inférence de phylogénies. inférence d’arbres phylogénétiques méthodes de distance input:...

Infrence de phylognies

Infrence darbres phylogntiques Mthodes de distance Input: Matrice de distances D Construire un arbre qui ralise cette matrice: chaque paire (x,y) de feuilles est relie par un chemin dont le score est gal la distance D(x,y) entre x et y. Mthodes de parcimonie: Arbre qui explique lvolution des espces par un nombre minimum de mutations. Deux composantes principales: Calcul dun score dun arbre donn. Recherche, parmi tous les arbres, larbre de score minimal. Mthodes probabilistes Maximisation de la vraisemblance dun arbre Infrence Baysienne, base sur la probabilit postrieure des hypothses en fonction des donnes.

I. Mthodes de distance Distance additive tant donne une matrice de distance D, existe-t-il un arbre binaire avec un tiquetage des branches qui ralise la matrice, i.e. telque pour chaque paire de feuilles i, j, la somme des tiquettes des branches du chemin qui relie i et j est gal D(i,j). Si oui, la matrice D est additive. A A 0581211 B 5091312 C 89065 D 13603 E 1112530 ABCDE E D C B A 2 3 1 4 1 3 2 1

Condition des 4 points D est additive si et seulement D satisfait la condition des 4 points: Pour tout choix de 4 feuilles A, B, C, D, deux des sommes suivantes sont gales et suprieures la 3 me : D(A,B) + D(C,D), D(A,D) + D(B,C) et D(A,C)+D(B,D) A C B D A C B D A C B D

Distances additives Une distance qui satisfait la condition des 4 points est une distance additive. A B C D 1 2 1 1 3 A A 0335 B 046 C 04 D 0 ABCD

Distance ultramtrique D est ultramtrique ssi il existe un arbre binaire racin avec tiquetage des nuds tq Le long dun chemin de la racine une feuille les valeurs des tiquettes des nuds dcroissent strictement; larbre ralise la matrice, i.e. pour chaque paire de feuilles i, j, le LCA de i et j est tiquet D(i,j). A A 02444 B 20444 C 44033 D 44301 E 44310 ABCDE A BC D E 2 4 3 1

Distance ultramtrique Contrainte plus forte quune distance additive: Toute distance ultramtrique est additive A A 02444 B 20444 C 44033 D 44301 E 44310 ABCDE A BC D E 2 4 3 1 1 1 0.5 1.5 1 1 0.5

Distance ultramtrique A A 0581211 B 5091312 C 89065 D 13603 E 1112530 ABCDE A BCD E 2 3 1 4 1 21 3 C D E 3 Contrainte plus forte quune distance additive: Toute distance ultramtrique est additive Mais toute distance additive nest pas ultramtrique

Distance ultramtrique A A 0581211 B 5091312 C 89065 D 13603 E 1112530 ABCDE A BCD E 2 3 1 4 1 21 3 C D E 3 5 Contrainte plus forte quune distance additive: Toute distance ultramtrique est additive Mais toute distance additive nest pas ultramtrique

Distance ultramtrique A A 0581211 B 5091312 C 89065 D 13603 E 1112530 ABCDE A BCD E 2 3 1 4 1 21 3 C D E 3 5 Contrainte plus forte quune distance additive: Toute distance ultramtrique est additive Mais toute distance additive nest pas ultramtrique 6 !!

Distance ultramtrique T est un arbre ultramtrique associ la distance ultramtrique D ssi: T contient n feuilles, chacune tiquete par une ligne de D; Chaque nud interne est tiquet par une case de D et a au moins deux fils; Le long dun chemin de la racine une feuille les valeurs des tiquettes des nuds dcroissent strictement; Pour deux feuilles quelconques i, j, D(i,j) est ltiquette du dernier anctre commun de i et j dans T. T, sil existe, est une reprsentation compacte de D. Remarque: T a au plus n-1 nuds internes. Donc, si D a plus de n-1 valeurs, il nexiste pas darbre ultramtrique pour D.

Distance ultramtrique D est ultramtrique si et seulement si D satisfait la condition des 3 points: Pour tout choix de 3 feuilles A, B,C, parmi les trois distances D(A,B), D(A,C) et D(B,C), deux sont gales et suprieures la troisime. Preuve: => vident ABC D(A,C) = D(B,C) D(A,B)

Distance ultramtrique D est ultramtrique si et seulement si D satisfait la condition des 3 points: Preuve:

Distance ultramtrique Cas gnral: A x y D(x,y) = ? Ce quon sait par construction: D(A,x)= , D(A,y) = et D(A,x) < D(A,y) La condition des 3 points => D(x,y) = D(A,y) =

Distance ultramtrique Cas gnral: A x y D(x,y) = ? Ce quon sait par construction: D(A,x)= , D(A,y) = et D(A,x) > D(A,y) La condition des 3 points => D(x,y) = D(A,x) =

Distance ultramtrique Cas gnral: A x y D(x,y) < ? Ce quon sait par construction: D(A,x)= D(A,y) = , La condition des 3 points => D(x,y) <

Distance/arbre ultramtrique Thorme: Si D est une matrice ultramtrique, alors larbre ultramtrique de D est unique. En effet, dans la preuve prcdente, les classes sont forces . Consquence: Si D reflte effectivement la distance dvolution entre les espces, alors larbre obtenu est ncessairement le vrai arbre. Thorme: Si D est ultramtrique, alors larbre ultramtrique peut- tre construit en temps O(n 2 ). De plus, on peut dterminer en O(n 2 ) si une distance est ultramtrique ou non.

Distance ultramtrique Si T est un arbre ultramtrique pour D, il existe un tiquetage des branches de T qui ralise D tel que tous les chemins de la racine nimporte quelle feuille sont de mme longueur. Un tel arbre satisfait la thorie de lhorloge molculaire: taux de mutation constant sur toutes les branches. A BC D E 2 4 3 1 1 1 0.5 1.5 1 1 0.5

Que signifient des donnes ultramtriques? Distances tiquetant les arbres ultramtriques supposes reflter le temps qui sest coul depuis la sparation des deux espces. Thorie de lhorloge molculaire (1960): Pour une protine donne, le taux de mutations acceptes par intervalle de temps est constant. Donc, si k mutations acceptes entre les protines A et B, on peut estimer k/2 le nombre de mutations survenues sur chaque branche depuis lanctre commun de A et B. Permet dobtenir des donnes ultramtriques.

Algorithme UPGMA UPGMA: Algorithme de classification ascendante hirarchique. Procde par regroupement des squences les plus proches. chaque tape, les deux regroupements les plus proches sont fusionns. Si D est une distance ultramtrique, alors UPGMA construit larbre ultramtrique associ.

Algorithme UPGMA n squences; D i,j : Distance entre les squences i et j. D ij distance entre deux regroupements C i et C j : Moyenne des distances des paires de squences entre les deux regroupements. Si C k = C i U C j et C l est un autre regroupement, alors:

Distance/arbre additif T arbre additif pour D si pour toute paire de nuds (i,j), le poids total du chemin de i j est D(i,j).

Distance/arbre additif Problme: Trouver un arbre additif pour D ou dterminer quun tel arbre nexiste pas. Thorme: Il existe un arbre additif pour D ssi D est une distance additive (i.e. vrifie la condition des 4 points). Distance additive: Contrainte moins forte que la contrainte ultramtrique. Une distance ultramtrique est additive. Le contraire nest pas vrai. Cependant, les donnes relles sont rarement additives

Neighbor-Joining (Saitou et Nei en 1986) Algorithme glouton qui choisit chaque tape une paire de feuilles voisines. Paire de feuilles voisines: Deux feuilles de T ayant le mme pre. Un arbre est dtermin par lensemble des (n-2) paires de voisins quil contient. 1 2 3 4 5 6 7 (1,2), (6,7),(4,5), ((1,2),3),((4,5),(6,7)), (((4,5),(6,7)), (1,2),3))

Neighbor-Joining Choisir deux objets i, j garantis dtre voisins dans un arbre additif. Supprimer i, j de la liste des objets et rajouter le nud cr k correspondant au pre commun de i et j. Distance de k une feuille m quelconque: 1 2 3 4 5 6 7 i j k m D(k,m) = (D(i,m)+ D(j,m) - D(i,j) )1/2

Neighbor-Joining Comment dterminer, partir de D, deux feuilles qui sont ncessairement voisines dans un arbre additif de D? Il ne suffit pas de choisir une paire dobjets dont la distance est minimal: 12 43 1 1 1 4 4 (1, 2) de distance minimale, mais pas voisines dans larbre.

Neighbor-Joining L: Ensemble des feuilles dun arbre additif. Pour tout (i,j), D (i,j): valeur obtenue en soustrayant de D(i,j) la distance moyenne de i et j toutes les autres feuilles. D (i,j) = D(i,j) (r i +r j ) Thorme: Si T est un arbre additif pour la distance additive D, si (i,j) est une paire de feuille telle que D (i,j) est minimal parmi toutes les paires de feuilles, alors i et j sont voisines dans T.

II. Mthodes de parcimonie Bases sur le principe de maximum de parcimonie: La meilleure hypothse pour expliquer un processus est celle qui fait appel au plus petit nombre dvnements. la diffrence des mthodes de distances, considre chaque site dun alignement multiple individuellement. Sous-entend lhypothse dindpendance des sites. Mthode gnrale: Considrer toutes les topologies darbres possibles sur un ensemble de feuilles; Calculer un poids pour chaque arbre; Slectionner un arbre de poids minimal.

Mthodes de parcimonie Pondration dun arbre: Affecter des squences aux nuds internes de telle sorte minimiser le poids total de larbre (somme des poids des branches). Exemple: S 1 : AAG S 2 : AAA S 3 : GGA S 4 : AGA S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S1S1 S3S3 S2S2 S4S4 S1S1 S4S4 S2S2 S3S3 AA G A A A A 1 AA G G A G A 1 G AAA A A A 1 Poids de larbre: 3

Mthodes de parcimonie Pondration dun arbre: Affecter des squences aux nuds internes de telle sorte minimiser le poids total de larbre (somme des distances des branches). Exemple: S 1 : AAG S 2 : AAA S 3 : GGA S 4 : AGA S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S1S1 S3S3 S2S2 S4S4 S1S1 S4S4 S2S2 S3S3 AA G A A A A 1 AA G G A G A 1 G AA A A A A 1 AAG GGAAAA AGA AAG AGA AAA GGA AAA 1 2 11 12 Poids de larbre: 3 4 4

Parcimonie pondre (Algorithme de Sankoff) On ne compte pas juste le nombre de substitutions, mais un poids S(a, b) pour la substitution de a en b. tiqueter les nuds internes de telle sorte a minimiser le poids total de l'arbre. Par rcurrence: tiquette d'un nud dduite des tiquettes des nuds fils. S k (a): poids du sous-arbre de racine k, sous la condition que k est tiquet par a.

Parcimonie pondre (Algorithme de Sankoff) k: a i j b a S k (a) = 0 k: S k (b) = S k (a) = min b (S i (b) + S(a,b))+ min c (S j (c)+S(a,c) c

Parcimonie pondre (Algorithme de Sankoff)

Pour retrouver les nuclotides aux nuds internes, garder des pointeurs l k (a) et r k (a) pour chaque a et chaque nud k, et rajouter les deux instructions suivantes dans le bloc de rcurrence: Poser l k (a) = argmin b (S i (b) + S(a,b)) Poser r k (a) = argmin b (S j (b) + S(a,b)) Pour retrouver une assignation correcte pour les nuds internes, choisir un nuclotide la racine qui donne lieu un poids S 2n-1 (a) minimal, et suivre les pointeurs. Complexit: Pour un nud donn, il faut calculer 2| | 2 minima. Do, complexit de lalgorithme en O(n| | 2 ) o n est la taille de l'arbre (nombre de nuds).

1: C 2: T 3: G 4: T5: A6: T 0 000 0 0 2112 T, C ATCG S(a,b) = 1 si a b 2121 T, G T,C 4334 2222 9 11 5345 7 8 A,T,C,G 10 T T T T T T

Parcimonie traditionnelle Algorithme de Fitch Minimiser le nombre de substitutions de caractres. Garder chaque nud une liste de nuclotides valides . C: poids courant de larbre.

Parcimonie traditionnelle Algorithme de Fitch Pour retrouver les nuclotides des nuds internes: Choisir un nuclotide dans R 2n-1 (racine) puis descendre dans l'arbre. Si on a choisit a pour k, alors, pour le fils i de k, choisir a si possible, si non choisir un nuclotide au hasard dans R i. Complexit: O(n| |) Observation: Le poids minimal dun arbre calcul par lalgorithme de Fitch est indpenant du choix de la racine. Consquence: on na pas besoin de tester tous les arbres racins possibles.

1: C 2: T 3: G 4: T5: A6: T 9 11 7 8 10 C = 0 R 1 = {C}R 2 = {T} R 3 = {G} R 4 = {T} R 5 = {A}R 6 = {T} R 7 = {C,T} +1 R 8 = {G,T} +1 R 9 = {G,T,A} +1 R 10 = {T} R 11 = {T} T T T T T

Parcimonie traditionnelle Algorithme de Fitch Problme de la parcimonie traditionnelle: Certaines assignations possibles des nuds internes ne sont jamais considres.

numration de tous les arbres possibles

Exploration des topologies Plutt que de considrer toutes les topologies possibles, on a recours des heuristiques. Mthode gnrale: Considrer une topologie initiale T, Explorer un voisinage de T: Tous les arbres qui sont une distance donne de T. Conserver larbre (ou les arbres) qui a le meilleur score. Diffrentes distances utilises: Nearest Neighbor Interchange (NNI) Subtree Pruning and Regrafting (SPR)

Choix de larbre de dpart Recherche squentielle: Algorithme glouton; construit larbre en rajoutant une arte chaque tape. Construire un arbre T non racin partir de trois objets de dpart (2 objets dans le cas dun arbre racin). Pour T contenant r feuilles, choisir un r+1me objet et le placer de faon optimale dans T. Choix des taxons rajouter Alatoire; pas idal Approche du maximum du minimum: Pour chaque taxon, essayer les 3 positionnements possibles sur larbre initial de 3 feuilles. Garder les valeurs minimales. Ordonner les taxon par cette procdure: valeurs dcroissantes. Procdure qui augmente la vitesse dobtension de larbre le plus parcimonieux.

123456 AATTAAT BTTATTT CAATTTT DAATAAA ETTAAAT A B C A B C D A D C B A C B D A D C B E A D C B E A D C B E A D C B E A D C B E 8 7 9 9 9 9 11 9

Choix de larbre de dpart Branch-and-bound: Explorer toutes les topologies possibles. Lorsque le poids de larbre courant dpasse une certaine borne L S, arrter linsertion de feuilles pour cet arbre. L S : Poids du meilleur arbre complet obtenu au cours de la recherche squentielle.

123456 AATTAAT BTTATTT CAATTTT DAATAAA ETTAAAT A B C A B C D A D C B A C B D A D C B E A D C B E A D C B E A D C B E A D C B E 8 7 9 9 9 9 11 9 L S = 9

123456 AATTAAT BTTATTT CAATTTT DAATAAA ETTAAAT A B C A B C D A D C B A C B D 8 7 9 A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E 10 8 11 L S = 8

123456 AATTAAT BTTATTT CAATTTT DAATAAA ETTAAAT A B C A B C D A D C B A C B D 8 7 9

inférence de phylogénies. inférence d’arbres phylogénétiques méthodes de distance input:...

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