =x = 170170

Le rapport des périmètres = le rapport de similitude

Périmètre ABCDPérimètre ABCD

Périmètre GHIKPérimètre GHIK::

Problème 3 : Détermine l’aire du parallélogramme GHIK.Problème 3 : Détermine l’aire du parallélogramme GHIK.

AA BB

CC DD EE

2020 4040

3030

1414

GG HH

II KK LL

3434

KKss = =1010

1717

Aire ABCD: L X l = 30 X 14 = 420Aire ABCD: L X l = 30 X 14 = 420

Le rapport de similitude au carré = le rapport de aires

1010

1717

22

==100100

289289

==420420

xx

100100

289289x =x =

420 X 289420 X 289

100100x x ≈≈ 1213,81213,8

Aire GHIKAire GHIK

Aire ABCDAire ABCD::

Le rapport de similitude au cube = = le rapport des volumes

Sachant que l’aire de la base du petit cylindre est de 50 cmSachant que l’aire de la base du petit cylindre est de 50 cm22, , détermine le volume du gros cylindre.détermine le volume du gros cylindre.

Problème 4 :Problème 4 :

Volume du petit cylindre :Volume du petit cylindre :

Aire de la base X hauteurAire de la base X hauteur

50 X 4 =50 X 4 = 200 cm200 cm33

Ks =4

9

44

99

33

==6464

729729

==200200

xx

6464

729729x =x =

200 X 729200 X 729

6464xx ≈≈2278,1 cm2278,1 cm33

Volume du grandVolume du grand

Volume du petitVolume du petit::

44

99

Problème 5 :Problème 5 : Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ??

Rapport des périmètres : Rapport des périmètres : 22

33

Périmètre du petitPérimètre du petit

Périmètre du grandPérimètre du grand::

22

33==

xx

5454

x =x =54 X 254 X 2

33x =x = 36 cm36 cm

Problème 6 :Problème 6 : Deux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cmDeux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cm22 et de 45 cmet de 45 cm22. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du . Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ?grand ?

L’information fournie est le rapport des aires et on demande la mesure d’un segment. Il L’information fournie est le rapport des aires et on demande la mesure d’un segment. Il faut donc retrouver le rapport de similitude ( K ).faut donc retrouver le rapport de similitude ( K ).

RRa a : : 2020

4545

20 20 ÷÷ 5 5

45 45 ÷ 5÷ 5==

99

44donc K :donc K :

99

44==

33

22

Petite hauteurPetite hauteur

Grande hauteurGrande hauteur:: ==

1616

xx

22

33x =x =

3 X 163 X 16

22x = 24 cmx = 24 cm

Problème 7 :Problème 7 : Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cmLes volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm33 et 3125 cm et 3125 cm33..

Quel est le rapport de similitude et le rapport des aires ?Quel est le rapport de similitude et le rapport des aires ?

RRvv : :16001600

31253125

1600 1600 ÷ 25÷ 25

3125 3125 ÷ 25÷ 25==

6464

125125

K =K =

125125

646433

==55

44

RRaa : K : K22 ==55

442

==1616

2525

Problème 8 :Problème 8 : Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures données.partir des mesures données.

6622

44

Aire totale : 88 cmAire totale : 88 cm22

Aire totale : 126,72 cmAire totale : 126,72 cm22

Volume du petit prisme :Volume du petit prisme :

RRaa : : 8888

126,72126,72

Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes.Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes.

L X l X H =L X l X H = 6 X 2 X 4 =6 X 2 X 4 = 48 cm48 cm33

Il faudrait donc trouver, en premier, le rapport de similitude.Il faudrait donc trouver, en premier, le rapport de similitude.

Ce rapport peut-être utilisé de plusieurs façons:Ce rapport peut-être utilisé de plusieurs façons:

Démarche 1: Décomposition en facteurs:Démarche 1: Décomposition en facteurs:8888

126,72126,72==

88008800

1267212672

88008800

1001008888

44 2222 1010 1010

22 22 22 1111 22 55 22 55

1267212672

7927921616

999944 44 88

22 2222 22 33 333322 44

1111332222

88008800

1267212672==

2277 X 3 X 322 X 11 X 11

2255 X 5 X 522 X 11 X 11==

5522

2222 X 3 X 322==

2525

3636

RRaa : : 8888

126,72126,72

X 100X 100

X 100X 100

RRaa : : 2525

3636donc K :donc K : 2525

3636==

55

66et Ket K33 : :

55

66

3

==125125

216216

Volume du petit prismeVolume du petit prisme

Volume du grand prismeVolume du grand prisme:: ==

4848

xx

125125

216216x =x =

125125

48 X 21648 X 216

x x ≈≈ 82,94 cm 82,94 cm33

6622

44

Aire totale : 88 cmAire totale : 88 cm22

Aire totale : 126,72 cmAire totale : 126,72 cm22 Volume : 48 cmVolume : 48 cm33

Démarche 2 :Démarche 2 : alors K :alors K : 8888

126,72126,72RRaa : : 8888

126,72126,72sisi

≈≈ 0.83330.8333Avec la calculatrice :Avec la calculatrice : 2nd2nd ( 88 ( 88 ÷ 126,72 )÷ 126,72 )

mesure d’un segment du petit prismemesure d’un segment du petit prisme

mesure du segment homologue du gros prismemesure du segment homologue du gros prisme

K :K : ≈ ≈ 0.83330.8333

11

Ce rapport signifie que les mesures des segments du petit prisme valent 0,8333 par Ce rapport signifie que les mesures des segments du petit prisme valent 0,8333 par rapport aux mesures des segments du gros prisme qui, eux, valent 1.rapport aux mesures des segments du gros prisme qui, eux, valent 1.

4 chiffres après la virgule pour 4 chiffres après la virgule pour de la précision.de la précision.

Volume du petit prismeVolume du petit prisme

Volume du grand prismeVolume du grand prisme:: ==

4848

xxx =x =

0,57860,5786

48 X 148 X 1

x ≈ 82,96 cmx ≈ 82,96 cm33

6622

44

Aire totale : 88 cmAire totale : 88 cm22

Aire totale : 126,72 cmAire totale : 126,72 cm22 Volume : 48 cmVolume : 48 cm33

0.83330.8333

11

K =K = donc Kdonc Kvv = 0.8333 = 0.8333 33

≈≈ 0,57860,5786 ouou 0,57860,5786

11

0,57860,5786

11

Démarche 3 :Démarche 3 : alors K :alors K : 8888

126,72126,72

ouou

126,72126,72

8888

et Ket K33 : :

126,72126,72

8888

33

==8888

33

22

33

22126,72126,72

888811

22

11

22126,72126,72

33

==

Volume du petit prismeVolume du petit prisme

Volume du grand prismeVolume du grand prisme:: ==

4848

xx

888833

22

33

22126,72126,72

Avec la calculatrice:Avec la calculatrice:

48 X 126,72 48 X 126,72 ^ ^ ( 3 ( 3 ÷÷ 2 ) 2 ) ÷ 88 ÷ 88 ^ ^ ( 3 ( 3 ÷ 2 )÷ 2 )

RRaa : : 8888

126,72126,72sisi

≈ ≈ 82,94 cm82,94 cm33

48 X 126,7248 X 126,72

33

22

33

228888

x =x =

Problème 9 : Les triangles ABC et EDC sont semblables. Détermine les mesures ( cm ) Problème 9 : Les triangles ABC et EDC sont semblables. Détermine les mesures ( cm )

des segments BC et CD.des segments BC et CD.

33

55

AA

BB CC DD

EE

1818

K :K :m ABm AB

m EDm ED==

33

55

Posons x pour représenter la mesure du Posons x pour représenter la mesure du segment BC.segment BC.

xx

Le segment CD peut alors être représenté par Le segment CD peut alors être représenté par ( 18 – x ).( 18 – x ).

( 18 – x )( 18 – x )La proportion peut maintenant être établie:La proportion peut maintenant être établie:

3 ( 18 – x ) = 5x3 ( 18 – x ) = 5x 54 – 3x = 5x54 – 3x = 5x

==33

55

xx

( 18 – x )( 18 – x )

m ABm AB

m EDm ED

m BCm BC

m CDm CD==

54 = 8x54 = 8x x = 6,75 cmx = 6,75 cm

m BC = 6,75 cmm BC = 6,75 cm m CD = ( 18 – x ) = 18 – 6,75 = 11,25 cmm CD = ( 18 – x ) = 18 – 6,75 = 11,25 cm

Problème 10 : Déterminer la mesure ( m ) du segment AB. Problème 10 : Déterminer la mesure ( m ) du segment AB.

33

55K =K =

m BEm BE

m CDm CD== ==

9090

150150

Posons x pour représenter le segment AB.Posons x pour représenter le segment AB.

90 m90 m

AA

BB

150 m150 m

75 m75 m

CC

EE

DD

xx

La proportion peut maintenant être établie:La proportion peut maintenant être établie:

==33

55

xx

( 75 + x )( 75 + x )

m BEm BE

m CDm CD

m ABm AB

m ACm AC==

3 ( 75 + x ) = 5x3 ( 75 + x ) = 5x 225 + 3x = 5x225 + 3x = 5x 225 = 2x225 = 2x x = 112,5 mx = 112,5 m

Echelle 1/2 Echelle 3/2

Problème 11 :Problème 11 : Il faut 160 mg d’argent pour fabriquer ce bijou.

Calcule la masse d ’argent nécessaire pour fabriquer les 2 autres modèles.

K =K =11

22

11

88KK3 3 == K =K =

33

22

2727

88KK3 3 ==

Masse de la figure imageMasse de la figure image

Masse de la figure initialeMasse de la figure initiale::

11

88==

xx

160160

x = 20 mgx = 20 mg

Masse de la figure imageMasse de la figure image

Masse de la figure initialeMasse de la figure initiale::

2727

88==

xx

160160

x = 540 mgx = 540 mg

Deux autres modèles sont fabriqués.

Cette masse est proportionnelle au volume du bijou.

Echelle 1/2 Echelle 3/2

Problème 12 :Problème 12 : Il faut 4 mg d’or pour recouvrir ce bijou.

Calcule la masse d’or nécessaire pour recouvrir les 2 autres modèles.

Masse de la figure imageMasse de la figure image

Masse de la figure initialeMasse de la figure initiale::

x = 1 mgx = 1 mg

Masse de la figure imageMasse de la figure image

Masse de la figure initialeMasse de la figure initiale::

x = 9 mgx = 9 mg

Deux autres modèles sont fabriqués.

Cette masse est proportionnelle à l’aire du bijou.

K =K =11

22

11

44KK2 2 == K =K =

33

22

99

44KK2 2 ==

11

44==

xx

44

99

44==

xx

44

Remarques:Remarques:

1)1) Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin:Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin:

- pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K- pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K

- pour trouver des mesures d’aires : K- pour trouver des mesures d’aires : K22

- pour trouver des mesures de volumes : K- pour trouver des mesures de volumes : K33

2)2) Prends le temps d’écrire correctement la proportion.Prends le temps d’écrire correctement la proportion.