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8/10/2019 Intgrale-Encadrement-Bac S-Pondichry 2008.pdf

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Exercice 1

(4 points)-Commun tous les candidats

1. Soit f la fonction dfinie sur [1, + [ par f ( x) = et soit H la

fonction dfinie sur [1, + [ par H( x) = f (t ) d t .

a. Justifier que f et H sont bien dfinies sur [1, + [ .

b. Quelle relation existe-t-il entre H et f ?

c. Soit (C) la courbe reprsentative de f dans un repre

orthonormal (O; i , j) du plan. Interprter en termes d'aire le

nombre H(3) .

2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du

nombre H(3) .

a. Montrer que pour tout rel x > 0 , = x .

b. En dduire que f ( x) d x = 3 ln(1 ln(1 ))

ln(1 e x) d x

c. Montrer que si 1 < x < 3 , alors ln(1

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x

e x 1 x

1

x

e x 1

e x

e x

3

1

1

e31

e 3

1

1e

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2/5

Corrig

) < ln(1 e x) < ln(1 ) .

d. En dduire un encadrement de ln(1 e x) d x puis de

f ( x) d x.

1.

a. Sur [1, + [ , x 1 donc e x 0 . Donc f est dfinie sur

[1, + [ .

Sur [1, + [ , f est le quotient de 2 fonctions continues et le

dnominateur ne s'annule pas donc f est continue et par

consquent intgrable. H est donc bien dfinie sur [1, + [

Conclusion

f et H sont dfinies sur [1, + [

b. D'aprs l'nonc :

Conclusion

H est la primitive de f qui s'annule pour x = 1

(On peut galement dire que f est la drive de H.)

c. Sur [1, + [ , f est positive donc :

Conclusion

H(3) est l'aire du domaine limit par la courbe (C), l'axe des

abscisses et les droites d'quation x = 1 et x = 3 .

2.

a. Sur [1, + [ :

x = x = x =

e3

3

1 3

1

e x

e xe x e x

(1 e x) e x1

e x 1

x

e x 1



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Conclusion

Sur [1, + [ : = x

b.

f ( x)dx = x dx

On intgre par parties en posant :

u( x) = x et v ( x) =

v est de la forme avec U = 1 e x

donc u ( x) = 1 et v( x) = ln(1 e x)

f ( x)dx = [ x ln(1 e x)]13 ln(1 e x)dx

f ( x)dx =3ln(1 e 3 ln(1 e 1 ln(1 e x)dx

Conclusion

f ( x)dx =3ln(1 ln(1 ln(1 e x)dx

ln(1 )dx ln(1 e x)dx ln(1 )dx

c. La fonction : x ln(1 (e x) a une drive dfinie par

( x) = (1 e x) .

Sur [1;3] : x < 0 e x < 1 1 e x > 0 ( x) > 0donc est croissante sur [1;3] donc

(1) ( x (3)

x

e x 1

e x

e x

3

1 3

1

e x

e x

e x

e x

U

3

1 3

1

3

1

3

1

3

1

1

e31

e 3

1

3

1

1

e 3

1

3

1

1

e3

e x



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Conclusion

Si 1 x 3 : ln(1 ln(1 e x ln(1 )

d. En intgrant membre membre l'encadrement prcdent:

ln(1 )dx ln(1 e x)dx ln(1 )dx

ln(1 ) dx ln(1 e x)dx ln(1 ) dx

Conclusion

2ln(1 ln(1 e x)dx 2ln(1 )

Donc :

2ln(1 ln(1 e x)dx 2ln(1 )

D'o d'aprs b. et en ajoutant 3 ln(1 ln(1 ) chaque

membre:

ln(1 ln(1 f ( x)dx 3 ln(1 3ln(1 )

Or

ln(1 ln(1 ) = ln( ln( ) = ln(

)

= ln( ) = ln( ) + ln( ) = ln( 2

d'o

Conclusion

ln( 2 f ( x)dx 3ln( 6

1

e

1

e3

3

1

1

e 3

1 3

1

1

e3

1

e 3

1

3

1

1

e3 3

1

1

e 3

1

1

e3

1

e3 3

1

1

e

1

e31

e

1

e31

e 3

1

1

e31

e

1

e31

e

e3 1

e3e 1

e

e3 1

e3e

e 1

e3 1

e 1

1

e2e3 1

e 1

1

e2e3 1

e 1

e3 1

e 1 3

1

e3 1

e 1



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