indivis

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Q

Les emprunts indivis

Administration conomique et Sociale

MathmatiquesXA100M

JI

P

Q

Les emprunts indivis sont les emprunts faits auprs dun seul prteur.

On va tudier le cas o le prteur met disposition de lemprunteur un capitalpour une dure fixe lavance, et o lemprunteur rembourse ce capital selonun rythme convenu et verse des intrts chances priodiques.

JI

P

Q

1. LE CAS GNRAL

Lors de chaque annuit (remboursement), on fait la part entre

La somme qui participe au remboursement du capital emprunt ; La somme qui participe au remboursement de lintrt.

La somme qui participe au remboursement du capital emprunt sappellelamortissement.

JI

P

Q

Si Ap est lannuit de la priode p, cest--dire le montant pay la fin de lapriode p, on a

+ Ap = Ip+Mpavec

Lintrt cre pendant la priode p et rembours en fin decette priode, not Ip ;

Lamortissement de la priode p, notMp.

JI

P

Q

Situation

Emprunt dun capital D0 au taux dintrt i par priodependant n priodes.

JI

P

Q

Notations

Le capital restant d en dbut de priode p estnotDp1 ;

Le montant de lannuit paye en fin de priodep est not Ap ;

Lintrt vers en fin de la priode p est not Ip ; Lamortissement vers en fin de la priode p estnotMp.

JI

P

Q

Principe

+ chaque dbut de priode p, on a une detteDp1, cest la somme qui restedue et cre un intrt Ip =Dp1i pendant la priode. la fin, de la priode, onrembourse lannuit Ap qui paye lintrt Ip et contribue au remboursementde la dette : Ap = Ip +Mp. La dette de dbut de priode p + 1 est alors Dp =Dp1Mp.

Cest lemmeprincipe que lamthode de calcul de la valeur actuelle dunesuite dannuits certaines temporaires (chapitre Annuits, 3.1) avec A0 = 0 eto la dette tait note V au lieu deD.

JI

P

Q

On rsume la situation par priode dans un tableau, appel

tableau damortissement.

JI

P

Q

Tableau damortissement

PriodeCapital d en dbut

de priodeIntrt de lapriode

Amortissementde la priode

Annuit dela priode

1 D0 I1 =D0i M1 A1 = I1+M12 D1 =D0M1 I2 =D1i M2 A2 = I2+M23 D2 =D1M2 I3 =D2i M3 A3 = I3+M3... ... ... ... ...p Dp1 =Dp2Mp1 Ip =Dp1i Mp Ap = Ip+Mp... ... ... ... ...n Dn1 =Dn2Mn1 In =Dn1i Mn An = In+Mn

La dette en fin de ne priode (donc en dbut de n + 1e) doit tre totalementpaye donc

+ Dn =Dn1Mn = 0.

JI

P

Q

Cot de lemprunt

La somme rembourse au total est la somme de toutes les annuits verses,cest--dire A1+A2+ +An,

la somme emprunte au dbut estD0

le cot de lemprunt est donc

+ A1+A2+ +AnD0.

JI

P

Q

Somme restant payer

La somme qui reste payer au dbut de la priode p+1 est la valeur actuelledes np annuits restantes (cest la sommequi va tre rembourse par les npannuits restantes, intrt compris).

Daprs le chapitre Annuits, 3.1, on a donc

+ Dp =n

k=p+1Ak(1+ i )pk

Pour chaque valeur de k comprise entre p+1 et n, on calcule Ak(1+ i )pk puison fait la somme de tous les termes calculs.

Dp = Ap+1(1+ i )1+Ap+2(1+ i )2+ +An1(1+ i )(n1p)+An(1+ i )(np).

JI

P

Q

Somme emprunte

En particulier, la somme due en dbut de premire priode, D0, est la sommeemprunte.

Lors dun emprunt sur n priodes, au taux i par priodes, en remboursant Ak la priode k (k = 1,2, . . . ,n), on peut emprunter

+ D0 =n

k=1Ak(1+ i )k

Pour chaque valeur de k comprise entre 1 et n, on calcule Ak(1+ i )k puis onfait la somme de tous les termes calculs.

D0 = A1(1+ i )1+A2(1+ i )2+ +An1(1+ i )(n1)+An(1+ i )n.

JI

P

Q

Amortissement

On peut relier lamortissement dune priode lamortissement de la priodeprcdente.

Mp+1 = (1+ i )Mp+Ap+1Ap.

JI

P

Q

En effet, Ap+1 =Mp+1+ Ip+1 donc Mp+1 = Ap+1 Ip+1.Puis,

Ip+1 =Dp i donc Mp+1 = Ap+1Dp i .Puis

Dp =Dp1Mpdonc

(1) Mp+1 = Ap+1Dp1i +Mp i .Or,

Dp1i = Ip et Ap =Mp+ Ipdonc

(2) Dp1i = ApMp.En reportant (2) dans (1), on obtient

Mp+1 = Ap+1Ap+Mp+Mp i = (1+ i )Mp+Ap+1Ap.

JI

P

Q

2. LE CAS PARTICULIER DES ANNUITS CONSTANTES

2.1. Somme empruntable.

Dans le cas gnral, on a vu que

D0 = A1(1+ i )1+A2(1+ i )2+ +An1(1+ i )(n1)+An(1+ i )n.

Ici,A1 = A2 = = An1 = An = a.

On a donc

D0 = a[(1+ i )1+ (1+ i )2+ + (1+ i )(n1)+ (1+ i )n] .

On reconnat la somme des n premiers termes dune suite gomtrique de pre-mier terme (1+ i )1 et de raison (1+ i )1, donc

D0 = a(1+ i )11 (1+ i )n

1 (1+ i )1 = a1 (1+ i )n

i.

JI

P

Q

Lors dun emprunt pendant n priodes, au taux i par priode, en remboursanta par priode, on peut emprunter

+ D0 = a1 (1+ i )n

i.

Voir le chapitre Annuits, 3.2.2.

JI

P

Q

2.2. Valeur de lannuit.

Lorsquon veut acheter un bien, on connat la valeur de ce bien, cest cettesomme D0 quon veut emprunter. Quelles annuits doit-on payer pour rem-bourser cet emprunt lors dun emprunt pendant n priodes, au taux i par p-riode annuits constantes ?

On a vu que

D0 = a1 (1+ i )n

i.

donc

+ a =D0 i1 (1+ i )n .

JI

P

Q

!Les expressions

D0 = a1 (1+ i )n

iet

a =D0 i1 (1+ i )n

ne sont que deux expressions diffrentes dune mme formule.

Nen retenez quune et retrouvez lautre immdiatement.

JI

P

Q

2.3. Dette en dbut de priode.

Dans le cas gnral, on a vu que

Dp = Ap+1(1+ i )1+Ap+2(1+ i )2+ +An1(1+ i )(n1p)+An(1+ i )(np).

Ici,Ap+1 = Ap+2 = = An1 = An = a.

On a donc

Dp = a[(1+ i )1+ (1+ i )2+ + (1+ i )(np1)+ (1+ i )(np)] .

On reconnat la somme des np premiers termes dune suite gomtrique depremier terme (1+ i )1 et de raison (1+ i )1, donc

Dp = a(1+ i )11 (1+ i )(np)

1 (1+ i )1 = a1 (1+ i )pn

i.

JI

P

Q

Lors dun emprunt pendant n priodes, au taux i par priode, en remboursanta par priode, la dette en dbut de p+ 1e priode (cest--dire, la dette aprspaiement de lannuit de pe priode) est

+ Dp = a1 (1+ i )pn

i.

JI

P

Q

2.4. Lien entre somme emprunte et dette.

Il nest pas ncessaire de connatre lannuit pour calculer la dette en dbut dep+1e priode partir de la somme emprunte. En effet, on a

Dp = a1 (1+ i )pn

i

et

a =D0 i1 (1+ i )n

donc

Dp =D0 i1 (1+ i )n

1 (1+ i )pni

=D01 (1+ i )pn

1 (1+ i )npuis, en multipliant numrateur et dnominateur par (1+ i )n, on obtient

Dp =D0 (1+ i )n (1+ i )p

(1+ i )n1 .

JI

P

Q

Lors dun emprunt de D0, pendant n priodes, au taux i par priode, la detteen dbut de p+1e priode (cest--dire, la dette aprs paiement de lannuit depe priode) est

+ Dp =D0 (1+ i )n (1+ i )p

(1+ i )n1 .

JI

P

Q

2.5. Amortissement.

Dans le cas gnral, on a vu la relation

Mp+1 = (1+ i )Mp+Ap+1Ap.Ici, Ap+1 = Ap donc

Mp+1 = (1+ i )Mp.

+

#

"

!Dans un emprunt par annuits constantes, les

amortissements sont en suite gomtrique de raison 1+ i .

JI

P

Q

Le premier amortissement est

M1 = A1 I1 = aD0i .Or,

a =D0 i1 (1+ i )n

donc

M1 =D0i (1+ i )n

1 (1+ i )n =D0i

(1+ i )n1.

PuisqueMp = (1+ i )Mp1, on aMp = (1+ i )p1M1 et donc

Mp =D0 i (1+ i )p1

(1+ i )n1.

JI

P

Q

3. UN EXEMPLE

On emprunte un capital de 76000e au taux dintrt annuel 10% pour 5 ans.Les remboursements se font la fin de chaque anne par annuits constantes.Le montant de chaque annuit est

a =D0 i1 (1+ i )n = 76000

0,1

1 11,15

= 20048,61e.

Le capital d en dbut de 1re anne est doncD0 =76000e. Pendant la premireanne, cette somme produit un intrt, en euros, de

I1 =D0i = 760000,1= 7600.Lannuit est A1 =20048,61e, de sorte que lamortissement en euros de cettepremire anne est

M1 = A1 I1 = 20048,617600= 12448,61.

JI

P

Q




Annuit dela priode

1 76000e 7600e 12448,61e 20048,61e2345

JI

P

Q

Le capital d en dbut de 1re anne est D0=76000e. Lamortissement de cettepremire anne est M1 =12448,61e donc le capital d en dbut de 2e anneest, en euros,

D1 =D0M1 = 7600012448,61= 63551,39.Pendant la deuxime anne, cette somme produit un intrt, en euros, de

I2 =D1i = 63551,390,1= 6355,14.Lannuit est A2 =20048,61e, de sorte que lamortissement en euros de cettedeuxime anne est

M2 = A2 I2 = 20048,616355,14= 13693,47.

JI

P

Q




Annuit dela priode

1 76000e 7600e 12448,61e 20048,61e2 63551,39e 6355,14e 13693,47e 20048,61e345

JI

P

Q

En rptant ce quon a fait pour la deuxime anne, on construit pas--pas letableau




Annuit dela priode

1 76000e 7600e 12448,61e 20048,61e2 63551,39e 6355,14e 13693,47e 20048,61e3 49857,92e 4985,80e 15062,82e 20048,61e4 34795,10e 3479,51e 16569,10e 20048,61e5 18226e 1822,6e 18226e 20048,61e

JI

P

Q

Mthode rapide

Le montant de chaque annuit est obtenu par

Ap = a =D0 i1 (1+ i )n .

En utilisant la formule

Dp = a1 (1+ i )pn

ion remplit rapidement la colonne capital d. En utilisant

Ip =Dp1i ,on remplit alors rapidement la colonne intrt. Enfin, en utilisant

Mp = Ap Ip,on remplit rapidement la colonne amortissement.

Tout cela est facilement programmable avec un logiciel tableur.

JI

P

Q

Un autre exemple, de calcul de prt immobilier, est disponible sur

http://www.univ-montp3.fr/miap/ens/AES/XA100M/

1. section1Le cas gnral2. section1Le cas particulier des annuits constantes2.1. section2Somme empruntable2.2. section2Valeur de l'annuit2.3. section2Dette en dbut de priode2.4. section2Lien entre somme emprunte et dette2.5. section2Amortissement

3. section1Un exemple

indivis

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