IFT3730: Infographie 3DTransformations Géométriques

Derek NowrouzezahraiDépartement d’informatique et de recherche opérationelleUniversité de Montréal

Aujourd’hui: Transformations 2D & 3D

1. Transformation en 2D- Translation- Changement d’échelle (scaling)- Rotation

2. Coordonées homogènes (2D)- Combinaisons des transformations

3. Transformation en 3D

Opérations mathématiques (1)

• Produit scalaire– projection d'un vecteur sur un autre où cosvuvu

uv

cosv

222|| zyx vvvv

zzyyxx vuvuvuvu

Opérations mathématiques (2)•Produit vectoriel– Calcul d'un vecteur perpendiculaire aux deux autres– Règle de la main droite

xyyx

zxxz

yzzy

vuvu

vuvu

vuvu

vun

sinvuvu

u

v

n

Translation en 2D

),( yxP

),( yyxxP

x

y

PTP

yx

yx

yx

T

Changement d’échelle en 2D (scaling)

),( yxP

),( yyxxP

SPP

yx

yx

yx

00

Rotation en 2D

RPP

yx

yx

cossinsincos

sens anti-horaire

sincos

:ryrx

P

cossincossinsincos

)sin(sincos

sinsincoscos)cos(

:

yxrr

ryyx

rrrx

Pr

r ),( yxP

),( yxP

Coordonnées homogènes

• Pour Translation: T+P en addition • mais les autres transformations sont des multiplications

• Représentation des transformations sous une forme matricielle unique:+ uniformité+ composition+ opérations des 4x4 peuvent êtres exécutées en parallèle- optimisations possibles...

x

xy

x

tymxmytymxmx

yx

tmmtmm

2221

12112221

1211

1100

(9 mult,6 add) vs. (4 mult,4 add)

Coordonnées homogènes• Remplacer les coordonnées euclidiennes du

point p par des coordonnées homogènes.2D:

3D:

p x,y T p' x,y,1 T

x

h,y

h,1

T

x,y,h T

x,y,1 T hx,hy,h T

p x,y,z T p' x,y,z,1 T

x

h,y

h,z

h,1

T

x,y,z,h T

x,y,z,1 T hx,hy,hz,h T

Translation: maintenant avec les matrices(grâce aux coordonnées homogènes)

PP

PyxT

y

x

y

x

yy

xx

P

),(

1100

10

01

1

Combinaison de translations en 2D

PP

P

PyyxxT

yx

yyxx

yx

yx

yx

PyxTyxT

PyxTP

PyxTP

),(

11001001

11001001

1001001

),(),(

),(

),(

2121

21

21

1

1

2

2

1122

22

11

Combinaison de changements d’échelle en 2D

PyyxxS

yx

yyxx

yx

yx

yx

PyxSyxSP

),(

11000000

11000000

1000000

),(),(

2121

21

21

1

1

2

2

1122

Combinaison de rotations en 2D

PR

yx

yx

yx

PRRP

)(

11000)cos()sin(0)sin()cos(

11000coscossinsinsincoscossin0cossinsincossinsincoscos

11000cossin0sincos

1000cossin0sincos

)()(

Combinaisons de matrices de transformation

• + efficacité– une seule matrice composée est utilisée au lieu

d’une série de matrices• {R,T}– Sont des transformation rigid-body• préserve les longueurs et les angles

• {R,T,S}– transformation affine• préserve le parallélisme des lignes • (mais pas les longueurs ni les angles)

Propriétés des matrices de transformations

• Commutativité

• Associativité

• Inverses

M1(M2M3) (M1M2)M3

T 1(x,y) T( x, y)

S 1(x,y) S 1x ,

1y

R 1() R( ) R t ()

T1T2 T2T1

S1S2 S2S1

R1R2 R2R1

S(x y)RRS(x y)

Exemple d’une série de transformations

• Rotation autour d’un point Q• On sait comment faire une rotation autour de

l’origine, mais pas autour d’un point arbitraire

1. Translation telle que Q est à l’origine:2. Rotation de autour de l’origine:3. Translation de l’origine jusqu’à Q:

M T(x,y)R()T( x, y)P

),( yxT

)(R),( yxT

Exemple de non-commutativité

100

0

0

100

10

01

100

00

00

100

0

0

100

00

00

100

10

01

),(),(),(),(

yss

xss

y

x

s

s

ST

ys

xs

s

s

y

x

TS

yxTssSssSyxT

yy

xx

y

x

y

x

y

x

yxyx

Transformation 2D:rectangle à rectangle

),( maxmax yx

),( minmin yx

Y

X

Con

figu

ratio

nin

itial

e

U

V

Con

figu

ratio

nfi

nale

),( minmin vu

),( maxmax vu

XY UV

?

Transformation 2D:rectangle à rectangle

),( minmaxminmax yyxx

)0,0(

),( minmin yxT

XY UV

),( maxmax yx

),( minmin yx

Y

X

Con

figu

ratio

nin

itial

e

U

V

Con

figu

ratio

nfi

nale

),( minmin vu

),( maxmax vu

),( minmaxminmax yyxx

)0,0(

S umax umin

xmax xmin, vmax vmin

ymax ymin

),( minmaxminmax vvuu

)0,0(

),( minmaxminmax vvuu

Transformation 2D:rectangle à rectangle XY UV

),( minmaxminmax vvuu

)0,0(

minmin ,vuT

),( maxmax vu

),( minmin vu

Transformation 2D:rectangle à rectangle XY UV

Transformation 2D:rectangle à rectangle

),( maxmax yx

),( minmin yx

Y

X

Con

figu

ratio

nin

itial

e

U

V

Con

figu

ratio

nfi

nale

),( minmin vu

),( maxmax vu

XY UV

),( , ),( minminminmin minmax

minmax

minmax

minmax yxTSvuTM yyvv

xxuu

uvxy

Transformations en 3D

• 2D: matrice 3x3 en coordonnées homogènes• 3D: matrice 4x4 en coordonnées homogènes

),,,(),,( wzyxzyx

X

Y

Z

Système de coordonnées de la main droite rotation positive: sens anti-horaire

Transformations 3D de base

• Translation

• Changement d’échelle

1000

100

010

001

tz

ty

tx

T

1000

000

000

000

sz

sy

sx

S

Translation 3D•Déplace un ensemble de points (ou objets) d'une distance dans une certaine direction

),,( zyx dddT

z

y

x

Changement d’échelle 3D• Modification de la taille d’un ensemble de

points (ou d’objets) par rapport à l’origine

S(1.5,-0.5,1.0)

z

y

x

Transformations 3D de base

• Rotations

)(

1000

0cossin0

0sincos0

0001

xR

)(

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

yR

)(

1000

0100

00cossin

00sincos

zR

Rotation 3D• Fait tourner d’un angle un ensemble de

points (ou objets) autour d’un axe de rotation.• La rotation se fait TOUJOURS par rapport à

l’origine.

Axe de rotation:

Rz()z

y

x

Transformation de normales

• Points, tangentes, vecteurs fonctionnent avec les matrices standards

• Normale à la surface fonctionne différemment

2.0,1SM

nMn T 1

'

En résumé…• Les transformations importantes en infographie 2D et 3D sont :– La rotation;– La translation;– Le changement d’échelle.

• Grâce aux coordonnées homogènes, la translation se représente comme une opération matricielle, tout comme les 2 autres.

• Ces matrices de transformations peuvent être multipliées ensemble et former une seule matrice M.

• L’ordre des transformations est important.