Triangles semblables-théorème de Thalès

I. Triangles semblables. Angles

Deux triangles sont semblables s’ils ont la même « forme » mais pas la même « taille ».

Définition

Des triangles semblables sont des triangles qui ont leurs angles deux à deux de même mesure.

Propriété

𝐴𝐵𝐶 et 𝐷𝐸𝐹 sont deux triangles. Si 𝐴 = 𝐷 (angles égaux) et 𝐵 = 𝐸 (angles égaux) alors 𝐶 = 𝐹

(angles égaux).

Remarque : pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit de prouver qu’ils ont

deux de leurs angles égaux.

Exemple :

ABC sont deux triangles tels que 𝐴 = 𝐼 = 40° et 𝐵 = 𝐾 = 60°. La propriété précédente permet de

conclure que ces deux triangles sont semblables.

Vocabulaire

Lorsque deux triangles sont semblables :

Un angle d’un triangle et celui de même mesure de l’autre triangle sont dits homologues.

Les sommets (ou les côtés opposés) de deux angles homologues sont aussi dits homologues.

Remarque

Les côtés du « grand triangle » IJK sont un certain nombre de fois (𝒌 fois) plus grands que les côtés

du « petit triangle » ABC.

𝐾𝐽 = 𝒌 × 𝐵𝐶 ; 𝐼𝐽 = 𝒌 × 𝐴𝐶 ; 𝐾𝐼 = 𝒌 × 𝐴𝐵

On dit que le « grand triangle » est un agrandissement de coefficient 𝒌 du « petit triangle ».

II. Triangles semblables. Longueurs

Propriété

Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés sont deux à deux

proportionnelles. Ce qui se traduit par des égalités de rapports de longueurs.

Exemple

Propriété

Si les longueurs des côtés de deux triangles sont deux à deux proportionnelles, alors ces triangles

sont semblables.

Exemple

III. Cas particulier : Configurations de Thalès

Configuration type « triangles » Configuration type « papillon »

Les droites (CN) et (BM) sécantes en A sont coupées par deux droites parallèles (BC) et (MN).

Le théorème de Thalès permet d’écrire ces égalités de rapport de longueurs.

𝑨𝑴

𝑨𝑩=

𝑨𝑵

𝑨𝑪=

𝑴𝑵

𝑩𝑪

(Celles-ci proviennent du fait que dans les deux configurations, les triangles AMN et ABC sont

semblables

Remarque : Attention, lorsque vous utilisez le théorème de Thalès, il ne faut pas vous contenter de citer les

égalités de rapport de longueur seulement. Il faut faire apparaître sur la copie le raisonnement complet (je

sais que je suis en présence d’une configuration de Thalès, j’utilise le théorème de Thalès donc je déduis

les égalités de rapport de longueur)

Exemple 1 (configuration type « triangles »)

Données :

Question : Calculer CG et IJ.

Les points C,I,E et C,J,G sont alignés. Les droites (EG) et (IJ) sont parallèles

Les droites (EI) et (JG) se coupent en C et les droites (EG) et (IJ) sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès, on a : 𝐶𝐼

𝐶𝐸=

𝐶𝐽

𝐶𝐺=

𝐼𝐽

𝐸𝐺

2

6=

1,5

𝐶𝐺 𝑑′𝑜ù 𝐶𝐺 =

6×1,5

2= 4,5 𝑐𝑚 ;

26

= 𝐼𝐽2,7

𝑑′𝑜ù 𝐼𝐽 = 2×2,7

6= 0,9 𝑐𝑚

CG=4,5 cm et IJ=0,9 cm

Exemple (configuration type « papillon »)

Données :

Les points M,R,S et N,R,T sont alignés. Les droites (MN) et (TS) sont parallèles

Question : Calculer RT et TS.

Les droites (MS) et (NT) se coupent en R et les droites (MN) et (TS) sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès, on a :

𝑅𝑀

𝑅𝑆=

𝑅𝑁

𝑅𝑇=

𝑀𝑁

𝑇𝑆

4,5

1,8=

3

𝑅𝑇 𝑑′𝑜ù 𝑅𝑇 =

3×1,8

4,5= 1,2 𝑐𝑚 ;

4,5

1,8=

4

𝑇𝑆 𝑑′𝑜𝑢 𝑇𝑆 =

4×1,8

4,5= 1,6 𝑐𝑚

RT=1,2 cm et TS=1,6 cm