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Introduction : analyse graphique et erreurs de mesure

Travaux Pratiques de physique



Plan

I. Analyse graphique :Lors d’une expérience de physique, on est souvent amené à faire une représentation graphique des résultats.

II. Erreurs :On doit, aussi, systématiquement évaluer l’erreur qui entache une mesure.


Analyse graphique

I. Analyse graphique


Analyse graphique

• Axes orthogonaux orientés : nom de la variable, symbole, unités

• Titre donnant plus d’informations que le nom des axes

• Unités et échelles appropriées + repères sur les axes (pas les valeurs mesurées). Ne tenez pas compte de ceux déjà présents.

• L’échelle doit permettre à la courbe d’occuper le plus d’espace possible sur la feuille => bien adapter l’échelle de chacun des axes, ne pas nécessairement commencer par zéro

• Report des barres d'erreurs

• Points expérimentaux marqués visiblement


Analyse graphique

T itre

en ab sc isse s : v a riab le in d ép en d an te (pa r e x . x )

en o

rdon

nées

: va

riab

le d

épen

dant

e (p

ar e

x. y

= f

(x)

)

n om de la va riab le ,sy m b o le ,u n ité s

nom

de

la v

aria

ble

,sy

mb

ole,

uni

tés


Analyse graphique

Un graphique permet de visualiser la loi suivie par un phénomènes physique. Souvent ces lois peuvent être exprimées par trois types de fonctions :

Linéaire Loi de puissance Exponentielle

y = ax + b y = βxn y = aebx

Normal ou linéaireles deux échelles sont

linéaires

Semi-LogUne échelle est linéaire,

l’autre logarithmique

Log-LogLes deux échelles sont

logarithmiques

=> Utilisation de différents types de graphes :


Analyse graphique

Mais qu’est-ce qu’une échelle linéaire ?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

La distance entre deux graduations de l’échelle est proportionnelle à l’écart entre les valeurs de la grandeur représentée.

Et une échelle logarithmique ? 1 2 3 4 5 6

La distance entre deux graduations de l’échelle est proportionnelle à l’écart entre les logarithmes (décimaux) de la grandeur représentée.

Δx Δx Δx Δx…

÷ log(2)

÷ log(3)


Analyse graphique

0 1 2 3 4 5 6 7

1

10

100

1000

10000

X 10

X 10

X 10

X 10

34

2

5

4030

20

……

• L’échelle logarithmique est constitué d’un motif qui se répète

• Chaque motif est constitué d’une « base » (en rouge)

• Chaque « base » est séparée du suivant d’un facteur dix

• A l’intérieur de chaque motif, les lignes représentent des multiples de la base correspondante

• Les nombres négatifs ne peuvent pas être représentés en échelle log

• Le zéro n’est pas représenté en échelle log

50


Analyse graphiqueLes graphes log-log et semi-log permettent de mieux visualiser les lois de puissances et d’exponentielle.

Linéaire Loi de puissance Exponentielley = ax + b y = βxn y = aebx

Semi-LogLog-Log


Analyse graphique

Exemple de graphe linéaire : force nécessaire pour allonger un ressort

Expérience d'élongation d'un ressort

Elongation d (10-2m)

0 1 2 3 4 5 6 7

Fo

rce

F (

10

-3 N

)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

y mx p


Analyse graphique

Exemple de graphe linéaire : force nécessaire pour allonger un ressort

Expérience d'élongation d'un ressort

Elongation d (10-2m)

0 1 2 3 4 5 6 7

Fo

rce

F (

10

-3 N

)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

y mx p

La « meilleure droite » :

• Passe au plus près des points expérimentaux, en passant dans toutes les barres d’erreurs

• Si pas possible, avoir autant de points au dessus de la droite qu’en dessous


Analyse graphique

Que peut-on tirer de ce type de graphe linéaire :

La droite de la pente m,L’ordonnée à l’origine p,

•Choisir deux points bien éloignés P1(x1,y1) et P2(x2,y2) de la droite,

•Pour la pente de la droite :

•Pour l’ordonnée à l’origine :

Dans l’exemple de l’élongation du ressort, la pente de la droite correspond à la constante de rappel du ressort, qu’on peut donc déterminer grâce au graphe F en fonction de d.

2 1

2 1

y ym

x x

y mx p

1 1 2 2 ou p y mx p y mx


Analyse graphique

Propagation d'une épidémie

temps (jours)

0 2 4 6 8 10

No

mb

re

de

ma

lad

es

1

10

100

1000

P1 (t1, N1)

P2 (t2, N2)

N2

N1

t1 t2

Exemple de graphe semi-log : croissance exponentielle du nombre de malades au début d’une épidémie

bxy a e


Analyse graphique

Que peut-on tirer de ce type de graphe semi-log :Des résultats suivant une loi exponentielle vont se placer suivant une droite sur le graphe semi-log :

On peut trouver l’argument de l’exponentielle, a, et le facteur b.

•Choisir deux points bien éloignés de la courbe : P1(x1,y1) et P2(x2,y2),

•Pour b :

•Pour a :

Dans l’exemple de l’épidémie, on peut déterminer le facteur T de croissance exponentielle du nombre de malades grâce au graphique.

ln lnbxy a e y a bx

2 1

2 1

ln lny yb

x x

1 1 2 2ln ln ou ln lna y bx a y bx


Analyse graphique

Exemple de graphe log-log : évolution de la distance de freinage d’une voiture en fonction de sa vitesse initiale

Expérience de freinage d'une voiture

vitesse initiale (km/h)

10 100 1000

dis

tance

de frein

age (

m)

10

100

1000

P1 (v1, d1)

P2 (v2, d2)

d2

d1

v1 v2

ny x


Analyse graphique

Que peut-on tirer de ce type de graphe log-log :Des résultats suivant une loi de puissance vont se placer suivant une droite sur le graphe log-log :

On peut trouver l’exposant de la loi de puissance, n, Et le facteur b.

•Choisir deux points bien éloignés sur le graphe log-log : P1(x1,y1) et P2(x2,y2),

•Pour n :

•Pour b :

Dans l’exemple du freinage, on peut déterminer l’exposant (n=2) de la relation reliant la distance de freinage à la vitesse initiale grâce au graphique.

log log logny x y n x

2 1

2 1

log log

log log

y yn

x x

1 1 2 2log log log ou log log logy n x y n x


Analyse graphique

Linéaire Loi de puissance Exponentielle

y = mx + p y = βxn y = aebx

Normal ou linéaireles deux échelles sont

linéaires

Semi-LogUne échelle est linéaire,

l’autre logarithmique

Log-LogLes deux échelles sont

logarithmiques

2 1

2 1

y ym

x x

1 1p y mx

2 1

2 1

log log

log log

y yn

x x

1 1log log logy n x

2 1

2 1

ln lny yb

x x

1 1ln ln a y bx


Erreurs

II. Erreurs


Erreurs

Même les physiciens font des erreurs ! Lorsqu’on mesure une grandeur, il faut toujours s’interroger sur la précision de cette mesure.

Voici quelques exemples d’erreur sur la mesure d’une distance :

• Mesure de la hauteur d’un enfant à la visite médicale, effectuée au cm près.• Mesure de la distance entre deux villes sur l’autoroute, au km près.• Mesure de la distance entre deux atomes dans une molécule avec une précision de 10-12 m.

Clairement, l’erreur sur la mesure dépend du type de mesure et de l’appareil utilisé.


Erreurs

Vous devez toujours écrire le résultat de vos mesures sous la forme :

Règle d’écriture du résultat :

• On commence toujours par arrondir l’erreur:

1. Repérer le premier chiffre significatif (non nul) à partir de la gauche,2. S’il est plus grand ou égal à 5, on ne gardera que lui, après avoir arrondi

correctement (exemple 0.71 => 0.7 ; 0.76 => 0.8,…)3. S’il est inférieur à 5, on garde ce chiffre et le suivant, correctement

arrondi (exemple 0.236 => 0.24 ; 0.234 =>0.23,…)

• Ensuite, on arrondit le résultat au même niveau que l’erreur.

...a x

Grandeur à mesurer Résultat de la mesure Erreur sur la mesure Unités

(Exemple : x = 4,580832 et eX = 0,007804)


Erreurs

Exemples : x = 4,580832 et eX = 0,007804.


Erreurs

Exemples : x = 4,580832 et eX = 0,007804.

Le premier chiffre significatif de εX est 7.


Erreurs

Exemples : x = 4,580832 et eX = 0,007804.

Le premier chiffre significatif de εX est 7

Þ supérieur à 5 d'où un seul chiffre à garder. Þ Le chiffre suivant (8) étant supérieur à 5, on arrondit

Þ εX = 0,008


Erreurs

Exemples : x = 4,580832 et eX = 0,007804.

On gardera donc 3 chiffres après la virgule pour x. Le quatrième chiffre après la virgule de x est 8, supérieur à 5, donc on arrondit et finalement, on a :

x = 4,581 0,008

Le premier chiffre significatif de εX est 7

Þ supérieur à 5 d'où un seul chiffre à garder. Þ Le chiffre suivant (8) étant supérieur à 5, on arrondit

Þ εX = 0,008


Erreurs

Autres exemples :

2) x = 653,58856 et eX = 14,89867

3) x = 254,53488 et eX = 0,043585

4) x = 148532,253 et eX = 6285,624

4) x = 1601,253 et eX = 0,199


Erreurs

Autres exemples :

2) x = 653,58856 et eX = 14,89867

3) x = 254,53488 et eX = 0,043585

x = 654 15

4) x = 148532,253 et eX = 6285,624

x = 254,535 0,044

x = 149000 6000

4) x = 1601,253 et eX = 0,199 x = 1601,25 0,20


Erreurs

Deux types de mesures :

• Mesure directe : l’appareil donne directement la valeur de la grandeur recherchée, sans qu’on doive mesurer d’autres grandeurs

• Mesure indirecte : on ne sait pas obtenir la valeur d’une grandeur directement avec un appareil. Cette grandeur est calculée comme une fonction d’une ou plusieurs grandeur(s) que l’on a mesurées directement.


Erreurs

MESURES DIRECTES

• Une seule mesure :

Lorsque l’appareil est peu précis, rien ne sert de faire beaucoup de mesures. Dans ce cas, l’erreur absolue est égale à la précision de l’appareil. Par exemple :

mesure d’une longueur avec une latte, erreur = 1 graduation = 1mm,

Mesure d’une température au thermomètre, erreur = 1 graduation.


Erreurs

MESURES DIRECTES

• Un petit nombre de mesures :

Dans ce cas, on répète les mesures pour avoir une meilleure précision. L’erreur est alors donnée par la règle suivante :

On prend la valeur moyenne des déterminations comme résultat de la mesure, On prend comme erreur absolue la somme de la précision de l'instrument et de la valeur absolue du plus grand écart à la valeur moyenne.

Exemple : mesures d’une longueur L à 0.01 mm près,

25,55 / 25,60 / 25,59 / 25,60 / 25,58 / 25,62 mm

Þ Moyenne : < L > = 25,59 mmÞ Ecarts entre la moyenne et chacune des valeurs :

0,04 / 0,01 / 0 / 0,01 / 0,01 / 0,03 mmÞ Erreur = Plus grand écart + Erreur de mesure = 0,04 + 0,01 = 0,05 mmÞ L = (25,59 + 0,05) mm


ErreursMESURES INDIRECTES

•La mesure effectuée donne

•On veut trouver sachant que u = f(x), comment estimer l’erreur sur u ?

• Exemple : on mesure les cotés d’un parallélipède, quelle erreur aura-t-on sur le volume calculé ?

0 0xx

0 0uu

u

x

u=f(x)

x0 x +0 x0

f(x +0 x0 )

u f(x0= )0


Erreurs

u

x

u=f(x)

x0 x +0 x0

f(x +0 x0 )

u f(x0= )0

MESURES INDIRECTES

• Il semble logique d’utiliser la dérivée de f(x) calculée en x0 :


Erreurs

u

x

u=f(x)

x0 x +0 x0

f(x +0 x0 )

u f(x0= )0

MESURES INDIRECTES


f(x0)

f(x +0 x0 ) tangente à f(x) en x=x0

x0

0 0 0 00

( ) ( )x xx

dff x f x

dx


Erreurs

MESURES INDIRECTES


0 0 0 00

( ) ( )x xx

dff x f x

dx

f(x0)

f(x +0 x0 ) tangente à f(x) en x=x0

x0

0 0 0 0

0 0 0 0 00 0

( ) ( )

( ) ( )

u x

u x xx x

f x f x

df dff x f x

dx dx


Erreurs

MESURES INDIRECTES

•Donc quand u = f(x) est une fonction d’une variable, l’erreur est donnée par :

•Et quand u = f(x1,x2,…) est une fonction de n variables, l’erreur est donnée par :

est la dérivée partielle de la fonction f par rapport à xi

0 0

0

u xx

df

dx

1 2 311 2 3

...i

n

u x x x xi i

f f f f

x x x x

i

f

x


Erreurs

MESURES INDIRECTES

Mais qu’est-ce qu’une dérivée partielle?

La dérivée partielle de f par rapport à x1 revient simplement à la dérivée « normale » de f par rapport à x1 en considérant toutes les autres variables (x2, x3, …) comme des constantes.

Exemple, en prenant des fonctions de deux variables a et b :

f(a,b) = ab f(a,b)=a/b f(a,b)=ab2


Erreurs

MESURES INDIRECTES

Mais qu’est-ce qu’une dérivée partielle?

La dérivée partielle de f par rapport à x1 revient simplement à la dérivée « normale » de f par rapport à x1 en considérant toutes les autres variables (x2, x3, …) comme des constantes.

Exemple, en prenant des fonctions de deux variables a et b :

f(a,b) = ab f(a,b)=a/b f(a,b)=ab2

ab

ab

ba

ab

)(

)(

2/)/(

/1)/(

bab

ba

ba

ba

abb

ab

ba

ab

2)(

)(

2

22


Erreurs

MESURES INDIRECTES

Exemple de calcul d’erreur d’une mesure indirecte :

On connaît la période d’une balançoire T = 5,10 0.10 s Et on veut calculer la fréquence de la balançoire f = 1/T et ef


Erreurs

MESURES INDIRECTES


On connaît la période d’une balançoire T = 5,10 0.10 s Et on veut calculer la fréquence de la balançoire f = 1/T et ef

f = 1/5.1 = 0.19607 Hz


Erreurs

MESURES INDIRECTES


On connaît la période d’une balançoire T = 5,10 0.10 s Et on veut calculer la fréquence de la balançoire f = 1/T et εf

f = 1/5.1 = 0.19607 Hz

Écriture du résultat :εf = 0.0038 Hz

On arrondit f au même niveau : f = 0.1961 Hz

=> f = (0.1961 0.0038) Hz

21/ 1/ 0.00384f T T T

df dT T Hz

dT dT


Erreurs

ERREUR RELATIVE

• Tout ce qui précède concerne les erreurs absolues sur une mesure ou un résultat de calcul.

•On peut aussi travailler avec l’erreur relative εr, définie comme suit :

•Exemple, on mesure la taille d’un objet au millimètre près :

L = (25 1)mm

L’erreur relative sur cette mesure vaut donc 1/25 = 0,04 = 4%

L’erreur relative n’a pas d’unité, elle peut être exprimée en « % ».

Les erreurs relatives sont intéressantes à utiliser lorsqu’on veut comparer la précision de deux mesures.

si , ra xx


En pratique…

LE PIED A COULISSE


En pratique…

LE COMPAS PALMER


En pratique…

• Groupes de 3. Votre numéro de table est inscrit en haut sur votre table. Vous garderez le même numéro (et la même table) toute l’année. Chaque étudiant rend un rapport à la fin.

• Les techniciens et moi-même passeront dans les groupes pour vous expliquer le fonctionnement du pied à coulisse et du compas palmer.

• Prendre connaissance des règlements du labo et des examens notamment disponibles sur le moodle.

• Remplir la fiche signalétique et la rendre avant la fin de séance.

• Amener une photo de vous (format identité) au plus tard pour le 2e labo.

•Table 1->10 et 23-24, commencer « graphique ». Table 11->20 et 21-22, commencer « erreurs »

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