Facult de Mdecine dOranLaboratoire de Biostatistique INTRODUTION AUX CALCUL DES PROBABILITES

BOUKERMA AMEUR

ELEMENTS DU CALCUL DES PROBABILITES

I. Dnombrement et analyse combinatoireOn dit quun ensemble est dnombrable si on peut numroter ses lments pour les compter. L'analyse combinatoire comprend un ensemble de mthodes qui permettent de dterminer le nombre de tous les rsultats possibles d'une exprience particulire.I-1: ARRANGEMENTS 1-1- Arrangement sans rptition:On appelle arrangement sans rptition ou arrangement tout court, de n lments p p (n p) tout ensemble ordonn de p de ces lments, tous distincts. Un arrangement est donc caractris par la nature des lments ou par leur ordre.D'o = n.(n1) (n2)(np+1) =

Exemple (1):

Tierc dans l'ordre dans une course de 14 chevaux.A 314 = 14x13x12 = 14 / (14 3) = 2184 fois

Exemple (2): Une squence DADN est constitue dun enchanement de 4 nuclotides [ A (Adnine), C( cytosine), G( Guanine) et T( Thymine) ]. Il existe diffrents arrangements possibles de 2 nuclotides ou dinuclotides p=2 et n = 4 A 2 4 = 4! / (4-2)! = 12 dinuclotides possibles

I-2: PERMUTATIONS 1-2- Permutation sans rptitions:Une permutation de n objets est un ensemble ordonn de ces n objets. Les permutations de ces n objets constituent un cas particulier des arrangements. C'est le cas o n= p. Deux permutations ne diffrent que par l'ordre des objets.Calcul de P n = An n= n / (n n) = n (n 1) (n -2) .. = nExemple:Le nombre de manires de placer 8 mdecins autour dune table. P8 = 8 = 8 (8-1) (8 -2). . 1= 40320 possibilits.

I-3: COMBINAISONS I-3-Combinaison sans remiseOn appelle combinaison de p lments pris parmi n (n p), tout ensemble que l'on peut former en choisissant p de ces lments, sans considration d'ordre. Deux combinaisons distinctes diffrent donc par la nature d'au moins un lment. Calcul de D'o C p n = A / p= n / p (n - p) Exemple (1): Nombre de tierc dans dsordre dans une course de 14 chevaux: C 214 = 14.13. 12 / 3.2.1 =364 manires

Exemple (2): Dans le cadre de lexemple de la squence dADN, le nombre de dinuclotides attendus sans tenir compte de lordre des bases dans la squence est donc C 2 4= 4! /2!(4 - 2)!= 43 /2 1= 6 dinuclotides

II: Proprits et remarques: II-1.Proprits des combinaisons

II-2. Binme de NewtonLa formule du binme de Newton correspond la dcomposition des diffrents termes de la Puissance ime du binme (a+b).

II-3 Triangle de Pascal

III: Notions de base de calcul des probabilits. III-1. Phnomnes dterministes: sont prvisibles donnent un rsultat qui ne dpend pas dune loi de probabilit. Ils donnent le mme rsultat lorsquon rpte lexprience. III-2. Phnomnes alatoires: sont dus en partie au hasard mais suivent des lois de probabilit. Le rsultat est variable mais la rpartition des rsultats est prvisible. III-3. Notions de probabilit: Dans la statistique descriptive, on a dfini la frquence relative Fi =ni /n ni: la frquence absolue (ou le nombre de rptition Xi) n: la taille de lechantillion tudi

Exemple (1):

On jette une pice de monnaie 10 fois, 50 fois; 100 fois, 200 fois, 500 fois, 1000 fois, 5000 fois.

Nombre de jets105010020050010005000

Convergence en probabilitSi lon rpte N fois une exprience dans laquelle la probabilit dapparition dun vnement A est P, la frquence de cet vnement au cours des N expriences, n/N tend vers P lorsque N tend vers linfini N > n/N P f (xi) p(xi) quand n

f (xi) P(xi) quand n

IV: Notions dpreuves- vnements- probabilit:

IV. a preuve ou exprience: Est un ensemble de conditions prcises caractrisant un processus la suite duquel lvnement est ralis ou non.

IV. b vnement: ventualit qui peut ou non se raliser durant une preuve. 1- vnement lmentaire: ne peut tre dcompos 2- vnement compos: peut- tre obtenu par une combinaison dvnements lmentaires.

Exemple: Lorsquon jette un d de six faces: A -" Avoir le chiffre 6 " est un vnement lmentaire b- " Avoir un chiffre pair " est un vnement compos de trois vnements lmentaires: Avoir le chiffre 2" " le chiffre 4 " et le chiffre 6

IV. c La probabilitQuand une preuve peut avoir rsultat un ensemble de N cas et que n de ces cas son favorables un vnement A alors la probabilit que A se ralise

P (A) = n / N Comme 0 n N en divisant par N 0 n /N 1 0 P (A) 1

Exemple (1): Quelle est la probabilit davoir pile en lanant une pice de monnaie bien quilibre?a- preuve ou exprience alatoire: " Jeter une pice de monnaie quilibre " b- vnement (A): " Obtenir pile "P (A) = n /N = 1/2 = 0.5

Exemple (2): Une urne contient une boule blanche (1B) et une boule noire (1N).On fait 2 tirages avec remise .Quelle est la probabilit davoir 2 Noires?On a E= {(N, N);( B, B); (B, N); (N, B)}vnement A: " avoir 2 Noires " : {(N, N}P (A) = n/N= 1/4

V- b: vnement impossible: Si le nombre de cas favorables de lvnement A est nul. P (A) = 0 /N =0 A est un vnement impossible. Aucune chance pour que la maladie M soit prsente

V- c: vnement certain: Si le nombre de cas favorables de lvnement A est non nul (n =N) P (A) = N /N=1 A est un vnement certain. La maladie M est prsenteV: vnement: Contraire Impossibilit Certitude V- a: vnement contraire: Si A est un vnement quelconque, alors P () = 1 - P (A) Ainsi si parmi N cas possible, n sont favorables lvnement A, (N n) sont favorables P ( ) = N n / N = 1 n /N = 1 p (A ) P (A) + P () =1

VI:Thorme des probabilits totales: Soient A est B deux vnement dont le nombre de cas favorable sont respectivement n1et n2.Cherchons la probabilit de lvnement " A ou B " Not A B.P (A U B) = Nbre de cas favorables " A u B " / Nbre de cas possiblesP (A UB) = n1+ n2./ N = n1/ N + n2/ N = P (A ) +P ( B ). An1Bn2P (A UB)= P (A ) +P ( B). On peut gnraliser ce rsultat pour plusieurs vnements sexcluant mutuellement (Incompatibles). Soient les vnements: A1, A2, A3,.An 2 2 incompatibles

P ( A1U A2 U A3,U.An ) = P (A1 ) +P ( A2 ) +.+ P(An )

tant donn deux vnement A et B (ils peuvent se raliser en mme temps ). Donc lvnement " A et B " peut se produire.N: nombre de cas possibles.n1: nombre de cas favorables A .n2: nombre de cas favorables Bn3: nombre de cas favorables A et BLa probabilit davoir " A et B" note P (A B); donc P (A B)= n3 / N Cherchons la probabilit de " A ou B" P (A U B ) = n1 +n2 n3 / N = n1/N +n2/ N n3/N = P (A) +P(B ) P ( A B)P ( A U B ) = P (A) + P(B ) P ( A B)Si on a 3 vnements quelconques:P(AUB C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P(A C)-P(B C)+P(A B C)

Exemple:On lance un d 6 faces bien quilibr, on considre lvnement A le rsultat est pair et lvnement B le rsultat est un multiple de trois .On a alors :A = {2, 4, 6} et B = {3,6} donc {A U B} = {2, 3, 4,6} et {A B} = {6}Avec P (A) = 3/6 P (B) = 2/6 P (AUB) = 4/6 P (A B) = 1/6On vrifie alors que : P (A B) = P (A) +P (B) P (A B)=3/6+2/6 1/6 = 4/6VII- Thorme des probabilits composes:

VII-1.Les Probabilits conditionnelles: Soient deux vnements A et B raliss respectivement n et m fois au cours de N preuves. On a donc P (A)= n/ N et P (B) = m/ N. Si de plus A et B sont raliss simultanment k fois, on a P (A B)= k/N. Que peut-on dduire sur la probabilit de l'vnement B sachant que l'vnement A est ralis? Cette probabilit est appele probabilit conditionnelle de B sachant A et se note P (B/A). Dans notre cas,on a P (B/A) =k/n. Par dfinition, on a

P (B/A)= P (A ) / P (A) et P (A/B)= P (A B)/P (B)

Exemple (1): A un concours, 40% des tudiants chouent en physique, 25% en chimie, 20% en physique et chimie. On choisit un tudiant au hasard.a) Si ltudiant a chou en chimie, quelle est la probabilit quil ait aussi choue en physique?b) Quelle est la probabilit quil ait chou en physique ou en chimie?Appelons P Lvnement " choue en physique " C Lvnement " choue en chimie " a) La probabilit demande est une probabilit conditionnelle.P (P/C)= P( P C)/P(C) = 0.20/0.25= 0.8 b) La probabilit pour que ltudiant choue en physique ou en chimie est une probabilit totale.P (P C)= P (P) + P(C) - P (P C) = 0.4 + 0.25 -0.20= 0.45

Exemple (2): Considrons une famille dont nous savons quelle a deux enfants.1. Quelle est la probabilit que les deux enfants soient des garons sachant que Lan est un garon ?2. Quelle est la probabilit que les deux enfants soient des garons sachant quil y a au moins un garon ?

Question 1:

Soit A lvnement : lan est un garon et B lvnement : les deux Enfants sont des garons. On cherche alors calculer : P (B/A). E = A B = {GG, GF, FG, FF} Avec A= {GG, GF}, B = {GG} et A B = {GG} P (A)= 2/4=1/2 P (B)=1/4 P (A B)=1/4 Do par dfinition : P (B/A).= P (A B)/ P (A)= 1/4/1/2=1/2 Question 2: Soit C lvnement : il y a au moins un garon. On cherche alors calculer : P (B/C) E = A B = {GG, GF, FG, FF} Avec C = {GG, FG, FG}, B = {GG} et c B = {GG} P(C)= 3/4= P (B)=1/4 P(C B)=1/4 Do par dfinition: P (B/C).= P (C B)/ P (C)= 1/4/3/4=1/3

VII-2. Les Probabilits indpendantes:On dit quun vnement B est indpendant un vnement A si la probabilit pour que B se produire nest pas influence par le fait que A se soit ou ne soit pas produit.Dune manire gnrale, on peut remarquer que: Si P (A) 0 et P (B 0) P (B/A) = P (B) et P (A/B = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

Exemple (1):

On lance un d 6 faces bien quilibr, on considre lvnement A le rsultat est pair et lvnement B le rsultat est un multiple de trois sont statistiquement indpendants.En effet, soitA = {2, 4, 6} et B = {3,6} donc A U B = {2, 3, 4,6} et A B = {6}Avec P (A) = 3/6 P (B) = 2/6 P (A B) = 1/6On vrifie alors que: P (A B)= P (A) P (B)= 3/6 .2/6 = 1/6

Exemple (2)

Si lon considre une famille de deux enfants, les deux vnements : A enfants de sexe diffrent et B au plus une fille ne sont pas statistiquement indpendants.En effet, lespace probabilis, contient 4 vnements lmentaires (si lon considre une famille ordonne:E = A B = {GG, GF, FG, FF}Avec A = {GF, FG}, B = {GG, GF, FG} et A B = {GF, FG}Do sous lhypothse dquiprobabilit : P (A) = 1/2, P (B) = 3/4 et P (A B) =1/2On vrifie alors que : P (A B) P (A) P (B) = 1/2 X 3/4 = 3/8 1/ 2

REMARQUE:

Deux vnements A et B sont dits indpendants si P (AB)=P (A).P (B) ou encore si P (B/A)=P (A) (l'information sur la ralisation de A n'apporte rien l'vnement B) et P (A/B)= P (A).

Attention : 1) indpendant incompatible. 2) P (A B)=P (A).P (B) et sont indpendants uniquement.