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Journe dEtude SSC 2014 49

IsoSpring : vers la montre sans chappement

Simon Henein, Ilan Vardi, Lennart Rubbert, Roland Bitterli, Nicolas Ferrier, Sebastian Fifanski, David Lengacher

Laboratoire de conception micromcanique et horlogre, EPFL STI IMT INSTANT-LAB, Rue de la Maladire 71B, CH-2000 Neuchtel

Rsum

Depuis son introduction en 1675, le balancier-spiral est la base de temps exclusive de la montre mcanique. Or cet oscillateur prsente deux difficults limitatives qui n'ont jusqu' prsent pas t contournes : un facteur de qualit limit (en particulier par des phnomnes tribologiques), ainsi que la ncessit d'un chappement, mcanisme complexe au rendement limit. Cet article pr-sente un nouvel oscillateur appel IsoSpring, qui amliore le facteur de qualit grce au recours aux guidages flexibles et limine compltement l'chappement. Le concept de ce nouvel oscillateur qui est dot de deux degrs de libert remonte Issac Newton. Il est replac dans le contexte historique des principales avances conceptuelles en horlogerie mcanique. La rsolution des qua-tions du mouvement dmontre que l'inertie des organes tournants perturbe l'isochronisme. Pour pallier cette limitation, des architec-tures de mcanismes guidages flexibles supprimant l'essentiel de linertie des organes tournants sont proposes. Le mouvement bidimensionnel de cet oscillateur nest plus altern, mais unidirectionnel. Ainsi, un mcanisme de maintien continu constitu d'une manivelle transmet le couple l'oscillateur et l'chappement disparat. Le dveloppement conceptuel de l'horlogerie mcanique Le temps discrtis. La mesure du temps a ses sources dans l'observation du ciel et nos units de temps, le jour, l'anne, refltent cette origine. Les garde-temps ont t conus pour constituer une rfrence autonome. L'exemple le plus ancien est la clepsydre1 dont l'apothose est la grande horloge conue en Chine par Su Song (1020-1101). La grande avance suivante est l'horloge mcanique base sur l'chappement, o l'nergie est libre de manire intermittente par le biais d'un rgulateur, son appellation venant du fait que les dents d'engrenage s'chappent une une. Cette invention a discrtis le temps et introduit le tic-tac dans la mesure du temps. Du point de vue con-ceptuel, les garde-temps mcaniques suivent le schma nergtique suivant : ENERGIE Transmission Echappement Oscillateur

La dcharge nergtique d'un ressort arm ou d'un poids moteur est rythme par un rgulateur qui constitue la base de temps. L'chappement sert d'interface entre la transmis-sion mcanique de la montre et sa base de temps. Jusqu'au 17e sicle, le rgulateur tait un foliot, o le couple fourni par la source d'nergie acclre angulairement le foliot, un levier supportant deux masses, de manire alter-ne en utilisant un chappement roue de rencontre. Etant donn que la dure ncessaire pour faire parcourir un angle donn un volant d'inertie acclr par un couple dpend directement de la valeur de ce couple, la vitesse de ces horloges et montres dpend directement du couple du ressort ou poids moteur. Lorsquil varie, le couple moteur affecte significativement la prcision chronomtrique (voir l'analyse de Defossez [8, Tome II, p. 136-138]), elle dpas-sait lpoque du foliot difficilement le 1% (15 minutes par jour)2.

1 La source de ce mot, signifiant voleur d'eau en Grec Ancien, est littralement le nom de la source de l'horloge eau de la Tour des Vents d'Athnes [19]. 2 Les horlogers actuels pourraient ressusciter le foliot en le faisant fonctionner avec des mcanismes produisant un couple cons-tant [32].

Fig. 1 : Lame ressort.

Loscillateur fournit un temps propre. La grande avan-ce faite au 17e sicle fut l'introduction d'un rgulateur ayant son propre temps. Mathmatiquement, un oscillateur est caractris par l'quation O , qui exprime le fait que la force de rappel est proportionnelle au dplacement . Les principaux exemples sont le pen-dule et le ressort, o les forces de rappel sont respective-ment la gravit et l'lasticit3. Par les mthodes standards du calcul infinitsimal, on obtient la solution de l'quation (O)

sin2 ,

3 La lame ressort de la figure 1 peut tre couple avec une copie symtrique pour produire un diapason. Il s'agit de l'oscillateur rgulant toutes les montres dites lectroniques, qui ont donc bel et bien une base de temps mcanique. Ce sont les fonctions d'entre-tien et de comptage qui sont ralises de manire lectronique.

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o 2 est la frquence propre, est lamplitude et est une condition initiale. Il est remarquable que la frquence soit entirement indpendante de l'amplitude. Cette proprit, nomme isochronisme, rend la mesure du temps indpendante des fluctuations de la source d'nergie qui l'alimente. Ceci explique notre affirmation qu'un oscilla-teur possde son temps propre.

Fig. 2 : Dessin de Christiaan Huygens de son horloge pendule avec flancs cyclodaux.

Le principe d'isochronisme a t dcouvert par Galile et mis en uvre par Christiaan Huygens, d'abord avec le pendule en 1656 pour les horloges et ensuite avec le ba-lancier-spiral en 16754 pour les montres. Ces oscillateurs suivent en effet tous deux la loi de l'oscillateur (O)5. L'utilisation d'un rel oscillateur a tout de suite amlior la prcision chronomtrique de deux ordres de grandeur, l'amenant 15 secondes par jour. On peut ainsi parler de la conqute du temps puisque les garde-temps sont devenus plus prcis que le Soleil qui peut avoir une avance ou un 4 Les polmiques concernant la priorit de ses inventions ont caus beaucoup de tort Huygens [15]. La revendication de Robert Hooke pour le balancier-spiral est la seule qui n'a pas t rfute et cer-tains considrent qu'il l'a invent indpendamment [5]. 5 Le pendule circulaire tel qu'utilis dans les horloges depuis 300 ans est thoriquement non-isochrone, malgr l'assertion du con-traire par Galile [7]. Huygens tait quant lui conscient de ce dfaut d'isochronisme. Ce dfaut a par la suite t minimis en faisant fonctionner le pendule sur de trs petites amplitudes. Cette solution ne convenait toutefois pas Huygens qui voulait construire une horloge de marine, donc amplitude trs variable, pour une utilisation en mer. Il a donc conu le pendule cyclodal, voir la figure 2, qui est thoriquement isochrone. Ainsi, son horloge de marine pendule a quand mme atteint de bons rsultats, un sicle avant John Harrison [16][23]. De manire similaire, il a modifi le pendule conique dont le dfaut d'isochronisme est 4 fois celui du pendule isochrone, pour le rendre isochrone, cette fois avec une forme parabolique [7, Chapitre XI]. Nous sommes de l'avis que Huygens s'tait fix le but d'avoir de vritables oscillateurs iso-chrones pour horloges et que le pendule en mer a t abandonn dfinitivement plutt en raison de sa sensibilit la gravit [29] quen raison de son dfaut d'isochronisme.

retard diurne de lordre de 30 secondes par jour par rapport au temps civil (l'quation du temps [26]). Le rsultat fut une rvolution sociale, puisque le temps n'tait plus dpendant des phnomnes naturels, mais bas sur une rfrence artificielle : l'horloge. Il est notoire que ltablissement dune thorie du temps l'quation de l'oscillateur, ainsi que les mathmatiques requises pour en trouver la solution a t ncessaire cette avance. C'est ainsi que l'horlogerie est devenue une science. Les apprentis horlogers suisses se sont par voie de consquence trouvs obligs d'tudier la thorie d'hor-logerie [21].

Fig. 3 : Echappement dtente dEarnshaw [4]. L'invention de l'chappement libre. L'oscillateur doit tre entretenu et ses oscillations doivent tre comptes. Ces deux tches sont accomplies par l'chappement qui fait office d'interface avec la montre. Si le 17e sicle fut l'ori-gine des oscillateurs, le 18e sicle fut quant lui celui de l'invention des chappements les plus utiliss par la suite. La recherche la plus intense a port sur les chronomtres de marine, la qute de la longitude tant l'un des plus grands problmes scientifiques et pratiques de cette poque. L'chappement dtente invent et perfectionn par Leroy, Arnold et Earnshaw [9], a dmontr sa supriori-t6. Cet chappement est un exemple d'chappement libre, o l'oscillateur ne subit que trs peu de perturbations par l'chappement, l'avantage tant que l'quation de l'oscilla-teur (O) est plus fidlement respecte, donc que la rgulari-t de la base de temps est amliore. Ce rsultat est quan-tifi par la formule d'Airy [1][26]7. En ce qui concerne les montres bracelet, l'chappement dtente n'est pas utilisable tel quel en raison de sa sensibili-t aux chocs, et l'chappement ayant le plus fait ses preuves est l'chappement ancre invent par Thomas

6 Si John Harrison a russi construire le premier chronomtre de marine prcis, il utilisait encore un chappement rencontre avec une mthode de fabrication encore partiellement inconnue et difficile reproduire. La grande perce conceptuelle de Harrison fut de remplacer une grosse horloge par une montre ayant un petit oscilla-teur plus nergtique [3]. 7 Pour les horloges, c'est le cas contraire : les meilleurs chappe-ments sont contact permanent. L'explication est que le dfaut d'isochronisme du pendule circulaire ncessite l'utilisation d'un chappement force constante. On peut citer l'chappement de Big Ben invent par Edmund Beckett Denison [11], devenu le standard pour les horloges de tour, ainsi que les chappements de Leroy, Riefler et Strasser, tous ces chappements tant bass sur l'chap-pement gravit, galement d Thomas Mudge [20][22]. Un exemple intressant dun chappement libre pour horloge est celui de William Thomson, Lord Kelvin, o laction de lchappement ne dure que 1/400e de seconde pour un pendule battant la seconde [22] [25] [33].

IsoSpring : vers la montre sans chappement 51

Mudge en 1769, surtout par l'introduction du tirage au dbut du 19e sicle par Richard Pendleton (1780-1808) et perfec-tionn vers 1830 par George Leschot (1800-1884) [23], ce qui le rendit beaucoup moins sensible aux chocs. La ver-sion aboutie est l'chappement ancre suisse utilis pour pratiquement toutes les montres bracelet mcaniques. Avances incrmentales. Dans son trait dfinitif sur le chronomtre de marine, Rupert Gould a fait la remarque que l'instrument de 1920 ne diffre conceptuellement pas de celui de 1800, malgr des performances beaucoup plus leves, et il crit [10, p. 13] : That the difference is not more apparent at first sight is due to the fact that it resides chiefly in small and apparently not very important details . En effet, la performance chronomtrique de lordre de 0,001% requise en horlogerie est telle que les phnomnes de deuxime ordre doivent tre pris en compte. Arriver cette prcision ncessite une attention particulire aux dtails techniques. Cest dans ces derniers et non dans des avances conceptuelles qua rsid lamlioration des performances horlogres ralise depuis 1800. Ainsi la chronomtrie est une science du dtail et sa progression est surtout incrmentale. La remarque de Gould sapplique aussi la montre de 2014 qui est conceptuellement similaire celle de 1800, bien que grandement amliore sur tous les plans tech-niques. Citons par exemple les avances des matriaux tels que l'Invar de Charles-Edouard Guillaume pour la stabilit thermique et le silicium pour la prcision de fabrica-tion et l'limination de la lubrification [18], ainsi que de nouveaux chappements trs intressants tels que l'chap-pement coaxial d'Omega [6] et l'chappement Constant de Girard-Perregaux [9]. Malgr ces importantes avances technologiques, force est de constater aujourdhui un ralentissement des progrs de la montre mcanique en termes de performances horlo-gres. Ce ralentissement est selon nous imputable notam-ment la problmatique des deux facteurs limitatifs fonda-mentaux pour la performance que sont le facteur de qualit de l'oscillateur et le rendement de l'chappement : le pre-mier ne dpasse pas 3008 pour les balanciers-spiraux actuels et le second ne dpasse pas les 40%, une valeur faible compare la plupart des transmissions mcaniques classiques9. Ainsi, il semble aujourd'hui que seule une avance concep-tuelle puisse permettre de dpasser significativement les limites actuelles de la montre mcanique. Dans ce contexte, le prsent article dcrit une nouvelle base de temps mcanique haut facteur de qualit pou-vant tre entretenue sans chappement. Les sources d'ins-piration de cette invention nous viennent du 17e sicle.

IsoSpring : une nouvelle base de temps ba-se sur un systme solaire isochrone Le systme solaire isochrone de Newton. Lune des plus grandes rvolutions scientifiques fut la publication par Isaac Newton en 1687 de Principia Mathematica o il a dmontr que quelques principes trs simples pouvaient expliquer la mcanique cleste [17]. Lun de ses rsultats les plus importants est la preuve des lois de Kepler du mouvement plantaire : la premire loi exprimant que les plantes suivent une orbite elliptique ayant le Soleil lun des foyers et la troisime loi exprimant que le carr de la priode de 8 Le facteur de qualit tant directement li la puissance dissipe par l'oscillateur (donc finalement la rserve de marche de la montre) et reconnu comme tant un indicateur cl du potentiel fondamental de la prcision chronomtrique d'un garde-temps [27]. 9 Le rendement de l'chappement affectant directement la puis-sance dissipe par le mouvement (donc finalement la rserve de marche de la montre), de grands efforts ont t investis pour le maximiser.

rvolution est proportionnel au cube de son demi-grand axe , voir la figure 4,

~

Fig. 4 : Lois de Kepler : le Soleil est au foyer des ellipses. La priode de la plante extrieure est 4 8 fois sup-

rieure lintrieure.

Fig. 5 : Corollaires la Proposition X dIsaac Newton. Dans le mme ouvrage [17, Livre I, Corollaires la Proposi-tion X], Newton a dmontr que si la loi de gravitation universelle est remplace par une force d'attraction centrale linaire, alors les orbites restent des ellipses, mais avec le Soleil au centre de l'ellipse et la priode identique pour toute orbite10.

10 La motivation de Newton tait de trouver toutes les lois dattraction possibles donnant les orbites elliptiques prdites par Kepler. Le fait que des ellipses sont prsentes pour les deux lois est maintenant bien expliqu par une quivalence mathmatique [12]. Il est aussi bien connu que ces deux cas sont les seules forces centrales qui donnent des orbites fermes [2].


Fig. 6 : Loi de Hooke matrialise par un ressort fronde et orbite plantaire correspondante.

Ce rsultat, moins clbre que celui portant sur les lois de Kepler, est la source de notre invention : en effet, une force linaire centrale correspond la loi de Hooke d'un ressort. Nous pouvons donc matrialiser la force d'attrac-tion entre la plante et son soleil par un simple ressort tournant, voir la figure 6. Le mcanisme ainsi constitu sapparente une fronde dont les lanires seraient las-tiques. Nous lavons nomm ressort fronde. Le rsultat de Newton pour la loi de Hooke est facilement vrifi. On considre une masse ponctuelle sujette une force centrale

centre l'origine, o est la position de la masse. Si l'objet une masse , on trouve la solution, en faisant appel la deuxime loi de Newton (nonce dans le mme ouvrage !) sin2 , sin2 , pour des constantes ,,, qui dpendent des condi-tions initiales et la frquence propre

12 .

Ceci dmontre que les orbites sont elliptiques et que la priode ne dpend que de la masse et de la rigidit de la force centrale. Ceci confirme l'isochronisme de ce sys-tme solaire : la priode

2 est indpendante de la position et du mouvement de la masse ponctuelle (cette loi est l'analogue de la troisime loi de Kepler prouve par Newton). Cette proprit d'isochronisme permet d'envisager concep-tuellement une base de temps pour garde-temps d'une nouvelle nature. Il semble pourtant que personne n'ait ce jour franchi le pas et imagin un objet mcanique profitant de la remarquable proprit physique d'isochronisme de cet oscillateur11 [28] identifie et prouve par Newton. Nous nommons IsoSpring tout mcanisme compos de masses, de ressorts et de guidages permettant de repro-duire mcaniquement le systme solaire isochrone de Newton avec une fidlit suffisante pour une utilisation comme base de temps.

11 Cet oscillateur est aussi connu dans la littrature sous le nom d'oscillateur harmonique isotrope, o le terme isotrope veut dire le mme dans toutes les directions .

Les mcanismes IsoSpring sont diffrents des bases de temps traditionnelles par leur mouvement bi-dimensionnel. La seconde dimension permet de raliser des oscillations en rotation uni-directionnelle12.

Conception dIsoSpring Les conditions que doit respecter un mcanisme lastique pour exhiber fidlement la proprit disochronisme du modle de Newton sont les suivantes : 1. Produire une force de rappel lastique linaire

avec . 2. Possder un centre de force indpendant de :

0 0. 3. Prsenter une force de rappel lastique isotrope :

pour donn, est indpendante de . 4. Avoir une masse ponctuelle (moment dinertie nul) :

0. 5. Contraindre cinmatiquement la masse mobile se

mouvoir dans un plan13.

6. Avoir une masse constante : indpentante de et .

7. tre insensible la gravitation terrestre. La fonction doscillateur harmonique isotrope peut tre dcompose en trois sous-fonctions. A. Fonction ressort : produire une force de rappel las-

tique satisfaisant les conditions ci-dessus.

B. Fonction guidage : contraindre les degrs de libert indsirables du mcanisme et compenser le poids des masses en prsence de la gravitation terrestre.

C. Fonction masse14 : prsenter une masse rduite in-dpendante de la position et de la direction du mou-vement.

En principe, ces fonctions peuvent mcaniquement tre remplies par des organes distincts ou confondus15. Les deux grandes familles de mcanismes IsoSpring dcrits dans le present article sont les ressorts fronde et les res-sorts centraux. Une demande de brevet a t dpose pour ces mcanismes.

12 Plus abstraitement, le concept IsoSpring exploite des oscillateurs deux dimensions produisant des oscillations unidirectionnelles. Les deux translations planaires prsentes ici peuvent tre gnra-lises dautres paires de degrs de libert, comme deux rotations ou une rotation et une translation. 13 Il est bien connu depuis Newton que lorbite dune plante sujette une force centrale reste dans un plan. Le recours un guidage plan horizontal permet donc de modliser correctement le systme solaire isochrone de Newton tout en saffranchissant des effets de la gravitation terrestre. 14 La masse dun mcanisme rel tant ncessairement distribue sur l'ensemble de ses segments, ce mcanisme diffre du modle de Newton par la prsence de plusieurs masses mobiles au lieu dune seule et par la prsence de masses non-ponctuelles au moment dinertie non-nul. 15 Les mcanismes bass sur les guidages flexibles permettent de fusionner ces fonctions en un seul organe, voire en une seule pice mcanique [13].

r

F

m

O


Fig. 7 : Ressort fronde avec guidage linaire sur plateau

tournant. Dans un premier temps nous dcrivons une architecture simple de mcanisme de type fronde permettant de s'ap-procher du modle dcrit par Newton, reprsente sur la figure 7. Une masse est attache un plateau tournant autour dun axe vertical au moyen dune glissire radiale horizontale (un degr de libert en translation, suppos sans frottement) et d'un ressort de caractristique linaire, de telle sorte que le point neutre du ressort concide avec l'axe de rotation du plateau. Ce mcanisme satisfait les conditions 1, 2, 3, 5, 6 et 7 ci-dessus. Seule la condition 4 nest pas respecte : le moment d'inertie des parties mo-biles est non-nul : notons linertie du plateau et celle de la masse (linertie du ressort est nglige dans le dve-loppement ci-dessous). Leffet de cette diffrence avec le modle idal dcrit par Newton sur le comportement de loscillateur est tudi ci-dessous.

Loscillateur harmonique isotrope avec moment dinertie Selon le thorme des axes parallles, le moment d'inertie d'une plante de masse et moment d'inertie tournant distance du centre de rotation a un moment d'inertie total . Si l'on prend galement le moment d'inertie du plateau tournant en compte, on obtient et le moment d'inertie total du systme est . On verra par la suite que est un lment perturbateur. Pour analyser son effet, on introduit le coefficient qui caract-rise l'cart entre le mcanisme physique et le modle idal de Newton o 0. Par exemple, pour la Terre tournant autour du Soleil, on a 7.23203 10. L'analyse avec 0 se fait en crivant les quations de mouvements en coordonnes polaires , pour la position du centre de masse de la plante, et leurs drives par rapport au temps , . Le moment cintique total est

qui est constant puisque l'on fait l'hypothse que le systme est conservateur (il n'y a ni couple extrieur, ni friction interne). La vitesse angulaire peut donc scrire

. De plus, la deuxime loi de Newton pour le para-mtre donne

0, o 2 est la pulsation propre. La substi-tution de l'quation prcdente donne

0.

Cette quation peut tre directement intgre aprs multi-plication par et l'on obtient la formule de conservation d'nergie

E12 12

2 . On peut rsoudre cette quation diffrentielle de manire analytique et explicite en termes de fonctions elliptiques de Jacobi [28]. La solution en termes de fonctions elliptiques est typique pour ce type de problme16.

Priodicit et isochronisme du modle avec inertie Les fonctions elliptiques de Jacobi sont priodiques, donc le modle avec moment d'inertie produit des solutions priodiques, o la priode peut tre exprime de manire explicite en termes d'intgrales elliptiques [28]. Par exemple, la figure 8 donne l'orbite pour une masse 1g et une frquence propre nominale 2Hz avec les condi-tions initiales 0,, 8radian/s, 0, 0, 0.1. Cette orbite est priodique en par rapport avec priode 3.42693 0.545413 2. La figure 8 repr-sente une orbite de 10 rvolutions ( 0 10 2). Aprs 6 tours complets, l'orbite semble se refermer sur elle-mme, mais si l'on laisse augmenter le nombre de tours, figure 9, on observe que la trajectoire n'est pas ferme : elle subit une lente prcession17. Bien que l'orbite ne soit pas ferme, il rsulte de la priodi-cit des fonctions de Jacobi une frquence de rotation stable. Dans cet exemple, la frquence stable est 2.01765Hz alors que la frquence nominale (pour un moment d'inertie de la masse nul) est 2Hz. Le calcul de la frquence stable est possible grce aux formules explicites dmontres dans [28].

Fig. 8 : Orbite avec moment dinertie 0.1 sur 10 rvolutions.

16 Les fonctions elliptiques apparaissent aussi dans la solution analytique du pendule circulaire et les lois de gravit centrales de la forme , 5,3,0,4,5,7[30, p.~83], voir [31] pour une introduction aux fonctions elliptiques. 17 Ce phnomne est quantifi par le fait que 6/11 - 0.545413 = 0.00004, donc 11 priodes de l'orbite font presque exactement 6 tours complets de l'angle . Ce graphe a donc une prcession de 0.16 degrs pour chaque 6 tours complets de et il faut environ 13128 tours complets pour que la prcession du graphe dpasse un tour complet.


Fig. 9 : Orbite avec moment dinertie

0.1 sur 500 rvolutions. Pour avoir une base de temps, il faut que le modle ait un bon isochronisme, c'est--dire que la frquence soit insen-sible aux changements d'amplitude. Dans notre cas, il n'est pas vident de quantifier l'amplitude. Une caractristique quivalente est l'nergie totale de l'oscillateur, celle-ci tant essentiellement l'amplitude dans le cas de l'oscillateur linaire de la section ci-dessus en raison de la formule 2 en une dimension, voir [27].

Fig. 10 : Marche diurne par rapport lnergie de

loscillateur avec 0.1. Une faon de faire varier l'nergie de l'oscillateur est de changer la condition initiale (la vitesse de lancement de la masse) et de garder les autres termes inchangs. Avec l'hypothse que 0, l'nergie est

2 12 ,

et si lon crit quand 8radian/s, la figure 10 donne la marche diurne en fonction du changement relatif de l'nergie /, en variant . Il est vident que ce systme n'est pas du tout isochrone puisque la frquence change sensiblement avec l'nergie du systme. En particulier, un changement de 5% de l'nergie, ce qui correspond une variation de 2.5% de l'amplitude d'un oscillateur classique, donne une erreur de plusieurs minutes par jour, ce qui n'est pas acceptable pour une application horlogre.

Fig. 11 : Orbite avec faible moment dinertie

0.001 sur 10 rvolutions. On peut rduire le dfaut d'isochronisme en rduisant la valeur de , par exemple, par deux ordres de magnitude 0.001. La figure 11 dmontre que l'orbite sur 10 tours ressemble beaucoup plus une ellipse stable et les don-nes de la figure 12 sont pratiquement acceptables.

Fig. 12 : Marche diurne par rapport lnergie de

loscillateur avec 0.001. On peut aussi rduire le dfaut d'isochronisme en augmen-tant la frquence nominale, par exemple, 10Hz et 0.01donnent un dfaut d'isochronisme comparable l'exemple prcdent.

Conception mcanique de loscillateur La section prcdente dmontre que pour atteindre un haut degr d'isochronisme, le moment d'inertie des organes tournants (masse et plateau) doit tre minimis. Pour ce qui est de la masse, la forme gomtrique qui minimise est un cylindre trs allong. Un cylindre de rayon a un mo-ment d'inertie 2 , donc 2 . Il s'en suit qu'un acceptable de l'ordre de 0.01ncessite 7 , ce qui veut dire, si l'on nglige le moment d'inertie du pla-teau , que le rayon de la masse cylindrique doit tre un ordre de grandeur plus petit que le rayon de l'orbite. Ressorts fronde (orbites en rotation). Une ralisation pratique du ressort fronde (ressort linaire simple un degr de libert sur plateau tournant) est illustre sur la figure 13.


Fig. 13 : Ressort fronde lame-ressort axiale. Il est constitu dune lame flexible en porte--faux quipe d'une masse en extrmit monte sur un support rotatif, de telle manire que l'axe de la lame soit confondu avec l'axe vertical de rotation (figure 13). Une bute radiale est re-quise pour viter que la masse ne puisse passer par le point neutre central (singularit cinmatique du mca-nisme). Le mcanisme est entran par un couple moteur mettant le plateau rotation.

Fig. 14 : Ressort fronde guidage deux lames parallle. Concept et dmonstrateur construit par lInstant-Lab.

Une construction amliore consiste guider la masse en translation radiale au moyen d'un guidage flexible deux lames parallles. Ce guidage confre la masse un unique degr de libert en translation radiale ainsi qu'une caract-ristique de force de rappel lastique linaire (figure 14).

Fig. 15 : Plante orbitant en translation, avec orientation constante.

Ressorts centraux (orbites en translation). Les construc-tions mcaniques prsentes dans les sections prc-dentes possdent toutes plusieurs pices tournantes. Ainsi, mme si leur gomtrie et leurs matriaux sont optimiss, le potentiel de rduction du moment d'inertie reste born. De manire minimiser radicalement et garantir un excel-lent isochronisme, il est impratif de rduire le nombre de pices tournantes. Ceci peut tre ralis en utilisant une masse voyageant sur son orbite sans changer d'orientation, telle une plante sur laquelle les dures du jour et de l'an-ne seraient identiques (figure 15). Le guidage flexible prsent sur la couverture du livre [13] est une implmenta-tion physique tonnamment antrieure d'une quinzaine d'annes au concept d'oscillateur isotrope moment d'iner-tie nul qu'elle matrialise (figure 16).

Fig. 16 : Ressort central monolithique guidages flexibles

dot de deux degrs de libert en translation (hauteur totale 30 mm).


Ce guidage contraint la masse mobile se translater selon deux degrs de libert, sur une surface sphrique. La masse tant en translation, son moment d'inertie n'inter-vient pas dans l'quation de mouvement : du point de vue du mcanisme, elle se comporte comme une masse ponc-tuelle18 avec 0. Ainsi, la place de se baser sur la rotation dun ressort dot dun degr de libert pour produire la loi de Hooke isotrope (ressorts fronde) nous considrons ici des ressorts dots de deux degrs de libert19 en translation plane prsentant une force de rappel lastique centrale linaire et isotrope20. Ces ressorts seront appels ressorts centraux puisquils ralisent le concept de force centrale en mca-nique classique o la force ne dpend que de la distance au centre (gravitation, force lectrostatique). Les ressorts centraux permettent une ralisation directe de mcanismes IsoSpring. La figure 17 illustre le concept de base avec deux ressorts identiques de mme rigidit , monts 90. Par la loi de Hooke, un petit dplacement du ressort horizontal ne produit qu'une force de rappel horizontale , et de mme, un petit dplacement du ressort vertical ne produit qu'une force de rappel verticale . Donc, pour un petit dplacement, o la plante est au point , la force de rappel est

, et la loi de Hooke isotrope reste valable : la force est ind-pendante de la direction et le ressort est isotrope. Cet argument dmontre qu'un tel ressort est isotrope au pre-mier ordre, puisque ceci est la signification formelle des diffrentiels , , etc.

Fig. 17 : Force de rappel isotrope k : .

Pour une ralisation pratique, en particulier en prsence de la gravit terrestre, il est ncessaire dadjoindre un guidage planaire la masse en plus des deux ressorts conceptuel-lement reprsents sur la figure 17. Certaines architectures 18 Notons que lannulation de linertie propre de la masse implique que sa trajectoire ne passe jamais par le centre de force, ceci en raison de la conservation du moment cintique. Les ressorts cen-traux rendent ainsi les butes mcaniques centrales (telles que celle de la figure 13) optionnelles. 19 Notons que les ressorts centraux dots de trois degrs de libert en translation permettent eux aussi, en principe, en labscence de gravitation terrestre, de reproduire le modle de Newton. 20 Ce concept est une idalisation, en pratique, nos ralisations auront des dfauts de linarit, isotropie et planarit que nous essayerons de quantifier, et pourraient aussi avoir plus que deux degrs de libert.

de guidages flexibles permettent de produire la fois les fonctions de guidage deux degrs de libert et de ressort isotrope, au sein dune seule et mme pice mcanique.

Fig. 18 : Tige ressort de section cylindrique caractris-tique lastique isotrope avec masse orbitant en gardant

son orientation autour de laxe de la tige fixe. La figure 18 prsente un premier exemple de ralisation simple dun tel ressort central bas sur une tige flexible de section circulaire en porte--faux, munie dune masse en extrmit. La tige peut avoir une section constante ou variable le long de son axe : tant quelle est un corps de rvolution, de sa symtrie rsulte un comportement las-tique isotrope. Notons quavec ce guidage la trajectoire de la masse a le dfaut de ne pas tre planaire. Notons ga-lement que le guidage constitu par la tige est dot de 5 degrs de libert [13], donc de 5 modes propres fondamen-taux et que seuls les deux premiers modes propres sont exploits pour la fonction doscillateur. La figure 19 prsente un second exemple de ressort central bas cette fois sur une architecture srielle compose de deux guidages flexibles deux lames parallles monts 90. Un tel guidage contraint la masse mobile se tran-slater dans un plan selon deux degrs de libert en transla-tion.

Fig. 19 : Ressort central compos de deux guidages flexibles lames parallles.

Des phnomnes de second ordre affectent l'isotropie de ce mcanisme. Il constitue toutefois une approximation quantifiable du ressort isotrope thorique. L'effet du dfaut rsiduel d'isotropie sur la chronomtrie n'a pas encore t quantifi ce jour. Il est le sujet de nos recherches en cours.

x

y

zP

Base


Les ressorts centraux deux degrs de libert tant d-nus de plateau tournant, les oscillations doivent tre entre-tenues par une transmission agissant directement sur la masse.

Entretien de loscillateur harmonique iso-trope ressort central Une proprit remarquable de l'oscillateur harmonique isotrope est que son mouvement est continu (pas darrt) et que son sens de rvolution est donc toujours le mme (pas dinversion de sens). Ceci permet d'envisager un entretien continu sans chappement. La figure 20 montre, titre d'exemple, une simple manivelle tlescopique, 3 de la figure, attache au mobile moteur, 2 de la figure, sur lequel agit le couple moteur . La manivelle est quipe d'une fente oblongue dans laquelle coulisse une goupille, 4 de la figure, attache la masse, 5 de la figure, suspendue sur le guidage flexible, 6 reprsent symboliquement sur cette figure. L'axe de rotation de la manivelle est confondu avec l'axe neutre du guidage flexible. Le couple moteur rsulte en une force tangentielle qui restitue l'oscillateur son nergie dissipe. Plus est grand, plus le rayon des orbites est grand, nanmoins, la priode de rvolution reste la mme, au dfaut rsiduel d'isochronisme prs. Dans cette construction, l'unique organe massif en rotation est la mani-velle et il est ais de rendre son inertie plusieurs ordres de grandeur plus faible que celle de la masse autour du centre de force de la suspension et d'atteindre ainsi thoriquement un excellent isochronisme.

Fig. 20 : Manivelle tlescopique pour lentretien continu de

loscillateur de type ressort central.

Conclusion Un oscillateur mcanique inspir directement du systme solaire isochrone imagin par Issac Newton est dcrit. Une architecture cinmatique supprimant l'essentiel des masses tournantes permet thoriquement d'atteindre un isochro-nisme compatible avec un garde-temps horloger. Cet oscil-lateur tant bi-dimensionnel, il est dot de modes

doscillation en rotation uni-directionnelle. Ceci permet un entranement continu : le maintien est ralis par une transmission mcanique simple, comme une manivelle tlescopique. L'chappement disparat ainsi du mouvement des montres mcaniques et le schma nergtique de-vient :

ENERGIE Transmission Oscillateur

Fig. 21 : Dmonstrateur IsoSpring fonctionnel construit par lInstant-Lab. La simplification mcanique rsultante, ainsi que la rduc-tion des pertes (absence des pertes de l'chappement et augmentation du facteur de qualit grce aux guidages flexibles) laissent envisager des garde-temps aux perfor-mances ingales en termes de rserve de marche et de prcision chronomtrique. Le temps, quant lui, redevient silencieux et continu, l'instar du mouvement des corps clestes, sa rfrence originelle.

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