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Auteur: [email protected] Version: 2017 1/166

Méthodes de synthèse fréquentielle H pour la commande multivariable et le diagnostic de procédés

AC560 : Volume (8 CM, 2 TD, 4 TP)

Mots clefs: H, LMI, analyse, performance, robustesse, FDI,

Pré-requis

– Automatique fréquentielle classique: fonctions de transfert, schéma-bloc, diagramme de Bode, Black Nichols, Critère de Nyquist, réglage de correcteurs PI, avance/retard de phases

– Notions classiques d ’algèbre linéaire (rang, valeurs singulières, valeurs propres, symétrie, définie-positive)

– Automatique moderne: analyse matricielle, représentation d’état, commande par retour d’état estimé.

– Cours AC510 : Diagnostic par redondance analytique d'équations (espace de parité, estimation de paramètres, validation de données)

Contenu

– Formalisation d’un cahier des charges en Automatique fréquentielle

» Limitation des performances SISO et MIMO

– Robustesse du système en boucle fermée

» Incertitude et robustesse

» Stabilité robuste et analyse des performances

– Synthèse de lois de commande

» LQG

» H loop-shapping (modelage du transfert de boucle)

» H par pondération fréquentielle

– De la Commande H au Diagnostic

» FDI (Detection et localisation de défauts)

» Fault Tolerant Control (accomodation)


Référence

– Laurent El Ghaoui Cours "Commande robuste" École Nationale Supérieure de Techniques Avancées

– Duc G., Font S., 2000, "Commande H et -analyse", éditions Hermes.

– Sigurd Skogestad et Ian Postlethwaite, 1998 « Multivariable feedback control: analysis and design" Edition John Wiley & Sons

– G. Scorletti et Vincent Fromion, 2003, "Introduction à la commande multivariable des systèmes: méthodes de synthèse fréquentielle H", Cours de 3ème année de l’ENSI de Caen.

– Denis Arzelier, 2005, « Course on LMI Optimization with applications in Control » www.laas.fr/arzelier


Partie 1: Formalisation d’un cahier des charges en Automatique fréquentielle

Objectifs: Assurer un suivi de référence

– En régime nominal

» exemple pour une voiture: masse, vitesse, adhérence au sol fixent

– En régime incertain :

» i.e., dérives de paramètres (exemple pour une voiture: variation de la masse, de la vitesse, de l’adhérence au sol)

» i.e., perturbations extérieures (exemple pour une voiture: vent, courbure)

L’asservissement est conçu à partir d’un modèle idéalisé et simplifié du système réel.

– Pour fonctionner correctement, il doit donc être robuste aux imperfections du modèle,

» i.e., aux écarts entre le modèle et le système réel, aux dérives des paramètres physiques et aux perturbations externes.


Plan : Partie 1

Formalisation d’un cahier des charges en Automatique fréquentielle

– Éléments introductifs à la commande multivariable

» Normes H2 et H

» Boucle d’asservissement

» Marge de gain et de phase

– Propriétés des asservissements

» Stabilité

» Compensation de pôles et/ou zéros instables

» Performance, Bande passante

» Relation entre S, T, la marge de Module , la marge de gain et marge de phase

» Limitations imposées par la présence d’un zéro et/ou d’un pole instable

» Performance en BF et HF en présence d’un zéro (z) instable


Partie 1 : Définitions des normes (vecteur, matrice, signal, système)

Vecteur

» La norme euclidienne de

Matrices représente la notion de valeur singulière

» avec

est R

x

x

x n

n

1

2/1n

1i

2i

T xxxx

Au

Ausup

0u

u

AusupA

0u2

A u

Au

AAA T



Signaux

» Sur l’espace l2 des signaux de carré sommable, on définit le produit scalaire

» qui induit la norme de l’énergie

» La transformée de Fourrier envoie l2 sur l’espace H2 des fonctions X(s) analytique dans Re(s)0 et de carré sommable. Par l’identité de Parseval, on a

0dttytxyx

2/1

02

dttytxx

2/1

22

dwjwx2

1x



Systèmes

» Norme H2:

» Où G(jw) est la transformée de Fourier de soit par l’identité de Parseval

» Interprétation : elle représente l’énergie en sortie lorsque l’on injecte un dirac en entrée

» Norme H:

» Interprétation : elle mesure le gain maximal de la réponse fréquentielle G(jw)

2/1

*2

jwGjwGTrace2

1sG

2

2

HsUmax

w sU

sYsupjwGsupsG

2

BCeAt

dwjwGjwG

2

1BdtCeCeB *

0

tATtAT T



Notion de valeurs singulières

– Pour un système SISO, on définit à partir G(s), le gain du système à la pulsation w, par le module

– Pour un système MIMO, on utilise la notion de valeurs singulières

» Les valeurs singulières étant des nombres réels positifs ou nuls, elles peuvent être classées.

» Pour un système monovariable (m=p=1), il existe qu'une seule valeur singulière, en l'occurrence :

» Les valeurs singulières constituent donc une généralisation de la notion de gain aux systèmes multivariables.

sGsG max

p,mmin,1i

jwGjwGjwGjwGjwG Ti

Tii

jwGjwGjwGjwG 21

jwGjwGjwG


Exemple 1 : SISO


– Exemple 1: Système SISO

» Par définition

» Soit

» On retrouve la définition du module

2s

1sG1

p,mmin,1i

jwGjwGjwGjwGjwG Ti

Tii

211w4

1

jw2

1

jw2

1jwG

21

w4

1jwGjwG

Frequency (rad/sec)

Sin

gu

lar

Va

lues (

dB

)

Singular Values

10 -1 10 0 10 1 -22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6


Exemple 2: MIMO


– Exemple 2: Système MIMO

» Par définition

on obtient une matrice carrée de dimension 22

fonction de w où pour chaque w

il existe 2 valeurs propres 1 et 2

dont les racines forment respectivement

les 2 valeurs singulières 1 et 2.

10s2s4s

15s2

10s2s4s

110s2s4s

2s3

10s2s4s

20s

sG

22

22

2

p,mmin,1i

jwGjwGjwGjwGjwG Ti

Tii

w : rad / sec

dB

Singular Values

10 -1 10 0 10 1 10 2 -90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


Partie 1 : Boucle d’asservissement

Boucle d’asservissement

» r(t) : consigne ou signal de référence

» y(t): signal de sortie ou réponse

» e(t): erreur de suivi (tracking error)

» u(t): commande

» wi(t): perturbation de la commande

» w0(t): perturbation de la sortie

» n(t): bruit de mesure

K G

+

-

r e u

wi wo

y

n

Boucle de suivi (tracking)



Propriétés des asservissements

– Stabilité Il convient de distinguer la stabilité BIBO (bounded input/bounded output) de la stabilité interne.

• Stabilité BIBO: elle exige que l’énergie des signaux en sortie (y) soit bornée

dès que l’énergie fournie en entrée ( r ) est bornée, i.e.,

• Stabilité interne: elle exige que tous les signaux circulant dans la boucle soient d’énergie finie, i.e.,

Cette notion de stabilité interne est plus restrictive mais plus importante en pratique puisque

les composants à l’intérieur de la boucle sont également sensibles aux énergies infinies

1

0nww

sKsGIsKsGsT)s(r

)s(y

oi

1

0rnwo

sKsGIsS)s(w

)s(y

i

1sKsGIsKsGsT

sSsK)s(n

)s(u

)s(r

)s(u

0rww0nww 0i0i

1

0rnwi

sGsKIsG)s(w

)s(y

o



Stabilité externe

– Exemple, on considère le système G avec le correcteur K suivant

» On obtient dès lors

» Lequel est BIBO stable, puisqu’il n’y a pas de changement de signe au dénominateur (voir critère de Routh)

Stabilité interne

» Instable, d’après le transfert

» On constate qu’il y a eu simplification du pole instable s=0, par un zéro de K

1s

ssK

)1s(s

1sG

20nww 1s1

1sT

)s(r

)s(y

oi

2

1

0rnwi 1s1s

1ssGsKIsG

)s(w

)s(y

o

2)1s(

1

1s

s

)1s(s

1sKsG



Stabilité interne

– Il est donc dangereux d’analyser la stabilité au seul vu des pôles de S(s) et T(s), i.e., aux racines de

det(I+G(s)K(s))=0

– Il faut plutôt calculer le spectre de ABF à partir des réalisations minimales de G et K

» Exemple

avec u(t) = Kx(t).

Soit ABF=A+BK et un spectre de ABF =det(I-(A+BK))=0.

Le système bouclé, présentera alors une stabilité interne si et seulement si (i) < 0, où sont les vp de ABF.

Cxy

BuAxx

0C

BAsG



On considère le schéma général

– où tous les transferts se réduisent

à la matrice de transfert suivante

puisque

K G

+

-

r e u

b wo

y

n


sb

sr

sGsSsKsSsK

sGsSsS

su

se

sSsr

se

sw

sy

oii wnwrnwo

00)(

)(

)(

)(

sSsKsn

sU

sr

sU

rwbnwb

00 00)(

)(

)(

)(

sSsGsb

se

sb

sy

rnwrnw oo

00 )(

)(

)(

)(


Partie 1 : Boucle d’asservissement (Obtention des objectifs de synthèse)

On peut déduire le comportement asymptotique des fonctions de transfert composant M(s) en faisant des hypothèses sur le gain de la BO

– Si le gain de la BO est grand soit

» K agit sur les transferts de r vers et de b vers

» cette approximation intervient notamment en basse fréquence, par exemple si K(s) présente un pôle en 0, le gain de la BO tend vers l’infini en basse fréquence et les transferts S(s) et S(s)G(s) ont un zéros en 0, ce qui signifie l’absence d’erreur statique pour les signaux r et b constant

» u est directement influencé en basse frequence (module = 1) par b afin de le compenser (u=b)

KSGKS

SGSM

1jwKjwG

11

11

jwG

jwKjwKjwGjwM

11

GKsS

b

r

KSGKS

SGS

u

e

sSsw

sy

o

)(

)(

sSsKsn

su

)(

)(

sGsSsb

sy

)(

)(



Seconde hypothèse sur le gain de la BO

– Si le gain de la BO est faible soit

» K(s) agit sur les transferts de r vers u et de b vers u, tandis qu’il est sans effet sur les transferts de r vers et de b vers

» cette approximation intervient notamment en haute fréquence car le gain du système non corrigé à naturellement tendance à décroître avec la fréquence et l’on cherche en général à synthétiser un correcteur qui atténue les hautes fréquences, afin

d’éviter d’exciter inutilement la commande en dehors de la BP de l’asservissement

de ne pas solliciter les dynamiques négligées ou mal modélisées en dehors de la BP

1jwKjwG

jwKjwGjwK

jwGjwM

1

11

GKsS

b

r

KSGKS

SGS

u

e

sSsKsn

su

)(

)(



Pour compléter ce raisonnement asymptotique on peut rappeler que :

– la marge de module (distance minimale entre un point du lieu de Nyquist et le point critique -1) est l’inverse du maximum de S(jw)

– la pulsation au gain unité w0 de la BO :

» donne une image de la BP de l’asservissement

» et conditionne fortement le temps de réponse tr w0tm où tm est le temps de passage au premier maximum de la réponse indicielle

– La BP détermine la classe de signaux l’asservissement est capable de suivre ou de contrer.

» Plus elle est étendue, plus l’asservissement est capable de réagir à des variations rapides.

» Elle mesure la zone de fonctionnement de l’asservissement.

100 jwKjwG


Partie 1 : Critère de Nyquist

Le système bouclé est BIBO (entrée bornée, sortie bornée) stable si est seulement si le contour de Nyquist de L(s)=G(s)K(s) parcouru de w=- à w=+ entoure le point critique (-1,0) un nombre de fois égal au nombre de pôles instables de L(s).

Exemple

– Soit

– Puisque L(s) présente un pôle instable, et que

suivant les w croissants, ce contour entoure une

seule fois le point critique, on en conclut que la

BF est stable

1

1

ssG 2sK

22 1

2

1

2

1

2

w

jw

wssL

-2, w=0 0, w= -1

Im(L)

Im(R)


Rappel: Nyquist

Marge de gain en dB

» où w180 est la pulsation à laquelle le tracé de Nyquist coupe le demi-axe de phase 180°.

» elle mesure de combien le gain peut varier à cet endroit avant de toucher le point critique (-1)

Marge de phase

» Elle mesure de combien la phase peut varier avant de rencontrer le point critique (-1)

Marge de module

» Elle mesure la distance minimale du tracé de Nyquist au point critique

180jwLoù

jwL

1GM

180

180

Re(G(jw)K(jw)

-1

Im(G(jw)K(jw))

PM

L(jw180)

wc

L(jw)

Marge de Gain

w180 1

S

18010log20 jwLGMdb

1180 cc jwLoùjwLPM

1

S


Rappel: Bode

Rappel

10-2 10-1 100 101

101

KGL

L:phase

100

101

-90°

-180°

1/GM

PM

wc w180 rad/s

rad/s

180jwLoù

jwL

1GM

180

180

1jwLoù

180jwLPM

c

c


Partie 1: Propriétés des asservissements (Compensation de pôles et/ou zéros instables )

Hypothèse

– pour assurer une stabilité interne en présence de pôles et/ou zéros instables on suppose qu’il n’y a pas de compensation de ces pôles et zéros entre K(s) et G(s) (robustesse aux incertitudes de modèle).

Exemple:

– Le correcteur K1(s) compense le pôle instable p=1, on obtient dès lors pour K1(s) et K2(s) respectivement les fonctions de sensibilité complémentaire

– Si l’on considère maintenant une petite variation du pôle du procédé

» On obtient

» T1(s) est alors instable et ce pour une perturbation très faible (chg de signe dans le denominateur)

» Par contre T2(s) reste stable et ce pour >-1

2sK,1s

1ssK,

1s

1sP 21

1s

2

1s

21

1s

2

sT,2s

1

1s

11

1s

1

sT 21

,1s

1sP

,2s1s

1s

1s1s1s

1s

1s

1s

1s

11

1s

1s

1s

1

sT21

1s

2

1s

21

1s

2

sT2


Partie 1: Propriétés des asservissements (Performance, Bande passante)

Performance

– Un asservissement est performant

» s’il réagit rapidement et suit la consigne avec précision

» ou encore s’il rejette rapidement les perturbations

– Intuitivement, les performances sont d’autant meilleures que le gain de boucle est élevé,

» Cela, peut se justifier aisément par l’étude de la moyenne quadratique de l’erreur (e) sur une période T=2/w, sachant que

» on obtient

» On voit que cette erreur sera d’autant plus petite que le gain de boucle à la fréquence w |GK(jw)| est élevé.

T

0

221T

0

2 dttrjwGK1dtte

)s(r)s(S)s(rsGK1)s(e 1



Performance (Exemple NL)

– On considère le système non linéaire asservi par la boucle de suivi suivante

» où k est un gain scalaire

– On boucle ouverte avec k=1, on observe

» Le suivi est donc bon que pour r petit et la caractéristique est non linéaire

On boucle fermée avec un grand gain (k>>1), la relation

– se réduit à l’expression suivante

» Le suivi est donc bon pour tous r

2xx)x(g

k g(.)

+

-

r e u


y

2rry

2eekre

k1

re

r

k1

rk

k1

r

k1

rkeeky

2

22



Performance (Cas linéaire)

– Dans le domaine fréquentiel, le transfert entre l’erreur de suivie et la consigne est donnée par la fonction de sensibilité

» L’asservissement sera performant dans la bande de fréquence [w1,w2] si dans cette bande, i.e.,

En effet, on a alors

soit

» Ceci nécessite typiquement un gain de boucle élevé dans cette bande, i.e.,

Mais attention, un gain élevé n’implique pas nécessairement toujours de bonne performance

1GKIS

0jwS

21min w,ww,1jwKjwG

21max w,ww,1jwS

1jwGKIjwGKIor

1jwGKI

min1

max

1max

1jwGKI

11jwGKI

min

1max



Performance (Limitations imposées par la présence d’un zéro instable ds G)

– La présence d’un zéro instable dans G(s) apparaît notamment quand G(s) présente une dynamique lente et rapide,

» Exemple :

présente s=z=8 comme zéro instable

Instabilité en présence d’un gain proportionnel élevé

– Exemple : on considère le système SISO : G(s)=z(s)/(s) avec un retour négatif K(s)=k

– Remarques

» Par un retour constant les zéros ne sont pas modifiés

» Par contre les pôles sont modifiés

k 0 cl(s) (s)

k cl(s) kz(s)

On constate que pour un gain élevé les pôles de la BF tendent vers les zéros du système, lesquels sont instables

10s1s

8s

10s

2

1s

1)s(G

s

skz

skzs

skz

skG1

skG

sL1

sL)s(T

cl

cl


Partie 1: Propriétés des asservissements (Stabilité )

Limitation de la bande passante par la présence d’un zéro instable dans G : Performance en Basse Fréquence

– On souhaite que la sortie suive l’entrée,

– Le cas idéal est bien entendu T(s)=1 pour tous w, i.e. T(s)=L(s)*S(s) avec S(s)=1/L(s)

» Soit une fonction de sensibilité égal à l’inverse du transfert de boucle

» Dans ce cas, sachant que T(z)=0 et S(z)=1

On propose

On constate que pour w/z=1/2 (i.e., w=z/2) la fonction de sensibilité coupe l’axe 0db, par conséquent la BP en présence d’un zéro instable est limité et doit être choisi < z/2 de telle sorte que le contrôleur s’approche du contrôleur idéal (i.e. tel que S=1/L).

100

|S|

w*1/z 1/2 1

10-1

10-2

1zS

1z

sz

s2

zs

s2sT1sS

0zTzs

szsT


Relation entre S et la marge de Gain

Pourquoi

– Sachant que

– Or

où L est réel et négatif à w180

180

180jwL1

1jwS

L1

1S

180jwL

1GM

1S

SGM

GM

11

S

1

GM

11

S

1

S

GM

11

1jwS

GM

1180jwL

180

1S

SGM

L(jw)

PM

wc

Re(G(jw)K(jw)

-1

Im(G(jw)K(jw)) L(jw180)

Marge de Gain

w180 1

S


Relation entre T et la marge de Phase

Sachant que

Or

2

PMsin2

1jwT

jwT2

1

jwL2

jwL1

2

PMsin

c

cc

c

T2

1arcsin2PM

T

2

PMsin2

1

jwT2

1

jwL2

jwL1

2

PMsin

cc

c

PM/2

L(jwc)

|-1 - L(jwc)|

-1

-1

Im

Re


Relation entre S et la marge de Module

Marge de module

L(jw)

PM

wc

Re(G(jw)K(jw)

-1

Im(G(jw)K(jw)) L(jw180)

Marge de Gain

w180 1

S

K

SSMM111

1

K1

1

k1

S(jw)

jww1


Contraintes sur les maximums de S et T

Maximum de S = (1+L)-1 et T = LS avec L=KG

Comme S+T = 1 on obtient pour tous w

si grand alors grand

Par contre et ne peuvent pas être simultanément petits

db62jwSmaxSw

db225.1jwTmaxTw

S T

S T

ST1TSTS1

1TSTS

Respect de la marge de module

Limiter les dépassements


Contraintes sur S et T en fonction des pôles et zéros

Si p est un pôle instable de G(s) alors il est également pôle du transfert de boucle L=GK et s=p est alors zéro de la fonction de sensibilité S:

– S(p)=(I+L(p))-1=0 et T(p)=L(p)*S(p)=1

» La preuve est aisée pour un système SISO.

» Dans le cas MIMO on montre que pour conserver la stabilité (i.e. T(s)=L(s)*S(s) stable), il faut que S(s) compense le pôle instable p de L(s) autrement dit s=p doit être un zéro de S(s) => S(p)=0 et T(p)=1 sachant S+T=I

Si z est un zéro instable de G(s) alors il est également zéro du transfert de boucle L=GK et s=z est alors zéro de la fonction de Sens. complémentaire T:

– T(z)=0 et S(z)=1

» SISO:

» Dans le cas MIMO on montre que pour conserver la stabilité (i.e. S(s) stable), il faut que s=z ne soit pas un pôle de S(s) autrement dit s=z assure T(z)=L(z)*S(z)=0 (dénominateur 1+L 0)

1zS,0zT0zL0)z(G

0pS,1pTpL0)p(G 1


Contrainte sur S en présence d’un zéro instable sur G

Gabarit fréquentiel sur S en présence d’un zéro (z) instable sur G

– On considère un gabarit fréquentiel w(s) stable qui modèle la fonction de sensibilité S, alors la BF est stable ssi w(s) satisfait la contrainte inégalité suivante

– Preuve: puisque T(z)=0 et S(z)=1

– On conséquence pour un gabarit unitaire (i.e. sans modelage commande classique) il faut nécessairement assurer

zwzSzwjwSjww ppp

1jwS

zwjwSjww pp

1

jww

jwSp

1


Contrainte T en présence d’un pôle (p) instable sur G

Gabarit fréquentiel sur T en présence d’un pôle (p) instable sur G

– On considère un gabarit fréquentiel wT(s) stable qui modèle la fonction de sensibilité complémentaire T, alors la BF est stable ssi wT(s) satisfait la contrainte inégalité suivante

– Preuve: puisque T(p)=1

– On conséquence pour un gabarit unitaire (i.e. sans modelage) il faut nécessairement assurer

pwjwTjww TT

1

pwpTpwjwTjww TTT

1jwT


Limitations imposées par la présence d’un pôle (p) instable

Par exemple le système G(s)=1/(s-3) présente s=3 comme pôle instable.

– Il faut bien-entendu appliquer un retour pour stabiliser la BF, mais la présence d’un pôle instable impose une BP minimale, explication.

Considérant la gabarit fréquentiel suivant

– lequel est usuel pour un suivi de consigne

Sachant que et T(p)=1 avec p comme pôle instable,

on obtient dès lors

–Soit

1

w

sM

Msw,

M

1

w

ssw

*BT

T

T1T

T*BT

T

wjww

1jwT1Tw

TT

pwpTpwTw1 TTT

1pwT

MT

|wT|-1

w*BT/MT

w*BT


Limitations imposées par la présence d’un zéro instable dans G(s) (suite)

Limitation de la bande passante II

– Soit le gabarit Wp(jw) tel que

» où Wp(jw) est généralement un filtre de performance décrit par

» Avec

A : l’erreur statique /yref

Un maximum de la fonction de sensibilité < K1 2

w*B est la bande passante minimale

Si z est un zéro instable du système alors T(z)=0, S(z)=1 soit

– or

wjww

1jwS1SW

pp

1

1

*1

1*

11

*

1

1*

1

1*

*

1

B

Bp

B

Bp

B

B

p

wK

s

kw

s

ksW

wK

s

kwssW

kws

wK

s

sW

11 0 kWp

1

1 KWp

11

1*

*

1

kwz

wK

z

zwSwzw

B

B

ppp

zWzSzWSW ppp

|Wp-1|

w

K1=2

k1=10-2

w*BK1

w*B

100

10-1

k1w*B

2decades

40db


Performance en basse fréquence en présence d’un zéro (z) instable

Exemple z est réel, alors toutes les variables du gabarit Wp sont réels et positive, le module de Wp(z) devient

– Pour des données parfaites, à savoir k1=0, K1=2 on retrouve la même limitation de la BP minimale, à savoir

Autre cas, si z est imaginaire pur :

Montrer pour k1=0 que la BP minimale est

– Pour K1=2, on trouve

1

1*

1*

*

1 1111

Kzkw

kwz

wK

z

zw BB

B

p

2

zw*

B

21

* 11

KzwB

z86.0w*B

zjz


Performance en Haute fréquence en présence d’un zéro (z) instable

Si l’on considère une atténuation de la fonction de sensibilité S en HF, on fixe par exemple le filtre de performance suivant

–Pour satisfaire il faut pour p=z, que

Soit pour z réel positive une borne inférieure de la BP, à savoir

Pour K1=2, on peut assurer une performance en HF qu’à partir de

1

1

*1

1*

1

B

Bp

w

Ks

K

w

s

Ksw

wjww

1jwS1SW

pp

1zwp

*

1

*1 1

1

11

BpB

p w

K

zzw

w

z

Kzw

z2w*B


Performance de la fonction de sensibilité complémentaire en présence d’un pôle réel ou d’un pôle imaginaire

Cas1 : pôle réel instable s=p

– On obtient d’après la contrainte et le gabarit fréquentiel

» Une bande passante minimale

» Soit pour K1=2

Cas2 : pôle complexe instable s=j|p|

» Une bande passante minimale

» Soit K1=2

1

*

1

Kw

ssw

BTT 1pwT

11

1*

K

KpwBT

p2w*BT

p15.1w*BT

p15.1wc


Partie 2: Robustesse du système en boucle fermée

Plan » Incertitude et robustesse

» Stabilité robuste et analyse des performances


Robustesse aux incertitudes

On peut considérer deux classes d’incertitudes

– Incertitude paramétrique

» Comme son nom l’indique, il s’agit d’incertitude sur les paramètres : gain statique, cte de temps…

– Dynamique non modélisée, négligée

» Par exemple G(s)=G1(s)*G2(s) où G2(s) est négligé (il peut s’agir d’un retard e-s, ou encore d’un mode 1/(s+1))

– Où 0 < < max, 0 < < max

» max et max sont connus


Incertitude paramétrique

Exemple : Gain incertain

– Où kp est gain incertain borné et Go(s) est un transfert nominal (i.e., sans incertitudes)

On montre que l’incertitude paramétrique peut se réécrire sous la forme d’un système à incertitude multiple

Si l’on écrit

– On obtient dès lors

maxpminopp kkk,sGksG

wI I

G

Gp

1

IIIp

I

w1jw,ssw1sGsG

Système avec incertitude multiple

2

kkk,

kk

kkw,w1kk minmax

minmax

minmaxIIp

1,w1sGksG III

sG

op


Stabilité robuste en présence d’incertitude multiple

On considère la synthèse de control classique

– laquelle présente un transfert de boucle

La stabilité au sens de Nyquist est vérifié si

– Lp n’entoure pas le point –1 Lp

wI I

G

Gp

K

1,LwLw1GKKGL IIIIIpp


Stabilité robuste en présence d’incertitude multiple

Nyquist : Lp n’entoure pas le point –1 Lp

– En d’autre termes, il faut

» Que la distance |-1-L(jw)|= |1+L(jw)| > |wIL(jw)| w

– Soit

En conclusion, la stabilité robuste est garantie si

– Cela montre que T doit être faible dans la zone où l’incertitude relative wI excède 1

Im

Re

-1

L(jw)

|wIL|

|1+L|

1,LwLw1GKKGL IIIIIpp

w,1Tww,1L1

LwI

I

w,w

1T

I


Exemple

1/wI

T1 : pas stable

T2 stable


Exemple de mise sous forme LFT: application à la modélisation d’une

dynamique hautes fréquences négligée

Soit Gp(s) une fonction transfert perturbée et Go(s) celle du système nominal, laquelle néglige une dynamique qu’on suppose être du premier ordre, avec une constante de temps < max :

– La connaissance de la valeur max permet d’établir une borne sur l’erreur relative sur la réponse fréquentielle, à savoir

– On peut modéliser la dynamique négligée par une réécriture sous la forme d’un système à incertitude multiple

– où

maxop ;s1

1sGsG

jw1

jw

jw1

jw

jwG

jwGjwG

max

max

o

op

ssw1sGsGsoitssw

sG

sGsG11op11

o

op

1s1jwets1

ssw 11

max

max1


Modélisation d’une dynamique hautes fréquences négligée (suite)

Avec représentation par LFT des incertitudes de modélisation

– On a

– On veut

– Par identification, on obtient

I

Go

Gp

1

IIIop

I

w1jw,ssw1sGsG

Système avec incertitude multiple

H(s)

I(s)

v z

y w

Représentation par LFT

w

z v wI

)s(w

)s(v

sGswsG

10

sy

sz

)s(w

)s(vsH

sy

sz

o1o

|w1(jw)|

1/max 1/ w 1


Autre exemple : incertitude paramétrique

Supposons à présent que Gp(s) s’écrive :

– En posant a=ao+b, -1 < < +1, et en remarquant que

– On obtient le schéma-bloc suivant, lequel est associé à l’incertitude multiple inverse

– qui s’identifie avec le schéma LFT usuel

baabaavecas

1sG oo2p

1

oo as

b1

as

1

as

1

H(s)

I(s)

v z

y w

1/(s+ao)

w

v1

z1

b

1/(s+ao)

v2

b

z2

y


De l’incertitude paramétrique à la LFT

Par identification, on obtient

)s(w

sv

sv

as

1

as

b

as

b

as

1

as

b

as

b

as

10

as

b

)s(w

sv

sv

sH

)s(y

sz

sz

2

1

2oo

2o

2oo

2o

oo

2

1

2

1

0

0s

H(s)

I(s)

v z

y w 1/(s+ao)

w

v1

z1

b

1/(s+ao)

v2

b

z2

y


Propriété des LFT

Une propriété importante des LFT est que toute association de LFT est encore une LFT.

– Ainsi si nous considérons une boucle d’asservissement, avec un correcteur K(s) appliqué au modèle Gp(s) qui présente une incertitude paramétrique et une dynamique négligée, nous obtenons à nouveau une LFT

– Où la structure générale de la matrice d’incertitude est

– Laquelle vérifie les conditions de normalisation

1/(s+ao)

v2

z2

b

1/(s+ao)

v3

b

z3

y

I w1(s)

z1 v1

w

Boucle d’asservissement avec 2 types d’incertitudes

K(s)

,,sdiags 1

1s1,1;1s1


De l’étude de la robustesse au théorème du faible gain

L’étude de la robustesse consiste à chercher à garantir par exemple la stabilité pour un ensemble d’incertitudes (s)

– Si H(s) et (s) sont stables, la seule source d’instabilité provient du bouclage par (s)

– il est donc équivalent d’étudier la stabilité du système de la figure suivante avec M(s)=Hzv(s)

Robustesse de la stabilité : analyse non structurée

– Théorème du petit gain: Si M(s) et (s) sont stables, le système de la figure ci-dessus est stable pour tous (s) tel que ||(s)|| si et seulement si ||M(s)|| -1, où M(s)=Hzv(s)

(s)

M(s)

Schéma d’analyse de la robustesse de la stabilité


Preuve du théorème du faible gain

Si ||M(s)|| -1 alors || (s)M(s)|| || (s)|| ||M(s)|| ||M(s)|| -1 =1 on a donc

Le pire des cas est donné pour une incertitude |(s)|= soit

0jwMjwjwjwM1

1jwMjw

TT

jwM

0jwM1

0jwM1jwM1

1


Conclusion

Si on considère à nouveau le système Gp(s) avec une dynamique négligée

– La structure de contrôle peut être réduite au schéma d’analyse de la robustesse de la stabilité

– Où

(s)

M(s)

z v

wI I

G

Gp

K

z v

sGsK1

sGsKswsM

v

z I


Conclusion (suite)

Dans notre cas ||(s)|| < 1, on en déduit par le théorème du faible gain

– Rappel : (Théorème du faible gain) Si M(s) et (s) sont stables, la BF est stable pour tous (s) tel que ||(s)|| si et seulement si ||M(s)|| -1, où M(s)=Hzv(s)

– Soit ||M(s)|| < 1 ou encore

– avec

jww

1

jwGjwK1

jwGjwK

1sGsK1

sGsKsw

I

I

1/|w1(jw)|

jwGjwK1

jwGjwK

w

1s1jwets1

ssw 11

max

max1


Partie 3: Synthèse de lois de commande (LQG,H, optimisation LMI)

– Synthèse de lois de commande

» LQG




Introduction à la commande par résolution LMI

Préambule

– Étude de la stabilité d’un système autonome au sens du théorème de Lyapunov

Théorème de Lyapunov (1890!)

– Une CNS de stabilité est qu’il une fonction quadratique définie-positive V() = TS, avec S=ST > 0, telle que V décroît le long de toute trajectoire non nulle du système, i.e., dV/dt < 0.

– Une telle fonction si elle , joue le rôle d’une « énergie totale » pour le système, et est appelée fonction de Lyapunov

– S’il une fonction de Lyapunov quadratique prouvant la stabilité asymptotique, on dira que le système est quadratiquement stable

Rappel: Stabilité asymptotique

» une des premières spécifications que l’on cherche à analyser, ou à imposer à un système est sa capacité de retour à l’équilibre (exemple: pendule, …)

– Définition

» On dira qu’un système est asymptotiquement stable si pour toute CI x(0), on a x(t) 0 pour t

Aleksandr Mikhailovich Lyapunov

(1857-1918)


Analyse par fonction de Lyapunov

Objectif:

– Prouver la stabilité du système au sens de Lyapunov

Rappel: Critère de stabilité

Le système est stable si la partie réelle des vp de A sont < 0

Autre critère : Prouver la stabilité au sens de Lyapunov, i.e. rechercher une fonctionnelle V(x) = xTSx, avec S=ST > 0 telle que

Or

Le système est donc asymptotiquement stable ssi il S=ST>0 telle que la LMI suivante en S est vérifiée

0txSASAtxdt

))t(x(dV TT

0V

Axx

Axx

0SASAT


Exemple (système stable)

On propose

Le système scalaire est bien évidemment stable, car la vp est < 0

– Au sens de Lyapunov, cela revient à déterminer S=ST>0, telle que,

Exemple S=2 est une solution au problème posé

– Avec S=ST > 0

1A

xx

0SASAT

04

02*12*1

0SASAT


Exemple (système instable)

On propose

Le système scalaire est bien évidemment instable, car la vp est > 0

Au sens de Lyapunov, il n’existe pas de matrice S=ST > 0, telle que

Preuve par contradiction

1A

xx

0,02

0,1,0

SS

SSASASA TT

0SASAT


Cas général: LMI c’est quoi !!!

Une Inégalité Matricielle Linéaire est une contrainte sur un vecteur réel x m de la forme

– où les matrices symétriques Fi=FiTnn sont données et le symbole F 0 signifie que F est semidéfinie-

positive, i.e. que uTFu 0 pour tout u

Exemple

D’après l’étude précédente le système est stable au sens de Lyapunov

s’il existe une matrice telle que

Soit et

01

0

im

iiFxFxF

10

21A

32

21

pp

ppP

Axx

0 PAPAT0 TPP

04432

322

3221

211

pppp

ppp0

32

21

pp

pp

0

1000

0000

0040

0000

0100

1000

0043

0030

0000

0100

0002

0022

0 3211

0

pppFxFxF i

m

ii


LMI c’est quoi !!!

Des LMIs multiples F(1)(x)>0, …., F(p)(x)>0 peuvent se ramener en une seule, en utilisant des matrices bloc-diagonales: diag(F(1)(x)>0, …., F(p)(x))>0

Exemple

– Les contraintes linaires

» Peuvent s’écrire comme F(x) > 0, en notant,

» il s’agit d’une LMI en x

nibxa iTi ,,1

00

*

00

22

11

xab

xab

xab

xF

Tnn

T

T


Quelques exemples de base

Convertir la contrainte quadratique convexe

– où R=RT > 0 et x0 sont données, en la contrainte LMI

On rencontre plus souvent des LMIs qui portent sur des variables matricielles, par exemple l’inégalité de Riccati

» où A, B, Q = QT, R = RT > 0 sont des matrices données de tailles appropriées et P=PT est la variable

– est une LMI en P

Ou encore, le système est stable si et seulement si, il existe une matrice S=ST > 0, telle que , il s’agit d’une LMI en S

101

0 xxRxxT

01

0

0

Rxxxx T

01 QPBPBRPAPA TT

0

RPB

PBQPAPAT

T

Axx 0SASAT

I

BAI

IBAI

T

0 ,

0

11

Lemme de Schur :

1) C - BTA-1B > 0 ,

2) A - BC-1BT > 0 ,

Avec A =AT > 0, C =CT > 0

Preuve 1): Multiplier à gauche et à droite

resp. par

0,0

0

TT

T

CCAAavec

CB

BA


Quelques exemples de base

Les valeurs propres de A sont – elles comprises entre –h1 et –h2 ?

– Oui si et seulement si il existe une solution

X=XT>0 qui vérifie les 2 LMI’s

Explication

-h1

-h2

02 2 XhXAAX T

02 1 XhXAAX T

0410 XXAAXX T 022

TIAXXIA

TIAXXIA 550

0 TXX

stableIA :2

stableIA :5

02 IA

05 IA

2 A

IA 5

(1)

(1)


Commande par retour d’état (outils LMI)

On considère le système LTI

» avec u = Kx

Objectif: rechercher K par une synthèse LMI, tel que la BF soit stable

Solution

– Déterminer un X et U solution de la LMI

– Le correcteur K est donné par la relation K=UX-1

BuAxx

xBKAx

00 X,UBAXUBAXT

uu


Exemple de programmation sous matlab

A=[1 0; 2 -2]; B=[1; 0];

% le correcteur K (u=Kx) est donné par résolution

% AX+BU+(AX+BU)'<0 et X > 0

% K=U*inv(X)

setlmis([]); % ouverture de la procédure de construction de la LMI

X=lmivar(1,[2,1]); % déclaration de X en précisant sa taille 2*2

U=lmivar(2,[1,2]); % déclaration de U en précisant sa taille 1*2

% Déclaration

% S = lmivar(type,struct)

% type = 1 si S est symétrique

% type = 1 et struct = [i,1] -> block size i*i

% type = 2 et struct = [M,N] -> S est rectangle de dimension MxN

lmiterm([1, 1, 1, X], A, eye(2),'s'); % LMI #1: A*X+X'*A'

lmiterm([1, 1, 1, U], B, eye(2),'s'); % LMI #1: B*U+U'*B'

lmiterm([-2, 1, 1, X], 1, 1); % LMI #2: 0 < X

%TERMID(1) = -2 -> right-hand side of the 2-th LMI

lmicont=getlmis; % diag et fermeture de la proc. de construction de la LMI

[ob,val]=feasp(lmicont,[0 1000 1e6 10 0], -0.01); % résolution de la LMI construite

X=dec2mat(lmicont,val,X); %recupere et assigne a X la solution obtenue)

U=dec2mat(lmicont,val,U); %recupere et assigne a U la solution obtenue)

K=U*inv(X);


Explication : Stabilisation par retour d’état

Le système bouclé est stable ssi la condition suivante est vérifiée

– pour une certaine matrice symétrique X > 0 (correspondant à la fonction de Lyapunov V()= TX-1)

La condition (i) n’est pas une LMI à la fois en X et K, à cause du terme quadratique KX.

– On pose U=KX, on obtient dès lors une LMI en X et U :

0T

uu KBAXXKBA

00 X,UBAXUBAXT

uu

0

0

011

xBUAXBUAXx

xXBKABKAXx

xBKAXXBKAxxV

TT

TT

TT

xXxLya

xBKAxSys

T 1xV

BF

(i)


Stabilisation par retour d’état avec placement des pôles entre –h2 et –h1

Solution

Explication voir transparent 63

0

,02

,02

1

2

T

Tuu

Tuu

XX

XhUBAXUBAX

XhUBAXUBAX


Commande par Retour de Sorties

La commande par retour d’état statique vue précédemment peut être inapplicable, car elle nécessite la mesure complète de l’état (y=x)

– Or certaines variables d’état sont parfois inaccessibles à la mesure, soit parce que le capteur correspondant est coûteux, ou parce que la mesure requise est trop difficile à faire de manière précise. Nous sommes donc amenés à considérer des problèmes de commande en information incomplète, où la loi de commande dépend uniquement de la sortie mesurée y

Nous examinons

– la loi de commande par retour de sorties statique u=Ky

– la loi de commande par retour de sorties dynamique u=K(y)

» où K est un opérateur, i.e. un processus (ou filtre)

DC

BA Kavec

y

xK

u

x(18)


Stabilisation par retour de sorties statique

On considère le système simplifié suivant

– avec la loi statique u = K y on obtient,

Une CNS de stabilisabilité est qu’il existe S telle que

– Contrairement au cas du retour d’état (Cy = I), le changement de variable X = S-1 ne permet pas d’aboutir à une LMI.

u

x

C

BA

y

x

y

u

0

xKCBAx yu

00 S,KCBASSKCBA yuT

yu

(19)

(20)


Stabilisation par retour de sortie dynamique

On considère le système (19)

– associé à la commande dynamique (18)

En couplant ces deux systèmes, on obtient le système bouclé

– où est l’état augmenté et

les matrices qui le compose.

u

x

C

BA

y

x

y

u

0

DC

BA Kavec

y

xK

u

x

x~ACB

CBCDBAx~C

~KB

~A~

x~

y

uyuyu

knTTT xxx~

0

0

0

0

00

0

yy

uu C

IC~

,I

BB~

,A

A~


Stabilisation (suite)

Le problème se ramène donc à celui de la commande par retour de sorties statique,

– mais la structure particulière des matrices du système augmenté montre du moins dans le cas d’une loi de commande

d’ordre plein, k=n, une solution LMI.

– Cette solution est obtenue en 2 étapes :

» Etape 1 :On transforme la BMI en 2 LMI

» Etape2 : Si V et U existent alors le correcteur K existe et la BMI précédente devient une LMI

en K, étant connue

Etape 1: On applique le lemme d’élimination (transparent 6) avec

– on obtient qu’une CNS de stabilisabilité par retour de sorties dynamique est qu’ils existent

– telles que

0

0

0

TT

TT

TTT

T

NVNVWet

MUMUW

MNKMKNW

WW:néliminatiod' Lemme

Tyu

T C~

N,B~

S~

M,A~

S~

S~

A~

W

0S~

,0C~

KB~

A~

S~

S~

C~

KB~

A~

yuT

yu

V~

,U~

,X~

,S~

TTyyy

TTy

T VV~

,0C~

V~

A~

S~

C~

V~

A~

S~

0C~

VVC~

A~

S~

S~

A~

X~

UU~

,U~

B~

X~

A~

U~

B~

X~

A~

S~

B~

UUB~

S~

A~

S~

S~

A~ T

uuTu

Tu

T 00

IS~

X~

X~

,S~

00

(21)

(22)

(23)

S~


Étape 1: Réécriture des deux inégalités (21) et (22) en fonction des matrices A, B, C

Au vu de la structure particulière

– on peux réécrire les deux inégalités (21) et (22) en fonction des matrices du système original, soit

– où X (resp. S) est le bloc supérieur gauche de taille nn dans

Il nous reste à examiner la condition

0

0

0

0

00

0

yy

uu C

IC~

,I

BB~

,A

A~

0T

yy VCSAVCSA

0T

uu UBAXUBAX

.S~

resp. X~

IX~

S~

,X~

,S~

00


Étape 1: Transformation de la contrainte en une LMI

– Le lemme suivant montre qu’on peut, là encore, réduire ces conditions à des conditions sur les blocs supérieurs gauches X, S

Lemme 3 :

– Pour toute paire de matrices symétriques (X, S) de Rnn, il existe une matrice

telle que si et seulement si X, S vérifient

Les matrices (*) sont à déterminer telles que .

Une solution à ce problème peut être donnée par application d’une décomposition en valeur singulière de la matrice

.

– On en déduit 2 matrices unitaires U1, V1 (i.e. U1U1T=I et V1V1

T=I) et une matrice régulière S1

composée des valeurs singulières de telle que

Soit la solution

IX~

S~

0X~

,0S~

knknX~

knS,XKrang,SI

IXS,XK

0

***S

X~

,***X

X~ 1

kn11 IX

~X~

X~

X~

XSIn

T111n VSUXSI

111

1T11

111T11

T1

T1

1

SXVUVS

SVSX~

,VSSUU

UXX~

XSIn


Conditions d’existence d’un correcteur dynamique par retour de sortie

Théorème: Le système (19) est stabilisable par une loi de commande d’ordre k de type (18) ssi il existe X, S, U, V telles que

Pour un correcteur d’ordre plein k = n ou supérieure à n, la condition de rang est nécessairement vérifiée.

0T

uu UBAXUBAX

0T

yy VCSAVCSA

knS,XKrang,SI

IXS,XK

0

(24)


Remarque

Dans tous les autres cas (0 k < n), la condition de rang rend le problème non convexe,

ce qui montre que le problème de commande par ordre réduit est notablement plus difficile que dans le cas plein et la garantie de convergence vers le minimum global n’est pas assurée

– Remarque le cas, k = 0 correspondant à la loi statique est donc un problème non convexe.

– Par contre pour Cy= I on retrouve les conditions convexes énoncées dans le cas d’une loi de commande par retour d’état puisque dans ce cas la contrainte sur S disparaît et on est libre de choisir S = X-1 (voir transparent 21).

0VCSAVCSA

0UBAXUBAX

SV, U, X, en LMI scontrainte les sousSI

IXrangmin

Tyy

Tuu

XX,SS TT


Étape 2: Détermination du correcteur dynamique K

Si les conditions du théorème précédent sont satisfaites, alors on peut construire une loi de commande en deux étapes

– Tous d’abord, on calcule une matrice qui satisfait aux conditions du lemme 3.

Une telle matrice correspond à une fonction de Lyapunov

qui prouve la stabilité du système en boucle fermée.

– Une fois la fonction de Lyapunov déterminée, est connue et il reste à résoudre la LMI

– Rappel : La matrice est donnée par une SVD de , et est donnée par l ’expression

» Où U1, S1, V1 sont les paramètres de sortie de la fonction svd(I-XS)

Le théorème (i.e. les LMI 24) garantit que ce problème est bien réalisable.

X~

x~X~

x~x~V T 1

0T

yuyu C~

KB~

A~

X~

X~

C~

KB~

A~

que teltrouver K

X~

T

11T1

T1

1

VSSUU

UXX~

X~

XSIn


Analyse du système Entrées-Sorties

On considère (pour simplifier) le système sans entrées de commande u ni sorties mesurées y

Nous cherchons à qualifier trois types de comportements

– la relation condition initiale-sortie

– la relation entrées-trajectoires

– et finalement le lien entrées-sorties

Hypothèse

– le système autonome est asymptotiquement stable

w

x

DC

BA

z

x

zwz

wz


Propriétés État-Sortie

Considérons d’abord l’effet des CI (données ou incertaine) sur la sortie du système

– On supposera d’abord que la CI x(0) est donnée

Bornes sur l’énergie en sortie

– On cherche à évaluer l’impact d’une CI donnée, sur l’énergie obtenue en sortie

– Supposons qu’il existe une fonction quadratique de Lyapunov V()= TS telle que

– pour tout x, z vérifiant (5)

Solution

– minimiser x(0)TSx(0) soumis à S > 0 et ATS+SA+CzTCz 0

xCz,Axx z

0

zdtzT

Rappel : X1/2 peut s’interpréter comme le

« rayon » de l’ellipsoïde

zz

dt

xdVetS T 0

(5)

(6)


Bornes sur l’énergie en sortie: x(0) donnée

Démonstration

– On intègre l’expression (6), on obtient alors

– pour tout T 0. Puisque V(x(T)) 0, alors

– et en conclue que la meilleure borne supérieure sur l’énergie maximale de la sortie s’obtient en résolvant le problème

– minimiser x(0)TSx(0) soumis à S > 0 et ATS+SA+CzTCz 0

– ou encore sous une formulation en termes de X=S-1

» version non stricte de la condition LMI de stabilité asymptotique

T

TzdtzxVTxV0

0

xCz

Axx

z

Système :

zz

dt

xdVetS T 0 (6)

T

TzdtzxVTxV0

00

0000

SxxxVzdtzT

TT

00

0

0

00

zTz

T

zTz

TTTT

T

zTz

T

CCSASAetS

xCCxxSASAxetS

zzdt

xdVetS

CCSASAetS:preuve

00

IXC

XCXAAXetX

z

Tz

T


Propriétés Entrées-État

Nous cherchons maintenant à analyser l’effet d’entrées externes sur le système:

États atteignables avec énergie unité

– Soit Rue l’ensemble des états atteignables avec des entrées d’énergie unité, i.e.

En d’autre termes on cherche à borner Rue par un ellipsoïde de la forme

– où S > 0

wBAxx w

T

TueT,wdtw

0x(0) (7), vérifientw,x

TxR

0

01

(7)

1 SR Tn


Solution : États atteignables avec énergie unité

On suppose que la fonction V()= TS avec S > 0 soit telle que

– pour tout x, w vérifiant (7)

On intègre l’expression (8), avec x(0)=0 et V(x(0)) = 0, on obtient alors pour tout T 0

On en conclue que pour toute entrée w telle que

– l’ensemble atteignable Rue du système est l’ellipsoïde

déterminée par la contrainte LMI

ou encore

ww

dt

xdV T

00

x où

wBAxx wSystème : (7)

(8)

10

T

Twdtw

1 SR Tn

00

ISB

SBSASAetS

Tw

wT

100

T

TT wdtwTxVS

001 Tww

T BBXAAX,X,SX


Propriétés Entrée-Sortie

Étude de l’effet d’une entrée sur la sortie du système

On définit le Gain L2 du système par la quantité

– où la norme L2 d’un signal w est définie par

Le gain L2 sert à mesurer la quantité d’énergie transmise par le système. La notion de gain L2 est utile pour quantifier la façon dont le système rejette les perturbations externes (collectées dans le signal w)

00

x

xCz

wBAxx

z

w

0

2

0

2

2

2

2

2

02

wdtwzdtzw

zsup TT

w

0

2

2wdtww T

(i)


Rappel

Dans la cas des systèmes LTI, la borne ainsi obtenue est égale à la norme H de la fonction de transfert du système, i.e

wz

sBAsICmax

1

0

Eejwt

G(s)

G(jw) E ejwt

jwG

jwGi

2

jwG3

jwG1

w


Exemple 1: Système monovariable

On considère le système

Par définition :

– soit

Remarque :

– Comme G1 est un système monovariable, on retrouve la définition du module, à savoir

2

11

ssG

p,mmin,i

jwGjwGjwGjwGjwGT

iT

ii

1

2114

1

2

1

2

1

wjwjwjwG

21

4

1

wjwGjwG

F r e q u e n c y ( r a d / s e c )

Sin

gu

lar V

alu

es

(d

B)

S i n g u la r V a lu e s

1 0- 1

1 00

1 01

- 2 2

- 2 0

- 1 8

- 1 6

- 1 4

- 1 2

- 1 0

- 8

- 6


Exemple

Système multivariable

D'après la définition :

– on obtient une matrice carrée de dimension 22 fonction de la pulsation w où pour

chaque w il existe 2 valeurs propres 1 et 2 dont les racines forment respectivement les 2 valeurs singulières 1 et 2

– Les valeurs singulières étant des nombres réels positifs ou nuls, elles peuvent être classées. On notera la plus grande valeur singulière et la plus petite

1024

152

1024

11024

23

1024

20

22

22

2

sss

s

sss

sss

s

sss

s

sG

p,mmin,i

jwGjwGjwGjwGjwGT

iT

ii

1

w : rad / sec

dB

Singular Values

10-1

100

101

102

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

jwGjwGjwGjwG 21

jwG jwG


Propriétés Entrée-Sortie : Gain L2

Solution

– On suppose qu’il existe une fonction quadratique V()= TS , S > 0 et un scalaire > 0 tels que, pour tout t,

– En intégrant l’inégalité de 0 à T, avec x(0)=0, on obtient

– Puisque V(x(t)) > 0 alors

– où l’inégalité (*) s’écrit

» Il reste à rechercher de manière itérative la plus petite borne supérieure qui admette une solution S>0 de la

LMI (ii)

(i) vérifiant wx,pour tout 02 wwzz

dt

txdV TT

00

x

xCz

wBAxx

z

w(i)

00

2 T

TT dtwwzztxV

2

2

0

2

0

0

20

w

zdtwwdtzz

dtwwzztxV

T TT T

T TT

(*)

02

ISB

SBCCSASATw

wzTz

T

Système :

(ii)


Ellipsoïdes invariants

La stabilité asymptotique peut s’interpréter en termes d’Ellipsoïdes invariants

– soit X > 0, et soit l’ellipsoïde centré à l’origine

– (X1/2 peut s’interpréter comme le « rayon » de l’ellipsoïde). On dira que est invariant pour le système (2) si pour toute trajectoire x, x(t0) implique x(t) pour t t0 (figure 1)

– On peut utiliser l’invariance pour obtenir des bornes sur l’état du système (2), lorsque les CI sont inconnues mais bornées

11 XR Tn

x0

x1

x2

x3

Figure 1 : Ellipsoïde invariant


Exemple d’application de l’invariance

On suppose que

– où les sommets vi du polytope P sont donnés. L’ellipsoïde contient P ssi

Grâce au lemme de Schur, la condition ci-dessus peut s’écrire comme une LMI en X

– la condition(5), assortie de la condition ATS+SA 0 garantie que pour toute trajectoire initialisée dans P, l’état reste confiné dans l’ellipsoïde

– on peut alors chercher par exemple l’ellipsoïde de « taille » (volume, somme des longueurs des demies axes, etc) minimale garantissant ces conditions: on obtiendra des pb LMI. Par exemple le volume est proportionnel à la racine carrée de det X, ce qui montre que le problème de maximisation du volume se ramène à un problème LMI, de type maximisation de déterminant.

pv,,vCPx 100

p,,j,vXv jTj 111

p,,j,Xv

v

j

Tj 10

1

(5)

Exemple CI:

21

0x21

21

V1

2

1V2

21

V3

21

V4

10x20xet20x2 212

x2

x1

25

V1


Performances

Bornes sur l’entrée de commande d’un système non perturbé

– On cherche une loi stabilisante u = Kx = UY-1x telle que, pour une CI donnée , la norme de la commande ne dépasse pas une certaine valeur umax (qui caractérise la saturation de l’actionneur)

– Pour assurer cette propriété, on part de la condition de stabilisabilité (13). Celle-ci assure que l’ellipsoïde = { | TY-1 1} est invariant. Supposons que l’on choisisse Y de manière que x(0) , i.e.

– D’après la propriété d’invariance de , on en conclut que x(t)TY-1x(t) 1 pour tout t. Cela nous permet de borner l’état du système et donc la commande u, qui n’est qu’une projection linéaire de l’état (voir figure ci-dessus)

x0

x1

x2

x3

umax u=Kx

-umax

Figure : Bornes sur la commande appliquée par ellipsoïde invariant

0

0

01100 1

Yx

xxYx

TT

Système BF :

Lyapunov :

xKBAx u

xYxxV T 1

130T

uu UBAYUBAY

0

0

011

xUBAYUBAYx

xYKBAKBAYx

xKBAYYKBAxxV

Tuu

T

uT

uT

uT

uT


Bornes sur l’entrée de commande (suite)

Par l’ellipsoïde invariant = {x | xTY-1x 1} la contrainte

– est donc vérifiée à tout instant si la LMI

– est satisfaite. Ensemble les LMI (13) et (17) garantissent la stabilité asymptotique et la propriété de non-saturation.

La contrainte (17) est aussi une LMI en x(0), ce qui permet de généraliser ce qui précède au cas où la CI est inconnue mais bornée.

– Si par exemple,

– où P est un polytope donné, de sommets vi, alors la contrainte

garantit la condition de saturation voulue.

maxmaxmax utxUYutKxutu 1

0

0

010

2

Yx

x,

IuU

UY T

max

T

(17)

pv,,vCPx 100

p,,j,Yv

v,

IuU

UY

j

Tj

max

T

101

02

00 Y,UBAYUBAYT

uu(13)


Preuve : Bornes sur l’entrée de commande

La contrainte

– est vérifiée à tout instant si la LMI suivante est satisfaite

Preuve :

– par le lemme de Schur

– on pre et post multiplie par Y-1 l’expression 1 et par u2max la seconde inégalité

– on pré et post multiplie l’expression 1 par x(t)T et x(t) resp. et d’après la propriété

d’invariance de , on a x(t)TY-1x(t) 1 soit

(17)

010017 12 Y,xYx,YUUuTT

max

00017 212121 Y,uxYux,YuUYUY maxmaxT

maxTT

22

2

2121211

17

017

max

maxmaxT

maxTTT

utu

Y,utxYutx,txYutxtxUYUYtx

0

0

010

2

Yx

x,

IuU

UY T

max

T

maxmaxmax utxUYutKxutu 1


Synthèse H : approche standard par LMI

Problème standard

– La synthèse H illustrée sur la figure suivante est représentée par un procédé P(s) et son contrôleur K(s) associé

– où

Problème H standard : P(s) et étant donnés, déterminer K(s) qui stabilise le système bouclé de la figure ci-dessus et assure une norme H du transfert entre w et z inférieure à

uw

x

DD

DD

C

C

BBA

yz

x

:sP

yuyw

zuzw

y

z

uw

P(s)

K(s)

w

u

z

y

y

x

DC

BA

u

xsK

:


Hypothèses du pb H standard par LMI

La synthèse par LMI fournit une autre façon de résoudre le pb standard développé également par la résolution de 2 équations de Riccati (voir poly cours AC511). Elle est plus générale, dans la mesure où elle ne nécessite pas, contrairement à l’approche par équations de Riccati le respect des hypothèses H2, H3 et H4 (l’hypothèse H1 reste nécessaire) :

– H1 : (A, Bu) stabilisable et (Cy, A) détectable

– H2 : rang(Dzu) = dim(u) et rang(Dyw)=dim(y)

– H3 : est de plein rang colonne pour tout w

– H4 : est de plein rang colonne pour tout w

– Démonstration des hyp. H3 et H4 (voir poly cours AC511)

zuz

u

DC

BjwIA

ywy

w

DC

BjwIA

Hypothèse classique existe en

commande modale ou en

encore en synthèse LQG, elle

est nécessaire pour obtenir la

stabilité du système bouclé

Hypothèse nécessaire pour

avoir un correcteur strictement

propre


Exemple élémentaire

Les deux schémas suivant sont équivalents

– w=(b v)T est le vecteur des entrées

– z=(e u)T est le vecteur de signaux à contrôler

La représentation de la matrice P(s) s’écrit alors sous la forme standard suivante :

uwxy

uwxz

uwxx

sP

0101

1

0

00

00

0

1

1010

:)(

P(s)

K(s)

z w

u y

K(s) 1/s

b

u e

v y +

+ x x


Algorithme

Hypothèses : Dyu = 0 et (A, Bu) stabilisable et (Cy, A) détectable

Problème : déterminer le contrôleur dynamique K telle que le système augmenté

soit stable et admette un transfert de norme H < entre w et z.

Solution : Soit une fonction de Lyapunov candidate telle que

Algorithme

– Étape 1: l’inégalité (b) est solution du pb, la dérivation de la fonction de Lyapunov candidate le long

des trajectoires du système augmenté transforme l’inégalité en une BMI en

– Étape 2: par le lemme d’élimination on transforme la BMI en 2 LMI où K n’intervient plus

– Étape 3: La solution des 2 LMI garantit que le correcteur K existe. est alors connue et la BMI en

devient alors une LMI en K, dont la solution fournit le correcteur K.

w

x~

D~B~

C~A~

w

x

x

DDDDCDCDDC

DBACB

DDBBCBCDBA

z

x

x

ywzuzwzuyzuz

ywy

ywuwuyu

uw

x

0D

DDCC

BBA

yz

x

:sP

yw

zuzw

y

z

uw

y

x

DC

BA

u

xsK

:

0x~X~

x~x~V T

(a) vérifiant w,x~ tout pour0wwzz

dt

x~dV T2T

(a)

(b)

K,X~

X~

K,X~


Résolution

Étape 1: L’inégalité (b) est solution du pb, la dérivée de V le long des trajectoires du système augmenté (a) transforme l’inégalité (b) en une BMI :

– C’est une BMI car sont fonctions de K

Étape 2: On applique le lemme d’élimination pour éliminer K,

Cela revient à écrire la BMI ci dessus sous la forme

– on obtient après quelques manipulations les 2 LMI suivantes

où

0wwzz

dt

x~dV T2T (b) wD

~x~C

~z

wB~

x~A~

x~

(a)

0C~

C~

A~

X~

X~

A~

B~

X~

D~

C~

B~

X~

D~

C~

D~

D~

ITTT

TTT2

D~

,C~

,B~

,A~

0KQPPKQ TTT

00

0

0

0

w

w

zw n

R

nTzw

Tw

ewnz

wTz

TT

n

R

I

N

IDB

DIRC

BRCRAAR

I

N0

0

0

0

0

z

z

wz n

S

nzwz

Tzwn

Tw

Tzw

TT

n

S

I

N

IDC

DISB

CSBSASA

I

N

Teu

Tu

RD

BKerN

yw

yS D

CKerN

0

0

0

TT

TT

TTT

NVNVW

MUMUW

MNKMKNW

Lemme d’ élimination : W=WT


Correcteur d’ordre plein (pb convexe)

Étape 2 (Suite)

Il reste à rechercher la valeur optimale de en résolvant le problème d’optimisation convexe

Étape 3: A partir des matrices R et S solutions du problème précédent, est maintenant connue, la BMI

devient une LMI en K, dont la solution fournit le correcteur K

00

0

0

0sousmin

,

w

w

zw

TT n

R

nTzw

Tw

ewnz

wTz

TT

n

R

SSRR I

N

IDB

DIRC

BRCRAAR

I

N

00

0

0

0

z

z

wz n

S

nzwz

Tzwn

Tw

Tzw

TT

n

S

I

N

IDC

DISB

CSBSASA

I

N

0

SI

IR

n

n

X~

0C~

C~

A~

X~

X~

A~

B~

X~

D~

C~

B~

X~

D~

C~

D~

D~

ITTT

TTT2


Problème H standard par résolution LMI

Mise en forme pour la synthèse

– Considérons l’exemple classique d’un système asservi où G(s) est un

modèle du système à asservir et K(s) le correcteur à déterminer pour asservir la sortie q sur la référence r.

– Le signal b est une perturbation.

G(s)

b

q K(s) u

r

-

+

-


Obtention des objectifs de synthèse : deux approches

Par l’introduction de fonction de pondération

– Mise en œuvre par l’introduction de fonctions de pondération

– Pour atteindre les objectifs précédents, on peut introduire des pondérations sur les différents signaux, qui prendront la forme de filtres permettant, suivant le signal auquel elles s’appliquent, de privilégier un domaine de fréquences particulier.

– Considérons à cette fin le schéma suivant dans lequel est pondérée par le filtre w1(s), la commande u par w2(s) et l’entrée de perturbation b est la sortie d’un filtre w3(s)

Par "loop shaping"

– Consiste à modeler le transfert de boucle de telle sorte ce transfert présente un bon compromis P/R

G(s)

b

y u

r

-

+

-

w1(s) w2(s)

w3(s)

K(s)

d

e2 e1


Mises en œuvre par l’introduction de fonction de pondération

En considérant r et d comme des entrées et e1, e2 comme les signaux à surveiller, on obtient dès lors :

Le problème H standard qui en découle est

– déterminer un scalaire > 0 et le correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant :

sD

sR

swsGsSsKswsSsKsw

swsGsSswsSsw

sE

sE

322

311

2

1

11

GKsS

swsGsSsKswsSsKsw

swsGsSswsSsw

322

311(**)

G(s)

b

q u

r

-

+ +

w1(s) w2(s)

w3(s)

K(s)

d

e2 e1


Mises en œuvre par l’introduction de fonction de pondération (Suite)

Avantage

– Bien que le pb (i) est plus simple, l’avantage de considérer ce pb est que les filtres w1(s), w2(s), w3(s) permettent de modeler les différents transferts S, KS, SG et KSG

– Les propriétés de la norme H assurent en effet que si la condition (ii) est vérifiée, alors les 4 conditions suivantes le sont aussi :

– On voit donc que la réponse fréquentielle de chacune des fonctions S, KS, SG et KSG est contrainte par un gabarit qui dépends des filtres choisis.

b

r

KSGKS

SGSM

u

e(i)

swsGsSsKswsSsKsw

swsGsSswsSsw

322

311 (ii)

jww

jwSwsSsw1

1

jwwjww

jwGjwSwsGsSswsw31

31

jww

jwSjwKwsSsKsw2

2

jwwjww

jwGjwSjwKwsGsSsKswsw32

32

(1)

(2)

(3)

(4)


Allure typique des différents gabarits

Le gabarit sur S est fixée à une valeur k1 faible en basse fréquence pour assurer les objectifs de précision

La pulsation 1 pour laquelle le gabarit coupe l’axe 0db peut être interprétée comme la BP minimale souhaitée pour l’asservissement.

La valeur K1 du gabarit en haute fréquence limite le maximum de la réponse fréquentielle de S (i.e. sa norme H), ce qui impose une MM au moins égale à 1/K1.

1

BO

K

1)jw(S/1

)jw(Smax/1)jw(S/1min

KG1minH1minMM

Le gabarit sur SG dépend des 2 filtres w1(s) et w3(s).

Dans certain cas il suffit de prendre w3(s) constant et faible (exemple = 10-2), ce qui permet de régler l’atténuation en basse fréquence.

Mais w3(s) permet également de modifier le comportement de SG en moyenne fréquence, pour obtenir un comportement transitoire correct en réponse à une perturbation.

1

K1

1

k1

S(jw)

jww1

w3 constant

1

S(jw)G(jw)

31ww

w3 variable

consigne écart perturbation écart


Allure typique des différents gabarits

Les valeurs K2 et k2 du gabarit sur KS ont en général assez peu d’importance, tandis que le paramètre le plus utile est 2

Dans certains cas on peut préférer ajuster par w3(s) le gabarit sur KSG plutôt que le gabarit sur SG, afin par exemple de satisfaire un gabarit d’atténuation assurant la robustesse de la stabilité aux dynamiques négligées.

Mais w3(s) permet également de modifier le comportement de SG en moyenne fréquence, ce qui peut s’avérer utile pour obtenir un comportement transitoire correct en réponse à une perturbation.

2

K2

1

k2

K(jw)S(jw)

jww2

1

K(jw)S(jw)G(jw)

32ww

consigne commande

perturbation commande


Mise sous forme standard

En pratique, on choisit les filtres w1(s), w2(s), w3(s) d’après les considérations précédentes et on résout le problème H correspondant, qui donne la valeur de et le correcteur.

Bien sur la valeur de n’est pas connue à l’avance, elle intervient dans les gabarits et on oriente le choix des filtres de façon à avoir une valeur de proche de 1.

Une fois les filtres choisis, il reste à mettre le problème sous la forme standard, i.e.,

G(s)

b

y u

r

-

+ -

w1(s) w2(s)

w3(s)

K(s)

d

e2 e1

P(s)

K(s)

w

u

z

y


Identification des E/S

Entrées

– w = [r, d]T

Signaux surveillés

– z = e = [e1, e2]T

Entrées du correcteur

–

Sorties du correcteur

– u

La représentation d’état

utilisée pour résoudre le pb H est obtenue en considérant une représentation d’état pour chaque fonction de transfert G(s), w1(s), w2(s), w3(s)

G(s)

b

q u

r

-

+ -

w1(s) w2(s)

w3(s)

K(s)

d

e2 e1

uw

x

DD

DD

C

C

BBA

z

x

sP

yuyw

zuzw

y

z

uw

:

P(s)

K(s)

w

u

z

y


Représentation d’état

Pour chaque fonction de transfert G(s), w1(s), w2(s), w3(s)

Cxy

buBAxx

ysortiebuentréesG

::

zrDxCe

zrBxAx

e:sortie:entréesw

1111

1111

11

uDxCe

uBxAx

e:sortieu:entréesw

2222

2222

22

dDxCb

dBxAx

b:sortied:entréesw

333

3333

3

ud

rI

x

x

x

x

C

uDd

rD

x

x

x

x

C

CCD

e

e

uB

B

d

r

B

B

BD

x

x

x

x

A

A

ACB

BCA

x

x

x

x

00000

0

00

0

000

00

0

0

0

00

0

0

000

000

00

00

3

2

1

2

1

3

2

1

2

11

2

1

2

3

1

3

3

2

1

3

2

11

3

3

2

1


Conditions d’existence par résolution LMI

Hyp: On considère (A, B) stabilisable et (C, A) détectable.

– la partie non commandable est constituée par le filtre w3(s) et la partie non observable par les

filtres w1(s), w2(s)

– L’hypothèse de détectabilité et de stabilisabilité impose donc de choisir des filtres à pondération

stables.


Exemple

Moteur à courant continu

où

– u est la tension de commande

– b une perturbation constante (type tension offset)

– q la mesure de position

ampli

moteur

Réducteur : 1/N

q

b

u ,

I

tN

)t(q

dt

dt

ta)t(IKdt

dJ

b)t(uAtK)t(RIdt

dIL

c

e

Modélisation


Objectifs et modèle de synthèse

Objectifs de l’asservissement

– BP : c=100rd/s

– marges de module : 0.6 (=1/K1)

– amplitude de la commande « raisonnable »

– erreur statique du à b inférieure à 1%

– gain entre la référence et la commande inférieure à 2 pour tout w

Modèle de synthèse simplifié

– pour effectuer l’asservissement, on peut considérer ce modèle simplifié (L=0), car la constante de temps ainsi négligée L/R=0.862.10-3 (p~104) est hors de la BP

s015.01s

240

sU

)s(QsG


Proposer les filtres w1, w2 et w3

Le filtre w1(s) est choisi de telle sorte que le bode de 1/|w1(s)|

» coupe l’axe 0db à 100rd/s (BP demandée)

» présente un gain en haute fréquence de 1.7 (=1/0.6) de façon à limiter la norme H de la fonction de sensibilité et garantir ainsi une marge de module de 0.6

» présente un gain suffisamment faible en basse fréquence

Soit

K1

1

k1

S(jw)

;1

1 jww

consigne écart

b

r

KSGKS

SGSM

u

e

swsGsSsKswsSsKsw

swsGsSswsSsw

322

311

c,b,asousminTT SS,RR

24

Frequency (rad/sec)

Pha

se

(d

eg

); M

ag

nitud

e (

dB

)

Bode Diagrams

-60

-40

-20

0

20From: U(1)

10-2

10-1

100

101

102

103

0

20

40

60

80

100

To:

Y(1

)

Bode de 1/w1(s)

Phase de 1/w1(s)

w=k1w*B

w=w*B

+20db/dec

-20db/dec

w*B

k1w*B

1

1

*1

1*

11

1

B

B

wK

s

kw

s

ksW

w*BK1


Proposer les filtres w1, w2 et w3

Le filtre w2(s) est choisi de telle sorte que – le gain de correcteur chute dans les hautes fréquences

» afin de limiter la sensibilité au bruit

» et tenir compte du caractère incertain du modèle dans cette zone

» Rappel : on a négligé le pole 1/L/R=104

Procédure,

– On fixe w2(s)=w3(s)=10-2 (par exemple)

» on ajuste w2 de telle sorte que la fonction de sensibilité S suive au plus près le gabarit 1/w1 et assure un proche de 1

» la valeur w2=0.5 (1/w2=2) est retenue, valeur pour laquelle la norme H de la matrice pondérée

» donne = 0.957 et assure donc un transfert consigne/commande < 2 pour tout w

– On augmente progressivement w3 jusqu’à atteindre effet significatif sur , en veillant toutefois à ce que celui-ci ne dépasse pas excessivement 1 :

» on obtient = 1.1 pour w3 = 0.015

– Enfin on introduit une atténuation en haute fréquence sur le gabarit 1/w2

pour filtrer le pole 1/L/R=104 négligé

Rq: le filtre W2(s) assure un transfert directe, i.e., D0 (Hyp H2 est ainsi vérifiée)

2

K2

1

k2

K(jw)S(jw)

jww2

consigne commande

swsGsSsKswsSsKsw

swsGsSswsSsw

322

3111

K(jw)S(jw)G(jw)

32ww

perturbation commande

1000150

5000011

2 s.

s

w s

20log2

-20db/dec

+20db/dec

w=1000

w=50000


Réponses fréquentielles des transmittances 1/w1, 1/w2, 1/w1w3, 1/w2w3

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

1/w1

-60

-40

-20

0

20From: U(1)

10-2

10-1

100

101

102

103

0

20

40

60

80

100

To: Y

(1)

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

1/w1w3

-60

-40

-20

0

20

40From: U(1)

10-2

10-1

100

101

102

103

0

20

40

60

80

100

To: Y

(1)

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

de

g);

Ma

gni

tud

e (

dB

)

1/w2

-30

-20

-10

0

10From: U(1)

102

103

104

105

106

-80

-60

-40

-20

0

To:

Y(1

)

Frequency (rad/sec)

Pha

se

(d

eg

); M

ag

nitud

e (

dB

)

1/w2w3

-20

-10

0

10

20

30From: U(1)

102

103

104

105

106

-80

-60

-40

-20

0

To:

Y(1

)


Recherche de K

Les LMI 24a,b,c étant vérifiées,

» a partir des matrices R et S solutions du problème précédent une résolution par LMI donne le correcteur K

» cette résolution consiste à résoudre la BMI suivante en X=X ’> 0 obtenue à partir du système bouclé augmenté du correcteur K

Système bouclé augmenté du correcteur

» cela est une BMI en X, Ac, Bc, Cc, Dc, et devient une LMI en Ac, Bc, Cc, Dc, par une SVD de X telle que

» dont la résolution fournit le correcteur K

225001

500001

9311

641

3751

261

0750

6759

/s

/s

/s

/s

/s

/s

.s

.sK

0

z

w

nff

Tfn

Tf

Tfff

Tf

IDC

DIXB

CXBXAXA

yDxCu

yBxAx;

DC

BAK

ccc

cccc

cc

cc

w

xx

DC

BA

z

xx

c

ff

ffc

RNMN

NSX T


Réponse fréquentielle de la BO

– Le cahier des charges de BO est vérifiée

» la pulsation au gain unité est égale à 100rd/s

» les marges de gain et de phase sont égales à 20db et 55° respectivement

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

KG

-300

-200

-100

0

100

200Gm=21.892 dB (at 555.72 rad/sec), Pm=55.806 deg. (at 92.145 rad/sec)

10-2

100

102

104

-300

-250

-200

-150

-100

-50


Réponse fréquentielle du correcteur

– le correcteur présente un gain élevé (ce qui assure une erreur statique négligeable vis à vis des perturbations constantes)

– le correcteur présente une avance de phase au voisinage de la BP et un filtrage des HF

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

K

-100

-50

0

50From: U(1)

10-2

100

102

104

106

-150

-100

-50

0

50

To:

Y(1

)


Réduction du correcteur

Le correcteur à un pôle en -0.075 proche de l’origine et un pôle en -22500 très éloigné dans le demi plan gauche,

– son influence est négligeable sur les réponses fréquentielles

Remplacement du pôle en -0.075 par un pôle en zéros

Suppression des polynômes 1+s/50000 et 1+s/22500

=> réduction d ’une unité l ’ordre du correcteur sans changer en rien ses performances

On implante finalement le correcteur ci-dessous, lequel est décrit par un correcteur PI, un filtre à avance de phase et un filtre passe bas intervenant au-delà de la BP :

9311

1

3751

6412616759

/s/s

/s

s

/s.sK


Commande H par modelage du transfert de boucle (loop shaping)

On appliquera pour cela la synthèse H standard avec insertion de pré et post filtre dans la boucle de régulation.

Le problème revient alors à fixer ces filtres W1 et W2 de telle sorte que le compromis Performance/Robustesse soit atteint

G(s)

r

-

+ W1(s) K(s) W2(s) u y

sGa

P

R


Méthodologie

On Ajuste les filtres W1 et W2 de telle sorte que les valeurs singulières de

présentent un gain élevé en BF (assurant ainsi le rejet des perturbations constantes et le suivi de consigne)

une coupure de l’axe 0db à 100rd/s (BP souhaitée)

une atténuation en HF (robustesse des dynamiques négligées et bruits)

Résoudre le problème H standard. On considèrera pour cela le procédé augmenté Ga(s), la fonction de sensibilité , la matrice de transfert

et la réalisation P(s) issue du problème de synthèse H standard, à savoir

sWsGsWsGa 12

b

r

KSGKS

SGSM

u a

a

11 aKGS

P(s)

K(s)

uz

b

rw

u


Hypothèse classique sur la boucle de transfert en BF

La première inégalité assure que la MM est supérieure à . En conséquence ajuster le filtre pour une marge de module > 1/2 implique un

Pour des systèmes mono variable un seul filtre suffit, on ne parle pas de pré et post filtre.

En basse fréquence, généralement soit

Or , et soit

aS

1

2

1KGa KG

Sa

a1

K

GS aa1

a

aG

KS1

1aaGKS1

K

KK

111

KG

KGKGa

aa

111

K

1 KGKG aa aaa GKGKG

1

aa GKG

1


Hypothèse classique sur la boucle de transfert en HF

En haute fréquence, généralement soit

– Or et

En conclusion on vient de monter que le transfert de boucle est borné

en basse et haute fréquence respectivement par et

Il suffit dès lors d’ajuster Ga et si une solution LMI existe au Pb H standard alors nécessairement le compromis performance/robustesse du transfert de boucle sera assuré au facteur près

1KGa1aS aaa GGS

KKSa aaa KGGKS

KGa

KGKG aa K

aaa GKGKG

aa GKG aa GKG

1

,1


Commande H par introduction de fonction de pondération: application système incertain

Commande d’une injection de moteur diesel

extrait de « application of H-infinity design to automative fuel control » Nippodenso Co. (premier équipementier automobile japonais) et du cours de G. Scorletti (voir ref.)

– Les normes anti-pollutions, le prix du carburant et les demandes des consommateurs en matière de performance rendent indispensable l’injection d’une quantité relativement précise du carburant.

– Le système à commander est donc une injection de carburant pour moteur diesel.

– Descriptif: Le carburant alimente la chambre de compression où il est comprimé par la came. Sa mise sous pression le pousse par l’injecteur dans la chambre de combustion du moteur. Dans cette chambre de compression une fuite existe. Elle est ouverte (fermée) par une sorte d’anneau qui translate de droite à gauche (de gauche à droite). Cela permet de commander la quantité de carburant entrant dans la chambre de combustion. Le déplacement de l’anneau est commandé via un bras de levier par un solénoïde. On va donc agir sur le courant envoyé dans ce dernier. La position de l’anneau est mesurée par un capteur de position placés près de l’actionneur. C’est cette position qui va être commandée.


Cahier des charges

Les spécifications que doit satisfaire le système se traduisent par l’asservissement de la position de l’anneau. On cherche un contrôleur qui permettent de remplir les spécifications suivantes :

– 1) Suivi de consigne échelon

– 2) Rapidité de la réponse (0.2 sec)

– 3) Fonctionne pour plusieurs températures (0°, 25° et 60°)

– 4) Pour des raisons d’implémentation il faut établir un correcteur de faible complexité

Les spécifications de performances (spécifs. 1 et 2), de robustesse (spécif. 3) et de simplicité (spécif. 4) du cahier des charges sont traduites en minimisant la norme hinfini d’une matrice de transfert solution du problème. Mais pour cela il est nécessaire de disposer d’un modèle.


Modèle du système

Le comportement de l’injection pourrait être considéré comme linéaire si le carburant n’avait pas une viscosité fluctuant fortement avec la température. Les informations dont on dispose sur le système sont obtenues par identification de 3 modèles linéaires stationnaires

423

522

0010771.8922334.98

10137.39.493736.1

ppp

ppepG

523

52

251021.195207.93

104.44005.5

ppp

pppG

5423

52

601072.11053.91

1005.5286677.4

ppp

pppG


Modèle d’incertitude additive

On décide de tenir compte de ces trois modèles en définissant un modèle d’incertitude additive correspondant à un ensemble de systèmes G(p) tels que :

– Où (p) est caractérisé par un transfert W (jw) tel que | (jw) | |W (jw)|.

Ici W (jw) est choisi tel que:

ppGpG 25

jwWjwGjwG

jwWjwGjwG

2560

2500

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gula

r V

alu

es (

dB

)

Goo-G25

G60-G25

Tracés de jwGjwGjwGjwG 25602500 ,


Critère

Construction du critère - Spécifications 1 et 2

– D’après l’étude précédente (transparents 102, 103 et 110) les spécifications de performance 1 et 2 se traduisent par une pondération sur la fonction de sensibilité S qui relie le signal de référence au signal d’erreur de suivi de trajectoires, contrainte définie par une pondération W1(s).

– On souhaite

» soit

K1

1

k1

S(jw)

;1

1 jww

consigne écart

w*B

k1w*B

w*BK1

1

1

*1

1*

11

1

B

B

wK

s

kw

s

ksW

jww

jwSwsSsw1

1


Critère

Construction du critère – Spécification 3

– D’après la discussion précédente, on va chercher à stabiliser les modèles en utilisant un modèle d’incertitude additive qui génère une famille de modèles les contenant. Cette famille d’incertitudes est caractérisée par la pondération fréquentielle W (jw).

– Par application du théorème du faible gain (voir transparent 51), dans le cas d’une incertitude additive, i.e. M=KS, la stabilité robuste sera assurée si

où : | (jw) | |W (jw)| avec

1

1

KSW

jwWjwKSw

(s

)

M(s)

z v

Rappel du Théorème du petit gain: Si M(s) et (s) sont stables, le système de la figure ci-dessus

est stable pour tous (s) tel que ||(s)|| si et seulement si ||M(s)|| -1, où M(s)=Hzv(s)

I

G25

Gréel

K

+

+

M

z v

11

jwKSwKS

jwW

wjwWwW

11


Limitation du transfert KS

Enfin il reste à contraindre le module de KS pour limiter l’énergie de commande et l’amplification des bruits de mesure. Pour ces exigences, KS doit être une fonction de transfert passe bas, avec une pulsation de coupure la plus basse possible.

On choisit donc une pondération W2 (de la forme ||W2KS||<1 ) qui inclut l’objectif précédent de stabilité robuste, soit

– |W2(jw)| |W(jw)|

Où

En résumer il suffit de rechercher un correcteur Hinfini standard tel que

1

,1

*

12*2

BT

T

T

TBTw

sM

Msw

Mw

ssw

MT

|w2|-1

w*BT/MT

w*BT

WW

11

2

w

12

1

KSW

SW

G(s) q u

r

-

+

w1(s) w2(s)

K(s)

e2 e1


Diagnosis by observer using an LMI formulation

– FDI (fault actuator, fault sensor, fault component)

» robust residual generator using UIO

» robust residual generator using H optimization

– Fault tolerant

» Hinfini regulator/observer

main objective is to recover the original system performance (fault-free)


Introduction

The robust fault detection filter and fault tolerant control design problem for linear time-invariant (LTI) systems with unknown inputs is studied

The basic idea is to use a robust residual generator using some recent results of H optimization


Introduction

We formulate the fault detection filter as an H model-matching problem

The optimization problem is presented via a Linear Matrix Inequality (LMI) formulation

An illustrative electro - mechanical system is included


Definition

Fault detection

– consists of designing a residual generator that produces a residual signal enabling one to make a binary decision as to whether a fault occurred or not

Fault identification (isolation)

– imposes a stronger requirement. When one or more faults occur, the residual signal must enable us not only to detect that there are faults occurring in the system, but it must also enable us to identify (isolate) which faults have occurred.

Fault tolerant (attenuation, accommodation)

– The main objective is to recover the original system performance (fault-free)


Role of FDI in Fault tolerant control

The key problem for active fault-tolerant control is on-line reconfiguration of the controller.

For this to be possible

– detailed information about changes in the system parameters (or changes in the system operating point) due to either

» normal process

» or component faults

– is required



In order to get good parameters estimates,

– it may be necessary to introduce perturbation signals to make sure that all the plant’s modes are sufficiently excited.

– However in many application it is impossible to apply additional perturbation signals.

– Additionally parameter estimation algorithms are quite complicated and computationally time consuming.

– Furthermore, in many cases, the system model structure will change due to the faults.



In order to overcome the disadvantages of using parameter estimation,

– we trying to use different controller reconfiguration mechanisms based on FDI information


Modeling of faulty systems

The first step in the model approach is to build a mathematical model of the system

In the case of a non-linear system, this implies a model linearization around an operating point.

A system model (in model-based FDI) can be separated into three parts:

– Actuators

– System dynamics

– Sensors

As illustrated in following figure (1).


Modeling of faulty Systems

Where

– xn: state vector

– uRr: real input vector to the actuator

– yRm: real system output vector to the actuator

Actuators Plant

dynamics Sensors

Input

u(t)

Actuation

uR(t) Output

yR(t) Measured

Output

y(t)

Fig. (1) open-loop system


Component and parameter faults

The component fault is represented as a change in the dynamic relation

– for example, a leak in a water tank in three tank system,

cR fBuAxx

System

dynamics

Components faults

fc(t)

Parameter faults

aij

Output

yR(t)

Actuation

uR(t)

Fig. (1.1) The system dynamics


Component and parameter faults

In some cases, the fault could be expressed as a change in the parameter system,

– for example a change in the ith row and jth column element of A, the dynamic model can then be described as

– where xj is the jth element of the vector x and ei is an n-dimentional vector with all zero elements except a 1 in the ith element

System

dynamics

Components faults

fc(t)

Parameter faults

aij

Output

yR(t)

Actuation

uR(t)

jijiR xaeBuAxx


Sensor faults

By choosing the vector fs correctly, we can the describe all sensor fault situation

– for example

» Variation in the sensor : y=(1+)yR then fs= yR

» Biased fault at t= : y(t)= yR+(t-)(t-) then fs= (t-)(t-)

Sensors

Sensor faults

fs(t)

Measured

output

y (t)

Real output

yR(t)

Fig. (1.2). Sensors, output and measured output


Actuator faults

For a controlled system, uR is the actuator response to an actuator command u(t) and can be described as (when the actuator dynamics are neglected):

uR(t)=u(t)+fa(t)

where fa(t) is the actuator fault and u(t) is the known control command

» Variation in the actuator

» Biased fault

Actuators

Actuator faults

fa(t)

actuation

uR (t) Input

u(t)

Fig. (1.3). Actuator, input and actuation


Fault Model when sensor, component and actuator faults are considered

The model is described as

Considering the general cases, a system with all possible faults (f) and UI (d) can be described as

– where an input-output transfer matrix representation for the above system is

sa

ca

fDfDuCxy

fBfBuAxx

dEfRDuCxy

dEfRBuAxx

22

11

sdsGsfsGsusGsy dfu

211

211

1

EEAsICsG

RRAsICsG

DBAsICsG

d

f

u


General structure of residual generation in model-based FDI

fault

UI

input

Gf(s)

Gd(s)

Gu(s)

Hu(s) Hy(s)

Residual generator

r(s)

y(s)

u(s)

d(s)

f(s) system

Here Hu et Hy are stable transfer matrices

which are designed such that

J((r(t)) T(t) for f(t) = 0 fault free

J((r(t)) > T(t) for f(t) 0 non zero faulty

where J(r(t)) is a residual evaluation function

and T(t) a threshold function

caseideal

0sGs

0sGswith

susGsyssr

sdsGsfsGsusGsy

d

d

u

dfu


Robust residual generation through standard H filtering formulations

Fault estimation

– To concentrate on fault sensitivity, let us first ignore the UI (d) and known input (u). The system is described as

» or by the input-output model

where

The design requirement for robust residual generation is to maximize the effect of the fault on the residual, i.e.

fRCxy

fRAxx

2

1

sfsGsy f

2

1

RC

RAsG f

wGJ rfw

r inf: sfsGsy f

sysHsr y


H standard formulation of fault estimation

The previous maximization problem cannot be easily formulated in an H setting. To solve this problem, the new following performance index should be introduced

– where the minimization of the above performance index J can be formulated according to following figure where is an estimation of fault and is the signal which is used to evaluate the estimation quality

2

2

02

sup:f

frIsGJ

frff

Gf(s) K(s) f(s)

z(s)

z

z~

Formulation of fault estimation

y(s)

fr ˆ

z~z


The equivalent transfer matrix P2(s) for the standard H problem

The previous system can be reformulated into a standard H problem as given in following figure

– where the transfer matrix P2(s) is

» with

Standard problem formulation of fault estimation

P2(s)

K(s)

f(s)

zy(s)

z~

z

fsP

y

z

ˆ

~

2

02 sG

IIsP

f

zfRCxy

zfxz

zfRAxx

sP

ˆ0

ˆ0~

ˆ0

:

2

1

2


Fault estimation via standard H problem

The standard H fault estimation is such that to find a filter K(s)RH such that

– Where

The problem can be solved via the standard H techniques

In order to decrease the conservatism introduce by the H techniques, the fault estimation problem can be changed into the filtered version of the fault.

sG fz~

sGsKIsKsPLFTsG ffz ,2~


Formulation of filtered fault estimation via standard H problem

Fault estimation problem can be changed into the filtered version of the fault, i.e.,

» where T(s) is a RH transfer matrix which is (for example) equal to a diagonal low pass filter matrix

The filtered fault estimation can then be defined as the minimization of the following performance index

2

2

02

sup:f

frsTsGJ

frff

sfsTsf



This optimization problem can be formulated according to following figure where is an estimation of fault and is the signal which is used to evaluate the estimation quality.

The system illustrated by the above figure can be reformulated into a standard H problem as given bellow

z~z

Gf(s) K(s) f(s)

z(s)

z

z~y(s)

T(s)

Formulation of filtered fault estimation

P3(s)

K(s)

f(s)

zy(s)

z~



If the state space realization of transfer matrix T(s) is

– The equivalent transfer matrix P3(s) for the standard H problem is given by

» Where

TT

TT

DC

BAsT

z

fsP

y

z

ˆ

~

3

00

0

0

0

0

0

0

2

13

R

ID

C

C

R

B

A

A

sG

IsTsP

TT

TT

f



The sensitivity transfer matrix for this standard H formulation is given by

The estimation of the filtered fault within H formulation is to find a filter K(s)RH such that

The problem can be solved by the standard H techniques. Note that the problem can also be regarded as a model-matching problem and solved via methods developed in robust control theory.

sKsGsTsKsPLFTsG ffz ,3~

sG fz~


Fault estimation with disturbance attenuation

A system with both fault and disturbance terms is modeling by

– Or by the input-output model

Out task is to find an optimal estimation of the filtered fault when the system has both the fault and disturbance.

– This can be formulated according to the following scheme

dEfRCxy

dEfRAxx

22

11

sdsGsfsGsy df

Gf(s) K(s) f(s)

z(s)

z

z~y(s)

T(s)

Gd(s) d(s)


Formulation of filtered fault estimation with disturbance estimation

The objective of the problem is to minimize the following performance index

– where d1 is the generalized disturbance vector which is defined as

21

2

021

1sup:

d

frsTsGJ

drdf

d

fd1


Reformulation of fault estimation with disturbance attenuation via standard H problem

The problem of estimating the fault with disturbance attenuation property can be solved by the standard H techniques as illustrated in following figure

– where the transfer matrix P4(s) is defined as

P4(s)

K(s)

z y(s)

z~

d

fd1

z

dsP

y

z

ˆ

~1

4

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

22

114

ER

ID

C

C

ER

B

A

A

sGsG

IsTsP

TT

TT

dfwith


Fault estimation with disturbance attenuation via standard H problem

The sensitivity transfer matrix for this standard H formulation is given by

The estimation of the filtered fault within H formulation is to find a filter K(s)RH such that

The signal in fig above can be used as a residual signal as well as an estimate of the filtered fault

sGsGsKsTsKsPLFTsG dfdz 0,4~1

sG dz 1~

z


Robustness issues

The previous robustness is only achieved on the assumption that there are no modeling errors or the modeling errors have been approximately transformed into UI (disturbances).

To solve the problem of estimating faults for systems with disturbances and modeling errors, the standard H problem should be formulated to incorporate the uncertainty block as

P4(s)

K(s)

z y(s)

z~

d

fd1

f

d


Integrated design, i.e.design controller and fault estimator simultaneously

The integrated design problem can be formulated according to following figure where

– ye is the signal used to evaluate the control performance,

– Ko(s) is the fault estimator

– Kc(s) is the controller

K(s) f(s)

z(s)

z

z~y(s)

T(s)

d(s) G(s)

Kc(s)

ye(s)

u(s)


Integrated design via standard H problem

The integrated design problem depicted in previous figure can be transformed into a standard H problem as given in following figure

P (s)

Ko(s)

u

zz1

y(s)

ey

z~z~

d

fd1

Kc(s)


Integrated deign with robustness consideration

The integrated design with robustness consideration can be treated like a standard H problem as given in following figure

P (s)

Ko(s)

u

zz1

y(s)

ey

z~z~

d

fd1

Kc(s)

u

f

d


LMI Approach for robust residual generation

The idea consists of designing a bank of observer where each observer is robust to disturbances and to a set of specified faults.

– Example, consider the LTI systems of the form

» Where dim(f)=nf and dim(d)=nd

– Constructing nf observers

where each observer

is insensitive to d

and to one component of f

Cxy

dEfRAxx 11

1nto1n

n

nto312nto3

1

22

nto321nto3

2

11

f

f

f

f

f

f

f

fff

ddobs

f,ffrf

ff

f

ddobs

f,ffrf

ff

f

ddobs



Assume that the pair (C, A) is detectable and (A,R1,C) is assumed to have no transmission zeros, i.e. for any s C,

– Thus detectability of the faults is guaranteed.

Only the first observer is considered here. Hence consider the fault detection observer 1 of full order as

– which is designed for the following system

in according to the previous table

fnnC

RAsIrank

0

1

xCyr

xCyKxAx

ˆ

ˆˆˆ

1

1

1

111

2

121 f

dRE

f

f

RRAxx

f

f

n

n



The gain K1 for observer 1 is designed such that

– where

The solution K1 of the problem is done by a LMI resolution (see part 2, for details)

11

f

dw

sG wr 11


Fault diagnosis of non-linear dynamic systems

Fuzzy observers for NL dynamics systems fault diagnosis

– A Takagi-Sugeno fuzzy model is a simple way to describe a non-linear dynamic system using locally linearized models. According to the T-S model, a NL dynamics systems can be linearized around a number of operating points.

» Each linear model represents the local systems behavior around the operation point.

» The global system behavior is described by a fuzzy fusion of all linear model outputs.

» The model is described by fuzzy IF-Then rules which represent local linear relation of the NL system

– Consider the simple example

– If w(t) is wi Then

» where Ai=A+Anonwi is a time invariant matrix

tCxty

tButxAtx i

tButxwAAtx non


Fuzzy observers and residual generation

Rule i: (i=1,2,…,N)

– If w(t) is wi Then

This fuzzy observer can be implemented through the use of N local observers and a fuzzy fusion

iiiii xCyKtButxAtx ˆˆˆ

txCty

txwtx

xCyKtButxAtx

N

iii

iiiii

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

1


Fuzzy fusion

Example for N=3 rules

– w1=0

– w2=30

– w3=80

w

1

1(w) 2(w) 3(w)

0 30 80

txCty

txwtx

xCyKtButxAtx

N

iii

iiiii

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

1

System

y u

obs1

obs2

obs3

Fuzzy inference engine

for select the

appropriate estimation

µi(w)

C Residual : r

x^ u

u

u

y

y

y

Fuzzy observer

The estimation error dynamics are given by the following

differential equation

eCKAweNi

iiii

1

e is stable if there exist a common positive definite matrix

P such that:

0 CKAPPCKA iiT

ii

for i=1, … N


Eigenvalue region

To ensure that the estimation error e(t) of the fuzzy observer has fast and well attenuated response, it is necessary to assign all local observer eigenvalues is a specific region is s-plane, like:

– All local obs in the fuzzy obs have their

eigenvules is the region S(,), if there

exists a common P > 0 such that

and

for i=1, …, N

In conclusion

LMI region

0

*

P

PCKAP ii

02 PPCKACKAP Tiiii

faulty

fault no ˆ

Threshold

Thresholdyyr


Synthèse

Analyse de performance et robustesse

– Approche fréquentielle

– Modélisation LFT (application du théorème du faible gain)

– Application du lemme de majoration (non étudié ici)

Synthèse de lois de commande

» LQG (rappel)



Synthèse H de lois de commande robuste aux incertitudes

» Application du théorème du faible gain

Diagnostic par synthèse LMI

» Estimation de défaut(s) par synthèse de commande H mise sous forme standard

» Atténuation et suivi de consigne : approche H sous forme standard

méthodes de synthèse fréquentielle h pour la commande ... · méthodes de synthèse...

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