introduction à lautomatisation -ele3202- cours #6: critère de stabilité de routh & design de...
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Introduction à l’automatisation
-ELE3202-
Cours #6: Critère de stabilité de Routh & Design de PID à partir du lieu des racines
Enseignant: Jean-Philippe Roberge
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Cours # 6
Critère de stabilité de Routh (2ième partie):
Cas spéciaux
Choix d’un gain proportionnel K à l’aide du critère de Routh-Hurwitz
Conception de contrôleurs PID à l’aide du lieux des racines
Contrôleurs de type proportionnel
Contrôleurs de type proportionnel dérivé et à avance de phase
Retour sur le cours #5:
Exercices concernant le lieux des racines (issus des examens de
pratique)2 Jean-Philippe Roberge - Février
2011
Cours #6
Critère de Routh-Hurwitz (I)
Lors du cours précédent, nous avions vu que le critère de
Routh-Hurwitz est un outil pratique qui permet de
conclure sur la stabilité d’un système d’ordre quelconque.
Nous avions introduit cette matière en présentant la table
de Routh-Hurwitz:
4 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
10 1 1...
Où est généralement le polynôme
caractéristique du système
n nn nP s a s a s a s a
P s
Critère de Routh-Hurwitz (II)
Où:
5 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Etc...
Critère de Routh-Hurwitz (III)
Exemple 1
Avant d’écrire la table de Routh, il faut s’assurer que la
première condition de stabilité est vérifiée : tous les
coefficients ai doivent être positifs. Ensuite:
6 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
s5 1 2 4 0
s4 8 5 7 0
s3 b1 b2 0 0
s2 c1 c2 0 0
s1 d1 0 0 0
s0 e1 0 0 0
5 4 3 28 2 5 4 7P s s s s s s
Critère de Routh-Hurwitz (IV)
Exemple 1
7 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
1 2
1 2
1
1
1 2 1 4
8 5 8 7 25118 88 8
8 5 8 7
2511 11 7708 8 8145 8 711 1111 1188 8
25118 8
145 711 559145145
11145 711
559 0145 7559
145
b b
c c
d
e
s5 1 2 4 0
s4 8 5 7 0
s3 11/8 25/8 0 0
s2 -145/11
7 0 0
s1 559/145
0 0 0
s0 7 0 0 0
s5 1 2 4 0
s4 8 5 7 0
s3 11/8 25/8 0 0
s2 -145/11
7 0 0
s1 559/145
0 0 0
s0 7 0 0 0
Il y a deux changements de signe dans la table de Routh:
Le système est donc instable et il y a exactement deux
racines dans le demi-plan droit du plan complexe (instable).
Critère de Routh-Hurwitz (V)
Exemple 1
8 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Effectivement, en utilisant la fonction « roots() » de
Matlab:
Critère de Routh-Hurwitz (VI)
Exemple 1
9 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
La table de Routh est très pratique, puisqu’elle permet de
conclure assez directement la stabilité d’un système d’ordre n
sans avoir à calculer « à la main » toutes les racines du
polynôme caractéristique.
Cependant, l’analyse de la table de Routh se fait à partir du
changement de signe de la première colonne: il est donc
obligatoire de se soucier des deux cas spéciaux suivant:
1) Un élément de la première colonne est nul
2) Une ligne entière de la table de Routh est nulle
Critère de Routh-Hurwitz (VII)
Cas spéciaux
10 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Solution pour ce premier cas spécial: lorsqu’un
élément de la première colonne est nul, on remplace ce
dernier par ϵ et on continue le développement de la table. À la toute
fin, on fait tendre ϵ vers 0 (depuis la gauche ou la droite) pour effectuer
l’analyse de stabilité.
Considérons un système dont la fonction de transfert est la suivante:
Objectif: Conclure sur la stabilité du système
Critère de Routh-Hurwitz (VII)
Cas spécial #1 : Un élément nul dans la première colonne
11 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
5 4 3 2
10
2 3 6 5 3T s
s s s s s
Votre réflexe est d’utiliser le critère de Routh pour vérifier
la stabilité du système:
Critère de Routh-Hurwitz (VIII)
Cas spécial #1 : Exemple tiré de [2]
12 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
5 4 3 2
10
2 3 6 5 3T s
s s s s s
1 2
1 2
2
1
2
1 2
1 3 1 5
2 6 2 3 70 22 22 6 2 3
7 06 72 3
72
6 73
42 49 66 7 12 14
6 73
42 49 60
12 14 342 49 6
12 14
b b
c c
d
e
s5 1 3 5 0
s4 2 6 3 0
s3 0 ϵ 7/2 0 0
s2 (6ϵ -7)/ϵ 3 0 0
s1 (42ϵ-49-6ϵ2)/(12ϵ-14) 0 0 0
s0 3 0 0 0
Le tableau enfin complété, vous pouvez effectué votre
analyse en faisant tendre ϵ vers 0 (à partir de la gauche ou de la
droite). L’analyse se fait comme suit:
Critère de Routh-Hurwitz (IX)
Cas spécial #1 : Exemple tiré de [2]
13 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
5 4 3 2
10
2 3 6 5 3T s
s s s s s
Première colonne de la table de Routh
ϵ→0+ ϵ→0-
s5 1 + +
s4 2 + +
s3 ϵ + -
s2 (6ϵ -7)/ϵ - +
s1 (42ϵ-49-6ϵ2)/(12ϵ-14) + +
s0 3 + +
Il y a deux changements de signes, donc le système est instable et possède deux racines instables (dans le demi-plan droit du plan complexe):
Solution pour ce deuxième cas spécial: lorsqu’une ligne
entière de la table de Routh est nulle, la solution est de :
1) Former un polynôme intermédiaire à l’aide de la ligne
précédent la ligne nulle.
2) Dériver ce polynôme intermédiaire par rapport à s
3) Utiliser les coefficients du résultat de la différentiation pour remplacer la
ligne de zéros.
4) Tester finalement les racines du polynôme intermédiaire.
Critère de Routh-Hurwitz (X)
Cas spécial #2 : Une ligne entière de la table est nulle
14 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Considérons un système dont la fonction de transfert est
la suivante:
Votre objectif est de conclure sur la stabilité de ce
système, vous utilisez donc le critère de Routh et bâtissez
la table en conséquence.
Critère de Routh-Hurwitz (XI)
Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2]
15 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
5 4 3 2
10
7 6 42 8 56T s
s s s s s
Critère de Routh-Hurwitz (XII)
Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2]
16 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
5 4 3 2
10
7 6 42 8 56T s
s s s s s
s5 1 6 8 0
s4 7 1 42 6
56 8
0
s3 0 0 0 0
Remarque: Lorsque l’on construit la table de Routh, il est permit de
multiplier une ligne entière par une constante pour obtenir une forme plus
convenable, c’est le cas ici pour la deuxième ligne (multiplication par 1/7).
La troisième ligne est complètement nulle:
Critère de Routh-Hurwitz (XIII)
Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2]
17 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
5 4 3 2
10
7 6 42 8 56T s
s s s s s
On considère donc le polynôme intermédiaire donné par
la ligne qui précède la ligne de zéros, i.e.:
On le dérive par rapport à s:
On utilise les coefficients de ce résultat pour remplacer la ligne de 0:
4 26 8P s s s
34 12dP s
s sds
s5 1 6 8 0
s4 1 6 8 0
s3 4 1 12 3
0 0 Aussi, multiplication de la ligne par 1/4
Critère de Routh-Hurwitz (XIV)
Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2]
18 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
5 4 3 2
10
7 6 42 8 56T s
s s s s s
On complète finalement le tableau comme à l’habitude:
s5 1 6 8 0
s4 1 6 8 0
s3 1 3 0 0
s2 3 8 0 0
s1 1/3 0 0 0
s0 8 0 0 0
Aucun changement(s) de signe, donc il n’y a aucunes racines dans le demi-plan droit. Effectivement:
Cependant, le système est marginalement stable: regardez la forme des racines!
Critère de Routh-Hurwitz (XIV)
Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2]
19 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
5 4 3 2
10
7 6 42 8 56T s
s s s s s
Qu’avons-nous oublié lors de notre démarche? Réponse: De vérifier les racines du polynôme intermédiaire
Remarque: Lorsque, dans une table de Routh, une ligne
est complètement nulle, cela signifie que l’on se trouve
dans l’un de ces 2 cas: 1) Racines conjuguées complexes : s=±jω
2) Racines réelles de mêmes valeurs mais de signes opposés: : s=±α
Aussi, le polynôme intermédiaire est un facteur du
polynôme caractéristique, ce qui implique qu’il partage
aussi une partie des ses racines…
Critère de Routh-Hurwitz (XV)
Cas spécial #2 : Exemple tiré de [2]
20 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
5 4 3 2
10
7 6 42 8 56T s
s s s s s
Racines du polynôme caractéristique VS celles du polynôme
intermédiaire:
Polynôme caractéristique Polynôme intermédiaire 4 26 8P s s s
Ici, par simple observation, il était possible de constater que le polynôme intermédiaire possédait toutes ses racines conjuguées complexes: c’est pour cette raison que cette étape de la démarche fut « oubliée ».
D’ailleurs, tous les polynômes d’ordre n qui ont des coefficients positifs (ai) et des termes en s élevés à une puissance paire possèdent tous des racines conjuguées complexes!
5 4 3 27 6 42 8 56P s s s s s s
Critère de Routh-Hurwitz (XVI)
Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz
21 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Le critère de Routh est souvent utile afin de déterminer pour quelles valeurs de paramètres (gains) du contrôleur le système sera stable.
La première colonne du tableau nous fournira alors les conditions de stabilité en fonction des paramètres du contrôleur. Nous avons déjà fait quelques exercices qui démontraient très bien ce fait.
On peut aussi utiliser le critère de Routh pour trouver le gain K au point où le lieu des racines croise l’axe des imaginaires.
Critère de Routh-Hurwitz (XVII)
Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz
22 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Soit le système suivant, commandé par un contrôleur de type proportionnel:
Où:
C(s) G(s)Contrôleur Procédé
(le gain proportionnel)
1G
7 11
C s K
ss s s
Critère de Routh-Hurwitz (XVIII)
Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz
23 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
La fonction de transfert du système en boucle fermée est donc:
3 27 11
18 777 111
7 11
K
s s s KT s P s s s s K
K s s s Ks s s
s3 1 77
s2 18 K
s1 (1386-K)/18
0
s0 K 0
Il faut donc que:
Si K=0 ou K=1386, certaines des racines seront directement sur l’axe imaginaire: système marginalement stable → indésirable
0 1386K
Critère de Routh-Hurwitz (XIX)
Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz
24 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
1)
2)
3)
K=0
K=1000
K=1386
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
K=0
K=1386
Critère de Routh-Hurwitz (XX)
Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz
25 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Autre exemple:
Critère de Routh-Hurwitz (XXI)
Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz
26 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
K=0
K=6
Conception de PID à l’aide du lieux des
racines (I)
27 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Équation d'un contrôleur PID:
ip d
KC s K K s
s
Conception de PID à l’aide du lieux des
racines (II)
28 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Dans plusieurs cas, un contrôleur PID permet de répondre
aux spécifications du comportement désiré, par exemple
le dépassement P
le temps de réponse à 2%
l’erreur en régime permanent
Etc…
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(III)
29 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Un contrôleur proportionnel-dérivé permet d’améliorer la réponse en régime transitoire et, jusqu’à un certain degré, l’erreur en régime permanent.
Un contrôleur proportionnel-intégral permet d’améliorer la réponse en régime permanent (en tant que suiveur ainsi que régulateur).
Un contrôleur PID constitue une combinaison de ces deux contrôleurs.
Par ailleurs, dans le domaine temporel:
0
Équation de la sortie du contrôleur:
C E cisortie p d sortie p d i
Ks K E s K sE s s t K e t K e t K e t dt
s
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(IV)
Contrôleur de type P
30 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Il existe plusieurs outils de conception de contrôleurs ; nous utiliserons comme outil principal de design le lieu des racines.
Pour illustrer cette méthode, commençons par considérer le système ci-dessous: C(s) G(s)
Contrôleur Procédé
Avec:
(Contrôleur de type proportionnel)
1P
0.2 1
pC s K
ss s
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(V)
Contrôleur de type P
31 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Le contrôleur le plus simple est un contrôleur proportionnel, qui n’a qu’une seule constante K comme fonction de transfert. En particulier, il ne permet pas de modifier de façon indépendante
les valeurs de ζ et de ωn.
Ce dernier fait sera illustré par notre exemple.
Le polynôme caractéristique du système en boucle fermé est:
20.2 1
0.20.2 1
10.2 1
p
pc p
p p
K
Ks sT s P s s s K
K s s Ks s
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(VI)
Contrôleur de type P
32 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Utilisons les règles d’Evans pour tracer le lieu des racines: Le point de départ des deux branches du lieu des racines
débute aux positions des pôles du système en boucle ouverte, donc en s1 = 0 et s2 = -5
Le centre de gravité des asymptotes sera:
Angles des asymptotes:
Points d’intersection:
1 1 5
2
n m
i ii i
p zs
n m
180=90 , 270 où h=1,3
h
n m
' 0 ' ' 0 0.4 1 0
12.5
0.4
N sdG s N s D s D s N s s
ds D s
s
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(VII)
Contrôleur de type P
33 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Angles de départ:
Pôle #1:
Pôle #2:
Angle de départ d'un pôle = 180
- Angles des vecteurs entre les pôles et le pôle en question
Angles des vecteurs entre les zéros et le pôle en question
L'angle d'arrivée à un zéro 180
Angles des vec
teurs entre les zéros et le zéro en question
Angles des vecteurs entre les pôles et le zéro en question
1 180 0 180A
2 180 180 0A
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-3
-2
-1
0
1
2
3Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(VIII)
Contrôleur de type P
34 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Rappel – temps de réponse à 2%:
Dans l’exemple que nous venons d’étudier, à toute paire de pôles complexes qui se trouvent sur chacune des branches, il ne correspond qu’une même valeur de ζωn :
Si on augmente K de façon à s’éloigner de l’origine et ainsi augmenter la valeur de ωn, alors il faut forcément diminuer ζ par le même facteur.
2%
4s
n
T
Par conséquent, on se trouve dans l’impossibilité de diminuer le temps de réponse du système!
Pour pouvoir mieux répondre aux diverses spécifications, il faut considérer des contrôleurs de formes plus générales (PI, PD ou PID).
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(IX)
Contrôleurs PD et avance de phase
35 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
La fonction de transfert d’un contrôleur de type PD s’écrit comme suit:
Le terme Kp donne lieu à un composant de la commande qui est directement proportionnel à l’erreur.
Le terme Kds procure un composant qui est proportionnel à la dérivée de l’erreur.
Ce contrôleur PD ajoute à la fonction de transfert en boucle fermée un zéro à s = −1/τPD. Le lieu des racines correspondant à la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)P(s) = Kd(s + 11)P(s) est présenté à la figure suivante.
1 Où: D
p d d PDPD p
KC s K K s K s
K
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(X)
Contrôleurs PD et avance de phase
36 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(XI)
Contrôleurs PD et avance de phase
37 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Pour bien comprendre comment l’ajout du zéro modifie la forme du lieu, effectuons un bref rappel:
i) La relation d’amplitude:
ii) La relation d’angle:
Ce système de deux équations étant équivalent à l’équation originale, un point s se trouve sur le lieu des racines si et seulement s’il répond à ces deux équations.
1
1
11
m
iin
ii
s zKG s G s
Ks p
1 1
180 360 où = 1, 2, 3,...m n
i ii i
G s s z s p k k
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(XII)
Contrôleurs PD et avance de phase
38 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
L’angle de G(s) étant donné par:
Soit la partie imaginaire de s positive, Alors la contribution d’un terme (s− s0) est illustrée ci-dessous:
1 1
180 360 où = 1, 2, 3,...m n
i ii i
G s s z s p k k
Étant donnée la forme de notre expression pour l’angle de G(s), on voit que les zéros apportent une contribution positive à l’angle pour un s à partie imaginaire positive, alors que les pôles y apportent une contribution négative. L’effet de l’ajout du contrôleur PD est donc d’apporter une contribution positive à l’angle de la fonction de transfert G(s):
Pour que la relation d’angle soit toujours remplie, la contribution des pôles doit devenir plus négative. On peut vérifier que ceci veut dire que le lieu se déplace vers la gauche et vers la partie négative de l’axe des réels. L’ajout d’un contrôleur PD permet donc d’obtenir des pôles en boucle fermée avec des rapports d’amortissement ζ augmentés pour une pulsation naturelle ωn donnée.
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(XIII)
Contrôleurs PD et avance de phase
39 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
1 1
180 360 où = 1, 2, 3,...m n
i ii i
G s s z s p k k
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(XVI)
Contrôleurs PD et avance de phase
40 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(XVII)
Contrôleurs PD et avance de phase
41 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(XVIII)
Contrôleurs PD et avance de phase
42 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Conception de PID à l’aide du lieux des racines
(XIX)
Contrôleurs PD et avance de phase
43 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Un contrôleur PD ne devrait pas être implanté sous la forme idéale
K + Kds = Kd(s + 1/τPD). En effet, le module de la réponse fréquentielle de ce contrôleur est:
qui s’accroît sans borne en fonction de la fréquence ω. Un contrôleur avec cette fonction de transfert serait donc non souhaitable,
et amplifierait de façon excessive le bruit de mesure. Par conséquent, un contrôleur réel a souvent la forme d’un contrôleur avance de phase :
Noter que le module de la réponse fréquentielle d’un tel système tend vers KA lorsque ω tend vers 0, et vers KA lorsque ω tend vers l’infini.
C’est ce qui introduit la matière du prochain cours!
22
1p d d
PD
K K j K
11 1 où typiquement 20 31
AA
A
sKs
Exercices
Retour sur le cours #5 (I)Exercices
45 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour sur le cours #5 (II)Exercices
46 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour sur le cours #5 (III)Exercices
47 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour sur le cours #5 (IV)Exercices
48 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
49 Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Prochain cours
Contrôleurs à avance de phase
Contrôleurs proportionnel-intégral (PI) et à retard de phase
Fin des exercices des examens de pratique
Réponse à vos questions
Références
50
[1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop
[2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise
[3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle
[4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh
Jean-Philippe Roberge - Février 2011