isometries dans le plan -...

Isométrie Terminale

APROMARS_Koutiala_2012 1

ISOMETRIES DANS

LE PLAN

Association des Professeurs de

Mathématiques de la Région de

Sikasso et Sympathisants

Présenté par :

APROMARS/ section Kadiolo

7ème ASSEMBLEE GENERALE Koutiala

Du 28 au 30 Août

Année Scolaire 2011-2012



1 2

Introduction

En fin de classe de 11ème

SE (1ere

C), les élèves ont déjà étudié les isométries. En terminale il

s’agira de poursuivre cet entrainement et faire un point sur les isométries.

Il est important de noter que l’enseignement des « isométries » en terminale sciences exactes

(terminale C) se fait dans le chapitre intitulé : « 𝑖𝑠𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑒𝑠 𝑒𝑡 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑛 »,

suivant le découpage du programme. Cet enseignement doit permettre aux apprenants

de savoir écrire toutes isométries 𝑓 et 𝑕 comme composée de symétries orthogonales et

déterminer la composée 𝑓 ∘ 𝑕. Les nombres complexes à sa disposition, l’élève pourrait

traduire ses transformations en écriture complexe.

Nous n’avons pas l’intention de faire un cours, type à enseigner en classe de terminale SE,

mais plutôt « un voyage dans le pays des isométries ». Nous vous convions de nous suivre

dans notre voyage.

1 Généralité

1.1 Définition

On appelle isométrie du plan toute transformation 𝑓 qui conserve les distances, i.e. pour tous

points 𝑀1, 𝑀2, si 𝑀′1 = 𝑓 𝑀1 𝑒𝑡 𝑀′2 = 𝑓 𝑀2 alors on a : 𝑑 𝑀1;𝑀2 = 𝑑 𝑀′1;𝑀′2

Contre-exemple : une homothétie de rapport 2 n’est pas une isométrie.

1.2 Déplacement et antidéplacement

Définitions

Une isométrie qui conserve les angles orientés est un déplacement.

Une isométrie qui transforme les angles orientés en leurs opposés est un

antidéplacement

2 Isométries usuelles

Activité

Les triangles 1 et 2 sont deux triangles

équilatéraux et isométriques dont deux

cotés sont sur la même droite (support) et

ont un sommet commun.

Quelles sont les transformations usuelles

qui transforment 1 en 2 ? Pour chacune

donner leurs éléments caractéristiques respectifs. Justifier vos réponses.



2.1 Translation

Définition

On appelle translation de vecteur 𝑢 , notée 𝑡𝑢 , l’application du plan 𝐸 dans lui-même qui à tout

point 𝑀 associe le point 𝑀′ tel que : 𝑀𝑀 ′ = 𝑢 .

Propriété

𝑓 est translation si et seulement si pour tous points 𝑀 et 𝑁 d’images respectives 𝑀′ et 𝑁′, on

a :𝑀′𝑁 ′ = 𝑀𝑁 .

Théorème 1

Soit 𝑀 d’affixe 𝑧 et 𝑀′ son image d’affixe 𝑧′. 𝑡 est la translation de vecteur 𝑢 d’affixe b si et seulement si 𝑡 a pour écriture complexe

𝑧′ = 𝑧 + 𝑏

Démonstration

t est la translation de vecteur 𝑢 d’affixe b ce qui signifie que pour tout point 𝑀 𝑧 d’image

𝑀′ 𝑧′ , on a 𝑀𝑀 ′ = 𝑢 ie que pour tout point 𝑀 𝑧 d’image 𝑀′ 𝑧′ , 𝑧′ − 𝑧 = 𝑏 et donc 𝑡 a

pour écriture complexe 𝑧′ = 𝑧 + 𝑏

Théorème 2

La réciproque de la translation de vecteur 𝑢 est la translation de vecteur −𝑢 ie 𝑡𝑢 −1 = 𝑡−𝑢 .

Remarque : Une translation n’a aucun point fixe.

2.2 Rotation

2.2.1 Définition et théorème

Définition

Soit Ω un point et 𝜃 un nombre réel. On appelle rotation de centre

Ω et d'angle 𝜃, l'application, qui à tout point 𝑀 distinct de Ω,

associe le point 𝑀′ telle que : 𝛺𝑀′ = 𝛺𝑀 et 𝛺𝑀 ′; Ω𝑀 = 𝜃.

On la note 𝑟 Ω; 𝜃 .

Exemples :

L'application identique est une rotation d'angle 0.

𝑟 Ω; π est un demi-tour ou une symétrie centrale de centre Ω ou une homothétie de

centre Ω et rapport 𝑘 = −1.



Théorème 3

La réciproque de la rotation de centre Ω et d’angle 𝜃 est la rotation de centre Ω et d’angle – 𝜃

i.e 𝑟 Ω,𝜃 −1

= 𝑟 Ω,−𝜃

Remarque : une rotation n’a qu’un seul point fixe : le centre de la rotation

2.2.2 Expression complexe d'une rotation

Soit 𝑟 la rotation de centre Ω et d'angle 𝜃 . Les points 𝑀 et 𝑀′ sont tels que 𝑟 𝑀 = 𝑀′.

Soient 𝜔, 𝑧 𝑒𝑡 𝑧′ les affixes respectives des points Ω,𝑀 et 𝑀′

On a : Ω𝑀 = Ω𝑀′

𝛺𝑀 ′; Ω𝑀 = 𝜃 ce qui équivaut à :

𝑧 − 𝜔 = 𝑧′ − 𝜔

arg𝑧−𝜔

𝑧′−𝜔= 𝜃

Il en résulte que : 𝑧′−𝜔

𝑧−𝜔 = cos 𝜃 − 𝑖 sin𝜃 = 𝑒𝑖𝜃 . Donc 𝑧′ − 𝜔 = 𝑧 − 𝜔 𝑒𝑖𝜃

2.2.3 Expression analytique d’une rotation dans le plan

Soit 𝑟 la rotation de centre Ω et d'angle 𝜃. Les points 𝑀 et 𝑀′ sont tels que 𝑟 𝑀 = 𝑀′. Soient

𝜔, 𝑧 𝑒𝑡 𝑧′ les affixes respectives des points Ω,𝑀 et 𝑀′

Posons : 𝜔 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0, 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 et 𝑧′ = 𝑥′ + 𝑖𝑦′.

En utilisant la formule 𝑧′ − 𝜔 = 𝑧 − 𝜔 𝑒𝑖𝜃 , On montre que :

𝑥′ − 𝑥0 = cos𝜃 𝑥 − 𝑥0 − sin𝜃 𝑦 − 𝑦0

𝑦′ − 𝑦0 = sin𝜃 𝑥 − 𝑥0 + cos𝜃 𝑦 − 𝑦0

On vérifie que c'est de la forme : 𝑥′ = cos𝜃 𝑥 − sin𝜃 𝑦 + 𝑝

𝑦′ = sin𝜃 𝑥 + cos𝜃 𝑦 + 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des nombres

réels.

2.3 Réflexion

Définition

Dire que le point 𝑀′ est l’image du point 𝑀 par la réflexion d’axe ∆ signifie que :

Si 𝑀 appartient à l’axe ∆ alors 𝑀′ est confondu avec 𝑀.

Si 𝑀 n’appartient par à ∆ alors ∆ est la médiatrice du segment 𝑀𝑀′ . On la note 𝑆∆.

NB : A l’instar de la translation et de la rotation, la réflexion conserve l’alignement, les

longueurs et distance, le parallélisme et l’orthogonalité. Bref, elle ne déforme pas les figures.



Remarques :

L’ensemble des points fixes d’une réflexion est son axe.

La réflexion est appelée dans les classes antérieures par la symétrie axiale ou la

symétrie orthogonale.

Théorème 4

La réciproque de la réflexion d’axe ∆ est la réflexion d’axe ∆ ie 𝑆 ∆ −1 = 𝑆 ∆

Activité 2

Le plan est muni d’un repère orthonormé 𝑂, 𝐼, 𝐽 . Soit ∆ la droite d’équation : 𝑦 = 𝑥.

Déterminer l’expression analytique et l’écriture complexe de 𝑆 ∆.

3 Composition et décomposition d’isométries

3.1 Définition et propriété

Définition

On appelle Identité, on note 𝐼𝑑, l’application 𝑓 du plan telle que pour tout point 𝑀,𝑓 𝑀 = 𝑀

Propriété

Le composé de deux isométries est une isométrie.

Attention ! En général, l’ordre de composition des transformations est important, cette

opération n’est pas commutative : g ∘ 𝑓 ≠ 𝑓 ∘ g.

3.2 Composée de deux translations

Théorème 5

La composée de deux translation est une translation : 𝑡𝑣 ∘ 𝑡𝑤 = 𝑡𝑣 +𝑤

3.3 Composée de deux rotations

Théorème 6

Soient 𝑟1 et 𝑟2 deux rotation d’angle respectifs 𝜃1 et 𝜃2. On a :

Si 𝜃1 + 𝜃2 ≡ 0 2𝜋 alors 𝑟1 ∘ 𝑟2 est une translation.

Si 𝜃1 + 𝜃2 ≢ 0 2𝜋 alors 𝑟1 ∘ 𝑟2 est une rotation d’angle 𝜃1 + 𝜃2.

Démonstration

Dans le plan orienté, 𝑟1 et 𝑟2 ont pour écritures complexes respectives 𝑧′ = 𝑒𝑖𝜃1𝑧 +

𝑏1 𝑒𝑡 𝑧′ = 𝑒𝑖𝜃2𝑧 + 𝑏2



𝒟

∆

Il en résulte que 𝑟1 ∘ 𝑟2 a pour écriture complexe 𝑧′ = 𝑒𝑖𝜃1 𝑧′ = 𝑒𝑖𝜃2𝑧 + 𝑏2 + 𝑏1 ou encore

𝑧′ = 𝑒𝑖 𝜃1+ 𝜃2 𝑧 + 𝑒𝑖𝜃1𝑏2 + 𝑏1.

Ainsi, 𝑟1 ∘ 𝑟2 a une écriture complexe de la forme 𝑧′ = 𝑎𝑧 + 𝑏 avec 𝑎 = 1, c’est dont une

rotation ou une translation.

Par suite :

Si 𝜃1 + 𝜃2 ≡ 0 2𝜋 , 𝑒𝑖 𝜃1+ 𝜃2 = 1 et 𝑧′ = 𝑧 + 𝑒𝑖𝜃1𝑏2 + 𝑏1 alors 𝑟1 ∘ 𝑟2 est une

translation.

Si 𝜃1 + 𝜃2 ≢ 0 2𝜋 alors 𝑟1 ∘ 𝑟2 n’est plus une translation, donc c’est une rotation

d’angle 𝜃1 + 𝜃2.

Remarques

Pour situer le centre de 𝑟1 ∘ 𝑟2, on sait que :

Si 𝜃1 + 𝜃2 ≢ 0 2𝜋 alors 𝑟1 ∘ 𝑟2 est une rotation d’angle 𝜃1 + 𝜃2mais le théorème

ne nous donne pas son centre. On peut le situer en cherchant les images 𝐴′ 𝑒𝑡 𝐵′ par

𝑟1 ∘ 𝑟2 de deux points particuliers 𝐴 𝑒𝑡 𝐵

Illustration graphique

Soient 𝑟1 et 𝑟2 deux rotation d’angles

respectifs 𝜃1 et 𝜃2. Soient 𝐴 et 𝐵 deux

points du plan. On a :

𝑟2 𝐴 = 𝐴2 , 𝑟2 𝐵 = 𝐵2, 𝑟1 𝐴2 = 𝐴′

et 𝑟1 𝐵2 = 𝐵′.

Les droites ∆ et 𝒟 sont les

médiatrices respectives de

𝐴𝐴′ et 𝐵𝐵′ .

Le point Ω ,l’intersection de ∆ et 𝒟 ,

est le centre de la rotation 𝑟1 ∘ 𝑟2.

Le centre de la rotation sera alors le point d’intersection des médiatrices de 𝐴𝐴′ et 𝐵𝐵′ .

Si 𝜃1 + 𝜃2 ≡ 0 2𝜋 alors 𝑟1 ∘ 𝑟2 est une translation. On peut trouver son vecteur en

cherchant l’image 𝐴′ par 𝑟1 ∘ 𝑟2 d’un point particulier𝐴. Le vecteur de 𝑟1 ∘ 𝑟2 est alors

le vecteur 𝐴𝐴 ′



𝐻1𝐻2

3.4 La composée d’une rotation et d’une translation

Théorème 7

Soient 𝑡 une translation et 𝑟 une rotation d’angle 𝜃 tel que 𝜃 ≢ 0 2𝜋 . Alors, 𝑡 ∘ 𝑟 et 𝑟 ∘ 𝑡

sont des rotations d’angle 𝜃 non nul.

Démonstration

Dans le plan orienté, 𝑟 et 𝑡 ont respectivement pour écriture complexe 𝑧′ = 𝑒𝑖𝜃𝑧 + 𝑏1 𝑒𝑡 𝑧′ =

𝑧 + 𝑏2 d’où celle de 𝑟 ∘ 𝑡 est 𝑧′ = 𝑒𝑖𝜃 𝑧 + 𝑏2 + 𝑏1 = 𝑒𝑖𝜃𝑧 + 𝑒𝑖𝜃𝑏2 + 𝑏1. Or 𝜃 ≢ 0 2𝜋 ,

donc 𝑟 ∘ 𝑡 est une rotation d’angle 𝜃.

De façon analogue on montre que 𝑡 ∘ 𝑟 est une rotation d’angle 𝜃.

Remarque

Pour situer le centre de 𝑟 ∘ 𝑡 (respectivement 𝑡 ∘ 𝑟), on cherche l’image 𝐴′ et 𝐵′ de deux

points particulier 𝐴 et 𝐵 par 𝑟 ∘ 𝑡 (respectivement par 𝑡 ∘ 𝑟). Le centre de la rotation sera

alors le point d’intersection des médiatrices 𝐴𝐴′ et 𝐵𝐵′

3.5 Composée de deux réflexions

Propriété

La symétrie axiale est une application involutive, i.e. pour toute droite 𝐷, 𝑆𝐷 ∘ 𝑆𝐷 = 𝐼𝑑

Théorème 8

Soient 𝑠1 et 𝑠2 deux réflexions d’axe respectifs ∆1 et ∆2 de vecteurs directeurs respectifs 𝑢 1

et 𝑢 2.

Si ∆1 et ∆2 sont parallèles alors 𝑠1 ∘ 𝑠2 est une translation de vecteur 2𝑢 tel que

𝑡𝑢 ∆2 = ∆1

Si ∆1 et ∆2 sont sécantes en Ω alors 𝑠1 ∘ 𝑠2 est une rotation de centre Ω et d’angle

2 𝑢 2, 𝑢 1

Illustration 1

Soient 𝐷1 et 𝐷2 deux droite parallèles et 𝑀 un

point du plan. Si 𝐻1 est le projeté orthogonal de

M sur 𝐷1, on a 𝑀1 = 𝑆𝐷1 𝑀 tel que 𝑀𝑀1

=

2𝑀𝐻1 = 2𝐻1𝑀1

Si 𝐻2 est le projété orthogal de 𝑀1 sur 𝐷2, on a

𝑀2 = 𝑆𝐷2 𝑀1 tel que

𝑀1𝑀2 = 2𝑀1𝑀2

= 2𝑀1𝐻2 . D’où

𝑀𝑀2 = 𝑀𝑀1

+ 𝑀1𝑀2 = 2 𝑀𝐻1

+ 𝑀1𝐻2

= 2𝐻1𝐻2



𝑢

1

2𝑢

On a un vecteur fixe indépendant de M, ainsi ; 𝑆𝐷2∘ 𝑆𝐷1

= 𝑡2𝐻1𝐻2 .

L’ordre de la composition est important.

On a : 𝑆𝐷1∘ 𝑆𝐷2

= 𝑡2𝐻2𝐻1 et 𝐻1𝐻2 = −𝐻2𝐻1

Illustration 2

Soient 𝐷1 et 𝐷2 deux droites concourantes en 𝐼 et 𝑀 un point du plan. Soit 𝑀1 = 𝑆𝐷1 𝑀 et

𝑀2 = 𝑆𝐷2 𝑀1 alors 𝐼𝑀 = 𝐼𝑀1 = 𝐼𝑀2 et

𝑚𝑒𝑠 𝐼𝑀 , 𝐼𝑀2 = 𝑚𝑒𝑠 𝐼𝑀 , 𝐼𝑀1

+ 𝑚𝑒𝑠 𝐼𝑀1 , 𝐼𝑀2

𝑚𝑒𝑠 𝐼𝑀 , 𝐼𝑀2 = 2 𝜃1 + 𝜃2 (la mesure l’angle

est invariante).

𝑀2 est donc l’image de 𝑀 par la rotation de centre 𝐼

et d’angle 2𝜃 où 𝜃 est la mesure de l’angle de droite

𝐷1,𝐷2

Propriétés

Toute translation de vecteur 𝑣 peut être décomposée d’une infinité de façon comme

composée de deux réflexions dont les axes sont normaux à 𝑣 ; l’un d’eux pouvant être

choisi arbitrairement.

Toute rotation 𝑟 d’angle 𝜃 peut être décomposée, d’une infinité de manières

différentes possibles, comme 𝑠1 ∘ 𝑠2, composée de deux réflexions d’axes

∆1 et ∆2 sécants au centre de cette rotation et telle que 𝜃 = 2 𝑢 2,𝑢 1 avec 𝑢 1 et 𝑢 2

les vecteurs directeurs respectifs des axes ∆1 et ∆2. ( l’un des deux axes est choisi

arbitrairement)

3.6 Composée d’une translation et d’une réflexion Cette partie est traitée comme une activité de recherche. Ainsi nous allons essayer de voir le

type d’isométrie qui se cache derrière les composées

𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆ et 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 où 𝑡𝑢 et 𝑠∆ sont respectivement la

translation de vecteur 𝑢 non nul et la réflexion d’axe ∆.

Partons d’abord avec 𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆ puis déduisons 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 .

On peut envisager plusieurs cas suivant ce qu’est le

vecteur de translation par rapport à l’axe de la

réflexion.

Cas 1 : le vecteur 𝑢 est vecteur normal de ∆

Soit ∆′ l’image de la droite ∆ par la translation de

vecteur 1

2𝑢 .



Ainsi on a :

𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆ = 𝑠∆′ ∘ 𝑠∆ ∘ 𝑠∆ = 𝑠∆′ ∘ 𝑠∆ ∘ 𝑠∆ = 𝑠∆′ ∘ 𝑠∆ ∘ 𝑠∆ = 𝑠∆′ ∘ 𝐼𝑑 = 𝑠∆′

Par suite 𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆ = 𝑠∆′

Donc 𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆ est réflexion d’axe ∆ .

D’une manière analogue, en remplaçant ∆′ par ∆′′ image de la droite ∆ par la translation de

vecteur −1

2𝑢 , on montre que 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 est aussi réflexion d’axe ∆′′.

Conclusion

Lorsque le vecteur de translation est normal à l’axe de la réflexion, la composée de cette

translation par de cette réflexion ( ou cette réflexion par cette translation) est une autre

réflexion dont l’axe est parallèle au premier.

Cas 2 : le vecteur 𝑢 est un vecteur directeur de ∆

Jusqu’à ce moment les isométries que nous connaissons sont soit une rotation soit une

translation ou une réflexion.

Dans notre cas 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 (ou 𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆) est elle une rotation ? une translation ? ou une

réflexion ?

On peut reformuler cette question par : la composée 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 admet-elle au moins un point

fixe ?

Supposons que 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 admette au moins un point fixe 𝐹.

Soit 𝐹′ l’image de 𝐹 par la translation 𝑡𝑢 . D’où 𝐹𝐹 ′ = 𝑢 , 𝐹 et 𝐹′ sont distinct puisque 𝑢 est

non nul.

On a : 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 𝐹 = 𝐹 et 𝑡𝑢 𝐹 = 𝐹′ ⟹ 𝑠∆ 𝐹′ = 𝐹. Il en résulte que ∆ est la mediatrice

de 𝐹𝐹′ .

Si 𝐹′ est sur l’axe ∆ alors 𝐹′ = 𝐹. Ce qui est absurde car 𝐹′ et 𝐹 sont distincts.

Supposons que 𝐹′ n’est pas sur ∆

𝑢 étant un vecteur directeur de ∆ , les vecteurs 𝑢 et 𝐹𝐹 ′ sont orthogonaux. Ce qui est aussi

absurde car nous avions montré que ces deux vecteurs était égaux.

Ces absurdités nous permettent de dire que 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 n’est ni une rotation (un point fixe qui est

son centre), ni une réflexion (les points fixes sont ceux de l’axe de la réflexion).

Ceci étant, nous pouvons relancer l’analyse en

essayant de répondre à la question suivante :

𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 est-elle une translation ?

Plaçons nous dans la situation suivante :

𝐴 et 𝐵 sont deux points du plan tels que 𝐵

appartienne à ∆ et que 𝐴 ne l’appartienne

pas. Soient 𝐴′ et 𝐵′ leurs images respectives

par la translation de vecteur 𝑢 . Appelons 𝐴′′

l’image de 𝐴′ par 𝑠∆.

On a : 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 𝐴 = 𝐴′′ 𝑒𝑡 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 𝐵 = 𝐵′

𝑢



Par suite

𝐴𝐴 ′′ = 𝐴𝐴 ′ + 𝐴′𝐴 ′′ = 𝑢 + 𝐴′𝐴 ′′

= 𝐵𝐵 ′ + 𝐴′𝐴 ′′ ≠ 𝐵𝐵 ′

Donc 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 n’est pas une translation sinon on aurait 𝐴𝐴 ′′ = 𝐵𝐵 ′.

Nous pouvons donc conclure que 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 n’est ni une translation, ni une rotation, ni réflexion.

Cette nouvelle isométrie est appelée symétrie glissée.

Activité : la composition est rarement commutative.

Montrer que dans notre cas 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 = 𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆

Démonstration (voir annexe)

Nous devons montrer que pour tout point 𝐴, on a : 𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆ 𝐴 = 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 𝐴

Possibilité 1 : 𝐴 ∈ ∆

Soit 𝐴′ l’image de 𝐴 par 𝑡𝑢 . On a : 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 𝐴 = 𝑠∆ 𝐴′ = 𝐴′ et 𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆ 𝐴 = 𝑡𝑢 𝐴 = 𝐴′.

Donc pour tout point 𝐴 de l’axe ∆ , 𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆ 𝐴 = 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 𝐴 .

Possibilité 2 : 𝐴 ∉ ∆

Soient 𝐵, 𝐴′ et 𝐴′′ deux points tels que 𝑠∆ 𝐴 = 𝐵, 𝑡𝑢 𝐴 = 𝐴′ et 𝑠∆ 𝐴′ = 𝐴′′

On a : 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 𝐴 = 𝐴′′. Nous devons montrer que 𝑡𝑢 𝐵 = 𝐴′′.

Le vecteur 𝑢 étant un vecteur directeur de ∆ , les droites 𝐴𝐴′ et 𝐼𝐽 sont parallèles. De

plus, les droites 𝐴𝐼 et 𝐴′𝐽 étant perpendiculaires à l’axe ∆ , elle sont parallèles.

Il en résulte que le quadrilatère 𝐴𝐴′𝐽𝐼 est un parallélogramme.

D’où 𝐴𝐴 ′ = 𝑢 = 𝐼𝐽 𝑒𝑡 𝐴𝐼 = 𝐴′𝑗

Comme 𝐼 𝑒𝑡 𝐽 sont les milieux respectifs des segments 𝐴𝐵 𝑒𝑡 𝐴𝐴′′ , on a :

𝐼𝐵 = 𝐴𝐼 = 𝐴′𝑗 = 𝐽𝐴 ′′.

Par suite : 𝐼𝐽𝐴′′𝐵est un parallélogramme, d’où 𝐵𝐴 ′′ = 𝐼𝐽 = 𝑢

Donc 𝑡𝑢 𝐵 = 𝐴′′. Par conséquent 𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆ 𝐴 = 𝐴′′.

On peut donc conclure que pour point 𝐴, on a : 𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆ 𝐴 = 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 𝐴

Cas 3 : le vecteur 𝑢 n’est pas un vecteur directeur de ∆ et n’y est pas normal

Le vecteur 𝑢 peut être vu comme étant la somme d’un vecteur directeur 𝑣 de ∆ et de l’un de

ses vecteurs normaux 𝑤 .

Par suite, on a : 𝑡𝑢 = 𝑡𝑣 ∘ 𝑡𝑤 = 𝑡𝑤 ∘ 𝑡𝑣

𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 = 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑤 ∘ 𝑡𝑣 = 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑤 ∘ 𝑡𝑣 = 𝑠∆′ ∘ 𝑡𝑣



En effet 𝑤 étant normal à ∆ , 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑤 est une réflexion d’axe ∆′ qui parallèle à ∆ . En plus

𝑣 étant un vecteur directeur de ∆ , il est aussi un vecteur directeur de ∆′ .

Par conséquent : 𝑠∆′ ∘ 𝑡𝑣 est une symétrie glissée.

On peut conclure que si le vecteur 𝑢 n’est pas un vecteur directeur de ∆ et n’y est pas

normal alors 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 est une symétrie glissée.

De même :

𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆ = 𝑡𝑣 ∘ 𝑡𝑤 ∘ 𝑠∆ = 𝑡𝑣 ∘ 𝒕𝒘 ∘ 𝒔∆ 𝑤 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 à ∆

𝑐 ′ 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑛𝑒 𝑟é𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑑 ′ 𝑎𝑥𝑒 ∆′

𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙 è𝑙𝑒 à ∆

= 𝑡𝑣 ∘ 𝑠∆′ 𝑣 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙 è𝑙𝑒 à ∆′

𝑐 ′ 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑦𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑙𝑖𝑠𝑠 é𝑒

On peut donc résumer que la composée réflexion et d’une translation est soit une autre

réflexion d’axe parallèle (lorsque le vecteur de translation est normal à l’axe de symétrie) soit

symétrie glissée.

3.7 Composée d’une rotation et d’une réflexion

Considérons la rotation 𝑟 𝐴,𝛼 et la réflexion 𝑠∆. On suppose que l’angle 𝛼 ≢ 0 2𝜋 .

𝑟 𝐴,𝛼 peut être vue comme une composée de deux réflexions 𝑠𝐷 et 𝑠𝐷′ dont les axes sont

sécants en 𝐴 et dont l’angle orienté 𝐷;𝐷′ mesure 1

2𝛼.

Nous choisissons la droite 𝐷 tel que 𝐷 ∥ ∆ alors on a :

𝑟 𝐴,𝛼 ∘ 𝑠∆ = 𝑠𝐷′ ∘ 𝑠𝐷 ∘ 𝑠∆ = 𝑠𝐷′ ∘ 𝑠𝐷 ∘ 𝑠∆ 𝐴𝑥𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙 è𝑙𝑒𝑠

𝑐 ′ 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑛𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑢 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑢𝑥 𝑎𝑥𝑒𝑠

= 𝑠𝐷′ ∘ 𝑡𝑢 𝑢 𝑛 ′ 𝑒𝑠𝑡𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 à 𝐷′

𝑐 ′ 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑦𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑙𝑖𝑠 𝑠é𝑒

Avec un raisonnement analogue on montre que est 𝑠∆ ∘ 𝑟 𝐴,𝛼 aussi une symétrie glissée.

On peut donc conclure que la composée d’une rotation et d’une réflexion est une symétrie

glissée.

Attention ! la symétrie glissée 𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 n’est pas nécessairement la symétrie glissée 𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆.

(voir annexe)

Théorème 9

L’ensemble des isométries est formé de l’identité, des translations, des réflexions, des

rotations et des symétries glissées.

Toutes isométries peut se décomposer en produit de réflexions.

Remarque

Un déplacement est la composée d’un nombre pair de réflexion et un antidéplacement d’un

nombre impair de réflexion.



3.8 Reconnaissance des isométries selon le nombre de points invariants

Théorème 10

Soit 𝑓 une isométrie du plan

Si 𝑓 admet trois points invariants, non alignés, alors 𝑓 = 𝐼𝑑

Si 𝑓 est différente de 𝐼𝑑 et admet deux points invariants, distincts, 𝐴, 𝐵, alors 𝑓 est

une symétrie d’axe 𝐴𝐵 .

Si 𝑓 admet un seul point invariant alors 𝑓 est une rotation de centre ce point.

Si 𝑓 n’admet aucun point invariant alors 𝑓 est une translation ou une symétrie glissée.

Activité-bilan

A la fin de ce voyage, on pourrait faire l’inventaire des espèces dans le fameux pays des

isométries. Quels les espèces dans le pays ? Quels les particularités de chacune des espèces ?

Exercices

Exercice 1

On donne deux points distincts 𝑂1 et 𝑂2 et deux angles 𝛼1 et 𝛼2 .

Soient 𝑟1 et 𝑟2deux rotations de centre respectifs 𝑂1, 𝑂2 et d’angles orientés respectifs 𝛼1 ,

𝛼2 .

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de 𝑟2 ∘ 𝑟1.

Exercice 2

Soit 𝑡𝑢 la translation de vecteurs 𝑢 et 𝑟 𝐴,𝛼 la rotation de centre 𝐴 et d’angle 𝛼 .

Déterminer la composée 𝑡𝑢 ∘ 𝑟 𝐴,𝛼 .

Exercice 3

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle isocèle en 𝐴 et 𝑟 la rotation de centre 𝐴 et d’angle 𝛼 = 𝐴𝐵 ,𝐴𝐶 . A

tout point 𝑀, distinct de 𝐵 et 𝐶, on associe le point 𝑀′ tel que : 𝑀′ = 𝑟 𝑀 .

1) Démontrer que : 𝑀𝑒𝑠 𝑀𝐶 ,𝑀′𝐶 ≡ 𝑀𝑒𝑠 𝑀𝐶 ,𝑀𝐵 + 𝛼 𝜋

2) En déduire le lieu des points M tels que les points 𝐶, 𝑀 et 𝑀′ soient alignés.

Exercice 4

Le plan est muni du repère orthonormé 𝑂, 𝑖 , 𝑗 .

Soient ∆ :𝑥 − 𝑦 = 1 ∆′ : y = 2 et 𝐷 :𝑥 + 𝑦 = 1, déterminer la nature et les

éléments caractéristiques de 𝑠∆ ∘ 𝑠𝐷et 𝑠∆′ ∘ 𝑠𝐷.



Annexe

fig_𝑠∆ ∘ 𝑡𝑢 fig_𝑡𝑢 ∘ 𝑠∆.

𝑢 est un vecteur directeur de ∆

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