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ROYAUME DU MAROC

*-*-*-*-*

HAUT COMMISSARIAT AU PLAN

*-*-*-*-*-*-*-*

INSTITUT NATIONAL

DE STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE

Projet de Fin d’Etudes *****

Préparé par : M. ICHRMAD Mohamed

Sous la direction de : M. Mustapha Elbbar (INSEA)

Mme Fatima-Ezzahra Biyad (La MATU)

Soutenu publiquement comme exigence partielle en vue de l’obtention du

Diplôme d’Ingénieur d’Etat

Filière : Actuariat-Finance

Devant le jury composé de :

M. Mustapha Elbbar (INSEA)

M. Abdellatif Mechrafi (INSEA)

Mme Fatima-Ezzahra Biyad (La MATU)

Juin 2018 / PFE N° 14

Les Provisions Techniques sous le cadre actuel,

SBR et S2 : Evaluation et comparaison

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Juin 2018 / PFE N° 14

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Résumé

Ce présent rapport constitue la trace écrite du travail que nous avons réalisé dans le

cadre de notre Projet de Fin d’Etudes. Ce dernier est effectué au sein de la MATU et porte sur

l’estimation du Best Estime pour sinistres et l’évaluation de la provision pour sinistres à payer

pour le portefeuille RC Auto de la branche TPV en utilisant plusieurs méthodes réglementaires

et économiques toute en focalisant sur celle préconisée par le Projet circulaire de l’ACAPS SBR,

à savoir la méthode de Chain Ladder Standard.

En effet, il était dans un premier temps une étude documentaire faite au sein de ladite

compagnie. Ensuite, dans un deuxième temps, nous avons procédé à l’analyse des données et

des méthodes de provisionnement cités par ledit Projet SBR et les normes Solvency 2. De ce

fait, Cette phase préliminaire reste indispensable au bon avancement du projet dans la

mesure où elle nous a donné des perspectives voire une idée assez précise sur les techniques

de provisionnement recommandées.

Cependant, La technique de Chain Ladder ainsi que toutes ses variantes se sont

avérées spécialement adaptées aux données tant que les hypothèses sous-jacentes à ces

techniques sont vérifiées. Les résultats obtenus par le biais de ces méthodes sont ainsi

crédibles. Celles qui satisfont le plus la représentativité des données sont la méthode Chain

Ladder Standard et Chain Ladder basée sur la moyenne des facteurs de développement. Leur

évaluation serait ainsi la plus appréciée.

Par ailleurs, l’accent serait mis aussi sur les méthodes stochastiques et sur le calcul du

risque relatif à chaque estimation de provision dans le but de challenger les résultats obtenus

par les méthodes déterministes. Enfin, dans le cas particulier, quelques techniques

statistiques de simulation seraient abordées pour plus de vigilance dans les calculs.

Mots clés : SBR, Best Estimate, Provisions techniques, provisionnement stochastique,

Bootstrap.

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Dédicace

À mes très chers parents,

Qui m’ont tout donné pour que je puisse être ce que je suis. Je me permets à exprimer

ma profonde gratitude pour tout l’amour, le soutien, les sacrifices et la confiance qu’ils m’ont

offerts.

À mes frères et sœurs,

À toute ma famille, mes amis et toutes les personnes qui ont cru en moi et m’ont

toujours fait

Je ne saurai terminer sans exprimer toute mon gratitude et mon respect le plus

profond à mon établissement et à mes chers professeurs de l’INSEA.

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Remerciements

Qu’elle nous soit permise, au terme de ce travail, d’exprimer notre gratitude et vifs

remerciements à notre encadrante externe Mm. Fatima Ezzahra BIYAD, Responsable Actuariat

et Contrôle de Gestion. Qu’elle trouve ici le témoignage de notre estime et de notre profonde

pour sa constante disponibilité, ses conseils et sa compétence qu’elle a su nous prodiguer tout

au long de notre stage, malgré ses occupations extrêmes. Et son soutien qui nous a été

précieux afin de mener notre travail à bon port.

Nos remerciements s'adressent également à notre encadrante interne M. Mustapha

Lebbar, Actuaire Consultant et Ingénieur Général Actuaire au sein de la société MUSTAPHA

ATTAAMINAT, pour ses précieux conseils et son encouragement tout au long de notre stage.

Nous tenons également à remercier M. Mechrafi, pour avoir accepté d'évaluer ce

travail.

Nos gratitudes et estimes vont finalement au corps professoral de l’Institut National

de Statistique et d’Économie Appliquée qui veille á nous assurer une formation de valeur et à

nous inculquer les grandes valeurs du professionnalisme.

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Liste des abréviations

Abréviation Désignation

IBNR Incured But Not Reported

RBNP Reported But Not Paid

PSAP Provisions pour Sinistres A Payer

ACAPS Autorité de Contrôle des Assurances et de la Prévoyance Sociale

SP Sinistres Payés

PT Provisions techniques

MCO Moindres Carrés Ordinaires

MATU Mutuelle d'Assurances des Transporteurs Unis

SBR Solvabilité basée sur les risques

BE Best Estimate

SI Solvabilité 1

S2 Solvabilité 2

CLS Cain Ladder Standard

D/D Dossier par Dossier

CM Coût Moyen

GLM Modèle Linéaire Généralisé

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Table des matières

Résumé ................................................................................................................................................ - 3 -

Dédicace .............................................................................................................................................. - 4 -

Remerciements ................................................................................................................................... - 5 -

Liste des abréviations .......................................................................................................................... - 6 -

Liste des tableaux .............................................................................................................................. - 10 -

Liste des figures ................................................................................................................................. - 11 -

Introduction Générale ....................................................................................................................... - 12 -

Chapitre I. Cadre Générale de l’Etude ..................................................................... - 14 -

I. Aperçu sur le secteur mutualiste ................................................................................................... - 14 -

II. Présentation du la MATU ....................................................................................................... - 14 -

II.1 Création et description de l’entreprise ................................................................................ - 14 -

II.2 Mission et Produits ............................................................................................................. - 15 -

III. Contexte et objectifs ............................................................................................................... - 15 -

IV. Les provisions techniques ....................................................................................................... - 16 -

IV.1 Définition générale des provisions techniques ................................................................... - 16 -

IV.2 Exemples de provisions pour les opérations d’assurances Non vie .................................... - 17 -

IV.3 Justification statistique du choix des PSAP ........................................................................ - 18 -

V. Présentation des données utilisées ................................................................................................ - 19 -

V.1 Descriptif de la base de données ............................................................................................. - 19 -

V.2 Analyse des données : ............................................................................................................. - 20 -

V.2.1 Etude des paiements de sinistres : .................................................................................. - 20 -

Chapitre II. Le Projet de circulaire SBR ....................................................................... - 23 -

I. Les objectifs au projet SBR ........................................................................................................... - 23 -

II. Le pilier 1 : Bilan Prudentiel ................................................................................................... - 24 -

II.1 Règles de valorisation de l'ACTIF : ................................................................................... - 25 -

II.2 Règles de valorisation du PASSIF : ................................................................................... - 25 -

III. Le pilier 1 : Provisions Techniques......................................................................................... - 26 -

III.1 PT Non Vie hors rentes ...................................................................................................... - 27 -

III.1.1 Meilleure estimation des engagements........................................................................... - 27 -

III.1.2 BE pour Sinistres : ......................................................................................................... - 27 -

III.1.3 Méthode préconisée par le Projet : ................................................................................. - 29 -

III.1.4 Description de la méthode CL : ...................................................................................... - 29 -

III.1.5 BE pour Primes : ............................................................................................................ - 29 -

III.1.6 Meilleure estimation des frais de gestion ....................................................................... - 30 -

III.2 Capital de Solvabilité Requis ............................................................................................. - 30 -

III.3 Différences majeures avec la norme 52 : ............................................................................ - 32 -

III.4 Fonds Propres ..................................................................................................................... - 33 -

Chapitre III. Méthodes réglementaires ....................................................................... - 35 -

I. Méthode dossier par dossier : ........................................................................................................ - 36 -

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I.1 Présentation ............................................................................................................................. - 36 -

I.2 Application : ........................................................................................................................... - 38 -

I.3 Critiques .................................................................................................................................. - 39 -

II. Méthode de la cadence de règlement : .................................................................................... - 40 -

II.1 Présentation ........................................................................................................................ - 40 -

II.2 Application : ....................................................................................................................... - 41 -

III. Méthode du coût moyen : ....................................................................................................... - 45 -

III.1 Présentation ........................................................................................................................ - 45 -

III.2 Application : ....................................................................................................................... - 46 -

IV. Réserves retenues par les méthodes réglementaires :.............................................................. - 48 -

Chapitre IV. Les méthodes déterministes du calcul des réserves et du BE .................... - 50 -

I. Les méthodes de Chain Ladder ..................................................................................................... - 50 -

I.1 La méthode de Chain Ladder Standard ................................................................................... - 51 -

I.1.1 Les hypothèses de base .................................................................................................. - 52 -

I.1.2 L’estimation de la réserve .............................................................................................. - 52 -

I.1.3 La validation de l’hypothèse d’indépendance des coefficients de passage .................... - 54 -

I.2 Les méthodes de Chain Ladder pondérées .............................................................................. - 55 -

I.2.1 La moyenne des facteurs ................................................................................................ - 55 -

I.2.2 La moyenne des trois derniers facteurs .......................................................................... - 56 -

I.2.3 Le dernier facteur ........................................................................................................... - 57 -

I.2.4 Comparaison des résultats des méthodes de Chain Ladder ............................................ - 58 -

II. Les méthodes autorégressives ................................................................................................. - 61 -

II.1 La méthode de London Chain ............................................................................................ - 61 -

II.2 La méthode de London Pivot.............................................................................................. - 63 -

III. Comparaison des résultats issus de chacune des méthodes déterministes et d’inventaire ...... - 63 -

Chapitre V. Les méthodes stochastiques pour le calcul des provisions ........................ - 66 -

I. Le modèle de Mack ....................................................................................................................... - 67 -

I.1 Les hypothèses sous-jacentes au modèle ................................................................................ - 67 -

I.2 L’estimation des paramètres du modèle .................................................................................. - 67 -

I.3 L’estimation des erreurs de prédiction .................................................................................... - 68 -

I.3.1 Le formalisme mathématique ......................................................................................... - 68 -

I.3.2 Application sur les estimations des réserves annuelles .................................................. - 69 -

I.3.3 Application sur l’estimation de la réserve globale ......................................................... - 70 -

I.4 La validation des hypothèses du modèle ................................................................................. - 70 -

I.4.1 La vérification de l’hypothèse d’indépendance H1 par le test non paramétrique de la médiane

- 71 -

I.4.2 La vérification de l’hypothèse de volatilité H3 grâce aux résidus normalisés ............... - 71 -

II. Le calcul de provisions par la modélisation GLM .................................................................. - 72 -

II.1 Présentation générale des modèles GLM ........................................................................... - 72 -

II.2 Formalisme mathématique et construction du modèle ....................................................... - 72 -

II.2.1 Les composantes du modèle ........................................................................................... - 72 -

II.3 Application des modèles GLM aux triangles de liquidation .............................................. - 74 -

II.3.1 Les différents éléments du modèle ................................................................................. - 75 -

- 9 -

II.3.2 Le choix de la distribution de la variable paiement des sinistres ................................... - 76 -

II.3.3 L’estimation et le risque d’estimation ............................................................................ - 77 -

III. La technique du Bootstrap ...................................................................................................... - 83 -

III.1 Idée et principe de base de la méthode du Bootstrap .......................................................... - 83 -

III.1.1 Présentation générale ..................................................................................................... - 83 -

III.1.2 L’approche du Bootstrap ................................................................................................ - 83 -

III.2 Application du Bootstrap au triangle des règlements ......................................................... - 84 -

III.2.1 Les résidus de Pearson ................................................................................................... - 84 -

III.2.2 Les étapes du Bootstrap appliquées aux résidus de Pearson sous le modèle de Gamma - 84 -

IV. Comparaison des méthodes stochastiques de provisionnement et calcul de Best-Estimate .... - 86 -

Conclusion Générale ......................................................................................................................... - 89 -

Bibliographie ......................................................................................................................................... 91

Annexe 1 : ARRETE RELATIF AUX ENTREPRISES D’ASSURANCES ET DE REASSURANCE ...................... 92

Annexe 2 : C-C Plot pour la vérification de l’hypothèse d’indépendance des coefficients de passage

pour la méthode Chain Ladder Standard et pour le modèle de Mack .................................................. 94

Annexe 3 : C-C L’indépendance des résidus pour le modèle de Mack .................................................. 96

Annexe 5 : A propos du Quantile-Quantile Plot .................................................................................... 97

Annexe 6 : Les algorithmes de Newton Raphson .................................................................................. 98

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Liste des tableaux

Tableau 1 : Modèles et méthodes utilisées ........................................................................................................ - 16 - Tableau 2 : Les provisions techniques par type pour la période 2014-2016 ..................................................... - 18 - Tableau 3 : Quelques variables de la base de données ...................................................................................... - 19 - Tableau 5 : Les cadences de règlement cumulées par année de survenance ..................................................... - 22 - Tableau 6 : Fonds Propres de Base ................................................................................................................... - 33 - Tableau 7 : Fonds Propre Auxiliaires ................................................................................................................ - 34 - Tableau 8 : Eligibilité à la couverture de SCR pour les FPA ............................................................................ - 34 - Tableau 9 : Les réserves Dossier par Dossier.................................................................................................... - 38 - Tableau 10 : Les paramètres de Chain-Ladder .................................................................................................. - 38 - Tableau 11 : Le nombre des IBNR réglementaires ........................................................................................... - 39 - Tableau 12 : Réserves Dossier par Dossier corrigées par les IBNR ................................................................. - 39 - Tableau 14 : La charge totale des sinistres corporels pour l’exercice comptable 2017 ..................................... - 42 - Tableau 15 : La cadence de liquidation ............................................................................................................. - 43 - Tableau 16 : réserves par année d’exercice ....................................................................................................... - 45 - Tableau 17 : La charge totale des sinistres soldés ............................................................................................. - 46 - Tableau 18 : Nombre des sinistres soldés ......................................................................................................... - 46 - Tableau 19 : Le nombre total des sinistres ........................................................................................................ - 47 - Tableau 20 : Les règlements de l’année ............................................................................................................ - 47 - Tableau 21 : Réserve par la méthode Cout Moyen ........................................................................................... - 48 - Tableau 22 : La réserve complémentaire des sinistres répartie par année de survenance ................................. - 49 - Tableau 23 : Les réserves réglementaires retenues ........................................................................................... - 49 - Tableau 24 : Les coefficients de passage .......................................................................................................... - 53 - Tableau 25 : les réserves annuelles estimé par CL ............................................................................................ - 53 - Tableau 26 : les cash-flows estimé pas CL ....................................................................................................... - 53 - Tableau 28 : Les caractéristiques de dispersion D-triangle ............................................................................... - 54 - Tableau 29 : Les moyennes des facteurs par année de développement ............................................................. - 55 - Tableau 30 : les réserves annuelles estimé par CLP1 ....................................................................................... - 56 - Tableau 31 : les cash-flows estimé pas CLP1 ................................................................................................... - 56 - Tableau 32 : La moyenne des trois derniers facteurs de développement .......................................................... - 56 - Tableau 33 : les réserves annuelles estimé par CLP2 ....................................................................................... - 57 - Tableau 34 : les cash-flows estimé pas CLP2 ................................................................................................... - 57 - Tableau 35 : Le dernier facteur du d-triangle .................................................................................................... - 57 - Tableau 36: les réserves annuelles estimé par CLP3 ........................................................................................ - 58 - Tableau 37 : les cash-flows estimé pas CLP3 ................................................................................................... - 58 - Tableau 38: Les caractéristiques statistiques des résultats Chain Ladder pour les réserves ............................. - 59 - Tableau 39 : Les caractéristiques statistiques des résultats Chain Ladder pour les BE .................................... - 60 - Tableau 40 : Les valeurs des couples (fj, aj) pour la méthode de London Chain .............................................. - 62 - Tableau 42: Les réserves données par la méthode de London Pivot ................................................................. - 63 - Tableau 44 : Les caractéristiques de dispersion pour l'ensemble des méthodes déterministes ......................... - 64 - Tableau 45 : Les valeurs des estimateurs non-biaisé de (Ϭ𝒋)² .......................................................................... - 68 - Tableau 46: Les erreurs de prédiction de l’estimation des réserves pour le modèle de Mack .......................... - 69 - Tableau 47:Les intervalles de confiance au seuil de 5% des réserves annuelles pour le modèle de Mack ....... - 70 - Tableau 48: Les erreurs de l’estimation de la réserve globale pour le modèle de Mack ................................... - 70 - Tableau 49: Le test de la médiane pour le modèle de Mack ............................................................................. - 71 - Tableau 50: Le rectangle de liquidation ............................................................................................................ - 75 - Tableau 51: Les estimations des paramétres et des erreurs relatives pour le modèle de poisson ...................... - 78 - Tableau 53: Les estimations des paramètres et des erreurs relatives pour le modèle Gamma .......................... - 79 - Tableau 55:Les risques relatifs et les intervalles de confiances des réserves pour les modèles Gamma et poisson -

81 - Tableau 56: Les statistiques relatives à la qualité d’ajustement du modèle de poisson .................................... - 82 - Tableau 57: Les statistiques relatives à la qualité d’ajustement du modèle de Gamma .................................... - 83 - Tableau 58: Les résidus de Pearson pour le modèle de Gamma ....................................................................... - 85 - Tableau 59:le premier échantillon des tirages avec remise du triangle des résidus de Pearson ........................ - 85 - Tableau 60: Le triangle des paiements construit à partir des résidus simulés ................................................... - 86 - Tableau 61: Récapitulatif des résultats des méthodes stochastiques ................................................................. - 87 - Tableau 62: les erreurs relatives aux réserves globales ..................................................................................... - 87 -

- 11 -

Liste des figures

Figure 1 : Quelques produits d’assurance de la MATU .................................................................................... - 15 - Figure 2 : Histogramme des provisions techniques par type pour la période 2014-2016 ................................. - 18 - Figure 3 : le diagramme en secteur des provisions par type pour la période 2014-2016 .................................. - 19 - Figure 4 : Le diagramme des montants des sinistres non cumulés pour quelques années de survenance ........ - 20 - Figure 5 : Evolution des règlements cumulés des sinistres par années de survenance ...................................... - 21 - Figure 6 : Les trois piliers de SBR .................................................................................................................... - 23 - Figure 7 : Comparaison entre le bilan actuel et celui de Projet SBR ................................................................ - 24 - Figure 8 : Méthodologie de calcul du BE ......................................................................................................... - 28 - Figure 9 : Courbe des taux ................................................................................................................................ - 28 - Figure 10 : Modèle des risques retenu dans le projet SBR................................................................................ - 31 - Figure 11 : Modèle des risques retenu par S2 ................................................................................................... - 31 - Figure 12 : Matrice de corrélation entre les modules de risque – le cadre SBR- ............................................. - 32 - Figure 13 : Matrice de corrélation entre les modules de risque – S2- ............................................................... - 32 - Figure 14 : les matrices de corrélation (SBR+S2) des sous-modules du risque de marché .............................. - 32 - Figure 15 : Classification des méthodes prévue par la réglementation en vigueur ........................................... - 35 - Figure 16 : Evolution des règlements cumulées ................................................................................................ - 42 - Figure 17 : La cadence de liquidation ............................................................................................................... - 43 - Figure 18 : Graphe d’évolution de la cadence moyenne par année de développement ..................................... - 44 - Figure 19 : Evolution des règlements cumulés des sinistres par années de survenance (CLS) ......................... - 53 - Figure 20 : Evolution des règlements cumulés des sinistres par années de survenance (CLP) ......................... - 56 - Figure 21 : Evolution des règlements cumulés des sinistres estimés par CLP par la moyenne des 3 derniers facteurs

.......................................................................................................................................................................... - 57 - Figure 22 : Evolution des règlements cumulés des sinistres estimés par CLP par le dernier facteur ................ - 58 - Figure 23 : comparaison des flux de réserves estimés par des méthodes Chain Ladder ................................... - 59 - Figure 24 : Récapitulatif des résultats des estimations des PSAP par des méthodes Chain Ladder .................. - 59 - Figure 25 : comparaison des cash-flows estimés par des méthodes Chain Ladder ........................................... - 60 - Figure 26 : Récapitulatif des résultats des estimations des BE par des méthodes Chain Ladder ...................... - 60 - Figure 27 : Evolution des règlements cumulés des sinistres par années de survenance estimés par LC ........... - 62 - Figure 28 : Représentation graphique des réserves par années de survenance .................................................. - 64 - Figure 29: Le diagramme Q-Q Plot pour la loi normale ................................................................................... - 76 - Figure 30: Le diagramme Q-Q Plot pour la loi Gamma ................................................................................... - 77 - Figure 31 : illustration graphique de l’évolution des règlements calculée par le modèle de poisson ................ - 79 - Figure 32 : Evolution des règlements des sinistres par années de survenance estimés par le modèle GLM ..... - 80 - Figure 33:Le diagramme des provisions globales ............................................................................................. - 87 - Figure 34: L’histogramme des SeR(𝐑) en pourcentage .................................................................................... - 88 -

- 12 -

Introduction Générale

L’assurance est avant tout affaire de confiance. En effet, l’assuré paie une prime et

reçoit en échange la promesse que l’assureur paiera si un sinistre survient. Cette promesse,

ou garantie, ne se matérialise que si un sinistre survient à une époque future. Ce mécanisme

par lequel l’assuré paie d’abord et reçoit le produit après, dénommé inversion du cycle de

production, a des conséquences à la fois sur la situation financière de la compagnie et sur le

degré de connaissance qu’elle a de ses engagements.

L'assureur doit évaluer correctement le coût de la sinistralité future, afin d'encaisser

suffisamment de primes pour couvrir ses engagements vis-à-vis de ses assurés et en définitive

d'être solvable. C’est pourquoi l’État réglemente traditionnellement le secteur des assurances,

pour assurer cette solvabilité.

Le décalage dans le temps implique également que la compagnie ne connaît pas a

priori le coût exact de la garantie qu’elle donne à l’assuré. Les provisions techniques sont le

résultat d’un calcul probabiliste d’évaluation des engagements et non un montant exact.

Les règles de solvabilité applicables aujourd’hui ont été définies dans des directives

adoptées dans les années 1970 qui ne sont plus adaptées à la réalité économique actuelle.

Le projet de circulaire Solvabilité Basé sur le Risque (SBR) lancé par l’ACAPS en avril

2017, vise à une refonte en profondeur des règles existantes. Cette circulaire s'inspire de la

réglementation européenne Solvabilité 2, mais n'a pas été transposée en l'état. Si la structure

du nouveau système est définie, la proposition du Projet est en cours de rédaction et tous les

détails ne sont pas connus aujourd’hui.

Notre projet consiste ainsi à évaluer les provisions pour sinistres à payer de la branche

Responsabilité Civile en Automobile, et ce par des méthodes réglementaires, des méthodes

déterministes, dont celles préconisés par le projet de circulaire SBR et évaluer la variabilité

des réserves obtenues par des méthodes stochastiques. Ceci dans le cadre de la première

phase de l’étude d’impacts quantitative consistant en la valorisation du bilan prudentiel.

Notons que les méthodes réglementaires en vigueur au Maroc sont la méthode dossier

par dossier, la méthode du coût moyen et la méthode de cadence de règlement. Les

méthodes déterministes appliquées sont la méthode préconisée par ledit projet SBR,

- 13 -

variantes de Chain Ladder, London Chain et London Pivot. A l’instar des méthodes

réglementaires, les méthodes déterministes ne donnent aucune indication sur la variabilité de

la réserve estimée, ce qui nous a poussé à introduire des modèles stochastiques permettant

d’évaluer l’incertitude présente dans l’estimation des réserves.

Nous consacrerons alors le premier chapitre au cadre général de l’étude. Ensuite, nous

allons entamer le deuxième chapitre par la présentation des dispositions du projet de

circulaire SBR. Le troisième chapitre sera consacré au calcul des provisions sous le cadre

actuel. Puis nous allons recalculer ces provisions en utilisant des méthodes déterministes,

allant des méthodes recommandées par l’autorité de tutelle dans ledit projet jusqu’aux

variantes de Chain Ladder. Le dernier chapitre retrace les diverses étapes de construction et

de mise en œuvre des modèles stochastiques utilisées à savoir le modèle de Mack et le

Modèle Linéaire Généralisé. L’évaluation de la variabilité des réserves dans ces méthodes est

faite essentiellement la méthode de ré-échantillonnage Bootstrap. Finalement, une

conclusion générale sera consacrée à rappeler les principaux résultats et constats établis tout

au long de ce travail.

- 14 -

Chapitre I. Cadre Générale de l’Etude

I. Aperçu sur le secteur mutualiste

Une mutuelle désigne une personne morale de droit privé à but non lucratif. Elle ne

rémunère pas d'actionnaires et se finance essentiellement au moyen des cotisations de ses

membres. Fondée sur la solidarité, elle ne sélectionne pas ses clients ; son objet est d'établir

une solidarité entre ses membres dans un domaine précis. Ainsi, elle offre à ses membres,

appartenant à une même branche professionnelle, un système d'assurance.

La société mutuelle a des points communs avec les sociétés coopératives et les

associations : leurs clients (et parfois leurs employés) sont en même temps leurs associés. Elle

s’assimile aux sociétés coopératives et aux associations dans la mesure où ses clients voire

même ses employés ne sont autres que ses sociétaires. Ainsi, une société mutuelle n’est ni

une entreprise commerciale ni un organisme caritatif.

Le système mutualiste n’est apparu au Maroc qu’avec le Protectorat. La raison du

recours à ce système est le besoin d’assurance ressenti par le personnel de l’administration

du Protectorat français.

Au Maroc la mutuelle est régie par le Dahir n°1-57.187 du 12 Joumada II 1383 (14

Novembre 1963) portant statut de la Mutualité au Maroc, selon l’Article premier : « Les

sociétés mutualistes sont des groupements à but non lucratif qui, au moyen de cotisations de

leurs membres, se proposent de mener dans L’intérêt de ceux-ci ou de leur famille, une action

de prévoyance, de solidarité et d’entraide tendant à la couverture des risques pouvant

atteindre la personne humaine ».

II. Présentation du la MATU

II.1 Création et description de l’entreprise

Créée au 20 décembre 1984 par les professionnels du TPV pour prendre en charge les

assurances des transporteurs. En fait, face aux contraintes de garanties d’assurances à des

conditions améliorées, les syndicats et les coopératives des transporteurs, ont créé leur

propre Mutuelle d’assurance (MATU). Celle-ci garantissait aussi bien leurs risques

professionnels de transport. A cette époque, la conjonction sinistralité extrême du transport

public voyageurs et blocage des tarifs d’assurance était à l’origine du déficit tel de l’assurance

transport que les compagnies privées de la place refusaient de continuer d’assurer le secteur.

Depuis la fin des années 90, la MATU vit les conséquences de la privatisation des

transports routiers de marchandises, suit les atermoiements du processus de privatisation des

transports voyageurs, reste à l’écoute des évolutions du transport urbain, est attentive à

l’apparition, dans notre pays de nouvelles activités et de nouveaux métiers dans le secteur.

- 15 -

II.2 Mission et Produits

La mission de la MATU est de fournir à ses adhérents des produits de qualité, un niveau

élevé de sécurité et de performance financière et une qualité de service capables de satisfaire

pleinement leurs besoins, tout en maintenant la solidité financière de la Mutuelle.

S’assurer auprès de la MATU présente divers avantages, dans la mesure où l’assuré fait

appel à une entreprise responsable et engagée, forte d’un personnel rodé au métier de

l’assurance (Plus de 30 ans d’expérience), et d’un ensemble d’interlocuteurs qui connaissent

bien le transport public de voyageurs. Afin de répondre aux besoins du secteur de transport

et aux particuliers en matière d’assurances, la MATU offre à ses sociétaires une gamme

complète de produits concernant l’ensemble des risques des particuliers et des entreprises.

Le figure suivant présente une liste non exhaustive de quelques risques que la mutuelle

couvre:

Figure 1 : Quelques produits d’assurance de la MATU

Cependant, l’assurance du Transport Public des Voyageurs représente le cœur de

métier de la MATU, autour duquel elle a construit une offre très large qui s’adresse aux Grands

et Petits Taxis, Autocars, Transports du personnel pour le compte des tiers et Transports

scolaires…

Auxquels, elle offre une gamme complète de garanties d’assurance et des protections

contre les sinistres matériels et corporels.

III. Contexte et objectifs

La MATU, comme nous avons vu, opère principalement en assurance Non Vie, plus

particulièrement en assurance automobile. Ainsi notre mission au sein de ladite compagnie,

dont le présent rapport détaille les conclusions, consiste à évaluer et émettre un avis motivé

sur le montant des provisions pour sinistres à payer arrêtées au 31/12/2017 selon les

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méthodes réglementaires et celles du Projet de circulaire de l’ACAPS SBR ainsi que la

comparaison des résultats obtenus. L’autre objectif est d’évaluer ces provisions sous les

dispositions de la directive Solvency 2. Cependant, les normes Solvency 2 ne décrivent pas les

méthodes statistiques que doivent retenir les assureurs européens pour l'évaluation

prudentielle des provisions de sinistres, au contraire du Projet de circulaire qui met en avant

l'utilisation de la méthode Chain-Ladder applicable au triangle des règlements nets de recours.

Mais ledit Projet donne la possibilité d'utiliser une autre méthode communément admise

après accord de l’Autorité. Ce qui représente la seule différence en termes de calcul de Best

Estimate entre les deux directives.

Ainsi, dans le cadre de ce projet, il nous a également été demandé, par la responsable

d’actuariat et contrôle de gestion, de procéder à une analyse économique des PSAP, afin de

situer les évaluations réglementaires par rapport à ses engagements réels estimés selon

d’autres approches.

A cet effet, nous avons réalisé une revue économique des PSAP de la branche RC Auto.

Nos évaluations économiques ont porté essentiellement sur les sinistres corporels de la

branche RC-Auto.

Nous avons utilisé les méthodes suivantes, étant des plus répandues pour ce genre

d’exercice, à savoir :

Méthodes déterministes

Méthodes stochastiques

Chain Ladder standards ;

Méthodes Chain Ladder pondérées ;

Méthodes autorégressives

Méthode de London Chain

Méthode de London Pivot

Modèle de Mack

GLM

Loi de Poisson

Loi Gamma

Méthode Bootstrap

Tableau 1 : Modèles et méthodes utilisées

IV. Les provisions techniques

IV.1 Définition générale des provisions techniques

Les provisions techniques est la désignation du montant que l’assureur doit mettre de

côté en vue de faire face aux charges éventuelles de la sinistralité. Elles servent également à

anticiper les prestations que l’assureur doit verser aux bénéficiaires suivant les termes du

contrat. De façon générale, il s’agit de la somme affectée par l’entreprise d’assurances à la

couverture d’une charge ou d’une perte virtuelle, future ou éventuelle relative à son

engagement envers les assurés. Ce sont donc des engagements contractés envers les assurés.

Très vaguement, pour le cas de l’assurance non-vie, les provisions sont tributaires du

décalage possible entre la survenance du fait dommageable, générateur du paiement de

- 17 -

l'indemnité et le règlement effectif de cette indemnité. Nous avons donc deux types

principaux de provisions :

Provisions pour sinistres connus ; reportés mais pas encore payés (RBNP). Provisions pour sinistres inconnus, survenus mais pas encore déclarés qu’on nomme

tardifs (IBNR).

Ainsi, L’évaluation des provisions doit être suffisante et prudente, en tenant compte

de l'ensemble des frais qui peuvent découler des garanties données. En pratique, cette

évaluation doit être en moyenne supérieure au coût final des sinistres et l'appréciation

définitive ne peut bien entendu être vérifiée qu'a posteriori, une fois tous les sinistres réglés

et les contrats arrivés à échéance.

IV.2 Exemples de provisions pour les opérations d’assurances Non vie

Du fait que les provisions techniques constituent environ 80% et plus du passif des

entreprises d'assurance et de réassurance, leur calcul avec le maximum de précision présente

un enjeu majeur pour la compagnie.

Le code des assurances prescrit, aux sociétés d'assurances non vie, la tenue de

plusieurs types de provisions techniques ; les plus essentielles sont :

La provision pour sinistres à payer (PSAP) : représente la valeur estimée des dépenses d'indemnisation et des frais nécessaires au règlement de tous les sinistres survenus et non payés ou non encore totalement payés.

La provision pour primes non acquises (PPNA) : permet d'évaluer la part des primes à acquérir entre la date de l'inventaire et l'échéance des primes parmi les primes émises.

La provision pour risque en cours (PREC) : représente la part des garanties couvertes par l'assureur entre la date d'inventaire et l'échéance de la prime pour ce qui n'est pas couvert au titre de la provision pour primes non acquises.

La provision pour risques croissants (PRC) : est une provision pour les risques de maladie et d'invalidité, dont l'indemnisation est susceptible d'augmenter avec le temps.

La provision pour égalisation : est destinée à faire face aux fluctuations de sinistralité exceptionnelles (catastrophes naturelles, risques nucléaires, risques spatiaux, responsabilité civile dus à la pollution, attentats et crédit)

La réserve de capitalisation (RC) est destinée à lisser les résultats financiers des placements obligataires à taux fixe en cas de variation des taux. Les plus-values réalisées en cas de cession d'obligations lui sont affectées. Les moins-values réalisées lui sont imputées. La réserve de capitalisation fait partie des éléments constitutifs de la marge de solvabilité.

Les provisions pour risque d'exigibilité (PRE) : provision destinée à faire face aux engagements dans le cas de moins-value latente de l'ensemble des actifs non obligataires.

Provisions pour appareils de prothèse : C’est le montant destiné à indemniser l’assuré en cas d’achat ou même de renouvellement d’appareils de prothèse.

Nous allons nous focaliser dans ce rapport, sur l'évaluation des Provisions pour

Sinistres A Payer (PSAP), qui constituent la part la plus importante des provisions techniques

- 18 -

de la MATU. Et ce, en utilisant des méthodes réglementaires, déterministes puis

stochastiques.

IV.3 Justification statistique du choix des PSAP

Pour justifier le choix des PSAP, nous avons pensé à comparer le volume de chacune

des provisions constituées par la MATU pour la période s’étalant de l’année 2014 à l’année

2016.

2014 Poids (%)

2015 Poids (%)

2016 Poids (%)

Provisions pour primes non acquises 84,97

5% 91,90

6% 95,13

5%

Provisions pour sinistres à payer 1 455,77 91% 1 466,46 88% 1 596,54 90%

Provisions pour fluctuation de sinistralité 24,91

2% 68,90

4% 68,90

4%

Autres provisions techniques 18,64 1% 17,90 1% 12,70 1%

Provisions techniques sur placement 23,45

1% 16,85

1% 1,19

0,1%

Tableau 2 : Les provisions techniques par type pour la période 2014-2016

Pour mieux illustrer notre comparaison, nous passons par un graphe représentatif des

montants de ces provisions et ce, pour chacune des trois années :

Figure 2 : Histogramme des provisions techniques par type pour la période 2014-2016

Le graphe ci-dessus montre d’une manière triviale la prédominance des provisions

pour sinistres à payer sur le reste des provisions. En effet, le montant des PSAP à lui seul

représente environ 90%. Le reste des provisions sont clairement négligeables devant le

volume des PSAP.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Provisions pourprimes non acquises

Provisions poursinistres à payer

Provisions pourfluctuation de

sinistralité

Autres provisionstechniques

Provisions techniquessur placement

2014 2015 2016

- 19 -

Figure 3 : le diagramme en secteur des provisions par type pour la période 2014-2016

Le diagramme en secteur de la moyenne sur les années 2014-2016 des montants des

provisions, nous confirme l’idée déjà établie sur l’importance cruciale des PSAP. Ainsi, ces

dernières détiennent environ 90% du montant global des provisions de tout le marché. Le

reste des provisions techniques sont infinitésimales et, groupées ensemble, n’arrivent qu’à

10% du total.

Ainsi, vu leur importance, nous consacrons notre projet à l’étude des PSAP.

V. Présentation des données utilisées

V.1 Descriptif de la base de données

La base de données qui a servi pour élabore ce projet, est constitué de 36724

enregistrements et permet de récupérer pour chaque enregistrement 33 variables, parmi ces

variables nous trouvons :

- Référence

- Catégorie

- Sous-Catégorie

- Sociétaire

- Police

- Véhicule

- Date d'effet

- Année Sinistre

- Date Sinistre

- Année Ouverture

- Date Ouverture

- Année Réouverture

- Date Réouverture

- Nature Sinistre

- Catégorie D03

- Type Sinistre

- Garantie sinistrée

- Sort Sinistre

- Réserve d'ouverture

- Réserve Exe.

- Règlements Exe.

- Charge Totale

Tableau 3 : Quelques variables de la base de données

- 20 -

Pour des raisons de confidentialité, les données seront multipliées par des coefficients

de tel sorte à ce que le lecteur du rapport ne puisse pas déduire les données de base. Tous les

montants qui viennent dans la suite sont exprimés en milliers de dirhams.

V.2 Analyse des données :

V.2.1 Etude des paiements de sinistres :

Dans cette section, nous allons observer la manière dont varie le montant des

règlements des sinistres en fonction du temps écoulé depuis la survenance des sinistres en

question. Cet écart temporel de règlement est exprimé en 12 mois.

Après avoir exploiter la base de données que nous avons présenté, nous construisons

le triangle des règlements des sinistres réglés. La représentation graphique de celui-ci est

illustrée dans le figure ci-après. Chacune de courbes se réfère à une année de survenance.

Ainsi, nous retrouvons sur l’ordonnée le montant des paiements des sinistres et sur l’abscisse

le délai de règlement correspondant.

Figure 4 : Le diagramme des montants des sinistres non cumulés pour quelques années de survenance

Nous constatons que toutes les courbes ont une allure semblable. En effet, pour les

deux premières années de déroulement, le montant de règlement est ascendant. Le paiement

des sinistres connait généralement son apogée durant la 3ème année d’après la survenance.

Juste après, le montant chute brusquement avant de s’atténuer presque pour les années qui

suivent la 5ème.

Nous faisons les mêmes observations en raisonnant en termes de paiements cumulés :

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2007 2008 2009 2010 2011 2012

2013 2014 2015 2016 2017

- 21 -

Figure 5 : Evolution des règlements cumulés des sinistres par années de survenance

Il est ainsi clair que le cumul des paiements s’accroit de façon remarquable durant les

quatre premières années. Les paiements qui se font par la suite sont moins volumineux ; cela

se voit à la petite pente que prend la courbe une fois la 4ème année dépassée.

Cette même analyse peut se faire à l’aide de la cadence de règlement ou des facteurs

de développement mais avant d’entamer l’analyse à l’aide de ces facteurs, on se doit de définir

les deux concepts qui s’y rapportent.

En effet, les facteurs de développement sont des ratios retraçant l’ampleur de

l’évolution des paiements effectués entre deux délais consécutifs, toutes années de

survenance confondues. Concrètement, le facteur de développement entre les deux délais j

et j+1 est :

𝑓𝑗 = ( ∑ 𝐶𝑖,𝑗+1𝑛−𝑗−1𝑖=0 ) / ( ∑ 𝐶𝑖𝑗

𝑛−𝑗−1𝑖=0 ) , j = 0, …, n-1 avec n=10 pour notre cas.

𝐶𝑖𝑗 Étant le paiement cumulé des sinistres survenus l’année i et qui est effectué au

délai j, c’est-à-dire en l’année calendaire i+j.

Les cadences cumulées de règlement sont des rapports entre le cumul des paiements

jusqu’à un délai j effectués pour les sinistres survenus au cours d’une même année i sur la

charge ultime correspondant à cette même année d’origine. Si l’on note 𝐶𝑖𝑛 la charge ultime

correspondant à l’année de survenance i, alors on écrit :

Cin = Cij * 𝑓𝑗 * 𝑓𝑗+1 *…* 𝑓𝑛−1 pour j=n-i … n-1.

Ce point sera détaillé par la suite quand on abordera la méthode de Chain Ladder.

Pour l’instant nous allons nous contenter de la définition directe.

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2007 2008 2009 2010 2011 2012

2013 2014 2015 2016 2017

- 22 -

Ainsi, la cadence cumulée PCj relative au délai j, est : 𝑃𝐶𝑗 = 𝐶𝑖𝑗

𝐶𝑖𝑛 . Nous pouvons

également trouver un lien entre les cadences de règlement et les facteurs de développement.

En effet :

𝑃𝐶𝑗 = 1 (𝑓𝑗 ∗ 𝑓

𝑗+1 ∗ … ∗ 𝑓

𝑛−1 )⁄ pour j= n-i … n-1.

PCj est de ce fait, pour toutes années d’origine confondues, le pourcentage réglé de la

sinistralité correspondant à une année i complètement déroulée.

j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

PCj 6% 30% 60% 78% 87% 92% 98% 99% 99,9% 100,0%

Tableau 4 : Les cadences de règlement cumulées par année de survenance

Suite aux résultats du tableau, nous sommes en mesure de confirmer les constats de

l’analyse graphique. Comme nous l’avons cité auparavant, les quatre premières années

renferment la part la plus importante de l’ensemble des paiements. En effet, presque 78% des

règlements à effectuer sont faits durant les quatre premières années de déroulement. Il est

par ailleurs constaté qu’un retard de règlement s’impose pour la première année où juste 6%

des sinistres sont en règle. Même la 2ème année ne correspond qu’à 30% des règlements

devant être effectués. Cela laisse penser à une lenteur dans la procédure d’indemnisation

dont il faut examiner les causes.

Après avoir donné une plateforme permettant d’entamer la partie technique du

notre projet, ce chapitre s’achève sur deux résultats majeurs :

Les sinistres ne se règlent pas automatiquement après leur survenance. Le

retard constaté est le résultat d’une déclaration tardive et d’une procédure

d’indemnisation un peu lente.

L’inversion du cycle de production et la longévité des engagements fait que la

mise au point de la stratégie prudentielle de la MATU repose sur des

estimations et prévisions économiques, notamment lorsqu’il s’agit de

constituer ses réserves. Il se trouve que les plus importantes réserves sont les

provisions techniques ; elles renvoient directement à la crédibilité de l’assureur

et à sa capacité d’honorer ses engagements et promesses envers ses assurés.

En particulier, la prédominance volumique des PSAP suscite une attention

singulière.

- 23 -

Chapitre II. Le Projet de circulaire SBR

Le secteur prépare depuis un peu plus d’une année son passage vers les normes SBR,

la Solvabilité Basée sur les Risques, selon la nomenclature retenue par l’ACAPS. Une

nomenclature légitime vu que le nouveau référentiel réglementaire revisite les différents

risques afférents à l’activité des compagnies du secteur. Ledit projet requiert des exigences

quantitatives pointues. Bien que les détails ne soient pas encore révélés, l’on sait toutefois

que le calcul des provisions techniques est concerné. Plus particulièrement, ce sont les

exigences en matière de capital qui apportent des changements majeurs.

En effet, le nouveau régime prudentiel impose un ajustement des fonds propres chez

les entreprises d’assurance et de réassurance, pour que ceux-ci soient en phase avec

l’ensemble des risques auxquels elles sont confrontées. Le but ultime était bien évidemment

d’assurer leur solvabilité. C’est Ainsi que l’objectif de ce chapitre est de présenter un bref

aperçu sur les principales dispositions de ce projet en focalisant sur celles qui concernent

l’assurance non-vie.

I. Les objectifs au projet SBR

L'Autorité de Contrôle des Assurances et de la Prévoyance Sociale (ACAPS) a élaboré

en avril 2017 le projet de circulaire « Solvabilité Basée sur les Risques (SBR) » qui décrit un

nouveau référentiel réglementaire pour l'évaluation de la solvabilité.

Cette circulaire s'inspire de la réglementation européenne Solvabilité 2, mais n'a pas

été transposée en l'état. Cette réglementation repose sur trois piliers :

Figure 6 : Les trois piliers de SBR1

1 Présentation de l’ACAPS, Solvabilité basé sur les risques, 03 avril 2017

- 24 -

Les objectifs visés par l'ACAPS via cette nouvelle réglementation, sont les suivants :

Renforcer la résilience du secteur des assurances face aux risques encourus

Renforcer les systèmes de gouvernance et la culture de gestion des risques

Se conformer aux normes internationales

Le projet de circulaire a été transmis à la profession pour échanges et discussion.

II. Le pilier 1 : Bilan Prudentiel

L’entreprise d'assurances et de réassurance doit établir annuellement un bilan

prudentiel dans la perspective d'une poursuite normale de ses activités.

Ce nouveau bilan comprend, outre les rubriques « impôt différé actif », « impôt différé

passif » et « Réserve de réconciliation », les mêmes rubriques de l’actif et du passif constituant

le bilan comptable prévu par l’arrêté du ministre des finances et de la privatisation n° 1493-

05. Il se caractérise par :

Substitution des « PT brutes » et « PT cédées » par leurs évaluations prudentielles

Modification des règles de valorisation des actifs.

…

Les provisions techniques sont valorisées en vision Best Estimate (BE) et sont

actualisées pour tenir compte du cout du temps et du risque. Ces provisions sont complétées

d'une marge de risque. Les autres actifs et passifs sont valorisés en valeur économique. La

valorisation de l'actif et du passif étant différente entre le bilan actuel et le bilan économique,

les fonds propres économiques diffèrent des fonds propres comptables. Des impôts différés

sont calculés et sont à intégrer au passif ou à l'actif en fonction de la variation de FP entre le

bilan actuel et le bilan économique.

Figure 7 : Comparaison entre le bilan actuel et celui de Projet SBR

- 25 -

II.1 Règles de valorisation de l'ACTIF :

Type Valorisation

Actions cotées Valeur de Marché au dernier cours avant la date d'inventaire

OPCVM Valeur de Marché à la dernière VL avant la date d'inventaire

Obligations Et TCN Valeur de Marché : actualisation des flux futurs aux derniers

taux actuariels constatés avant la date d'inventaire (Prix Plein

Coupon)

Actifs Immobiliers - Valeur de transaction évaluée par un expert au moins une

fois tous tes 5 ans

- Entre deux évaluations, mise à jour annuelle en fonction de

l'évolution de l'indice des prix des actifs immobiliers (IPAI)

publié par BAM.

- Si absence d'évaluation par un expert : Valeur Comptable

- Exigence de réévaluation si L'Autorité le juge nécessaire

Prêts, Dépôts et autres

Créances financières

Valeur Comptable

Immobilisations en Non

valeurs Et Incorporelles

Valeur Nulle

Ecarts de conversion -

Actif

Valeur Nulle

Provisions Techniques

cédées

Meilleure estimation des engagements cédés ajustée du défaut

des contreparties

Charges d'acquisitions

reportées

Valeur Nulle

Différence sur prix de

remboursement à

percevoir sur titres

Valeur Nulle

Autres Créances de l'actif

circulant

Valeur Comptable

Trésorerie - Actif Valeur Comptable

Autres actifs Valorisation à dire d'expert. A défaut Valeur Comptable

E Impôts différés actif Taux IS x (Différence de valorisation des actifs entre bilan

prudentiel et bilan comptable + Report à nouveau des pertes

cumulées sur 4 ans)

II.2 Règles de valorisation du PASSIF :

Type Valorisation

Capitaux propres et

assimilés

Valeur Comptable

Dettes de financement

autres que les emprunts

obligataires

Valeur Comptable

Emprunts obligataires

Actualisation des flux futurs aux derniers taux actuariels

constatés avant la date d'inventaire

Provisions durables pour

risques et charges

Valeur Comptable

- 26 -

Provisions Techniques

prudentielles

Evaluation par canton en additionnant : Meilleure estimation

des engagements

Meilleure estimation des frais de gestion

Marge de risque

Dettes pour espèces

remises par les

cessionnaires

Valeur Comptable

Dettes de passif circulant

Valeur Comptable

Autres passifs Valeur Comptable

Impôts différés passif Taux 1S x (Différence de valorisation des passifs entre bilan

prudentiel et bilan comptable

III. Le pilier 1 : Provisions Techniques

Les Provisions Techniques prudentielles sont évaluées brutes de réassurance par

nature de risque en additionnant :

Meilleure estimation des engagements : valeur probabilisée et actualisée des

engagements en cours, selon la nature des opérations d'assurance

Meilleure estimation des frais de gestion : valeur probabilisée et actualisée des frais

de gestion des contrats en cours, selon la nature des opérations d'assurance

Marge de risque : coût d'immobilisation du capital de solvabilité requis afférent aux

engagements garantis :

Vie hors UC : X% * Meilleure estimation des engagements Vie

UC : Y% * Meilleure estimation des engagements UC

Non Vie : Z% * Meilleure estimation des engagements Non Vie

Les PT concernent tous tes contrats dont l'engagement est en cours à la date

d'inventaire. L'actualisation est effectuée sur la base d'une courbe des taux calculée et

communiquée par l'Autorité selon la méthodologie suivante :

1) Choix de la courbe des taux de référence : taux actuariels des Bons du Trésor publiée

par BAM.

2) Interpolation linéaire de ta courbe de référence afin d'obtenir tes taux actuariels de

maturités pleines (1, 2,...)

- 27 -

3) Transformation en courbe de taux Zéro-Coupons en supposant que les prix des Bons

du Trésor sont - au pair (Bootsraping).

4) Extrapolation par l'algorithme de Smith-Witson en retenant les paramètres suivants :

Dernier point liquide (LLP) : 20 ans (nombre de maturités de zéro-coupons

disponibles avant extrapolation) ou plus

Taux Forward Ultime (UFR) : estimation du taux zéro-coupon des obligations à

long terme. Il est calibré en faisant la somme de : moyenne des taux 20 ans au

31/12 de chaque année depuis 2005 ajustée de la moyenne des taux d'inflation

annuels depuis 2005 et le taux d'inflation annuel dans 20 ans anticipé

Vitesse de Convergence (alpha) : calibrée de façon à ce que le taux Forward 20

ans dans 20 ans soit significativement proche de l'UFR

La fréquence de calcul de la courbe n'est pas mentionnée dans le projet de circulaire

SBR. Dans S2, la courbe est communiquée mensuellement par l'EIOPA.

III.1 PT Non Vie hors rentes

III.1.1 Meilleure estimation des engagements

La meilleure estimation des engagements correspond à la somme probabilisée et

actualisée de flux de trésorerie futurs afférents aux engagements de l’entreprise d’assurances

et de réassurance au titre des contrats souscrits et déterminée, selon la nature des opérations

d’assurance :

𝐵𝑒𝑠𝑡 𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑒 𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑁𝑜𝑛 𝑉𝑖𝑒 = 𝐵𝐸 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 + 𝐵𝐸 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠

Toutes les provisions calculées dans le cadre actuel, sont « fusionnées » dans les Best

Estimate Primes et Sinistres. La Provision Pour Prime Non Acquise (PPNA) et la Provision pour

Risque En Cours (PREC) sont prises en compte dans le Best Estimate de primes. De manière

analogue, on regroupe dans le Best Estimate de sinistres, les Provisions pour Sinistres À Payer

(PSAP), les tardifs, les Provisions pour Risques Non Encore Manifestés, …

III.1.2 BE pour Sinistres :

Best Estimate pour sinistre représente l'équivalent prudentiel des PSAP (y.c. IBNR).

C’est l’engagement de L'assureur concernant les sinistres déjà survenus en actualisant des flux

de règlements futurs probabilisés nets de recours relatifs aux sinistres survenus des dossiers

en cours. Le projet de circulaire prévoit de retenir une segmentation par sous-catégories

ministérielles (article 55 de l'arrêté).

Le BE représente l’espérance des cash flows futurs actualisés. Le graphique suivant

illustre la méthodologie suivie pour estimer un Best Estimate sur base d’un triangle de

liquidation.

- 28 -

Figure 8 : Méthodologie de calcul du BE

En ligne figure les années de survenance, puis en colonne les années de décalage, c’est

à dire le nombre d’années avec lequel l’évolution de la sinistralité est observée. Il faut

extrapoler le triangle de liquidation afin de prévoir la partie inférieure du triangle qui est

inconnue, pour ce faire plusieurs méthodes existent (voir Tableau 1). Puis il faut agréger et

actualiser les résultats en diagonale, qui représentent les montants payés par arrête

comptable. Le Best Estimate s’obtient en faisant l’addition de toutes ces valeurs.

L’actualisation des paiements est réalisée en se basant sur les courbes des taux

communiquées par l’ACAPS. La Figure 9 présente les courbes de taux qui ont été utilisées lors

des dernières études d’impacts.

Figure 9 : Courbe des taux

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

4,50%

5,00%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

- 29 -

III.1.3 Méthode préconisée par le Projet :

Le projet de circulaire met en avant l'utilisation de la méthode Chain Ladder (CL)

déterministe sur triangle de règlements par année de survenance net de recours, avec la

possibilité d'utiliser une autre méthode communément admise après accord de l’Autorité.

Cette méthode sera présentée, avec plus de détail, dans le quatrième chapitre intitulé « Les

méthodes déterministes du calcul des réserves et du BE ».

III.1.4 Description de la méthode CL :

La méthode Chain Ladder est la méthode la plus employée pour estimer les réserves.

Sa simplicité en est la raison principale.

Cette méthode, compte tenu de sa large utilisation, servira de méthode de référence

(puisque c’est la méthode préconisée par le Projet SBR) et de point de comparaison. Les

étapes à suivre pour appliquer cette méthode sont :

1) Constitution du triangle des règlements cumulés net de recours par année de

survenance : Profondeur d'historique adaptée à la nature du risque étudié.

2) Calcul des facteurs de développement individuels par année de survenance et par

année de développement

3) Vérification d'hypothèses sur les facteurs de développement individuels :

Pour chaque année de développement, les facteurs sont indépendants de

l'année de survenance

Les années de développement sont les seules variables explicatives des

comportements des sinistres futurs

Les années de survenances sont indépendantes entre elles

4) Calcul des facteurs de développement communs à toutes les années de survenance.

5) Possibilité d'ajuster le triangle de règlements cumulés, après justification, en fonction

des spécificités du portefeuille étudié.

6) Compléter le triangle des règlements cumulés à partir des facteurs de

développement ajustés.

7) Constitution du triangle des règlements décumulés futurs par année de survenance.

8) Calcul des flux de règlements futurs nets de recours en sommant les diagonales.

III.1.5 BE pour Primes :

Best Estimate pour Primes représente l'équivalent prudentiel des PPNA et PREC :

engagement de l'assureur relatif aux sinistres survenant après la date d'arrêté des comptes. Il

est déterminé en multipliant la PPNA par le Ratio de Sinistralité Combiné (RSC).

- 30 -

𝑅𝑆𝐶 =∑ 𝐶ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒𝑠 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑒𝑠3 𝐸𝑥. 𝑠𝑢𝑟𝑣.

∑ 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠 𝐴𝑐𝑞𝑢𝑖𝑠𝑒𝑠3 𝐸𝑥. 𝑠𝑢𝑟𝑣.+∑ 𝐹𝑟𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛3 𝐸𝑥. 𝑐𝑙𝑜𝑠.

∑ 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠 𝐸𝑚𝑖𝑠𝑒𝑠3 𝐸𝑥. 𝑐𝑙𝑜𝑠.

La charge ultime est la somme des règlements cumulés et le BE pour Sinistres de

l'année de survenance considérée (effet actualisation)

III.1.6 Meilleure estimation des frais de gestion

Le Best Estimate des frais de gestion se calcule par l’actualisation des frais de gestion

futurs liés aux contrats en cours ; ces flux se déterminent par :

Le calcul des BE pour Sinistres projetés : actualisation progressive des règlements de

sinistres résiduels en utilisant la courbe de taux communiquée à la date d'évaluation

par l’ACAPS.

Le calcul du taux de frais de gestion moyen sur tes 3 derniers exercices clos par sous-

catégorie, qui égale le rapport entre le montant des frais de gestion de l'exercice clos

et le BE pour Sinistres de l'exercice précédent.

Pour chaque année de projection, tes frais de gestion sont déterminés en multipliant

le BE pour Sinistres projeté par te taux de frais de gestion moyen revalorisé de 2%

annuellement.

III.2 Capital de Solvabilité Requis

C'est l'équivalent du besoin de marge de solvabilité en Solvabilité 1. A la différence de

Solvabilité 1 où ce terme est calculé de manière forfaitaire, le SCR est calculé pour prendre en

considération l'ensemble des risques auxquels la compagnie est exposée.

Le modèle retenu dans le projet SBR est additif : le Capital de Solvabilité Requis est la

somme des SCR de chaque module de risque.

- 31 -

Figure 10 : Modèle des risques retenu dans le projet SBR

Les facteurs de risque n'ont pas encore été quantifiés par l'Autorité. Notons

qu’actuellement, la marge de solvabilité des compagnies d’assurance ne tient compte que du

risque de souscription. Ce qui explique les marges de solvabilité très confortables qu’affichent

les entreprises du secteur.

Le modèle retenu par S2 est présenté dans le figure suivant :

Figure 112 : Modèle des risques retenu par S2

2 l’ACPR, Solvabilité 2 : principaux enseignements de la cinquième étude quantitative

d'impact(QIS5), P.14

- 32 -

III.3 Différences majeures avec la norme 52 :

L’un des différences majeures entre le Projet SBR et la directive S2 est le calibrage de

la matrice de corrélation entre les modules de risque. L’ACAPS estime que la corrélation entre

les modules de risque est 100% :

Figure 12 : Matrice de corrélation entre les modules de risque – le cadre SBR-

Alors que la directive S2 estime que la matrice de corrélation entre les modules est

plutôt comme suit :

Figure 13 : Matrice de corrélation entre les modules de risque – S2-

Pour le module Risque de Marché, SBR n'intègre pas le risque de Concentration

(module de risque à part entière). Les sous-modules de ce Risque sont dé-corrélés et la

corrélation entre les risques actions de type 1 et de type 2 est de 100% (vs 75% en S2).

Figure 14 : les matrices de corrélation (SBR+S2) des sous-modules du risque de marché

Quant au module « Risque de Contrepartie », La corrélation retenue entre les risques

des expositions de type 1 (cessionnaires) et celles de type 2 (Créances Et Prêts) est de 100%

(vs 75% en S2). Le projet propose 3 qualités de créances : « douteuses », « pré-douteuses » et

« autres » (vs 2 en S2 : «> » et « < » à 3 mois).

- 33 -

Concernant le module Risque de souscription Non Vie, le projet SBR retient :

La segmentation réglementaire actuelle (Pas de séparation entre les branches Non

Vie et la Santé)

Une corrélation de 100% entre les risques de « Prime » et de « Réserve » (vs 50% en

S2)

Une corrélation de 100% entre le risque « Cat Nat Non Vie » et les autres sous-

modules.

Une corrélation de 100% entre les différentes branches.

Le calcul du risque de « Prime » est basé sur les Primes Acquises (PA) de l'exercice, à

l’inverse de la directive Solvency 2 dans laquelle le calcul est basé sur le max entre les PA de

l'exercice N et celle attendues en N+1.

III.4 Fonds Propres

Le besoin en fonds propres d’un assureur non-vie dépend du point de vue :

Assurés, organismes de contrôle, agences de notation

Actionnaires, management de la compagnie, souscripteurs

Du point de vue interne de la compagnie, il représente le capital théorique jugé

nécessaire par l’assureur pour maintenir son activité. Du point de vue externe, il représente

le capital minimum réglementaire ou exigé par le marché.

Les Fonds Propres sont composés de FP de Base et de FP Auxiliaires. Le projet mit en

avant deux critères à respecter :

𝐹𝑃𝐵 + 𝐹𝑃𝐴 ≥ 𝑆𝐶𝑅 et 𝐹𝑃𝐴 ≥ 70% ∗ 𝑆CR

Fonds Propres de Base Eligibilité à la

couverture de SCR

(+) Capital social appelé et versé

(+) Fonds d'établissement

(+) Emprunts pour augmentation du fonds d'établissement

(+) Primes d'émission, de fusion, d'apport

(+) Ecarts de réévaluation

(+) Réserve légale

(+) Autres réserves non liées à des engagements

(+) Report à nouveau

(+) Fonds social complémentaire

(+) Résultats nets en instance d'affectation

(+) Résultat net de l'exercice

100%

(-) Réserve de réconciliation (si négative)

(-) Participation dans une entité financière dépassant un seuil fixé par

l'Autorité

(-) Montant minimum entre les détentions croisées avec une entité

financière.

Tableau 5 : Fonds Propres de Base

- 34 -

Fonds Propres Auxiliaires Eligibilité à la

couverture de SCR

(+) Réserve de réconciliation (si positive)

(+) Aides financières subordonnées du Fonds de solidarité

(+) Capitaux appelés non versés

(+) Dettes subordonnées

100%

XX%

YY%

XX% ou YY%

Tableau 6 : Fonds Propre Auxiliaires

La réserve de réconciliation correspond à l'excédent des actifs par rapport aux passifs

en valeur de marché, diminué des éléments suivants :

Valeur de ses propres actions que détient l'entreprise d'assurances/réassurance

Dividendes, distributions et charges prévisibles

FPB en (+) (cf. tableau 6)

Dettes subordonnées

Le choix de degré d’éligibilité à la couverture de SCR (XX% ou YY%) pour les Fonds

Propres Auxiliaires est déterminé par les critères suivantes :

XX% YY%

- Durée indéterminée

- Non financées directement ou

indirectement par l'entreprise d'assurances

- Non rémunérées sur les bénéfices

distribuables de l'entreprise d'assurance

- Ne font l'objet d'aucun dispositif de

rehaussement du rang de subordination des

créances

- Durée déterminée supérieure à 5 ans

- Non financées directement ou

indirectement par l'entreprise d'assurances

- Ne font l'objet d'aucun dispositif de

rehaussement du rang de subordination des

créances

Tableau 7 : Eligibilité à la couverture de SCR pour les FPA

- 35 -

Chapitre III. Méthodes réglementaires

Afin de quantifier l’impact de la nouvelle réforme SBR sur le portefeuille non-vie de la

MATU, nous allons nous focaliser dans ce chapitre sur l'estimation des provisions des sinistres

à payer (PSAP) en utilisant les méthodes réglementaires.

Selon l’article 245 du code des assurances, les compagnies d’assurances et de

réassurance sont tenues de produire tout état, compte rendu, tableau ou document de nature

à permettre de contrôler leurs situations financières, la marche de leurs opérations, l’émission

des primes et cotisations, le règlement des sinistres, l’évaluation et la représentation des

provisions techniques dans la forme et les délais fixés par voie réglementaire.

A cette fin, la tenue d’une comptabilité revêt une importance considérable pour toute

entreprise d’assurance et /ou de réassurance, car tout en se servant de moyen de contrôle

par les autorités de tutelle, elle permet à la compagnie d’évaluer succinctement sa situation

financière et d’authentifier sa solvabilité.

Les entreprises d’assurances et/ou de réassurance sont tenues par la réglementation

d’inscrire à tout moment à leur passif les provisions techniques suffisantes pour le règlement

intégral des engagements pris vis à vis des assurés, souscripteurs et bénéficiaires de contrats.

Trois méthodes sont utilisées dans l’évaluation règlementaire :

La méthode dossier par dossier.

La méthode du coût moyen.

La méthode de cadence de règlement.

Cependant, la réglementation prévue une classification de ces méthodes selon les

branches :

Figure 15 : Classification des méthodes prévue par la réglementation en vigueur

Ainsi, dans notre cas où nous avons étudié la branche RC Auto Corporels de la catégorie

TPV ; nous serons amenés à évaluer les PSAP de cette branche par les trois méthodes ci-

dessus.

La bonne qualité des évaluations est essentielle, car elle permet d’être certain

d’assumer nos engagements à l’égard de nos assurés et des tiers et d’éviter le sur-

- 36 -

provisionnement tout comme le sous-provisionnement car ceux-ci sont sources d’erreur sur

le pilotage de la compagnie.

Le sur-provisionnement entraînera un boni à venir, donc un résultat futur

supplémentaire. Mais ce manque de résultat immédiat entraîne des réactions de la part de

l’entité qui risquent d’être inappropriées comme :

Augmentation trop forte des tarifs

Surveillance du portefeuille accrue inutilement

Participation bénéficiaire inférieure aux intermédiaires.

A l’inverse, le sous-provisionnement entraînera un malus à venir et donc à court terme:

Les tarifs sont insuffisants.

La surveillance du portefeuille est moins efficace.

La participation bénéficiaire est trop importante et « indue » aux intermédiaires.

Ainsi, l’analyse des boni-mali de liquidation, définis comme l’évolution de la charge de

sinistre d’un exercice de souscription (Cumul de règlements + PSAP) d’un exercice comptable

au suivant, peut constituer un indicateur sur la qualité de la politique de provisionnement

adoptée par la compagnie : En théorie, la charge de sinistres d’un exercice de survenance

donné devrait rester stable lors du passage d’une année comptable à une autre.

Dans le cas d’une attitude de provisionnement prudente à l’ouverture ou pendant les

premières années de développement, la compagnie dégagera par la suite des bonis de façon

régulière. Dans le cas inverse d’une évaluation initiale insuffisante, la compagnie se retrouvera

par la suite avec une chronique de malis.

I. Méthode dossier par dossier :

I.1 Présentation

Un sinistre est rarement réglé en totalité l’année même de sa survenance. D’où la

nécessité, et même l’obligation, pour les compagnies d’assurance d’estimer le coût définitif

des sinistres afin de provisionner la différence entre ce coût estimé définitif et les règlements

déjà effectués. Ces provisions, renseignées pour chaque sinistre ouvert (et donc connu de

l’assureur) s’appellent les provisions dossier/dossier (D/D). Pour les sinistres relevant des

risques de fréquence ce coût définitif est souvent un coût moyen.

Cette méthode est la plus appliquée de toutes les méthodes d’estimation ; elle consiste

à faire évaluer par le gestionnaire du dossier le coût de chaque sinistre en suspens, en tenant

compte, à tout moment, de toute l’information disponible. Mais, en raison du délai existant

souvent entre la date de survenance et la date de déclaration, un certain nombre de sinistres,

déjà survenus, ne sont toujours pas connus de l’assureur à la fin de l’année calendaire de

survenance. Il n’existe donc pas de provisions D/D à ce titre. Ces sinistres, pour lesquels

l’année d’ouverture est postérieure à l’année de survenance, sont appelés tardifs (IBNR :

- 37 -

incurred but not reported). L’assureur doit alors constituer des provisions complémentaires

pour y faire face.

La provision d'un dossier est égale à son coût final estimé diminué des paiements

partiels déjà intervenus ; la provision pour sinistre déclaré à régler est la somme de toutes ces

provisions individuelles

i

ii

DD

déclarés RéglementesChPSAP )arg(/

A cette provision, on rajoute le montant estimé pour la réserve des tardifs IBNR prend

en charge les sinistres survenus mais non déclarés à la date de clôture de l’exercice.

IBNRPSAPPSAP DD

déclarés

DD //

La valeur estimée de la réserve des tardifs (le coût des sinistres survenus et non

déclarés) est égale au produit du nombre des sinistres non déclarés et du coût moyen de ces

derniers.

IBNRNCMIBNR

Donc, pour calculer cette provision, on sera amené à déterminer le nombre des

sinistres survenus non déclarés par exercice de survenance ainsi que le coût moyen des

sinistres. Le cout moyen (CM) s'obtient en divisant le coût des sinistres réglés et classés sans

suite (fermés) au cours des cinq derniers exercices par leur nombre pour la même période.

NSF

CSFCM

Avec : CSF : Coût des sinistres fermés au cours des 5 dernières années. NSF : Nombre des sinistres fermés au cours des 5 dernières années.

Pour estimer le nombre des sinistres survenus et non déclarés pendant la période de

référence, l'ACAPS propose la méthode de Chain Ladder.

La méthode d’estimation dossier par dossier suppose que les gestionnaires des

sinistres sont capables d’évaluer correctement les coûts finaux. Si ceux-ci sont confrontés avec

un grand nombre de sinistres de même catégorie, on peut espérer que les sinistres sous-

évalués et les sinistres sur évalués vont se compenser mutuellement aussi longtemps qu’il n’y

a pas de biais ou d’erreur systématique dans les évaluations individuelles.

En pratique, les gestionnaires ont plutôt tendance à surévaluer les coûts des sinistres,

notamment parce qu’ils craignent d’être accusés de mauvaise gestion si le sinistre venait à se

terminer pour un montant supérieur à son évaluation. De plus, ils n’appliquent guère le calcul

probabiliste.

- 38 -

I.2 Application :

A l'aide du tableur Excel et en utilisant la base de données des sinistres survenus entre

2008 et 2017, nous allons créer un tableau dans lequel nous avons pour chaque année de

survenance la réserve à la fin de l'exercice comptable 2017.

Réserves Exercice comptable

Catégorie Exercice de survenance 2017

C

2008 1652,64

2009 1256,64

2010 1271,16

2011 1483,68

2012 3900,6

2013 12889,8

2014 8968,08

2015 12470,04

2016 16258,44

2017 27033,6 Total 160743

Tableau 8 : Les réserves Dossier par Dossier

Pour les IBNR, nous estimons tout d'abord leur nombre par la méthode de Chain

Ladder3, puis nous évaluons leurs montants par la méthode du coût moyen4. L'exposé de ces

deux méthodes sera relaté dans les paragraphes qui suivent.

Facteurs de développement

f1 f2 f3 f4 f5

1,1650 1,0170 1,0066 1,0053 1,0022

Tableau 9 : Les paramètres de Chain-Ladder

Ces coefficients de passage nous permettent de compléter le tableau mais surtout

d’avoir la dernière colonne :

3 La méthode de Chaine-Ladder sera expliquée dans le Chapitre IV. 4 L'exposé de la méthode du coût moyen sera relaté dans le troisième point de ce chapitre

- 39 -

Année de développement

Année 1 2 3 4 5 Valeur Ultime IBNR

2012 1090,32 1174,8 1186,68 1199,88 1203,84 1206,48 0

2013 953,04 1234,2 1260,6 1268,52 1277,76 1280,4 2

2014 1186,68 1341,12 1374,12 1378,08 1388,64 10

2015 946,44 1137,84 1149,72 1165,56 12

2016 912,12 1040,16 1073,16 25

2017 1103,52 1326,6 169

Total IBNR 216

Tableau 10 : Le nombre des IBNR réglementaires

La réserve totale dossier par dossier sera donc la somme de la réserve dossier par

dossier des sinistres déclarés et non conclus et de la réserve des IBNR.

Année Dossier / Dossier Nombre IBNR Les réserves des IBNR D/D corrigé par les IBNR

2007 5173,08 5173

2008 1652,64 1653

2009 1256,64 1257

2010 1271,16 1271

2011 1483,68 1484

2012 3900,6 0 3901

2013 12889,8 19 21 12911

2014 8968,08 57 84 9052

2015 12470,04 121 126 12596

2016 16258,44 275 263 16521

2017 27033,6 982 1 775 28809 Réserve totale 92357,76 1 455 2 269 94627

Tableau 11 : Réserves Dossier par Dossier corrigées par les IBNR

Donc la réserve totale s’élève à : 94 627.

I.3 Critiques

Cette méthode est la plus utilisée parmi les autres méthodes d'évaluation des

provisions. Cependant elle est la plus critiquée ; elle est coûteuse, elle peut engendrer un biais

dans l'estimation de la vraie réserve et repose presque exclusivement sur le jugement

subjectif d’un gestionnaire de sinistres. Celui-ci pourrait par exemple estimer qu’il a « bien »

géré un sinistre lorsqu’il le clôture pour un coût inférieur à l’estimation qu’il avait lui-même

posée ; en se généralisant à l’échelle du département sinistre, une telle attitude conduit

inévitablement à une surévaluation systématique et introduire ainsi un biais dans le calcul de

la provision pour prestations à régler.

- 40 -

II. Méthode de la cadence de règlement :

II.1 Présentation

La méthode de cadence de règlement consiste à évaluer la charge de sinistres à payer

dans le futur pour chaque exercice de survenance non encore totalement liquidé (c‘est à dire

pour lequel il est estimé que tous les sinistres ne sont pas encore connus ou traités). Cette

méthode sous-entend que le futur ressemblera au passé, c’est à dire que l’ensemble des

éléments de l’activité de la compagnie sont restés stables :

Pas de modification de la politique de souscription.

Pas de modification d’organisation.

Pas de modification des outils et procédures de traitement des dossiers.

Pas d’événements extérieurs perturbateurs.

Ainsi que cela est précisé dans les textes, la méthode considère une durée de

développement de 5 ans. Cela signifie qu’il est considéré que tous les dossiers sinistres sont

connus et liquidés au bout de 5 ans. La méthode présuppose que rien dans la compagnie n’a

changé au cours de ces 5 années.

L'une des exigences de cette méthode est l'établissement d'un tableau triangulaire

comportant pour chaque année et sur une période d'au moins dix ans :

Les règlements cumulés par exercice comptable,

Les évaluations successives dossier par dossier corrigées par les IBNR par année

de survenance,

L'évolution de la charge des sinistres.

Le tableau triangulaire est utilisé pour calculer la cadence de règlement pour chaque

année de liquidation.

La cadence de règlement pour chaque année de liquidation, est calculée en divisant

les règlements cumulés relatifs à cette année par la charge de sinistres relative aux exercices

de survenance ayant atteint cette année de liquidation.

𝐶𝑎𝑑𝑒𝑛𝑐𝑒𝑗 =𝑅è𝑔𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑗

𝐶ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑖 𝑜𝑛𝑡 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑙𝑎 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑗

Avec j est la période de développement.

Avec i est l'année de survenance.

Tous les règlements et les nombres de sinistres utilisés dans les méthodes

réglementaires sont cumulés.

- 41 -

Dans la suite de cette étude, les données considérées seront représentées sous la

forme d'un triangle dit triangle de Run-Off qui contient les paiements cumulés.

1

2,1

1,22221

111211

..

...

.....

..2

...1

..21/

n

n

n

Cn

C

i

CCC

CCC

njji

Où :

i : année de survenance des sinistres (année d'accident) ;

j : année de règlement des sinistres (de développement) ;

Cij : le montant cumulé des paiements à l’année de développement j relatifs à l’année de survenance i.

II.2 Application :

La méthode de la cadence des règlements repose sur le triangle de Run-Off qui

contient les montants cumulés des règlements pour les sinistres corporels d'une année de

survenance i et une année de règlement j. Nous commençons donc par le calcul des

règlements cumulés ainsi que de la réserve dossier par dossier corrigée par les IBNR.

Le graphique ci-après présente le développement des règlements cumulées des divers

exercices met en évidence l’aspect systématique et régulier du phénomène. Nous constatons

une forte variation des règlements pour les sinistres survenus 2013 et 2014, et une

progression sensible entre l’âge « 1 », l’âge « 2 » et l’âge « 3 ». Ensuite, les règlements ne se

transforment que faiblement.

- 42 -

Figure 16 : Evolution des règlements cumulées

Ensuite, nous calculons le règlement total des sinistres pour chaque exercice de

survenance à la fin de l’exercice comptable 2017 (la somme du total des règlements et de la

réserve dossier par dossier à la fin de l’exercice comptable 2017).

Année de

survenance Année comptable 2017

Total règlement Réserve D/D Charge totale Charge cumulée 2007

15899 5173 21072 21072 2008

19329 1653 20981 42054 2009

14083 1257 15340 57394 2010

15711 1271 16982 74375 2011

12054 1484 13538 87913 2012

12995 3901 16896 104809 2013

21930 12918 34848 139657 2014

21028 9079 30107 169764 2015

12192 12636 24828 194592 2016

4961 16606 21566 216158 2017

1481 29377 30858 247016

Tableau 12 : La charge totale des sinistres corporels pour l’exercice comptable 2017

Nous obtenons donc les cadences suivantes :

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2007 2008 2009 2010 2011 2012

2013 2014 2015 2016 2017

- 43 -

Tableau 13 : La cadence de liquidation

Ce tableau montre une croissance de cadence dans le temps, un résultat qui est logique

puisque en avançant dans le temps nous devrions rembourser tous les sinistres survenus. Le

graphe ci-après illustre bien ce résultat :

Figure 17 : La cadence de liquidation

Cependant, le déroulement des sinistres dépend de la branche en question (i.e. du type

de risque). Le figure ci-après donne une idée des cadences de règlement pour trois branches :

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

Cadence de règlement

C0 5%

C1 26%

C2 51%

C3 67%

C4 74%

C5 84%

C6 89%

C7 91%

C8 92%

C9 92%

- 44 -

Figure 18 : Graphe d’évolution de la cadence moyenne par année de développement

Ce graphique représente la moyenne des cadences des règlements observées à fin

2017 sur 15 années de développement. L’axe horizontal représente les années de

développement alors que l’axe vertical, représente le pourcentage de règlement par rapport

à la charge sinistre estimée. Un premier constat permet rapidement de dire que le

développement de la branche TPV est relativement long, alors que les deux autres branches

représentées par les courbes ci-dessus sont dans les normes (pour des sinistres corporels).

En effet, pour atteindre 80%, la branche TPV a besoin de 9, 10 ans alors que les deux

autres branches l’atteignent en 6, 7 ans.

Pour obtenir enfin la réserve de la cadence de règlement, nous appliquons pour

chaque exercice de survenance la formule citée ci-dessous :

𝑃𝑆𝐴𝑃𝑖𝐶𝑅 = 𝑅è𝑔𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 ∗

1 − 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛−1𝐶𝑎𝑑𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛−1

Notons que la formule donnant la réserve (𝑃𝑆𝐴𝑃𝑖𝐶𝑅) se base sur l’idée que le ratio des

pourcentages est égal à celui des montants et on peut la réécrire comme suit :

La réserve totale (ce qui reste à payer)

Réglements cumulés(ce qui a été payé) =

100−𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛−1(𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑦é𝑠)

𝐶𝑎𝑑𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛−1(𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑔𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑦é𝑠)

La réserve totale se déduit par la somme de la réserve relative à chaque année de

survenance.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

110,00%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Tourisme, 2 ou 3 roues et Autres TPV Utilitaires

- 45 -

Année de survenance Réserve

2017 1653

2016 1233

2015 1572

2014 1534

2013 2533

2012 7425

2011 10461

2010 11653

2009 14395

2008 26599

Tableau 14 : réserves par année d’exercice

Donc la réserve totale s’élève à : 79 057.

III. Méthode du coût moyen :

III.1 Présentation

Cette méthode consiste à appliquer aux sinistres connus en nombre un coût moyen

estimé à partir des données de la compagnie. Le coût moyen des sinistres réglés, est

généralement interprété comme la moyenne des montant réglés au cours d’une année. Or ce

n’est pas ce qui est recherché. Le but du provisionnement est de tenter d’estimer les coût

futurs totaux pour la compagnie (ses engagements), et non le montant qu’elle est susceptible

de payer l’année suivante.

En conséquence, le coût moyen à retenir est celui des dossiers définitivement réglés,

ce qui constitue bien une estimation des engagements probables de la compagnie. Le coût

moyen s'obtient en divisant le coût des sinistres réglés au cours des cinq derniers exercices

par le nombre de sinistres réglés ou classés sans suite pour la même période.

Ce coût moyen est appliqué, pour chaque exercice, au nombre total des sinistres y

compris l'estimation de ceux non déclarés appelés les tardifs ou IBNR. Pour estimer les tardifs,

l’ACAPS propose la méthode de Chain Ladder présentée dans le chapitre suivant.

Il faut noter que le coût moyen est appliqué seulement aux exercices pour lesquels la

provision pour sinistres à payer calculée dossier par dossier, est supérieure à 30% de la charge

totale des sinistres. Toutefois, cette méthode n'est appliquée que pour les dix derniers

exercices au plus.

𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝐶𝑀 = 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑟𝑣𝑒𝑛𝑢𝑠 ∗ 𝐶𝑀 − 𝐶𝑢𝑚𝑢𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑟è𝑔𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 Ainsi, l’application de cette méthode nécessite trois étapes à suivre :

Première étape : estimation des sinistres survenus et non déclarés

Deuxième étape : estimation des coûts moyens

Troisième étape : estimation des provisions

- 46 -

III.2 Application :

Nous commençons tout d'abord par le calcul du coût moyen. Pour ce faire, nous

devons calculer la charge des sinistres soldés et le nombre de ces sinistres pour les cinq

dernières années.

La charge totale des sinistres soldés

Exercice comptable

2017 2016 2015 2014 2013

13740 20562 16322 12169 11071

Tableau 15 : La charge totale des sinistres soldés

Tableau 16 : Nombre des sinistres soldés

Le coût moyen sera donc égal au rapport entre la somme de la charge des sinistres

soldés et le nombre total des sinistres soldés sur les cinq dernières années, soit :

49,107037

73863CM

Ainsi, nous obtenons la réserve coût moyen pour les sinistres déclarés en utilisant la

formule suivante :

𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝐶𝑀 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑑é𝑐𝑙𝑎𝑟é𝑠

= (𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑟𝑣𝑒𝑛𝑢𝑠 ∗ 𝐶𝑀) – (𝑟è𝑔𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑎𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑠 + 𝑟è𝑔𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 𝑙′𝑎𝑛𝑛é𝑒)

Pour cela, nous passons à l'élaboration des tableaux donnant le nombre total des

sinistres de la branche étudiée, ainsi que ceux donnant le cumul des règlements (la somme

des règlements antérieurs et des règlements de l'année), à la fin de l’exercice comptable 2017.

Nombre total des sinistres soldés

Exercice comptable

2017 2016 2015 2014 2013

1488 1973 1468 969 1139

- 47 -

Nombre des sinistres Exercice comptable

Exercice de survenance 2017

2008 1267

2009 1249

2010 1357

2011 1150

2012 1206

2013 1280

2014 1389

2015 1166

2016 1073

2017 1327

11137

Tableau 17 : Le nombre total des sinistres

Règlements de l’année Exercice comptable

Exercice de survenance 2017

2008 1

2009 6

2010 7

2011 34

2012 23

2013 53

2014 328

2015 521

2016 983

2017 898

2 854

Tableau 18 : Les règlements de l’année

- 48 -

Tableau 19 : Réserve par la méthode Cout Moyen

Notons que la réserve coût moyen dépendra de la valeur du taux obtenu (Réserve

dossier par dossier / charge totale) « voir annexe 1 » :

Si le taux obtenu est inférieur à 30% : la réserve coût moyen sera égale à la

réserve D/D;

Si le taux obtenu est supérieur à 30% : deux cas sont envisageables :

Si la réserve CM des sinistres déclarés < 0 : la réserve CM totale sera égale

à la réserve D/D;

Sinon : la réserve CM totale sera égale à la somme de la réserve des sinistres

déclarés et la réserve des IBNR

Donc la réserve totale égale à 50 351.

IV. Réserves retenues par les méthodes réglementaires :

D’après la réglementation marocaine5, les sinistres sont évalués dossier par dossier

augmentée d'une estimation du coût des sinistres survenus mais non déclarés à la date de

l'inventaire. L'évaluation obtenue ne doit pas être inférieure à l'évaluation la plus élevée

dégagée par les méthodes forfaitaires (coût moyen ou cadence de règlement).

En effet, pour les exercices où le montant de la provision calculée dossier par dossier

corrigée par les IBNR est inférieur au montant le plus élevé calculé par les méthodes

forfaitaires, un complément de provision (PC) est constitué comme suit :

𝑃𝐶 = 𝑀𝑎𝑥 (𝑀𝑎𝑥 (𝑟é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝐶𝑀, 𝑟é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑟è𝑔𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠) − 𝐷/𝐷 + 𝑡𝑎𝑟𝑑𝑖𝑓𝑠, 0)

5 Voir annexe 1

AS NSS CM NB * CM Cumul des

règlements

Provision

CM

Réserve

résiduelle

Charge

sinistres RES/CHG Provision

2008 1267 10,49 13291 14643 -4566,33 1653 15895 - 1653

2009 1249 10,49 13102 10669 -739,28 1257 11621 - 1257

2010 1357 10,49 14235 11902 -1111,57 1271 12865 - 1271

2011 1150 10,49 12064 9132 10,48 1484 10256 0,1096 1484

2012 1206 10,49 12651 9845 -251,17 3901 12800 - 3901

2013 1280 10,49 13427 16614 -6432,37 12918 26400 - 12918

2014 1389 10,49 14571 15930 -4887,65 9079 22808 - 9079

2015 1166 10,49 12231 9236 43 9573 18809 0,509 43

2016 1073 10,49 11256 3758 6304 12579,5 16337 0,77 6304

2017 1327 10,49 13920 1122 12444 22254,5 23376 0,952 12444

- 49 -

Nous obtenons ainsi, les résultats suivants :

Tableau 20 : La réserve complémentaire des sinistres répartie par année de survenance

Donc la réserve retenue pour chaque exercice de survenance est la somme de la

réserve dossier par dossier corrigée par les IBNR et la réserve complémentaire.

Année de

survenance D/D + tardifs CM Cadence

2007 5173 5173 5173

2008 1653 1653 1653

2009 1257 1257 1233

2010 1271 1271 1572

2011 1484 1484 1534

2012 3901 3901 2533

2013 12918 12918 7425

2014 9079 9079 10461

2015 12636 42 11653

2016 16606 6304 14395

2017 29377 12444 26599

Total 94 627 50 351 79 057

Tableau 21 : Les réserves réglementaires retenues

L’exposé théorique et numérique du schéma réglementaire marocain en matière de

constitution des PSAP nous a menées à une estimation de la réserve de 94 627.

Notons que pour les autres sinistres RC, La démarche reste la même. Toutefois, seul la

méthode Dossier/Dossier et coût moyen sont applicables (cadence exclue) comme nous

l’avons présenté au début de ce chapitre dans la figure 16.

Tout au long de l’application des méthodes imposées par l’autorité de tutelle, on

constate que ces techniques sont carrément comptables et visent avant tout à avoir une

provision conforme aux exigences de réglementation. Cependant, il est à noter qu’une

certaine marge d’appréciation subjective est laissée à l’assureur grâce à la méthode

d’inventaire D/D. Ainsi, le calcul des PSAP donne lieu à une grande marge d’erreur en

impliquant l’expérience personnelle du gestionnaire de risque et son habilité à évaluer avec

acuité les risques futurs.

Année de survenance 2 008 2 009 2 010 2 011 2 012 2 013 2 014 2 015 2 016 2 017

Complément 0 0 0 228 38 0 0 1047 0 0

- 50 -

Chapitre IV. Les méthodes déterministes du calcul

des réserves et du BE

Selon l’article 26 du projet SBR, La meilleure estimation (BE) des engagements pour

sinistres nets de recours est déterminée en actualisant, les flux de règlements futurs

probabilisés nets de recours relatifs aux sinistres survenus afférents aux contrats. Les flux de

règlements futurs probabilisés nets de recours sont estimés sur la base de la partie supérieure

du triangle de règlements. Afin de prévoir la partie inférieure du triangle qui est inconnue,

l’ACAPS propose, dans ledit Projet, la méthode de Chain Ladder qui fait partie aux méthodes

déterministes.

Ainsi, dans ce chapitre, nous étudions un package de ces méthodes pour pouvoir

déterminer les avantages et les inconvénients de chaque méthode étudiée tout en focalisant

sur celle de Chain-Ladder. Néanmoins, le Projet de circulaire dispose que l’entreprise

d’assurances et/ou de réassurance doit vérifier le caractère approprié de la méthode précitée

au regard des spécificités de son portefeuille d’engagements. Ainsi, les compagnies peuvent

utiliser une autre méthode pour le calcul du BE et ce, après l’accord de l’Autorité.

Ces méthodes de provisionnement, qui dites agrégées (par opposition aux méthodes

de provisionnement individuelles), reposent sur les hypothèses suivantes :

Stabilité du délai s'écoulant entre la survenance d'un sinistre et le(s) règlements(s), quel que soit l'exercice de survenance ;

Absence de changement de structure du portefeuille ;

Les garanties des contrats, franchises restent les mêmes ;

La gestion des sinistres ne change pas.

Si toutes ces hypothèses sont vérifiées sur une période suffisamment longue, les

méthodes déterministes constituent un outil intéressant pour prévoir la charge finale. Pour

chacune des variantes de Chain Ladder, des hypothèses de départ doivent être supposées.

Cependant, après avoir abouti aux résultats voulus, il est nécessaire de revoir la justesse de

nos suppositions, surtout lorsqu’il s’agit d’hypothèses fortes.

I. Les méthodes de Chain Ladder

Comme nous l’avons déjà expliqué, L’idée de base de cette méthode repose sur l’usage

des facteurs de développement déjà définis et ce, dans le but de prédire les données futures

manquantes rien qu’en se référant à celles déjà observées.

Tout au long de cette section, on reste fidèle aux notations suivantes :

- 51 -

i est l’indice de l’année de survenance.

j est l’indice du délai de déroulement.

𝐶𝑖𝑗 est le le montant des paiements cumulé jusqu'en l'année de développement j

des sinistres survenus en l'année d'accident i.

N est l’indice de l’exercice dont nous cherchons la provision. Puisque nos indices commencent avec un zéro, nous travaillons donc sur n+1 années.

Toutefois, il faut vérifier que, pour chaque exercice de déroulement, les éléments de

la 𝑗 è𝑚𝑒 colonne sont sensiblement constants et proches du facteur de développement

estimé 𝑓𝑗 . Si tel n’était pas le cas, il faudrait prendre d’autres valeurs pour les (𝑓𝑗)𝑗=0..𝑛−1

Ainsi, afin de pallier ce problème, il existe d’autres méthodes qui dérivent de la

méthode de Chain Ladder standard et qui se nomment « méthode de Chain Ladder Pondéré ».

Ces dernières déterminent les facteurs de développement (𝑓𝑗)𝑗=0..𝑛−1 à partir des éléments

de la 𝑗 è𝑚𝑒 colonne du triangle des facteurs grâce à la formule suivante :

𝑓𝑗= ∑ 𝑤𝑖,𝑘∗𝑓𝑖,𝑘𝑛−1𝑘=0

∑ 𝑤𝑖𝑘𝑛−1𝑘=0

Où les 𝑊𝑖,𝑗 correspondent à une pondération choisie en fonction des spécificités des

𝑓𝑖,𝑗.

Plusieurs pondérations sont fréquemment utilisées. En voici une liste non exhaustive :

– La moyenne : 𝑊𝑖,𝑗 = 1 d’où fj =(∑ 𝑓𝑖,𝑘)/(𝑛 − 𝑗)𝑛−1𝑘=0

– La moyenne des m derniers, (ie 𝑤𝑖,𝑘 = 1 si k=n-m et 𝑤𝑖,𝑘 = 0 sinon)

– Le dernier 𝑓𝑗 =𝑓𝑛−𝑗−1,𝑗

– 𝑤𝑖,𝑘 =𝑓𝑛−𝑗−1,𝑗

– 𝑤𝑖,𝑘= (𝑖 + 𝑗 − 1) 2

– 𝑤𝑖,𝑘= 𝐶𝑖,𝑘 qui revient à faire la méthode standard.

I.1 La méthode de Chain Ladder Standard

C’est probablement la méthode la plus connue pour ce qui est de l’estimation des

réserves. C’est une estimation linéaire de la courbe des paiements. Cette méthode de type

𝐴𝑅(1) , caractérisant un modèle linéaire avec constante nulle, applicable à toute sorte de

triangles (de dépenses, de charges, de nombre de sinistres). Cependant, au cours de notre

étude, nous nous contenterons de l’appliquer uniquement au triangle des paiements cumulés

)( , jiCC . 1,...,1,0 nj

- 52 -

I.1.1 Les hypothèses de base

La méthode de Chain Ladder repose sur une première hypothèse d’indépendance des

années de survenance des sinistres. En pratique, cette hypothèse est généralement admise et

ne nécessite pas une vérification précise.

Par ailleurs, les facteurs de développement étant grandement impliqués dans la

procédure utilisée par Chain Ladder Standard, ils font l’objet d’une forte hypothèse

indispensable à la logique de cette méthode. En effet, implicitement, la méthode Chain Ladder

Standard suppose que les facteurs de développement individuels (ou les ratios) 𝑓𝑖,𝑗 =𝐶𝑖,𝑗+1

𝐶𝑖,𝑗

sont indépendants de l’année d’origine i. Autrement, cela signifie que le pourcentage des

sinistres liquidés entre deux années comptables successives ne dépend pas de l’année de

survenance de ces sinistres. Ainsi, :1,...,1,0 njj

jjn

jjn

ji

ji

j

j

j

j

C

C

C

C

C

C

C

C

,1

1,1

,

1,

,1

1,1

,0

1,0...

Nous avons donc, pour 𝑗 allant de 1 à n, 𝐶𝑖,𝑗+1

𝐶𝑖,𝑗 = cte, que nous notons 𝑓𝑗. Cela dit que

les facteurs de développement individuels relatif à une année de développement j doivent

être significativement proche de la moyenne des facteurs de développement individuels sur

ladite année. Cette constatation fera certainement l’objet d’une vérification.

I.1.2 L’estimation de la réserve

Il s’agit de calculer les éléments manquants du tableau en estimant les paiements

futurs pour aboutir à un rectangle complet de liquidation.

En pratique, l’hypothèse d’indépendance n’étant qu’approximativement vérifiée, nous

avons recours à des facteurs plus synthétiques et communs. Il s’agit des facteurs définis tels

que :

𝑓𝑗= ∑ 𝐶𝑖,𝑗+1𝑖=𝑛−𝑗−1𝑖=0

∑ 𝐶𝑖𝑗𝑖=𝑛−𝑗−1𝑖=0

A l’aide de ces coefficients de passage communs, on procède à l’estimation des

montants manquants comme suit :

𝐶𝑖,𝑗 = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖 ∗ 𝑓𝑛−𝑖 ∗ … .∗ 𝑓𝑗−1 = 𝐶𝑖,𝑛−1∏ 𝑓ℎ𝑗−1ℎ=𝑛−𝑖 pour le cas où nous avons 𝑖 + 𝑗 > 𝑛

Notons que la charge ultime 𝐶𝑖,𝑛 est égale à la charge totale « Si » de tous les sinistres

survenus dans la même année i.

L’étape suivante consiste à retrouver la provision globale pour l’année considérée. Elle

est égale à la somme des réserves calculées par année de survenance. Si nous notons R la

provision globale et Ri la provision relative à l’année i, nous aurons :

- 53 -

{

Ri = Cin – Ci,n−i

R =∑Ri

𝑛

𝑖=1

Les coefficients de développement se présentent ainsi :

Tableau 22 : Les coefficients de passage

Suite à une application directe des formules précédentes, nous complétons les

éléments manquants du tableau pour aboutir aux valeurs des réserves annuelles, à

l’estimation de la valeur globale et à la valeur du Best Estimate.

Ainsi, Le compliment de la figure 5 dans la section V.2.1 est :

Figure 19 : Evolution des règlements cumulés des sinistres par années de survenance (CLS)

Les deux tableaux suivants présentent les réserves annuelles et les cash-flows estimés

pour cette méthode :

An 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

PSAPi - 6 17 338 537 1147 3212 6117 8286 11679 21934

Tableau 23 : les réserves annuelles estimé par CL

An 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027

Cash-flow 19091 14750 8662 4950 2739 1699 863 486 26 8

Tableau 24 : les cash-flows estimé pas CL

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2007 2008 2009 2010 2011 2012

2013 2014 2015 2016 2017

j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

𝑓𝑗 4,71 2,00 1,30 1,13 1,05 1,03 1,02 1,02 1,001 1,00

- 54 -

Nous obtenons donc le montant des réserves R globales : R = ∑ Ri2017𝑖=2008 = 53 273

Le BE est calculé en utilisant la méthodologie présentée dans le chapitre II (section

III.1.2 et figure 9). Ainsi, après l’actualisation des cash-flows par la courbe des taux

communiqué par l’autorité (figure 10) ; nous trouvons que le BE pour sinistres égal 50 230.

I.1.3 La validation de l’hypothèse d’indépendance des coefficients de passage

Il existe deux façons pour vérifier l’exactitude de l’hypothèse d’indépendance des

facteurs de développement. La première est purement graphique alors que la deuxième

repose plutôt sur le calcul et l’interprétation de quelques statistiques de base.

1) La vérification par C-C Plot

Suivant cette méthode, nous nous devons de générer, pour chaque j fixé, un graphe

de couples (Cij, Ci,j+1), i allant de 0 jusqu’à n-j-1. Pour valider l’hypothèse, il suffit de trouver

un nuage de points s’alignant autour d’une droite fictive passant pas l’origine.

En effet, nous constatons sur les diagrammes C-C Plot générés que les nuages de points

décrivent la silhouette d’une droite passant par l’origine (voir annexe 2). De ce fait, on

confirme la justesse de notre hypothèse.

2) La vérification par le coefficients de variation

Une autre alternative pour tester l’hypothèse d’indépendance repose sur l’usage du

D-triangle. Ce dernier n’est autre qu’un tableau triangulaire formé des coefficients de passage

déjà définis. Pour être plus précis, notre objectif est de calculer sur chaque colonne du D-

tableau que l’on va définir, quelques statistiques basiques, à savoir l’espérance (m), l’écart-

type (ϭ) et le coefficient de variation (cv).

L’idéal serait de pouvoir affirmer avoir une volatilité très faible grâce à un cv

décroissant et insignifiant.

Le tableau des statistiques sur lesquelles nous allons nous baser pour vérifier la

véracité de l’hypothèse d’indépendance est le suivant :

Tableau 25 : Les caractéristiques de dispersion D-triangle

Le coefficient de corrélation est relativement petit pour les premières colonnes et il

continue à diminuer jusqu’à atteindre la valeur 0. Il est donc clair que nous avons une volatilité

négligeable et que par conséquent, l’indépendance des facteurs de développement est

établie.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

m 4,74 1,99 1,30 1,13 1,05 1,04 1,02 1,02 1,0009 1,0003

σ 1,11 0,16 0,06 0,04 0,01 0,43 0,46 1,02 0,0001 0,0000

cv 0,24 0,08 0,05 0,03 0,01 0,41 0,45 1,0001 0,0001 0,0000

- 55 -

I.2 Les méthodes de Chain Ladder pondérées

Dans cette section, nous sommes en présence d’une autre variante de la méthode de

Chain Ladder. Le principe de calcul global est le même, seule diffère la procédure derrière le

choix des facteurs de développement à retenir pour les calculs de la provision finale.

Autrement dit, les méthodes de Chain Ladder pondérées gardent la même logique que Chain

Ladder standard et suivent les mêmes étapes dans le calcul sauf que les facteurs de

développement sont choisis d’une autre manière comme nous l’a vont présenter au début de

chapitre (section I).

L’étude commence par le D. triangle défini et construit dans le paragraphe précédent.

Sur une même colonne de ce triangle, des opérations sont faites sur les facteurs de

développement pour aboutir à un facteur ultime qui sera représentatif du passage entre les

deux délais consécutifs en question. Selon l’aspiration de chaque méthode de calcul, nous

choisissons la combinaison des coefficients qui sied le mieux :

La moyenne : on peut avoir recours à la moyenne si l’on veut inclure toutes les données

même les plus anciennes. Le calcul de cette moyenne s’avère particulièrement

judicieux quand la gestion de la sinistralité a été constante durant toutes les années

considérées.

La moyenne des trois derniers : nous calculons ici la moyenne arithmétique des trois

derniers facteurs de développement ; c’est-à-dire que, pour un même délai, on ne

tient compte que des trois dernières années comptables disponibles. Le calcul en est

ainsi plus abrégé mais la représentativité des données est moins présente, seules

mises en valeur les données les plus actuelles.

Le dernier facteur.

I.2.1 La moyenne des facteurs

Sur la base du D-triangle, nous calculons le tableau des moyennes par année de

développement :

j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

m 4,7388 1,9967 1,2994 1,1313 1,0538 1,0422 1,0212 1,0187 1,0009 1,0003

Tableau 26 : Les moyennes des facteurs par année de développement

Ainsi, la partie inférieure du triangle des règlements net de recours se complète. La figure suivante présente l’évolution des règlements estimés dans les années futures :

- 56 -

Figure 20 : Evolution des règlements cumulés des sinistres par années de survenance (CLP)

Prédire les montants de la partie inférieure du triangle, nous permet d’obtenir les

tableaux suivants qui présentent les réserves annuelles et les cash-flows estimés :

An 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Ri - 6 17 313 501 1111 3156 6184 8309 11695 22082

Tableau 27 : les réserves annuelles estimé par CLP1

An 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027

Cash-flow 19190 14830 8694 5000 2698 1663 812 454 26 8

Tableau 28 : les cash-flows estimé pas CLP1

Ainsi, la réserve pour sinistres à payer donnée par cette variante de Chain Ladder est

de 53 375 ; et le BE égale à 50 343

I.2.2 La moyenne des trois derniers facteurs

Nous procédons de même que précédemment en calculant en premier lieu les facteurs de développement uniquement sur la base des trois dernières observations.

j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M3 4,6166 2,0072 1,2995 1,1165 1,0543 1,0378 1,0239 1,0187 1,0009 1,0003

Tableau 29 : La moyenne des trois derniers facteurs de développement

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2007 2008 2009 2010 2011 2012

2013 2014 2015 2016 2017

- 57 -

L’illustration du tableau complété et les réserves calculées ainsi que les flux de cash-flows suite à ces facteurs se présentent comme suit :

Figure 21 : Evolution des règlements cumulés des sinistres estimés par CLP par la moyenne des 3 derniers facteurs

An 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Ri - 6,5 17,4 313,4 533,9 1088,1 3126,4 5796,1 8018,9 11545,0 21269,3

Tableau 30 : les réserves annuelles estimé par CLP2

An 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027

Cash-flow 18736,1 14432,9 8359,6 4655,6 2636,0 1573,4 850,1 438,2 26,4 7,9

Tableau 31 : les cash-flows estimé pas CLP2

Ainsi, la réserve pour sinistres à payer donnée par cette variante de Chain Ladder est

de 39 178,1 ; et le BE égale à 51 715.

I.2.3 Le dernier facteur

Le tableau suivant regroupe les facteurs de développement au titre de la dernière

année comptable et ce, pour chaque délai de déroulement :

j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fj 3,85 1,84 1,38 1,081 1,041 1,0554 1,002 1,001 1,0008 1,0003

Tableau 32 : Le dernier facteur du d-triangle

Ainsi, nous procédons la même démarche que précédemment, nous trouvons les résultats suivants :

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2007 2008 2009 2010 2011 2012

2013 2014 2015 2016 2017

- 58 -

Figure 22 : Evolution des règlements cumulés des sinistres estimés par CLP par le dernier facteur

An 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Ri - 6,5 16,2 28,4 44,2 769,7 2249,3 4030,0 7873,8 10099,3 15813,9

Tableau 33: les réserves annuelles estimé par CLP3

An 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027

Cash-flow 16419,48 11903,76 7149,12 2857,8 1506,12 974,16 66 30,36 18,48 5,28

Tableau 34 : les cash-flows estimé pas CLP3

Ainsi, la réserve pour sinistres à payer donnée par cette variante de Chain Ladder est

de 40 931 ; et le BE égale à 38 867.

I.2.4 Comparaison des résultats des méthodes de Chain Ladder

A ce stade, une petite comparaison des résultats obtenus par les différentes méthodes

s’impose. Effectivement, les graphes suivants sont un récapitulatif des différentes provisions

fournies selon chaque méthode :

Pour les provisions PSAP :

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2007 2008 2009 2010 2011 2012

2013 2014 2015 2016 2017

- 59 -

Figure 23 : comparaison des flux de réserves estimés par des méthodes Chain Ladder

Un bref coup d’œil sur le figure ci-dessus laisse entrevoir la surestimation des flux des réserves par la variante de CL Moyenne, par rapport aux autres variantes, le diagramme suivant quantifier ce constat :

Figure 24 : Récapitulatif des résultats des estimations des PSAP par des méthodes Chain Ladder

Nous présentons dans ce diagramme quelques statistiques descriptives de ces quatre estimations :

Provision moyenne 49823,60

Écart-type 5176,14

cv 10,39%

Tableau 35: Les caractéristiques statistiques des résultats Chain Ladder pour les réserves

Pour les cash-flows :

0

5000

10000

15000

20000

25000

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Chain-ladder standard moyenne moyenne. 3 derniers Le dernier facteur

53 273 53 375 51 715

40 931

-

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

Chain-ladder standard moyenne moyenne. 3 derniers Le dernier facteur

- 60 -

Figure 25 : comparaison des cash-flows estimés par des méthodes Chain Ladder

Figure 26 : Récapitulatif des résultats des estimations des BE par des méthodes Chain Ladder

Le diagramme suivant présente quelques statistiques descriptives de ces quatre

estimations du BE :

Provision moyenne 49 824

Écart-type 5176,1542

cv 10,39%

Tableau 36 : Les caractéristiques statistiques des résultats Chain Ladder pour les BE

Nous remarquons d’après ces résultats que les provisions moyennes, soit des PSAP ou

celles du BE, sont statistiquement presque égale. Même remarque pour l’écart type et le

coefficient de variation (cv). Ce résultat intéressant, nous permet au cas du besoin

0

5000

10000

15000

20000

25000

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Chain-ladder standard moyenne moyenne. 3 derniers Le dernier facteur

53 273 53 375 51 715

40 931

-

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

Chain-ladder standard moyenne moyenne. 3 derniers Le dernier facteur

- 61 -

d’approcher le BE par les réserves. Mais cela reste une hypothèse à tester. Néanmoins, nous

espérons que cette conclusion et les nombreuses questions qu’elle soulève fourniront une

bonne base de départ pour de futures études et recherches.

II. Les méthodes autorégressives

Les méthodes de Chain Ladder supposent à l’unanimité que pour une année de

déroulement fixée j dans [0, n-1], le nuage des points ((𝐶𝑖𝑗,𝐶𝑖,𝑗+1), où i se trouve dans

l’intervalle [0, n-j-1]) forme une droite passant par l’origine. Il s’avère en effet que cette

hypothèse est assez forte et qu’elle ne peut être vérifiée sur tous les jeux de données.

Pour alléger cette supposition contraignante et pour élargir le nombre des bases de

données sur lesquelles nous pouvons travailler, les méthodes autorégressives supposent

judicieusement que pour un j fixé, 𝐶𝑖,𝑗+1est une fonction affine de 𝐶𝑖𝑗.

II.1 La méthode de London Chain

Ce modèle suppose, contrairement à Chain Ladder, que les points (𝐶𝑖𝑗,𝐶𝑖,𝑗+1), sont

sensiblement alignés autour d’une droite qui ne passe pas obligatoirement par l’origine. Cela

signifie que la dynamique des 𝐶𝑖,𝑗+1est de la forme suivante : jijjji acfc 1, , avec i

appartenant à [0, n-j-1].

Cette relation s’assimile à une relation de régression linéaire simple où :

fj : est le paramètre de la régression linéaire simple.

aj : est la constante de régression.

Donc pour estimer le couple (fj, aj), nous procédons par la méthode des Moindres

Carrés Ordinaires (MCO). Dans ce sens, nous devons minimiser la fonction suivante :

2

1

1,

jn

i

ijjjji cfacS

Ainsi les estimations de (fj, aj), sont données en considérant que :

jn

i

jn

i

ijj

jn

i

ijjjiij

jn

i

jn

i

ijjjji

jn

i

ijjjjiij

jn

i

ijjjji

cfcacc

cfajnc

cfacc

cfac

1 1

2

1

1,

1 1

1,

1

1,

1

1,

0

0

0

0

Nous déduisons alors les valeurs des estimateurs

jjaf , :

jn

i

j

jij

jn

i

j

j

j

jjiij

j

cckn

ccccjn

f

1

22

1

11,

1

1

et j

jj

j

jj cfca

1

- 62 -

Avec :

jn

i

ij

j

j cjn

c1

1 et

jn

i

ji

j

j cjn

c1

1,1

1

En outre, on a convenu du fait que le dernier couple (fn-1, an-1) ne respecte pas les

formules de calcul ci-dessus. Donc, par convention a𝑛−1=0 et

jn

j

n

n

c

cf

1

1

Le tableau suivant est un récapitulatif des valeurs des couples (fj, aj), pour chaque j

donné :

j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

fj 3,1531 1,9963 1,3303 1,0161 1,0232 1,0295 1,2209 1,1327 1,0000 1,0003

aj 1357,02 3,46 -237,33 1080,60 306,66 134,87 -2351,72 -1371,14 12,00 0,00

Tableau 37 : Les valeurs des couples (fj, aj) pour la méthode de London Chain

Après avoir calculé les couples (fj, aj), nous complétons le triangle de paiement en se

basant sur l’équation du modèle déjà motionnée et nous en déduit les évolutions des

règlements cumulés illustrés dans le graphe suivant :

Figure 27 : Evolution des règlements cumulés des sinistres par années de survenance estimés par LC

Nous constatons que les valeurs des règlements cumulés de la 7ème année de

développement sont inférieures aux valeurs de la 6ème année pour l’année de survenance

2011, 2016 et 2017, ce qui ne respecte pas le principe du triangle cumulé qui suppose que les

valeurs de chaque ligne augmentent en passant d’une colonne à une autre.

Pour l’estimation des réserves, cette méthode nous donne un résultat de 31 161 ;

Quant au BE, la valeur est à la hauteur de 29 841

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2007 2008 2009 2010 2011 2012

2013 2014 2015 2016 2017

- 63 -

II.2 La méthode de London Pivot

Proposée par E. Straub pour réduire le paramétrage de la modélisation London Chain,

ce modèle intermédiaire entre les modèles Chain Ladder et London Chain suppose l’existence

de facteurs fj d’un paramètre « a » indépendant de j qui vérifie pour chaque valeur i de

l’intervalle [0, n-1] l’équation suivante :

)(1, acijfac jji pour 0,..., 1i n j

Ce modèle est estimé par moindres carrés sur les données du triangle supérieur, en minimisant :

21

0

1

0

1, )(

n

j

jn

i

ji acijfjac

Ce problème, sans solution analytique, ce qui implique la mise en œuvre d'un

algorithme itératif. Pour en résoudre le problème nous avons fait recours au solveur d’Excel qui utilise la méthode de Newton Raphson (voir annexe 6).

et les réserves qui en découlent sont :

Année de survenance Ri

2007 -

2008 5

2009 21

2010 347

2011 700

2012 1 300

2013 2 016

2014 6 520

2015 6 520

2016 11 966

2017 16 229

Total 45 625

Tableau 38: Les réserves données par la méthode de London Pivot

La réserve pour sinistres à payer donnée par cette méthode est donc de 45 625. Le BE estimé par cette méthode égal 42 982.

III. Comparaison des résultats issus de chacune des méthodes déterministes et

d’inventaire

Avant tout développement, le mieux serait de dresser un tableau récapitulatif de

l’ensemble des réserves estimées par les méthodes et les techniques vues précédemment.

- 64 -

Figure 28 : Représentation graphique des réserves par années de survenance

L’analyse du graphique ci-dessus permet d’effectuer des comparaisons entre tous les

modèles étudiés. Ainsi, les réserves suivent une tendance haussière.

La méthode de Chain Ladder standard et ses variantes donnent, des estimations bien

plus optimistes, de l’ordre de 50 161 en moyenne.

La technique de London Chain donne un résultat très optimiste. Par ailleurs, toutes les

méthodes déterministes, nous donnent des estimations moins importantes que la réserve

réglementaire.

Pour plus de précision quant à la dispersion de l’ensemble des réserves calculées

jusqu’ici, nous présentons les caractéristiques suivantes :

Moyenne 53 062

Ecart-type 20 300

Coefficient de variation 38%

Tableau 39 : Les caractéristiques de dispersion pour l'ensemble des méthodes déterministes

Nous disposons ainsi d’un jeu de provisions estimées. Le choix de la provision ultime

dont nous tiendrons compte dépend de plusieurs considérations comme la définition de la

problématique traitée. En effet, selon l’objectif ciblé, le BE ou la réserve choisie peut être la

moyenne de toutes les estimations, la moyenne tronquée de la plus petite ou de la plus

élevée… ou encore reposer sur l’expérience de l’actuaire.

Le large recours aux méthodes de Chain Ladder se justifient uniquement par le fait que

le Projet de circulaire SBR mit en avant cette méthode. Chain Ladder doit sa popularité dans

le monde de l’actuariat à sa capacité de manipulation des données triangulaires rien qu’en

faisant appel à une régression linéaire simple.

Par ailleurs, bon nombre de méthodes déterministes font de la régression linéaire un

pilier majeur. Ainsi, ces méthodes supposent que les éléments du triangle de liquidation

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Rglmt C.L Standard C.L. Moyenne C.L.3 derniers

C.L. dernier Lnd Chain Lnd Pivot

- 65 -

revêtent une certaine régularité, chose qui est nuancée dans le monde réel. En effet, plus la

branche étudiée est à déroulement lent, plus il devient très difficile d’affirmer de telles

hypothèses et de baser ses calculs sur des régressions simples. Cela peut engendrer de grands

risques de paramétrisation entrainant des estimations moins robustes.

De ce fait, quoi que simples, les méthodes déterministes présentent plusieurs

inconvénients qui limitent leur performance. En voici quelques-uns :

Elles ne sont pas habilitées à détecter les irrégularités potentielles du triangle étudié.

Elles rendent impossible toute prise en compte d’un changement de jurisprudence,

une inflation non-constante, une innovation quant à la gestion de la sinistralité…

Elles ne permettent pas la modélisation par une loi de probabilité pour la provision

globale.

Ces problèmes et bien d’autres poussent l’actuaire à chercher une méthodologie plus

rigoureuse. C’est pourquoi et afin de bien cerner les incertitudes inhérentes à la procédure de

provisionnement, il est nécessaire d’avoir recours aux méthodes stochastiques. En effet, ces

dernières permettent, en plus d’une modélisation probabiliste de la réserve ultime, de

quantifier la marge d’erreur existante pour chaque estimation faite.

- 66 -

Chapitre V. Les méthodes stochastiques pour le calcul

des provisions

Ce chapitre est dédié aux méthodes stochastiques pour le calcul de la PSAP. Il est

subdivisé en plusieurs sections, chacune traitant d’un modèle stochastique à part. Le recours

aux techniques stochastiques pour le calcul des provisions en assurance est très recommandé

comme nous l’avons expliqué. Ces méthodes requièrent une application de notions

probabilistes et statistiques avancées. De ce fait, elles relèvent des compétences de l’actuaire.

L’adoption des modèles stochastiques en tant qu’outil efficace d’estimation de la

réserve pour sinistre vient en réponse aux normes modernes d’évaluation du patrimoine

d’une compagnie d’assurances. C’est dans ce sens qu’on parle du principe du « Best Estimate »

des engagements techniques…

Les techniques probabilistes viennent certainement pallier à quelques lacunes

présentes dans l’application des méthodes déterministes. En effet, l’usage des méthodes de

calcul à caractère stochastique permet entre autres de quantifier quelques erreurs de

prédiction, d’estimer plusieurs paramètres de provisionnement appropriés au type

d’interprétation que l’on veut établir… Le plus important est qu’une méthode stochastique

donne généralement une explication logique des procédés des techniques déterministes.

Classiquement, une technique stochastique part d’une ou plusieurs hypothèses faites

sur la nature des données pour aboutir à un ensemble d’estimations des paramètres de

provisionnement convoités. Les données, à savoir les éléments du triangle de liquidation sont

pris pour des variables aléatoires. Nous passons généralement par l’attribution d’une

distribution à la variable aléatoire provision notée R. Il se pourrait également que le modèle

soit non paramétrique dans la mesure où il n’a pas recours à la loi de R. Bien entendu, une

méthode stochastique s’achève sur une vérification des hypothèses de départ pour contrôler

la robustesse du modèle, notamment grâce à une analyse des résidus…

Dans ce qui suit, nous allons essayer d’appliquer les méthodes stochastiques qui nous

semblent les plus répandues et les plus pertinentes compte tenu des données dont nous

disposons.

- 67 -

I. Le modèle de Mack

De manière très simple, le modèle de Mack n’est autre que le formalisme probabiliste

qui justifie la technique déterministe Chain Ladder Standard. L’élaboration de ce modèle est

plus ou moins récente ; elle remonte à l’année 1993. Elle est tributaire du grand souci des

chercheurs de fournir un modèle stochastique dont les résultats coïncident avec ceux de la

méthode de Chain Ladder.

Comme nous allons voir par la suite, ce modèle revêt un aspect conditionnel dans le

sens où l’on construit les éléments manquants tout en tenant compte du triangle supérieur.

De surcroît, ce modèle ne fait aucune hypothèse quant à la distribution qui s’ajuste aux

données et par conséquent sur celle qui sied à la variable aléatoire provision globale R.

I.1 Les hypothèses sous-jacentes au modèle

Le modèle de Mack repose sur quelques hypothèses de départ. Elles sont au nombre

de trois et peuvent être présentées ainsi :

H1 : Hypothèse sur l’indépendance entre les lignes du triangle de liquidation. Ainsi, 𝐶𝑖𝑗 est

indépendant de 𝐶𝑖′𝑗 pour i ≠ i’. Cette hypothèse peut être remise en question, notamment

en cas d’un grand changement dans la gestion des sinistres d’une année à l’autre…

H2 : Le processus (𝐶𝑖𝑗)j>0 est markovien. Nous introduisons les facteurs de développement

déjà vus dans la méthode de Chain Ladder Standard 𝑓𝑗 et nous avons, pour chaque j=0..,,

n-1 un 𝑓𝑗 tel que pour tout i allant de 0 à n :

, 1 1,...,i j i ij j ijE C C C f C

H3 : Hypothèse relative à la volatilité des données. Le modèle suppose que pour une année

d’origine définie nous avons, pour tout j=0,…, n-1 nous avons un (Ϭ𝑗)2 tel que :

2

, 1 1,...,i j i ij j ijV C C C C

Cette égalité s’écrit 1

2

,...,( / )i i

j

j

ij

jiV f C CC

en termes de facteurs individuels.

Ces trois hypothèses conduisent au modèle hypothétique suivant :

𝐶𝑖,𝑗+1=𝑓𝑗𝐶𝑖𝑗 + 𝜎𝑗√𝐶𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗 avec 𝜀𝑖𝑗 i.i.d et centrés.

Ce modèle donne l’occasion pour estimer ses coefficients à l’aide des moindres carrés

pondérés. Dans ce cas, nous serons amenés à minimiser la somme des carrés des écarts

pondérés ∑1

𝐶𝑖𝑗

𝑛−𝑗−1𝑖=0 (𝐶𝑖,𝑗+1 − 𝑓𝑗𝐶𝑖𝑗)².

I.2 L’estimation des paramètres du modèle

Après avoir exposé les hypothèses du modèle, il convient d’expliciter par la suite les résultats qui en découlent.

- 68 -

Notons T= [𝐶𝑖𝑗/ i+j≤n] le triangle supérieur ou bien le triangle des valeurs observées.

Les éléments diagonaux sont également compris dans T. Nous avons donc : E(𝐶𝑖𝑛/𝑇)= 𝑓𝑛−1 ∗ 𝑓𝑛−2*…*𝑓𝑛−𝑖 ∗ 𝐶𝑖,𝑛−𝑖. De façon générale, pour i+j>n,

E(𝐶𝑖𝑗/𝑇)= 𝑓𝑗−1 ∗ 𝑓𝑗−2*…*𝑓𝑛−𝑖 ∗ 𝐶𝑖,𝑛−𝑖.

Egalement, nous avons pour tout j=0…n-1, un estimateur sans biais de 𝑓𝑗 est 𝑓�� tel que :

𝑓��=∑ 𝐶𝑖,𝑗+1𝑛−𝑗−1𝑖=0

∑ 𝐶𝑖𝑗𝑛−𝑗−1𝑖=0

. Les 𝑓��sont non corrélés. L’absence du biais permet de conclure qu’à partir de

l’expression des espérances déjà établie : 𝐶𝑖�� = 𝑓𝑗−1 ∗ 𝑓𝑗−2*…*𝑓𝑛−𝑖 ∗ 𝐶𝑖,𝑛−𝑖 pour i+j>n ou

encore

𝐶𝑖�� = 𝑓𝑛−1 ∗ 𝑓𝑛−2*…*𝑓𝑛−𝑖 ∗ 𝐶𝑖,𝑛−𝑖.

Par extension de ce constat, nous écrions encore

𝑅��=��𝑖𝑛-𝐶𝑖,𝑛−𝑖 et d onc ��= ∑ 𝑅��𝑛𝑖=0 au lieu des expressions avec les espérances conditionnelles

sur T. L’application numérique des résultats ci-dessus donne les mêmes aboutissements

chiffrés que ceux de la méthode de Chain Ladder standard.

Un estimateur non-biaisé de (Ϭ𝑗)2 est : (Ϭ𝑗)2 =

1

𝑛−𝑗−1 ∑ 𝐶𝑖𝑗 (

𝐶𝑖,𝑗+1

𝐶𝑖𝑗− 𝑓��)

𝑛−𝑗−1𝑖=0

2

Pour le cas à problème de j=n-1, où l’estimateur proposé ne donne plus de valeur valable, Mack a proposé la formule alternative suivante :

(Ϭ𝑛−1)2 = min ((Ϭ²𝑛−2

Ϭ𝑛−3) ²,Ϭ²𝑛−2,Ϭ²𝑛−3)

j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(Ϭ𝑗)2 1316.34 131.78 39.53 20.75 2.05 2.82 11.05 7.06 4.51 0

Tableau 40 : Les valeurs des estimateurs non-biaisé de (Ϭ𝒋)²

I.3 L’estimation des erreurs de prédiction

I.3.1 Le formalisme mathématique

Selon le besoin, nous serons amenés à calculer un type précis d’erreur de prédiction

ou d’estimation. Les plus courantes de ces erreurs sont la moyenne quadratique des écarts de

prédiction MSEP et l’erreur standard de prédiction SEP ou encore l’erreur standard relative.

De façon générale, si �� est l’estimation du paramètre 𝜋, nous définissons les erreurs

relatives à cette estimation à travers les formules qui suivent :

MSEP (��)= E(��- 𝜋) ²

SEP (��)= √MSEP (��)

SER (��)= SEP (��)

��

Le plus important est, bien entendu, de pouvoir calculer les erreurs d’estimation de la

provision globale. Pour ce faire, nous devons calculer l’erreur d’estimation de la provision pour

- 69 -

chaque année d’origine. Ainsi, si nous posons 𝐶𝑖,𝑛−��= 𝐶𝑖,𝑛−𝑖 nous aurons les deux résultats

suivant :

1. 𝑀𝑆𝐸��(𝑅��) = 𝐶²𝑖𝑛 ∑

(𝜎𝑗)²

(𝑓𝑗)²

𝑛−1𝑗=𝑛−𝑖 [

1

𝐶𝑖��+

1

∑ 𝐶𝑘𝑗𝑛−𝑗−1𝑘=0

]

2. 𝑀𝑆𝐸��(��) = ∑ [𝑀𝑆𝐸��(𝑅��) + 𝐶𝑖��(∑ 𝐶𝑘��𝑛𝑘=𝑖+1 )∑

2(𝜎𝑗)2

(𝑓𝑗)² ∑ 𝐶𝑘𝑗𝑛−𝑗𝑘=0

𝑛−1𝑗=𝑛−𝑖 ]𝑛

𝑖=1

Puisque 𝑅��= 𝐶𝑖�� − 𝐶𝑖,𝑛−𝑖 et 𝑅𝑖 =𝐶𝑖𝑛 − 𝐶𝑖,𝑛−𝑖 , donc 𝑅��-𝑅𝑖 =𝐶𝑖�� − 𝐶𝑖𝑛. Les biais des

deux estimateurs étant ainsi égaux, nous concluons directement que 𝑀𝑆��(𝑅��)=𝑀𝑆��(𝐶𝑖��).

I.3.2 Application sur les estimations des réserves annuelles

𝑀𝑆𝐸��(𝑅��) 𝑆��(𝑅��) 𝑆𝑒��(𝑅��)

2007 - - -

2008 0,55 0,74 0,15

2009 3,45 1,86 0,14

2010 55123,93 234,78 0,92

2011 124355,69 352,64 0,87

2012 166696,65 408,29 0,47

2013 380354,47 616,73 0,25

2014 828925,99 910,45 0,20

2015 1184588,69 1088,39 0,17

2016 2274917,17 1508,28 0,17

2017 19889861,70 4459,81 0,27

Tableau 41: Les erreurs de prédiction de l’estimation des réserves pour le modèle de Mack

La lecture directe du tableau des erreurs ci-dessus permet d’affirmer que le niveau du

risque d’estimation des réserves est largement acceptable. Cela est surtout constatable à

partir des valeurs prises par l’erreur standard relative des diverses réserves annuelles qui ne

dépassent pas les 27% que pour les trois années : 2010, 2011 et 2012.

Nous pouvons effectuer un choix quant à la distribution de la variable aléatoire réelle

Ri. Cela dit, ce choix demeure plus ou moins arbitraire : Il se pourrait bien que la loi votée ne

soit pas aussi bien ajustée aux données. Nous préférons donc travailler à l’aide d’une approche

non paramétrique.

Cependant, pour pouvoir estimer un intervalle de confiance pour les différentes

réserves, Nous disposons une distribution normale et nous avons :

IC5%(𝑅��) = [𝑅��- 2* SEP (𝑅��), 𝑅��+2* SEP (𝑅��) ]

Le tableau suivant fournit les différents intervalles de confiance au seuil de 5% pour

toutes les réserves annuelles :

- 70 -

i Ri borne inf borne sup

2007 - - -

2008 6,42 4,49 8,35

2009 17,36 12,55 22,17

2010 337,94 -269,50 945,37

2011 536,87 -375,48 1449,22

2012 1147,21 90,90 2203,53

2013 3211,82 1616,22 4807,43

2014 6116,86 3761,33 8472,38

2015 8285,61 5469,73 11101,48

2016 11678,99 7776,76 15581,22

2017 21934,26 10395,85 33472,67

Tableau 42:Les intervalles de confiance au seuil de 5% des réserves annuelles pour le modèle de Mack

L’hypothèse faite sur la distribution des Ri nous fait tomber dans le cas où une partie

de l’intervalle construit est négative puisque le domaine de la loi normale est l’ensemble des

nombres réels. Cependant, nous pourrions détourner ce problème en munissant Ri d’une loi

Log-normale.

I.3.3 Application sur l’estimation de la réserve globale

A l’instar de l’étude faite pour les réserves annuelles, nous analysons les erreurs pour

l’estimation de la réserve globale R et nous construisons l’intervalle de confiance qui s’y

rapporte :

�� MSEP(��) Se(��) SeR(��) borne inf borne sup

53273,35 38513446,26 7130,06 0,18 39013,23 67533,46

Tableau 43: Les erreurs de l’estimation de la réserve globale pour le modèle de Mack

L’estimation de la réserve globale R est très satisfaisante. L’erreur standard relative

étant de 13,38%, nous pouvons largement affirmer que l’on est en présence d’une bonne

approximation de la valeur réelle de la provision pour sinistres à constituer.

I.4 La validation des hypothèses du modèle

La deuxième hypothèse du modèle est vérifiée de la même manière que pour la

méthode de Chain Ladder Standard. Autrement dit, L’hypothèse H2 peut être vue comme une

hypothèse de régression linéaire entre les deux séries successives 𝐶𝑗et 𝐶𝑗+1. Cette droite ne

doit pas avoir de constante. Sa courbe doit donc passer par l’origine. Ainsi, nous pouvons se

contenter d’une vérification graphique comme ce fût le cas lors de l’application de la méthode

Chain Ladder (voir annexe 2).

- 71 -

I.4.1 La vérification de l’hypothèse d’indépendance H1 par le test non paramétrique de la

médiane

Pour tester l’hypothèse H1, nous procédons par un test non paramétrique se basant

sur le D-triangle et les médianes des éléments des diagonales. En effet, ce test consiste à

calculer la médiane pour chaque colonne du D-triangle.

Notons par Aj le vecteur qui regroupe les éléments de la jème diagonale du D-triangle

pour j=0… n.

Il faut ensuite compter le nombre des éléments du vecteur Aj supérieurs à la médiane

déjà calculée ainsi que le nombre des éléments du vecteur Aj qui lui sont inférieurs. Nous

notons respectivement ces deux nombres par Sj et Lj.

On note également Zj= min (Sj ,Lj) et nous calculons l’espérance et la variance de Zj par

les formules suivantes :

E(Zj)=𝑛𝑗

2− (𝑛𝑗−1

𝑚𝑗)

𝑛𝑗

2𝑛𝑗

Var(Zj)=𝑛𝑗(𝑛𝑗−1)

4− (𝑛𝑗−1

𝑚𝑗) 𝑛𝑗 ((𝑛𝑗−1)

2𝑛𝑗

+ 𝐸(𝑍𝑗) − 𝐸(𝑍𝑗)2

Avec 𝑛𝑗 = 𝑆𝑗 + 𝐿𝑗 et mj= 𝑛𝑗−1

2

Prenons Z la somme des Zj pour j=1…n. Donc l’espérance de Z est la somme des

espérances des Zj et la variance de Z est, sous l’hypothèse d’indépendance, égale est la somme

des variances des Zj.

nous suppose que Z suit une distribution normale et on accepte l’hypothèse au seuil

5% si Z appartient à l’intervalle IC5% (Z)=[E(Z)-1.96√𝑉𝐴𝑅 (𝑍) , E(Z)+1.96√𝑉𝐴𝑅 (𝑍)].

DIAG Sj Lj Zj E(Zj) √𝑉𝐴𝑅 (Zj)

1 0 4 0 0,50 0,25

2 6 2 2 0,75 0,19

3 3 0 0 1,25 0,44

4 3 1 2 1,25 0,44

5 2 7 2 2,06 0,62

6 3 3 3 2,06 0,62

7 3 3 3 2,06 0,62

8 3 0 0 2,91 0,80

9 3 3 3 3,27 0,74

total 15 16,11 4,72

Tableau 44: Le test de la médiane pour le modèle de Mack

L’intervalle de confiance est donc [11,39 ; 20,83] et Z=15 appartient à ce dernier.

Nous acceptons donc l’hypothèse de la non-signification de l’effet de l’année de survenance.

I.4.2 La vérification de l’hypothèse de volatilité H3 grâce aux résidus normalisés

- 72 -

A ce stade, on procède à la vérification de l’hypothèse H3. Pour ce faire, nous avons

recours aux résidus normalisés 𝑟𝑖𝑗= 𝐶𝑖,𝑗+1− 𝑓�� 𝐶𝑖𝑗

√𝐶𝑖𝑗 pour j=0…n-1 et i=0…n-j-1. Nous traçons par la

suite le graphe de ces résidus. Pour valider l’hypothèse, la courbe obtenue (voir annexe 3) ne

doit pas laisser entrevoir l’existence d’une composante déterministe et surtout une tendance.

Nous arrêtons la génération des graphes pour j=7 car à partir de ce stade où le

diagramme regroupe trois points, nous ne pouvons plus juger de la tendance du nuage créé.

Dans chacun des nuages de points représentés, nous remarquons un parfait

éparpillement et donc l’absence de toute tendance, excepté le dernier graphe où le pseudo-

alignement des points pourrait s’assimiler à une tendance linéaire. Conséquemment, nous

acceptons l’hypothèse H3.

II. Le calcul de provisions par la modélisation GLM

II.1 Présentation générale des modèles GLM

Les actuaires se sont longtemps limités à utiliser le modèle linéaire gaussien pour quantifier l'impact de variables explicatives sur les montants de sinistres.

Ce dernier impose cependant une série de limitations peu conciliables avec la réalité des coûts de sinistres :

La densité de probabilité est gaussienne ;

La moyenne est une fonction linéaire des variables explicatives.

Les modèles linéaires généralisés (GLM pour Generalized Linear Models) constituent une classe intéressante de méthodes statistiques. Ceux-ci généralisent les modèles linéaires traditionnels de deux manières.

Premièrement, au lieu de supposer la distribution Normale, les GLM travaillent avec une classe de distributions, qui contient en particulier les distributions Normale, Poisson et Gamma. Deuxièmement, au sein des GLM, c'est une transformation monotone de la moyenne qui est une fonction linéaire des variables explicatives, et non la moyenne elle-même.

Les GLM permettent de s'affranchir de l'hypothèse de normalité d'une part, et de la

linéarité de la moyenne en les variables explicatives d'autre part.

Les avantages précités et d’autres encore font des modèles linéaires généralisés l’un

des choix de modélisation statistique les plus populaires, notamment en matière de

provisionnement.

II.2 Formalisme mathématique et construction du modèle

II.2.1 Les composantes du modèle

La construction d’un modèle linéaire généralisé requiert la disposition puis l’assemblage de deux composantes :

La partie linéaire du modèle qui se résume en l’estimateur linéaire : 𝜔 = 𝑋��.

La fonction lien notée g qui décrit l’obtention de �� , la valeur prévue de Y, à partir de

l’estimateur linéaire : g (��) = 𝜔.

- 73 -

1) Composante aléatoire

On dispose de v.a.r "réponses" 1,...,iY i

indépendantes dont la loi de probabilité

est de type « exponentiel ». La "densité" de 1,...,iY i

a pour expression :

; , exp ,i i i i i if y x b c x

où i est un paramètre réel, appelé paramètre naturel, 0 ( éventuellement

donné) est un paramètre de dispersion, indépendant de i . b et c sont des fonctions spécifiques

de la distribution, b étant « régulière ».

On montre que :

'i i iE Y b et

1

i i i iV Y b b b V

La fonction V est appelée fonction variance de la distribution et joue un rôle essentiel

dans ces modèles.

On peut de plus obtenir les expressions des moments d’ordre supérieur de iY en

fonction de V. Par exemple pour le moment centré d’ordre 3 et le coefficient d’asymétrie sont

comme suit :

2

3( ) ( ) ( )i i iY V V

31 3 1

22

( ) ( )( )

( )( )

i ii

ii

Y VY

VV Y

Il est possible de prendre en compte des pondérations données ( 1,..., )i i . On

remplacerait par i

dans l’expression de la densité et des résultats postérieurs.

2) Composante systématique, fonction lien

Dans le cas général, la composante systématique s'écrit, par analogie avec la régression

Normale :

1

p

i i ij j

j

x x

1,...,i

La fonction lien établit un pont entre les composantes aléatoire et systématique sous

la forme d'une fonction réelle g strictement monotone et dérivable telle que : i ig

ou

1

i ig .

Il en résulte le mode d’action des variables exogènes sur la réponse par

1

1

p

i ij j

j

g x

Les liens standard sont :

- 74 -

--> Lien identité : i i , 1

p

i ij j

j

x

(action additive)

--> Lien log : lni i

ou e i

i

(action multiplicative)

1) La loi de poisson P(λ)

La loi de poisson décrit le dénombrement d’évènements dans un intervalle. Si λ est le nombre d’occurrences moyen (λ >0) et Y la variable discrète à modéliser, nous aurons :

P(Y=y)= λ𝑦𝑒−λ

𝑦!

Par passage à la forme générale de la famille exponentielle, nous aurons :

P(Y=y)=𝑒(𝑦𝑙𝑛λ−λ

Φ−ln (𝑦!))

Par analogie, nous identifions 𝜃 = 𝑙𝑛λ, b(𝜃) = 𝑒𝜃, Φ = 1 et c(y,Φ) = −ln (y!) et nous en déduisons l’espérance et la variance de la variable étudiée :

{𝜇 = E [Y] = b’(θ) = λ

V(Y) = Φ b’(θ) = Φ V (𝜇) = λ

2) La loi Gamma G (υ,𝝊

𝝁)

La loi Gamma permet de modéliser une grande variété de phénomènes pour des

grandeurs positives. Si Y suit une loi Gamma de paramètres a et b, alors la fonction de masse

s’écrit comme suit :

f (y,a,b)=𝑏𝑎

𝛤(𝑎)𝑦𝑎−1𝑒−𝑏𝑦 pour x>0

Une simplification dans le cadre de l’écriture sous la forme exponentielle consiste à

poser a=υ et b=υ

𝜇 et nous réécrivons la fonction de densité :

f(y)=𝑒[(−

υ

𝜇−𝑙𝑛𝜇)υ+c(y,υ)]

pour y>0

Par identification, nous trouvons

{

Φ =

1

υ

θ = − 1

𝜇

E [Y] = 𝜇

V(𝜇) = 𝜇²

II.3 Application des modèles GLM aux triangles de liquidation

Dans le cadre des méthodes stochastiques dédiées au calcul des provisions pour

sinistres, la modélisation GLM tente de fournir une estimation ponctuelle et par intervalle de

confiance pour les différentes réserves annuelles ou globale. Ainsi, elle sélectionne le modèle

probabiliste le plus adéquat aux incréments de paiement du triangle supérieur. Elle permet

- 75 -

également le calcul des différents risques d’estimation ainsi que les mesures de la qualité

d’ajustement du modèle choisi.

Dans cette section, nous appliquerons l’approche GLM sur les éléments du triangle de

liquidation supposés aléatoires.

II.3.1 Les différents éléments du modèle

La modélisation stochastique GLM part de la supposition que les incréments de paiements du rectangle de liquidation sont des variables aléatoires. Nous les notons (Yij)i,j=0,…,n.

I j 0 1 i l n

0 y11 y12

1 y21 y22

I yii

K Ykl

N Ynn

Tableau 45: Le rectangle de liquidation

Les éléments du triangle supérieur ont été en effet observés. Il s’agit donc de

réalisations bien connues qu’on note (yij)i+j≤n.

Le triangle supérieur contient également les règlements calendaires (éléments de la

diagonale) : quel que soit l’année d’origine, le paiement de la sinistralité a été effectué en

l’année n. Ainsi, la somme des éléments diagonaux correspond au montant payé par l’assureur

au cours de l’année comptable n toutes années de survenance confondues.

La partie inférieure, quant à elle, regroupe les règlements restant à effectuer pour les années de survenance de 0 à n. Les éléments du triangle inférieur sont donc des variables aléatoires et on les note (Yij)i+j>n.

Nous supposons par la suite que les (Yij)i,j=0…n sont identiquement distribuées. Nous y rajoutons l’hypothèse d’indépendance pour pouvoir utiliser l’approche GLM.

En conséquence, le triangle supérieur, assimilé à un échantillon observé, sert principalement à retrouver les paramètres du modèle. La suite consiste à utiliser ces paramètres pour estimer les règlements futurs suivant le modèle retenu.

Le choix des variables explicatives est la phase suivante de la modélisation. Les

variables sélectionnées pour leur influence explicite sur la variable dépendante Yij sont :

L’année de survenance i: elle sera paramétrée par un coefficient αi. Comme nous avons (n+1) années de survenance, il est normal d’avoir (n+1) paramètres chacun renvoyant à une année d’origine bien précise.

Le délai de règlement j: sera représenté par un autre paramètre βj. De même que pour l’année de survenance, le délai de règlement donne lieu à (n+1) autres paramètres.

- 76 -

L’année calendaire (i+j): pour des données déflatées, chose que nous supposons ici, l’effet année calendaire est supposé constant. C’est ainsi que le paramètre correspondant à cette variable sera tenu pour constant μ.

La construction du modèle nécessite également la donnée d’une fonction f qui lie la

moyenne μij=E[Yij] à l’ensemble des paramètres de régression prédéfinis :

μij=g(αi, βj, μ) Par référence à la méthode Chain Ladder et pour l’interprétation du paramétrage qu’il

permet, le lien exponentiel est classiquement pris et on obtient:

μij=𝑒μ+αi+ βj

II.3.2 Le choix de la distribution de la variable paiement des sinistres

La première étape consiste à choisir la distribution de la variable réponse. Plusieurs

tests permettent de s’assurer de la pertinence de tel ou tel choix. Dans notre étude, nous

aurons recours surtout aux diagrammes Quantile-Quantile et à la comparaison des distances

de Kolmogorov-Smirnov.

Les distributions sur lesquelles nous focaliserons notre analyse sont la loi normale et

la loi gamma. Ces deux lois feront l’objet d’une petite analyse de la qualité d’ajustement avant

d’être choisie. Nous avons également décidé de travailler avec la loi de poisson pour pouvoir

vérifier le constat selon lequel ses résultats convergent vers ceux de Chain ladder standard.

Les graphes suivant sont des Q-Q Plot6 respectivement pour la loi normale et pour la

loi gamma :

Figure 29: Le diagramme Q-Q Plot pour la loi normale

6 Voir annexe 5

- 77 -

Figure 30: Le diagramme Q-Q Plot pour la loi Gamma

Sur le tracé relatif à la loi gamma, les points générés s’alignent assez bien autour de la

droite. Ce constat n’est pas évident pour le graphe Q-Q plot de la loi normale. En conséquence,

la distribution qui ajuste mieux les données du triangle supérieur est la loi gamma.

La comparaison des distances de Kolmogorov-Smirnov confirme également ce choix :

quand d=0,167 pour la loi normale, sa valeur n’est que 0,089 en ce qui concerne la loi gamma ;

et comme le critère de sélection du modèle est d’avoir la plus petite valeur possible de la

distance d, la distribution gamma est choisie.

Notons que l’analyse à l’aide de l’outil graphique Q-Q plot ou de la distance de K-S n’est

que descriptive. Elle permet d’avoir une première idée sur la meilleure distribution à choisir

sans pour autant confirmer définitivement ce choix, d’autant plus que notre jeu de données

est assez réduit. Par la suite, et pour valider le modèle sélectionné, nous devons

impérativement avoir recours à des tests statistiques plus rigoureux.

II.3.3 L’estimation et le risque d’estimation

1) L’estimation des paramètres du modèle et le calcul des réserves

a) Le formalisme théorique

Le premier objectif de cette section est de pouvoir trouver l’estimation du vecteur

((αi)i=0..n, (βj)j=0..n, μ). Pour cela, la méthode du maximum de vraisemblance est appliquée

aux données du triangle supérieur L((xij)i+j≤n,(αi)i=0..n, (βj)j=0..n, μ) dans le but de donner

l’estimateur du maximum de vraisemblance ((αi )i=0..n,(βj) j=0..n, μ). La matrice X du modèle est construite à partir de valeurs binaires (0 et 1) de telle sorte

à faire coïncider chaque valeur prévue de la variable à modéliser avec le paramétrage qui lui correspond.

Comme la méthode du maximum de vraisemblance permet l’invariance fonctionnelle, l’estimation des paramètres du modèle conduit directement à l’estimation ponctuelle des

différentes valeurs μij. En effet, la valeur prévue du modèle est donnée par :

- 78 -

μij=𝑒αi +βj+μ pour tout i=0..n et j>n-i

Une fois les paiements restant à effectuer estimés, l’étape qui suit consiste à trouver

les réserves par année d’origine ainsi que la provision globale à retenir.

Le calcul de la réserve moyenne E(Ri) pour l’année de survenance i ne requiert que les données du triangle inférieur. Il s’agit concrètement de sommer tous les éléments de la ième ligne du triangle inférieur :

E(Ri) =∑ μ𝑖𝑗𝑛𝑗=𝑛−𝑖+1 .

De même, nous déduisons la valeur prévue de la provision globale R:

E(R)=∑ E(Ri)𝑛𝑖=0 .

b) Application numérique

Le modèle de poisson

Le tableau qui suit regroupe l’ensemble des estimations des paramètres du modèle :

Tableau 46: Les estimations des paramétres et des erreurs relatives pour le modèle de poisson

L’erreur standard mesurant le degré de variabilité de l’estimation des paramètres se

trouve à un niveau acceptable. Nous pouvons par conséquent retenir les valeurs estimées des

paramètres du modèle.

Par la suite, nous extrayons le rectangle des valeurs prévues des incréments de

paiements. La figure suivante illustre le résultat obtenu :

- 79 -

Figure 31 : illustration graphique de l’évolution des règlements calculée par le modèle de poisson

Ainsi, la valeur prévue de la réserve globale obtenue suite à cette modélisation est :

𝐸(𝑅)= 53 273.

Il est clair que les résultats obtenus par la modélisation poisson sont parfaitement

identiques à ceux de la méthode déterministe Chain Ladder Standard avec les mêmes

coefficients de développement déjà établis.

Le modèle Gamma

Pareil que pour le modèle précédent, nous commençons par l’estimation des

différentes valeurs des paramètres du modèle.

Tableau 47: Les estimations des paramètres et des erreurs relatives pour le modèle Gamma

Il est constaté que les erreurs standards représentent une part relativement faible des

estimations des paramètres. Ces dernières sont par conséquent retenues.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2007 2008 2009 2010 2011 2012

2013 2014 2015 2016 2017

- 80 -

Nous en venons par la suite à la figure qui représente le tableau complété des

incréments de règlements.

Figure 32 : Evolution des règlements des sinistres par années de survenance estimés par le modèle GLM

Le montant des provisions totales au titre de l’année 2017 calculée avec une

modélisation Gamma est : 𝐸(𝑅)=51 657

2) L’ajustement des modèles et les risques d’estimation

a) Les risques d’estimation

L’incertitude relative à l’estimation des E[𝑅𝑖] pour toute année de survenance et de

E[��] se mesure principalement par la donnée des V(E[𝑅𝑖]) et de V(E[��]) et nous avons pour

tout i=0…n :

V(E[𝑅𝑖]) = ∑ V(𝜇𝑖��)𝑛𝑗=𝑛−𝑖+1 + ∑ ∑ 𝐶𝑜𝑣(𝜇𝑖��, 𝜇𝑘��)

𝑛𝑘=𝑛−𝑗+1

𝑘≠𝑖

𝑛𝑖=𝑛−𝑗+1

V(E[��])=∑ ∑ 𝑉(µ𝑖𝑗) + ∑ ∑ ∑ ∑ 𝑐𝑜𝑣(𝑛𝑗2=𝑛−𝑖2+1

𝑛𝑗1=𝑛−𝑖1+1

𝑛𝑖2=1𝑖1≠𝑖2

𝑛𝑖1=1

𝑛𝑗=𝑛−𝑖+1

𝑛𝑖=0 µ𝑖1𝑗1 , µ𝑖2𝑗2)

Ce qui est contraignant quant à l’usage de cette expression, c’est que le calcul des

variances et des covariances impliquées dans la formule ci-dessus est souvent hors d’atteinte.

Remédier à ce problème requiert l’usage de quelques techniques de simulation comme la

méthode de bootstrap qui sera bien détaillée par la suite.

Le tableau qui suit regroupe l’ensemble des best estimates des provisions par exercice

puis de la provision globale au 31/12/2017, pour chacun des deux modèles : Gamma et

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2007 2008 2009 2010 2011 2012

2013 2014 2015 2016 2017

- 81 -

poisson. Ce tableau est complété par les risques d’estimation correspondants sous la forme

de l’erreur standard relative estimée.

Modèle de Poisson Modèle de Gamma

I E[𝑅��] SER Inf Sup E[𝑅��] SER Inf Sup

2008 15,3 0,4 10,1 20,5 13,2 0,3 10,3 16,1

2009 27,7 0,7 12,2 43,2 34,3 0,6 18,5 50,1

2010 510,6 0,8 183,8 837,3 675,8 0,2 567,7 784,0

2011 911,6 0,2 747,5 1075,7 1074,5 0,3 816,6 1332,4

2012 2001,6 1,1 400,3 3603,0 2294,2 0,8 825,9 3762,4

2013 5368,2 1,8 -1932,5 12668,9 6423,1 1,7 -1798,5 14644,7

2014 11749,8 0,3 9164,9 14334,8 12233,8 1,4 -978,7 25446,2

2015 16006,8 0,6 8643,7 23370,0 16571,3 0,6 8948,5 24194,1

2016 24579,5 0,2 20155,2 29003,8 23358,7 0,3 17752,6 28964,8

2017 42143,4 0,4 29500,4 54786,4 43868,9 0,3 35095,1 52642,7

Globale 103314,6 0,7 51657,3 154971,8 106547,8 0,6 59666,7 153428,8

Tableau 48:Les risques relatifs et les intervalles de confiances des réserves pour les modèles Gamma et poisson

La partie majeure des erreurs standards se trouvent à un niveau acceptable. Les estimations sont par conséquent fiables.

b) La mesure de la qualité d’ajustement

Un modèle statistique est une description mathématique servant à prédire les valeurs prises par une grandeur aléatoire. Il est donc nécessaire, après la construction d’un modèle, de calculer quelques mesures d’ajustement. Ces dernières servent notamment à quantifier l’écart entre les valeurs obtenues suite au modèle et celles appartenant à l’échantillon observé.

Dans le cadre de nos données, nous ciblerons l’étude de l’adéquation de chacun des modèles (poisson et Gamma) aux réalisations de règlements du triangle supérieur. Pour cela, nous aurons recours à quelques concepts statistiques : déviance, résidus…

c) Le formalisme mathématique

Si on note 𝜃𝑖��=b’-1(μ𝑖𝑗) et 𝜃𝑖��= b’-1(𝑦𝑖𝑗), la statistique déviance se définit comme suit :

D=2 ∑ [𝑦𝑖𝑗(𝜃𝑖�� − 𝜃𝑖��) − (𝑏(𝜃𝑖��)− 𝑏(𝜃𝑖𝑗))]𝑖+𝑗≤𝑛 .

Vu leur impertinence en GLM, les résidus bruts 𝑟𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗 - μ𝑖𝑗 sont remplacés par des

résidus dits de déviance :

𝑟𝑖𝑗𝐷=sgn(𝑦𝑖𝑗 - μ𝑖𝑗) √2(𝑦𝑖𝑗(𝜃𝑖�� − 𝜃𝑖��) − (𝑏(𝜃𝑖��) − 𝑏(𝜃𝑖��))).

Ainsi, la déviance peut s’écrire en fonction des résidus 𝑟𝑖𝑗𝐷 et on a : D=∑ ( 𝑟𝑖𝑗

𝐷)²𝑖+𝑗≤𝑛 .

Pour les distributions considérées, à savoir poisson et gamma, la déviance s’écrit :

Poisson P(λ) D=2 ∑ [𝑦𝑖𝑗ln (

𝑦𝑖𝑗

μ𝑖𝑗)− (𝑦

𝑖𝑗− μ𝑖𝑗)]𝑖+𝑗≤𝑛

- 82 -

Gamma γ(υ,υ

𝜇) D=2 ∑ [

𝑦𝑖𝑗−μ𝑖𝑗

μ𝑖𝑗− ln (

𝑦𝑖𝑗

μ𝑖𝑗)]𝑖+𝑗≤𝑛

La déviance sert également à construire un estimateur convergent pour le paramètre

de dispersion Φ. Cette estimation est moins lourde que celle du maximum de vraisemblance. En effet, si nous posons t la taille de l’échantillon observé ou concrètement le nombre d’éléments du triangle supérieur et p le nombre de paramètres explicatifs du modèle, nous

aurons : Φ = 𝐷

𝑡−𝑝

Plus la valeur de D est faible, plus le modèle est crédible. Cependant, la comparaison avec D nécessite que les modèles aient la même composante aléatoire, ce qui est très limitatif pour nos interprétations.

d) Application numérique

La table qui suit donne les valeurs de quelques statistiques relatives à la qualité d’ajustement du modèle de poisson.

Critère d’évaluation de l’adéquation

Critère DDL Valeur Valeur/DDL

Deviance 45 3979,7601 88,4391

Scaled Deviance 45 3979,7601 88,4391

Pearson Chi-square 45 3810,7794 84,6840

Scaled Pearson X2 45 3810,7794 84,6840

Log Likelihood 784785,2772

Full log Likelihood -2275,0065

AIC (smaller is better) 4592,0129

AICC (smaller is better) 4613,0129

BIC (smaller is better) 4637,9957

Tableau 49: Les statistiques relatives à la qualité d’ajustement du modèle de poisson

D’après le tableau ci-dessus, la valeur estimée du paramètre de dispersion du modèle

de poisson est Φ = 88,44. A l’instar du modèle de poisson, nous présentons le tableau relatif au calcul de

quelques statistiques d’ajustement :

- 83 -

Critère d’évaluation de l’adéquation

Critère DDL Valeur Valeur/DDL

Deviance 45 11,1505 0,2478

Scaled Deviance 45 67,8041 1,5069

Pearson Chi-square 45 6,8356 0,1519

Scaled Pearson X2 45 41,5661 0,9237

Log Likelihood -404,7263

Full log Likelihood -404,7263

AIC (smaller is better) 1013,4526

AICC (smaller is better) 1036,9875

BIC (smaller is better) 1061,6250

Tableau 50: Les statistiques relatives à la qualité d’ajustement du modèle de Gamma

D’après le tableau ci-dessus, la déviance du modèle est de l’ordre de 11,15 et la valeur

estimée du paramètre de dispersion du modèle de Gamma est Φ = 0.25.

III. La technique du Bootstrap

III.1 Idée et principe de base de la méthode du Bootstrap

III.1.1 Présentation générale

La méthode du Bootstrap est une technique statistique de ré-échantillonnage utilisant

des simulations de Monte-Carlo. Elle a été introduite par Efron7 en 1979 principalement pour

réduire le biais d’une estimation ou bien pour donner la variabilité de l’estimateur d’un

paramètre d’intérêt dans un contexte non paramétrique.

Etant une méthode de simulation par excellence, Bootstrap est une bonne alternative

pour pallier à l’insuffisance des données en cas d’approches asymptotiques. Cependant, la

mise en œuvre et l’application de cette technique nécessitent la disponibilité d’outils

informatiques performants.

III.1.2 L’approche du Bootstrap

La technique de Bootstrap est une méthode particulière de ré-échantillonnage. Elle

remplace les déductions théoriques de l’analyses statistique en répétant le ré-échantillonnage

des données initiales et en faisant de l’inférence statistique sur ces échantillons bootstrapés.

Le Bootstrap est une technique qui doit être adaptée à chaque situation ; pour les

modèles linéaires (classique ou généralisés), il est convenu d’adopter une des deux possibilités

suivantes :

o Le Bootstrap des paires : Le ré-échantillonnage est fait directement sur l’échantillon initial

(les valeurs de la variable dépendante du modèle étudié).

7 Bradley Efron est un statisticien américain né à Saint Paul dans le Minnesota le 24 mai 1938, professeur de

statistiques à l'université de Stanford.

- 84 -

o Le Bootstrap des résidus : Le ré-échantillonnage est appliqué sur les résidus du modèle. Malgré le fait que le Bootstrap des paires est plus robuste que celui des résidus, seul

ce dernier peut être implémenté dans le contexte des réserves techniques représentant des

dépendances entre les observations et leurs paramètres d’estimation. Pour implémenter une

analyse de Bootstrap, nous avons besoin ainsi de spécifier un modèle, définir les résidus

adéquats et utiliser la technique de prédiction de Bootstrap.

En effet, le ré-échantillonnage est basé sur les deux hypothèses suivantes : -> H1 : Les résidus sont indépendants et identiquement distribués. -> H2 : Il est indifférent de faire le ré-échantillonnage sur les résidus ou les résidus multipliés par une constante.

Dans le cas des modèles linéaires, nous pouvons utiliser plusieurs types de résidus (Pearson, déviance, Anscombe,…). Pour notre cas nous allons utiliser les résidus de Pearson standardisés définis comme suit :

III.2 Application du Bootstrap au triangle des règlements

Nous souhaitons ici calculer le degré d’imprécision dû à l’estimation de la provision dans le cadre d’un modèle statistique. Le principal objectif de cette section est l’estimation des intervalles de confiance pour chacune des provisions calculées pour le modèle Gamma.

III.2.1 Les résidus de Pearson

L’hypothèse de base de la technique de Bootstrap n’étant pas forcément toujours vérifiée, il faut chercher à la contourner en transformant les données du triangle de liquidation. En effet, afin de normaliser nos données, nous privilégions l’usage des résidus de

Pearson ainsi construits : 𝑟𝑖𝑗= 𝑦𝑖𝑗−𝜇𝑖��

√𝑉(𝜇𝑖��) pour les modèles GLM, quand i+j≤n

𝑦𝑖𝑗 : est la valeur réellement observée ou bien la valeur figurant dans la cellule (i,j) du

triangle de liquidation de base. 𝜇𝑖�� : est la valeur prévue par le modèle pris.

Notons que pour le cas d’une éventuelle application du Bootstrap sur le modèle de Mack, quand les coefficients de passage sont fixés au préalable par l’utilisateur, ré-échantillonner directement la donnée triangulaire est difficilement justifiable. Le recours aux résidus présente donc une alternative intéressante permettant d’éviter ce problème.

III.2.2 Les étapes du Bootstrap appliquées aux résidus de Pearson sous le modèle de Gamma

Nous estimons dans un premier temps les incréments de paiements du triangle supérieur par le modèle de Gamma déjà établi dans la partie de la modélisation GLM.

- 85 -

Les résidus de Pearson qui en résultent sont :

I j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2007 -0,05 0,29 0,56 -0,46 0,19 0,18 0,52 0,81 -1,19 -0,85 0,00

2008 -0,17 0,06 -0,48 -0,36 -0,08 -0,11 0,09 -0,18 0,38 0,85

2009 0,19 0,14 -0,33 -0,06 -0,42 0,75 -0,27 -0,80 0,82

2010 -0,01 -0,14 0,11 -0,20 -0,14 0,68 -0,46 0,17

2011 0,19 0,22 -0,22 -0,04 0,65 -0,91 0,12

2012 0,44 0,06 -0,21 0,78 -0,49 -0,58

2013 0,18 -0,13 -0,19 -0,16 0,29

2014 -0,19 -0,66 0,34 0,50

2015 -0,29 -0,13 0,42

2016 -0,28 0,28

2017 0,00

Tableau 51: Les résidus de Pearson pour le modèle de Gamma

Nous devons maintenant effectuer des tirages avec remise pour les éléments du triangle

des résidus. Voici l’exemple d’un premier échantillon:

I j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2007 -0,02 -0,41 0,17 0,06 -0,27 0,04 0,07 -0,05 0,03 0,01 0,0

2008 -0,21 -0,47 -0,50 -0,83 -0,25 -0,25 -0,07 0,27 0,13 -0,02 -

2009 0,05 0,21 0,16 0,12 0,36 0,08 -0,07 -0,02 -0,08 - -

2010 0,11 -0,16 -0,07 0,33 0,18 0,11 -0,01 -0,12 - - -

2011 0,07 0,09 -0,26 -0,16 -0,13 -0,01 0,07 - - - -

2012 0,05 0,09 -0,01 -0,18 0,13 -0,07 - - - - -

2013 -0,19 0,86 0,47 0,14 -0,32 - - - - - -

2014 -0,10 -0,47 0,25 0,49 - - - - - - -

2015 -0,05 0,33 -0,16 - - - - - - - -

2016 0,06 -0,22 - - - - - - - - -

2017 0,00 - - - - - - - - - -

Tableau 52:le premier échantillon des tirages avec remise du triangle des résidus de Pearson

- 86 -

La construction du triangle de paiements simulé à partir des résidus est l’étape qui suit.

La formule utilisée à cette fin est 𝐶𝑖𝑗𝑏= 𝑟𝑖𝑗

𝑏*√𝑉(𝜇𝑖��)+ 𝜇𝑖��.

I j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2007 927,59 3048,33 3682,50 2197,16 1291,88 595,89 469,48 122,91 555,65 743,65 801,81

2008 140,80 2952,95 4069,00 2867,38 1462,02 461,02 560,97 206,28 715,16 444,57 -

2009 812,51 2788,44 2908,46 1563,62 935,82 301,72 80,71 101,85 33,60 - -

2010 641,61 3006,63 3595,55 2242,90 1155,96 284,77 169,64 181,51 - - -

2011 951,84 2539,34 3154,29 1778,45 766,71 214,71 350,72 - - - -

2012 672,91 2602,27 3233,70 2051,08 1065,19 715,73 - - - - -

2013 1010,75 3922,89 4778,65 2766,18 3126,18 - - - - - -

2014 2696,79 5507,74 6743,45 3839,76 - - - - - - -

2015 1217,82 3792,84 3988,60 - - - - - - - -

2016 126,6 2397,18 - - - - - - - - -

2017 1519,81 - - - - - - - - - -

Tableau 53: Le triangle des paiements construit à partir des résidus simulés

Et la réserve correspondant à ce nouveau tableau d’incréments simulé est : 55 564,62 Ce traitement sera refait 1000 fois pour aboutir à un échantillon de 1000 réserves. Sur

la base de ces réserves simulées, nous calculons la réserve finale retenue comme étant la

moyenne de toutes les valeurs de l’échantillon. De même, on substitue aux formules

analytiques de variance complexes déjà vues la formule directe du calcul de la variance à partir

du même échantillon de réserves simulé :

𝑅𝐵= 1

1000∑ 𝑅𝑏1000𝑏=1

V(𝑅𝐵) = 1

1000∑ (𝑅𝑏 − 1000𝑏=1 𝑅𝐵)²

Nous trouvons donc : 𝑅𝐵=56 202 et 𝜎𝐵=7 551. Pour construire un intervalle de

confiance de la réserve globale obtenue par la technique du Bootstrap, nous supposons que

𝑅𝐵 suit la loi normale. Donc, au seuil α=5%, IC5%(𝑅𝐵)= [41 101; 71 303].

IV. Comparaison des méthodes stochastiques de provisionnement et calcul de

Best-Estimate

Quatre modèles stochastiques ont été étudiés dans ce chapitre afin de mieux observer

les effets de chacun d’eux, il nous a semblé intéressant de récapituler les principaux résultats

relatifs à chaque méthode.

Nous avons donc procédé à la comparaison de la réserve totale ainsi qu’à celle des

intervalles de confiance associés à chacune des méthodes déjà vues. Le tableau suivant

regroupe l’ensemble de ces résultats :

- 87 -

Comparaison des provisions Intervalle de confiance

Méthodes stochastiques Provision

L’écart de la

provision avec

Mack

Borne

inférieur

Borne

supérieur L'amplitude

Mack 53 273,4 - 39 013,2 67 533,5 28 520,2

GLM (poisson) 53 273,9 0% 25 828,6 77 485,9 51 657,3

GLM (Gamma) 51 657,2 4% 29 833,4 76 714,4 46 881,0

Bootstrap 56 202,3 7% 41 101,0 71 303,6 30 202,6

Tableau 54: Récapitulatif des résultats des méthodes stochastiques

La comparaison et le calcul des écarts furent établis en prenant le modèle de Mack comme référence vu l’importance cruciale qu’il revêt pour le provisionnement mais surtout parce que ce modèle est le mieux adapté aux jeux de données du portefeuille RC de la MATU.

Nous remarquons que les quatre méthodes qui se basent uniquement sur le triangle

de liquidation des paiements sont très proches en matière d’évaluation de la PSAP. En effet, si nous calculons pour chaque méthode l’écart relatif de sa provision avec celle retrouvée par le modèle de Mack, nous constatons facilement que ce dernier ne dépasse guère les 7%.

Figure 33:Le diagramme des provisions globales

Passant maintenant à la comparaison des erreurs standards relatives. Le tableau ci-dessous regroupe l’ensemble des valeurs de ce type d’erreur pour chaque méthode.

Méthode stochastique SeR(R)

Mack 13,83%

GLM (poisson) 25%

GLM (Gamma) 22%

Bootstrap 13,43%

Tableau 55: les erreurs relatives aux réserves globales

53 273,40 53 273,90

51 657,20

56 202,30

49 000,00

50 000,00

51 000,00

52 000,00

53 000,00

54 000,00

55 000,00

56 000,00

57 000,00

Mack GLM (poisson) GLM (Gamma) Bootstrap

- 88 -

La marge d’erreur pour chacune des estimations proposées est plus ou moins acceptable et elle ne dépasse pas 25%.

Figure 34: L’histogramme des SeR(��) en pourcentage

Après avoir réalisé cette étude comparative des méthodes stochastiques, il reste à

définir la meilleure provision finale à retenir compte tenu de la particularité du portefeuille

étudié. Nous avons choisi pour notre démarche d’utiliser l’approche par la moyenne des

provisions obtenues pour chaque méthode stochastique. Cette espérance vaut 53 601 et

s’écarte elle-même de 1% par rapport au modèle de référence, à savoir Mack.

A ce stade, il est judicieux de mentionner que ce best-estimate est inférieur à la valeur

obtenue par la méthode réglementaire. L’écart entre ces deux évaluations est 38 142 et leur

écart relatif s’éleve à 67% ce qui est normal puisque la provision issue par voie réglementaire

veille à ce que la compagnie d’assurance soit capable en toutes circonstances de faire face à

ses engagements techniques. Nous pouvons expliquer cet écart par le schéma suivant :

0

5

10

15

20

25

30

SeR

Mack

GLM (poisson)

GLM (Gamma)

Bootstrap

- 89 -

Conclusion Générale

Le monde des assurances au Maroc est une économique en plein essor. C’est une

industrie en phase de métamorphose appuyée par l’ACAPS d’en faire un secteur libéralisé

parfaitement capable de s’auto-maintenir face aux dilemmes et aux turbulences de la

mondialisation des marchés financiers avec le Projet de circulaire SBR. Ainsi, La tutelle du

secteur œuvre à normaliser la réglementation marocaine en la matière avec les exigences

internationales.

L’actuariat et la statistique sont un univers parfait où règnent les lois de probabilités

et triomphent les mathématiques appliquées. Cependant, la réalité des choses s’écarte

considérablement par des suppositions sous-jacentes au recours à ces deux piliers

scientifiques, qui connait tant de bouleversements conjoncturels particulièrement dans un

marché peu mature comme la nôtre.

La problématique de provisionnement se retrouve indéniablement au cœur des

sciences actuarielles. Notre projet de fin d’études se limite à la modélisation statistique et à

l’application de techniques qui dédie à la constitution des provisions pour sinistres,

accompagnées d’un certain nombre de lectures directes ou profondes des chiffres qui s’y

rapportent. Il est montré cependant que la nature de l’activité des assureurs veut que le

provisionnement soit plus un problème de stratégie et de planification qu’un problème de

modélisation mathématique.

Bien entendu, notre travail a suivi un certain enchainement logique dans le choix des

méthodes à utiliser. Le commencement était l’application des recommandations

réglementaires en matière de constitution des PSAP. Ce premier contact chiffré avec les

données nous a permis d’avoir une idée première sur la grandeur de la réserve à mettre de

côté par la MATU afin d’honorer ses engagements techniques relatifs au portefeuille RC. Il est

contestable que l’évaluation issue de cette méthode d’inventaire normalisée est fortement

surestimée. Cela s’insère dans le cadre de la protection des droits des assurés.

Les méthodes déterministes ont un aspect plutôt comptable. Elles n’impliquent pas

une connaissance avancée des mathématiques et des probabilités. Celles-ci ne nécessitent

que des données triangulaires requises ainsi bien que l’application machinale de

l’algorithmique approprié à la méthode en vigueur.

La technique de Chain Ladder, ainsi que toutes ses variantes se sont avérées

spécialement adaptées aux données. Les méthodes autorégressives viennent en second lieu

dans l’ordre de leur exposition, en ce qui Concerne la méthode de London Chain, l’hypothèse

de régression établie ne s’avère pas très bien ajustée à la nature de nos données.

De ce fait, cela a engendré effectivement bon nombre d’anomalies au niveau du triangle

inférieur des paiements cumulés. Cette raison nous a dissuadées de ne pas tenir compte des

résultats obtenus par cette technique.

- 90 -

Cependant, la méthode London pivot est particulièrement peu attrayante vu la complexité de

son implémentation.

En effet, le processus de minimisation inhérent à cette méthode a été fait de manière

manuelle, ce qui pousse à douter de la justesse et de la pertinence de l’évaluation de la réserve

pour sinistres fournie par cette méthode.

Le besoin pressant d’avoir une idée précise de la qualité des estimations faites nous a

poussées à recourir aux modèles stochastiques.

Le modèle de Mack fut spécialement adéquat et ses hypothèses s’ajustent

parfaitement à nos données. En effet, cette « stochastisation » de la méthode de Chain Ladder

Standard nous a permis d’avancer en matière d’appréciation du risque d’estimation.

La modélisation GLM fut également satisfaisante dans la mesure où l’on a été assez

libre dans le choix de la loi qui sied le mieux aux incréments de règlements dont nous

disposons.

Le souci d’avoir des estimations moins biaisées nous a conduits vers le choix de la

technique Bootstrap, qui permet de simuler directement un nombre important de réserves

obéissant à la modélisation couplée à la technique Bootstrap. Le constat établi est que cette

méthode permet d’inclure dans l’expression de la meilleure réserve, les différents effets

aléatoires.

Au stade final de l’étude, on se trouve confronté au grand nombre des résultats issus

des différentes méthodes. Quoi que nous puissions éliminer quelques-unes à cause de

l’inadéquation de leurs hypothèses de base, et malgré tous les efforts fournis pour cerner au

mieux la vraie valeur de la réserve finale à constituer et à mettre de côté, l’évaluation exacte

n’est sue que suite à sa réalisation. Le provisionnement est donc un art mystérieux dépendant

de chaque firme, de son expérience et de sa vision stratégique.

91

Bibliographie

C.Partrat : « Evaluation stochastique de la provision pour sinistres », Conférence

scientifique - Institut des Actuaires, (20 janvier 2004)

Straub, Erwin : NON-Life Insurance Mathematics, 1988

Bradly Efron: “The jacknife, The bootstrap and Other resampling plans”, Department of

statistics Stanford University. 1982

ACAPS, « Solvabilité basé sur le risque(SBR) », Projet de circulaire de l’ACAPS, version

25/04/2018

Arrêté du ministre des finances et de la privatisation n° 1548-05 du 6 ramadan1426 (10 octobre

2005) relatif aux entreprises d’assurances et de réassurance

P. D. England and R. J. Verrall : “STOCHASTIC CLAIMS RESERVING IN GENERAL

INSURANCE”, Institut Canadien des Actuaires. (28 January 2002)

Paulo J. R. Pinheiro .Andrade, Silva João Manuel, Centeno Maria de Lourdes: ‘‘ Bootstrap

methodology in claim reserving”, Centre for applied maths on forcasting and economic

decision, Lisboa . Juin 2000

Thomas Mack (1993): “Measuring the Variability of Chain Ladder Reserve Estimates”,

Astin bulletin volume 23 N°2.

92

Annexe 1 : ARRETE RELATIF AUX ENTREPRISES D’ASSURANCES ET DE

REASSURANCE

Source : L’ACAPS.

Le ministre des finances et de la privatisation,

Vu la loi n°17-99 portant code des assurances promulguée par le dahir n°1-02-238 du 25

rejeb 1423 (3 octobre 2002) telle qu'elle a été complétée ; Vu le décret n° 2-04-355 du 19 ramadan 1425 (2 novembre 2004) pris en application de

la loi n°17-99 portant code des assurances ; Après avis du Comité consultatif des assurances réuni le ………… ;

Section I

Des provisions techniques Article 19 : Provision pour sinistres à payer : c’est la valeur estimative des dépenses pour

sinistres non réglés et le montant des dépenses pour sinistres réglés restant à payer à la date de l'inventaire y compris les capitaux constitutifs de rentes non encore mises à la charge de l’entreprise. Cette provision comprend, d'une part, la valeur estimative des dépenses à prévoir pour le service ou le rachat des rentes qui pourront être allouées par décision judiciaire ou qui ont déjà été allouées mais n'ont pas encore été constituées au titre des sinistres ayant entraîné le décès ou l'incapacité permanente des victimes et, d'autre part, la valeur estimative des dépenses restant à effectuer à titre d'indemnités journalières et à titre de frais, notamment : frais médicaux, frais pharmaceutiques, frais d’hospitalisation, frais funéraires, frais judiciaires, frais de déplacement et de rechute. Elle est calculée exercice par exercice pour son montant brut sans tenir compte des recours à exercer. Cette provision est évaluée dossier par dossier augmentée d'une estimation du coût des sinistres survenus mais non déclarés à la date de l'inventaire. Cette estimation est obtenue en appliquant au coût moyen des sinistres défini ci-dessous, l'estimation du nombre des sinistres survenus mais non déclarés. L'évaluation obtenue ne doit pas être inférieure à l'évaluation la plus élevée dégagée par les méthodes ci-après :

Première méthode : évaluation par référence au coût moyen des sinistres des exercices

antérieurs. Le coût moyen est obtenu en divisant le coût total des sinistres terminés au cours des cinq dernières années par le nombre des sinistres définitivement réglés ou classés sans suite pendant ce temps.

Ce coût moyen est appliqué, pour chaque exercice, au nombre total des sinistres

survenus (y compris l'estimation de ceux non déclarés à la date de l'inventaire) dont la provision résiduelle, calculée dossier par dossier, est supérieure ou égale à 30% de la charge de sinistres. Toutefois, cette méthode n’est applicable que pour les dix derniers exercices au plus.

93

L'estimation du nombre de sinistres survenus et non déclarés à la date de l'inventaire est basée sur les cadences de déclaration observées dans l'entreprise sur une période de cinq exercices au moins précédant l'exercice en cours.

Deuxième méthode : évaluation basée sur les cadences de règlement observées dans l’entreprise sur une période de dix exercices au moins y compris l'exercice en cours ;

Article 22 : La provision pour sinistres restant à payer afférente aux opérations

d’assurances de responsabilité civile des véhicules terrestres à moteur visées au paragraphe 11°) de l'article premier ci-dessus est estimée en procédant à une évaluation distincte :

1°) des sinistres corporels ; 2°) des autres sinistres. Dans chacune de ces deux évaluations, il est fait un calcul pour chacune des sous-

catégories d’assurances énumérées à l’article 56 ci-dessous. A – Pour les sinistres corporels : Les sinistres sont évalués dossier par dossier. Cette

évaluation est augmentée d'une estimation du coût des sinistres survenus mais non déclarés à la date de l'inventaire. Cette estimation est obtenue en appliquant au coût moyen des sinistres défini ci-dessous, l'estimation du nombre des sinistres survenus mais non déclarés. L'évaluation obtenue ne doit pas être inférieure à l'évaluation la plus élevée dégagée par les méthodes ci-après :

Première méthode : évaluation par référence au coût moyen des sinistres des exercices antérieurs. Le coût moyen est obtenu en divisant le coût total des sinistres terminés au cours des cinq dernières années par le nombre des sinistres définitivement réglés ou classés sans suite pendant ce temps. Tout accident, même s’il ouvre droit à une indemnité à plusieurs victimes, est compté pour un seul sinistre.

Ce coût moyen est appliqué, pour chaque exercice, au nombre total des sinistres

survenus (y compris l'estimation de ceux non déclarés à la date de l'inventaire) dont la provision résiduelle, calculée dossier par dossier, est supérieure ou égale à 30% de la charge de sinistres. Toutefois, cette méthode n’est applicable que pour les dix derniers exercices au plus.

L'estimation du nombre de sinistres survenus et non déclarés à la date de l'inventaire est basée sur les cadences de déclaration observées dans l'entreprise sur une période de cinq exercices au moins précédant l'exercice en cours.

Deuxième méthode : évaluation basée sur les cadences de règlement observées dans l’entreprise sur une période de dix exercices au moins y compris l'exercice en cours.

B- Pour les autres sinistres : Les sinistres sont évalués dossier par dossier. Toutefois,

l’utilisation de cette méthode n’est pas obligatoire pour les sinistres survenus au cours des deux derniers exercices. Cette évaluation est augmentée d'une estimation du coût des sinistres survenus mais non déclarés à la date de l'inventaire, déterminée de la même manière qu'au paragraphe A du présent article. L'évaluation obtenue ne doit pas être inférieure à l'évaluation dégagée par référence au coût moyen des sinistres des exercices antérieurs comme décrite au paragraphe A précité.

94

Annexe 2 : C-C Plot pour la vérification de l’hypothèse d’indépendance des

coefficients de passage pour la méthode Chain Ladder Standard et pour le

modèle de Mack

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000

J=1

J=0

C-C plot (j=0)

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000

J=2

J=1

C-C plot (j=1)

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000

J=3

J=2

C-C plot (j=2)

95

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000

J=4

J=3

C-C plot (j=3)

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000

J=3

J=4

C-C plot (j=4)

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000

J=4

J=5

C-C plot (j=5)

96

Annexe 3 : C-C L’indépendance des résidus pour le modèle de Mack

97

Annexe 5 : A propos du Quantile-Quantile Plot

Le Q-Q Plot est un outil graphique qui, à travers un tracé, permet de juger du degré d’ajustement d’une distribution à un jeu de données. Il autorise également la comparaison de deux distributions jugées similaires.

Comme son nom l’indique, le principe du diagramme Quantile-Quantile repose sur la

comparaison des positions des quantiles théoriques et des quantiles empiriques. Concrètement, il s’agit de dessiner le nuage de points Pi(xi

*,xi) avec xi*est le quantile issu de la

distribution théorique et xi le quantile pris de l’échantillon empirique dont on veut chercher le modèle.

Si la loi sélectionnée s’ajuste bien aux données, le nuage des points Pi s’aligne de

manière assez claire autour de la première bissectrice. A la rigueur, le nuage de points pourrait s’ajuster autour d’une droite d’équation : xi=axi

*+b. Cela voudrait dire que la distribution choisie est adéquate aux données à une transformation près ; cela ne remet pas en question la forme de la loi mais plutôt ses paramètres.

98

Annexe 6 : Les algorithmes de Newton Raphson

Considérant par exemple une poutre verticale bloquée entre deux plaques rigides (supérieure et inférieure). Soit d le déplacement vers le bas imposé sur la plaque supérieure et P la force (inconnue) appliquée à la même plaque afin de garantir le déplacement d et u(x) le champ de déplacement inconnu dans la poutre. Imaginons d’avoir à disposition seulement un outil de calcul qui, en fonction de P en entrée, donne en sortie d et sa dérivée par rapport à P.

La méthode de Newton-Raphson procède par linéarisations successives de d(P) à partir

d’une estimation initiale P0. On cherche un ΔP tel que d (P0 +Δ P) = w avec w c’est le déplacement imposé. Mais, au lieu de résoudre l’équation non linéaire (on ne le sait pas faire !), on se limite à linéariser l’équation (développer au premier ordre) et à résoudre l’équation linéarisée :

d (P0 + ΔP ) ≈ d(P0) +(dd/dP)(P0) ΔP = w

ΔP=

)0(

)0(

pdp

dd

pdw

Géométriquement ceci revient à tracer la droite tangente à d (P) en P = P0 et à calculer P1 comme intersection de cette droite avec la droite d = w. On répète maintenant la procédure avec une linéarisation autour de P1 :

d (P1 + ΔP ) ≈ d(P1) +(dd/dP)(P1) ΔP = w

ΔP=

)1(

)1(

pdp

dd

pdw

On continue les itérations jusqu’à convergence, c’est à dire, par exemple, quand le résidu : |w − d (Pi)| < toll est plus petit d’une tolérance fixée par l’utilisateur.

Notons que si d (P) a concavité de signe constant et une continuité suffisante, la

méthode converge nécessairement.