incertitudes, risques et environnement
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Incertitudes, risques et environnement. Quelques problèmes mathématiques pour un industriel SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement ». E. de Rocquigny, EDF R&D Ing. Senior « Statistiques, simulation dans les risques et l’environnement » - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
© EDF, E. de Rocquigny
Incertitudes, risques et
environnementQuelques problèmes mathématiques pour un industriel
SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement »
E. de Rocquigny, EDF R&DIng. Senior « Statistiques, simulation dans les risques et l’environnement »Coordinateur du Programme « Incertitudes » / réseau européen ESReDA
SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement », 2007© EDF, E. de Rocquigny
Incertitudes, risques et environnement
• Des exemples « point de départ »
• Cadre de modélisation général et panorama des problématiques
• Deux problématiques particulières• Estimation de risque via propagation d’incertitudes• Identification de variabilité par approche inverse
probabiliste / assimilation
SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement », 2007© EDF, E. de Rocquigny
ExemplesEnjeu principal Exemple Domaine
Justification maîtrise d’impacts
Maîtrise des émissions industrielles (e.g. CO2)
Métrologie
Justification risques liés à l’environnement
Niveaux marins extrêmes et calage des centrales
Stat. Extrêmes pour Dimensionnement d’une protection
Optimisation de l’exploitation / contexte environnemental
Productible éolien Optimisation technico-économique sous incertitude
Thermique Nucléaire Renouvelable / hydraulique
SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement », 2007© EDF, E. de Rocquigny
Thermique classique: Émissions de CO2
Fuel tons
Carbon %
Emission
K Factor
t combust.
Carbone %
Emission
FE Facteur
Finalité Déclarer rejets polluants d’un site industriel (ex : tCO2 annuelles) avec x% de précision
>> justification règlementaire + optimisation chaîne/marché d’émissions
Critère %inct CO2 < x %
Sources/modèle
Erreurs capteurs – variabilité naturelle charbon – méconnaissance du process
Modèle phys. = formule analytique
Propagation
)(
)var(.)(
)(.2
1% 2
1
2
1
ZE
Zkzz
ZEincz
²1
2
iX
N
i iY Inc
X
YInc
Source d’incertitude n°i
Sensibilité de la variable d’intérêt à la source n°i
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Zt = niveau de mer complet
x(t) = marée astro. déterministe
Yt = décote de basse mer (aléatoire)
Estimer les niveaux de retour rares de la variable Z superposant un signal déterministe complexe et une variable aléatoire.
(stat. extrêmes + simulation)
Niveaux marins extrêmes et centrales
tt YtxZ )(
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Variabilité du vent et production éolienne
Courbe puissance = P(vitesse)Courbe puissance = P(vitesse)
On mesure le vent ici (direction, vitesse)
On mesure le vent ici (direction, vitesse)
On veut prévoir le vent ici (direction, vitesse)
On veut prévoir le vent ici (direction, vitesse)
Logiciel WASP (équations
déterministes)
Logiciel WASP (équations
déterministes)
Atlas des vents
Vitesse : loi de Weibull pour chaque direction
Atlas des ventsAtlas des vents
Vitesse : loi de Weibull pour chaque direction
Finalité Comprendre le risque de mésestimation du productible – hiérarchiser les incertitudes – optimiser le lieu des éoliennes
Critère %inc sur productible
Sources/modèle
Erreurs d’estimation du vent (erreur spatiale, échantill. Temporel …); Inc. de modèleModèle intrinsèquement statistique du vent / du productible
Quantification / propagation
Estimation statistique (moments, max. vraisemblance …)
Propagation par cumul quadratique simple
Courbe puissance = P(vitesse)
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Cadre commun de modélisation
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Vers un cadre méthodo. commun …
Objet « physico-industriel »Variabilité
Sources d’incertitudes
Enjeux:Sûreté
Performance
Environnement …
(soumis à risque)
Variables sources
Variabilité, aléas
Imprécisions, erreurs de modèles etc…
Modèles chaînés/couplés
Formules analytiques (e.g. métrologie)
Equ. Dériv. Part.. (physique)
Modèles logiques de fiabilité, économétriques …
Critères sur des variables de sortie
Dépassement de seuil
% dispersion …
Finalités de l’étude
Justification, hiérarchisation
Optimisation, validation …
Objet « physico-industriel »Variabilité
Sources d’incertitudes
Enjeux:Sûreté
Performance
Environnement …
(soumis à risque)
Variables sources
Variabilité, aléas
Imprécisions, erreurs de modèles etc…
Modèles chaînés/couplés
Formules analytiques (e.g. métrologie)
Equ. Dériv. Part.. (physique)
Modèles logiques de fiabilité, économétriques …
Critères sur des variables de sortie
Dépassement de seuil
% dispersion …
Finalités de l’étude
Justification, hiérarchisation
Optimisation, validation …
SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement », 2007© EDF, E. de Rocquigny
Cadre de modélisationCadre de modélisation
Var. aléatoires (sourcesd’incert.)(pas toujours observables)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
Var. aléatoires (sourcesd’incert.)(pas toujours observables)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
Cadre de modélisation (physico-probabiliste)
SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement », 2007© EDF, E. de Rocquigny
Cadre de modélisationCadre de modélisation
Var. aléatoires (sourcesd’incert.)(pas toujours observables)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
Var. aléatoires (sourcesd’incert.)(pas toujours observables)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
Cadre de modélisation (physico-probabiliste)
x, d z = G(x, d)
Var. sources d’incertitudes : incertaines,« observables » (stat. ou jug. d’expert)
Var. fixes : décisionnelles, de scénario, ou peu incertaines, ou incertaines mais « pénalisées » en déterministe
Var. finales : incertaines, non observables, calculables par le modèle physico-industriel G(.,.)
G
Fonction déterministe ± complexe :représentant l’objet physico-industriel
SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement », 2007© EDF, E. de Rocquigny
Cadre de modélisationCadre de modélisation
Var. aléatoires (sourcesd’incert.)(pas toujours observables)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
Var. aléatoires (sourcesd’incert.)(pas toujours observables)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
Cadre de modélisation (physico-probabiliste)
x, d z = G(x, d)
Var. sources d’incertitudes : incertaines,« observables » (stat. ou jug. d’expert)
Var. fixes : décisionnelles, de scénario, ou peu incertaines, ou incertaines mais « pénalisées » en déterministe
Var. finales : incertaines, non observables, calculables par le modèle physico-industriel G(.,.)
G
Fonction déterministe ± complexe :représentant l’objet physico-industriel
X, d Z = G(X, d)
L’incertitude sur x est modélisée par le vecteur aléatoire
X ~ fX(x \X)
L’incertitude résultante sur z est un v.a. suivant la loi (a priori très complexe)
Z ~ fZ(z \X , d)
G
d reste déterministe
cZ = F(fZ (z\X , d)On s’intéresse généralement à un critère d’incertitude bien spécifique
cZ = P(z > zs), var Z ,)(
)var(.
ZE
Zk
X, d Z = G(X, d)
L’incertitude sur x est modélisée par le vecteur aléatoire
X ~ fX(x \X)
L’incertitude résultante sur z est un v.a. suivant la loi (a priori très complexe)
Z ~ fZ(z \X , d)
G
d reste déterministe
cZ = F(fZ (z\X , d)On s’intéresse généralement à un critère d’incertitude bien spécifique
cZ = P(z > zs), var Z ,)(
)var(.
ZE
Zk
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Cadre de modélisationCadre de modélisationLes grandes étapesX, d Z = G(X, d)
L’incertitude sur x est modélisée par le vecteur aléatoire
X ~ fX(x \X)
L’incertitude résultante sur z est un v.a. suivant la loi (a priori très complexe)
Z ~ fZ(z \X , d)
G
d reste déterministe
cZ = F(fZ (z\X , d)On s’intéresse généralement à un critère d’incertitude bien spécifique
cZ = P(z > zs), var Z ,)(
)var(.
ZE
Zk
X, d Z = G(X, d)
L’incertitude sur x est modélisée par le vecteur aléatoire
X ~ fX(x \X)
L’incertitude résultante sur z est un v.a. suivant la loi (a priori très complexe)
Z ~ fZ(z \X , d)
G
d reste déterministe
cZ = F(fZ (z\X , d)On s’intéresse généralement à un critère d’incertitude bien spécifique
cZ = P(z > zs), var Z ,)(
)var(.
ZE
Zk
Etape A Spécifier le problème
Choisir x, d, G(.,.) et un critère (CZ = P(Z > zs) ou var Z …)
Sciences de la décision, analyse du risque, cadre classique ou bayésien …
Etape B Quantifier les sources Uncertainty modelling
Modéliser X en estimant X d’après (Xj )j ou expertise
Echantillonnage paramétrique classique ou bayésien
Mais aussi : non-paramétrique, copules (loi jointe) …
Etape C Propager
U. Propagation / U. Analysis
Estimer fZ (ou plutôt CZ ) Taylor, Monte-Carlo et accélérées, Form-Sorm, Plans d’Exp./Surfaces de Réponse …
Etape C’
Hiérarchiser l’importance des sources Sensitivity analysis
Estimer des SX (selon CZ)
SX= ,
Idem + RCC/ PRCC, indices de Sobol estimés par MCS, quasi-MC … , FAST,
N
i
i
i
XZCorr
XZCorr
1
)²,(
)²,(
)(
])\[(
ZVar
XZEVar i
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Deux problématiques
• Sujet n° 1 – Estimation de risque via propagation d’incertitudes
• Sujet n° 2 – Identification de variabilité par approche inverse probabiliste / assimilation
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Estimation de risque via propagation d’incertitudes
• Si Cz=var(Z), « facile » : Monte-Carlo, Approx. Différentielle, surfaces de réponses « standard », chaos polynômial …
• Si Cz=P[Z>zs] « rare » et Z=G(X) « lourd » >> difficile (d’être robuste)
Variables (sources d’incert.)(souvent prises aléatoires)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
Variables (sources d’incert.)(souvent prises aléatoires)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
B. Quantif. des sources par statistiques/expertise
fX(x \X)
B. Quantif. des sources par statistiques/expertise
fX(x \X)
A. Spécification du problème : critères et chaîne variables/modèles
xCZ =F(fZ)
z
A. Spécification du problème : critères et chaîne variables/modèles
A. Spécification du problème : critères et chaîne variables/modèles
xCZ =F(fZ)
z
fZ(z\X)C. Propagation d’incertitudes fZ(z\X)C. Propagation d’incertitudes
C’. Hiérarchisation des sources / Sensi. Anal.SX i C’. Hiérarchisation des sources / Sensi. Anal.SX i
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Estimation de risque via propagation d’incertitudes
• Estimer une intégrale (ultra-complexe)
• Alternatives classiques– Intégration numérique (pb. de la dimension de X et du
contrôle d’ erreur)– Simulation (Monte-Carlo, importance sampling …)– Optimisation Form-Sorm et dérivées– Surfaces de réponse (dont E.F. stochastiques)
• Vrai défi : justifier robustesse selon régularité de G …
X
xzdXGs XdXfzdXGzPPfs
)(1)),(( ),(
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Monte-Carlo
X
xzdXG XdXfPfs
)(1 ),(
N
iZG iN 1
011
nombre moyen de défaillances
obtenues parmi N tirages
(somme de 0 et de 1)=
N
PPVar FF
N 1Variance de l’estimateur :
Importance Sampling : on biaise la densité de tirage
Mais la convergence est moins rapide / contrôlable …
nj jX
jXzdXGf
Xf
Xf
nP
sj..1
),()(
~)(
11ˆ
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Form –Sorm et ses limites
G vrai <0
G FORM <0
G vrai <0
G vrai <0
G vrai <0
Principe : trouver par optimisation le point de dépassement de seuil (i.e. G(X,d) = zs) le plus proche de l’origine E(X) … puis approximer par une surface régulière
U1
U2
FORM SORM
Failure
Safe
G
U*
O
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La stratégie des surfaces de réponse
• On remplace G(.) (lourd en CPU) par une « surface de réponse »
• … i.e. approximant bien G(.) et se calcule vite– polynômes, chaos polynômial, réseaux de neurone …
SRSR
Grap h e d e f réq u ences
P ro b ab i l i t é 99 ,8 9 % d e -I n fin i à 5 8, 00 m
,0 0 0
,0 1 8
,0 3 5
,0 5 3
,0 7 0
0
1 76
3 52
5 28
7 04
4 7 , 5 0 5 1 , 8 8 5 6 , 2 5 6 0 , 6 3 6 5 , 0 0
10 000 t irag es 0 extern es
Prév isio n : Z c
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.) uxGxuxGxG
l
ll ).(~
)()(~
)(
Estimation aux OMS / GLMl̂
(.)~G
•(Rarement mentionné) bien contrôler l’incertitude du résidu pour un calcul conservatif de Pf demande statistiquement beaucoup de calculs
(.)~G
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… le cas difficile de physiques irrégulières
Xi
Z=G(X)
zs
Quantile prédit
Prédit par la SR )(~
xG
Quantile vrai
uxGxuxGxGl
ll ).(~
)()(~
)(
L’hypothèse gaussienne sur u fausse l’estimation de la probabilité …
Mieux contrôler u suppose des calculs supplémentaires a priori nombreux
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Au-delà de la propagation simple …
Cumuler les « incertitudes des incertitudes »
X, d Z = G(X, d)
La source d’incertitude sur x est modélisée par le vecteur aléatoire
X ~ fX(x \X)
G
cZ = F(fZ (z\X , d))On s’intéresse généralement à un critère d’incertitude bien spécifique
cZ = P(z > zs), var Z ,
L’estimation deX à données finies produit => variance non négligeable sur
Même à X parfaitement connu, contraintes CPU de propagation => variance d’estimation parfois non négligeable
X̂)(ˆ
XzC
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Cadre de modélisation
Variables intermédiaires, prédites par les modèles, et observables
Var. aléatoires (sources d’incert.)(pas toujours observables)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
Cadre de modélisation
Variables intermédiaires, prédites par les modèles, et observables
Var. aléatoires (sources d’incert.)(pas toujours observables)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
Le problème n°2 : inverse
x, d
y = H(x, d)
z = G(x, d)On a des observations, non pas sur X, mais sur Y (via le bruit U) Ym=Y + U
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Variables (sources d’incert.)(souvent prises aléatoires)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
Variables (sources d’incert.)(souvent prises aléatoires)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
C. Propagation d’incert.
B. Quantif. des sources (2)indirecte par identification /assimilation via modèles
B. Quantif. des sources (1)directe par statistiques/expertise
A. Spécification des critères et de la chaîne variables/modèles
C’. Hiérarchisation des sources d’incert.
Variables (sources d’incert.)(souvent prises aléatoires)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
Variables (sources d’incert.)(souvent prises aléatoires)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post-traitées )
C. Propagation d’incert.
B. Quantif. des sources (2)indirecte par identification /assimilation via modèles
B. Quantif. des sources (1)directe par statistiques/expertise
A. Spécification des critères et de la chaîne variables/modèles
C’. Hiérarchisation des sources d’incert.
L’étape inverse dans le processus « incertitudes »
•B, C et C’ sont relativement « classiques » pour les spécialistes d’incertitudes
•B’ l’est beaucoup moins … elle a un potentiel industriel énorme ! (maîtrise dynamique des incertitudes)
fX(x \)
(yi)i
CZ (fZ)
fZ
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L’étape inverse dans le processus « incertitudes » (stationnaire)
Variables (sources d’incert.)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs
Variables (sources d’incert.)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs
Observations (Yj)j
Modèle a priori Identification/recalage
Incertitudes a priori
(« ébauche ») fb(x)
Variables (sources d’incert.)
Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc.)
Critères quantitatifs
Modèle a posteriori (ou « calé »)
-Performance sur critère a priori
CZ (b) (e.g. proba. de dépassement de
seuil de sûreté)
-Hiérarchisation de l’importance a priori des incertitudes
-Performance sur critère a
posteriori CZ (a)
(e.g. proba. de
dépassement de seuil de sûreté)
-Hiérarchisation de l’importance a posteriori des incertitudes
Incertitudes a
posteriori fa(x)
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Formalisation du problème (1)
H est déterministe et connu, mais lourd à calculer (e.g. Elém. Finis) généralement non-linéaire
On observe les y avec des écarts mesure-modèle incertains (supposés additifs) mais indép. et de lois connues (e.g. centrée de variance R, mais évent. dépendante de dj et non gaussienne) ou non )(\~* jdUju
UfjU
x, d
y = H(x, d)
z = G(x, d)
dj = conditions de fonctionnement / d’essais variant de façon déterministe et connue selon les n observations
Xj* est inobservable … on cherche sa pdf
Sa taille vectorielle = 3 – 15 …
Une partie du vecteur Xj* est de loi éventuellement connue … manque
)/(~
)/(~* un
Xjun
Xj
un
knXj
kn
Xj
kn
jun
jkn
j xfX
xfX
X
XX
un
kn
unX
njUdXHUYY jjjjjjm ..1*,),*(**
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x, d
y = H(x, d)
z = G(x, d)
Connaissant ainsi que et par calcul numérique (lourd)
Identifier de sorte que
njjUjjm dY
..1,,
),( dxH
unX
knX
jjjjm UdXHY *),*(
njUdXHY jjjjm ..1*,),*(
Formalisation du problème (2)
SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement », 2007© EDF, E. de Rocquigny
njUdXHY jjjjm ..1*,),*( x, d
y = H(x, d)
z = G(x, d)
Par exemple, maximiser la vraisemblance (en ajustant )
Linéaire gaussien
…Non linéaire non Gaussien
jmjjmjjmjjm
unXjm
xHyHVHRxHyyLL )()'()'(...)\( 1
unX
Formalisation du problème (3)
j xu
juxHy
unXXjU
jj
xuxHy
unXXj
u
Uun
Xnjjm
jjjjm
j
jjjmj
j
udxdxfuf
udxdxfufyLik
**,**)(
***)(
*..1
**1)\*(*)(
**]1)\*(*)[(\
SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement », 2007© EDF, E. de Rocquigny
Algorithmes de résolution
– Max. Vraisemblance trop « gros » en général à optimiser en direct
– Idée : insérer un PE/SR adaptatif dans les algorithmes itératifs MV
• Linéarisation (adaptative) puis E-M gaussien (Circé)
• SAEM
• MCMC …
Cf. www.jds2006.fr/prob-ouverts.php
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Classification de quelques algorithmes …
• La 1ère question essentielle : en A.D., X* ne devient une v.a. que par erreur d’estimation : sa vraie valeur est unique, déterministe
P a p ie rs C E A (C ircé)
G aussien (X et U)
P a p ie r IN R IA /E D F (S A E M ) ?
Param. non gaussien (en X)
M ax. Vraisem blance
P a p ie r JU S S IE U
M éthode des mom ents
oui" Id e n tif ica tio n in trin sèq u e"
BLUE, 3/4DVar,KF ... (classique ou bayésien)
Cadre linéaire
P a p ie r IFP
Cadre non linéaire
non"A ss im ila tio n"
X * e s t-il a lé a to ire ?
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• Un modèle physique simplifié (analytique, à 4 var. incertaines) … mais à l’image d’un modèle physico-probabiliste industriel
• Critère d’intérêt = probabilité de débordement < 10-3
• On mesure (à bruits de variances connues) :
• 4 variables aléatoires, triangulaires ou gaussiennes : 3 v.a. de paramètres inconnus, à identifier
L
ZmZv
Hdébit Q
Zc Ks (frottement)
Zd
V
Zv
ccm U
U
Bh
QhZ
UdXHUV
Z
V
ZY
.
),(*
*
1)1.(
Qe
teQ
kntmvsQ
XQQ
BLQdXXZZKXX
L’exemple numérique des crues
)(),( hZZdXGZ vseuil
5/3
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BL
ZZK
Qh
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SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement », 2007© EDF, E. de Rocquigny
Pour aller plus loin …
- Problème ouvert d’intérêt industriel – « Statistiques, mesures et calcul scientifique inverse », http://www.jds2006.fr/prob-ouverts.php
- de Rocquigny, La maîtrise des incertitudes dans un contexte industriel – Journ. Soc. Fran. Stat. n°147, 2006, pp.33-106
- GdR CNRS : MASCOT- Groupe « Incertitudes et Industrie » de l’Institut de Maîtrise des Risques : www.imdr-asso.fr