actuariat assurance des personnes (1)
DESCRIPTION
ActuariatTRANSCRIPT
1
2014
Economie & Gestion
Initiation à l’actuariat Cas de l’assurance des
personnes
AZIZ OUIA
1e EDITION
2
Introduction
La vie est pleine d’événements dangereux de menaces et de surprises, qui
sont désagréables. Mais, dans certains cas, ils sont pires. D’où la nécessité d’une
assurance pour se protéger contre ces événements imprévus surtout lorsqu’ils sont
financièrement mesurables.
En se basant sur des méthodes scientifiques, les événements aléatoires
peuvent être évalués. Les compagnies d'assurance s'y emploient en relevant sur une
période donnée le nombre d’événements ayant touché un nombre déterminé d'assurés.
Les mathématiques et la statistique sont essentielles à l'assurance. En appliquant la
théorie de la probabilité pour le traitement d'un grand nombre de cas concrets, il est
possible de déceler des points communs dans le déroulement de certains événements.
Ces évaluations sont les tâches des actuaires qui sont les véritables mathématiciens de
l'assurance.
Pour le cas des contrats d’assurance de vie ou d’assurance en cas de décès, il
s'agit de « contrats aléatoires » qui repose toujours sur la durée de la vie humaine qui
est totalement inconnue. Le contrat peut concerner une ou plusieurs personnes
assurées dont la survie ou le décès entraîne le paiement des prestations garanties.
L’assurance a deux significations :
L'assurance est un service qui consiste à fournir une prestation prédéfinie,
généralement financière, à un individu, une association ou une entreprise lors de la
survenance d'un risque, en échange de la perception d'une cotisation ou prime.
L'assurance est le secteur économique qui regroupe les activités de conception, de
production et commercialisation de ce type de service.
Le risque est une exposition à un danger potentiel, inhérent à une situation ou une
activité.
La prime d’assurance ou cotisation demandée par un assureur ;
Une prime ou rémunération complémentaire versée à un salarié ou à un
fonctionnaire ;
Pour une banque, le calcul de la prime d'assurance tient compte des éléments
suivants :
- Âge de l'Assuré.
- Etat de santé.
- Risques particuliers (profession, activités, déplacements...).
- Montant du prêt.
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Qu'est-ce qu'un actuaire ?
« Actuaire: spécialiste de la statistique et du calcul des probabilités appliqués
aux problèmes d’assurance, de prévoyance, d’amortissement », telle est la définition
donnée par le dictionnaire. En fait, l’origine de ce mot est latine (« actuarius ».
L’actuaire est apparu dès que s’est posé le problème d’organisation et de
financement d’un système d’assurance sur la vie. Pour garantir la pérennité d’un tel
système, il était indispensable de disposer de statistiques, de tables de mortalité, et
d’une méthode de calcul permettant d’assigner à chaque adhérent une contribution
financière « équitable » et d’évaluer les montants nécessaires à l’institution pour faire
face à ses engagements financiers.
Actuellement, l’activité de l’actuaire ne s’exerce plus uniquement dans les
institutions d’assurances sur la vie. Les régimes de retraite et de prévoyance ont
recours à l’actuaire qui fixe les normes nécessaires à leur équilibre à long terme et en
vérifie la mise en application. L’assurance - autre que sur la vie - fait aussi appel aux
actuaires. L’accident et l’incendie dépendant également du « hasard ». Mais dans ce
domaine, la loi du hasard est souvent plus difficile à saisir, d’où le rôle de l’actuaire
qui est d’une grande importance pour déterminer une évaluation approximative de ce
qui doit être versé pour par les intéressés pour les sociétés concernées.
Le rôle de l’actuaire consiste à conseiller les entreprises en matière de
financement de la protection sociale et, plus généralement, en matière d’assurances.
Cas de figure tiré de l'univers de l'actuaire :
Supposons qu'une compagnie d'assurance possède un portefeuille de 1000
entreprises ayant souscrits une assurance incendie.
Comment détermine-t-on, le niveau des primes ?
Il faut, tout d'abord, des statistiques qui nous renseignent sur le montant
moyen des incendies enregistrés par assuré durant les t dernières années (avec t≥5
pour réaliser des régressions simples ou multiples).
Le problème de l'évolution future de la charge des incendies se pose elle aussi. Avec
quel taux faut-il compter ? Les mesures de prévention des incendies seront-elles
multipliées ? … Etc. En d'autres termes, nous évaluons la charge des incendies
moyenne escomptée par assuré pour l'année à venir, c'est-à-dire le montant de la
prime nette.
A la suite du calcul de la prime nette, il faut calculer les frais de gestion ainsi
qu'une marge de sécurité pour les impondérables, puisqu'il est impossible de calculer
la charge moyenne exacte des incendies. Nous obtenons ainsi la prime brute que
l'assuré doit verser à l'assureur.
4
Or, pour être en règle et dans la légalité, il ne faut pas faire payer la même
prime à chacune des entreprises, il faut au contraire, fixer le montant de la prime
selon la qualité du risque. Quelle serait alors la pertinence des critères matériels
observables (type d’activité, matières premières utilisées, etc.) dans le contexte de
l'appréciation du risque ? Comment évaluer ensuite leur impact sur le calcul de la
prime ? Comment, d'autre part, prendre en compte, les causes indirectes. Le défi posé
à l'actuaire appelé à résoudre ces questions est de taille. Il exige de sa part une solide
et parfaite maîtrise des méthodes de calcul des probabilités et des techniques
mathématiques en matière de statistique. Tout un ensemble de méthodes modernes
s'appliquera dans ce contexte, notamment les techniques de la régression simple ou
multiple, l'analyse des variances, la théorie du risque, … etc. Or, au-delà de ces
réflexions théoriques, l'actuaire sera appelé à s’intéresser encore plus aux aspects
techniques du risque.
Nous avons donné comme exemple celui de l'assurance incendie pour
expliciter les problèmes qui se posent au niveau du calcul des primes. Or la
problématique est en principe la même dans les autres branches de l'assurance. Peu
importe en effet la branche, aucune d'entre elles - qu'il s'agisse de l'assurance
automobile, maladie ou vie - n'affiche en réalité des risques de nature identique.
Toutes connaissent, en revanche, le problème qui consiste à adapter la prime le plus
possible à la qualité du risque individuel.
L'actuaire est, également, obligé de recourir à des modèles économiques
destinés à prévoir les évolutions de nombreuses données : taux d'intérêt, croissance
du PIB, évolution du taux de fécondité...etc. Le domaine d'intervention des actuaires
est extrêmement large.
Depuis les premières applications de l’actuariat jusqu’à nos jours, chaque
actuaire est devenu spécialisé dans un domaine particulier.
Les actuaires calculent différents risques : incendie, automobile, divers, vie, …etc.
Ils sont essentiels dans la rentabilité d'une société où le risque est une variable
aléatoire. Des primes trop basses ou des risques mal calculés pourraient rapidement
conduire l'entreprise à la ruine.
A partir du secteur de l’assurance, les actuaires se diversifient petit à petit.
Ainsi les actuaires interviennent à présent en tant que gestionnaires de portefeuilles.
Leurs grandes compétences dans le domaine de la gestion des risques sont très
recherchées dans une optique de gestion quantitative. Les prévisions de taux d'intérêt
sont un élément essentiel dans le choix entre les obligations et les actions. Dans une
période à fort taux d'intérêt, les obligations seront privilégiées aux actions.
Qu'est-ce que l’actuariat ?
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Le mot actuaire a plusieurs sens.
Si l'étymologie du mot "actuaire" est latine (comptable, rédacteur des livres
de comptes –acta-), ce terme n'apparaît qu'au XVIII° siècle, repris de l'anglais
"actuary". Le dictionnaire Larousse le définit ainsi :
Actuaire : "spécialiste qui fait des calculs statistiques pour les assurances".
"Spécialiste de l'analyse et du traitement des impacts financiers du risque".
Le terme d'actuaire renvoie en fait à trois réalités :
un titre.
une formation. Il existe de nombreux diplômes qui constituent, avec ou non
des conditions
un métier, ou plutôt un ensemble de métiers, correspondant à l'évaluation des
risques, et pouvant être de différentes natures et/ ou de différents niveaux.
Pour mieux appréhender les traits fondamentaux de l’actuariat, il nous appartient
d’examiner respectivement les points suivants :
Les principaux contrats d’assurance vie
Actualisation et capitalisation
Tables de mortalité
Les principales lois de probabilité appliquées en calcul actuariel
Les techniques actuarielles avec des cas pratiques.
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Partie I : l’assurance vie
Tel que définie par le Code des Assurances1:
L’assurance sur la vie est le contrat par lequel, en contrepartie de versements
uniques ou périodiques, l’assureur garantit des prestations dont l’exécution
dépend de la survie ou du décès de l’assuré.
Le contrat de capitalisation est un contrat d’assurance où la probabilité de
décès ou de survie n’intervient pas dans la détermination de la prestation en ce
sens qu’en échange de primes uniques ou périodiques, le bénéficiaire perçoit le
capital constitué par les versements effectués, augmenté des intérêts et des
participations aux bénéfices.
En tant qu’outil d’épargne, l’assurance vie et capitalisation, permet au souscripteur
assuré de préparer un plan de capitalisation en vue de constituer une retraite et en tant
qu’opération de prévoyance, elle lui permet de subvenir aux besoins financiers de sa
famille en cas de sa disparition suite à un décès ou invalidité totale et définitive.
Les contrats libellés en dirhams
A- Les assurances en cas de vie
Les assurances en cas de vie ou assurances épargne prévoient le paiement
d’un capital ou d’une rente si l’assuré est en vie à une date fixée au contrat. Les
primes peuvent être soit uniques, soit périodiques. Il s’agit donc d’une opération
d’épargne, mais qui ne se dénoue que si l’assuré épargnant est en vie à l’époque où il
doit percevoir son épargne.
B- Les assurances en cas de décès
Les assurances en cas de décès prévoient le plus souvent le versement au
bénéficiaire désigné d’un capital ou d’une rente si l’assuré vient à décéder avant une
échéance fixée au contrat.
La répartition entre ces deux familles de produits, démontre une
prédominance des assurances en cas de vie. Par ailleurs, la répartition de chacune de
ces familles selon le mode de souscription (individuellement ou collectivement) fait
apparaître une prédominance des contrats de groupe. Néanmoins, les assurances
individuelles commencent à prendre une place de plus en plus importante sur le
marché.
1 Dahir n°1-02-238 du 3 octobre 2002
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C- Les produits de capitalisation
Commercialisés principalement via la bancassurance, les produits capitalisant
prennent la forme soit d’une épargne retraite soit d’une épargne éducation. La
première formule permet de constituer progressivement, via des versements réguliers,
à partir de 100 dirhams par mois, un capital retraite. L’épargne éducation permet
quant à elle de mettre à la disposition de son enfant un capital dont il pourra disposer
dés son 18ème anniversaire.
1-2 Les contrats libellés en unités de compte
Pour booster la branche vie et capitalisation et donner un nouvel élan au
marché boursier, les produits assurances vie et capitalisation ont aujourd’hui des
profils différents avec l’apparition des contrats en unités de compte nouvellement
autorisés par la publication du code des assurances2 en 2002 et son décret
d’application en 2004.
Caractéristiques des contrats et choix de la valeur de référence
Il s’agit de produits d’assurances sur la vie pour lesquels :
Les primes, les provisions mathématiques et les prestations sont exprimées en
nombre d’unités de compte non monétaires telles que les actions ou part d’OPCVM
dites « valeur de référence ».
Le risque de placement est supporté par l’assuré : l’action ou l’obligation
pourraient théoriquement servir de support, mais ces valeurs feraient courir un risque
financier au souscripteur difficilement compatible avec une finalité de garantie
normalement sous entendue en matière d’assurance.
Une valeur de référence peut être constituée par la valeur d’un seul OPCVM
(contrat mono-support) ou par la combinaison des valeurs de plusieurs OPCVM
(contrats multi-supports). Le bénéficiaire des prestations peut en général opter pour le
règlement en espèces résultant de la conversion des unités de compte.
Le fonctionnement des contrats en unités de compte obéit aux mêmes règles
que l’ensemble des contrats d’assurances sur la vie.
a) Capital assuré
2 Dahir n°1-02-238 du 3 octobre 2002
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Le règlement du capital peut s’effectuer soit par la remise du nombre de titres
résultant du fonctionnement du contrat, soit par le versement de la somme
correspondante sur la base de la valeur liquidative du titre de l’OPCVM au jour de la
demande.
b) Les primes
Le montant des primes sera déterminé en fonction de la «valeur de
référence ». Il en résulte qu’exprimé en monnaie, ce montant peut être variable. La
prime, qui peut être unique ou versée périodiquement, est convertie en une ou
plusieurs unités de compte, parfois à l’issue d’un délai défini contractuellement.
c) Les provisions mathématiques
Les provisions mathématiques sont calculées en valeur de référence puis
converties en monnaie en prenant pour base la valeur liquidative du titre à la date
d’inventaire, pour être comptabilisé au passif du bilan.
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Chapitre I : Les principaux éléments d’un contrat d’assurance :
Avant de voir les différents types de contrat d’assurance vie, il nous appartient de
préciser les éléments essentiels d’un contrat d’assurance qui sont :
La prime
Le risque
La prestation d’assurance.
I) La prime d’assurance :
C’est l’élément important dans un contrat d’assurances. Sa détermination se fait
librement par les parties au contrat. On distingue deux types de prime :
La prime pure ;
La prime brute ou commerciale.
a) La prime pure ou théorique :
C’est le coût probable du risque. Il est calculé sur la base des tables de
mortalité et sur la base de la capitalisation.
La prime pure ou technique correspond à la partie de la prime collectée par l'assureur
qui va être placée dans un "pot commun" afin de procéder au règlement des sinistres.
Elle est fonction d'un "taux de prime", et de l'assiette des capitaux assurés, selon la
formule suivante :
Prime pure=Taux de prime pure*capitaux assurés
Le taux de prime, ainsi que la valeur des capitaux assurés correspondent à
l'importance du risque à garantir, telle qu'elle résulte, notamment, des déclarations
faites par l'assuré au moment de la souscription du contrat.
b) La prime nette ou commerciale :
Elle est aussi appelée prime d’inventaire, c’est un pourcentage de la prime
pure qui est destiné à couvrir les frais
D’acquisition, d’entrée et d’encaissement.
Les chargements de gestion.
Le chargement fiscal.
II) Le risque : il s’agit d’un événement probable et imprévisible et aléatoire qui peut
arriver à un assuré. La probabilité de réalisation de cet événement se base sur les
statistiques passées de tables de mortalité ainsi que d’autres critères tels que : âge,
sexe, profession, état de santé.
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a) Fréquence des sinistres
Elle est déterminée selon le calcul des probabilités, par référence au
recensement statistique d'évènements passés groupés en risques homogènes de même
nature.
En ce qui concerne le risque d’accèdent, on peut penser, par exemple, qu'un accèdent
va affecter 14 voitures sur 10.000 sur une année.
La fréquence de ce type de sinistre sera alors exprimée selon le rapport 14/10.000.
b) Coût moyen des sinistres
En divisant le coût total des sinistres par leur nombre, on arrive à un coût moyen pour
un exercice donné. Ainsi, sur 20 voitures accidentées, 4 peuvent être détruites
en totalité, 6 à moitié et 10 pour une très faible part, de sorte qu'en moyenne le coût
du sinistre peut être évalué, par exemple, à 50% des capitaux assurés.
Pour une valeur assurée de 1000 dh, le coût moyen du sinistre sera de :
1000*80% = 500 dh
Le taux de prime sera donc calculé selon la formule suivante :
Taux de prime=Fréquence*coût moyen des sinistres
Dans l'exemple précité, le taux de prime sera de 14/10000*500= 0,7 pour 1000 dh
assurés.
III) La prestation : elle est garantie par l’assureur selon les termes du contrat soit à
son échéance en cas de survie de l’assuré soit lors de son décès.
Cette prestation ce concrétise par le versement d’un capital ou d’une rente au
bénéficiaire. Ce versement demeure conditionné par la réalisation du risque.
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Chapitre II : Les principaux contrats d’assurance vie :
Avant de définir l’assurance vie, il vaut mieux définir le terme d’assurance. Il s’agit
d’une opération par laquelle, l’assureur s’engage, en contre partie d’une prime ou
d’une cotisation à payer une indemnité sous forme d’un capital (fixe ou variable) ou
une rente (temporaire ou à vie) à un assuré ou bénéficiaire (personne morale ou
physique) en cas d’un risque précis.
L'assurance-vie est destinée au placement d'un capital déjà constitué ou bien à
épargner régulièrement afin d'atteindre certains objectifs :
- constitution d'une épargne de précaution
- réalisation d'un projet futur
- amélioration des revenus au moment de la retraite
- faire fructifier un capital
Ainsi les assurances vie peuvent-elles garantir à la fois :
le versement d’un capital ou d’une rente si l’assuré est encore en vie à une date
fixée ;
le versement d’un capital ou d’une rente en cas de décès de l’assuré ;
le versement d’un capital ou d’une rente dans les deux cas « vie ou décès » en
adossant les deux possibilités : c’est l’assurance “mixte”, ou “combinée.
Viager : Vente d’un bien en échange du paiement d’une rente jusqu’au décès
du vendeur. La personne qui a versé la rente devient alors propriétaire du bien sans
droits de succession et sans que les héritiers puissent s’y opposer.
I) Les assurances en cas de vie : L’intérêt de souscrire une assurance en cas de vie
est de se constituer progressivement un capital bénéficiant d’avantages civils et
fiscaux, qui sera reversé par l’assureur à la condition d’être en vie à une date fixée au
contrat.
Les contrats d’assurance garantissent le versement d’un capital ou d’une
rente au terme du contrat et ressemblent, de ce fait, fortement aux opérations de
placement.
Deux types de contrats sont proposés par les assureurs.
a) Les contrats à capital différé
L’entreprise d’assurances s’engage au versement d’un capital si l’assuré est
vivant au terme du contrat, moyennant le paiement d’une prime (unique ou librement
déterminée). C’est-à-dire que l’assureur reporte dans le temps le paiement d’un
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capital en contrepartie de la valorisation des primes (bénéfices techniques et
financiers) et des avantages civils et fiscaux induits.
Deux types de contrats à capital différé peuvent être souscrits.
Il s’agit d’une part des contrats sécuritaires, dont les taux d’intérêt et le
capital sont contractuellement garantis par l’assureur, et d’autre part des contrats
dits“à capital variable”. Dans ce cas, le capital est investi sur des supports plus ou
moins risqués, composés principalement d’actions, d’obligations ou de valeurs
immobilières.
b) Les contrats de rente :
• Rente différée
L’engagement de l’assureur porte sur le versement d’une rente viagère ou
temporaire, moyennant le paiement d’une prime, si l’assuré est vivant au terme du
contrat. L’assureur diffère le paiement d’un capital transformé en rente (mensuelle ou
trimestrielle) en contrepartie de la valorisation des primes et des avantages civils et
fiscaux induits. En cas de décès de l’assuré avant la date fixée au contrat, les primes
sont reversées au bénéficiaire désigné.
• Rente immédiate
En contrepartie du paiement d’un capital, l’entreprise d’assurances s’engage
au versement immédiat d’une rente viagère ou temporaire. Le montant de la rente est
calculé en fonction de l’âge de l’assuré. Un questionnaire de santé est généralement
exigé par l’assureur.
La rente viagère est versée jusqu’au décès du crédirentier tandis que la rente
temporaire est versée pendant une durée déterminée.
II. Les assurances en cas de décès
Protéger financièrement sa famille en cas de décès constitue la principale
motivation pour souscrire une assurance décès. Ces assurances à fonds perdu sont
généralement peu onéreuses. Leur prix dépend du montant garanti. Les assurances
décès sont également utilisées pour garantir un contrat de prêt en cas de décès de
l’emprunteur, le bénéficiaire du contrat étant dans ce cas la banque. Une sélection
médicale est réalisée lors de la souscription.
Trois catégories d’assurance décès doivent être distinguées.
Les assurances temporaires
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L’entreprise d’assurances s’engage à verser un capital à un bénéficiaire
(famille, banquier) si l’assuré décède avant le terme du contrat. Donc l’assureur
conserve les primes versées si le décès n’intervient pas pendant cette période : il
s’agit d’une assurance à fonds perdu. Cette assurance est couramment utilisée pour
les voyages ou pour garantir un contrat de prêt. Elle est également adaptée pour
prémunir sa famille contre les conséquences financières résultant de son décès.
Les assurances vie entière
L’entreprise d’assurances s’engage à verser un capital au bénéficiaire
désigné, à la suite du décès de l’assuré quelle qu’en soit la date. Il ne s’agit pas d’une
garantie à fonds perdu mais elle comporte une valeur de rachat car l’assureur est
certain de payer. Cette assurance est adaptée pour la transmission d’une partie de son
patrimoine en bénéficiant d’une franchise d’impôts.
La rente de survie
Ce contrat prévoit le versement d’une rente ou d’un capital à un bénéficiaire à
la condition qu’il soit en vie après le décès de l’assuré. Ce contrat est adapté
notamment pour préserver la situation financière d’un enfant handicapé en cas de
décès de ses parents.
III. Les contrats d’assurance mixte
L’originalité de ces contrats est qu’il s’agit de la combinaison d’un contrat
d’assurance en cas de vie et d’un contrat d’assurance en cas de décès. L’assureur
s’engage à verser un capital à la fois en cas de décès avant le terme prévu et en cas de
vie de l’assuré à la date fixée contractuellement. L’aléa provient de l’incertitude
quant à la date de survenance des risques couverts.
Le prix de ces assurances est généralement élevé. Ainsi, il peut être plus intéressant
financièrement de souscrire deux contrats séparés, l’un en cas de vie, l’autre en cas de
décès.
Les contrats d’assurance mixte les plus courants sont les suivants.
a) Mixte ordinaire :
Il s’agit de l’adjonction d’une assurance décès temporaire à une assurance vie à
capital différé. Le capital garanti est généralement le même, quel que soit le risque
assuré. Les versements peuvent être périodiques ou prendre la forme d’une prime
unique.
b) A terme fixe :
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L’assureur s’engage à verser le capital à une date prédéterminée, que l’assuré soit
vivant ou décédé. Dans le cas du décès de l’assuré, le paiement du capital ne pourra
avoir lieu qu’à la date fixée, et non lors du décès comme dans le cas précédent.
Les primes sont obligatoirement périodiques puisque l’aléa ne porte pas sur la date
de paiement de la prestation, mais sur la durée de cotisation.
Le choix du support sur lequel les fonds seront investis doit être envisagé avec
précaution par le futur assuré. En effet, ce choix conditionne la rentabilité de
l’épargne mais aussi et surtout sa sécurité.
IV : Les acteurs du contrat d’assurance vie.
a) Le souscripteur
Le souscripteur est celui qui paie les primes. C’est la raison pour laquelle il dispose
de deux prérogatives : le choix du bénéficiaire et le droit au rachat.
b) L’assuré ou adhérent
L’assuré est la personne sur qui pèse le risque. Dans la majorité des cas, c’est à lui
que l’assureur verse le bénéfice du contrat. Il est possible que le souscripteur et
l’assuré soient la même personne. Toutefois, le souscripteur et l’assuré peuvent être
distincts lorsque l’assurance est prise sur la tête d’un tiers. Deux observations doivent
être faites quant à cette possibilité.
c) Le bénéficiaire
Le bénéficiaire est la personne désignée par le souscripteur qui va percevoir le capital
décès ou la rente à la survenance du risque. Il n’a pas à être connu ou convoqué lors
de la souscription. Il influe sur le sort du contrat à deux égards.
Partie II : Les outils et bases techniques de l’assurance vie.
Il s’agit de présenter brièvement les différents outils permettant de calculer la
prime d’assurance et plus exactement :
La capitalisation : intérêt composé et taux d’escompte
Les tables de moralité
Les principales lois de probabilité
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Chapitre I : capitalisation et actualisation
Rappel
Intérêt
Fonction de capitalisation
Fonction d’accumulation
Taux effectif de l’intérêt
Intérêt simple
Intérêt composé
Fonction de capitalisation et d’accumulation :
Pour l’intérêt simple, la fonction de capitalisation est
a(t) =(1 + t*i) pour t ≥0
et la fonction d’accumulation est :
A(t) =A(0)*(1 + t*i) pour t ≥0 et avec A(0) : capital en début de période
Pour l’intérêt composé, la fonction de capitalisation est
a(t) =(1 + i)t pour t ≥0
et la fonction d’accumulation est :
A(t) =A(0)*(1 + i)t pour t ≥0 avec A(0) : capital en début de période
Considérons maintenant quelques exemples pour illustrer les concepts d’intérêt
simple et d’intérêt composé
Exemple 1: La valeur accumulée par 1000 dh investi pendant 6 mois au taux
d’intérêt simple de 5% par année est égale à :
1000(1+6/12*(0,05)) = 7500*(1+ 0,5*(0,05)) = 1025
Notons que la période de 6 mois correspond à
t = 6/12 = 0,5
Exemple 2: Une personne a placé 10000 dh dans un investissement rapportant 6%
d’intérêt composé par année pour 3 ans. Après ces 3 années, elle réinvestit
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entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% d’intérêt
composé par année pour 4 ans. Déterminons maintenant
1) Le montant accumulé à la fin de la 3e année
2) Le montant accumulé à la fin de la 7e année
3) Le montant d’intérêt gagné pendant la 5e année
1) Le montant accumulé après 3 ans sera
10000*(1 0,06)3 =11910,16
2) Le montant accumulé après 7 ans sera
10000*(1 + 0,06)3 *(1 + 0,0575)
4 = 14894,952
3) Le montant accumulé après 5 ans sera
10000*(1 + 0,06)3 *(1 + 0,0575)
2 = 13319,206
Le montant accumulé après 4 ans sera
10000*(1 + 0,06)3 *(1 + 0,0575)
1 = 125914,994
Calcul du montant d’intérêt gagné
Donc, le montant d’intérêt gagné pendant la 5e année sera
13319,206-125914,994= 724,212
Comparaison:
Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de l’intérêt simple et de
l’intérêt composé pour le même taux, nous obtenons le résultat suivant
(1+i)
t ≤ (1 + i*t) si 0 ≤ t ≤ 1 et (1 + i*t) ≤ (1+i)
t si 1≤ t
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Jusqu’à maintenant nous avons considéré la valeur accumulée d’un placement, mais
il est aussi important de considérer la valeur actuelle d’un capital futur. On dit aussi
la valeur présente, la valeur escomptée.
Exemple 3: Une personne veut investir un capital dans un compte d’épargne
rémunéré au taux d’intérêt composé de 6% par année pour 4 ans et au terme de la
sixième année avoir 10000 dh. Quel est ce capital à investir?
Solution:
Notons ce capital par : K ou A(0)
Nous avons maintenant l’équation : K*(1,04)4 = 10000
Donc : A(0) = K=10000/(1,06)4 = 15000*(1,06)
-4 = 7920,937
Le facteur d’accumulation est : (1 + i)
Le facteur d’escompte est : 1/(1+i) = (1 + i)-1
Définition de la fonction d’actualisation
Cette fonction correspond à la valeur actuelle d’un capital de 1dh payable au temps t
Remarque : Si nous voulons connaître la valeur actuelle d’un capital de k dh après
une période de temps, il suffit de multiplier cette fonction d’actualisation par k.
Si nous connaissons la fonction de capitalisation, alors la fonction d’actualisation est
obtenue en divisant par la fonction de capitalisation:
a-1
(t) = 1/a(t)
Dans le cas de l’intérêt simple, la fonction d’actualisation est
a-1
(t) = 1/(1 + i*t)
Exemple 4 : une personne souhaite remplacer le 7 avril un effet de commerce de
montant nominal égal à 25200 dh arrivant à échéance le 13 août par un autre effet
échéant le 24 octobre. Déterminer la valeur de l’effet de remplacement sachant que le
taux d’escompte est égal à 12%.
Pour répondre à cette question, il est préférable de présenter la date d’équivalence par
un graphique.
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VE1=VE2 25250 – 25250*12*128/36000 = C2 +C2*12*200/36000
C2 =25250(1 – 12*128/36000)/(1- 12*200/36000)=25848 dh
Dans le cas de l’intérêt composé, la fonction d’actualisation est :
a-1
(t) = 1/(1 + i)-t
Exemple 5 : Quelle somme faut-il placer maintenant à intérêts composés, au taux
annuel de 6%, pour obtenir dans 8 ans une valeur définitive de 4850 dh ?
On sait que : C0 = Cn*(1+i)-n
C0 = C8*(1,06)-8
C0 = 4850*(1,06)-8
= 3042,95
Propriétés anticipées de la fonction d’actualisation:
Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de
capital pour obtenir à terme 1dh
Décroissance par rapport au taux d’intérêt. Si le taux d’intérêt augmente, il nous faut
moins de principal à investir pour obtenir à terme 1dh
Il y a aussi une autre mesure de l’intérêt :
L’escompte : Un effet de commerce (lettre de change, billet à ordre ou warrant)
constate l’engagement pris par un débiteur de payer à son créancier à une date
déterminée une somme d’argent, montant de la dette qu’il a contractée.
Si le créancier a besoin de cet argent avant l’échéance stipulée, il cédera l’effet de
commerce, avec tous les droits qui s’y attache, à une banque, suivant la technique de
l’escompte : le banquier escompteur achète l’effet et se substitue au créancier ; le
débiteur paiera au banquier le montant de sa dette à l’échéance fixée. Le banquier
verse par avance au créancier la somme diminuée des intérêts et commissions
perçues.
Ce moyen de financement qui permet aux entreprises de disposer du montant de leurs
créances avant leur échéance constitue une « mobilisation de créances ».
Taux effectif d’escompte
19
Taux effectif d’escompte pour la 1e période :
Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la première période sur le
montant accumulé à la fin de la période. En formule, nous obtenons :
d1 ={A(1) – A(0)}/A(1) = I(1)
Taux effectif d’escompte pour la ne période :
Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la ne période sur le montant
accumulé à la fin de la ne période. En formule, nous obtenons :
dn =(A(n) – A(n-1))/A(n) =I(n)
Si nous connaissons les taux effectifs d’escompte pour toutes les périodes, de la 1e à
la ne , et le capital initial, alors nous pouvons calculer le montant accumulé à la fin de
la ne période, i.e. A(n)
En effet,
A(0)= A(1)*(1-d1) A(1) = A(0)*(1 – d1)-1
A(1)= A(2)*(1-d2) A(2) = A(1)*(1 – d2)-1
A(2)= A(0)*(1 – d1)-1
*(1 – d2)-1
et ainsi de suite. Finalement nous obtenons
Valeur accumulée :
A(n)= A(0)*(1 – d1)-1
*(1 – d2)-1
…*(1 – dn)-1
Valeur actuelle :
A(0)= A(n)*(1 – d1)*(1 – d2) …*(1 – dn)
Exemple 4 : Dans un placement, le taux effectif d’escompte est de 6% pour la 1ière
année, 6,5% pour la 2eme
année, 4,5% pour la 3eme
année, 5,5% pour la 4eme
année et
6,5% pour la 5eme
année.
1) Si le principal investir est 1000 dh, quel est le montant accumulé après 5 ans ?
2) Quel est le principal à investir si nous voulons accumuler 5000 dh après 3 ans ?
Solution: 1) Nous voulons calculer la valeur accumulée après 5 ans. Par ce que nous avons vu,
celle-ci sera :
1000*(0,94)-1
*(0,935)-1
*(0,955)-1
*(0,945)-1
*(0,935) -1
C’est-à-dire : 1348,384
20
2) Nous voulons calculer la valeur actuelle de 5000 payable à la fin de la 3e année.
Par ce que nous avons vu celle-ci sera :
5000*(0,94)-1
*(0,935)-1
*(0,955)-1
= 5956,994
Equivalence de taux :
Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si les valeurs accumulées
d'un même principal investi pendant une période à ces deux taux sont égales.
Equivalence de taux (approche équivalente) :
Deux taux d’intérêt ou d’escompte sont dits équivalents si les valeurs actuelles d'un
même capital à la fin d’une période à ces deux taux sont égales.
Equivalence des taux d’intérêt et d’escompte :
Étant donné le taux d’escompte : d
Alors le taux d’intérêt ( i ) est égal à : i = d/(1-d)
Explication de la formule :
Considérons un capital de 1 dh à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle
est (1-d)
Nous avons, capital investi au début de la période :
Capital accumulé à la fin de la période: 1 dh
Intérêt : d
i = intérêt / (Capital à la fin de période) = d/(1-d)
Equivalence des taux d’intérêt et d’escompte
Etant donné le taux d’intérêt : i
Alors le taux d’escompte équivalent est : d= i/(1+i)
Considérons un capital de 1dh investi au début de la période. Dans ce cas, sa valeur
accumulée : (1+i)
Nous avons
Capital investi au début de la période : 1
Capital accumulé en fin de la période : (1 +i)
Intérêt : i
21
Donc : d= (intérêt / capital en fin de période) = i/(1 + i)
Exemple 6: Si le taux effectif d’escompte est de 2.25% par année, alors le taux
effectif d’intérêt équivalent est
I= 0,025/(1 - 0,025) = 0,0256, soit 2,56%
Exemple 7: Si le taux effectif d’intérêt est de 4,5% par année, alors le taux effectif
d’escompte équivalent est
D= 0,045/(1 + 0,045) = 0,0431, soit 4,31%
Exemple 8: Nous allons illustrer la formule i = d/(1 –d) à travers un exemple :
Supposons que nous voulons prêter 100000 dh au taux effectif d’escompte de 8% par
année et qu’il y a autant d’emprunteurs que nous le désirons.
Le premier emprunteur recevra 100000(1 - 0.08) = 92000 dh au début de l’année et
remboursera 100000 dh à la fin de l’année.
Du 100000 dh, il nous reste 100000 - 92000 = 8000 dh à prêter.
Le second emprunteur recevra 8000(1 - 0.08) = 7360 au début de l’année et
remboursera 8000 dh à la fin de l’année
Du 8000 dh, il nous reste 8000 - 7360 = 640 dh à prêter.
Le troisième emprunteur recevra 640(1 - 0.08) = 588,8 dh et remboursera 640 dh à la
fin de l’année.
Exercice d’application : Pour calculer un taux actuariel, il est nécessaire de connaître
les flux de l'opération ainsi que les dates auxquelles ils sont versés.
Supposons qu'une opération comporte les flux suivants :
Un engagement de 15 000 EUR
3 remboursements de 5 500 EUR tous les ans pendant 3 ans à partir de la
première année.
On peut donc écrire l'égalité suivante :
i = 4,921%
22
Chapitre II : les éléments probabilistes de l’assurance vie
La principale difficulté pour l'assureur est de déterminer la probabilité de voir
survenir l'événement assuré. Estimer la probabilité de la mort, ou de l'invalidité, est
extrêmement complexe. Dans les compagnies d’assurance commerciales, des
actuaires se chargent de ce travail et utilisent pour ce faire des techniques statistiques
et mathématiques très poussées. La probabilité de mourir varie d'une région à une
autre, est fonction de l'âge (sur une même période, le risque est plus élevé pour une
personne âgée que pour une plus jeune), du genre, et du statut socio-économique et
professionnel. D'autres facteurs entrent également en ligne de compte, comme le
SIDA, les guerres et les inondations ou autres catastrophes naturelles.
Introduction
L’application des techniques quantitatives et en particulier des probabilités à
l’assurance, permet de déterminer la part en pourcentage des différentes variables qui
interviennent dans l’équation de l’équilibre financier d’une entreprise d’assurance :
Primes+produits financiers
=
Nombre de sinistres * capitaux versés en cas de
sinistres
I) Terminologie probabiliste
a) Définitions
Expérience aléatoire : On parle d’une expérience aléatoire lorsqu’on réalise une
expérience dont le résultat exact est connu mais dont tous les résultats possibles sont
connus à l’avance. Elle doit avoir au moins deux résultats possibles.
Exemple : une personne âgée de 20 ans peut être après 10 ans soit en vie soit
décédées. Les deux résultats possibles sont « être en vie » et « être décédée ».
Variable aléatoire : il s’agit d’associer un nombre réel à chacun des résultats
possibles d’une expérience aléatoire.
Dans le cas de notre exemple, on peut définir une variable aléatoire en
associant 0 au résultat être en vie et 1 au résultat être décédés et écrire dans ce cas :
X=0 si résultat est être en vie et ;
X=1 si résultat est être décédée.
23
Expérience aléatoire Etre en vie après 10 ans Décédée après 10 ans
Variable aléatoire 0 1
Loi de probabilité : On défini une loi de probabilité lorsqu’on peut associer une
probabilité pour chacun des nombres associés aux résultats possibles de l’expérience
aléatoire.
Dans notre exemple : on peut associer :
P si X=0 pour le résultat : être en vie et ;
(1-p)=q si X=1 pour le résultat : être décédée.
Expérience aléatoire Etre en vie après 10 ans Décédée après 10 ans
Variable aléatoire 0 1
Loi de probabilité p q =(1-p)
Exemple : Soit une expérience aléatoire qui consiste à lancer une pièce de monnaie :
Expérience aléatoire Pile Face
Variable aléatoire 0 1
Loi de probabilité p q =(1-p)
Espace fondamental ou univers : dans le cas d’une expérience aléatoire, l’espace
fondamental est l’ensemble de tous les résultats possibles.
Evénement : c’est un sous ensemble de l’espace fondamental.
Evénements incompatibles « mutuellement exclusifs » : Lorsqu’ils ne peuvent pas
se réaliser simultanément.
Probabilité : La probabilité d’avoir un cas dit favorable pour un événement donné est
la valeur du rapport :
P= (nombre de cas favorables/nombre de cas possibles)
En assurance, La probabilité : nombre de sinistres
P = nombre de contrats
b) opération sur les probabilités :
Probabilités totales : soient A et B deux événements (incompatibles ou non) :
P(AB)=P(A) + P(B) –P(AB)
Si A et B sont incompatibles alors : P(AB) =0
Probabilités composées : soient A et B deux événements (dépendants ou non)
24
P(AB) = P(A)*P(B/A)
Si A et B sont indépendants alors P(B/A)=P(B) et donc : P(AB) = (A)*P(B)
II) Les lois de probabilité
D’une manière générale, la probabilité d’un événement est fonction d’une ou
plusieurs variables xi. Ainsi par exemple, en assurance automobile, la probabilité de
l’événement «sinistre » dépend de l’âge et de l’état du véhicule, de sa puissance
fiscale,…etc. Aussi, en assurance vie, la probabilité de l’événement «décès» est liée à
l’âge, la santé, …etc. On distingue deux types de variables : variables discrètes et
variables continues.
a) variable discrète : une variable est dite discrète ou discontinue lorsqu’elle ne peut
prendre que des valeurs entières.
Soit l’événement x : avoir un sinistre. La probabilité d’avoir un nombre x de
sinistres est égale : P(x)= nombre de sinistres/ nombre de contrats.
Avec P(x)=1 ( est utilisée uniquement dans le cas d’une variable discrète)
Les variables discrètes sont représentées graphiquement par un diagramme en
bâtons.
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
b) Variable continue : il s’agit de variable qui peut prendre toutes les valeurs d’un
intervalle et donc une infinité de valeurs. Dans ce cas, la probabilité pour que x soit
égale à une certaine valeur tend vers 0. On est contraint de chercher la probabilité de
tout un intervalle ou une classe de valeurs :
P(Li ≤ x ≤ Ls)= P(x≤Ls) – P(x≤Li)
Avec P(x)=1 ( est utilisée uniquement dans le cas d’une variable continue)
25
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 10 20 30 40 50 60 70 80
P(20 ≤ x ≤ 30)= P(x≤30) – P(x≤20)
III) Caractéristiques d’une variable aléatoire
a) Espérance mathématique : E(x)
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X notée E(x) est la
moyenne arithmétique des valeurs possibles de X pondérées par leurs probabilités
correspondantes.
Exemple 2 :
Dans une banque, avant d’accorder un crédit, elle exige une assurance. Soit la
distribution suivante de la variable aléatoire x : montant des sinistres pour n assurés.
Ce montant est remboursé à la banque en cas de sinistre.
Xi n
0 en cas de survie n1
A en cas de décès naturel n2
B en cas décès accidentel n3
Avec n= n1 + n2 + n3.
L’espérance mathématique des montants remboursés est égal à :
(0*n1 + A*n2 + B*n3)/n
D’une manière générale :
Pour une variable discrète : E(X) = x.P(x)
26
Pour une variable continue : E(X) = x.P(x)
b) variance : V(x)
Lorsqu’on calcule la moyenne d’une variable aléatoire tel que l’espérance de
vie moyenne, on peut s’intéresser à la dispersion des autres vies autour de la moyenne
c-à-d [x – E(x)].
Selon l’exemple 2 : V(x)= (0²*n1 + A²*n2 + B²*n3)/n - [E(x)]²
Pour une variable discrète : V(X) = x².P(x) – [E(x)]² = E([x – E(x)]²)
Pour une variable continue : V(X) = x².P(x) – [E(x)]² = E([x – E(x)]²)
Pour des raisons de calcul et pour pouvoir utiliser certaines loi de probabilité
connue à l’avance telle que la li normale, on calcule ce qu’on appelle l’écart-type
«(x) » qui est la racine carré de la variance.
(x) = (V(x))
IV) Le théorème central-limite
Ce théorème est très utilisé dans les études d’assurance. Selon ce théorème,
lorsque n est suffisamment grand (n>30) n’importe quelle variable aléatoire Xi
centrée et réduite suit une loi normale centrée réduite
Xi centrée (Xi – E(x))
Xi réduite Xi/(x)
Xi centrée réduite (Xi – E(x))/(x)
Exercice d’application :
Une entreprise d’assurance commercialise des contrats d’assurance vie. La
première année, elle propose un contrat pour lequel les capitaux possibles vont de 1
millions dh à 2 millions dh.
Le nombre d’assurés est 10000. Les souscriptions et les décès en fin de la première
année sont représentés dans le tableau suivant :
27
Capital C
(en millions de dh)
Nombre de contrats Nombre de décès durant
la première année
[0,5 ; 0,75[ 2150 32
[0,75 ; 1[ 2000 12
[1 ; 1,25[ 1400 22
[1,25 ; 1,5[ 1650 32
[1,5 ; 1,75[ 1250 48
[1,75 ; 2[ 1550 74
1) Calculer approximativement la valeur moyenne des capitaux sous risques.
2) L’entreprise encaisse les primes et paye les sinistres. On suppose que, la
probabilité de décès durant la première année est la même pour tous les assurés.
a) Quelle est la probabilité de décès des assurés ?
b) quel sera le chiffre d’affaire de l’assureur ? Étudier l’équilibre financier.
c) en fait, on montre que les assurés qui souscrivent les contrats de plus de 1,5
millions dh ont une probabilité de décès différente de celle des autres (il y a
antisélection). Démontrer l’existence d’une telle antisélection.
d) si on avait appliqué des probabilités de décès différentes mais adaptées (entre les
assurés qui souscrivent des capitaux élevés et ceux qui souscrivent des capitaux
faibles) quel aurait été le résultat de l’assureur.
Réponse :
1) Le montant des capitaux sous risques est égal à :
ni*Ci =11,875 milliards dh.
Donc le capital moyen assuré est égale à :
11,875 milliards dh/10000 assurés= 1,1875 millions dh
2) Pour le cas de décès de probabilité identique pour tous les assurés
a) La probabilité de décès :
P = nombre de cas favorables/nombre de cas possibles
=(220/10000)*100
=2,2%
Remarque : les prévisions de décès doivent être faites par l’assureur à partir des
tables de mortalité, de telle sorte que la grille de primes pratiquées équilibrerait les
comptes pour chaque tranche de capital assuré. L’équation de cet équilibre est la
suivante :
28
Prime de la tranche
=
Capital de la tranche * nombre de décès prévisible dans la tranche
Capital assuré
en MDH ni Ci
Nombre
de décès
Prime
individuelle
Prime par
tranche
Capital sous risque
par tranche
[0,5 ; 0,75[ 2150 0,625 32 0,01375 29,5625 20
[0,75 ; 1[ 2000 0,875 12 0,01925 38,5 10,5
[1 ; 1,25[ 1400 1,125 22 0,02475 34,65 24,75
[1,25 ; 1,5[ 1650 1,375 32 0,03025 49,9125 44
[1,5 ; 1,75[ 1250 1,625 48 0,03575 44,6875 78
[1,75 ; 2[ 1550 1,875 74 0,04125 63,9375 138,75
10000 220 261,25 316
b) Le chiffre d’affaire de l’assureur :
Le chiffre d’affaire de l’assureur est égal à 261,25 millions dh. Les capitaux de décès
dus en fin d’année sont de 316 millions dh. On a un déficit de 54,75 millions dh.
c) Le risque d’antisélection
Capital assuré en
MDH ni décès
nombre de décès
probable
probabilité moyenne
de décès
[0,5 ; 0,75[ 2150 32 47,3 1,4%
[0,75 ; 1[ 2000 12 44 1,4%
[1 ; 1,25[ 1400 22 30,8 1,4%
[1,25 ; 1,5[ 1650 32 36,3 1,4%
[1,5 ; 1,75[ 1250 48 27,5 4,31%
[1,75 ; 2[ 1550 74 34,1 4,31%
Les assurés qui ont souscrit des capitaux élevés meurent plus que ce
qu’indiquent les prévisions. Selon le tableau ci-dessous, la probabilité moyenne de
décès des assurés qui s’assurent à plus de 1,5 millions de dh est égale à 4,31% alors
que celle des assurés des classes d’intervalle inférieures à 1,5 millions de dh, est
égale à 1,4%.
d) Conséquence pour l’assureur : L’assureur aurait dû prendre en considération ces
nouvelles probabilités. Il aurait alors obtenu le tableau suivant :
29
Capital assuré en
millions dh
Nombre de
contrats
Probabilité
de décès
Prime
individuelle
Prime par
tranche
[0,5 ; 0,75[ 2150 1,4% 0,00851 18,8125
[0,75 ; 1[ 2000 1,4% 0,01191 24,5
[1 ; 1,25[ 1400 1,4% 0,01531 22,05
[1,25 ; 1,5[ 1650 1,4% 0,01872 31,7625
[1,5 ; 1,75[ 1250 4,31% 0,0708 87,55
[1,75 ; 2[ 1550 4,31% 0,0817 125,24
309,915
Le montant des primes aurait alors été de 309,561 millions de dh, ce qui aurait permis
un résultat rentable « bénéfice de 48,665 millions dh ».
Remarque : L’application du tarif basé sur les probabilités calculées à partir du
nombre de décès prévisibles, permet d’éviter une anti-sélection des assurés. Le
recours à des probabilités fiables à partir des tables de mortalités récentes est d’une
très grande importance en assurance vie.
Exercice 2 : Une entreprise d’assurance commercialise des contrats d’assurance vie.
La première année, elle propose un contrat pour lequel les capitaux possibles vont de
1 millions dh à 4 millions dh.
Le nombre d’assurés est 1000. Les souscriptions et les décès en fin de la première
année sont représentés dans le tableau suivant :
Capital C
(en millions de dh)
Nombre de contrats Nombre de décès durant
la première année
[1 ; 1,5[ 208 3
[1,5 ; 2[ 197 1
[2 ; 2,5[ 132 2
[2,5 ; 3[ 189 3
[3 ; 3,5[ 117 5
[3,5 ; 4[ 157 7
1) Calculer approximativement la valeur moyenne des capitaux sous risques.
2) L’entreprise encaisse les primes et paie les sinistres. On suppose que, la probabilité
de décès durant la première année est la même pour tous les assurés.
a) Quelle est la probabilité de décès des assurés ?
b) quel sera le chiffre d’affaire de l’assureur ? Étudier l’équilibre financier.
c) On fait on montre que les assurés qui souscrivent les contrats de plus de 3 millions
dh ont une probabilité de décès différente de celle des autres (il y a antisélection).
Démontrer l’existence d’une telle antisélection.
d) si on avait appliqué des probabilités de décès différentes mais adaptées (entre les
assurés qui souscrivent des capitaux élevés et ceux qui souscrivent des capitaux
faibles) quel aurait été le résultat de l’assureur.
30
Partie II : Risque viager et risque financier.
Introduction :
En matière d’assurance, on distingue deux types de risque :
Le risque viager
Le risque financier
Chapitre I : Le risque viager
La démographie apporte des statistiques et des faits, indispensables à
l'approfondissement de leur objet propre des autres domaines. Voici quelques
exemples.
Les assurances : Les techniques de l’assurance vie utilisent les tables de mortalité
pour calculer les probabilités viagères. En effet, les tables de mortalité permettent
d’avoir des informations chiffrées sur la mortalité de la population des assurés.
L’histoire : Pendant des siècles, la puissance d'un pays fut fonction du nombre de ses
habitants. De ce fait, les statistiques démographiques ont, très tôt, été tenues. Elles
servent donc très souvent de point de départ aux analyses des historiens.
La géographie Les populations humaines se concentrent dans certains endroits de la
planète, soit parce qu'il y a de l'eau, soit à cause de la qualité de la terre, soit en raison
d'une facilité de communication.
La sociologie Les enquêtes sociologiques font une importante utilisation de
statistiques démographiques.
• Dans les études sociologiques, on trouve très fréquemment des tableaux dont les
classifications sont à base démographique. Classifications par âge, par sexe, par
nationalité.
• Tous les phénomènes sociologiques sont concernés : que ce soit le suicide, le
mariage, la pratique religieuse, le comportement face aux loisirs, le comportement
électoral, etc.
• Exemple : quelle est l'influence du vieillissement démographique sur le
comportement de vote ? Est-ce que les personnes de plus de 60 ans votent plus à
droite que les jeunes de moins de 25 ans ?
L'économie La variable démographique est aussi omniprésente en économie.
• Les ressources humaines sont primordiales dans la création de richesse. Pour
qualifier cette importance, on parle de capital humain
• L'homme, et par conséquent ses caractéristiques démographiques, joue un rôle
déterminant dans l'explication de la croissance économique et dans la notion de
développement durable également.
31
Les politiques économiques et sociales : Les politiques économiques et sociales ont
très souvent pour point de départ des données démographiques. Deux exemples :
politique des retraites et politique de l’emploi.
La politique des retraites La connaissance du ratio (ou taux) de dépendance
(nombre de personnes âgées de 60 ans ou plus divisé par le personnes âgées de 15 à
59 ans) dans un pays, et surtout la connaissance de son évolution, est ou devrait être
une donnée précieuse pour l'élaboration des politiques de retraite.
1) Table de mortalité :
Définition : Une table de mortalité annuelle suit le cheminement d'une génération
fictive de 100 000 nouveau-nés à qui l'on fait subir aux divers âges les conditions de
mortalité observées sur les diverses générations réelles, durant l'année étudiée. Pour
éviter les aléas des tables annuelles et pour disposer d'une table détaillée par âge aussi
précise que possible, on calcule également une table de mortalité couvrant une
période de trois années.
Ainsi donc, Les tables de mortalité permettent de connaître la structure par
âge et par sexe des personnes décédées. Le principe des tables de mortalité permet
aussi de construire d'autres tables, contenant la répartition par causes de décès, en
même temps que l'âge, le sexe, le lieu du décès, et tous autres renseignements
concernant la vie de la personne décédée.
a) Les différentes conceptions des tables : Les tables de mortalité, dont l'origine
remonte à John Graunt, posent aux démographes divers problèmes, les uns
classiques, les autres récents. La distinction essentielle, en démographie, entre
observation longitudinale et observation transversale trouve naturellement ici sa
place. Le plus souvent, les tables publiées sont "transversales", c'est-à-dire établies
d'après les taux de mortalité observés sur diverses générations à la même époque.
L'intérêt de ces tables est considérable, puisqu'elles permettent de juger le
développement sanitaire d'un pays ou la situation propre d'une population particulière
(région, profession, etc.). Cependant, la signification pratique de ces tables peut être
mal interprétée car l'expression "espérance de vie" est alors impropre. Elle suppose,
en effet, que les taux de mortalité à chaque âge resteront les mêmes à l'avenir,
hypothèse qui était plus fondée du temps de Graunt, qu'aujourd'hui. Les tables de
génération sont beaucoup moins souvent calculées, car elles sont largement
rétrospectives. Il serait, cependant, très possible d'établir des tables de génération
prospectives, mesurant cette fois l'espérance de vie, telle qu'on peut la concevoir à un
moment donné.
32
a-1) Tables rétrospectives : statiques transversales
Elles permettent de mesurer et d’analyser les comportements observés au
cours d'une période définie, en général une année. Vu que la mortalité n’est pas stable
dans le temps, les tables du moment, appelées tables transversales, ne sont pas d’une
grande utilité pour le problème des assurances. Ces tables sont dressées à partir
d’observations relatives à une seule année. Cette façon de faire ne permet pas de tenir
compte de l’évolution de la mortalité dans le temps. En fait, l’approche transversale
ne décrit la mortalité d’aucun assuré du portefeuille puisque chacun des quotients de
mortalité a été obtenu à l’aide d’une génération différente d’assurés.
Ainsi, ce type de tables de mortalité classiques « tables périodiques », sont
des tables statiques car elles n’anticipent pas l’allongement probable de la durée de la
vie humaine. Elles sont basées sur l’observation d’une population pendant une
période déterminée « variant de un à cinq ans en général ». Si la période
d’observation est l’an 2012, les individus de x années révolues en 2008 serviront à
estimer la probabilité qx de décéder à cet âge. Le principal avantage de cette approche
réside dans le peu de statistiques que nécessite son élaboration.
La table de mortalité ainsi obtenue mélangera donc de nombreuses
générations, et ne décrira la mortalité d’aucune d’elles. En particulier, les indicateurs
démographiques qui en découlent (comme l’espérance de vie, par exemple) n’ont
aucun sens concret et ne correspond à aucune génération d’individus. Ainsi,
l’espérance de vie d’une personne calculée sur base d’une table de mortalité
périodique ne correspond pas véritablement au nombre d’années qu’il lui reste à vivre
en moyenne. Une telle espérance de vie doit se comprendre comme un indicateur
démographique bien utile, notamment pour évaluer l’amélioration de la longévité,
mais certainement pas selon son sens premier.
L’usage des tables de mortalité périodiques est indiqué lorsque l’assureur
s’engage à couvrir un risque viager sur une période relativement courte, ou lorsque
l’allongement de la durée de la vie humaine est synonyme de sécurité (comme pour
les assurances décès, par exemple, où une table de mortalité n’anticipant pas les
améliorations probables de la longévité des assurés génère un chargement de sécurité
implicite). Il n’est pas utile lorsque les engagements de l’assureur s’inscrivent dans le
long terme, comme c’est le cas pour les rentes viagères.
Illustrons ce propos comme suit: supposons un nouveau-né, de sexe
masculin, né en 2008. Supposons que son père est âgé de 30 ans, et son grand-père de
60 ans. Une table de mortalité transversale utilisera le quotient de mortalité du père et
du grand-père pour estimer la durée de vie future du nouveau-né, en particulier son
espérance de vie. Il est clair que ce nouveau-né, grâce aux progrès décrits ci-dessus,
survivra en moyenne plus longtemps que son père, et encore plus longtemps que son
33
grand-père. Retenir les quotients de mortalité des hommes nés en 1978 et 1948 pour
analyser la vie future de ce nouveau-né implique donc nécessairement une sous-
estimation de son espérance de vie. Il est donc indispensable de travailler avec des
tables prospectives, qui tiennent compte de la génération de l’individu pour évaluer sa
mortalité. Pour parer à ce problème, il convient d’établir des tables prospectives,
encore appelées longitudinales,
a-2) Les tables de mortalité prospectives (ou dynamiques) :
Les tables de mortalité prospectives (ou dynamiques) anticipent l’évolution
probable de la mortalité des individus. De telles tables ont deux entrées : l’âge de
l’assuré et l’année calendaire. Elles donnent pour chaque âge la probabilité de
décéder au cours d’une certaine année. Elles sont dressées à partir de modèles
statistiques estimant les tendances de la mortalité, et les extrapolant dans le futur. Il
va sans dire que de telles tables doivent être fréquemment revues, à la lumière des
nouvelles statistiques de mortalité que l’actuaire peut se procurer.
Projeter l’évolution de la mortalité est un exercice difficile, comme en témoignent les
écarts parfois très importants observés dans le passé entre les projections et la réalité.
Les tables de mortalité prospectives, permettent de tenir compte de
l’allongement de la vie humaine. Ces tables donnent, pour chaque génération la
probabilité de décéder au cours d’une certaine année. Ainsi, les tables de mortalité
longitudinales permettent de déterminer, pour chacune des générations, le temps
restant à vivre pour un individu compte tenu, non pas des conditions du moment
mais de l’évolution future présumée des conditions de vie. Elles sont dressées à partir
de modèles statistiques estimant les tendances de la mortalité et les extrapolant dans
le futur. Il va sans dire que les tables prospectives doivent être fréquemment revues à
la lumière des nouvelles statistiques de mortalité.
b) Calculs effectués à partir des tables de mortalité :
b-1) Le Calcul des valeurs centrales : La structure par âge peut être exprimée par
des caractéristiques de valeurs centrales. Ainsi on parle d’âge moyen, d’âge modal,
d’âge médian ...etc.
Âge modale au décès : il correspond à l’âge x qui a le nombre de décès le plus élevé.
Pour sa détermination, on exclut éventuellement les décès des premiers âges de la vie
qui, lorsque la mortalité est encore forte, peuvent être les plus nombreux.
Âge moyen : On appelle âge moyen, la moyenne d’âge des personnes appartenant à
cette population.
Âge médian : On appelle âge médian, l’âge qui partage les personnes qui composent
une population en deux groupes d’effectifs égaux.
34
Âge moyen :
m =(xi+a/2)P(xi ; xi+a)
P(xi ; xi+a)(Pop totale)
m : âge moyen
xi : âge (i=0; 1; 2; ….. n)
a : Intervalle de classe (généralement a=5)
Âge médian
Me = X1+X*(N/2-Y1)/Y
X1 : La borne inférieure de la classe d’âge
X : Variation de la classe d’âge (5 ans)
Y : variation de la valeur des effectifs correspondants à la classe d’âge
déterminée.
N : Effectifs totale de la population
Y1 : Valeur initiale de l’effectif de la population
Exemple : soit la distribution par groupe d’âges révolus d’une population de moins
de 25 ans, d’effectif total égal à 26386.
Calculer l’âge médian Me.
Xi ni : effectifs
en milliers
ni cumulés
croissants
[0 ; 4] 3099 3099
[5 ; 9] 3237 6336
[10 ; 14] 3228 9564
[15 ; 19] 2904 12468
[20 ; 24] 2599 15067
On calcule les effectifs cumulés croissants.
N= effectif total de la population est égal à 26386. Donc, N/2= 13193
correspond à la classe (20-24). L’âge médian est compris entre 20 et 24
Me = 20+5/2599(13193- 12468) =21,39 ans
b-2 - Quotient de mortalité : Le quotient de mortalité se définit comme le rapport
des décès à l'âge x divisé par les survivants d'âge x. Nous allons utiliser cette
définition dans l'étude des tables de mortalité.
b-3 - Table de mortalité d'une génération : Lorsqu'on peut étudier une cohorte de
personnes depuis leur naissance la même année jusqu'à l'extinction de la cohorte
(autrefois 100 ans, aujourd'hui 120 et même plus), on regroupe les données dans une
table de mortalité de la génération. La table peut être constituée au fur et à mesure
des décès, mais elle ne sera complète qu'une fois que tous les membres de la cohorte
seront décédés. Cette table comprend 4 colonnes comme ci-dessous : Début de table
de mortalité par génération
35
Début de table de mortalité par génération
âge x au moment du décès
(en année)
survivants à
l'âge x
décès à
l'âge x
quotient de mortalité (en
pour mille)
0 100000 1350 13,5
1 98650 650 6,59
2 98000 600 6,12
3 97400 500 5,13
……. ……. ……. …….
……. ……. ……. …….
……. ……. ……. …….
……. ……. ……. …….
110 1 1 1000
totale 100000
b-4) L'espérance de vie
Définition : L'espérance de vie est un indicateur transversal, calculé à partir des
données du moment. De plus elle varie avec l'âge et le sexe (et éventuelle avec la
zone géographique, la profession, etc.).
Pour comprendre la signification et la portée de ce chiffre, il faut étudier la définition
et le mode de calcul de l'espérance de vie. L'espérance de vie à la naissance, calculée
à un moment donné (par exemple en 2008), est le nombre moyen d'années que vivrait
une personne si elle connaissait, tout au long de sa vie, les conditions de mortalité
observées en 2007. Ainsi, si les jeunes enfants de sexe masculin nés en 2008
connaissent à chaque âge les mêmes conditions de mortalité que celles observées en
2007. On peut aussi calculer l'espérance de vie à 30 ans, à 50 ans, à 60 ans. Par
exemple, l'espérance de vie à 60 ans est le nombre moyen d'années que vivrait une
personne si elle connaissait, à partir de 60 ans, les conditions de mortalité observées
au cours de cette période. L'équivalent longitudinal de l'espérance de vie est la durée
moyenne de vie.
Exemple de calcul : Pour calculer l'espérance de vie à la naissance où à n'importe
quel âge, il suffit de connaître la répartition par âge (et par sexe) des décès. Il faut
donc avoir accès à la table de mortalité du moment.
36
Exemple : Soient les données suivantes d’une population
Âge x Sx D(x ; x+1)
80 100 48
81 A 26
82 26 C
83 13 6
84 7 D
85 B 1
86 3 1
87 2 2
Calculez à partir l’extrait de la table de mortalité suivante :
1. L’effectif des survivants S81 et S85.
2. Les décès d(82 ; 83) et d(84 ; 85)
3. Les quotients de mortalité q80 et q85.
4. L’espérance de vie à 60 ans e80.
1- Calcul de l’effectif des survivants à 91 ans et à 96 ans.
S81=S80 – d(80 ; 81)=100-48=52
S85=S84 – d(84 ; 85)=7-3=4
2- Calcul des décès entre 82 et 83 ans ; entre 84 et 85 ans.
S83=S82-d(82 ; 83) donc d(82 ; 83)=S92-S93=13
S85=S84-d(84 ; 85) donc d(84 ; 85)=S84-S85=3
3- Calcul des quotients de mortalité :
Le quotient de mortalité mesure le danger et le risque qui nous menace à un
anniversaire x, avant de décéder avant l’anniversaire x+1.
q80=d(80 ; 81)/S80=(48/100)*100=48%
q85=d(85 ; 86)/S85=(1/4)*100=25%
4- Calcul des probabilités de survie :
La probabilité de survie est la probabilité pour les personnes vivantes à l’âge x
d’atteindre l’âge (x+1).
px=Sx+1/Sx (c’est la probabilité complémentaire de la probabilité de décédés. Elle
est calculée par rapport à 1, 100 ou 1000)
px= 100%- qx (en %)
p80= 100%-48%=52%
p85= 100%-25%=75%
5- l’espérance de vie à un âge x « ex », est le nombre moyen d’années restant à vivre
à une personne qui a atteint l’âge x. c’est une durée moyenne de vie à partir d’an âge
donné.
En supposant que les personnes décédées entre l’âge x et x+1 meurent en moyenne à
(x+0,5) années, e90 est égal à :
e80=0,5 +(S81+S82+S83+ …+S88)/S80.
=0,5+109/100=1,59 années
37
2) Probabilités calculées à partir des tables de mortalité
a) Probabilité de survie :
A partir des informations contenues dans des tables de mortalité, on peut
calculer tout un ensemble d’indicateurs : probabilités, moyennes, écart-types … etc.
nPx : probabilité de survie durant n années à partir de l’âge x.
ndx = (1- nPx) : probabilité de décès pendant les n années à partir de l’âge x.
avec : nPx= Sx+n/Sx
Soit la variable aléatoire Xi : survie de l’individu X d’âge x pendant n années. Xi est
une variable indicatrice (ou bernoullienne). En effet :
Xi = 1 avec une probabilité nPx
Xi = 0 avec une probabilité (1- nPx)
Les caractéristiques de cette loi sont les suivantes :
E(Xi)=Xi*Pi = 1*nPx + 0*(1- nPx) =nPx.
V(Xi)= nPx*(1- nPx)
Exemple d’application : Probabilité de survie pendant 10 ans pour une femme de 40
ans (table population Féminine française 1820)
S40=96419
S50=94056
10P40 = S50/S40=94056/96419=97,55%
Probabilité de survie pendant 10 ans à 50 ans
S50=94056
S60=89106
10P50 = S60/S50=89106/94056=94,74%
b) Probabilités composées :
Dans certains cas on peut être contraint de calculer des probabilités
composées comme dans le cas de probabilité de survie viagère.
Soit un individu d’âge x.
(n+n’)Px = n’P(x+n)*nPx
(n+n’+n’’)Px = n’’P(x+n+n’)*n’P(x+n)*nPx
Exemple 1 : quelle est la probabilité de survie 10 ans et 20 ans pour une femme de 20
ans sur une table donnée. Comparer ce résultat avec celui de la probabilité de survie
10 ans pour une femme de 30 ans.
10P20 = S30/S20=58552/64230=0,912
20P20 = S40/S20=52926/64230=0,824
30P20 = S50/S20=47016/58552=0,732
30P20 = 10P20 *20P30 =0,732
Exemple 2 : Quelle est la probabilité de survie 10 ans, 20 et 30 ans pour une femme
de 20 ans sur une table donnée. Comparer ce résultat avec celui de la probabilité de
survie 10 ans pour une femme de 30 ans.
38
10P20 = S30/S20=58552/64230=0,912
20P30 = S50/S30=47016/58552=0,803
30P50 = S80/S50=10336/47016=0,22
60P20 = S80/S20=10336/64230=0,161
60P20 =10P20 *20P30 *30P50 =0,912*0,803*0,22=0,161
Exercice 1 : Exemple : soit la distribution par groupe d’âges révolus d’une
population de moins de 30 ans, d’effectif total égal à 602218.
Âge xi ni
[0-4] 59356
[5-9] 57682
[10-14] 54786
[15-19] 49785
[20-24] 37854
[25-29] 42756
Calculer l’âge médian Me.
On calcule les effectifs cumulés croissants.
N= effectif total de la population est égal à 602218. Donc : n/2= 301109
correspond à la classe (25-29). L’âge médian est compris entre 25 et 29
Me = 25+5/42756(301109- 259463) =29,87 ans
Exercices 2 :
Âge
exact x
Survivants à x :
Sx
Décès de x à
l’âge x+1
60 8750 1320
61 7430 330
62 A 520
63 6580 C
64 4810 1578
65 3232 950
66 B 828
67 1454 618
68 836 D
69 441 214
70 227 92
71 135 100
72 35 31
73 4 3
74 1 1
75 0
39
1- Calcul de l’effectif des survivants à 62 ans et à 66 ans.
S62=S61 – d(60 ; 61)=7430-330 =7100
S66=S65 – d(65 ; 66)=3232-950 =2282
2- Calcul des décès entre 63 et 64 ans ; entre 68 et 69 ans.
S64=S63-d(63 ; 64) donc d(63 ; 64)=S63-S64=1770
S69=S68-d(68 ; 69) donc d(68 ; 69)=S68-S69=395
3- Calcul des quotients de mortalité :
Le quotient de mortalité mesure le danger et le risque qui nous menace à un
anniversaire x, avant de décéder avant l’anniversaire x+1.
5- l’espérance de vie à un âge x « ex », est le nombre moyen d’années restant à vivre
à une personne qui a atteint l’âge x. c’est une durée moyenne de vie à partir d’an âge
donné.
En supposant que les personnes décédées entre l’âge x et x+1 meurent en moyenne à
(x+0,5) années, e60 est égal à :
e60=0,5+(S61+S62+S63+ …+S74)/S60
=0,5+34567/8750=4,45 années
40
Chapitre II : Risque financier
I- Taux techniques
Lors de la conclusion d’un contrat d’assurance, l’assureur et l’assuré doivent
prendre en considération le taux d’actualisation dans le calcul des prestations et des
primes. Ce taux est déterminé sous deux contraintes :
Le taux maximum pour chaque contrat selon la réglementation en vigueur.
Le taux du marché qui est généralement fortement concurrentiel.
En pratique, il est prudent que les deux parties d’un contrat d’assurance
doivent appliquer un taux d’actualisation profitable dans le cas du calcul des
prestations de l’assureur ainsi que dans la détermination de la prime de l’assuré. Ce
aux est appelé : taux technique
a- Définition du taux technique :
C’est un taux fixe utilisé pour calculer une “ réserve / provision ” permettant
de verser une rente (annuité) pendant une certaine durée (espérance de vie) phase de
décapitalisation. Après chaque versement d'une annuité, la provision résiduelle est
majorée de l'intérêt correspondant au taux technique.
b- Exemple d’application
Soit un contrat de capitalisation simple.
Pour une prime unique de 1000 dh, l’assureur garantit un capital de 1045 dh
en fin d’année. Au profit de l’assuré ou de ses ayants droit. Ce qui est équivalent à un
taux d’actualisation ou un taux technique de 4,5%.
Si l’assureur place la prime de 1000 dh, plusieurs scénarios sont alors
possibles, selon le taux pratiqué sur le marché.
taux du
marché Prime
produits
financiers
résultat de
l'assureur
4% 1000 dh 40 dh -5 dh
4,50% 1000 dh 45 dh 0 dh
5% 1000 dh 50 dh +5 dh
Donc, comme conclusion, on peut dire que le choix du taux technique est
d’une très grande importance en assurance vie pour l’assureur. Sa fixation doit être
prudente pour que l’assureur puisse honorer ses engagements vis-à-vis de l’assuré ou
de ses ayants droit.
41
II- Détermination du taux de prime
La détermination du taux de prime est déterminée par des actuaires en fonction
de la probabilité et du coût moyen des sinistres, sur des bases mathématiques et
statistiques.
1 – Probabilité des sinistres
Elle est déterminée selon le calcul des probabilités, par référence au recensement
statistique d'évènements passés groupés en risques homogènes de même nature.
En ce qui concerne le risque incendie, on peut penser, par exemple, qu'un incendie va
affecter 15 maisons sur 10000 sur une année.
La probabilité de ce type de sinistre sera alors exprimée selon le rapport 15/10000.
2 – Coût moyen du sinistre
En divisant le coût total des sinistres par leur nombre, on arrive à un coût moyen
pour un exercice donné.
Ainsi,
sur quinze maisons incendiées, 4 peuvent être détruites en totalité, 5 à moitié et
6 pour une faible part, de sorte qu'en moyenne le coût du sinistre peut être
évalué, par exemple, à 60% des capitaux assurés.
pour une valeur assurée de 1000 dh, le coût moyen du sinistre sera de 1000 dh
* 60% = 600 dh.
a- Le taux de prime sera donc calculé selon la formule suivante :
Taux de prime = Probabilité * coût moyen des sinistres
Dans l'exemple précité, le taux de prime sera de 15/10000*600 = 0,9 pour 1000 dh
assurés.
3- Les primes des contrats d’assurance vie
La prime d’une assurance sur la vie est déterminée principalement par les
éléments suivants : le risque assuré, les prestations garanties, la durée du contrat, la
période de paiement des primes, le taux d’intérêt, la table de mortalité et l’assuré. La
masse des primes collectées par l'assureur constitue le "pot commun" qui permet de
42
couvrir le montant des sinistres subis par ses assurés.
La prime est la contrepartie de l'obligation d'indemnisation de l'assureur.
La prime "commerciale" due par l'assuré est constituée par la "prime pure"
augmentée des "chargements".
a - La prime pure ou prime technique
La prime pure, (ou prime nette ou technique ou théorique), est celle à laquelle
le contrat peut être souscrit en tenant compte du taux d’intérêt technique et des tables
de mortalité. Elle correspond, donc, à la partie de la prime collectée par l'assureur qui
va être placée dans un "pot commun" afin de procéder au règlement des sinistres.
Cette prime n’incorpore aucuns frais. Elle est fonction d'un "taux de prime", et de
l'assiette des capitaux assurés, selon la formule suivante :
Prime pure = Taux de prime*capitaux assurés
Le taux de prime, ainsi que la valeur des capitaux assurés correspondent à
l'importance du risque à garantir, telle qu'elle résulte, notamment, des déclarations
faites par l'assuré au moment de la souscription du contrat.
La prime nette peut se composer :
d’une prime de risque, à savoir la prime correspondant au risque
encouru pendant l’année d’assurance ;
une prime d’épargne, à savoir une prime investie en vue de former,
avec l’intérêt accumulé, le capital vie assuré au terme du contrat ;
une combinaison d’une prime de risque et d’une prime d’épargne.
b- Exemple simplifié de calcul de la prime de risque
Prenons l'exemple d'un assureur qui propose une police d’assurance-décès
d'un an avec paiement d'un capital-décès de 50 dh. Un individu achète cette police.
Le risque de voir cet individu mourir dans l'année est de 2 %. En d'autres termes, le
risque de devoir payer l'indemnité dans l'année est de 2 %. La prime de risque pour
cette indemnité est, donc, équivalente à 2 % de 50 dh, soit un dh.
Si l'assureur a 100 clients qui courent le même risque de décès et ont acheté une
police prévoyant le versement d'une même indemnité, il percevra 100 primes de
risque de 1 dh, soit 100 dh. Si 2 % des clients meurent (soit 2 clients), deux
indemnités de 50 dh chacune seront versées, soit un montant de 100 dh. Le coût
attendu des sinistres est donc équivalent à celui de la prime de risque.
43
Pour l'ensemble du groupe, la prime de risque est de 100 dh et le montant total des
prestations garanties de 5.000 dh (100 polices à 50 dh par police). Le taux de prime
pour le groupe est donc de 100/5000, soit 2%. Toutes autres choses étant égales (ce
qui est rarement le cas), l'assureur pourrait exiger le paiement d'une prime
équivalente à 2 % de l'indemnité, pour tout niveau de couverture, ce qui reviendrait à
2 dh pour une indemnité de 100 dh.
III : les différents types d’engagement
Définition actuarielle des engagements
Après avoir défini les différents types de primes, il convient maintenant de préciser
actuariellement les différents types d’engagement.
1) Les engagements en cas de vie
L’engagement en cas de vie permet d’assurer par l’assureur, le paiement en cas de vie
de 1 dh durant n années à une personne âgée de x années. Si le taux technique est égal
à « i »3 alors :
Valeur probable de l’engagement dans n années :
1dh * probabilité de versement = nPx =Sx+n/Sx
Valeur actuelle probable de cet engagement
1 * nPx
(1 + i) n
Dans ces conditions, la valeur actuelle probable A de l’engagement en cas de
C dirhams au terme de n années pour une personne à l’âge x et au taux technique « i »
est égale à :
A = C * nPx
(1 + i)n
2) Les engagements en cas de décès
Il s’agit de procéder de la même façon selon des hypothèses données, la
probabilité que l’assureur honore ses engagements vis-à-vis de l’assuré ou ses ayants
droit. Cependant, un problème se pose concernant le nombre d’années « n », qui
correspond à la date du décès. Cette dernière est généralement inconnue.
3 I c’est la taux auquel, l’assureur placera les primes collectées des assurés en attendant de devoir verser le montant des
sinistres le cas échéant.
44
L’engagement consiste à assurer le versement de 1 dh à son décès à une
personne âgée de x années si le décès est dans n années et à un taux technique égal à
« i ».
Âge x décès
__________________________________________
0 n
Le calcul de cet engament est très difficile. C’est pourquoi, on émet un
certain nombre d’hypothèses :
Utilisation des tables de mortalité annuelles pour calculer le taux de mortalité
réel à un âge donnée x.
Utiliser la loi des grands nombres
Le paiement de 1 dh intervient au milieu de l’année « n+1 » lorsque le décès
survient dans n années
VAP = nPx * (1 - nPx) = nPx * 1qx+n (avec 1qx+n =1dx+n )
(1 + i)n (1 + i)
0,5 (1 + i)
n (1 + i)
0,5
3- Calcul des primes pures
La prime à payer par le preneur d’assurance se calcule en plusieurs étapes.
On part de la prime nette, à laquelle on ajoutera les chargements, les autres frais et
indemnisations et les taxes afin d’obtenir la prime tarifaire. Le calcul des primes
pures se réalise en trois étapes :
Définition des engagements de l’assureur et de l’assuré
Evaluation actuarielle de ces engagements
Application du principe d’équité des contrats :
A la date de début du contrat : «La valeur au comptant des
engagements contractuels de l’assureur à la date de début du contrat est
égale à la valeur au comptant des engagements contractuels du preneur
d’assurance à la date de début du contrat.»
La dernière étape s’écrit de la façon suivante : équivalence
mathématique :
45
Valeur actuelle probable des engagements de l’assureur
=
Valeur actuelle probable des engagements de l’assure
A partir de cette égalité on obtient une équation du premier degré à une
inconnue « prime ». Les autres paramètres étant fixés à l’avance.
a- Exemple d’application : contrat de capital différé sans contrassurance
On propose à une personne âgé de 50 ans le contrat suivant : l’assureur lui
paiera 50000 dh s’il est toujours en vie au terme du contrat, dans 10 ans, 0 dh si non.
En supposant que le taux d’actualisation réglementaire des engagements est
égal à 5%.
La table de mortalité à retenir est la table TV 88-90.
L’opération se présente comme suit du point de vue de l’assureur :
Temps n (1+i) (1+i)n 1/(1+i)
n nP50 nP50/(1+i)
n
0 1,05 1 1 1 1
1 1,05 1,05 0,952 0,997 0,949
2 1,05 1,103 0,907 0,994 0,902
3 1,05 1,158 0,864 0,991 0,856
4 1,05 1,216 0,823 0,988 0,813
5 1,05 1,276 0,784 0,984 0,771
6 1,05 1,34 0,746 0,98 0,731
7 1,05 1,407 0,711 0,976 0,694
8 1,05 1,477 0,677 0,971 0,657
9 1,05 1,551 0,645 0,967 0,624
P+P*1P50/(1+i)+P*2P50/(1+i)2+P*3P50/(1+i)
3+ ….+ P*9P50/(1+i)
9 =C*10P50/(1+i)
10
P*(1+ 1P50/(1+i) + 2P50/(1+i)2 + 3P50/(1+i)
3 + ….+ 9P50/(1+i)
9)=C*10P50/(1+i)
10
P*7,997 = (50000*0,961)/1,629 P=3689,996 dh
Donc, la prime du contrat d’assurance-vie est égale à 3690 dh
b- Exemple d’application : contrat de garantie temporaire décès
46
On propose à une personne âgée de 50 ans le contrat de temporaire décès
suivant : l’assureur lui paie 50000 dh en cas de décès durant les 10 années avenir. On
suppose que l’assuré paie une prime unique et que le taux d’actualisation est i = 4%.
Calculer le montant de la prime selon les tables de mortalités TV 88-90 et TD
88-90.
Pour répondre à cette question, on doit respecter le principe d’équité des
contrats qui stipule l’égalité des valeurs actuelles probables des engagements de
l’assureur et de l’assuré.
c- engagement de l’assureur
Assurer le paiement d’un capital au décès du souscripteur durant les 10
années à venir.
Pour se faire, on doit partager la période de couverture du risque de décès en
10 classes d’intervalles d’amplitudes égales à 1 an. Ce qui permet de calculer par la
suite les centres de classe.
Âge de
décès x [50; 51[ [51; 52[ [52; 53[ [53; 54[ [54; 55[ [55; 56[ [56; 57[ [57; 58[ [58; 59[ [59; 60[
Classe
temps n [0 ; 1[ [1 ; 2[ [2 ; 3[ [3 ; 4[ [4 ; 5[ [5 ; 6[ [6 ; 7[ [7 ; 8[ [8 ; 9[ [9 ; 10[
centre 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5
Dans ces conditions, l’engagement de l’assureur « E » peut se constituer par
une succession d’engagements « Ei » de période égale à 1 an.
E = E1 + E2 + E3 + E4 …….……. E9 + E10
E1=C*1d50/(1+i)0,5
avec 1d50 : la probabilité de décès entre 50 et 51 ans
pour l’assuré vivant à 50 ans
E2=C*1d51/(1+i)1,5
avec 1d51 : la probabilité de décès entre 51 et 52 ans
pour l’assuré vivant à 50 ans
a) engagement de l’assuré : le paiement immédiat d’une prime unique P
Assureur Assuré
Paiement d’un capital décès
C*1d50/(1+i)0,5
+ …..+C*1d49/(1+i)9,5
Paiement d’une prime unique
P
47
L’équité de l’opération permet alors d’écrire :
C*1d50/(1+i)0,5
+ …..+C*1d49/(1+i)9,5
= P
Selon la table de mortalité : TD 88-90
temps Âge A B
n x Sx n-0,5 (1+i) 1/(1+i)n-0,5
1Px+n 1dx+n A*B
1 50 90778 0,5 1,04 0,9806 0,9933 0,0067 0,0066
2 51 90171 1,5 1,04 0,9429 0,9927 0,0073 0,0069
3 52 89511 2,5 1,04 0,9066 0,992 0,008 0,0073
4 53 88791 3,5 1,04 0,8717 0,9912 0,0088 0,0077
5 54 88011 4,5 1,04 0,8382 0,9904 0,0096 0,0081
6 55 87165 5,5 1,04 0,806 0,9894 0,0106 0,0085
7 56 86241 6,5 1,04 0,775 0,9886 0,0114 0,0088
8 57 85256 7,5 1,04 0,7452 0,9877 0,0123 0,0092
9 58 84211 8,5 1,04 0,7165 0,9866 0,0134 0,0096
10 59 83083 9,5 1,04 0,6889 0,9856 0,0144 0,0099
0,0826
P=50000*0,0826= 4130 dh
Selon la table de mortalité : TV 88-90
temps Âge A B
n x Sx n-0,5 (1+i) 1/(1+i)n-0,5
1Px+n 1dx+n A*B
1 50 95752 0,5 1,04 0,9806 0,9972 0,0028 0,0028
2 51 95488 1,5 1,04 0,9429 0,997 0,003 0,0028
3 52 95202 2,5 1,04 0,9066 0,9967 0,0033 0,003
4 53 94892 3,5 1,04 0,8717 0,9965 0,0035 0,0031
5 54 94560 4,5 1,04 0,8382 0,9964 0,0036 0,003
6 55 94215 5,5 1,04 0,806 0,9961 0,0039 0,0031
7 56 93848 6,5 1,04 0,775 0,9957 0,0043 0,0033
8 57 93447 7,5 1,04 0,7452 0,9954 0,0046 0,0034
9 58 93014 8,5 1,04 0,7165 0,995 0,005 0,0036
10 59 92545 9,5 1,04 0,6889 0,9947 0,0053 0,0037
92050 0,0318
P = 50000*0,0318 = 1590 dh
48
Remarque : la prime de décès calculée selon la table de mortalité masculine
(TD 88-90) est plus importante que celle calculée selon la table de mortalité féminine
(TV 88-90).
4- Calculs des primes commerciales
Pour qu'un produit d’assurance soit durable, la prime de risque doit couvrir le
coût des sinistres. La prime de risque théorique « ou pure » doit donc être égale au
coût attendu des sinistres. Celui-ci est estimé actuariellement sur base de deux
éléments : le montant de l'indemnité à payer (la prestation) et la probabilité que
l'événement survienne. La prime de risque, ou le coût attendu des sinistres, est le
produit de ces deux éléments:
Les primes sont souvent exprimées sous la forme d'une proportion de
l'indemnité ou d'un taux, plutôt qu'en chiffres absolus, et s'appliquent à une période
spécifique. Celle-ci affecte la prime en agissant sur la probabilité que l'événement
survienne. Dans l'assurance -vie, par exemple, une personne risque davantage de
mourir dans les 10 ans à venir que dans l'année.
En réalité, en plus de la couverture du risque théorique, la société d’assurance doit
ajouter quelques chargements pour faire face à ses obligations.
a- Les chargements
Ils constituent un élément de tarification intervenant dans la détermination de
la prime. Les chargements permettent de couvrir les divers frais de l’assureur. Ce
dernier peut faire varier les chargements selon le produit, voire, pour un même
produit, selon l’âge. Les chargements des assurances sur la vie classiques sont très
structurés mais très élevés. Selon le type de frais, on peut distinguer trois types de
chargements.
a-1 Les chargements d’inventaire
Ils sont utilisés par l’assureur pour la rémunération du personnel et pour la
couverture des frais généraux liés à la gestion des contrats d’assurance. Les
chargements d’inventaire sont annuels et s’expriment généralement :
Sous la forme d’un pour mille applicable au capital risque (capital décès -
provision) (par exemple : 0,6 ‰) ;
Sous la forme d’un pour mille applicable à la provision mathématique (par
exemple : 1,2 ‰).
49
Les chargements d’inventaire sont consommés de manière continue et en
fonction du capital sous risque et de la valeur de rachat théorique.
La prime d’inventaire s’obtient en ajoutant les chargements d’inventaire à la
prime nette.
a-2 Les chargements d’acquisition
Ils concernent essentiellement les frais de conclusion des contrats. En réalité,
l’assureur affecte l’essentiel de ces chargements au financement de la commission
aux intermédiaires d’assurances (courtiers et agents d’assurances) qui apportent des
affaires nouvelles aux assureurs.
La commission d’apport est une commission unique accordée à l’intermédiaire lors
de la souscription d’une assurance sur la vie. Elle correspond au paiement anticipé
des pourcentages de commission futurs sur la prime. L’intermédiaire se voit ainsi
verser en une fois toutes ses commissions sur les primes futures.
Parfois, la commission d’apport est répartie sur plusieurs années (la période la plus
fréquente étant de 10 ans)4.
La commission d’apport est généralement calculée sous la forme d’un
pourcentage applicable à la prime. Dans la plupart des cas, ce pourcentage varie en
fonction de la combinaison d’assurances du contrat, de la durée de ce dernier et de la
période de versement des primes.
La prime d’acquisition ou prime de réduction s’obtient en ajoutant les
chargements d’acquisition à la prime d’inventaire.
Les chargements d’acquisition sont généralement exprimés sous la forme d’un
pourcentage de la prime de réduction, qui à son tour est égale aux montant actualisé
des primes de réduction à venir.
a-3 Les chargements d’encaissement
L’encaissement d’une prime s’accompagne de frais relativement
considérables. Ceux-ci sont couverts par les chargements d’encaissement. Les
chargements d’encaissement sont consommés à la date d’échéance de la prime à
laquelle ils se rapportent et seulement en cas de paiement de celle-ci.
En ajoutant les chargements d’encaissement à la prime d’acquisition, on obtient la
prime commerciale.
Les chargements d’encaissement sont :
4 Ce système a pour avantâges, d’une part, que l’assureur peut verser un montant légèrement supérieur grâce au rendement financier
qu’il obtient sur la fraction non encore payée de la commission d’apport, et de l’autre, qu’il n’aura jamais à récupérer la commission
d’apport auprès de l’intermédiaire.
50
Un chargement de production : ce chargement est affecté principalement aux
frais liés au réseau de vente tels que la rémunération des inspecteurs, les frais
de publicité, etc.
Ce chargement sert également à financer la commission de rappel de
l‘intermédiaire. Le chargement de production est un pourcentage de la prime
commerciale.
b- Exercice d’application :
Calculer la prime pure et la prime commerciale des contrats suivants pour un
assuré de 50 ans
b-1 capital différé sans contrassurance
Durée 10 ans
Montant du capital CV = 50000 dh
Chargements de gestion 10% des primes (commercialisation)
Prime annuelles et i = 3,5%
TV 88-90
b-2 vie entière
Montant du capital C = 50000 dh
Chargements de gestion 10% des primes
2‰ du capital garanti par année de gestion
Prime unique et i = 3,5%
TD 88-90
b-3 Mixte
Capital vie Cv = 50000 dh
Capital décès Cd = 50000 dh
Durée 10 ans et i = 3,5%
Chargements de gestion
10 % des primes (commercialisation)
51
+ 2 ‰ du capital décès garanti par année de gestion
+ 4 ‰ du capital décès garanti par année de versement des primes
Primes payées pendant 5 ans
TD 88-90
b-4 contrat de capitalisation
Durée 6 ans
Taux garanti 5%
Valeur du capital au terme C = 50000 dh
Chargements de gestion : 12% et Prime unique
Réponse
a-1 contrat de capital différé sans contrassurance de durée 10 ans
TV 88-90
temps Âge A B A B (N50-N60)
n x Sx 1/(1+i)n nPx A*B xP0 (1+i)
x 1/(1+i)
x A*B
0 50 95752 1 1 1 0,9575 5,585 0,179 0,171
1 51 95488 0,966 0,997 0,964 0,9549 5,78 0,173 0,165
2 52 95202 0,934 0,994 0,928 0,952 5,983 0,167 0,159
3 53 94892 0,902 0,991 0,894 0,9489 6,192 0,161 0,153
4 54 94560 0,871 0,988 0,861 0,9456 6,409 0,156 0,148
5 55 94215 0,842 0,984 0,828 0,9422 6,633 0,151 0,142
6 56 93848 0,814 0,98 0,797 0,9385 6,865 0,146 0,137
7 57 93447 0,786 0,976 0,767 0,9345 7,106 0,141 0,132
8 58 93014 0,759 0,971 0,738 0,9301 7,354 0,136 0,126
9 59 92545 0,734 0,967 0,709 0,9255 7,612 0,131 0,122
10 60 92050 0,709 0,961 0,682 0,9205 7,878 0,127 0,117
8,486 1,455
Opération de l’équité du contrat permet d’écrire
Engagement de l’assureur Engagement de l’assuré
Capital survie à terme
C*10E50=C*10P50/(1+i)10
=C*D60/D50
Prime pure
P*ä 50 : 10 = P*(N50-N60)/D50
52
(N50-N60) 1,45487
D60 0,11684
C*10E50 34075,5
Prime pure 4015,59
Prime commerciale 4461,76
Pour calculer la prime commerciale, on prend en considération dans les
engagements de l’assureur les frais de gestion sur primes, soit 10%P’ par an.
Opération de l’équité du contrat permet d’écrire
P’*ä 50 : 10 =10%P’*ä 50 : 10 + C*10E50. Ce qui donne P’= 4461,76 dh
a-2 Contrat de vie entière
En procédant de la même façon ci-dessus, on trouve l’équation d’équilibre
actuariel des engagements entre assureurs et assuré.
C*M50/D50 + 2‰C*N50/D50 + 10%P’’ = P’’ (car il s’agit du paiement d’une prime
unique)
M50 0,07035723
N50 2,76147368
C 50000
D50 0,16254107
P'' 25935,3852
a-3
x A B C D
âge Sx xP0 1/(1+i)x A*B 1/(1+i)
1/2 ndx A*B*C*D
50 90778 0,90778 0,17905337 0,16254107 0,98294637 0,99331336 0,00668664 0,00106832
51 90171 0,90171 0,17299843 0,15599441 0,98294637 0,99268057 0,00731943 0,00112232
52 89511 0,89511 0,16714824 0,14961606 0,98294637 0,9919563 0,0080437 0,00118294
53 88791 0,88791 0,16149589 0,14339381 0,98294637 0,99121533 0,00878467 0,00123819
54 88011 0,88011 0,15603467 0,13732767 0,98294637 0,99038757 0,00961243 0,00129754
55 87165 0,87165 0,15075814 0,13140833 0,98294637 0,98939941 0,01060059 0,00136925
56 86241 0,86241 0,14566004 0,12561867 0,98294637 0,98857852 0,01142148 0,00141028
57 85256 0,85256 0,14073433 0,11998446 0,98294637 0,9877428 0,0122572 0,00144559
58 84211 0,84211 0,1359752 0,11450608 0,98294637 0,98660508 0,01339492 0,00150764
59 83083 0,83083 0,13137701 0,10915196 0,98294637 0,98556865 0,01443135 0,00154835
60 81884 0,81884 0,12693431 0,10393889 0,98294637 1 0,10216635
0,74887303 0,01319043
53
CV 50000
CD 50000
D60 0,10393889
D50 0,16254107
(M50-M60) 0,01319043
(N50-N55) 0,74887303
(N50-N60) 1,34954253
Prime pure 7820,37191
P’=9111,757 dh
a-4
P = C/(1+i)6 + 12%P
P=42398,6 dh
b- Exercice :
Calculer la prime pure et la prime commerciale des contrats suivants pour un
assuré de 40 ans
b-1 capital différé sans contrassurance
Durée 10 ans
Montant du capital C = 100000 dh
Chargements de gestion 12% des primes (commercialisation)
Prime annuelles et i = 4,5%
b-2 vie entière
Montant du capital C = 100000 dh
Chargements de gestion 12% des primes
1,5 ‰ du capital garanti par année de gestion
Prime unique et i = 4,5%
b-3 Mixte
Capital vie Cv = 100000 dh
Capital décès Cd = 100000 dh
54
Durée 10 ans et i = 4,5%
Chargements de gestion
12 % des primes (commercialisation)
+ 1,5 ‰ du capital décès garanti par année de gestion
+ 3,5 ‰ du capital décès garanti par année de versement des primes
Primes payées pendant 5 ans
b-4 contrat de capitalisation
Durée 8 ans
Taux garanti 6%
Valeur du capital au terme C = 100000
Chargements de gestion : 10% et Prime unique
Réponse
b-1
TV 88-90
Temps x A B
n âge Sx (1+i) (1+i)n 1/(1+i)n nPx A*B
0 40 97534 1,045 1 1 1 1
1 41 97413 1,045 1,045 0,95694 0,99876 0,95575
2 42 97282 1,045 1,09203 0,91573 0,99742 0,91336
3 43 97138 1,045 1,14117 0,8763 0,99594 0,87274
4 44 96981 1,045 1,19252 0,83856 0,99433 0,83381
5 45 96810 1,045 1,24618 0,80245 0,99258 0,79649
6 46 96622 1,045 1,30226 0,7679 0,99065 0,76072
7 47 96424 1,045 1,36086 0,73483 0,98862 0,72647
8 48 96218 1,045 1,4221 0,70319 0,98651 0,6937
9 49 95955 1,045 1,4861 0,6729 0,98381 0,66201
10 50 95752 1,045 1,55297 0,64393 0,98173 0,63216
8,21504
C*10E40=C*D50/D40 = 63216,3 =Prime* a40 : 10=P*(N40-N50)/D40
Prime pure= 63216,3/8,21504 = 7695,18
55
Selon : TV 88-90
A B A*B
Âge x Sx xP0 1/(1+i)n nE40
40 97534 0,97534 0,17193 0,16769
41 97413 0,97413 0,16453 0,16027
42 97282 0,97282 0,15744 0,15316
43 97138 0,97138 0,15066 0,14635
44 96981 0,96981 0,14417 0,13982
45 96810 0,9681 0,13796 0,13356
46 96622 0,96622 0,13202 0,12756
47 96424 0,96424 0,12634 0,12182
48 96218 0,96218 0,1209 0,11633
49 95955 0,95955 0,11569 0,11101
50 95752 0,95752 0,11071 0,10601
(N40-N50) 1,37757
Prime = C*10E40/(N40-N50)=100000*0,10601/1,37757 = 7695,18
b-2
temps A B A*B C D C*D
n Âge x Sx 1/(1+i)n nPx nE40 xP0 1/(1+i)
n N
0 40 97534 1 1 1 0,97534 0,17193 0,16769
1 41 97413 0,95694 0,99876 0,95575 0,97413 0,16453 0,16027
2 42 97282 0,91573 0,99742 0,91336 0,97282 0,15744 0,15316
3 43 97138 0,8763 0,99594 0,87274 0,97138 0,15066 0,14635
4 44 96981 0,83856 0,99433 0,83381 0,96981 0,14417 0,13982
5 45 96810 0,80245 0,99258 0,79649 0,9681 0,13796 0,13356
6 46 96622 0,7679 0,99065 0,76072 0,96622 0,13202 0,12756
7 47 96424 0,73483 0,98862 0,72647 0,96424 0,12634 0,12182
8 48 96218 0,70319 0,98651 0,6937 0,96218 0,1209 0,11633
9 49 95955 0,6729 0,98381 0,66201 0,95955 0,11569 0,11101
10 50 95752 0,64393 0,98173 0,63216 0,95752 0,11071 0,10601
8,21504 1,37757
(N40-N50)/D40 = 1,37757/0,16769 = 8,21504
12%*(N40-N50)/D40=12%*8,21504=0,98581
(N40-N50)/D40 - 12%*( N40-N50)/D40 = 8,21504 - 0,98581=7,22924
C*10E40 = P*[( N40-N50)/D40 - 12%*( N40-N50)/D40]
P=63216,277/7,22924 =8744,53
56
P=63216,277/(8,21504- 0,12*8,21504) = 8744,53
M40 0,04077045
N40 2,85662181
C 100000
D40 0,16289557
Prime=31430
b-3 Prime pure
âge A B C D
x Sx xP0 (1+i)x 1/(1+i)
x A*B (1+i)
1/2 1Px 1dx A*B*C*D
40 94746 0,9475 5,8164 0,1719 0,9782 0,9972 0,0028
41 94476 0,9448 6,0781 0,1645 0,9782 0,9969 0,0031
42 94182 0,9418 6,3516 0,1574 0,9782 0,9967 0,0033
43 93868 0,9387 6,6374 0,1507 0,9782 0,9962 0,0038
44 93515 0,9352 6,9361 0,1442 0,9782 0,9959 0,0041
45 93133 0,9313 7,2482 0,138 0,1285 0,9782 0,9956 0,0044
46 92727 0,9273 7,5744 0,132 0,1224 0,9782 0,9953 0,0047
47 92295 0,923 7,9153 0,1263 0,1166 0,9782 0,995 0,005
48 91833 0,9183 8,2715 0,1209 0,1110 0,9782 0,9945 0,0055
49 91332 0,9133 8,6437 0,1157 0,1057 0,9782 0,9939 0,0061
50 90778 0,9078 9,0326 0,1107 0,1005 0,9782 1 0,0983
N40-N45 0,7429 M40-M50 0,0054
CV 100000
CD 100000
D50 0,1005
D40 0,1629
(M40-M50) 0,0054
(N40-N45) 0,7429
Prime pure 14251
CV 100000
CD 100000
D50 0,1005
D40 0,1629
(M40-M50) 0,00537
(N40-N50) 0,74286
(N40-N50) 1,32706
Prime commerciale : P=16896,788 dh
b-4
’ = C/(1+i)8 + 10%*’
’=69712,49 dh
57
IV : Les commutations
Elles permettent de calculer facilement les différents paramètres de l’équation
de l’équité (équivalence) financière (équilibre actuariel) des contrats pour déterminer
d’une part les primes (pure et commerciale) et d’autre part, les provisions.
En effet, les formules que nous avons développées, jusqu’à présent, sont très
difficiles à calculer. Elles utilisent, presque, les mêmes termes ce qui conduit à leurs
simplifications en cas de multiplication ou de division.
Grâce au développement des nouvelles technologies, les logiciels d’actuariat
ou tout simplement en utilisant un tableur tel que celui d’Excel, on peut facilement
élaborer les différentes tables de commutations.
Les commutations les plus utilisées en assurance vie sont fonction d’une part
de la table de mortalité choisie et d’autre part du taux d’actualisation technique.
Les commutations les plus utilisées sont les suivantes :
La commutation Dx :
Dx= x
x
i
P
)1(
0
: c’est la probabilité actualisée de vivre x années à partir de la naissance.
En utilisant la propriété des probabilités composées : n+n’Px = nPx*n’Px+n, on obtient :
x
nx
D
D =
x
x
nx
xnx
i
Pi
PP
)1(
)1(
*
i)(1
Pi)(1
P
0
0
x
0x
nx
0nx
n
xn
i
P
)1( =nEx
La commutation Nx :
Nx = Dx + Dx+1 + Dx+2 +…..+ DW (W=106ans)
= x
x
i
P
)1(
0
+
1
01
)1(
x
x
i
P+ ……+
xW
xW
i
P
)1(
0
La commutation Cx :
Cx =2
1
10
)1(*
)1( i
d
i
Px
x
x
avec : 1dx= (1- 1Px) : c’est la probabilité de décès entre les âges
x et x+1 années.
58
La commutation Mx :
Mx =
xW
kkx
xkkx
x
i
PqP
0 21
1
0
)1(
** = Cx + Cx+1 + Cx+2 +…..+ CW
Les commutations dans les formules
x
x
D
N : C’est la prime (égale à 1 dh) versée annuellement et à vie entière par l’assuré à
l’âge x pour une rente viagère immédiate
x
x
D
M : C’est la prestation d’un contrat correspondant à l’engagement de l’assureur de
payer 1dh au décès de l’assuré quel que soit la date, si l’assuré est d’âge x à la
souscription du contrat.
x
nxx
D
NN
: C’est la prime de contrat garantissant le versement annuel de 1 dh en
cas de vie pendant n années. La prime étant payée au nième
anniversaire.
x
nxx
D
MM
: est la prestation de 1 dh versée par l’assureur en cas de décès de
l’assuré entre vie entière à partir de x et vie entière à partir de x+n années (c-à-d entre
âges x et x+n)
Exemple d’application : capital différé sans contre assurance
Soit un capital différé sans contre assurance de 100000 dh. Durée du contrat 5 ans
Taux d’actualisation : 4% et la table de mortalité : TV 88-90
Âge de l’assuré 50 ans.
Commissions diverses (acquisition, encaissement) : 12%
1,8‰ du capital sous risque par année de gestion du contrat.
En utilisant les commutations :
1) Calculer la prime pure
a) Dans le cas d’une prime unique
b) Dans le cas d’une prime périodique
2) Calculer la prime commerciale selon les deux cas précédents.
V Méthodologies de fixation des prix : comparaison de l'approche individuelle et
collective
Prenons l'exemple de trois personnes qui souscrivent une police d’assurance
décès prévoyant le versement d'un capital fixe de 100 dh. Leur probabilité de décès
59
dans l'année est respectivement de 1 %, 2 % et 5 %. Le coût attendu des sinistres pour
ce groupe est donc :
(1%*100 dh = 1 dh) + (2%*100 dh =2 dh) + (5%*100 dh= 5 dh) = 8 dh
Si l'on adopte l'approche individuelle, ces trois personnes paieront
respectivement 1, 2 et 5 dh. Le total des primes perçues sera de 8 dh.
Si l'on adopte l'approche collective, le taux est calculé pour l'ensemble des
membres du pool de risques. Prenons, par exemple, un coût attendu des sinistres de 8
dh. Le capital assuré total est de trois fois 100 dh, soit 300 dh. Le taux de prime est
donc 8/300 = 2,67 % pour l'ensemble du groupe. Chaque personne paiera donc cette
prime multipliée par le montant de son indemnité (100 dh dans chaque cas), soit 2,67
dh.
L'assureur perçoit donc la même prime totale dans les deux cas et ce montant
est équivalent au montant attendu des sinistres. Seule différence, dans le deuxième
cas de figure, les personnes présentant un risque faible subventionnent les primes des
personnes à risques élevés.
1- Effet du risque covariant sur des pools de risques de tailles
différentes
Supposons que cinq des cent personnes ayant souscrit une assurance décès, de 1 dh
par personne, leur garantissant un capital de 50 dh décèdent dans un accident de la
circulation. Aucun autre sinistre n'est enregistré pendant l'année. Le total des
indemnités à verser est de 250 dh, c'est-à-dire 250% du coût attendu des sinistres. Le
ratio-sinistres à primes pour l'année est de 250 %.
Supposons maintenant qu'il y ait 10.000 assurés. La prime de risque totale (et
le coût attendu des sinistres) serait de 10.000 dh. Si les cinq mêmes personnes
décèdent, et sont les seuls à mourir sur la période, le total des indemnités versées sera
de 250 dh, soit 2,5 % du coût attendu des sinistres. L'impact sur le ratio-sinistres à
primes est dans ce cas minime.
60
Chapitre III : Les provisions mathématiques
I- analyse des provisions mathématiques
L'activité d'assurance et/ou de réassurance se caractérise par :
Une inversion du cycle de la production : la prime est encaissée
immédiatement, alors que la prestation et le règlement de l'indemnité
interviennent ultérieurement ;
Une promesse de prestation qui peut se réaliser comme elle peut ne pas se
réaliser ;
Un décalage possible entre la survenance du fait dommageable, générateur du
paiement de l'indemnité et le règlement effectif de cette indemnité.
1- Définition de la provision mathématique
Il s'agit de la différence, à la date d'inventaire, entre les valeurs actuelles des
engagements respectivement pris par l'assureur et les assurés. Ce calcul est réalisé à
la clôture de chaque arrêté comptable. Les entreprises d’assurance doivent évaluer et
comptabiliser les provisions mathématiques d'assurance vie relatives aux contrats en
portefeuille.
La provision mathématique d'assurance vie comprend la valeur actuarielle
estimée des engagements de l'entreprise d'assurance, y compris les participations aux
bénéfices déjà allouées et déduction faite de la valeur actuarielle des primes futures.
Elle doit être calculée séparément pour chaque contrat individuel d'assurance vie. Les
techniques et méthodes statistiques peuvent être utilisées pour les contrats groupe.
Dans ce cas, un résumé des principales hypothèses retenues doit être fourni dans les
notes aux états financiers.
Le calcul des provisions mathématiques d'assurance vie doit être fait sur la
base de la prime d'inventaire c'est-à-dire de la prime commerciale en excluant les
chargements d'acquisition des contrats. Il est fait annuellement à la date d'inventaire.
2) Les raisons des provisions mathématiques :
L’importance des provisions mathématiques peut s’expliquer par trois
raisons :
61
a) En assurance vie, les provisions sont de deux natures :
Les provisions pour sinistres à payer (capitaux décès, rentes… etc.)
Les provisions pour risques en cours (provisions mathématiques)
Dans ces conditions, les assureurs doivent provisionner une partie de la prime
commerciale pour couvrir des engagements s’étalant sur plusieurs années selon la
durée du contrat.
b) En assurance vie, la période des engagements des assureurs vis-à-vis des assurés
est généralement longue (allant de 5 ans jusqu’à une vie entière).
c) En assurance vie, il est, normal, que la prime augmente automatiquement avec le
temps. Ce qui peut être expliqué, du côté de l’assuré, par une augmentation du risque
qu’il encourt. Pour éviter ce problème, les assureurs pratiquent un nivellement des
primes périodiques des contrats.
Exemple : Soit deux contrats de temporaire décès à 40 ans et à 50 ans
C=50000 dh
Durée 5 ans
Taux d’actualisation = 5%
Table TD 73-77
Donner une comparaison des primes pures théoriques (non nivelée) et des primes
pures annuelles effectives nivelée.
Pour le cas de prime pure théorique (non nivelée)
Pour le cas de l’assuré à 40 ans
P40/41=C*40
4140
D
MM =169,058
P41/42=186,4 dh
P42/43=208,139 dh
P43/44=234,368 dh
P44/45=261,489 dh
62
Pour le cas de l’assuré à 50 ans
P50/51=C*50
5150
D
MM =427,881 dh
P51/52=460,63 dh
P52/53=497,633 dh
P53/54=542,526 dh
P54/55=591,138 dh
La prime, non nivelé, augmente logiquement avec le temps et selon l’âge de
l’assuré.
Pour le cas de prime pure annuelle (nivelée)
La détermination de la prime P est calculée de la manière suivante :
P(1+1Ex + 2Ex + 3Ex + 4Ex) = C*(Mx –Mx+n)/Dx
Pour le cas de l’assuré à l’âge de 40 ans et pour une durée n=5ans, on a :
P(1+1E40 + 2E40 + 3E40 + 4E40) = C*(M40 –M40+5)/D40
P=209,438 dh
Pour le cas de l’assuré à l’âge de 50 ans et pour une durée n=5ans, on a :
P(1+1E50 + 2E50 + 3E50 + 4E50) = C*(M50 –M50+5)/D50
P=499,186 dh
On remarque que la prime nivelée augmente elle aussi avec l’âge de la
personne assurée.
II- Calcul des provisions mathématiques
Deux méthodes peuvent être utilisées :
1- La méthode prospective de calcul
La provision mathématique est le résultat du paiement par l’assuré de sa
prestation avant sa réalisation. Elle constitue, donc, une dette de l’assureur vis-à-vis
de l’assuré et elle est égale, selon la méthode prospective, à : la différence entre la
63
valeur actuelle probable des engagements futurs de l’assureur et la valeur actuelle
probable des engagements futurs de l’assuré.
a) calcul de la provision mathématique
Soient les données suivantes :
C : prestation ;
i : taux d’actualisation technique ;
x : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
n : durée des engagements ;
Vt : provision mathématique à al date t, avec (0≤ t ≤n).
En cas du paiement par l’assuré d’une prime unique alors :
A l’instant t=0 on a V0=0 (principe de l’équité financière)
A l’instant t=1 on a : Engagement assuré = 0
Engagement assureur : verser C dans (n-1) ans si l’assuré
est en vie à l’âge x+n ans.
V1= C*n-1Px+1*(1+i)-(n-1)
V1=0 si l’assuré est décédé
A l’instant t=2 on a : Engagement assuré = 0
Engagement assureur : verser C dans (n-1) ans si l’assuré
est en vie à l’âge x+n ans.
V2= C*n-2Px+2*(1+i)-(n-2)
V2=0 si l’assuré est décédé
… …
… …
… …
… …
A l’instant t=n on a Vn= C*n-nPx+n*(1+i)-(n-n)
= C (versement de la prestation C)
Donc comme conclusion, nous pouvons dire que : à n’importe quelle date tet
pour un contrat de durée égale à n on a :
Vt= C*n-tPx+t*(1+i)-(n-t)
Exemple : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance:
C = 50000 ;
i =5% ;
50 : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
5 : durée des engagements ;
64
Vt : provision mathématique à la date t, avec (0≤ t ≤5) ;
Prime unique.
Vt= C*n-tPx+t*(1+i)-(n-t)
La provision mathématique constituée la première année est égale à :
V1= C*4P51*(1+i)-4
2- La méthode comptable/rétrospective
A coté de la méthode prospective, il y a aussi une autre méthode rétrospective
appelée aussi comptable car, elle se base sur l’approche de l’égalité entre les
ressources et les emplois de la comptabilité pour chaque exercice (année).
Exemple : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance:
C : prestation ;
i : taux d’actualisation technique ;
x : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
n : durée des engagements ;
Vt : provision mathématique à la date t, avec (0≤ t ≤n) ;
Prime unique.
A l’instant t= 0 on a : V0=0 et la prime P=C*nEx = C*nPx*(1+i)-n
A l’instant t= 1 on a :
Emplois Ressources
Constitution de la provision
mathématique de fin d’exercice
V1* 1Px
Si l’assuré est en vie
0 si non
Prime perçue
C*nPx*(1+i)-n
Produits financiers générés par le
placement de la prime
C*nPx*(1+i)-n
* i
On sait qu’à la fin de tout exercice, on a l’égalité entre les ressources et les
emplois :
Ressources = Emplois
V1* 1Px = C*nPx*(1+i)-n
+ C*nPx*(1+i)-n
* i
65
= C* nPx*(1+i)-n
*(1+i)
= C* nPx*(1+i)-n-1
On sait que : n+n’Px= nPx* n’Px+n ce qui permet d’écrire :
nPx = (1+ n-1)Px= 1Px* n-1Px+1
On obtient : V1* 1Px = C*1Px* n-1Px *(1+i)-n-1
V1= C* n-1Px+1 *(1+i)-n-1
Donc on peut conclure qu’avec la méthode comptable, on obtient le même
résultat que celle de la méthode prospective.
Exemple : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance:
C = 50000 ;
i =5% ;
50 : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
5 : durée des engagements ;
Vt : provision mathématique à la date t, avec (0≤ t ≤5) ;
Prime unique.
En premier exercice du contrat on a :
Ressources = Emplois
V1* 1P50 = C*5P50*(1+i)-5
+ C*5P50*(1+i)-5
* i
V1* 1P50 = C* 5P50*(1+i)-5
*(1+i)
V1* 1P50 = C* 5P50*(1+i)-4
V1= C* 4P51 *(1+i)-4
3) Evolution des provisions mathématiques
Comme dans le cas de l’évolution des primes pures et commerciales,
l’évolution des provisions mathématiques dépend du taux d’actualisation technique et
de la table de mortalité utilisée.
Exemple : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance :
66
C = 50000 ;
i =5% ;
50 : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
n=5 : durée des engagements ;
Prime unique.
La provision mathématique à la date t=0 est égale à :
V0= C* 5P50 *(1+i)-5
Après un an, on a : V1= C* 4P51 *(1+i)-4
Exemple : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance :
C = 50000 ;
i =5% ;
50 : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
vie entière ;
Frais de gestion : 10%
1,4‰ du capital sous risque par année de gestion du contrat.
Prime unique.
Table de mortalité TD 73-77
1) Calculer la prime pure
2) Calculer la prime commerciale
3) Calculer : V1, V2, V3 et V12.
1) La prime pure P est égale à : 17744,097 dh
2) La prime commerciale unique P’ est égale à : 19715,685 dh
3) Les provisions mathématiques aux dates (t=1 ; t=2 ; t=3 et t=12)
V1= C*M51/D51 +0,0014*N51/D51 = 18342,294
V2= C*M52/D52 +0,0014*N52/D52 = 18955,316
V3= C*M53/D53 +0,0014*N53/D53 = 19580,253
V12= C*M62/D62 +0,0014*N62/D62 = 25709,754
Exercice : Soient les données suivantes d’un contrat de capital différé sans contre-
assurance :
C = 100000 ;
67
i =4,5% ;
40 : l’âge de l’assuré à la date du contrat ;
vie entière ;
Frais de gestion : 12%
1,5‰ du capital sous risque par année de gestion du contrat.
Prime unique.
Table de mortalité TD 73-77
1) Calculer la prime pure
2) Calculer la prime commerciale
3) Calculer : V1, V2, V3 et V12.
68
III) La zillmérisation des provisions mathématiques des contrats à primes
périodiques
Le principe de Zillmérisation consiste à déduire du montant des provisions
mathématiques initialement calculées, la valeur actuelle des chargements
d’acquisition inclus dans les primes périodiques futures.
L’écart correspondant détermine le montant maximum des frais d’acquisition
reportés qu’il est possible d’inscrire à l’actif du bilan et d’amortir sur la durée de vie
du contrat.
1) Analyse non zillmérisée de la provision mathématique
Exemple 1
Etude de l’impact de la zillmérisation sur la provision mathématique d’un contrat à
primes périodiques.
Considérant un contrat d’assurance mixte à 10 ans :
Capital décès C1=50000 dh
Capital survie C2=20000 dh
Le contrat est payé par primes périodiques annuelles pour un assuré de 40 ans.
Il y a 2‰ de frais de gestion sur le capital décès
Il y a 10% de frais de gestion de la prime commerciale.
Taux technique est égal à 4%
La table de mortalité utilisée : TD 73-77
Analyse du contrat et de la prime non zillmérisée
En utilisant la méthode prospective, calculer la provision mathématique du contrat
pour les dates : 1, 2, 9 et 10.
Calcul de prime périodique P’’
P’’*ä40:10=10%*P’’* ä40:10 +2‰*50000* ä40:10+20000*10E40+50000*10A40
P’’*40
5040
D
NN =10%*P’’*
40
5040
D
NN +2‰*50000*
40
5040
D
NN +20000*
40
50
D
D+
50000* 40
5040
D
MM :
P’’=2075,198 dh
Calcul de la provision mathématique
69
Selon la méthode prospective, la provision mathématique de la ième
année est égale à :
Engagement de l’assureur – l’engagement de l’assuré
Engagement de l’assureur :
10%*P’’* ä40+i:10-i +2‰*50000* ä40+i:10-i+20000*10-iE40+i+50000*10-iA40+i
Engagement de l’assuré :
P’’*ä40+i:10-i :
La provision Vi est égale à :
Engagement de l’assureur – l’engagement de l’assuré
(10%-1)*P’’*ä40+i:10-i +2‰*50000*ä40+i:10-i+20000*10-iE40+i+50000*10-iA40+i
V1= (10%-1)*P’’*ä41: 9 +2‰*50000* ä41:9 +20000*9E41+50000*9A41
V1=
V2 = (10%-1)*P’’*ä42: 8 +2‰*50000* ä42:8 +20000*8E42+50000*8A42
V2=
V9 = (10%-1)*P’’*ä49: 1 +2‰*50000* ä49:1 +20000*1E49+50000*1A49
V9=
V10 = C2
Exemple 2
Etude de l’impact de la zillmérisation sur la provision mathématique d’un contrat à
primes périodiques.
Considérant un contrat d’assurance mixte à 5 ans :
Capital décès C1=45000 dh
Capital survie C2=25000 dh
Le contrat est payé par primes périodiques annuelles pour un assuré de 40 ans.
Il y a 1‰ de frais de gestion sur le capital décès
Il y a 5% de frais de gestion de la prime commerciale.
Taux technique est égal à 3,5%
La table de mortalité utilisée : TD 73-77
Analyse du contrat et de la prime non zillmérisée
70
En utilisant la méthode prospective, calculer la provision mathématique du contrat
pour les dates : 1, 2, 9 et 10.
Calcul de prime périodique P’’
P’’*ä40:5=5%*P’’* ä40:5 +1‰*45000* ä40:5+25000*5E40+45000*5A40
P’’*40
4540
D
NN =10%*P’’*
40
4540
D
NN +3‰*50000*
40
4540
D
NN +20000*
40
45
D
D+
50000* 40
4540
D
MM :
P’’=94261,944 dh
Calcul de la provision mathématique
Selon la méthode prospective, la provision mathématique de la ième
année est égale à :
Engagement de l’assureur :
5%*P’’* ä40+i:5-i +1‰*45000* ä40+i:5-i+25000*5-iE40+i+45000*5-iA40+i
Engagement de l’assuré :
P’’*ä40+i:5-i :
La provision Vi est égale à :
Engagement de l’assureur – l’engagement de l’assuré
(5%-1)*P’’*ä40+i:5-i +1‰*45000* ä40+i:5-i +25000*5-iE40+i+45000*5-iA40+i
V1= (5%-1)*P’’*ä41: 4 +1‰*45000* ä41:4 +25000*4E41+45000*4A41
V1=
V2 = (5%-1)*P’’*ä42: 3 +1‰*45000* ä42:3+25000*3E42+45000*3A42
V2=
V4 = (5%-1)*P’’*ä44: 1 +1‰*45000* ä44:1 +25000*1E44+45000*1A44
V4=
71
V5 = C2
2) Analyse de la zillmérisation de la provision mathématique
Pour le cas de l’exemple 1 : Dans l’exemple n°1, les 10% des frais de gestion de la prime commerciale n’ont pas
été répartis convenablement. En réalité, ils sont répercutés sur l’assuré selon la
manière suivante :
8% : frais d’acquisition payés à l’apporteur d’affaire sur la première prime.
2% frais d’encaissement
En reprenant les données de l’exemple n°1, les provisions mathématiques
zillmérisées des contrats au 1er, 2
ème, 9
ème et 10
ème anniversaire.
Selon la méthode prospective on obtient :
Au bout d’une année
Engagement de l’assureur :
2%*P’’* ä40+1:10-1 +3‰*50000* ä40+1:10-1+20000*10-1E40+1+50000*10-1A40+1
2%*P’’* ä41:9 +3‰*50000* ä41:9 +20000*4E41+50000*9A41
Engagement de l’assuré inchangé :
P’’*ä41:9 :
PMZ5 = PMNZ
6 – 8% P’’* ä41:9
Dans les années suivantes :
PMZ = PMNZ – 8% P’’* ä40+i:10-i
Pour le cas de l’exemple n° 2 :
Supposant que les frais de gestion « 5% » sont répartis de la façon suivante
3,5% : frais d’acquisition payés à l’apporteur d’affaire sur la première prime.
1,5% frais d’encaissement
5 La provision mathématique zillmérisée
6 La provision mathématique non zillmérisée
72
En reprenant les données de l’exemple n°1, les provisions mathématiques
zillmérisées des contrats au 1er, 2
ème, 4
ème et 5
ème anniversaire.
Selon la méthode prospective on obtient :
Au bout d’une année
Engagement de l’assureur :
1,5%*P’’* ä40+1:5-1 +1‰*45000* ä40+1:5-1+25000*5-1E40+1+50000*5-1A40+1
1,5%*P’’* ä41:4 +1‰*45000* ä41:4 +25000*9E41+45000*4A41
Engagement de l’assuré inchangé :
P’’*ä41:4
PMZ = PMNZ – 3,5% P’’* ä41:4
Dans les années suivantes :
PMZ = PMNZ – 3,5% P’’* ä40+i:5-i
73
Chapitre IV : Les droits de l’assuré : transformation, rachat et réduction des
contrats d’assurance vie.
Les causes de transformation des contrats d’assurance vie
Selon le droit privé, il est nécessaire que l’engagement entre assureur et
assuré soit contractuel. Cependant, étant donné les spécificités de l’assurance vie, il y
a certaines exceptions qui découlent même de la nature des services qu’elle accorde
aux assurés et des conditions financières futures de ces derniers. En plus, les risques
augmentent avec l’âge de l’assuré, ce qui nécessite la constitution d’une provision
mathématique.
C’est pour cette raison que le code des assurances prévoit que l’assureur ne
peut exiger le paiement de la prime d’assurance vie. Il en est de même pour l’assureur
qui peut ne pas honorer ses engagements en cas de faillite.
Pour toutes ces raisons, il est possible, après la souscription d’un contrat, de
la modifier. Trois principales modifications peuvent être faites :
La transformation du contrat
Le rachat du contrat
La réduction du contrat
Les avances sur contrat
La mise en gage du contrat
I- les modalités de transformations, rachats, réductions, et avances relatives aux
contrats
La modification d’un contrat par l’assuré nécessite cependant la satisfaction
de certaines conditions ainsi que le paiement d’une pénalité.
1) le principe de transformation
Le souscripteur a le droit durant la période du contrat d’ajouter des
modifications au contenu du contrat. Cette modification entraîne la transformation du
contrat initial.
Du côté de l’assureur, il évalue la réserve mathématique, constitué jusqu’au
jour de la modification du contrat, et la considère comme une prime unique, à partir
de laquelle il calcule le montant du capital assuré en se basant sur l’âge atteint par
l’assuré.
2) le rachat du contrat
74
L’assuré a le droit de demander le remboursement de sa part sur les réserves
constituées. Cette demande entraîne immédiatement l’interruption du contrat.
Il faut souligner que la demande de rachat ne sera possible que si et
seulement si, d’une part, le contrat comporte une provision mathématique et d’autre
part, il ne comporte pas, aussi, de risque d’anti-sélection. Le rachat du contrat se fait
par une déduction d’une pénalité sur la base de la provision zillmérisée constituée
jusqu’à la fin du dernier exercice de la société d’assurance.
3) La réduction de la somme assurée
Comme dans le cas de la demande du rachat de l’assurance par l’assuré. Ce dernier,
peut réduire la garantie de l’assureur comme par exemple la réduction du montant du
capital assuré.
Il faut souligner que la réduction du contrat peut aussi être considérée comme
une pénalité imposée par l’assureur pour sanctionner l’interruption du paiement des
primes par l’assuré.
4) l’avance sur contrat
Il s’agit pour cette demande, non pas d’interrompre le contrat, mais de ne
demander qu’une partie de la provision mathématique avant la fin du contrat.
5) la mise en gage du contrat
L’assurance sur la vie peut être utilisée comme un moyen de crédit sous
forme de gage. Cette possibilité peut se faire soit par endossement si la police est à
ordre, soit sous forme de cession. Comme dans le cas des gages, cette demande
entraîne immédiatement, la remise du contrat au créancier.
Il faut souligner que le créancier ne peut demander le rachat qu’une fois qu’il
aura adressé une demande au souscripteur réclamant le paiement à titre
d’interpellation.
Vu la loi n° 17-99 portant code des assurances promulguée par le dahir n°1-02-238
du 25 rejeb 1423 (3 octobre 2002), telle qu'elle a été complétée :
Article 15 - Les entreprises pratiquant les opérations d’assurances visées aux 1°) à
6°) de l'article premier ci-dessus doivent constituer à leur passif les provisions
techniques ci-après.
1) Provision mathématique : c’est la différence entre les valeurs actuelles des
engagements respectivement pris par l'assureur et les assurés. Cette provision, qui est
déterminée selon les bases tarifaires, ne peut être inférieure au montant calculé
d’après les taux d'intérêt retenus pour l'établissement des tarifs et, s'ils comportent un
75
élément viager, d'après les tables de mortalité TV 88-90 pour les assurances en cas de
vie et TD 88-90 pour les assurances en cas de décès.
Les taux d'intérêt retenus pour l'établissement des tarifs relatifs aux opérations
d'assurances sur la vie et de capitalisation, pratiqués par les entreprises d'assurances,
doivent être au plus égal à 70% du taux moyen des emprunts d'Etat calculé sur une
base semestrielle sans pouvoir dépasser le taux de 3,5%.
Le taux moyen à utiliser pour chaque semestre civil est celui dégagé à partir des taux
observés durant les six mois antérieurs au mois qui précède le semestre concerné.
Les taux observés sont ceux utilisés par Bank Al-Maghrib pour l'établissement de la
courbe des taux conformément à l'arrêté n° 2304-95 du 17 rabii II 1416 (13
septembre 1995) fixant les conditions d'évaluation des valeurs apportées à un
organisme de placement collectif en valeurs mobilières ou détenues par lui.
Les entreprises pratiquant les opérations d'assurances sur la vie ou de capitalisation
peuvent garantir, dans leurs contrats comportant une clause de participation des
assurés aux bénéfices, un taux minimum incluant les taux d'intérêt retenus pour
l'établissement des tarifs. Ce taux minimum, qui est fixé annuellement pour l'année
suivante, ne peut excéder 85% de la moyenne des taux de rendement des actifs de
l'entreprise affectés aux opérations d'assurances sur la vie ou de capitalisation
calculés pour les deux derniers exercices.
Article 16 - Les entreprises pratiquant les opérations d’assurances visées au 9°) de
l'article premier ci-dessus, doivent constituer à leur passif les provisions techniques
ci-après :
1°) Provision mathématique : c’est la valeur des engagements de l'entreprise en ce qui
concerne les rentes mises à sa charge y compris les accessoires. Elle est calculée au
minimum d’après les bases ci-après :
- la table de mortalité PF 60-64
- taux d'intérêt de 3,5%
- chargement de gestion de 3% du montant de chaque rente.
Pour le calcul de la provision mathématique, la date de naissance du rentier sera
reportée au 31 décembre le plus proche.
Exemple : rachat du contrat :
Cas du temporaire décès
Rt =VZt - ‰ *VZt*( )
Le rachat à la 4ième
année :
R4 =VZ4 - ‰ *VZ4*( )
Cas du contart capital différé
Rt =VZt - ‰ *VZt*
76
Exemple d’application : cas de SANAD « Assurances Décès »
Base technique :
- Table de mortalité : TD 88-90.
- Taux Technique : Taux réglementaire en vigueur (actuellement 2.70%)
déterminé par la DAPS
- CHARGEMENTS :
-Chargement pour frais de gestion : à partir de 0,50 pour 1000 du capital garanti.
Prime Unique = à partir de 0,75 pour 1000 du capital garanti.
Prime Annuelle = à partir de 1 pour 1000 du capital garanti.
Chargement d’acquisition et d’encaissement :
Prime Unique = à partir de 5% de la prime commerciale.
Prime Annuelle = à partir de 12% de la prime commerciale.
NOTATIONS :
x : Âge de l’assuré à la souscription;
g : Frais de gestion ;
α : Frais d’acquisition ;
n : Durée du contrat (remboursement du prêt );
1- Temporaire Décès à Capital Constant « Prime unique » :
a) Taux de Prime pure=PP = (Mx – Mx+n) / Dx
b) Taux de Prime d'inventaire =TPI = PP + 0.00075 ( Nx – Nx+n)/Dx
c) Taux de Prime Commerciale =PC = PI / 0.95
d) PM = ( Mx+k - Mx+n ) / Dx+k + 0.00075 ( Nx+k – Nx+n ) / Dx+k
Prime Annuelle (durée du paiement des primes = terme du contrat)
a) Taux de Prime pure =TPP = (Mx – Mx+n) / ( Nx – Nx+n )
b) Taux de Prime d'inventaire =TPI = PP + 0.001
c) Taux de Prime Commerciale PC = PI / 0.88
d) PM= (Mx+k –Mx+n )/Dx+k + 0.001( Nx+k–Nx+n) / Dx+k – PI (Nx+k –Nx+n)/Dx+k
Question : Pour un taux technique de 2,7% et la table TD 88-90, donner la table de
commutation contenant (Dx, Nx, Cx et Mx) ?
77
Âge x LX « SX » CX DX NX MX
0 100000 0.00859 1 31.8132 0.1658
1 99129 0.00069 0.96523 30.8132 0.1572
2 99057 0.00044 0.93917 29.84797 0.1565
3 99010 0.00012 0.91405 28.9088 0.1561
4 98997 0.00043 0.8899 27.99476 0.156
5 98948 0.00023 0.86607 27.10486 0.1555
6 98921 0.0002 0.84307 26.23879 0.1553
7 98897 0.00017 0.82071 25.39571 0.1551
8 98876 0.00017 0.79896 24.575 0.1549
9 98855 0.00016 0.77779 23.77604 0.1548
10 98835 0.00016 0.75719 22.99824 0.1546
11 98814 0.00015 0.73713 22.24105 0.1545
12 98793 0.00016 0.7176 21.50392 0.1543
13 98771 0.00018 0.69858 20.78633 0.1541
14 98745 0.00022 0.68003 20.08775 0.154
15 98712 0.0003 0.66193 19.40772 0.1537
16 98667 0.00039 0.64424 18.74579 0.1534
17 98606 0.00054 0.62691 18.10155 0.153
18 98520 0.0007 0.6099 17.47464 0.1525
19 98406 0.00077 0.59318 16.86474 0.1518
20 98277 0.00081 0.57682 16.27157 0.151
21 98137 0.00085 0.56086 15.69474 0.1502
22 97987 0.00086 0.54528 15.13389 0.1494
23 97830 0.00082 0.53009 14.58861 0.1485
24 97677 0.0008 0.51535 14.05851 0.1477
25 97524 0.00077 0.50101 13.54316 0.1469
26 97373 0.00075 0.48709 13.04215 0.1461
27 97222 0.00073 0.47355 12.55506 0.1454
28 97070 0.00072 0.46038 12.08152 0.1447
29 96916 0.00072 0.44756 11.62114 0.1439
30 96759 0.00072 0.43509 11.17358 0.1432
31 96597 0.00073 0.42294 10.73849 0.1425
32 96429 0.00073 0.41111 10.31555 0.1418
33 96255 0.00075 0.39958 9.904442 0.1411
34 96071 0.00077 0.38833 9.504867 0.1403
35 95878 0.00078 0.37736 9.11654 0.1395
36 95676 0.00081 0.36666 8.739183 0.1387
37 95463 0.00083 0.35623 8.37252 0.1379
38 95237 0.00086 0.34604 8.016291 0.1371
39 94997 0.00088 0.3361 7.670249 0.1362
40 94746 0.00092 0.32639 7.334154 0.1354
41 94476 0.00097 0.31691 7.007759 0.1345
78
42 94182 0.00101 0.30762 6.690851 0.1335
43 93868 0.00111 0.29853 6.383235 0.1325
44 93515 0.00117 0.28959 6.084704 0.1314
45 93133 0.00121 0.28082 5.795115 0.1302
46 92727 0.00125 0.27225 5.514292 0.129
47 92295 0.0013 0.26386 5.242043 0.1277
48 91833 0.00138 0.25563 4.978187 0.1264
49 91332 0.00148 0.24755 4.722554 0.1251
50 90778 0.00158 0.23958 4.474999 0.1236
51 90171 0.00167 0.23173 4.235415 0.122
52 89511 0.00178 0.22398 4.003689 0.1203
53 88791 0.00188 0.21634 3.779707 0.1185
54 88011 0.00198 0.2088 3.563367 0.1167
55 87165 0.00211 0.20136 3.354566 0.1147
56 86241 0.00219 0.19399 3.153209 0.1126
57 85256 0.00226 0.18673 2.959223 0.1104
58 84211 0.00237 0.17959 2.772495 0.1081
59 83083 0.00246 0.17253 2.592905 0.1058
60 81884 0.00256 0.16557 2.420378 0.1033
61 80602 0.00264 0.15869 2.254812 0.1007
62 79243 0.00272 0.15191 2.096122 0.0981
63 77807 0.00279 0.14524 1.94421 0.0954
64 76295 0.00282 0.13867 1.798971 0.0926
65 74720 0.00287 0.13224 1.6603 0.0898
66 73075 0.00291 0.12593 1.528061 0.0869
67 71366 0.00299 0.11975 1.402134 0.084
68 69559 0.00307 0.11365 1.282385 0.081
69 67655 0.00315 0.10763 1.168737 0.0779
70 65649 0.00322 0.10169 1.061105 0.0748
71 63543 0.00336 0.09584 0.959411 0.0716
72 61285 0.00344 0.09001 0.863567 0.0682
73 58911 0.00352 0.08425 0.773558 0.0648
74 56416 0.00357 0.07856 0.689311 0.0612
75 53818 0.00366 0.07297 0.610754 0.0577
76 51086 0.00369 0.06744 0.537784 0.054
77 48251 0.00376 0.06203 0.470339 0.0503
78 45284 0.00381 0.05668 0.408312 0.0466
79 42203 0.0038 0.05144 0.351629 0.0428
80 39041 0.00377 0.04633 0.300192 0.039
81 35824 0.00377 0.0414 0.253859 0.0352
82 32518 0.00366 0.03659 0.212462 0.0314
83 29220 0.00352 0.03201 0.175874 0.0278
84 25962 0.00335 0.0277 0.14386 0.0242
79
85 22780 0.00313 0.02366 0.116164 0.0209
86 19725 0.00288 0.01995 0.092501 0.0178
87 16843 0.00263 0.01659 0.07255 0.0149
88 14133 0.00237 0.01355 0.055962 0.0122
89 11625 0.00206 0.01085 0.042409 0.0099
90 9389 0.00175 0.00854 0.031555 0.0078
91 7438 0.00146 0.00658 0.023018 0.0061
92 5763 0.0012 0.00497 0.016433 0.0046
93 4350 0.00094 0.00365 0.011465 0.0034
94 3211 0.00072 0.00262 0.007814 0.0025
95 2315 0.00053 0.00184 0.00519 0.0017
96 1635 0.0004 0.00127 0.003348 0.0012
97 1115 0.00028 0.00084 0.002081 0.0008
98 740 0.00021 0.00054 0.001239 0.0005
99 453 0.00013 0.00032 0.000696 0.0003
100 263 8.1E-05 0.00018 0.000372 0.0002
101 145 4.6E-05 9.8E-05 0.000188 9E-05
102 76 2.5E-05 5E-05 9.01E-05 5E-05
103 37 1.3E-05 2.4E-05 3.99E-05 2E-05
104 17 6.2E-06 1.1E-05 1.61E-05 1E-05
105 7 3E-06 4.3E-06 5.46E-06 4E-06
106 2 1.2E-06 1.2E-06 1.19E-06 1E-06
Question : Pour un taux technique de 2,7% et la table TV 88-90, donner la table de
commutation contenant (Dx, Nx, Cx et Mx) ?
Âge x LX « SX » CX DX NX MX
0 100000 0.0064 1 33.13319 0.13063
1 99352 0.0006 0.9674 32.13319 0.12424
2 99294 0.0003 0.9414 31.16579 0.12368
3 99261 0.0002 0.9164 30.22437 0.12337
4 99236 0.0002 0.892 29.30801 0.12315
5 99214 0.0002 0.8684 28.41596 0.12295
6 99194 0.0001 0.8454 27.54756 0.12278
7 99177 0.0001 0.823 26.70216 0.12264
8 99161 0.0001 0.8013 25.87913 0.1225
9 99145 0.0001 0.7801 25.07786 0.12238
10 99129 0.0001 0.7594 24.29778 0.12225
11 99112 0.0001 0.7394 23.53834 0.12212
12 99096 0.0001 0.7198 22.79899 0.12201
13 99081 0.0001 0.7008 22.07919 0.1219
14 99062 0.0001 0.6822 21.37842 0.12177
80
15 99041 0.0002 0.6641 20.69621 0.12162
16 99018 0.0002 0.6465 20.03207 0.12147
17 98989 0.0002 0.6293 19.38554 0.12128
18 98955 0.0003 0.6126 18.75619 0.12107
19 98913 0.0003 0.5962 18.1436 0.12081
20 98869 0.0003 0.5803 17.54737 0.12055
21 98823 0.0003 0.5648 16.96707 0.12029
22 98778 0.0002 0.5497 16.4023 0.12003
23 98734 0.0002 0.535 15.85261 0.11979
24 98689 0.0003 0.5207 15.31762 0.11955
25 98640 0.0003 0.5067 14.79693 0.1193
26 98590 0.0003 0.4932 14.29019 0.11904
27 98537 0.0003 0.48 13.79701 0.11878
28 98482 0.0003 0.4671 13.31706 0.11852
29 98428 0.0003 0.4545 12.84999 0.11826
30 98371 0.0003 0.4423 12.39544 0.118
31 98310 0.0003 0.4304 11.95311 0.11773
32 98247 0.0003 0.4189 11.52266 0.11746
33 98182 0.0003 0.4076 11.10381 0.11719
34 98111 0.0003 0.3966 10.69623 0.1169
35 98031 0.0003 0.3858 10.29966 0.11658
36 97942 0.0003 0.3753 9.91383 0.11623
37 97851 0.0004 0.3651 9.538483 0.11589
38 97753 0.0004 0.3552 9.173343 0.11553
39 97648 0.0004 0.3455 8.818159 0.11515
40 97534 0.0004 0.336 8.472685 0.11475
41 97413 0.0004 0.3268 8.136685 0.11434
42 97282 0.0005 0.3177 7.809925 0.11391
43 97138 0.0005 0.3089 7.492184 0.11344
44 96981 0.0005 0.3003 7.183254 0.11295
45 96810 0.0006 0.2919 6.882932 0.11243
46 96622 0.0006 0.2837 6.591021 0.11187
47 96424 0.0006 0.2757 6.307337 0.11129
48 96218 0.0007 0.2678 6.031676 0.11071
49 95955 0.0005 0.2601 5.763837 0.10999
50 95752 0.0007 0.2527 5.503751 0.10945
51 95488 0.0007 0.2454 5.251039 0.10876
52 95202 0.0008 0.2382 5.00565 0.10804
53 94892 0.0008 0.2312 4.767427 0.10727
54 94560 0.0008 0.2243 4.536223 0.10647
55 94215 0.0008 0.2176 4.311884 0.10566
56 93848 0.0009 0.2111 4.094241 0.10483
57 93447 0.0009 0.2047 3.883145 0.10394
81
58 93014 0.001 0.1984 3.678477 0.103
59 92545 0.001 0.1922 3.480113 0.10201
60 92050 0.0011 0.1861 3.287938 0.101
61 91523 0.0011 0.1802 3.101816 0.09995
62 90954 0.0012 0.1744 2.921625 0.09884
63 90343 0.0012 0.1686 2.747262 0.09769
64 89687 0.0013 0.163 2.578624 0.09648
65 88978 0.0013 0.1575 2.415611 0.09521
66 88226 0.0014 0.152 2.258139 0.09389
67 87409 0.0015 0.1467 2.106103 0.09251
68 86513 0.0016 0.1413 1.959434 0.09102
69 85522 0.0017 0.1361 1.818086 0.08942
70 84440 0.0018 0.1308 1.68203 0.08773
71 83251 0.002 0.1256 1.551227 0.08591
72 81936 0.0021 0.1203 1.425656 0.08395
73 80484 0.0023 0.1151 1.305318 0.08185
74 78880 0.0024 0.1098 1.190221 0.07958
75 77104 0.0026 0.1045 1.080382 0.07714
76 75136 0.0028 0.0992 0.97584 0.07451
77 72981 0.003 0.0938 0.876644 0.0717
78 70597 0.0033 0.0884 0.782826 0.06868
79 67962 0.0035 0.0828 0.694458 0.06542
80 65043 0.0037 0.0772 0.611626 0.06191
81 61852 0.004 0.0715 0.534435 0.05818
82 58379 0.0042 0.0657 0.462961 0.05422
83 54614 0.0043 0.0598 0.397274 0.05004
84 50625 0.0044 0.054 0.337439 0.04572
85 46455 0.0044 0.0483 0.283432 0.04133
86 42130 0.0044 0.0426 0.235177 0.0369
87 37738 0.0043 0.0372 0.192565 0.03252
88 33340 0.0041 0.032 0.155398 0.02824
89 28980 0.0039 0.0271 0.123426 0.02412
90 24739 0.0036 0.0225 0.096366 0.02021
91 20704 0.0033 0.0183 0.073874 0.01659
92 16959 0.0029 0.0146 0.055544 0.01332
93 13580 0.0024 0.0114 0.040925 0.01044
94 10636 0.002 0.0087 0.029527 0.00801
95 8118 0.0016 0.0065 0.020834 0.00597
96 6057 0.0013 0.0047 0.014374 0.00436
97 4378 0.001 0.0033 0.00968 0.00307
98 3096 0.0007 0.0023 0.006377 0.00212
99 2184 0.0005 0.0016 0.004102 0.00146
100 1479 0.0004 0.001 0.00254 0.00096
82
101 961 0.0002 0.0007 0.00151 0.0006
102 599 0.0002 0.0004 0.000858 0.00036
103 358 1E-04 0.0002 0.000462 0.0002
104 205 6E-05 0.0001 0.000232 0.00011
105 113 3E-05 7E-05 0.000104 4.9E-05
106 59 2E-05 4E-05 3.5E-05 1.7E-05
107 30 9E-06 2E-05 5.24E-05 2.6E-05
108 14 4E-06 8E-06 6.02E-05 3.1E-05
109 6 2E-06 3E-06 6.35E-05 3.3E-05
110 2 1E-06 1E-06 6.46E-05 3.4E-05
83
Chapitre IV : Les droits de l’assuré : transformation, rachat et réduction des
contrats d’assurance vie.
Les causes de transformation des contrats d’assurance vie
Selon le droit privé, il est nécessaire que l’engagement entre assureur et
assuré soit contractuel. Cependant, étant donné les spécificités de l’assurance vie, il y
a certaines exceptions qui découlent même de la nature des services qu’elle accorde
aux assurés et des conditions financières futures de ces derniers. En plus, les risques
augmentent avec l’âge de l’assuré, ce qui nécessite la constitution d’une provision
mathématique.
C’est pour cette raison que le code des assurances prévoit que l’assureur ne
peut exiger le paiement de la prime d’assurance vie. Il en est de même pour l’assureur
qui peut ne pas honorer ses engagements en cas de faillite.
Pour toutes ces raisons, il est possible, après la souscription d’un contrat, de
la modifier. Trois principales modifications peuvent être faites :
La transformation du contrat
Le rachat du contrat
La réduction du contrat
Les avances sur contrat
La mise en gage du contrat
I- les modalités de transformations, rachats, réductions, et avances relatives aux
contrats
La modification d’un contrat par l’assuré nécessite cependant la satisfaction
de certaines conditions ainsi que le paiement d’une pénalité.
1) le principe de transformation
Le souscripteur a le droit durant la période du contrat d’ajouter des
modifications au contenu du contrat. Cette modification entraîne la transformation du
contrat initial.
Du côté de l’assureur, il évalue la réserve mathématique, constitué jusqu’au
jour de la modification du contrat, et la considère comme une prime unique, à partir
de laquelle il calcule le montant du capital assuré en se basant sur l’âge atteint par
l’assuré.
2) le rachat du contrat
84
L’assuré a le droit de demander le remboursement de sa part sur les réserves
constituées. Cette demande entraîne immédiatement l’interruption du contrat.
Il faut souligner que la demande de rachat ne sera possible que si et
seulement si, d’une part, le contrat comporte une provision mathématique et d’autre
part, il ne comporte pas, aussi, de risque d’anti-sélection.
3) La réduction de la somme assurée
Comme dans le cas de la demande du rachat de l’assurance par l’assuré. Ce dernier,
peut réduire la garantie de l’assureur comme par exemple la réduction du montant du
capital assuré.
Il faut souligner que la réduction du contrat peut aussi être considérée comme
une pénalité imposée par l’assureur pour sanctionner l’interruption du paiement des
primes par l’assuré.
4) l’avance sur contrat
Il s’agit pour cette demande, non pas d’interrompre le contrat, mais de ne
demander qu’une partie de la provision mathématique avant la fin du contrat.
5) la mise ne gage du contrat
L’assurance sur la vie peut être utilisée comme un moyen de crédit sous
forme de gage. Cette possibilité peut se faire soit par endossement si la police est à
ordre, soit sous forme de cession. Comme dans le cas des gages, cette demande
entraîne immédiatement, la remise du contrat au créancier.
Il faut souligner que le créancier ne peut demander le rachat qu’une fois qu’il
aura adressé une demande au souscripteur réclamant le paiement à titre
d’interpellation.
Vu la loi n° 17-99 portant code des assurances promulguée par le dahir n°1-02-238 du 25
rajeb 1423 (3 octobre 2002), telle qu'elle a été complétée :
Article 15 - Les entreprises pratiquant les opérations d’assurances visées aux 1°) à 6°) de
l'article premier ci-dessus doivent constituer à leur passif les provisions techniques ci-après. 1) Provision mathématique : c’est la différence entre les valeurs actuelles des engagements
respectivement pris par l'assureur et les assurés. Cette provision, qui est déterminée selon les
bases tarifaires, ne peut être inférieure au montant calculé d’après les taux d'intérêt retenus
85
pour l'établissement des tarifs et, s'ils comportent un élément viager, d'après les tables de
mortalité TV 88-90 pour les assurances en cas de vie et TD 88-90 pour les assurances en cas
de décès, annexées au présent arrêté (annexe 1).
Les taux d'intérêt retenus pour l'établissement des tarifs relatifs aux opérations d'assurances
sur la vie et de capitalisation, pratiqués par les entreprises d'assurances, doivent être au plus
égal à 70% du taux moyen des emprunts d'Etat calculé sur une base semestrielle sans
pouvoir dépasser le taux de 3,5%.
Le taux moyen à utiliser pour chaque semestre civil est celui dégagé à partir des taux
observés durant les six mois antérieurs au mois qui précède le semestre concerné.
Les taux observés sont ceux utilisés par Bank Al-Maghrib pour l'établissement de la courbe
des taux conformément à l'arrêté n° 2304-95 du 17 rabii II 1416 (13 septembre 1995) fixant
les conditions d'évaluation des valeurs apportées à un organisme de placement collectif en
valeurs mobilières ou détenues par lui.
Les entreprises pratiquant les opérations d'assurances sur la vie ou de capitalisation peuvent
garantir, dans leurs contrats comportant une clause de participation des assurés aux
bénéfices, un taux minimum incluant les taux d'intérêt retenus pour l'établissement des
tarifs. Ce taux minimum, qui est fixé annuellement pour l'année suivante, ne peut excéder
85% de la moyenne des taux de rendement des actifs de l'entreprise affectés aux opérations
d'assurances sur la vie ou de capitalisation calculés pour les deux derniers exercices.
Article 16 - Les entreprises pratiquant les opérations d’assurances visées au 9°) de l'article
premier ci-dessus, doivent constituer à leur passif les provisions techniques ci-après :
1°) Provision mathématique : c’est la valeur des engagements de l'entreprise en ce qui
concerne les rentes mises à sa charge y compris les accessoires. Elle est calculée au
minimum d’après les bases ci-après :
- la table de mortalité PF 60-64 annexée au présent arrêté (annexe 2);
- taux d'intérêt de 3,5%
- chargement de gestion de 3% du montant de chaque rente.
Pour le calcul de la provision mathématique, la date de naissance du rentier sera reportée au
31 décembre le plus proche.
86
Exercice 1 : Soit un contrat d’assurance mixte contracté par un assuré d’âge
x=30 ans.
Montant du capital décès : Cd=550000 dh
Montant du capital-vie : Cv=550000 dh
Commissions =11% (8% d’acquisition et 3% d’encaissement) 1,4‰ annuel de frais de gestion du capital décès. 1,2‰ annuel de frais de gestion du capital-vie. Duré du contrat : n =10 ans ; durée du paiement : p=5
Taux technique : 4,5% ; table de mortalité : PF 60-64
1) Calculer la prime pure ;
a) Dans les cas : d’une prime unique et d’une prime périodique
2) Calculer la prime commerciale ;
a) Dans les cas : d’une prime unique et d’une prime périodique
3) Selon le cas d’un paiement périodique, calculer :
a) VNZ1, VNZ2, VNZ3, VNZ5 et VNZ10,
b) VZ1, VZ2, VZ3, VZ5 et VZ10,
Exercice 2 : Soit un contrat capital différé sans contre assurance de 650000.
Durée du contrat n : 10 ans
Durée, de paiement de la prime p, est égale à 5 ans
Taux d’actualisation : 5% et la table de mortalité : PF 60-64
Age de l’assuré 30 ans.
Commissions =12% (10% d’acquisition et 2% d’encaissement)
Pénalité du rachat : 1,8‰ 1,5‰ frais annuels de gestion du capital-vie.
En utilisant les commutations :
1) Calculer la prime pure ;
a) Dans les cas : d’une prime unique et d’une prime périodique
2) Calculer la prime commerciale ;
a) Dans les cas : d’une prime unique et d’une prime périodique
3) dans le cas d’un paiement périodique, calculer :
a) VNZ1, VNZ2, VNZ3 et VNZ4 ;
b) VZ1, VZ2, VZ3 et VZ4.
c) calculer la valeur du rachat de la provision à la 4ième
année du contrat.
87
Calcul des commutations Dx, Mx et Nx à partir de la table de mortalité
PF60-64 PF 60-64 Pour t=4,5% Pour t=5%
Age x Sx Dx Mx Nx Dx Mx Nx
20 972 320 0,4032 0,0414 8,4211 0,366 0,0304 7,072
21 971 720 0,3856 0,0412 8,0179 0,349 0,0302 6,706
22 971 101 0,3687 0,041 7,6323 0,332 0,03 6,357
23 970 451 0,3526 0,0407 7,2636 0,316 0,0298 6,025
24 969 770 0,3372 0,0405 6,911 0,301 0,0296 5,709
25 969 052 0,3224 0,0402 6,5738 0,286 0,0293 5,408
26 968 295 0,3083 0,04 6,2514 0,272 0,0291 5,122
27 967 496 0,2948 0,0397 5,9431 0,259 0,0289 4,85
28 966 653 0,2818 0,0395 5,6483 0,247 0,0287 4,591
29 965 761 0,2695 0,0392 5,3664 0,235 0,0285 4,344
30 964 820 0,2576 0,039 5,097 0,223 0,0282 4,109
31 963 825 0,2463 0,0387 4,8394 0,212 0,028 3,886
32 962 786 0,2354 0,0384 4,5931 0,202 0,0278 3,674
33 961 698 0,225 0,0382 4,3577 0,192 0,0276 3,472
34 960 555 0,2151 0,0379 4,1327 0,183 0,0273 3,28
35 959 350 0,2055 0,0377 3,9176 0,174 0,0271 3,097
36 958 079 0,1964 0,0374 3,7121 0,165 0,0269 2,923
37 956 733 0,1877 0,0371 3,5156 0,157 0,0267 2,757
38 955 303 0,1794 0,0369 3,3279 0,15 0,0264 2,6
39 953 783 0,1714 0,0366 3,1486 0,142 0,0262 2,45
40 952 159 0,1637 0,0363 2,9772 0,135 0,026 2,308
41 950 424 0,1564 0,036 2,8135 0,129 0,0257 2,173
42 948 563 0,1493 0,0357 2,6571 0,122 0,0255 2,044
43 946 564 0,1426 0,0354 2,5078 0,116 0,0252 1,922
44 944 412 0,1362 0,0351 2,3652 0,11 0,025 1,806
45 942 091 0,13 0,0347 2,229 0,105 0,0247 1,696
46 939 582 0,124 0,0344 2,099 0,1 0,0244 1,591
47 936 867 0,1184 0,0341 1,975 0,095 0,0242 1,491
48 933 923 0,1129 0,0337 1,8566 0,09 0,0239 1,397
49 930 727 0,1077 0,0333 1,7437 0,085 0,0236 1,307
50 927 253 0,1027 0,0329 1,6361 0,081 0,0233 1,222
88
Correction exercice 1 :
355279,5031
P 77598,77904
' 412412,3892
P' 90077,52371
1) Calcul de la prime pure
Cas d’une prime unique :
= Cv. nEx + Cd. nAx
= Cv. + Cd*( )=355279,5031
Cas d’une prime Périodique :
P*ax:P = Cv. nEx + Cd. nAx (P : durée de paiement)
P*( ) = Cv. + Cd*( )
P= 77598,779
’=%*’+ Cd*nAx + Cv*nEx +‰* Cd* ax:n +‰* Cv* ax:n
’=%*’+ Cd*( ) + Cv* +‰* Cd*( ) +‰* Cv* )
P’*ax:P =%* P’*ax:P + Cd*nAx + Cv*nEx +‰* Cd* ax:n +‰* Cv* ax:n
P’*( )=%* P’*( ))+Cd*( ) + Cv* ) +‰* Cd*( ))
+‰*Cv*( )
2) Calcul de la prime commerciale
Cas d’une prime unique :
’= %*’ + Cv*nEx +‰ *Cv*ax:n
’= %*’ + Cv. +‰ Cv *( )
’=412412,3838
Cas d’une prime Périodique :
P’*ax:P = %*P’ ax:P + Cv*nEx +‰ *Cv*ax:n (Durée du paiement de la prime)
P’*( ) = % P’( )+ Cv. +‰ *Cv *( )
P’=90077,52
89
VNZ1 81681,5485
VNZ2 167147,7491
VNZ3 256763,2881
VNZ4 350176,7268
VNZ5 448417,382
VNZ6 466857,9786
VNZ7 486121,0016
VNZ8 506502,2352
VNZ9 527684,3757
VNZ10 550000
VZ1 54712
VZ2 146469
VZ3 242668
VZ4 342971
VZ5 448417
VZ6 466858
VZ7 486121
VZ8 506502
VZ9 527684
VZ10 550000
Exercice 2 : cas de t = 5%
393497,8
P 86709,4862
` 456104,642
P' 100505,272
3) Calcul de la prime pure
Cas d’une prime unique :
= Cv. nEx
90
= Cv. =650000*0,135/0,223=393497,7578
Cas d’une prime Périodique : P
P*ax:P = Cv*nEx (P : durée de paiement)
P*( ) = Cv.
P’= (650000*0,135)/(4,109-3,097)=86709,4891 dh
4) Calcul de la prime commerciale
Cas d’une prime unique : ’
’= %*’ + Cv*nEx +‰ *Cv*ax:n
’= %*’ + Cv. +‰ Cv *( )
’=456104,64
Cas d’une prime Périodique : P’
P’*ax:P = %*P’* ax:P + Cv*nEx +‰ *Cv*ax:n (Durée du paiement de la prime)
P’*( ) = % P’( )+ Cv. +‰ *Cv *( )
P’=100505,272
VNZ1 92008,1583 VZ1 54603,13025 R1 53871,5513
VNZ2 188362,837 VZ2 159654,153 R2 157710,798
VNZ3 290198,751 VZ3 270568,8154 R3 267616,233
VNZ4 396242,246 VZ4 386191,7187 R4 382499,473
VNZ5 508731,466 VZ5 508731,4655 R5 504579,164
VNZ10 650000 VZ10 650000 R10 650000
R4 =VZ4 - 1,8‰ *VZ4*( )
Exercice 2 : pour t= 4,5 %
413062,9
P 90219,6032
` 478507,045
P' 104513,664
VNZ1 V1 95171,88 VZ1 56056,6945
VNZ2 V2 194789,3 VZ2 164798,2259
VNZ3 V3 298996 VZ3 278553,1264
VNZ4 V4 407942,5 VZ4 397491,1262
VNZ5 V5 522247,6 VZ5 522247,6399 VNZ10 V10 650000 VZ10 650000
91
R4 =VZ4 - 1,8‰ *VZ4*( )
Exercice 3 : Soit un contrat d’assurance temporaire décès contracté par un
assuré d’âge x=30 ans.
Montant du capital décès : Cd=450000 dh
Commissions =12% (8% d’acquisition et 4% d’encaissement)
1,5‰ annuel de frais de gestion du capital décès.
Duré du contrat : n =10 ans ; durée du paiement : p=5
Taux technique : 4,75% ; table de mortalité : PF 46-49
1) Calculer la prime pure ;
a) Dans les cas : d’une prime unique et d’une prime périodique
2) Calculer la prime commerciale ;
a) Dans les cas : d’une prime unique et d’une prime périodique
Exercice 4 : Soit un contrat capital différé sans contre assurance de 350000.
Durée du contrat n : 8 ans
Durée, de paiement de la prime p, est égale à 4 ans
Taux d’actualisation : 4,75% et la table de mortalité : PF 46-49
Age de l’assuré 35 ans.
Commissions =14% (10% d’acquisition et 4% d’encaissement)
Pénalité du rachat : 1,6‰
1,25‰ frais annuels de gestion du capital-vie.
En utilisant les commutations :
1) Calculer la prime pure ;
a) Dans les cas : d’une prime unique et d’une prime périodique
2) Calculer la prime commerciale ;
a) Dans les cas : d’une prime unique et d’une prime périodique
3) dans le cas d’un paiement périodique, calculer :
a) VNZ1, VNZ3 et VNZ8 ;
b) VZ1, VZ3 et VZ8.
c) calculer la valeur du rachat de la provision à la 3ième
année du contrat.
92
Calcul des commutations Dx, Mx et Nx pour t=4,75% ( PF : 46-49)
X Dx Mx Nx 20 0,37 0,0381 7,3311 21 0,353 0,0378 6,9615 22 0,336 0,0374 6,609 23 0,321 0,0371 6,2727 24 0,306 0,0367 5,9521 25 0,292 0,0364 5,6463 26 0,278 0,0361 5,3547 27 0,265 0,0358 5,0766 28 0,253 0,0355 4,8114 29 0,241 0,0352 4,5586 30 0,23 0,0349 4,3175 31 0,219 0,0346 4,0876 32 0,209 0,0343 3,8685 33 0,199 0,034 3,6595 34 0,19 0,0337 3,4604 35 0,181 0,0334 3,2705 36 0,172 0,0331 3,0896 37 0,164 0,0328 2,9171 38 0,157 0,0325 2,7527 39 0,149 0,0322 2,5961 40 0,142 0,0319 2,4469 41 0,135 0,0316 2,3048 42 0,129 0,0313 2,1694 43 0,123 0,031 2,0404 44 0,117 0,0306 1,9176 45 0,111 0,0303 1,8007 46 0,106 0,0299 1,6895 47 0,101 0,0296 1,5836 48 0,096 0,0292 1,4829 49 0,091 0,0288 1,3872 50 0,087 0,0284 1,2961
93
Exercice 3 : contrat temporaire décès
237845,3039
P 63834,51957
' 280021,6417
P' 75154,0883 5) Calcul de la prime pure
Cas d’une prime unique :
= Cd. nAx
= Cd*( )= 237845,3039
Cas d’une prime Périodique :
P*ax:P = Cd. nAx (P : durée de paiement et n durée du contrat)
P*( ) = Cd*( )
P= 63834,51957
’=%*’+ Cd*nAx +‰* Cd* ax:n +‰* Cv* ax:n
’=%*’+ Cd*( ) +‰* Cd*( ) =280021,6417
P’*ax:P =%* P’*ax:P + Cd*nAx +‰* Cd* ax:n
P’*( )=%*P’*( )+Cd*( ) +‰* Cd*( )
P’=75154,0883
Exercice 4 : cas de t = 4,75%
237478,5
P 63721,9902
` 279595,934
P' 75023,255
6) Calcul de la prime pure
Cas d’une prime unique :
= Cv. nEx
= Cv. =237478,5
Cas d’une prime Périodique : P
P*ax:P = Cv*nEx (P : durée de paiement)
P*( ) = Cv.
94
P= 63721,9902dh
7) Calcul de la prime commerciale
Cas d’une prime unique : ’
’= %*’ + Cv*nEx +‰ *Cv*ax:n
’= %*’ + Cv. +‰ Cv *( )
’=279595,934
Cas d’une prime Périodique : P’
P’*ax:P = %*P’ ax:P + Cv*nEx +‰ *Cv*ax:n (Durée du paiement de la
prime)
P’*( ) = % P’( )+ Cv. +‰ *Cv *( )
P’=75023,255
V1 219997,3 VZ1 189241,7885
V2 243090,2 VZ2 219479,1048
V3 266280,7 VZ3 250164,4215
V4 289625,7 VZ4 281373,1316
V5 303562 VZ5 303562
V6 318239 VZ6 318239
V7 333701,1 VZ7 333701,1
V8 350000 VZ8 350000
95
TD « Actuariat »
Exercice 1 : Soit un contrat temporaire décès de 550000 dh.
Durée 20 ans
Taux d’actualisation : 4% et la table de mortalité : TV 88-90
Age de l’assuré 45 ans.
1,5‰ annuel de frais de gestion sur le capital décès.
Frais de gestion 12%
9,5% d’acquisition
2,5% de gestion, encaissement en cours du contrat
En utilisant les commutations :
1) Calculer la prime pure
a) Dans le cas d’une prime unique
b) Dans le cas d’une prime périodique
2) Calculer la prime commerciale selon les deux cas précédents.
Exercice 2 : Soit un contrat d’assurance mixte contracté par un assuré d’âge x = 60
ans.
Montant du capital survie : CV = 350000
Montant du capital décès : CD=450000
Duré du contrat : n =10 ans ;
Taux technique : 4,5% ; table de mortalité : TD 88-90
Primes périodique annuelles P’’.
Chargements de gestion : g=10%, décomposés en :
8,5% d’acquisition
1,5% de gestion, encaissement en cours du contrat
Calculer :
1. la prime commerciale du contrat (unique et périodique).
2. La provision mathématique au bout de 5 ans
3. La valeur de rachat au bout de 5 ans sachant que l’assureur prélève1% de
pénalité de rachat sur la provision mathématique du contrat.
4. La valeur de rachat possible en fin d’année sachant que l’assureur verse ses
frais d’acquisition sur la première prime.
Exercice 3 : Soit un contrat capital différé sans contre assurance de 350000 dh.
Durée 20 ans
Taux d’actualisation : 4% et la table de mortalité : TD 88-90
Age de l’assuré 35 ans.
1,2‰ annuel de frais de gestion sur le capital vie.
Frais de gestion 11%
8,5% d’acquisition
2,5% de gestion, encaissement en cours du contrat
En utilisant les commutations :
1) Calculer la prime pure
96
a) Dans le cas d’une prime unique
b) Dans le cas d’une prime périodique
2) Calculer la prime commerciale selon les deux cas précédents.
1) La valeur de rachat au bout de 5 ans sachant que l’assureur prélève 0,8% de
pénalité de rachat sur la provision mathématique du contrat.
Exercice 4 : Soit un contrat d’assurance mixte contracté par un assuré d’âge x = 40
ans.
Montant du capital survie : Cv = 450000
Montant du capital décès : Cd=650000
Duré du contrat : n =10 ans ;
Taux technique : 3,5% ; table de mortalité : TD 88-90
Primes périodique annuelles.
Chargements de gestion : g=10%,
1,5% de gestion, encaissement en cours du contrat
Calculer :
1) la prime pure (unique et périodique)
2) la prime commerciale du contrat (unique et périodique).
3) La provision mathématique (Zillmérisée et non Zillmérisée) au bout de 1, 2, 3,
4 et 5 ans
Exercice 5 : Soit un contrat capital différé sans contre assurance de 750000 dh.
Durée 10 ans
Taux d’actualisation : 4% et la table de mortalité : TV 88-90
Age de l’assuré 40 ans.
1,5‰ annuel de frais de gestion sur le capital décès.
Frais de gestion 12%
En utilisant les commutations :
1) Calculer la prime pure
a) Dans le cas d’une prime unique
b) Dans le cas d’une prime périodique
2) Calculer la prime commerciale selon les deux cas précédents.
3) La provision mathématique (Zillmérisée et non Zillmérisée) au bout de 1, 2, 3,
4 et 5 ans
Exercice 6 : Soit un contrat vie entière de 450000 dh.
Durée de paiement de la prime 10 ans
Taux d’actualisation : 4% et la table de mortalité : TV 88-90
Age de l’assuré 40 ans.
1,5‰ annuel de frais de gestion sur le capital décès.
Frais de gestion 12%
En utilisant les commutations et selon les deux cas : paiement de la prime vie entière
et paiement durant 10 ans
1) Calculer la prime pure
97
a) Dans le cas d’une prime unique
b) Dans le cas d’une prime périodique
2) Calculer la prime commerciale selon les deux cas précédents.
Exercice 7 : capital différé sans contre assurance
Soit un capital différé sans contre assurance de 100000 dh. Durée du contrat 5 ans
Taux d’actualisation : 4% et la table de mortalité : TV 88-90
Âge de l’assuré 50 ans. Pénalité de 6 en cas de rachat du contrat.
Commissions diverses (9% : acquisition, 3% : encaissement) : 12%
1,8‰ du capital sous risque par année de gestion du contrat.
En utilisant les commutations :
1) Calculer les primes pure et commerciale.
a) Dans le cas d’une prime unique
b) Dans le cas d’une prime périodique
2) Calculer : VNZt, VNZ4, VZt, VZ4 et le rachat la 4ième
année du contrat.
98
Annexes
Maroc - 2004
both sexes
1) mx : taux de mortalité des individus d'un âge donné x;
2) qx : probabilité de décès entre deux âges donnés;
3) 1x : nombre de survivants jusqu'à un âge donné à partir d'un nombre initial
supposé de naissances;
4) Lx : nombre d'années vécues collectivement par les survivants du groupe d'âges
considérés ;
5) Tx : nombre d'années personnes vécues par la cohorte hypothétique à partir de
l'âge x ;
Enfin :
6) eox : espérance de vie d'une personne d'âge donné. X : âge
Âge
range nMx nqx lx ndx nLx Tx ex
<1 0.03931 0.03825 100000 3825 97322 7092047 70.9
1-4 0.00120 0.00479 96175 461 383593 6994725 72.7
5-9 0.00065 0.00325 95714 311 477793 6611132 69.1
10-14 0.00047 0.00235 95403 224 476457 6133339 64.3
15-19 0.00081 0.00404 95179 385 474934 5656883 59.4
20-24 0.00100 0.00501 94794 475 472785 5181948 54.7
25-29 0.00103 0.00515 94320 486 470383 4709163 49.9
30-34 0.00120 0.00599 93834 562 467764 4238780 45.2
35-39 0.00159 0.00794 93272 740 464509 3771016 40.4
40-44 0.00235 0.01167 92532 1080 459958 3306508 35.7
45-49 0.00376 0.01864 91451 1704 452996 2846550 31.1
50-54 0.00607 0.02990 89747 2684 442027 2393554 26.7
55-59 0.00981 0.04789 87064 4170 424894 1951526 22.4
60-64 0.01533 0.07384 82894 6121 399166 1526633 18.4
65-69 0.02528 0.11889 76773 9128 361044 1127466 14.7
70-74 0.04346 0.19599 67645 13258 305081 766422 11.3
75-79 0.07337 0.31000 54387 16860 229786 461342 8.5
80-84 0.12356 0.47200 37527 17713 143354 231555 6.2
85-89 0.19508 0.65565 19814 12991 66594 88201 4.5
90-94 0.29301 0.77968 6823 5320 18156 21607 3.2
95-99 0.41825 0.84876 1503 1276 3051 3451 2.3
100+ 0.56741 1.00000 227 227 401 401 1.8
99
Population masculine
Âge
range nMx nqx lx ndx nLx Tx ex
<1 0.04340 0.04212 100000 4212 97052 6864863 68.6
01-4 0.00133 0.00530 95788 507 381935 6767812 70.7
05-9 0.00078 0.00390 95281 372 475474 6385877 67.0
10-14 0.00060 0.00298 94909 282 473839 5910402 62.3
15-19 0.00115 0.00573 94626 542 471777 5436564 57.5
20-24 0.00140 0.00698 94084 657 468778 4964787 52.8
25-29 0.00131 0.00652 93427 609 465614 4496009 48.1
30-34 0.00141 0.00703 92818 653 462460 4030395 43.4
35-39 0.00182 0.00904 92166 834 458744 3567935 38.7
40-44 0.00273 0.01358 91332 1240 453560 3109191 34.0
45-49 0.00449 0.02218 90092 1999 445464 2655631 29.5
50-54 0.00747 0.03665 88094 3229 432397 2210166 25.1
55-59 0.01245 0.06035 84865 5122 411521 1777770 20.9
60-64 0.01972 0.09396 79743 7493 379984 1366249 17.1
65-69 0.03171 0.14691 72250 10614 334717 986265 13.7
70-74 0.05155 0.22831 61636 14072 273002 651547 10.6
75-79 0.08363 0.34586 47564 16451 196696 378545 8.0
80-84 0.13500 0.50468 31114 15703 116313 181849 5.8
85-89 0.20815 0.68454 15411 10550 50683 65536 4.3
90-94 0.30655 0.79845 4862 3882 12663 14853 3.1
95-99 0.43123 0.85926 980 842 1952 2190 2.2
100+ 0.57942 1.00000 138 138 238 238 1.7
100
Population féminine
Âge
range nMx nqx Sx ndx nSx Tx ex
<1 0.03505 0.03421 100000 3421 97605 7314849 73.1
1- 4 0.00107 0.00427 96579 412 385328 7217244 74.7
05 - 9 0.00051 0.00257 96167 247 480219 6831916 71.0
10 -14 0.00034 0.00169 95920 162 479195 6351697 66.2
15-19 0.00046 0.00230 95758 220 478239 5872502 61.3
20-24 0.00060 0.00298 95538 285 476976 5394263 56.5
25-29 0.00075 0.00376 95253 359 475368 4917287 51.6
30-34 0.00099 0.00493 94894 468 473301 4441920 46.8
35-39 0.00137 0.00684 94426 646 470517 3968618 42.0
40-44 0.00200 0.00993 93781 932 466574 3498101 37.3
45-49 0.00307 0.01522 92849 1413 460712 3031527 32.7
50-54 0.00474 0.02340 91436 2140 451830 2570815 28.1
55-59 0.00745 0.03656 89296 3265 438319 2118985 23.7
60-64 0.01192 0.05788 86031 4980 417707 1680666 19.5
65-69 0.02059 0.09793 81052 7937 385415 1262959 15.6
70-74 0.03686 0.16874 73115 12337 334729 877543 12.0
75-79 0.06583 0.28265 60777 17179 260939 542814 8.9
80-84 0.11360 0.44238 43599 19287 169775 281875 6.5
85-89 0.18495 0.63236 24311 15374 83123 112100 4.6
90-94 0.28407 0.76685 8938 6854 24127 28976 3.2
95-99 0.41164 0.84327 2084 1757 4269 4849 2.3
100+ 0.56276 1.00000 327 327 580 580 1.8
101
Table de mortalité TD73-77
âge Sx âge x Sx
40 93516 74 46887
41 93192 75 43872
42 92836 76 40798
43 92440 77 37688
44 91996 78 34560
45 91503 79 31441
46 90966 80 28364
47 90391 81 25351
48 89772 82 22424
49 89103 83 19602
50 88380 84 16916
51 87605 85 14398
52 86778 86 12063
53 85893 87 9938
54 84938 88 8054
55 83909 89 6407
56 82812 90 4986
57 81654 91 3790
58 80435 92 2819
59 79146 93 2059
60 77772 94 1481
61 76296 95 1048
62 74706 96 728
63 73007 97 497
64 71208 98 333
65 69302 99 218
66 67276 100 103
67 65127 101 46
68 62855 102 19
69 60473 103 7
70 57981 104 3
71 55369 105 1
72 52642 106 0
73 49815 107
102
Table de mortalité : TV 88-90
âge x Sx âge Sx âge x Sx
0 100000 37 97851 74 78880
1 99352 38 97753 75 77104
2 99294 39 97648 76 75136
3 99261 40 97534 77 72981
4 99236 41 97413 78 70597
5 99214 42 97282 79 67962
6 99194 43 97138 80 65043
7 99177 44 96981 81 61852
8 99161 45 96810 82 58379
9 99145 46 96622 83 54614
10 99129 47 96424 84 50625
11 99112 48 96218 85 46455
12 99096 49 95955 86 42130
13 99081 50 95752 87 37738
14 99062 51 95488 88 33340
15 99041 52 95202 89 28980
16 99018 53 94892 90 24739
17 98989 54 94560 91 20704
18 98955 55 94215 92 16959
19 98913 56 93848 93 13580
20 98869 57 93447 94 10636
21 98823 58 93014 95 8118
22 98778 59 92545 96 6057
23 98734 60 92050 97 4378
24 98689 61 91523 98 3096
25 98640 62 90954 99 2184
26 98590 63 90343 100 1479
27 98537 64 89687 101 961
28 98482 65 88978 102 599
29 98428 66 88226 103 358
30 98371 67 87409 104 205
31 98310 68 86513 105 113
32 98247 69 85522 106 59
33 98182 70 84440 107 30
34 98111 71 83251 108 14
35 98031 72 81936 109 6
36 97942 73 80484 110 2
103
Table de mortalité TD-88-90
âge x Sx sge Sx âge x Sx
0 100000 36 95676 72 61285
1 99129 37 95463 73 58911
2 99057 38 95237 74 56416
3 99010 39 94997 75 53818
4 98977 40 94746 76 51086
5 98948 41 94476 77 48251
6 98921 42 94182 78 45284
7 98897 43 93868 79 42203
8 98876 44 93515 80 39041
9 98855 45 93133 81 35824
10 98835 46 92727 82 32518
11 98814 47 92295 83 29220
12 98793 48 91833 84 25962
13 98771 49 91332 85 22780
14 98745 50 90778 86 19725
15 98712 51 90171 87 16843
16 98667 52 89511 88 14133
17 98606 53 88791 89 11625
18 98520 54 88011 90 9389
19 98406 55 87165 91 7438
20 98277 56 86241 92 5763
21 98137 57 85256 93 4350
22 97987 58 84211 94 3211
23 97830 59 83083 95 2315
24 97677 60 81884 96 1635
25 97524 61 80602 97 1115
26 97373 62 79243 98 740
27 97222 63 77807 99 453
28 97070 64 76295 100 263
29 96916 65 74720 101 145
30 96759 66 73075 102 76
31 96597 67 71366 103 37
32 96429 68 69559 104 17
33 96255 69 67655 105 7
34 96071 70 65649 106 2
35 95878 71 63543
104
TPRV-93 (Table Prospective de Rente Viagère ou TPG93 pour Table Prospective
par Génération).
x Lx x Lx x Lx
0 100.000 38 93.871 76 80.198
1 97.047 39 93.774 77 78.913
2 95.995 40 93.670 78 77.462
3 95.793 41 93.560 79 75.840
4 95.653 42 93.442 80 74.030
5 95.556 43 93.318 81 72.016
6 95.515 44 93.185 82 69.780
7 95.477 45 93.043 83 67.306
8 95.442 46 92.892 84 64.621
9 95.410 47 92.732 85 61.719
10 95.379 48 92.560 86 58.596
11 95.359 49 92.378 87 55.255
12 95.336 50 92.183 88 51.700
13 95.311 51 91.976 89 47.999
14 95.284 52 91.756 90 44.172
15 95.254 53 91.520 91 40.248
16 95.221 54 91.273 92 36.261
17 95.185 55 91.013 93 32.253
18 95.144 56 90.741 94 28.330
19 95.101 57 90.455 95 24.535
20 95.056 58 90.155 96 20.914
21 95.008 59 89.844 97 17.513
22 94.957 60 89.523 98 14.373
23 94.904 61 89.191 99 11.530
24 94.850 62 88.849 100 9.014
25 94.794 63 88.498 101 6.843
26 94.736 64 88.126 102 5.023
27 94.677 65 87.733 103 3.547
28 94.617 66 87.319 104 2.395
29 94.555 67 86.882 105 1.535
30 94.491 68 86.422 106 926
31 94.424 69 85.911 107 519
32 94.356 70 85.343 108 267
33 94.285 71 84.711 109 123
34 94.211 72 84.007 110 50
35 94.133 73 83.224 111 17
36 94.050 74 82.337 112 5
37 93.963 75 81.333 113 1
105