الرّحمن الرحّيم. . . بسم ا

رياضيات عمومي )دومجلد ( و علوم پايه مرتبط با آن

ي تجربي آموزان ممتاز رشته ي دانش ويژه

زاده حسين شفيع زاده ، رسول حاجي: انمؤلف

www.3gaam.com

فهرست صفحه عنوان 1---------------------نيمم نسبي و مطلق نقاط بحراني، ماكزيمم و مي . هشتمفصل

1---------------------------------------------------ي اول جلسه 8--------------------------------------------------8- 1تمرين

13--------------------------------------------------دومي جلسه 19--------------------------------------------------8- 2 تمرين

29--------------------------------------------------سومي جلسه 37--------------------------------------------------8- 3 تمرين

42-------------------------------------------------چهارمي جلسه 49--------------------------------------------------8- 4 تمرين

55----------------------------------هشتم پاسخ كليدي تمرينـات فصـل 56----------------------------------هشتم پاسخ تشريحي تمرينات فصل

75-----------------------------------------سطح مخروطي. نهمفصل 75--------------------------------------------------پنجمي جلسه

82--------------------------------------------------9- 1تمرين 86-------------------------------------------------ششمي جلسه

91--------------------------------------------------9- 2 تمرين 94--------------------------------------------------هفتمي جلسه

99--------------------------------------------------9- 3 تمرين 101-------------------------------------------------هشتمي جلسه

106--------------------------------------------------9- 4 تمرين 109---------------------------------------------------نهمي جلسه

115--------------------------------------------------9- 5 تمرين 118-------------------------------------نهمل ـ پاسخ كليدي تمرينات فص

119------------------------------------نهم پاسخ تشريحي تمرينات فصل 137-----------------------------------------انتگرال نامعين. دهمفصل

137--------------------------------------------------دهمي جلسه 143--------------------------------------------------10- 1 تمرين

148------------------------------------------------يازدهمي جلسه 153--------------------------------------------------10- 2 تمرين

156-----------------------------------------------دوازدهمي جلسه 162-------------------------------------------------10- 3 تمرين

167-----------------------------------------------سيزدهمي جلسه 171-------------------------------------------------10- 4 تمرين

173------------------------------------دهم پاسخ كليدي تمرينات فصـل 174------------------------------------دهم پاسخ تشريحي تمرينات فصل

www.3gaam.com

187-------------------- معادلات گنگ و گويا– نامعادله –تعيين علامت . يازدهمفصل 187-----------------------------------------------چهاردهمي جلسه

195--------------------------------------------------11- 1 تمرين 196----------------------------------يازدهم پاسخ كليدي تمرينات فصـل

197----------------------------------يازدهم پاسخ تشريحي تمرينات فصل 199----------------------------------مفهوم دامنه، برد، تابع. دوازدهمفصل

199------------------------------------------------پانزدهمي جلسه 215--------------------------------------------------12- 1 تمرين

222-----------------------------------------------شانزدهمي جلسه 232-------------------------------------------------12- 2 تمرين

238---------------------------------دوازدهم پاسخ كليدي تمرينات فصـل 239---------------------------------دوازدهم پاسخ تشريحي تمرينات فصل

247---------------------------------تصاعد حسابي و هندسي. سيزدهمفصل 247------------------------------------------------هفدهمي جلسه

255-------------------------------------------------13- 1 تمرين 259---------------------------------سيزدهم پاسخ كليدي تمرينات فصـل

260---------------------------------سيزدهم پاسخ تشريحي تمرينات فصل 263-----------------------------هاي مثلثات ها و فرمول سبتن. چهاردهمفصل

263------------------------------------------------هجدهمي جلسه 274--------------------------------------------------14- 1 تمرين

278------------------------------------------------نوزدهمي جلسه 281-------------------------------------------------14- 2 تمرين

283---------------------------------چهاردهم پاسخ كليدي تمرينات فصـل 284--------------------------------چهاردهم پاسخ تشريحي تمرينات فصل

289--------------------------------------------بردار . پانزدهمفصل 289-------------------------------------------------بيستمي جلسه 296-------------------------------------------------15- 1 تمرين

298---------------------------------- پاسخ كليدي تمرينات فصـل پانزدهم 299--------------------------------- پاسخ تشريحي تمرينات فصل پانزدهم

301------------------------------------هندسه و استدلال . شانزدهمفصل 301---------------------------------------------بيست و يكمي جلسه

311--------------------------------------------------16- 1 تمرين 318--------------------------------------------بيست و دوم ي جلسه

324-------------------------------------------------16- 2 تمرين 333--------------------------------------------بيست و سوم ي جلسه

339-------------------------------------------------16- 3 تمرين 345-------------------------------------------بيست و چهارم ي جلسه

351-------------------------------------------------16- 4 تمرين 358--------------------------------- پاسخ كليدي تمرينات فصـل شانزدهم 359--------------------------------- پاسخ تشريحي تمرينات فصل شانزدهم

www.3gaam.com

فصل

هشتم

ي اول جلسه ي، ماكزيمم و مينيمم نسبي و مطلقنقاط بحران

نقطه بحراني a] با دامنه fتابع ,b] نقاطي از بـازه بـاز . را در نظر بگيريد(a ,b) كـه در آن نقـاط .ناميم ميfرابر صفر است و يا مشتق وجود ندارد را نقاط بحراني مشتق ب

a]اگر .1ي نكته ,b]ي دامنهfگاه باشد آنa و bباشند نقاط بحراني نمي.

fc ي در حالت كلـي نقطـه .2ي نكته D∈ را نقطـه بحرانـي f نـاميم هرگـاه مـيf '(c) f و يا = '(c)هاي بسته جز ابتدا و انتهاي بازه به. ( موجود نباشد(

.نقاط بحراني توابع زير را بيابيد .1 مثال ) y x x31 3 5= − +

) y x x8 23 32 = −

) y | x x x |3 23 2= + + x x x

) yx x x

2

31

44 1

⎧ − ≤⎪= ⎨− >⎪⎩

) y [x]5 = : حل

) y ' x21 3 3= − y نقاط بحراني ' x 1= ⇒ = ±

x x x) y ' x xx x

5 1 3 2 23 3

3 38 2 8 2 8 223 3 3 3 3

− −= − = − =

www.3gaam.com

»تجربيعمومي رياضيات « 2صفحه

xدر نقاط 12

= x مشتق برابر صفر است و در نقطه ± ,ي نقاط بحراني برابر است با پس مجموعه. مشتق وجود ندارد= ,1 12 2

⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

x(x ) x) y | x(x ) |

x(x ) x

22

21

3 11

⎧ + ≥⎪= + = ⎨− + <⎪⎩

(x ) x(x ) xy '

(x ) x(x ) x

2

21 2 1

1 2 1

⎧ + + + >⎪= ⎨− + − + <⎪⎩

(x )( x ) xy '

(x )( x ) x1 3 1

1 3 1+ + >⎧

= ⎨− + + <⎩

x و -1در نقاط 13

= xنقطه در . مشتق برابر صفر است− بنابراين . چون مشتق چپ و راست برابر نيستند پس مشتق وجود ندارد=

,مجموعه نقاط بحراني عبارت است از ,1 13

⎧ ⎫− −⎨ ⎬⎩ ⎭

x x) y '

x x22 1 1

43 4 1

− <⎧⎪= ⎨− >⎪⎩

2در نقاط 33

x و 12

xبر صفر و در نقطه مشتق برا= .پس اين تابع سه نقطه بحراني دارد. مشتق وجود ندارد=1

x Z) y '

x Z5

وجود ندارد ∉⎧

= ⎨ ∈⎩

.اند بنابراين تمام اعداد حقيقي نقاط بحراني تابع

yدر تابع .3ي نكته | f (x) fهاي ني عبارتند از ريشه نقاط بحرا=| (x) f و = '(x) =) fپذير است مشتق(

yهاي نقاط بحراني تابع مجموع طول .1 تست x x3 3 23 2= − كدام است؟+ 5) 4 1) 3 2) 2 صفر) 1

4ي گزينه: پاسخx xy '

(x x )

2

3 2 233 6

3 3 2

−=

− +

x x , x x2 3 23 6 3 2− = − + نقاط بحراني : =

x(x ) , x x3 23 2 3 2− = − + = 1 و 1 و 2نقاط بحراني عبارتند از صفر و . است5 مجموع اين نقاط برابر 3±

ماكزيمم و مينيمم مطلق

a] با دامنه fتابع ,b]فرض كنيد . را در نظر بگيريدc [a ,b]∈اگر براي هر . باشدx [a ,b]∈ داشته باشيم f (x) f (c)≤ گوئيم f در c ماكزيمم مطلق دارد و f (c) را ماكزيمم مطلق fبطور مشابه اگر براي هر . ناميم ميx [a ,b]∈يم داشته باشf (x) f (c)≥

f مينيمم مطلق دارد و c در fگوئيم (c) را مينيمم مطلق fناميم مي.

www.3gaam.com

3 صفحه كاربردهاي مشتق

تابع ترين عرض يك تابع را مينيمم مطلق آن ترين عرض يك تابع را ماكزيمم مطلق آن تابع و كم در حالت كلي بيش.4ي نكته .ناميم مي

.هاي زير توجه كنيد به شكل

f ماكزيمم مطلق برابر h و fدر توابع (c h و 1( (c f و مينيمم مطلق برابر 1( (c h و 2( (c ماكزيمم مطلق برابر gدر تابع . است2(g(c . نه ماكزيمم مطلق دارد و نه مينيمم مطلقs مطلق ندارد و تابع مينيمماين تابع. است1(

. ماكزيمم مطلق و مينيمم مطلق در صورت وجود منحصر به فردند.5ي نكته

مانند . است[m,M] برابر fگاه برد باشند آنfب مينيمم مطلق و ماكزيمم مطلق تابع پيوسته به ترتيM و m اگر .6 ي نكته .شكل زير

⇒ f برد [ , ]1 1= −

.ماكزيمم و مينيمم مطلق توابع زير را بيابيد .2 مثال ) y sin x ) y | x | | x | ) y x[x] x= − = − − = − ≤ ≤1 3 1 2 1 3 1 2

:حل sin x sin x sin x y1 1 3 3 3 5 3 2 1 5 1− ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ − ≤ ≤

. است1 و ماكزيمم مطلق برابر - 5پس مينيمم مطلق برابر

x) y | x | | x | x x

x

12 1 2 1 1

1 1

− ≤⎧⎪= − − = − < ≤⎨⎪ <⎩

. است-1 و 1با توجه به نمودار ماكزيمم مطلق و مينيمم مطلق به ترتيب برابر )3

x [x] y xx [x] yx [x] y x

x [x] y

1 11

1 2 12 2 4

− ≤ < ⇒ = − ⇒ = −⎧⎪ ≤ < ⇒ = ⇒ =⎪⎨ ≤ < ⇒ = ⇒ =⎪⎪ = ⇒ = ⇒ =⎩

. است4ترين مقدار تابع برابر بر صفر و بيشترين مقدار تابع برا كم

www.3gaam.com