imn317 - chapitre 3 - analyse fréquentielle

IMN317Chapitre 3 - Analyse fréquentielle

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

23 septembre 2013

Analyse fréquentielle 1 / 194

Plan du chapitre

1 Transformée de Fourier à temps discret

2 Transformée en z

3 Classification des filtres


Transformée de Fourier à temps discret

Plan de la section

1 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuDTFT : définition, propriétés et calculRéponse en fréquence d’un système

2 Transformée en z



Transformée de Fourier à temps discret Transformée de Fourier à temps continu

Mise en contexte

Au chapitre précédent, on a vu que toute séquence peut êtrereprésentée comme une combinaison linéaire d’impulsions unitédécalée temporellement.

Une conséquence de cette propriété est d’avoir permis de définir unerelation entrée/sortie pour un système LTI dans le domainetemporel à l’aide de la convolution :

y [n] =∞∑

k=−∞x [k ]h[n − k ]



Mise en contexte

Dans ce chapitre, on va définir cette même relation entrée/sortie, maiscette fois-ci dans le domaine fréquentiel.

On verra qu’il est parfois utile de savoir exprimer les effets d’unsystème en terme de fréquences plutôt qu’en termed’échantillons.



Mise en contexte

Pour obtenir cette représentation fréquentielle, on étudiera latransformée de Fourier à temps discret, qui propose d’exprimer uneséquence discrète à l’aide d’un espace continu de fréquences.

Avant d’en arriver là, quelques rappels sur la transformée de Fouriercontinue est nécessaire.



Définition

Soit xa(t) un signal continu, sa représentation dans le domainefréquentiel est donnée par la transformée de Fourier à tempscontinu :

Xa(iΩ) = F [xa(t)] =

∫ ∞−∞

xa(t)e−iΩt dt



Définition

Le signal xa(t) peut être retrouvé à partir de sa transformée de Fouriergrâce à la transformée de Fourier inverse :

xa(t) = F−1 [Xa(iΩ)] =1

2π

∫ ∞−∞

Xa(iΩ)eiΩt dΩ

On notera alors cette paire

xa(t) F↔ Xa(iΩ)



Définition

En général, Xa(iΩ) sera une fonction complexe, avec −∞ < Ω <∞.Il est donc possible de l’exprimer sous forme polaire :

Xa(iΩ) = |Xa(iΩ)| eiθa(Ω)

avec θa(Ω) = arg (Xa(iΩ)).

Chacune de ces parties porte un nom :

|Xa(iΩ)| est le spectre d’amplitude de la TF ;

θa(Ω) est le spectre de phase de la TF.



Définition

La transformée de Fourier à temps continu d’un signal xa(t) existe sice signal respecte les conditions de Dirichlet :

Le signal possède un nombre fini de discontinuités et unnombre fini de maximums et minimums sur tout intervalle fini.

Le signal est absolument intégrable, c’est-à-dire que∫ ∞−∞|xa(t)| dt <∞



Énergie d’un signal

L’énergie Ex d’un signal continu xa(t) est donnée par

Ex =

∫ ∞−∞|xa(t)|2 dt

Il s’agit de la version continue de la définition de l’énergie vue auchapitre 2 :

Ex =∞∑

n=−∞|x [n]|2




On peut montrer qu’il est aussi possible d’exprimer l’énergie d’unsignal dans le domaine fréquentiel.




Si on a que

xa(t) F↔ Xa(iΩ)

alors

Ex =

∫ ∞−∞|xa(t)|2 dt =

12π

∫ ∞−∞|Xa(iΩ)|2 dΩ

Cette propriété est connue sous le nom d’identité de Parseval.




Il est important de noter qu’un signal continu absolument intégrablexa(t) possède toujours une énergie finie.

∫ ∞−∞|xa(t)| dt <∞⇒

∫ ∞−∞|xa(t)|2 dt <∞



Largeur de bande d’un signal

On définit maintenant un nouveau concept relatif aux fréquences quel’on retrouve dans un signal, la largeur de bande.

Un signal continu à énergie finie sera dit à bande complète si sonspectre de fréquences occupe l’étendu −∞ < Ω <∞, tandis qu’il seradit à bande limitée si seule une portion de cet étendu est couvert parles fréquences du signal.




Un signal à bande limitée idéal aura un spectre qui sera nul endehors d’un certain intervalle de fréquences Ωa ≤ |Ω| ≤ Ωb,c’est-à-dire

Xa(iΩ) =

0 si 0 ≤ |Ω| < Ωa

Xa(iΩ) si Ωa ≤ |Ω| ≤ Ωb

0 si Ωb < |Ω| <∞

On verra plus tard qu’un tel signal ne peut être généré en pratique.Pour dire qu’un signal est à bande limitée, il suffit que son énergie soitinférieur à un certain seuil ε à l’extérieur de l’intervalle.




On appelle la largeur de bande d’un signal l’intervalle de fréquencesoù se trouve la plus grande partie de son énergie.

Dans le cas précédent, la largeur de bande du signal xa(t) serait

Ωa ≤ |Ω| ≤ Ωb

On dispose maintenant des atouts nécessaires pour traverser dans lemerveilleux monde du discret...


Transformée de Fourier à temps discret DTFT : définition, propriétés et calcul

Définition

La transformée de Fourier à temps discret (DTFT) d’un signal àtemps discret x [n] est la représentation de celui-ci en terme d’uneséquence d’expontielles complexes

eiωn, avec ω ∈ R qui est la

variable des fréquences.



Définition

La DTFT d’une séquence x [n] est définie par

X (eiω) = F [x [n]] =∞∑

n=−∞x [n]e−iωn

Notons la différence des symboles : F pour la transformée de Fourierà temps continu et F pour la DTFT.



Exemple 3.1



Définition

De manière équivalente à tout à l’heure, on définit la DTFT inverse par

x [n] = F−1[X (eiω)

]=

12π

∫ π

−πX (eiω)eiωn dω

On notera alors

x [n]F↔ X (eiω)



Définition

Une question se pose alors : si la DTFT d’un signal x [n] est unefonction continue pour ω, pourquoi l’intégrale de la DTFT inverse selimite-t-elle à l’intervalle [−π, π] ?



Périodicité de la DTFT

Contrairement à la transformée de Fourier continue, la DTFT d’unsignal discret est une fonction périodique de période 2π pour ω. Eneffet,

X (ei(ω+2kπ)) =∞∑

n=−∞x [n]e−i(ω+2kπ)n

=∞∑

n=−∞x [n]e−iωne−i2kπn

=∞∑


= X (eiω)



Spectres d’amplitude et de phase

En général, la DTFT X (eiω) d’un signal est une fonction complexed’une variable réelle et peut être écrit sous la forme

X (eiω) = X<(eiω) + X=(eiω),

où X<(eiω) et X=(eiω) sont respectivement les parties réelle etimaginaire de la DTFT.




On peut aussi exprimer la DTFT X (eiω) d’un signal sous la formepolaire :

X (eiω) =∣∣∣X (eiω)

∣∣∣ eiθ(ω) avec θ(ω) = arg (X (eiω))

Comme tout à l’heure, on a donné des noms à chacune des parties decette représentation :∣∣X (eiω)

∣∣ est le spectre d’amplitude

θ(ω) est le spectre de phase




Notons finalement qu’un lien existe entre les deux représentationsde la DTFT.

En effet, on a que

tan (θ(ω)) =X=(eiω)

X<(eiω)




Géométriquement, le spectre de phase est l’angle par rapport à l’axedes x lorsqu’on considère le nombre complexe X (eiω) dans le plan.

Le calcul avec l’équation

tan (θ(ω)) =X=(eiω)

X<(eiω)

s’explique alors très bien d’un point de vue géométrique.



Condition de convergence

Une série infinie de la forme

X (eiω) =∞∑


peut ne pas converger. Or, on dira que la DTFT d’un signal existe sila sommation converge.



Condition de convergence

Une condition suffisante pour assurer la convergence de la série estque la séquence x [n] soit absolument sommable, c’est-à-dire que

∞∑n=−∞

|x [n]| <∞

En effet,

∣∣∣X (eiω)∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∞∑


∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=−∞|x [n]|

∣∣∣e−iωn∣∣∣ ≤ ∞∑

n=−∞|x [n]| <∞



DTFT usuelles

62 FOURIER ANALYSIS [CHAP. 2

Given X(eJw) , the sequence x (n ) may be recovered using the inverse DTFT,

The inverse DTFT may be viewed as adecomposition of x (n ) into alinear combination of all complex exponentials that have frequencies in the range -17 i w 5 IT. Table 2- 1 contains a list of some useful DTFT pairs.

Table 2-1 Some Common DTFT Pairs

Sequence Discrete-Time Fourier Transform

6(n)

S(n - no) 1

eJ" wO

anu(n), la1 < I

-anu(-n - I ) , la1 > 1

(n + I)anu(n), la1 < 1

EXAMPLE 2.5.2 Suppose X(eJ") consists of an impulse at frequency w = wo:

X(eJ") = 6(w - wO)

Using the inverse DTFT, we have

Note that although x(n) is not absolutely summable, by allowing the DTFT to contain impulses, we may consider the DTFT of sequences that contain complex exponentials. As another example, if

X(eJ") = r 6 ( w - 9) + r 8 ( w + 9)

computing the inverse DTFT, we find x ( n ) = i e j w + ie-l"wo = cos(nwo)

2.6 DTFT PROPERTIES There are a number of properties of the DTFT that may be used to simplify the evaluation of the DTFT and its inverse. Some of these properties are described below. A summary of the DTFT properties appears in Table 2-2.

Periodicity

The discrete-time Fourier transform is periodic in w with a period of 2n: ~ ( ~ j w ) = x (,jW+zx) 1

This property follows directly from the definition of the DTFT and the periodicity of the complex exponentials:



Propriétés

On s’intéresse maintenant à certaines propriétés importantes de laDTFT.

Pour présenter celles-ci, on considère qu’on a les paires detransformées suivantes :

g[n]F↔ G(eiω) et h[n]

F↔ H(eiω)



Propriétés

Linéarité : αg[n] + βh[n]F↔ αG(eiω) + βH(eiω), avec α, β ∈ R

Inversion temporelle : g[−n]F↔ G(e−iω)

Décalage temporel : g[n − n0]F↔ e−iωn0G(eiω), avec n0 ∈ Z



Exemple 3.2



Propriétés

Décalage fréquentiel : eiω0ng[n]F↔ G(ei(ω−ω0)), avec ω0 ∈ R.

Dérivation en fréquences : ng[n]F↔ i dG(eiω)

dω



Exemple 3.3



Propriétés

Convolution : g[n] ∗ h[n]F↔ G(eiω) · H(eiω)

Modulation : g[n] · h[n]F↔ G(eiω) ∗ H(eiω), avec

G(eiω) ∗ H(eiω) =1

2π

∫ π

−πG(eiθ) · H(ei(ω−θ)) dθ



Propriétés

Soit l’énergie Eg d’une séquence, telle que définie dans le chapitre 2.

Eg =∞∑

n=−∞|g[n]|2

Comme dans le cas de la transformée de Fourier continue, on al’identité de Parseval qui met en relation le calcul d’énergie dans ledomaine temporel et dans le domaine fréquentiel :

Eg =∞∑

n=−∞|g[n]|2 =

12π

∫ π

−π

∣∣∣G(eiω)∣∣∣2 dω




Comme le spectre d’un signal à temps discret est une fonctionpériodique de période 2π pour ω, un signal à bande complèteoccupera en entier l’étendu des fréquences, soit −π ≤ ω ≤ π.

Un signal à bande limitée n’occupera quant à lui qu’une portion de cetétendu. Comme dans le cas des signaux continus, un signal à bandelimité idéal (c’est-à-dire nul en dehors d’un intervalle defréquences) ne peut être généré.



Calcul de la DTFT avec Matlab

Évaluer la DTFT d’une séquence dans Matlab est une tâche plutôtardue. On préférera évaluer celles-ci à la main.

C’est une fois la DTFT obtenue que Matlab peut s’avérer très utileavec des fonctions comme abs, angle, unwrap, real et imag.




Considérons par exemple la DTFT suivante :

X (eiω) =0.008− 0.033e−iω + 0.05e−2iω − 0.033e−3iω + 0.008e−4iω

1 + 2.37e−iω + 2.7e−2iω + 1.6e−3iω + 0.41e−4iω

À l’aide de Matlab, on peut facilement obtenir ses représentationsgraphiques.




0 0.5 11

0.5

0

0.5

1Real part

/

Ampl

itude

0 0.5 11

0.5

0

0.5

1Imaginary part

/

Ampl

itude

0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1Magnitude Spectrum

/

Mag

nitu

de

0 0.5 14

2

0

2

4Phase Spectrum

/

Phas

e, ra

dian

s




MATLAB>> k = 50;>> num = [0.008 -0.033 0.05 -0.033 0.008];>> den = [1 2.37 2.7 1.6 0.41];>> w = 0:pi/(k-1):pi;>> h = freqz(num, den, w);




MATLAB>> subplot(2,2,1)>> plot(w/pi,real(h));grid>> title(’Real part’)>> xlabel(’\omega/\pi’); ylabel(’Amplitude’)>> subplot(2,2,2)>> plot(w/pi,imag(h));grid>> title(’Imaginary part’)>> xlabel(’\omega/\pi’); ylabel(’Amplitude’)>> subplot(2,2,3)>> plot(w/pi,abs(h));grid>> title(’Magnitude Spectrum’)>> xlabel(’\omega/\pi’); ylabel(’Magnitude’)>> subplot(2,2,4)>> plot(w/pi,angle(h));grid>> title(’Phase Spectrum’)>> xlabel(’\omega/\pi’); ylabel(’Phase, radians’)


Transformée de Fourier à temps discret Réponse en fréquence d’un système

Définition

La réponse en fréquences d’un système LTI fournit une descriptioncomplète du système dans le domaine fréquentiel. La réponse enfréquence est la DTFT de la réponse impulsionnelle h[n].

H(eiω) =∞∑

n=−∞h[n]e−iωn



Définition

Comme tout DTFT qui se respecte, H(eiω) est une fonction complexeet peut être exprimée en terme de composantes réelle et imaginaire,de même qu’en fonction de son amplitude et de sa phase :

H(eiω) = H<(eiω) + H=(eiω) =∣∣∣H(eiω)

∣∣∣ eiθ(ω)

La quantité∣∣H(eiω)

∣∣ sera la réponse en amplitude du système, tandisque θ(ω) sera sa réponse en phase.



Définition

Rappelons que si la réponse en fréquences H(eiω) est une fonctioncomplexe, il n’en est pas de même pour les réponses en amplitudeet en phase, qui sont des fonctions réelles.

Pour un système ayant une réponse impulsionnelle réelle, on trouveraque la réponse en amplitude est une fonction paire, tandis que laréponse en phase est une fonction impaire.



Définition

Un petit rappel s’impose... Les différentes réponses qui permettent decaractériser un système LTI sont :

Réponse impulsionnelle : C’est le signal de sortie associé ausignal d’entrée δ[n]. On la note h[n].

Réponse en fréquences : C’est la DTFT de la réponseimpulsionnelle. On la note H(eiω).

Réponse en amplitude : C’est la norme de la réponse enfréquences. On la note

∣∣H(eiω)∣∣.

Réponse en phase : C’est la phase de la réponse en fréquences.On la note θ(ω)



Caractérisation fréquentielle d’un système LTI

À partir de la relation entrée/sortie pour un système LTI définie auchapitre précédent

y [n] = x [n] ∗ h[n],

on peut obtenir par DTFT que

Y (eiω) = H(eiω)X (eiω),

où H(eiω) est la réponse en fréquence du système.




De plus, en transformant l’équation précédente pour obtenir

H(eiω) =Y (eiω)

X (eiω)

on réussit à exprimer la réponse en fréquence d’un filtre comme leratio entre la DTFT du signal de sortie y [n] et celle du signald’entrée x [n].




On s’intéresse maintenant au cas des systèmes LTI à réponseimpulsionnelle finie.

Ceux-ci sont représentés dans le domaine temporel par une équationaux différences de la forme

y [n] =

N2∑k=N1

h[k ]x [n − k ]




En appliquant la DTFT de chaque côté et en utilisant les propriétés delinéarité et de décalage temporel, on trouve

Y (eiω) =

N2∑k=N1

h[k ]e−iωkX (eiω)

où X (eiω) et Y (eiω) sont respectivement les DTFT de x [n] et y [n].




On obtient ainsi

H(eiω) =Y (eiω)

X (eiω)=

M∑k=0

h[k ]e−iωk

qui est de forme polynomiale en eiω.




On procède de manière équivalente pour les systèmes LTI à réponseimpulsionnelle infinie, qui sont eux définis par une équation auxdifférences de la forme

N∑k=0

dky [n − k ] =M∑

k=0

pkx [n − k ]




En appliquant la DTFT de chaque côté et en utilisant les propriétés delinéarité et de décalage temporel, on trouve

N∑k=0

dk e−iωkY (eiω) =M∑

k=0

pk e−iωkX (eiω)

et donc

H(eiω) =Y (eiω)

X (eiω)=

∑Mk=0 pk e−iωk∑Nk=0 dk e−iωk

qui est une fonction rationnelle en eiω.



Forme de la réponse en fréquences

Systèmes FIR

H(eiω) =M∑

k=0

h[k ]e−iωk

Systèmes IIR

H(eiω) =

∑Mk=0 pk e−iωk∑Nk=0 dk e−iωk



Réponse en fréquences avec Matlab

Matlab peut être utilisé pour évaluer la réponse en fréquences d’unsystème.

Pour ce faire, on fait intervenir l’équation aux différences de celui-ci.

N∑k=0

dky [n − k ] =M∑

k=0

pkx [n − k ]

On considère le cas des systèmes IIR, mais pour les systèmes FIR, ilsuffit de poser d0 = 1 et dk 6= 0 pour k 6= 0.



Réponse en fréquences avec Matlab

On pose

a = [d0,d1, . . . ,dN ] et b = [p0,p1, . . . ,pM ]

Par la suite, il suffit d’appeler la fonction freqz(b,a,w), où w est unensemble de fréquences sur l’intervalle [0, π].



Exemple 3.4

Considérons le filtre moyenneur de longueur M vu au chapitre 2.Celui-ci était représenté par l’équation aux différences

y [n] =1M

M−1∑l=0

x [n − l]

Toujours au chapitre 2, on avait trouvé la réponse impulsionnelle dece filtre :

h[n] =

1M si 0 ≤ n ≤ M − 10 sinon



Exemple 3.4

On souhaite obtenir la réponse en fréquences de ce filtre.



Exemple 3.4

Avec Matlab, il est facile faire afficher les spectres d’amplitude et dephase.

MATLAB>> h = ones(1,5);>> [H,w] = freqz(h,1,256);>> amp = abs(H);>> plot(w,amp,’-’);>> ylabel(’Amplitude’); xlabel(’\omega’);>> legend(’M=5’);>> pha = angle(H)*180/pi;>> ylabel(’Phase, degres’);xlabel(’\omega’);>> legend(’M=5’);



Exemple 3.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Ampl

itude

M=5

(a) Spectre d’amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5150

100

50

0

50

100

Phas

e, d

egre

s

M=5

(b) Spectre de phase



Dépliement de phase

Le spectre de phase peut parfois présenter des sauts de 2π sur l’axevertical. Ce problème est du à la méthode de calcul du arctan dans lafonction angle.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5150

100

50

0

50

100

Phas

e, d

egre

s

M=5

Il ne faut pas confondre avec les sauts de π sur l’axe vertical, qui sonteux présents aux racines de la réponse impulsionnelle.



Introduction au filtrage

Une application des systèmes LTI à des signaux audio est de bloquercertaines fréquences tout en en laissant passer d’autres sansdistorsion.

En définissant adéquatement le spectre d’amplitude d’un filtre, on peuten arriver à grandement atténuer certaines fréquences.




Pour comprendre le processus de conception de filtres, considéronsun système LTI caractérisé par la réponse en amplitude

∣∣∣H(eiω)∣∣∣ =

1 si 0 ≤ |ω| ≤ ωc

0 si ωc < |ω| < π

Considérons aussi le signal d’entrée

x [n] = A cos (ω1n) + B cos (ω2n) avec 0 < ω1 < ωc < ω2 < π




On peut vérifier que le signal de sortie correspondant au signald’entrée x [n] sera de la forme

y [n] = A∣∣∣H(eiω1)

∣∣∣ cos (ω1n + θ(ω1)) + B∣∣∣H(eiω2)

∣∣∣ cos (ω2n + θ(ω2))




Or, le filtre, tel que défini par la réponse en amplitude

∣∣∣H(eiω)∣∣∣ =

1 si 0 ≤ |ω| ≤ ωc

0 si ωc < |ω| < π

viendra atténuer les fréquences supérieures à ωc . On a donc plutôt que

y [n] ≈ A∣∣∣H(eiω1)

∣∣∣ cos (ω1n + θ(ω1))




Comme le filtre laisse passer les bases fréquence (ω < ωc), mais vientatténuer les hautes (ω > ωc), on dira de ce filtre qu’il est passe-bas.

Plus tard, on verra les définitions formelles pour les filtres passe-bas,passe-haut et passe-bande.



Exemple 3.5



Exemple 3.5

Après avoir trouvé α0 = −6.76195 et α1 = 13.45633, on peut tracer laréponse en amplitude du filtre, pour vérifier qu’il correspond bien àl’objectif visé.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

5

10

15

20

25

30

Amplitude



Exemple 3.5

Soit le signal d’entrée x [n] = cos (0.1n) + cos (0.4n). Si on applique lefiltre précédent sur x [n] pour obtenir y [n], on aura que :

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Am

plitu

de

Temps n

y[n]cos[0.4n]cos[0.1n]cos[0.1n]+cos[0.4n]

Le filtre a-t-il fonctionné ?


Transformée en z

Plan de la section


2 Transformée en zIntroductionRetour sur la région de convergenceTransformée inversePropriétés de la TZFonction de transfert d’un système



Transformée en z Introduction

Mise en contexte

La DTFT définie à la section précédente est une fonction complexede la fréquence ω.

Elle permet d’avoir une représentation fréquentielle de signauxdiscrets et de systèmes LTI.



Mise en contexte

En raison de la condition de convergence

∞∑n=−∞

|x [n]| <∞,

il se peut que la DTFT d’une séquence n’existe pas. Il devient alorsimpossible d’utiliser cette représentation fréquentielle.



Mise en contexte

C’est cette problématique qui nous amène à définir unegénéralisation de la DTFT que l’on appèlera la transformée en z.

Celle-ci aura la particularité d’exister pour plusieurs séquences qui nepossèdent pas de DTFT.



Définition

Soient une séquence g[n].

On définit sa transformée en z, notée G(z) par

G(z) =∞∑

n=−∞g[n]z−n,

avec z ∈ C. On note alors la relation entre g[n] et G(z) par

g[n]Z↔ G(z).



Définition

Si on écrit la variable z dans sa forme polaire z = reiω, l’équationprécédente devient

G(reiω) =∞∑

n=−∞g[n]r−ne−iωn.



Définition

Si on compare avec la définition de la DTFT de la séquence g[n]

G(eiω) =∞∑

n=−∞g[n]e−iωn,

on constate que la TZ peut être interprétée comme la DTFT de laséquence r−ng[n].



Région de convergence

Comme pour la DTFT, on doit imposer des conditions deconvergence pour garantir l’existence de la transformée en z.

Une condition suffisante pour que la TZ d’une séquence existe estque

∞∑n=−∞

∣∣g[n]r−n∣∣ <∞.L’ensemble des valeurs de z pour lequel la TZ d’une séquence g[n]converge est noté Rg et appelé la région de convergence (ROC).




Quelques petites précisions avant de poursuivre...

Même si une séquence g[n] n’est pas absolument sommable, laséquence r−ng[n] peut l’être pour certains r .

Suivant ce raisonnement, même si la séquence g[n] ne possèdepas de DTFT, elle peut posséder une TZ avec une ROC Rg .

En général, la région de convergence Rg sera un anneau sur leplan complexe de la forme

Rg− < |z| < Rg+ avec 0 ≤ Rg− < Rg+ <∞.



Exemple 3.6




L’exemple précédent illustre une particularité pas très agréable de laTZ : deux séquences peuvent avoir la même TZ.

Il est donc nécessaire de toujours spécifier la région deconvergence associée à une TZ, puisque c’est ce qui permettra deles différencier.



Exemple 3.7




THE 2-TRANSFORM

Table 4-1 Common z-lkansform Pairs

[CHAP. 4

Sequence Region of Convergence

4.3 PROPERTIES Just as with the DTFT, there are a number of important and useful z-transform properties. A few of these properties are described below.

Linearity

As with the DTFT, the z-transform is a linear operator. Therefore, if x(n) has a z-transform X(z) with a region of convergence R,, and if y(n) has a z-transform Y (z) with a region of convergence R,,,

and the ROC of w(n) will include the intersection of R, and R,, that is,

R , contains R , n R,

However, the region of convergence of W(z) may be larger. For example, if x(n) = u(n) and yin) = u(n - I ) , the ROC of X(z) and Y(z) is Izl > 1. However, the z-transform of win) = x(n) - y(n) = S(n) is the entire z-plane.

Shifting Property

Shifting a sequence (delaying or advancing) multiplies the z-transform by a power of z. That is to say, if x(n) has a z-transform X (z),

Because shifting a sequence does not affect its absolute summability, shifting does not change the region of convergence. Therefore, the z-transforms of s (n) and x(n - no) have the same region of convergence, with the possible exception of adding or deleting the points z = 0 and z = oo.

Time Reversal

If x(n) has a z-transform X(z) with a region of convergence R, that is the annulus a < lzl < #I, the z-transform of the time-reversed sequence x(-n) is

z x(-n) t-, ~ ( z - I )

and has a region of convergence 1 /#I -= lz 1 < I / a , which is denoted by 1 / R ,



Forme rationnelle

Pour les systèmes LTI, toutes les TZ servant à les représenter serontdes fonctions rationnelles de z−1, c’est à dire des ratios de deuxpolynômes, P(z) et D(z) :

H(z) =P(z)

D(z)=

p0 + p1z−1 + · · ·+ pM−1z−(M−1) + pMz−M

d0 + d1z−1 + · · ·+ dN−1z−(N−1) + dnz−N ,

où le degré du numérateur est M et le degré du dénominateur estN.



Forme rationnelle

On peut aussi écrire l’équation H(z) sous les formes suivantes :

H(z) = z(N−M) p0zM + p1zM−1 + · · · pM−1z + pM

d0zN + d1zN−1 + · · · dN−1z + dN

=p0

d0

∏M`=1(1− ξ`z−1)∏N`=1(1− λ`z−1)

= zN−M p0

d0

∏M`=1(z − ξ`)∏N`=1(z − λ`)



Forme rationnelle

Les racines du numérateur sont situées à z = ξ`. À ces points, on aque H(ξ`) = 0.

Les valeurs de z pour lesquelles H(z) = 0 sont appelées les zéros.



Forme rationnelle

Pareillement, les racines du dénominateur sont situées à z = λ`. Àces points, on a que H(λ`)→∞.

Les racines du dénominateur de H(z) sont appelées les pôles.



Forme rationnelle

Une transformée en z sous forme rationnelle peut être décritecomplètement par la position de ses pôles et de ses zéros et par laconstante de gain p0

d0.

Lorsqu’une TZ peut être représentée sous forme rationnelle, les pôleset les zéros viennent en paires conjuguées.


Transformée en z Retour sur la région de convergence

ROC de la TZ

La région de convergence d’une transformée en z est un concepttrès important pour plusieurs raisons :

On a vu que si on ne spécifie pas la ROC, il n’existe pas derelation unique entre une séquence et sa TZ.

Si on connaît la TZ d’une séquence, sa DTFT peut être obtenueen évaluant la TZ sur le cercle unité, si celui-ci se trouve dans laROC.

Plus tard dans le chapitre, on verra une relation entre la TZ de laréponse impulsionnelle d’un système LTI causal et sastabilité.



ROC de la TZ

Toutes ces raisons, ainsi que notre désir d’en apprendre toujoursdavantage nous motive à étudier en profondeur la notion de régionde convergence.



Pôles et zéros

La ROC d’une TZ rationnelle est bornée par la position de sespôles. Pour comprendre cette relation, on introduit le graphiquepôle-zéro d’une TZ.



Pôles et zéros

À l’exemple 3.6, on avait mentionné que

u[n]Z↔ 1

1− z−1 , pour∣∣∣z−1

∣∣∣ < 1.

Or, on a que1

1− z−1 =z

z − 1

La TZ possède donc un pôle à z = 1 et un zéro à z = 0.



Pôles et zéros

Dans le graphique pôle-zéro, on note les pôles par un × et les zérospar un .

On doit aussi indiquer la région de convergence.



Pôles et zéros

×

Region de convergence

Cercle unite

Pole a z = 1

Zero a z = 0



Pôles et zéros

Lorsqu’on évalue une TZ rationnelle à un pôle, on obtient l’infini. Pardéfinition, la TZ ne converge donc pas aux pôles.

Cela entraîne qu’aucun pôle ne peut se trouver dans la ROC d’uneTZ rationnelle.



Pôles et zéros

Soit une TZ avec des pôles situés à z = α et z = β. Il y a troispossibilités pour la ROC :


× ×βα

× ×βα

× ×βα



Pôles et zéros

En résumé, on peut faire les observations suivantes concernant laROC d’une TZ rationnelle :

(a) La ROC associée à une séquence de longueur finie définie pourM ≤ n ≤ N est le plan C, sauf peut-être z = 0 et/ou z =∞.

(b) La ROC associée à une séquence définie à droite pourM ≤ n <∞ correspond à l’extérieur d’un cercle dans C défini parle pôle le plus éloigné de l’origine.



Pôles et zéros

(c) La ROC associée à une séquence définie à gauche pour−∞ < n ≤ N correspond à l’intérieur d’un cercle dans C défini parle pôle le plus près de l’origine.

(d) La ROC associés à une fonction de longueur infinie est unanneau borné par deux cercles dans C définis par deux pôles,avec aucun autre pôle à l’intérieur de l’anneau.



ROC et Matlab

Le graphique pôle-zéro d’une TZ rationnelle peut être tracé avec lafonction zplane de Matlab.

Deux options sont offertes :

zplane(zeros,poles), où zeros et poles sontrespectivement les vecteurs colonnes des pôles et des zérosde la transformée en z.

zplane(num,den), où num et den sont respectivement lesvecteurs lignes de coefficients du numérateur et dudénominateur de la transformée en z, en ordre décroissant depuissances de z.



ROC et Matlab

La fonction factorize, qui est disponible sur la page web du cours,peut s’avérer très utile pour factoriser les polynômes du numérateuret du dénominateur de manière à obtenir la position des pôles etdes zéros.



Exemple 3.8



Exemple 3.8

MATLAB>> num = [2 16 44 56 32];>> den = [3 3 -15 18 -12];>> K = num(1)/den(1);>> FactNum = factorize(num); disp(’Facteurs du numerateur’); disp(FactNum);Facteurs du numerateur

1.000000000000000 4.000000000000002 01.000000000000000 1.999999999999994 01.000000000000000 2.000000000000004 2.000000000000004

>> FactDen = factorize(den); disp(’Facteurs du denominateur’); disp(FactDen);Facteurs du denominateur

1.000000000000000 3.236067977499790 01.000000000000000 -1.236067977499787 01.000000000000000 -1.000000000000003 0.999999999999999

>> disp(’Constante de gain’); disp(K);Constante de gain

0.666666666666667



Exemple 3.8

MATLAB>> zplane(num,den)

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Part

Imag

inar

y Pa

rt


Transformée en z Transformée inverse

Expression générale

Comme c’était le cas pour la DTFT, la TZ d’une séquence obtenuepar convolution de deux séquences est le produit des TZ decelles-ci.

Ce faisant, il est nécessaire de pouvoir calculer des TZ inverses afinde pouvoir revenir dans le domaine temporel à partir du domainetransformé.




On rappelle la définition de la TZ d’une séquence g[n] :

G(z) =∞∑

`=−∞g[`]z−`

On multiplie chaque côté par zn−1 et on intègre le long d’un contour Cdans la ROC, dans le sens antihoraire :∮

CG(z)zn−1 dz =

∮C

∞∑`=−∞

g[`]z−`zn−1 dz




On inverse l’ordre de la sommation et de l’intégrale et on multipliechaque côté par 1

2πi :

12πi

∮C

G(z)zn−1 dz =1

2πi

∞∑`=−∞

g[`]

∮C

zn−1−` dz




En vertu du théorème d’intégration de Cauchy, on a que

12πi

∮C

zn−1−` dz = δ(n − `)

Ce résultat permet d’obtenir que

12πi

∞∑`=−∞

g[`]

∮C

zn−1−` dz = g[n]




Ce faisant, l’expression générale pour la TZ inverse est donnée par

g[n] =1

2πi

∮C

G(z)zn−1 dz




g[n] =1

2πi

∮C

G(z)zn−1 dz

Pourquoi n’aimons-nous pas cette méthode de calcul d’inverse ?

Il y a une intégrale. C’est compliqué de calculer une intégrale.

Il faut faire le calcul pour toutes les valeurs de n. C’estbeaucoup trop forçant.

Cette technique sera donc abandonnée, parce qu’elle estdifficilement applicable en pratique.




Dans la pratique, on utilisera plutôt une des méthodes suivantes pourcalculer les TZ inverses :

Utilisation des tables de transformées

Décomposition en fractions partielles

La division longue

On va présenter les deux premières approches.



Utilisation des tables de transformées

Bien souvent, on peut obtenir la TZ inverse d’une fonction en utilisantune table de transformées.

THE 2-TRANSFORM

Table 4-1 Common z-lkansform Pairs

[CHAP. 4

Sequence Region of Convergence

4.3 PROPERTIES Just as with the DTFT, there are a number of important and useful z-transform properties. A few of these properties are described below.

Linearity

As with the DTFT, the z-transform is a linear operator. Therefore, if x(n) has a z-transform X(z) with a region of convergence R,, and if y(n) has a z-transform Y (z) with a region of convergence R,,,

and the ROC of w(n) will include the intersection of R, and R,, that is,

R , contains R , n R,

However, the region of convergence of W(z) may be larger. For example, if x(n) = u(n) and yin) = u(n - I ) , the ROC of X(z) and Y(z) is Izl > 1. However, the z-transform of win) = x(n) - y(n) = S(n) is the entire z-plane.

Shifting Property

Shifting a sequence (delaying or advancing) multiplies the z-transform by a power of z. That is to say, if x(n) has a z-transform X (z),

Because shifting a sequence does not affect its absolute summability, shifting does not change the region of convergence. Therefore, the z-transforms of s (n) and x(n - no) have the same region of convergence, with the possible exception of adding or deleting the points z = 0 and z = oo.

Time Reversal

If x(n) has a z-transform X(z) with a region of convergence R, that is the annulus a < lzl < #I, the z-transform of the time-reversed sequence x(-n) is

z x(-n) t-, ~ ( z - I )

and has a region of convergence 1 /#I -= lz 1 < I / a , which is denoted by 1 / R ,



Exemple 3.9




Dans le cas où G(z) est la TZ sous forme rationnelle d’uneséquence causale g[n], on peut utiliser la méthode de ladécomposition en fractions partielles pour retrouver g[n].




Une TZ rationnelle G(z) peut s’exprimer sous la forme

G(z) =P(z)

D(z),

où P(z) et D(z) sont des polynômes en z−1.

Si le degré M du numérateur P(z) est supérieur au degré N dudénominateur D(z), on dira qu’il s’agit d’une fraction impropre. Àl’inverse, il sera question de fraction propre si N > M.




Lorsqu’on est en présence d’une fraction impropre, on doit exprimerG(z) sous la forme

G(z) =M−N∑`=0

η`z−` +P1(z)

D(z),

où P1(z)D(z) est une fraction propre.



Exemple 3.10




La plupart du temps, G(z) sera une fraction propre à pôles simples.



Fraction propre à pôles simples

Considérons que les pôles de G(z) sont situés à z = λk , pour1 ≤ k ≤ N, avec λi 6= λj . Une décomposition en fractions partiellesde G(z) aura la forme

G(z) =N∑`=1

ρ`1− λ`z−1 ,

où les constantes ρ` sont appelées les résidus et sont égales à

ρ` = (1− λ`z−1)G(z)∣∣∣z=λ`



Fraction propre à pôles simples

G(z) =N∑`=1

ρ`1− λ`z−1 ,

Chaque élément dans la sommation possède une ROC de la forme|z| > |λ`|, et donc une TZ inverse de la forme ρ`λn

`u[n].

Ce faisant, la TZ inverse de G(z) sera donnée par

g[n] =N∑`=0

ρ`λn`u[n].



Exemple 3.11



Fraction propre à pôles multiples

Si G(z) est une fraction propre à pôles multiples, le processus estun peu différent.

Considérons que le pôle situé à z = v est de multiplicité L, tandisque les N − L autres pôles sont simples (c’est-à-dire λi 6= λj ), et situésà z = λ`, pour 1 ≤ ` ≤ N − L.



Fraction propre à pôles multiples

La décomposition en fractions partielles de G(z) aura donc laforme

G(z) =N−L∑`=1

ρ`1− λ`z−1 +

∑i=1

Lγi

(1− vz−1)i ,

où les constantes γi sont données par

γi =1

(L− i)!(−v)L−i ·dL−i

d(z−1)L−i

[(1− vz−1)LG(z)

]∣∣∣z=v



DFP avec Matlab

La fonction residuez de Matlab peut être utilisée pour manipuler lesdécompositions en fractions partielles de TZ. On peut utiliserresiduez de deux façons.



DFP avec Matlab

Pour trouver la DFP d’une TZ rationnelle :

MATLAB>> [r, p, k] = residuez(num, den);

Les paramètres d’entrée sont les vecteurs des coefficients de laforme rationnelle.

Pour convertir la DFP d’une TZ dans sa forme rationnelle.

MATLAB>> [num, den] = residuez(r, p, k);

Les paramètres d’entrée sont le vecteur des résidus r, les pôlescorrespondant p et le vecteur k contenant les constantes η`.



Exemple 3.12

On cherche la décomposition en fractions partielles de la TZ suivante :

G(z) =18z3

18z3 + 3z2 − 4z − 1



Exemple 3.12

MATLAB>> num = 18;>> den = [18 3 -4 -1];>> [r,p,k] = residuez(num,den);>> disp(’Residues’);disp(r’)Residues

0.3600 0.2400 0.4000

>> disp(’Poles’);disp(p’)Poles

0.5000 -0.3333 -0.3333

>> disp(’Constants’);disp(k)Constants

Il s’agit d’une DFP à pôles multiples, où le pôle z = −13 est de

multiplicité 2. Le résultat sera donc

G(z) =0.36

1− 0.5z−1 +0.24

1 + 13z−1

+0.4(

1 + 13z−1

)2



Division longue

La troisième méthode de calcul de l’inverse d’une TZ repose sur le faitque pour une séquence causale, G(z) peut être exprimé sous laforme d’une série de puissance en z−1.

G(z) =∞∑

k=0

akz−k = a0 + a1z−1 + a2z−2 + · · ·

Dans cette série, le coefficient associé au terme z−n sera le n-ièmeéchantillon de la séquence g[n]. Pour obtenir la série de puissance,on procède par division longue des deux polynômes de la formerationnelle de la TZ.


Transformée en z Propriétés de la TZ

Propriétés de la TZ

Comme c’était le cas avec la DTFT, la transformée en z possèdeplusieurs propriétés très utiles.

Pour les présenter, on utilise la notation introduite en début dechapitre, sans oublier la région de convergence :

g[n]Z↔ G(z) avec ROC = Rg ,

où Rg est donnée par Rg− < |z| < Rg+ .




La compréhension de ces propriétés rend l’application de la TZ pourl’étude des filtres plus facile.

Les démonstrations de ces propriétés sont souvent directes. Cefaisant, elles sont laissées en exercice.



Inversion temporelle

La TZ d’une séquence inversée temporellement g[−n] est donnéepar G

(1z

)avec une ROC de 1

Rg.

g[−n]Z↔ G

(1z

)avec ROC =

1Rg

La notation ROC = 1Rg

représente la région 1Rg+

< |z| < 1Rg−

.



Linéarité

La TZ d’une séquence obtenue par combinaison linéaire de deuxséquences g[n] et h[n] est donnée par αG(z) + βH(z) avec une ROCqui contient l’intersection de Rg et Rh.

αg[n] + βh[n]Z↔ αG(z) + βH(z) avec ROC ⊇ Rg ∩Rh

On ne peut pas donner de manière exacte la ROC de la combinaisonlinéaire, mais elle doit absolument contenir l’intersection des ROC desdeux composantes.



Exemple 3.13



Décalage temporel

La TZ d’une séquence décalée temporellement x [n] = g[n − n0],avec n0 ∈ Z est donnée par X (z) = z−n0G(z). La ROC restera lamême, sauf peut-être pour les points z = 0 ou z =∞.

g[n − n0]Z↔ z−n0G(z) avec ROC = Rg \ 0 ou ∞



Décalage temporel

Dans quels cas devons nous retirer les points z = 0 ou z =∞ de laROC ?

Si n0 > 0, le facteur z−n0 ajoute n0 pôles à z = 0. Comme aucunpôle ne peut se trouver dans la ROC, le point z = 0 est alorsexclu de celle-ci.

Pour les mêmes raisons, si n0 < 0, le facteur z−n0 ajoute n0 pôlesà z =∞ et celui-ci est exclu de la ROC.



Exemple 3.14



Multiplication par une exponentielle

La TZ d’une séquence mise à l’échelle par une exponentiellex [n] = αng[n], avec α ∈ R, est donnée par X (z) = G

( zα

)avec une

ROC de |α|Rg .

αng[n]Z↔ G

(zα

)avec ROC = |α|Rg

La notation ROC = |α|Rg représente la région

|α|Rg− < |z| < |α|Rg+



Dérivation

La TZ d’une séquence multipliée par n x [n] = ng[n] est donnée parX (z) = −z dG(z)

dz . La ROC restera la même, sauf peut-être pour lespoints z = 0 ou z =∞.

ng[n]Z↔ −z

dG(z)

dzavec ROC = Rg \ 0 ou ∞



Exemple 3.15



Convolution

La TZ de la convolution de deux séquences g[n] et h[n] est donnéepar G(z) · H(z), avec une ROC qui contient l’intersection de Rg et Rh.

g[n] ∗ h[n]Z↔ G(z) · H(z) avec ROC ⊇ Rg ∩Rh



Convolution

La ROC de x [n] = g[n] ∗ h[n] contient l’intersection de Rg et Rh. Danscertains cas, la ROC sera plus grande que Rg ∩Rh en raison del’annulation de pôles et de zéros.



Exemple 3.16




148 THE Z-TRANSFORM [CHAP. 4

Derivative

If X(z) is the z-transform of x(n), the z-transform of nx(n) is

Repeated application of this property allows for the evaluation of the z-transform of nkx(n) for any integer k. These properties are summarized in Table 4-2. As illustrated in the following example, these properties are

useful in simplifying the evaluation of z-transforms.

Table 4-2 Properties of the z-Transform

Linearity Shift Time reversal Exponentiation Convolution Conjugation Derivative

z-Transform Region of Convergence

aX(z) + hY(z) Contains R, n R, z-""x(z) Rx X(z-I) 1/Rx

X(a-lz) law, x(z)y(z) Contains R, n R,

Nore: Given the z-transforms X(z) and Y ( z ) of x ( n ) and y ( n ) . with regions of convergence R, and R y , respectively, this table lists the z-transforms of sequences that are formed from x ( n ) and y(n).

EXAMPLE 4.3.2 Let us find the z-transform of x(n) = nal'u(-n). To find X(z), we will use the time-reversal and derivative properties. First, as we saw in Example 4.2.1,

Therefore.

and, using the time-reversal property, 1 anu(-n) A -

I - a - ' z I4 < a

Finally, using the derivative property, i t follows that the z-transform of nanu(-n) is

A property that may be used to find the initial value of a causal sequence from its z-transform is the initial value theorem.

Initial Value Theorem

If x(n) is equal to zero for n < 0, the initial value, x(O), may be found from X(z) as follows:

x(0) = lim X(z) Z'OO

This property is a consequence of the fact that if x(n) = 0 for n < 0,

Therefore, if we let z + oo. each term in X ( z ) goes to zero except the first.


Transformée en z Fonction de transfert d’un système

Introduction

À la section précédente, on avait introduit la réponse en fréquencesd’un système LTI. Il s’agissait de la DTFT de la réponseimpulsionnelle du système.

L’utilité de la réponse en fréquences était de fournir de l’information surle comportement d’un filtre dans le domaine fréquentiel.



Introduction

On a toutefois vu que dans certains cas, il était possible que la DTFTd’une séquence n’existe pas, alors que la TZ était quand à elle facileà obtenir.

Dans cette optique, la TZ apportera plus de souplesse pourl’application de filtres dans le domaine fréquentiel.



Introduction

Dans un premier temps, on s’attardera à décrire une relationentrée-sortie pour un système LTI, à l’aide de la TZ. Cette relationmènera à la notion de fonction de transfert d’un système.

Par la suite, on étudiera les propriétés de la fonction de transfertpour finalement en arriver à définir une nouvelle condition pour lastabilité d’un système.



Définition

Considérons le système LTI décrit par la figure suivante

x[n] y[n]h[n]

La relation entrée-sortie entre les signaux x [n] et y [n] est donnée parl’équation

y [n] =∞∑

k=−∞h[k ]x [n − k ]



Définition

Soient Y (x), X (z) et H(z), les TZ des signaux y [n], x [n] et h[n],respectivement. La propriété de convolution énoncée précédemmentnous permet d’avoir la relation

Y (z) = H(z)X (z),

où H(z) est appelée la fonction de transfert du système LTI et estdéfinie par

H(z) =∞∑

n=−∞h[n]z−n



Définition

La relation Y (z) = H(z)X (z) permet aussi de définir H(z) commeétant le ratio des TZ des signaux de sortie et d’entrée du système :

H(z) =Y (z)

X (z).

La TZ inverse d’une fonction de transfert permet de retrouver laréponse impulsionnelle de celui-ci.



Fonction de transfert d’un filtre

On s’attarde maintenant aux formes générales des fonctions detransfert pour des filtres FIR et IIR.




Dans le cas d’un filtre FIR, sa réponse impulsionnelle n’est définieque sur un intervalle N1 ≤ n ≤ N2. Ainsi, h[n] = 0 pour n < N1 etn > N2. Ce faisant, sa fonction de transfert est donnée par

H(z) =

N2∑n=N1

h[n]z−n

Pour un filtre FIR causal, on aura 0 ≤ N1 ≤ N2.



Exemple 3.17




On considère maintenant le cas d’un filtre IIR décrit par l’équation auxdifférences

N∑k=0

dky [n − k ] =M∑

k=0

pkx [n − k ]

On applique la TZ de chaque côté pour trouver la relation entrée-sortiedu système : (

N∑k=0

dkz−k

)Y (z) =

(M∑

k=0

pkz−k

)X (z)




On se souvient avoir mentionné que H(z) = Y (z)X(z) . À partir de l’équation

précédente, on peut donc facilement trouver que

H(z) =Y (z)

X (z)=

∑Mk=0 pkz−k∑Nk=0 dkz−k

En multipliant par zM et zN le numérateur et le dénominateur(respectivement), on obtient une transformée en z sous sa formerationnelle.



Exemple 3.18



Exemple 3.18

Avec Matlab, on peut facilement trouver les pôles et les zéros de cettefonction de transfert.

MATLAB>> num = [1 -1.2 1];>> den = [1 -1.3 1.04 -0.222];>> [z,p,k] = tf2zp(num,den)

z =

0.600000000000000 + 0.800000000000000i0.600000000000000 - 0.800000000000000i

p =

0.500000000000000 + 0.700000000000000i0.500000000000000 - 0.700000000000000i0.300000000000000

k =

1

MATLAB>> zplane(z,p)

1 0.5 0 0.5 1

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y Pa

rt



Exemple 3.18



Réponse en fréquences

Comme la fonction de transfert est une fonction complexe, ellepeut être ramenée sous une des formes suivantes :

H(z) = H<(z) + H=(z) ou H(z) = |H(z)| ei arg(H(z)),

où

arg(H(z)) = arctan(

H=(z)

H<(z)

)



Réponse en fréquences

Si le cercle unité est contenu dans la ROC de H(z), la réponse enfréquences d’un système LTI peut être obtenue à partir de sa fonctionde transfert.

Il suffit d’évaluer H(z) sur le cercle unité :

H(eiω) = H(z)|z=eiω



Condition de stabilité

Au chapitre 2, on a montré qu’un filtre est stable si et seulement sisa réponse impulsionnelle est absolument sommable, c’est-à-diresi

∞∑n=−∞

|h[n]| <∞

Une telle condition est toutefois difficile à vérifier pour un systèmepossédant une réponse impulsionnelle de longueur infinie.




On s’attarde maintenant à développer une nouvelle condition pourla stabilité d’un système, cette fois-ci basée sur la position despôles de la fonction de transfert H(z).



Exemple 3.19



Exemple 3.19


× ×βα

× ×βα

× ×βα




On peut démontrer que si la réponse imuplsionnelle h[n] d’un filtre estabsolument sommable, alors la ROC de la fonction de transfertcontient le cercle unité, et réciproquement.

Un filtre est donc stable si et seulement si le cercle unité est dans saROC.




De manière évidente, on a que un filtres FIR causals ayant uneréponse imuplsionnelle bornée est toujours stable, puisque tousses pôles sont à l’origine.

À l’opposé, un filtre IIR causal peut être instable ! Un test de stabilitésur s’impose alors lorsqu’on utilise un filtre IIR.




Dans le cas d’un filtre causal, la condition de stabilité peut êtrereformulée comme suit : tous les pôles du filtre doivent êtrestrictement à l’intérieur du cercle unité.

Pour un filtre anticausal, la condition est inversée : tous les pôles dufiltre doivent être strictement à l’extérieur du cercle unité.


Classification des filtres

Plan de la section


2 Transformée en z

3 Classification des filtresClassification basée sur l’amplitudeClassification basée sur la phase


Classification des filtres Classification basée sur l’amplitude

Filtres d’amplitude idéale

Un filtre idéal, conçu pour laisser passer certaines fréquences d’unsignal audio, devrait avoir une réponse en fréquence de 1 pour cesfréquences et de 0 pour toutes les autres.

L’ensemble des fréquences où H(eiω) = 1 est appelé la bandepassante, tandis que l’ensemble des fréquences pour lequelH(eiω) = 0 est appelé la bande stop.




© Maxime Comtois 2006 11

Filtres

Passe bas

c c

)(H

1

(a) Filtre passe-bas idéal © Maxime Comtois 2006 12

Filtres

Passe haut

c c

)(H

1

(b) Filtre passe-haut idéal


Filtres

Passe bande

o o

)(H

1B

(c) Filtre passe-bande idéal © Maxime Comtois 2006 14

Filtres

Bande stop

o o

)(H

1B

(d) Filtre stop-bande idéal




Une nouvelle notion doit être introduite, la fréquence de coupure,représentée par ωc dans les graphiques précédents.

Il s’agit de la fréquence où l’amplitude passe de 1 à 0.




On remarque finalement que pour un filtre idéal, on a que H(eiω) = 1ou H(eiω) = 0. Or, comme H(eiω) ∈ R, sa phase (qui donne sacomposante complexe) est toujours nulle.

H(eiω) =∣∣∣H(eiω)

∣∣∣ eiθ(ω) ∈ R⇒ θ(ω) = 0 ∀ ω

On s’intéresse maintenant à montrer pourquoi de tels filtres sontinutilisables en pratique. Pour ce faire, on utilisera le cas du filtrepasse-bas.




Soit un filtre passe-bas idéal :


Filtres

Passe bas

c c

)(H

1

H(eiω) =

1 si 0 ≤ ω ≤ ωc

0 si ωc < ω ≤ π

On trouve que sa réponse impulsionnelle est donnée par

h[n] =sin (ωcn)

πn, n ∈ Z




h[n] =sin (ωcn)

πn, n ∈ Z

Cette réponse impulsionnelle possède plusieurs caractéristiquesdésagréables...

Elle est de longueur infinie.

Elle n’est pas causale.

Elle n’est pas absolument sommable, et donc le filtre associén’est pas stable.




Comme le filtre passe-bas idéal n’est ni stable, ni causal, on dira qu’iln’est pas réalisable, c’est-à-dire qu’il ne peut pas être représenté parun système LTI ayant une fonction de transfert d’ordre fini.

Ainsi, comme on ne peut utiliser les filtres idéaux, on devra trouver unmoyen de s’en approcher.



Approximation d’un filtre idéal par un filtre réalisable

Pour y arriver, on introduit le concept de bande de transition quiconsiste en une relaxation du critère de transition entre les fréquencesstoppées et celles que le filtre laisse passer.

L’amplitude décroîtra graduellement le long de celle-ci au lieu depasser brusquement de 0 à 1.




On permettra aussi une certaine variation de l’amplitude sur labande de fréquences traitée. Ces variations prendront deux formes :

l’atténuation stop-bande

la distorsion passe-bande




0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Bande de transition

Variations de l'amplitude

ωc−ωc



Filtres passe-tout

Une fonction de transfert A(z) ayant une amplitude de 1 pour toutesles fréquences, c’est-à-dire∣∣∣A(eiω)

∣∣∣ = 1, ∀ ω

est appelée fonction passe-tout et définira un filtre passe-tout.



Filtres passe-tout

Un filtre passe-tout d’ordre M est représenté par la fonction de transfert

AM(z) = ± dM + dM−1z−1 + · · ·+ d1z−M+1 + x−M

1 + d1z−1 + · · ·+ dM−1z−M+1 + dMz−M



Filtres passe-tout

Considérons le filtre passe-tout défini par la fonction de transfert etobservons son graphique pôle-zéro :

A3(z) =−0.2 + 0.18z−1 + 0.4z−2 + z−3

1 + 0.4z−1 + 0.18z−2 − 0.2z−3

1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.51.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Real PartIm

agin

ary

Part

La forme particulière de la fonction de transfert force les pôles et leszéros à venir en paires de conjugués réciproques.



Filtres passe-tout

Les filtres passe-tout sont utiles pour compenser les effets desfiltres non linéaires en phase. Cette notion sera abordée à laprochaine section.

Soit G(z), la fonction de transfert d’un filtre possédant une certaineréponse en amplitude, mais ayant aussi un impact non linéaire (etnon souhaité) sur la phase.



Filtres passe-tout

Il est possible de compenser cet effet en faisant passer le signaldans un filtre passe tout de fonction de transfert A(z).

x[n] y[n]

Signal d'entrée Signal de sortie

G(z) A(z)

Comme∣∣A(eiω)

∣∣ = 1 pour tout ω, on aura que∣∣∣G(eiω)A(eiω)∣∣∣ =

∣∣∣G(eiω)∣∣∣



Filtres passe-tout

L’application du filtre passe-tout ne modifiera pas l’amplitude dusignal de sortie. L’effet du filtre G(z) sur les fréquences sera doncconservé.


Classification des filtres Classification basée sur la phase

Filtre de phase zéro

Pour plusieurs applications, il est nécessaire de s’assurer qu’un filtren’ait aucun effet sur la phase du signal d’entrée pour les fréquencesdans la bande passante.

Une façon de s’assurer qu’aucune distorsion dans la phase ne serainduite par le filtre est d’avoir une réponse en fréquence réelle et nonnégative. On dira alors que le filtre est de phase zéro.




Soit H(z) une transformée en z rationnelle à coefficients réels nepossédant aucun pôle sur le cercle unité. On a alors que H(z)H(z−1)est de phase zéro sur le cercle unité. En effet,

F (eiω) = H(z)H(z−1)|z=eiω

= H(eiω)H(e−iω)

=∣∣∣H(eiω)

∣∣∣2Notons que si z = v est un pôle (ou un zéro) de F (z), alors z = 1

v estaussi un pôle (ou un zéro).




Il est impossible d’implanter un filtre causal de phase zéro.

Toutefois, si les contraintes de temps réel et de causalité sontabandonnées, on peut implanter de manière simple un filtre de phasezéro.

H(z)x[n] v[n]

u[n] = v[−n]

y[n] = w[−n]

w[n]H(z)u[n]

F (z) y[n]

Le résultat sera un filtre de phase zéro possédant une réponse enamplitude de

∣∣H(eiω)∣∣2.



Filtre à minimum de phase

Un filtre LTI réalisable modélisé par une fonction de transfert H(z)rationnelle a tous ses pôles dans le cercle unité, mais qu’en est-il deszéros ?




Parfois, il est nécessaire que l’inverse d’un filtre G(z) = 1H(z) soit

aussi réalisable. Pour que ce soit le cas, les zéros de H(z) doiventaussi se trouver à l’intérieur du cercle unité.

Un filtre ayant cette propriété sera appelé filtre à minimum de phase.




Un filtre à minimum de phase est défini de manière unique par saréponse en amplitude

∣∣H(eiω)∣∣ :

1 Partant de∣∣H(eiω)

∣∣, on trouve∣∣H(eiω)

∣∣2 qui est fonction decos(kω)

2 En remplaçant cos(kω) par 12(zk + z−k ), on trouve

G(z) = H(z)H(z−1)

3 Le filtre à minimum de phase est formé à partir des pôles et deszéros de G(z) se trouvant à l’intérieur du cercle unité.



Exemple 3.20




De plus, tout filtre réalisable peut toujours être factorisé en unproduit d’une composante à minimum de phase et d’unecomposante passe-tout. C’est donc dire que

H(z) = HMP(z)HPT (z)




Pour arriver à cette décomposition, on suit ces étapes :

1 Tous les zéros de H(z) situés à l’extérieur du cercle unité sontréfléchis à l’intérieur en prenant leur conjugué réciproque 1

z∗ . Lafonction résultante est HMP(z).

2 La composante passe-tout est définie de telle sorte que les zérosayant été modifiés sont renvoyés à leur position d’origine.



Exemple 3.21



Fin du plus long chapitre de l’histoire


imn317 - chapitre 3 - analyse fréquentielle

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