Ingénieurs SuP Galiléel’école d’ingénieurs de l’Institut Galilée

Université Paris 13

Cours analyse numérique MACS 1. Présentation

Enseignants : L. Halpern (cours), Y. Noumir (TD)

Spécialité : MACS

Qu’est-ce que l’analyse numérique ?

Tous les outils entre un problème physique et une liste de nombres ou un dessin sortant d’un ordinateur

Contient :•Modélisation (mise en équation)•Analyse mathématique de l’équation•Approximation par un problème de taille finie•Résolution sur l’ordinateur•Traitement du résultat

Quelques exemples

Simulation du stockage géologique du C02(R. Masson, Institut Français du pétrole)

• Objectifs– Optimisation de l'injection du C02

– Évaluation et réduction des risques de fuites, certification

• Méthode– Simulation des écoulements

polyphasiques (eau – gaz - huile)

– Interaction eau-roche

– Puits, failles, couvertures

Stockage du CO2 dans les aquifères salins profonds

Récupération améliorée par injection de CO2

Compression des images

Quatre-chevaux (1946) Pierre

BézierPierre Bézier 1910-1999

• “Now level sets are used by movies like "Shrek", "Terminator" and many blockbusters.”

• S.J. Osher, professor in numerical analysis, UCLA.

• Level sets : numericalmethods to solve partial differential equations.

• Level: Master 2 ++

De nombreux problèmes d’ingénierie en une seule figure

Un exemple de modélisation

Démarrage d’une fusée,http://www.capcomespace.net/dossiers/espace_europeen/ariane/ariane4/caract

eristiques.htm

1 2 ... Nt t t< < <

Calculer la hauteur en fonction du tempsPas de solution analytiqueSolution approchée

1. Notions de base sur le calcul avec précision finie.2. Résolution directe des systèmes linéaires.3. Equations non linéaires, racines des polynômes.4. Systèmes non linéaires.5. Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires. I

méthodes stationnaires.6. Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires II

méthodes de Krylov.7. Interpolation et approximation polynômiale.8. Méthodes de moindres carrés.9. Formules de quadrature.10. Méthodes de résolution d’équations différentielles.11. Problèmes de valeurs propres.

Plan du cours

Outils du cours

21/10/07

Utiliser à distance

Utiliser Scilab, logiciel gratuit

Chapitre I : calcul en précision finie

1. Exemple historique : le calcul de π2. Représentation des nombres en machine3. Calcul avec des nombres machine4. Critères d’arrêt5. Conditionnement et stabilité

L’aire de la surface inscrite dans le polygone est

Polygones d’Archimède. On calcule de façon approchée l’aire du disque de rayon 1. Pour cela on construit un polygone à n côtés . Calculons l’aire du triangle élémentaire dessiné en pointillé :

Polygone d’Archimède, suite

Polygone d’Archimède, suite

On peut aussi utiliser la formule

Ou bien