géométrie repérée 2.0 (et en 3d) au...

Géométrie repérée 2.0 (et en 3D) au lycée

Extract of Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques

http://revue.sesamath.net/spip.php?article597

Géométrie repérée 2.0 (et en

3D) au lycée- N°39 - mars 2014 -

Publication date: mercredi 12 février 2014

Description:

S'il reste si peu de géométrie au lycée, on peut néanmoins continuer à y faire des choses intéressantes en renouvelant les approches et en rendant le

questionnement attractif. Voici un exemple.

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des

mathématiques - Tous droits réservés

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques /66




Sur le thème de la distance minimale d'un parcours sur un parallélépipède, cet articlepropose une figure d'illustration de la solution sur 9 patrons. Elle permet de repenser lesactivités qui peuvent être faites dans le cadre du programme de lycée. L'article proposeplusieurs activités, de différents niveaux, tout en s'autorisant en même temps un peu deformation à l'usage de DGPad en 3D.

Cet article peut être librement diffusé et son contenu réutilisé suivant la licence CC-by-sa (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/fr/legalcode)

« Aujourd'hui, on enseigne les maths comme si on enseignait la musique juste en regardant la partition, enl'apprenant par coeur. Pourtant, à partir de la partition, il faudrait comprendre la musique, la ressentir. Quand onenseigne, il faut réussir à allumer cette étincelle des maths et on ne sait pas trop comment faire. Cela fonctionneavec certains... et alors, le son, la musique se mettent en marche. Accéder à la machinerie de l'esprit humain, c'esttout l'objet de l'enseignement. C'est une clé qui reste assez mystérieuse. »Misha Gromov - Interview mars 2013

Ayant cette année un module de préparation au CAPLP Maths-Sciences, en maths, j'ai été amené à me plonger unpeu plus sur la culture spécifique de cet enseignement, où, plus systématiquement qu'en lycée général, un travailpréliminaire sur une activité TICE est fortement conseillé â€” et obligatoire à l'oral du concours. Par ailleurs, ontravaille en général de manière opérationnelle sur les fichiers, en visant un résultat, l'objectif étant d'aborder tout desuite une notion mathématique comme outil â€” et en particulier développer une compétence â€” sans chercher à laconceptualiser comme objet de savoir, objectif général dans les lycées... généraux. C'est une vraie différence entreles finalités des BAC Pro et des BAC généraux : d'un côté on est centré sur des compétences, de l'autre plutôt surdes savoirs.

Pour un géomètre qui voit disparaître inexorablement sa matière favorite des programmes de lycée, avant unerefonte de ceux des collèges, pour des raisons génériques partiellement recevables (*), l'idée émerge de faire aulycée, en géométrie, ce qui se fait en lycée professionnel : développer, sur le peu de géométrie qu'il reste,essentiellement des savoir-faire, et pour cela utiliser des méthodes proches des fiches de TP de Bac Pro enparticulier, proposer une figure à manipuler et à questionner qui peut provoquer une certaine dévolution de l'activitéaux problématiques soulevées.

Dans cet article, on propose de faire se rencontrer un questionnement mathématique et des outils pluscontemporains, ce qui va conduire à faire des mathématiques dans une écriture proche de la programmation : unepiste parmi d'autres pour « allumer cette étincelle des maths » comme nous y invite Gromov.

(*) Quelques éléments autour de la disparition rapide de lagéométrie


http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/fr/legalcode

http://www.lejdd.fr/Societe/Sciences/Actualite/La-science-bute-sur-trois-enigmes-majeures-interview-de-Misha-Gromov-596631

http://revue.sesamath.net/javascript:;




Posons-nous un instant pour observer objectivement les raisons d'une telle situation.

Il y a eu des réactions fortes, notables, en particulier d'anciens prescripteurs de la commission Kahane, comme cetexte remarquable (PDF) de Daniel Perrin.

Malgré des arguments culturels pertinents, auxquels tout géomètre ne peut qu'adhérer, la question de la géométriesemble être réglée par des forces autrement plus puissantes.

La « mesure de la géode » (la géo-métrie originelle) est tellement maitrisée techniquement que chacun estdésormais instantanément localisable par son téléphone dans sa poche, de manière si transparente que les seulesactivités qui intéressent autour de cette géolocalisation relèvent désormais de la géomatique.

Mais bien entendu la géométrie, ce n'est pas cela. Comme le rappelle Daniel Perrin, c'est surtout, pourl'enseignement, un des supports privilégiés pour l'apprentissage de la démarche hypothético-déductive. Lagéométrie est d'abord perceptive, topologique (distinction des formes, relation de voisinage), puis affine(reconnaissance de l'alignement, avec un premier outil, la règle) avant de devenir euclidienne (l'équerre et lecompas) et métrique (quand on commence à connaitre les nombres décimaux). La géométrie instrumentée permetde se libérer du perceptif et de découvrir les instruments comme support d'argumentation (CM1, CM2), puis sefamiliariser avec cette nouvelle approche argumentative (6e, 5e) avant d'aborder ce qui a toujours fait laquintessence de la démonstration : l'approche hypothético-déductive (4e, 3e).

Et c'est probablement l'évolution de la démarche scientifique qui est, en partie, à l'origine de la suppression de lagéométrie au profit des statistiques d'une part, et de la sphère des mathématiques discrètes d'autre part (ISN enteautre).

Ce n'est pas tant que le besoin d'apprendre à argumenter scientifiquement disparaisse, loin de là, mais au contraireque la façon d'argumenter en science va se modifier profondément : c'est le fameux 4e paradigme scientifique donton parle assez régulièrement dans les revues scientifiques de vulgarisation. Cette approche analyse les théoriesscientifiques actuelles comme un préliminaire historique â€” un peu élémentaire â€” des lois de la nature : lesinvariants sont triviaux, s'écrivent conceptuellement en quelques lignes (loi de gravitation, équations de Maxwelletc.). Le quatrième paradigme est celui qui, par la fouille de données dans les big data, saura trouver d'autres lois,moins triviales, plus fines que la force conceptuelle humaine seule ne pourrait appréhender. Cette approchenécessite d'autres savoir-faire, plus globaux, plus méta que ce que peuvent apprendre les théories scientifiquesactuelles, et en particulier le raisonnement scientifique. Nous serions à une charnière. La mise en évidence du bosonde Higgs, ou celle des exoplanètes est un exemple de cette charnière : les outils du big data au service de théoriesdéjà existantes, mais ceux qui décrivent le quatrième paradigme pensent que ce n'est qu'une étape, que bientôt onsaura faire émerger les théories elles-mêmes du big data (avec comme objectif à moyen terme uneconceptualisation globale du vivant). Je résume à grands traits pour faire ressortir l'essentiel : on ferait desstatistiques et des maths discrètes très tôt dans la scolarité, pas seulement pour des raisons sociales immédiates,pas uniquement à cause des lobbies de disciplines qui veulent leur place dans les curricula, mais aussi pour faireentrer les futures générations dans ce quatrième paradigme. Ce n'est pas si certain que ça, mais au moins cela nouspermet-il de regarder l'évolution des programmes de lycée d'un autre point de vue.

Même si cela n'a pas de rapport bien entendu, je ferais quand même un rapprochement avec les théories de Chaitinqui aboutissent au fait très simple que l'ensemble des théorèmes démontrables est un ensemble rare dansl'ensemble des théorèmes : « presque tout est indécidable » en mathématique (article PDF de Jean Paul Delahaye).Cela n'est pas du même registre, mais cela peut converger vers une nécessité de nouveau paradigme...


http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/EuromathsR2011.pdf

http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/EuromathsR2011.pdf

http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/73390.htm



http://fr.wikipedia.org/wiki/Om%C3%A9ga_de_Chaitin

http://revue.sesamath.net/https://www.cs.auckland.ac.nz/~cristian/pls375.pdf



Nous sommes bien loin de nos cours de collège ou de lycée. Alors quoi ? Un enseignement à la mode de la culturehors-sol des tomates, sans relation à l'épistémologie des mathématiques ? Vieux géomètre, je crois plus à ladémarche d'agroécologie d'un Pierre Rabhi pour la culture du sol... et je suis de ceux pour qui la géométrie fait partiede notre sol culturel mathématique.

Alors, quatrième paradigme ou pas, on continuera de faire de la géométrie, en s'adaptant, dans différents projetsscientifiques. Cet article se voudrait un exemple possible d'adaptation sur une activité scolaire classique.

Activité préalable â€” prérequis

Avant d'aborder l'activité proposée, un prérequis est nécessaire sur le trajet minimal d'un point à un autre sur unpolyèdre. Dit comme cela, ça pourrait paraître un peu savant, mais on peut rester dans une approche opérationnellepour montrer qu'il faut chercher une longueur minimale sur un patron déplié, et même plus exactement sur une partied'un patron, celle qui concerne les faces en jeu...

En activité préliminaire, on peut s'intéresser à la situation suivante : à partir d'un cube, sur deux faces adjacenteson cherche à optimiser un trajet d'un point d'une face à un point de l'autre face. Les élèves auront alors à découvrir,plus ou moins facilement, qu'il faut déplier une des deux faces dans le plan de l'autre, trouver la position des deuxpoints dans ce dépliage. Alors, par l'inégalité triangulaire, le segment qui relie ces deux points est celui qui réalise ladistance minimale.

Voici une illustration avec des points bien précis des deux faces pour faciliter la réflexion et le calcul :

Cette figure â€” réalisée avec CaRMetal par Monique Gironce, a déjà été présentée dans cet article deMathémaTICE (éventuellement, baisser le niveau de sécurité de java).

En réalité, c'est une figure d'illustration d'un problème de transposition informatique des questions desimulation : la solution, au tiers du segment, n'a aucune chance d'être accessible à la souris : il faut donc, quand onest à un pixel de la solution provoquer quelque chose pour que la solution exacte puisse être accessible. Dans le casde cet article, on présentait l'aimantation de CaRMetal comme solution à cette question de transpositioninformatique.





Un très bel autre exemple de situation de trajet minimal

C'est un mélange de Pythagore et de Thalès, alors que cela ne saute pas aux yeux des élèves a priori.

On demande une distance minimale (donc on peut penser Pythagore quand même) entre deux points compte tenud'un obstacle à franchir.

On notera la largeur de 3, une longueur de 1,5 puis 1, avec un obstacle de 0,75 à franchir en montant et endescendant. Les plus rapides auront déjà remarqué que 1,5+1+2x0,75 = 4... et que (3, 4, 5) est l'archétype historiquedu triplet pythagoricien...

Voilà pour la partie Pythagore. La partie Thalès intervient si l'on demande les positions des points charnières â€” depassage sur l'obstacle â€” qui vont réaliser le minimum. Non, ce n'est, bien sûr, pas un problème à trois inconnues ;-)





Il y a une aide conceptuelle quand on approche de la solution. On manipule la figure avec les 3 points de l'obstacleet à un moment, on peut « étendre l'obstacle »... ce que l'on s'empresse de faire.

C'est un très bel exemple de situation construire pour aider à la conceptualisation : la « ligne brisée » sur le sol faitimmédiatement référence à l'inégalité triangulaire, et les élèves d'eux-mêmes disent qu'il faut tracer le segment pourréaliser le minimum.

Alors bien sûr on peut débattre de l'expression « d'eux-mêmes », car les élèves sont mis en situation de s'apercevoirde... Reste que la prise de conscience est personnelle, elle ne vient pas de l'extérieur. L'aide est prise comme unesituation dynamique, une dévolution à l'exercice, elle est quasiment oubliée à la fois dans le jeu de la manipulation etdans la compréhension de la réalisation de la distance minimale.




Les élèves manipulent les points de l'obstacle pour faire coïncider le trajet au trajet minimal, puis remarquent lalongueur 5.

Les positions des points de contact de l'obstacle se calculent avec la propriété de Thalès... en mettant des noms auxdifférents sommets des différents triangles.

(ces deux figures CaRMetal sont téléchargeables en fin d'article)

<BRClear=all>

Figure générique proposée

On se donne une boite (un parallélépipède) que l'on peut manipuler en 3D dans un repère et dont les dimensionssont modifiables par deux sommets. La boite est ouverte, elle a 5 faces seulement, la face du haut n'existe pas. On


http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/



se donne deux points M et N sur deux faces opposées, dans des plans parallèles à (yOz), et on s'intéresse à ladistance minimale qu'il faut par aller de M à N en passant par au moins trois faces, et éventuellement â€”théoriquement â€” par les 5 faces.

En terme de représentation (on passe alors à des trajectoires, on est donc déjà sur des mathématiques appliquées),on peut parler d'une fourmi à l'intérieur de la boite qui doit aller d'un point à un autre : elle n'a d'autres choix que depasser par les faces.

Dans la figure proposée ci-dessous les trajets minimaux, pour aller d'un point à un autre sont déjà construits pour les9 patrons possibles de la situation. La figure désigne d'une part le trajet minimal et d'autre part précise si despatrons, pour la configuration donnée en M et N, ne correspondent à aucun trajet sur les faces, ce qui arrive nonseulement pour les patrons que l'on pense assez exotiques (ceux qui utilisent les cinq faces), mais aussi pour despatrons utilisant quatre faces. Dans la figure suivante, il n'y a que les trois premiers patrons qui ne rencontrent pascette situation, car ils utilisent seulement trois faces adjacentes.

Utilisation de la figure

Voici la figure. Je vous invite à passer une minute à vous l'approprier vous même en testant les différents patrons.Vous pouvez par exemple tester des positions de réalisation de la distance minimale sur des patronsdifférents.

Si vous trouvez la figure trop petite dans la mise en page de MathemaTICE, voici un lien qui s'ouvre en pleine page(en particulier pour une utilisation avec tablette peut-être) : http://goo.gl/WuSD9X. À ouvrir dans un nouvel ongletpour passer de l'article à la manipulation.

" Déplacement du trièdre : sur ordinateur clic-droit glisser, sur tablette utiliser deux doigts dont un fixe." Ajout de points : Si vous créez des points par inadvertance (cela arrive à la première utilisation sur tablette), vouspouvez les supprimer par le bouton flèche gauche en bas de la figure, à droite dans le tableau de bord.Vous pouvez aussi recharger la page.

Une première appropriation de la figure

La figure est suffisamment riche en soi pour susciter la curiosité et l'envie de tester les changements de patrons ainsique la recherche de distance minimale pour un patron donné.

Un premier questionnement peut porter sur la réalisation de la distance minimale pour chaque patron (en déplaçantM et N par exemple), et en particulier pour les patrons qui utilisent les 5 faces pour réaliser le parcours de M à N,c'est-à-dire les patrons 7 et 9.


http://goo.gl/WuSD9X



Premières manipulations de la figure

1. Réalisation de la distance minimale avec le patron 9 Je n'y suis pas arrivé C'est possible, j'y suis arrivé Pas la peine de chercher la diagonale est trop grande pour être un minimum Oui c'est possible, en positionnant bien M ET N ! Les deux patrons 7 et 9, se déploient sur trop de faces pour réaliser le trajet minimal.

2. Réalisation de trajets de même longueur sur plusieurs patrons Du mal à imaginer que deux trajets sur des faces différentes puissent donner la même longueur finale. Cela semble possible, pour certains patrons, car on passe d'un patron minimal à un autre en déplaçant à peine lepoint M.

Éléments de correction... et intérêt de cette figure.

Effectivement, tous les patrons peuvent réaliser la distance minimale entre M et N comme on l'illustre iciheuristiquement pour le patron 9 : il faut modifier la forme de la boite (ie déplacer A)





Bien entendu, plusieurs patrons peuvent donner la même distance pour aller de M et N et même la distanceminimale, cela va être un des objectifs de cet article que de calculer, puis construire de telles solutions.

Dans l'illustration suivante, les deux segments de la face ABCD correspondent aux lieux de M pour lesquelles lesdeux égalités cherchées sont réalisées (à N fixe). On peut alors déplacer N pour que ces deux segments se coupent.On a fortement aimanté l'intersection : ainsi pour N variant (un peu, il faut que les segments se coupent), il existe unpoint M pour lesquels trois patrons différents réalisent la distance minimale pour aller de M à N.




On pourra même pousser plus loin l'activité (au moins pour les enseignants) et chercher le lieu des points N pourque les deux segments soient sécants.

Organisation de l'article

La suite de l'article est déclinée en onglets pour une lecture plus confortable.

" Les coordonnées 3D des sommets des faces au sol." Les coordonnées 3D des points M1, M2, M3, N1, N2, N3" Calcul de distances égales. Exemples simples de patrons réalisant la même longueur de trajet." Déterminations de trois patrons réalisant la même longueur de trajet" Autre situation spécifique" Réalisation des trajets sur les faces dynamiques

Constructions en ligne et apprentissage du logiciel




Dés les premiers onglets, mais plus systématiquement dans les trois derniers â€” généralement dans des blocsfermés pour ne pas perturber la lecture générale â€” des figures de travail (16 dans tout l'article) à ouvrir dans unautre onglet â€” ou mieux avec un autre navigateur â€” seront proposées pour effectuer des constructions partielles.Pour cela il faudra copier-coller du texte du bloc (coordonnées de points) dans une expression de DGPad,éventuellement ajouter une aimantation. L'utilisation minimale de DGPad pour faire cela est détaillée dans le blocsuivant, avant la barre d'onglet.

Copier-coller des expressions et aimanter des objets.

Principe général d'un copier-coller vers DGPad sur ordinateur

" Ne pas oublier que DGPad est d'abord conçu pour tablette, et donc son copier-coller ne fonctionne que dans le casdu clavier standard actif " Or sur ordinateur il peut y avoir une confusion, car on peut avoir les deux claviers de DGPad actif (pour desraisons évidentes de commodité). " Pour pouvoir faire un coller dans une expression, il faut que le « clavier DGPad » soit inactif. Pour cela, il fautcliquer sur l'icône clavier afin que ce « clavier DGPad » disparaisse (sur ordinateur) : sur tablette le clavier standardapparaitrait. Sur ordinateur, il n'apparaît pas, car on a un clavier physique. Autrement dit on retient que : " Le copier-coller ne fonctionne dans une expression que si l'on est dans le mode expression AVEC le clavierd'expression fermé (par un clic sur l'icône de changement de clavier).

Détail de l'utilisation effective

S'il s'agit de recopier une expression, on suppose que vous avez déjà copié cette expression dans le presse-papier,depuis l'article.

" cliquer sur l'icône expression (une calculatrice, entre les outils â€” les macros â€” et une roue â€” l'inspecteurd'objet) " cela ouvre en haut une barre d'expression avec le clavier « math » de DGPad", dont on remarque qu'il est inactif. " Il faut cliquer dans la barre d'expression pour la rendre active, elle et le clavier.





Remarque : Sur ordinateur, quand on tape une expression, on peut utiliser aussi bien le clavier physique, que leclavier virtuel « math » de DGPad. On peut mélanger les deux : choisir les crochets du clavier virtuel, car on a lesdeux en un clic et ensuite taper au clavier physique à l'intérieur des crochets.

Suite du « coller »

" Avant de coller une expression, il faut enlever le clavier « maths », en cliquant sur l'icône « clavier » en haut àdroite. On peut alors coller une expression. " Quand le logiciel reconnaît dans cette expression un point (2D ou 3D), une icône point apparaît à gauche dubouton de validation. Cliquer sur ce bouton crée le point, l'expression disparaît en tant que telle " Si l'on n'utilise pas le bouton « point », par exemple si l'on entre une expression pour tester sa syntaxe, il fauttoujours la valider pour la conserver. " En conséquence, si l'on ne valide pas, l'expression en cours de traitement disparaît et n'est pas en mémoire, cequi peut être aussi bien pratique parfois : on teste un point. S'il n'apparaît pas comme correct, on passe. Attentionvoir le bémol plus loin




Conseils d'utilisation pour les expressions

" Parfois on peut garder une expression de point à l'écran quand on a plusieurs points à construire qui différentd'une coordonnée par exemple, souvent d'un signe : on valide l'expression, puis on sélectionne à nouveaul'expression, on la modifie, on la transforme en point ce qui crée un nouveau point tout en conservant l'expression. " Pour les points 3D, il peut y avoir un bug de rafraichissement : le point est bien en 3D, mais pas affichécorrectement : il faut déplacer un point (A, B, M ou N sur notre figure) ou déplacer le trièdre : bref il faut force unrafraichissement de la figure (bug qui peut rapidement disparaître).

Aimantation

Comme dans CaRMetal, un point peut être aimanté pour des objets. La manipulation est très simple, tellement qu'onpeut parfois croire ne pas l'avoir effectuée.




Remarques sur l'aimantation (janvier 2014)




" Au moment où cet article a été écrit, l'aimantation n'est pas encore bien intégrée à la 3D : vous allez aimanter unpoint M sur un segment, alors que M est déjà un point dans un quadrilatère. Le segment d'aimantation sera lui-mêmedépendant d'un point N. Mais quand vous déplacerez N, M ne suivra pas le segment. Il faudra le remettre sur lesegment pour vérifier les égalités de longueur par exemple. " C'est une des raisons pour lesquelles des figures dites « finalisées » sont proposées à la manipulation : on areconstruit M comme point sur objet du segment. Dans ce cas, M reste bien attaché au segment quand celui-ci estmodifié par votre action sur le point N.

(fin du bloc sur l'utilisation minimale des expressions de DGPad)

Coord 3D

Les coordonnées 3D dans DGPad

Les arêtes de la boite sont parallèles aux axes, l'origine du repère est le centre de la face du sol. Le point A est unpoint « du sol ». Ainsi en notant $A(x_A,y_A,0)$, les coordonnées des points du sol sont $D(x_A,-y_A,0), E(-x_A,y_A, 0)$ et $H(-x_A,-y_A,0)$.

On se propose, dans cet article, d'utiliser aussi les notations du logiciel. Les points sont des listes de trois nombresou expressions algébriques. En pratique $x_A$ se note $A[0]$, $y_A$, $A[1]$ et $z_A$ se note $A[2]$ : on est, eninterne, dans un langage de programmation, et c'est une des forces de DGPad que d'avoir ses fichiers écrit dans lemême langage que le logiciel, en JavaScript... un JavaScript enrichi pour la géométrie bien entendu.

Ainsi le point $D$ est le point de coordonnées $[A[0],-A[1],0]$.

Le point $B$ est pris à la verticale de $A$, soit parallèlement à l'axe $(Oz)$. Et donc la hauteur de la boite estsimplement $B[2]$.

Appropriation de la notation


http://www.dgpad.net/



Les autres sommets de la figure

1. Le point $C$ a pour coordonnées $[B[0], -B[1], B[2]]$ $[-B[0], -A[1], B[2]]$ $[-A[0], A[1], B[2]]$ $[-A[0], -B[1], B[2]]$

2. Parce que C a pour coordonnées $(x_A, y_A, z_B)$ $(-x_A, y_A, z_B)$ $(x_A, -y_A, z_B)$ $(-x_A, -y_A, z_B)$

Géométrie repérée 2.0 â€” Écriture formelle des points

On s'intéresse maintenant aux coordonnées des points du sol dans le cas du dépliage des différents patrons. Plionsla « face avant », soit le rectangle $ABCD$ sur le sol : $ADPt_{11}Pt_{12}$. Le premier réflexe est d'utiliser despropriétés géométriques de l'agrandissement (Thalès) : la parallèle à la droite $(XZ)$ passant par $C$ coupe ladroite $(HD)$ au point $Pt_{11}$. Il faut deux droites pour construire ce point.




On peut économiser les deux droites et construire $Pt_{11}$ par un calcul direct. Le triangle $CPt_{11}D$ est unagrandissement de $ZXO$ : les deux triangles sont rectangles â€” respectivement en $D$ et en $O$ â€” et sontisocèles l'un est un grandissement de l'autre, d'un rapport la hauteur de la boite, soit $B[2]$. Donc il faut ajouter lalongueur $B[2]$ à partir de $D$ dans la direction $\overrightarrow{HD}$. Comme $\overrightarrow{OX}$ est l'unitédans cette direction, mathématiquement $Pt_{11}=D+B[2]\overrightarrow{OX}$, ce qui s'écrit dans le logiciel toutsimplement Pt11=D+B[2](X-O).Par ailleurs, par la propriété de Thalès on peut aussi écrire $\overrightarrow{CPt_{11}} = B[2]\overrightarrow{ZX}$soit encore $Pt_{11}=C+B[2]\overrightarrow{ZX}$, ce qui se traduit dans le logiciel par cette relation algébriqueformelle : Pt11=C+B[2](X-Z).

Bien entendu, ce n'est pas de la géométrie repérée usuelle, mais de la géométrie repérée dans un logicielcontemporain, d'où ce titre de Géométrie repérée 2.0 en relation avec les écritures proches du calcul formel et assezproche de ce que l'on pourrait faire dans wxMaxima par exemple.

Dans le même ordre d'idée, le rabattement de la face $ABCD$ sur le sol donne un rectangle, et donc en particulierun parallélogramme $APt_{12}Pt_{11}D$, et donc $\overrightarrow{Pt_{11}Pt_{12}}=\overrightarrow{DA}$, ce quis'écrit dans DGPad par cette expression formelle Pt12=Pt11+A-D.On remarquera que cela correspond aussi à la relation $\overrightarrow{APt_{12}}=\overrightarrow{DPt_{11}}$ soitPt12=A+Pt11-D.

Écriture formelle et écriture de Grassmann. (Pour l'enseignant)

On sait que si la somme des coefficients $(a_i)$ est égale à 1, l'égalité qui définit $G$ comme barycentre des pointspondérés $(A_i, a_i)$ : $\sum_{i=1}^{n}a_i\overrightarrow{GA_i}=\overrightarrow{0}$ s'écrit aussi (notation deGrassmann) $G = \sum_{i=1}^{n}a_iA_i$.C'est en particulier le cas quand on écrit $Pt_{12}=Pt_{11}+A-D$.

De même, on sait que la fonction vectorielle lde Leibnitz associée à des points pondérés est un vecteur constantquand la somme des coefficients est nulle d'où cette notation $N-M$ pour le vecteur $\overrightarrow{MN}$

Par contre, une écriture comme $Pt_{11}=D+B[2](X-O)$ ne relève pas de la notation de Grassmann (pour $B[2]$ `1). On peut choisir de dire qu'elle n'est pas mathématiquement justifiée, mais on peut aussi décider de lui donner dusens, celle de l'écriture mathématique (dans un espace affine) $Pt_{11}=D+B[2]\overrightarrow{OX}$. Notationseulement (abus de notation en quelque sorte), car avec cette écriture, certaines règles usuelles de calcul nefonctionnent pas.Par contre, c'est une écriture acceptée par le logiciel de calcul formel, et une écriture informatique tout à fait standardpour le « calcul de points ».

Utilisation comme changement de cadre

Utiliser cette notation en mathématique ne va pas intéresser (ni plaire à) tout le monde, loin de là, et je ne cherche àconvaincre personne. J'apporte juste quelques éléments de réflexion pour envisager de travailler aussi avec cettenotation en TICE.

En TICE, car en effet, nous sommes dans le cadre de l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique. On peutalors tout naturellement présenter cette notation dans le cadre d'un changement de cadre mathématique /informatique dans lequel il faut apprendre la syntaxe d'un logiciel, comme on le ferait de celle d'une calculatrice. Lanotation $ U+N-M$ pour écrire $U+ \overrightarrow{MN}$ est peut-être l'occasion de faire vivre autrement l'écriture




standard $(x(N)-x(M), y(N)-y(M))$, qui s'écrit simplement, dans un contexte informatique (ou formel) $N-M$.

Ce changement de cadre peut même être vécu par certains élèves comme une entrée dans une certaine modernitédans les activités mathématiques : on écrit les expressions algébriques dans le langage même avec lequel est conçule logiciel.

Choix d'une activité plus conforme à la géométrie repérée classique

Comme les directions de la boite sont les directions du repère, on peut tout aussi bien rester dans une notationmathématiquement plus standard et ajouter les vecteurs directement sur les coordonnées. Par exemple dans ce cas,on écrirait pour $Pt_{11} : [D[0]+B[2], D[1], 0]$ et pour $Pt_{12}$ soit $[A[0]+B[2], A[1], 0]$ ou encore $[Pt_{11}[0],A[1], 0]$.

C'est moins dynamique comme approche. Autant la notation formelle donne une impulsion de programmation, uneécriture simple quasi visuelle, plus conceptuelle, car on ne va pas au bout de l'écriture, autant avec les coordonnées,on reste dans le champ des configurations, avec la nécessité â€” et l'effort â€” du calcul final.

Pourtant, si l'on veut les construire de manière optimisée sans objet intermédiaire, cette option sera de toute façonindispensable pour les images des points M et N sur ces faces au sol.

C'est pour cette raison que dans le QCM suivant, sur les écritures des points des faces au sol, on proposera aussibien des écritures formelles que des écritures sous forme de coordonnées. On suppose que chacun a un peumanipulé la figure pour comprendre (figure ci-dessous) que $APt_{21}Pt_{22}E$ est les rabattements de $AEFB$ sursol et que $APt_{23}Pt_{24}Pt_{21}$ est celui de la face $ABCD$ dans un rabattement selon l'axe (AB) lui-mêmerabattu sur le sol. De même pour les autres faces. Toutes les faces au sol sont donc des rectangles, et, en particulierdes parallélogrammes.

Attention aux confusions possibles chez les élèves : on travaille en 3D, avec des coordonnées 3D, donc ontravaille effectivement sur des rectangles et non pas sur leurs représentations planes de l'espace, c'est-à-dire surdes parallélogrammes.

Exercice sur les écritures et coordonnées des pointsdu sol

Dans une logique de Géométrie repérée 2.0, on se propose d'utiliser des outils de collecte de données des travauxd'élèves (comme LaboMeP par exemple). En fait ici c'est juste proposé comme simple exemple, car il n'y a pas decollecte des informations puisqu'il n'y a pas d'identification préalable du lecteur (qui peut donc s'amuser à répondrepour jouer ou passer les questionnaires).

Dans le QRM suivant (Questionnaire à Réponses Multiples), il y a toujours plusieurs bonnes réponses à chaquequestion. La consigne est de les cocher toutes. La figure est proposée avant et, dans un bloc, après le QRM sousune vue différente. Ouvrir le bloc si nécessaire.




Si vous préférez, pour tester différentes expressions, vous pouvez aussi utiliser cette figure en ligne avec les seulspoints du sol. (voir la mini doc avant la barre d'onglet pour une utilisation des expressions dans DGPad)

Écritures et coordonnées de quelques points du sol

1. Le point $Pt_{21}$ peut s'écrire (ou a pour coordonnées) (3 pts) $A+B[2](Y-O)$ $A+B[2](Y-Z)$ $B+B[2](Y-Z)$ $[A[0], A[1]+B[2], 0]$ $[A[0], A[1]+B[2], B[2]]$

2. Le point $Pt_{23}$ peut s'écrire (ou a pour coordonnées) (3 pts) $A+D-H$ $Pt_{34}+A-D$ $A+(A[1]-D[1])(X-O)$ $[A[0]+2*B[2], A[1], 0]$ $[A[0]+2*A[1], A[1], 0]$


http://goo.gl/JSCLbV



3. Le point $Pt_{14}$ peut s'écrire (ou a pour coordonnées) (3 pts) $[-A[1]+B[2], A[0], 0]$ $H+B[2](O-X)$ $[-A[0]-B[2], -A[1], 0]$ $H-B[2](Z-X)$ $H+A-Pt_{12}$

4. Le point $Pt_{33}$ peut s'écrire (ou a pour coordonnées) (3 pts) $P_{34}+Pt_{14}-A$ $Pt_{23}+Pt_{31}-A$ $[D[0]+A[1], D[1]-B[2], 0]$ $[A[0]+2A[1], -A[1]-B[2], 0]$ $Pt_{31} +(A[1]-D[1])(X-O)$

La même figure vue sous un autre angle si nécessaire





Dans ce premier onglet, on a vu " D'une part la notation 3D dans DGPad, et son approche assez formelle " D'autre part qu'il est pratique et efficace de chercher directement les coordonnées des points sans constructionsintermédiaires (typiquement des barycentres qui utiliseraient beaucoup d'objets)

Signalons à propos de l'écriture formelle que, si GeoGebra accepte l'écriture (A+B+C)/3, et construit l'isobarycentredes 3 points, dans DGPad (du moins en janvier 2014, date de l'écriture de cet article), les coefficients numériquesdoivent être avant les noms des points : sur cet exemple il faudrait écrire : (1/3)*A+(1/3)*B+(1/3)*C.

Haut de la barre d'onglets

++++Coord Mi Nj

Les coordonnées des points Mi et Nj

Avoir des écritures formelles de ces points nécessiterait des rappels sur certaines arêtes. Pour éviter cela, onoptimise les écritures en travaillant directement sur leurs coordonnées.

Le QCM suivant ne contient pas de « piège » comme le précédent. On propose en effet les mêmes réponses pourchaque point : en fait, ce serait un QCM d'appariement si l'on avait ce type de QCM dans SPIP. On peut donc allervite en procédant par élimination.

Rappel : vous pouvez toujours utiliser cette figure en ligne avec les seuls points du sol pour des tests.


http://revue.sesamath.net/#Labarre

http://goo.gl/JSCLbV



Les coordonnées de M et N au sol sur les différentes faces

1. les coordonnées de $M_1$ sont $[A[0]+A[1]-M[1], A[1]+M[1], 0]$ $[D[0]+M[1]-D[1], D[1]-M[2], 0]$ $[M[0]+M[1],M[1], 0]$



4. Les coordonnées de $N_1$ sont $[N[0]-N[2], N[1], 0]$ $[E[0]-E[1]+N[1], E[1]+N[1],0]$ $[H[0]-N[1]+H[1], H[1]-N[2],0]$

5. Les coordonnées de $N_2$ sont $[N[0]-N[2], N[1], 0]$




$[E[0]-E[1]+N[1], E[1]+N[1],0]$ $[H[0]-N[1]+H[1], H[1]-N[2],0]$

6. Les coordonnées de $N_3$ sont $[N[0]-N[2], N[1], 0]$ $[E[0]-E[1]+N[1], E[1]+N[1],0]$ $[H[0]-N[1]+H[1], H[1]-N[2],0]$

Réécriture des coordonnées des points en fonction deA, B, M et N

Chacun a un niveau d'enseignement qui lui est propre, et les activités que l'on trouve sur le réseau, comme celle-cisont à chaque fois à adapter selon les objectifs de nos séances.

Par exemple autour du questionnaire précédent, en situation scolaire, chacun adapterait selon ses objectifs : il seraittout aussi intéressant de mettre plusieurs écritures justes (QRM) pour un même point, ou faire d'abord travailler sur




un couple de points, sans indication particulière, et les faire tester avec le logiciel en entrant les coordonnées enexpression, avant un questionnaire sur les autres, etc.

Je propose ici à nouveau un QCM, sur les notations standards, dégagé de la syntaxe de DGPad, essentiellementdans le cadre d'un travail personnel. Je pense par exemple à un travail sur la géométrie dans l'espace et lescoordonnées pour la préparation au concours CRPE (il faudrait reprendre l'activité et ses QCM dans l'ENT del'établissement pour récupérer automatiquement les réponses des étudiants). Il est clair que le QCM suivantdemande selon le niveau, soit un peu de calcul, soit de la stratégie. Dans le cadre d'une activité de lycée, celapourrait faire l'objet d'un travail de groupes : plusieurs groupes calculent les coordonnées des Mi, d'autres celles desNj pour confronter les résultats, puis ensuite communiquer les résultats aux autres groupes. Un bilan sur lesméthodes utilisées par chaque groupe pourrait conclure la séance.

Pour aller plus vite, comme dans le cas précédent, il n'y a pas de mauvaise réponse : chacune des six réponses estbien les coordonnées d'un des six points (et donc les 6 réponses proposées sont toujours les mêmes). C'est en celaque les plus habiles peuvent avoir une démarche stratégique : commencer par remplir les plus évidentes et ensuitechercher, éventuellement par élimination. En particulier dans quelle coordonnée se trouvent $z_N$ ou $z_M$ est unbon critère... si l'on voit bien dans l'espace. Cela pourrait même être un élément de réflexion sur un bilan de l'activité.

Les coordonnées des Mi, Nj en fonction de A, B, M et N

1. Les coordonnées de M1 sontVotre choix : $(x_A+y_A+y_M, -y_A-z_M,0)$$(-x_A-z_N, y_N, 0)$$(x_A+y_A-y_M,y_A+z_M,0)$$(x_A+z_M, y_M, 0$)$(-x_A-y_A-y_N, -y_A-z_N, 0)$$(-x_A-y_A+y_N, y_A+z_N, 0)$




2. Les coordonnées de N1 sontVotre choix : $(x_A+y_A+y_M, -y_A-z_M,0)$$(-x_A-z_N, y_N, 0)$$(x_A+y_A-y_M,y_A+z_M,0)$$(x_A+z_M, y_M, 0$)$(-x_A-y_A-y_N, -y_A-z_N, 0)$$(-x_A-y_A+y_N, y_A+z_N, 0)$








La figure à nouveau si nécessaire

Bilan de cet onglet

Comme à l'onglet précédent, on a mis en évidence qu'un simple calcul permet de trouver les coordonnées des pointsM1, M2, M3, N1, N2, N3 sans aucune construction géométrique.

Dans la construction sur le sol, à part les polygones pour que M et N soient des points d'un polygone, il n'y a pas deconstruction intermédiaire particulière, tous les points ont été calculés directement.Dans le cadre d'une figure finale optimisée, c'est une grande économie de moyens (en objets intermédiaires) parrapport à des méthodes plus automatiques, par macros.


++++ Distances égales

Réalisations de distances égales sur deux patronsdifférents

Chacun a pu observer, en manipulant la figure initiale que parfois en déplaçant un point de quelques pixels, onchange de « patron minimal », il est donc clair qu'il existe de nombreux couples (M, N) qui produisent des longueursoptimales de parcours égales sur deux patrons.






Compte tenu des calculs effectués à l'onglet précédent, le calcul des distances $d_{i,j}=d(M_i,N_j)$ se fait sansdifficulté (attention ici $d_{i,j} \not= d_{j,i}$)

Les calculs pourraient faire l'objet d'une activité de groupe (calcul réparti), mais les résultats peuvent aussi êtredonnés aux élèves pour se centrer sur la suite de l'activité). On a donc :

$d_{11}^2 = (2x_A+z_M+z_N)^2+(y_M-y_N)^2$

$d_{12}^2 = (2x_A+y_A+z_M-y_N)^2+(y_M-y_A-z_N)^2$

$d_{13}^2 = (2x_A+y_A+z_M+y_N)^2+(y_A+y_M+z_N)^2$

$d_{21}^2 = (2x_A+y_A-y_M+z_N)^2+(y_A+z_M-y_N)^2$

$d_{22}^2 = (2x_A+2y_A-y_M-y_N)^2+(z_M-z_N)^2$

$d_{23}^2 = (2x_A+2y_A-y_M+y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$

$d_{31}^2 = (2x_A+y_A+y_M+z_N)^2+(y_A+z_M+y_N)^2$

$d_{32}^2 = (2x_A+2y_A+y_M-y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$

$d_{33}^2 = (2x_A+2y_A+y_M+y_N)^2+(z_N-z_M)^2$

Puisqu'il y a 9 expressions différentes pour la longueur des trajets minimaux pour chaque patron, une étudeexhaustive nécessiterait d'étudier 9x8/2 = 36 cas d'égalités de longueurs... ce qui fait beaucoup...




On se contentera de quelques cas, soit algébriquement élémentaires, soit aboutissant à des résultats intéressants.

Interprétation de l'égalité de deux expressions

Tout d'abord, précisons les objectifs. On se propose de chercher, quand cela existe, le lieu des points M qui réalisent$d_{ij} =d_{rs}$ ce qui est équivalent à l'égalité de leurs carrés. Donc, au moins dans un premier temps, lescoordonnées des points A, B et N sont des paramètres. Ce sera notre premier objectif.

Puisque M est dans le plan $x=x_A$, le lieu des points M est une relation algébrique entre $y_M$ et $z_M$ tous lesautres termes étant des paramètres.

En regardant les expressions des longueurs $d_{ij}$ on s'aperçoit de ces deux termes $y_M$ et $z_M$'interviennent tous les deux, dans chacune des expressions, dans des carrés, ce qui fait que l'égalité de deuxlongueurs quelconques éliminera les termes du second degré en $y_M$ et $z_M$ et donnera toujours uneexpression linéaire entre eux.

Autrement dit, le lieu des points M qui réalise $d_{ij} =d_{rs}$ sera toujours un segment. Reste ensuite à évaluer â€”ou plus simplement à tester sur une figure â€” quand ce segment est bien à l'intérieur de la face.

On pourrait éventuellement chercher â€” au niveau enseignant pour peaufiner des figures de présentation parexemple â€” des contraintes sur A, B ou N pour que le segment lieu soit dans la face ABCD. En fait, il est plusintéressant de tracer le segment pour la côte $z$ allant de 0 à $B[2]$ et d'ajuster la figure (avec les points N, A ou B)pour que ce segment soit, au moins partiellement dans la face ABCD.

Un second objectif serait de réaliser â€” heuristiquement, en déplaçant N â€” des patrons de parcours de mêmelongueur qui réalise aussi la longueur minimale pour les 9 patrons. Pour certains cas, on pourra avoir trois patronsdifférents qui réalisent un trajet de longueur minimale.

Cas 1. Cas d22=d33

En regardant les écritures de chaque expression algébrique, on voit tout de suite des situations élémentaires àtraiter. Il n'est pas certain que cela aboutisse à des situations réellement intéressantes, mais au moins dispose-t-onde cas simples sur lesquels on peut construire une activité algébrique en classe.

On commence par les patrons 2 et 3. Les deux expressions algébriques ont (au carré) les seconds termes égaux, ilreste donc les deux premiers termes à égaler.

$d_{22}^2 = (2x_A+2y_A-y_M-y_N)^2+(z_M-z_N)^2$

$d_{33}^2 = (2x_A+2y_A+y_M+y_N)^2+(z_N-z_M)^2$




Illustration du terme commun $z_M-z_N$ en ordonnées

En posant $u = 2x_A+2y_A$ et $v = y_M+y_N$, l'égalité $d_{22}=d_{33}$ s'écrit $(u+v)^2=(u-v)^2$, soit $4uv=0$.Comme $u$ est non nul (car $x_A$ et $y_A$ sont positifs) on doit avoir $v=0$ c'est-à-dire $y_M+y_N=0$

Ainsi, les patrons 2 et 3 donnent la même longueur ssi $y_M=-y_N$. Le segment lieu dont il était question plus hautest simplement un segment parallèle à [AB].

Sur l'illustration suivante on a construit le segment « lieu de M », en fonction de N, et affiché les longueurs $d_{22}$et $d_{33}$ à 11 décimales.

Manipuler cette figure en ligne : http://goo.gl/jSruue (ouvrir dans un nouvel onglet)

Si cette activité est proposée en classe, éventuellement de manière guidée, cette symétrie obtenue ($y_M=-y_N$)peut être réexploitée en terme de positionnement des points M et N sur le sol pour voir que la différence des


http://goo.gl/jSruue



abscisses et la même dans les deux patrons (celle des ordonnées est acquise par l'écriture algébrique).

Enfin, on peut chercher si cette situation élémentaire peut quand même réaliser le trajet minimal des 9 patrons. Ons'aperçoit rapidement que oui, dans certaines conditions pour la boite :

Ce minimum n'est bien entendu pas atteint pour tous les points M du segment auquel il appartient.

2. Cas d32=d23

Algébriquement, ce cas est une variante du précédent. On s'intéresse aux patrons 7 et 9, ceux qui utilisent les 5faces pour leurs trajets, fortement en diagonale.

$d_{23}^2 = (2x_A+2y_A-y_M+y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$





Illustration du terme commun $2y_A+z_M+z_N$ en ordonnées

Là encore, les deux seconds termes sont égaux. Donc l'égalité des carrés revient à l'égalité des premiers termes. Enposant à nouveau $u = 2x_A+2y_A$ et $v = y_N-y_M$, on se retrouve encore avec une relation du type$(u+v)^2=(u-v)^2$ qui aboutit à nouveau à $v=0$ soit cette fois $y_M=y_N$.

Les patrons 7 et 9, ceux qui utilisent les 5 faces, donnent des trajets de même longueur ssi M et N ont mêmeordonnée. Le lieu de M qui réalise cela est donc encore un segment « vertical » (parallèle à [AB]). C'est lesymétrique du segment solution de l'égalité précédente par rapport au centre de la face.

En fait, les longueurs obtenues ne sont pas toujours des trajets : il faut que le segment au sol, pour chaque patron,coupe les arêtes du sol qui correspondent à ce patron. Donc il faut bien vérifier que cette égalité des distances â€” etdonc des ordonnées de M et N â€” produisent bien deux trajets conformes à la réalisation d'un trajet selon ces deuxpatrons. Cela s'obtient facilement en manipulant la figure, même s'il serait un peu délicat de bien préciser lescontraintes exactes.

Manipulation de la figure associée en ligne : http://goo.gl/wKH2SD (ouvrir dans un nouvel onglet)


http://goo.gl/wKH2SD



Dans le cas très particulier où N et M sont d'ordonnées nulles ($yN=y_M=0$) alors on a les égalités deux à deux,$d_{23}=d_{32}$ et $d_{22}=d_{33}$, mais ces valeurs ne sont pas égales entre elles.

3. Cas d12=d21

Terminons cette première approche des égalités de longueur par un cas moins trivial, mais qui reste facilementabordable. Cette fois-ci nous allons avoir une vraie relation linéaire entre $y_M$ et $z_M$, c'est-à-dire que lesegment lieu ne sera plus vertical.





$d_{21}^2 = (2x_A+y_A-y_M+z_N)^2+(y_A+z_M-y_N)^2$

Posons alors $u=2x_A+y_A, v=y_M-z_N, w=z_M-y_N$. L'égalité des (carrés des) deux distances peut s'écrire :$(u-v)^2+y_A+w)^2 =(u+w)^2+(v-y_A)^2$

Tous les termes carrés disparaissent en développant, il ne reste que les doubles produits :$-2uv-2y_Aw=2uw-3vy_A$ soit encore $(y_A-u)(w+v)=0$.

Or $y_A-u=0$ est équivalent à $x_A=0$ ce qui est exclu. Il reste donc $w+v=0$ soit encore $y_M=-z_M+z_N+y_N$.

Donc le lieu des points M qui réalisent l'égalité des longueurs des deux patrons est la partie de la face qui rencontrela droite $y=-z+y_N+z_N$. Pratiquement, on prend le segment pour $z$ entre 0 et $z_B$ ou $N[2]$, ce qui donneune illustration comme celle-ci :

Manipuler la figure associée en ligne :http://goo.gl/hMhCh6

4. Cas d13=d31

Sur la dernière figure, ajoutons la contrainte $d_{13}=d_{31}$, on a :

$d_{13}^2 = (2x_A+y_A+z_M+y_N)^2+(y_A+y_M+z_N)^2$


http://goo.gl/hMhCh6




Comme dans le cas précédent, on peut noter $u=2x_A+y_A, v=z_M+y_N, w=y_M+z_N$. L'égalité des (carrés des)deux distances peut s'écrire :$(u+v)^2+(y_A+w)^2=(u+w)^2+(y_A+v)^2$, soit, après simplification, $(u-y_A)(v-w)=0$. Comme $u-y_A$ ne peuxpas être nul (sinon $x_A=0$ il n'y aurait pas de boite), on a $v-w=0$ soit $y_M = z_M+y_N-z_N$, on a un nouveausegment, cette fois de pente 1.

Manipuler la figure (M aimanté par les deux segments) : http://goo.gl/OLQgOc

5. Cas d13=d31=d12=d21

A l'intersection des deux segments, on aura $d_{13}=d_{31}$ et $d_{12}=d_{21}$. Il est immédiat (et cela restesimple pour des élèves) de voir que ceci n'est possible que si $y_M=y_N$ et $z_M=z_N$, mais bien entendu lesdeux couples d'égalités de longueurs ne sont pas égales entre elles.


http://goo.gl/OLQgOc



Il est facile de chercher à égaler ces deux valeurs différentes. Pour cela on s'intéresse à réaliser $d_{12}=d_{13}$sur la base de cette double égalité préalable : $y_M=y_N$ et $z_M=z_N$.

Cela aboutit à $y_N(z_N+y_A+x_A)=0$. Or $z_N$>0 on ne peut donc avoir $z_N+y_A+x_A=0$. Il reste donc$y_N=0$.

Dans ce cas, comme on l'a vu dans les premiers paragraphe de cet onglet, on a d'autres égalités, ce qui donne :




(le segment vert correspond à la solution de $d_{12}=d_{13}$)

On a bien quatre patrons qui donnent des trajets de même longueur, mais c'est un cas tellement symétrique etspécifique $(y_M=y_N=0, \; et \; z_M=z_N)$ que ce n'est pas surprenant, et en définitive assez peu intéressantcomme résultat (sauf le travail algébrique produit par les élèves si on leu fait faire cette étude).

Manipuler la figure en ligne : http://goo.gl/B930tA

Dans le prochain onglet, nous allons chercher d'autres situations pour trois (et même quatre) patrons produisant destrajets de même longueur, dans des situations moins triviales.

Bilan de l'onglet

Dans cet onglet, nous avons centré l'exploration des trajets de même longueur sur des situations algébriquementélémentaires, facile à traiter à la main. Mais à traiter des situations élémentaires on aboutit à des résultats eux aussiassez élémentaires.

Il reste que les traitement des cas 3 et 4 sont intéressants en soi.

Le cas 3 sera poursuivi à l'onglet « Coïncidences de lieux »

Dans le prochain onglet, nous explorons des exemples moins triviaux. Nous quittons alors peut-être (sauf projetspécifique) l'activité scolaire.


++++ Sur 3 patrons


http://goo.gl/B930tA




Trois patrons pour trois trajets de même longueur

Fort de l'expérience de l'onglet précédent, on veut aller plus loin, en particulier pour avoir des situations finales moinstriviales que ce que l'on a trouvé dans l'exploration précédente.

L'objectif de cet onglet est de dégager des situations où les trois longueurs suivantes sont égales, et donc des casoù les trajets sur les patrons 4, 8 et 9 sont de mêmes longueurs. On verra qu'ils peuvent même réaliser le trajetminimal. Rappelons les données de la situation :




La méthode...

On commence par traiter les équations deux à deux. On a déjà remarqué que, dans chaque cas, les termes $y_M$et $z_M$ sont toujours dans des carrés, et donc s'éliminent dans l'égalité. Si l'on cherche une relation entre ces deuxtermes, elle est nécessairement du premier degré, toutes les autres données étant considérées comme desparamètres.

On choisit ensuite de représenter $y$ en fonction de $z$ : c'est une droite, et ce qui nous intéresse est la partie quiest éventuellement sur la face $ABCD$. Il suffit de chercher $y(0)$ et $y(z_B)$ et de construire le segment dont lesextrémités sont les points $(x_A, y(0), 0)$ et $(x_A, y(z_B), z_B)$.

On se situe ensuite d'un point de vue heuristique : on peut déplacer N, éventuellement déformer la boite endéplaçant $A$ et/ou $B$ pour que ce segment coupe la face $ABCD$. On aimante alors M sur ce segment. Pources points M de la face, les trajets de M à N sur les deux patrons sont de même longueur.

On peut tenter de trouver trois patrons qui réalisent le même trajet si l'on arrive à faire se couper « deuxsegments-lieu » qui sont issus d'une distance commune. C'est ce que nous allons faire ici.

... et son éventuelle utilisation en classe

Chacun aura bien compris que mathématiquement, nous ne faisons que construire des droites (par l'intersectionavec un repère) en nous intéressant en particulier à l'intersection de ces droites. Pour autant ce type deprolongement est-il réalisable par des élèves, sinon en classe, au moins sous forme de projet (narration derecherche) ou de défi (problème ouvert) ? C'est à chacun d'en juger, selon l'environnement dans lequel il évolue(culturel, technique : en sciences de l'ingénieur, on réalise des modélisations autrement plus complexes).

La principale difficulté conceptuelle est dans l'abstraction des autres variables que $y_M$ et $z_M$ et de ne lesconsidérer que comme des données de la situation.

La seconde difficulté conceptuelle pourrait être dans la relation fonctionnelle de $y$ en fonction de $z$ alors que




normalement on représente la côte $z$ en fonction de l'ordonnée $y$. On a choisi ici de ne pas le faire enminimisant cette relation fonctionnelle et en s'intéressant essentiellement aux segments auxquels cela conduit : ense focalisant sur les configurations, on « défonctionnalise » le problème.

Il y a deux difficultés techniques. La première est dans le calcul. Il est clair que ceci ne peut se faire dans un tempsraisonnable sans un outil ce calcul formel. Cela suppose une pratique antérieure du calcul formel. Mais cela ne suffitpas, il faut s'assurer que le calcul à effectuer soit bien compris : selon le type de tâche (narration de recherche, tâchecomplexe, problème ouvert), l'activité autour du calcul formel sera donc plus ou moins guidée, avec des fiches de TPplus ou moins dirigiste.

Construction en ligne dans cet article

La seconde difficulté technique non négligeable est la transposition des résultats du calcul formel en points 3D deDGPad. On a dit qu'il ne s'agit en définitive que de construire deux points sur la figure (puis d'aimanter M sur lesegment obtenu). C'est néanmoins à considérer comme une étape à part entière de l'activité. Pour un travailscolaire, il est conseillé de travailler dans un petit traitement texte pour vérifier la syntaxe avant de la copier lesexpressions dans DGPad.

Dans cet article, à partir de cet onglet, on vous propose de faire une partie de la figure en ligne rapidement.Pour cela, les écritures des expressions au format DGPad sont fournies (souvent dans un bloc à ouvrir pourne pas gêner la lecture des personnes non intéressées). Se reporter au monde d'emploi proposé dans le blocavant la barre d'onglets : il faut copier les points et ensuite aimanter M sur le segment.

On poursuit dans la présentation des cas particuliers avec une rédaction plutôt « pour l'enseignant » tout enconservant à l'esprit la possible utilisation de ces activités en classe dans des projets un peu ambitieux quivoudraient montrer que même des situations élémentaires (on reste dans du premier degré) peuvent faire intervenirde nombreux paramètres et qu'il convient de choisir judicieusement nos variables.

Cas d32=d12

On a choisi de noter $y_{3212}(z)$ la relation fonctionnelle pour ce cas-là. On voit que le segment part du point Dpar la relation $y_{3212}(0)=-y_A$, il n'y a donc en fait qu'un point à construire pour ce premier cas, le pointcorrespondant à $y_{3212}(z_B)$




L'étape d'écriture de ce point dans DGPad peut-être un peu délicate pour des élèves. On doit écrire d'abordl'expression $y_{3212}(z_B)$ :

$\displaystyle-\frac{B[2]*(-2*A[0]+N[1]+A[1]+N[2])+A[1]*N[2]-A[1]*N[1]+3*A[1]^2+2*A[0]*A[1]}{2*A[0]+3*A[1]+N[2]-N[1]}$

Puis dire que le point a pour abscisse $A[0]$ et pour côte $B[2]$ et donc rentrer par copier-coller le point 3D decoordonnées :

[A[0],-(B[2]*(-2*A[0]+N[1]+A[1]+N[2])+A[1]*N[2]-A[1]*N[1]+3*A[1]^2+2*A[0]*A[1])/(2*A[0]+3*A[1]+N[2]-N[1]),B[2]]

Faire la construction en ligne à partir de cette figure : http://goo.gl/3XxvTJ (ouvrir dans un nouvel onglet)


http://goo.gl/3XxvTJ



Sur l'illustration précédente, on voit bien le segment marron « lieu de M pour l'égalité des longueurs » et sonextrémité qui correspond au point calculé ci-dessus.

Réaliser le trajet minimal des 9 patrons sur cette égalité est délicat à obtenir, on voit bien ci-dessus que la longueur$d_{31}$ du patron 8 est proche. En fait, elle est souvent plus petite. D'où l'idée de chercher une autre égalité delongueur avec elle et de chercher quand les trois vont être égales.

Manipuler cette première étape finalisée, en ligne : http://goo.gl/7Fz6MM (ouvrir dans un nouvel onglet)

Cas d31=d12

Le segment à construire est un peu plus technique, au moins parce qu'il faut construire deux points


http://goo.gl/7Fz6MM



Construction en ligne

Pour d31=d12

En z=0

l'ordonnée y

(-A[0]*N[2]-(A[0]+A[1])*N[1])/(A[0]+A[1]+N[2])

le point

[A[0],(-A[0]*N[2]-(A[0]+A[1])*N[1])/(A[0]+A[1]+N[2]),0]

En z=B[2]

l'ordonnée y

(-A[0]*N[2]-(N[1]-A[0])*B[2]-(A[0]+A[1])*N[1])/(A[0]+A[1]+N[2])

le point

[A[0],(-A[0]*N[2]-(N[1]-A[0])*B[2]-(A[0]+A[1])*N[1])/(A[0]+A[1]+N[2]),B[2]]

Utiliser cette figure contenant déjà le segment précédent : http://goo.gl/phccbW (ouvrir dans un nouvel onglet)

En voici la réalisation, sur un trajet non minimal



http://goo.gl/phccbW



On a laissé le premier segment de la partie précédente. Sur cette illustration on voit aussi les extrémités de cesecond segment marron qui réalise $d_{31}=d_{12}$. On a vu qu'il y a des situations où les trois longueursconcernées sont très proches.

Exploration en ligne sur une figure finalisée : http://goo.gl/plujmm (ouvrir dans un autre onglet)

Cas d31=d12=d32

L'exploration proposée sur la figure en ligne ci-dessus est probablement la limite de ce qu'on peut faire chercher enclasse dans un projet un peu ambitieux. Nous poursuivons l'exploration, a priori, désormais hors contexte scolaire.Nous reprendrons le contexte scolaire dans les autres onglets.

Plutôt que de faire une aimantation, on peut calculer les coordonnées de l'intersection et donner à M lescoordonnées de ce point-là.

En notant zSol la solution en z (la côte) de l'intersection des deux segments, et ySol l'ordonnée du point, on a :


http://goo.gl/plujmm



Mettre cette intersection sur une figure en ligne

intersection des droites d32=d12 et d31=d12

Dénominateur

(N[2]^2+2*A[1]*N[2]+N[1]^2-2*N[1]*(A[1]+A[0])+A[1]^2+2*A[0]*A[1])

Numérateur en Z

((A[1]-A[0])*N[2]^2+N[2]*(-2*A[1]*N[1]+4*A[1]^2-2*A[0]^2)+(A[0]+A[1])*N[1]^2-2*N[1]*(2*A[1]^2+3*A[0]*A[1]+A[0]^2)+3*A[1]^3+5*A[0]*A[1]^2+2*A[1]*A[0]^2)

Numérateur en Y

(A[0]*N[2]^2+N[2]*(2*A[0]*N[1]+2*A[1]*A[0]-2*A[0]^2)+(A[0]+2*A[1])*N[1]^2-2*N[1]*(A[1]^2+2*A[0]*A[1]+A[0]^2)+3*A[0]*A[1]^2+2*A[1]*A[0]^2)

Point intersection pour les trois trajets de même longueur

[A[0],-(A[0]*N[2]^2+N[2]*(2*A[0]*N[1]+2*A[1]*A[0]-2*A[0]^2)+(A[0]+2*A[1])*N[1]^2-2*N[1]*(A[1]^2+2*A[0]*A[1]+A[0]^2)+3*A[0]*A[1]^2+2*A[1]*A[0]^2)/(N[2]^2+2*A[1]*N[2]+N[1]^2-2*N[1]*(A[1]+A[0])+A[1]^2+2*A[0]*A[1]),-((A[1]-A[0])*N[2]^2+N[2]*(-2*A[1]*N[1]+4*A[1]^2-2*A[0]^2)+(A[0]+A[1])*N[1]^2-2*N[1]*(2*A[1]^2+3*A[0]*A[1]+A[0]^2)+3*A[1]^3+5*A[0]*A





[1]^2+2*A[1]*A[0]^2)/(N[2]^2+2*A[1]*N[2]+N[1]^2-2*N[1]*(A[1]+A[0])+A[1]^2+2*A[0]*A[1])]

Redéfinir le point M à partir de cette expression sur cette figure : http://goo.gl/VobiPe (ouvrir dans un nouvelonglet)

(Cliquer sur M et copier coller l'expression précédente)

Voici une illustration de la figure dans le cas où les trajets égaux réalisent aussi le trajet minimal sur les 9 patrons.

Manipuler la figure finalisée en ligne : http://goo.gl/DYaz3z (ouvrir dans un nouvel onglet)

Le cas de 4 patrons

On poursuit ici, hors de tout contexte scolaire, l'exploration de cette situation car on voit bien, en manipulant la figureprécédente que l'on peut avoir $d_{21}$ proche de $d_{12}$.


http://goo.gl/VobiPe

http://goo.gl/DYaz3z



Or cette égalité $d_{21}=d_{12}$ a été traitée à la fin de l'onglet précédent, on a vu que la solution en M est régit parcette équation : $y_M+z_M=y_N+z_N$/.

On peut donc ici envisager de calculer des solutions en N pour que le segment solution de $d_{21}=d_{12}$ passedéjà par le point M solution de trois patrons de même longueur de trajet : on aurait ainsi un quatrième patron.

La situation est moins simple qu'il n'y paraît car M intersection des deux premiers segment dépend des coordonnéesde N. Il en résulte que les coordonnées de N doivent vérifier cette équation polynomiale de degré 3

Quelques éléments du calcul

On aura $d_{12}=d_{21}=d_{31}=d_{32}$ ssi on réalise l'annulation de ce polynôme :

On remarque qu'il est de degré 3 en $y_N, \; z_N, \; et \; y_A$ mais seulement du second degré en $x_A$

On aurait pu traiter le problème en $x_A$ mais cela obligerait de retravailler la figure en profondeur. Et surtout on nepourrai pas avoir une manipulation directe sur N mais dans une manipulation "semi-directe".

On cherche alors $y_N$ en fonction de $z_N$ (l'inverse n'est en fait pas fonctionnel même si cela n'apparaît pasimmédiatement). On trouve ainsi pour $y_N$ l'expression suivante :

Mais en réalité cela n'aboutit pas (la partie sous la racine carrée est généralement négative).





En reprenant le polynôme de degré 3 et en utilisant la résolution trigonométrique (ici on est dans le cas "cosinus"),on arrive à construire le lieu de $y_N$ en fonction de $z_N$. On construit ce lieu et on redéfini (dans le fichier textequ'il faut réorganiser sur quelques lignes) N sur ce lieu, ce qui donne l'illustration suivante.

En pratique on trouve de nombreuses solutions avec des formes différentes de boites (et de lieu de N) comme parexemple :

Il ne semble pas qu'on puisse atteindre le trajet de longueur minimale avec cette configuration bien spécifique.

Manipuler la figure en ligne : http://goo.gl/p48332

Bilan et perspectives de cet onglet :

Nous avons vu un exemple abordable de situation dans laquelle on peut avoir trois patrons dont les longueurs detrajets soient identiques et même réalisent le trajet minimal sur l'ensemble des patrons.

Nous avons poursuivi, pour explorer plus avant cette figure, le cas de 4 patrons réalisant des trajets de mêmelongueur. On en trouve, même s'il faut résoudre une équation du 3° degré.


http://goo.gl/p48332




++++ Superposition de lieux

Réaliser la superposition de deux segments lieux

L'activité suivante est l'occasion de montrer combien cette situation très ouverte révèle des cas particuliers un peusurprenants. Ici, nous allons mettre en évidence un lieu de M qui réalise à la fois une égalité de longueur des trajetspour deux patrons et en même temps une autre égalité de longueur pour deux autres patrons. Ces deux longueursne pouvant toutefois pas être égales, sauf cas particulier peu intéressant.

Nous reprenons cette situation où nous avions réalisé « un premier segment oblique », la situation d12=d21.

On a vu que la pente du segment est -1 dans le repère (O, Y, Z).

Regardons maintenant une autre égalité de longueurs de trajets.

Cas d11=d22

C'est même un des premiers cas qu'il aurait été naturel de regarder, si l'on ne s'intéressait pas, comme on l'a fait,aux simplifications algébriques. On a donc :





Construction en ligne du segment associé

Pour d11=d22

dénominateur

(N[1]-A[1]-A[0])

Numérateur en z=0

(A[0]*N[2]+N[1]*(A[0]+A[1])-A[1]^2-2*A[0]*A[1])

Numérateur en z=zB

(A[0]*N[2]+(A[0]+N[2])*B[2]+N[1]*(A[0]+A[1])-A[1]^2-2*A[0]*A[1])

Point en z=0

[A[0],(A[0]*N[2]+N[1]*(A[0]+A[1])-A[1]^2-2*A[0]*A[1])/(N[1]-A[1]-A[0]),0]





Point en z=zB

[A[0],(A[0]*N[2]+(A[0]+N[2])*B[2]+N[1]*(A[0]+A[1])-A[1]^2-2*A[0]*A[1])/(N[1]-A[1]-A[0]),B[2]]

La figure sur laquelle ajouter ce segment :http://goo.gl/E8tO6T

La pente du segment à copier dans une nouvelle expression (adapter si les points ne s'appellent pas P27 et P28)

(P28[2]-P27[2])/(P28[1]-P27[1])

On a ajouté la pente du segment associé à $d_{11}=d_{22}$. En effet, en faisant varier N, on peut observer que lapente passe d'une valeur inférieure à -1 à une valeur, toujours négative mais supérieure à -1. Et surtout, quand ellepasse par la valeur -1 alors les deux segments se superposent (et, expérimentalement, c'est une équivalence). Voiciune copie d'écran de la manipulation :

:


http://goo.gl/E8tO6T



Manipuler cette figure finalisée en ligne : http://goo.gl/pWxURW

Lieu de N pour que les deux lieux coïncident

Les calculs associés à cette manipulation sont élémentaires. On vérifie que les deux segments se superposent si etseulement s'ils ont tous les deux le point A comme extrémité, en z=0. Une conséquence immédiate est le lieu de Nqui réalise la superposition : $y_N+z_N=y_A$


http://goo.gl/pWxURW



Manipuler cette figure finalisée en ligne : http://goo.gl/16s9IW

Possibilité d'égalité des longueurs des 4 trajets

Pour que les 4 trajets soient de même longueur, il faut que l'on ait de plus, par exemple, $d_{11}=d_{21}$

Cette égalité correspond à un segment d'origine le point A. Dans l'illustration suivante, N est sur le lieu où les deuxsegments précédents sont confondus (segment marron) et on a construit (en cyan) ce nouveau segment quicorrespond à l'égalité $d_{11}=d_{21}$. Il est a priori distinct. Donc on ne peut avoir l'égalité des 4 longueurs.


http://goo.gl/16s9IW



Manipuler cette figure finalisée en ligne : http://goo.gl/GjMekV

Toutefois, en déplaçant N sur le segment par lequel il est aimanté, on voit que ce nouveau se rapproche du segmentcommun quand N se rapproche de E. Et il y a égalité des segments â€” et donc des longueurs â€” quand N est en E.

Toutefois ce cas, ou N est un sommet du parallélépipède â€” est un cas bien trop particulier pour être réellementintéressant. Disons plutôt qu'il montre surtout que, sauf cas très particulier, les quatre longueurs ne peuvent êtresimultanément égales.

Bilan de cet onglet


http://goo.gl/GjMekV



On a pu voir une situation intéressante où deux couples de distances pouvaient être égaux deux à deux sur unmême lieu sans être égales entre elles.

Il serait intéressant de rechercher d'autres situations de ce genre.

Le dernier onglet traite d'un tout autre sujet : la construction des trajets sur les faces en déploiement.


++++ Trajets sur les faces

Construction des trajets sur les faces en cours depliage

Un autre type d'activité, loin des distances, plus proche des coordonnées des points du premier onglet consiste às'intéresser à la construction des points sur les faces pendant qu'on les plie, c'est-à-dire d'une part les images despoints $M_i$ et $N_j$ mais aussi des points à l'intersection des arêtes sur les trajets.

Typiquement, on peut proposer de chercher les coordonnées des deux points $M_{2v}$ et $P_{32}$ dansl'illustration ci-dessous.

Une première remarque significative est d'observer que le point $M_{2v}$ est propre à la face est indépendant dutrajet retenu (du patron) alors que le point $P_{32}$ dépend, lui, du trajet, donc qu'il va y avoir deux procédures





différentes pour construire ces points.

Chacun voit dans le pliage de la face d'arête [AE] une simple configuration de Thalès dans le triangle$APt_{21}v_{21}$, c'est donc l'occasion de travailler Thalès dans le champ de la géométrie repérée pour construirele point de pliage $P_{32}$ sans aucun ajout de segment, juste à partir des points en jeu, et de $P_5$.

Dans un contexte d'une activité scolaire, la construction des points $v_{ij}$ étant hors de portée, il est clair que lafigure de travail comporte les faces pliées. Ainsi les élèves utiliseront les points $v_{21}, \; v_{23} \; et \; v_{24}$comme des données initiales de la figure de travail.

Dans le bloc suivant, à l'attention des collègues curieux, on présente les grandes lignes de ces constructions.

Réalisation du pliage des faces (version enseignant)

Rendons à César...

Je dois cette technique des parallélogrammes et cette idée de tout centrer en l'origine pour simplifier lescalculs et les constructions à Monique Gironce de l'IREM de Toulouse qui a utilisé cette méthode finnovembre 2013 juste après une réécriture des outils internes 3D de DGPad, avec cette figure (à ouvrir dansun nouvel onglet).

Le pliage de la face du sol $APt_{21}Pt_{22}E$ en $Av_{21}v_{22}E$ correspond à une rotation de la face dans unerotation d'axe (AE) et d'angle ouvre (nom interne de la variable associée au curseur Ouvrir).

Aux coefficients près associés à la taille de la boite, cela revient à s'intéresser à la rotation du vecteur$\overrightarrow{OY}$ dans une rotation d'axe $\overrightarrow{OX}$ : autrement dit, tout se passe dans le plan(OYZ) et cette rotation correspond au point $p_{2g}$ de coordonnées $[0, cos(ouvre), sin(ouvre)]$ soit l'image de Ydans la rotation d'angle ouvre de centre O dans le plan (OYZ).

D'une manière générale, il est plus simple de travailler sur des rotations vectorielles (tout est centré en O) et de faireensuite des parallélogrammes de manière algébrique. En pratique, il va y avoir plusieurs vecteurs de rotation ilfaudra bien suivre ses petits....

Ensuite il faut adapter à la taille de la boite. Voici par exemple l'écriture algébrique de $v_{21}$




http://goo.gl/wU0Fx0



Le seul point un peu délicat à construire est le point $v_{24}$. En termes vectoriels, il s'agit d'une rotation de$\overrightarrow{OX}$ cette fois, dans une rotation d'axe $\overrightarrow{Av_{21}}$ soit $\overrightarrow{Op_{2g}}$(toujours aux coefficients prés de la taille de la boite). Plus précisément, c'est une rotation d'angle -ouvre car choisirouvre sur l'axe précédent oriente l'espace.

Le vecteur obtenu est le vecteur $\overrightarrow{Op_{2gAv}}$ dont le calcul peut se faire à partir de la matricegénérale d'une rotation dans l'espace que l'on trouve par exemple à cette page.

Les coordonnées du point $p_{2gAv}$ sont alors :


http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_rotation



Ce qui achève la construction de la face avant... droite (désolé, le $g$ est une â€” vraie â€” erreur de notation celaaurait dû être un $r$... ;-)

On fait de même pour la face arrière droite et les faces avant et arrière gauche. Les quatre autres faces sont plussimples à calculer bien entendu.

(fin du bloc sur le pliage des faces)

Voici deux figures en ligne pour travailler dessus, et valider des expressions :

Première figure AVEC les points solutions, pour validation.

Seconde figure SANS les points solutions, dans les deux cas sur le patron 2.

La construction du point de pliage$\textbf{P}_{\textbf{32}}$

On commence par construire le point $P_5$ intersection de l'arête au sol $[APt_{21}]$ avec le segmentcorrespondant au patron 2, $[M_2N_2]$.


http://goo.gl/v8XGif

http://goo.gl/QMX6MX



Alors plusieurs écritures sont possibles, on peut laisser chercher les élèves. Selon le contexte, on peut aussiaccélérer la réflexion ou les calculs en proposant un nouveau QRM (questionnaire à réponses multiples) à partird'une illustration comme celle-ci :

Plusieurs réponses peuvent être possibles (si vous voulez « jouer »), vous êtes invité à cocher toutes les réponsesexactes.

Relation vectorielle définissant $P_{32}$

1. Le point $Pt_{32}$ vérifie la relation (2 pts) $\overrightarrow{P_5P_{32}}=\displaystyle \frac{x(P_5)-x(A)}{x(Pt_{21}-x(A)}\overrightarrow{Pt_{21}v_{21}}$ $\overrightarrow{P_5P_{32}}=\displaystyle \frac{y(P_5)-y(A)}{y(Pt_{21}-y(A)}\overrightarrow{Pt_{21}v_{21}}$ $\overrightarrow{AP_{32}}=\displaystyle \frac{x(P_5)-x(A)}{x(Pt_{21}-x(A)}\overrightarrow{Av_{21}}$ $\overrightarrow{P_5P_{32}}=\displaystyle \frac{y(P_5)-y(A)}{y(Pt_{21}-y(A)}\overrightarrow{Av_{21}}$

2. Le point Pt32 peut donc s'écrire dans DGPad (2 pts) A+((P5[1]-A[1])/(Pt21[1]-A[1]))*(v21-A) P5+((P5[2]-A[2])/(Pt21[2]-A[2]))*(v21-Pt21) A+((P5[0]-A[0])/(Pt21[0]-A[0]))*(v21-A)




P5+((P5[0]-A[0])/(Pt21[0]-A[0]))*(v21-Pt21) P5+((P5[1]-A[1])/(Pt21[1]-A[1]))*(v21-Pt21)

La construction du point $M_{2v}$

La construction du point sur la face est mathématiquement plus intéressante, car elle nécessite, pour les élèves, defaire preuve d'initiative. On a déjà fait remarquer que cette question est indépendante du trajet étudié, maisseulement propre à la face, d'où un nouveau regard à poser, sur une page quasiment vide :

Et l'interroger ...

Selon le type d'activité, l'interrogation peut être, dans un premier temps individuelle, pour appropriation de laquestion, mais il faut assez rapidement faire circuler les idées par des échanges, dans un débat. On peut ainsi faireémerger des pistes de réflexion comme :

" Il y a de triangle $APt_{21}v_{21}$ qui a déjà été utilisé avec Thalès. On peut chercher des parallèles." On utilisera probablement encore une parallèle à $(Pt_{21}v_{21}$" Le parallélogramme $APt_{23}Pt_{24}Pt_{21}$ se transforme en le parallélogramme $Av_{23}v_{24}v_{21}$..." ... et chacun des deux représente la face ABCD dans des positions différentes." Il y a donc des parallèles qui peuvent être utilisées...




Mais a priori sans donnée supplémentaire on n'aboutit à rien pour démarrer vraiment. Il faut une donnée de plus, uneréflexion supplémentaire.

Il s'agit de faire émerger la conservation des positions. À partir de la réflexion que chaque parallélogrammereprésente la face ABCD, on peut â€” si nécessaire â€” lancer cette piste qu'ils représentent la face ABCD et le pointM. Or ce point M, on a su le placer sur la face du sol, directement à partir de la position de M dans la face. L'idée estde transformer mathématiquement cette conservation de la position (de $M_2$ sur le sol) dans le pliage de la face.

Comment transférer la position de $M_2$ dans $APt_{23}Pt_{24}Pt_{21}$ dans le parallélogramme $Av_{23}v_{24}$?

Une solution géométrique

Voici ce qui est attendu en définitive : faire une parallèle à $(APt_{23})$ passant par $M_2$. Cette droite coupel'arête au sol $[APt_{21}]$ en un point $I_{21}$. Le reste étant alors une réplique de l'activité précédente avec unautre point que $P_5$ : ce qui a été fait avec ce point se fait simplement par transposition avec $I_{21}$.

Cette figure étant faite, comme illustration de la démarche à effectuer, avec une prise en charge de la difficulté plusou moins grande : on peut organiser la fiche pour arriver assez rapidement à ce résultat afin de se centrer sur lasuite...

Un chalenge algébrique de géométrie repérée

L'idée d'une activité de géométrie repérée dans ce contexte est alors de calculer directement les coordonnéessuccessivement :

" du point $M_{21}$ de l'arête $[Av_{21}]$ sans construire le point $I_{21}$." puis du point $M_{2v}$ de la face.




Un des intérêts de l'activité est de tester les expressions que l'on pense être correcte, soit individuellement soitcollectivement. Les points $I_{21}$ $M_{21}$ étant construit géométriquement, on cherche à recouvrir ces points depoints construits algébriquement, tout d'abord $I_{21}$ (très abordable) et ensuite le point de référence $M_{21}$ surla base de ce qui a été fait sur le point $P_{32}$

Pour une validation en ligne, on utilisera les mêmes liens des deux figures précédentes.

Expression algébrique de $M_{21}$

En effet, une fois définies les coordonnées de $I_{21}$, celles de $M_{21}$ se font comme dans le cas du pointprécédent : il suffit de remplacer $P_5$ par $I_{21}$... oui, mais pas tout à fait, car on s'est donné comme consignede ne pas créer ce point supplémentaire $I_{21}$ : donc ce n'est pas le point qu'il faut remplacer, mais sescoordonnées.

Remarque : on ne l'a pas fait à l'activité précédente, car le calcul aurait été inutilement complexe, ce qui n'est pas lecas ici.

En effet, par parallélisme, les coordonnées de $I_{21}$ sont trivialement [A[0], M2[1], 0].

En reprenant la formule donnant le point $P_{32}$ à partir du point A, on voit tout d'abord que seule l'ordonnée nousintéresse ici, ce qui donne pour le point $M_{21}$ l'expression algébrique suivante :

Expression algébrique de $M_{2v}$

Dans le calcul de l'expression de $M_{21}$, on peut mettre en relief qu'on a utilisé seulement l'ordonnée de $M_2$.Pour la position de $M_{2v}$ on peut mettre en évidence, dans une situation de classe, que c'est l'abscisse de$M_2$ qui va déterminer la position de $M_{2v}$

Reste que si les élèves essaient d'utiliser à nouveau directement la propriété de Thalès, cela ne va pas aboutir. Carfondamentalement c'est une question de conservation d'un rapport de grandeur : ce rapport est le même dans lesdifférentes situations (car dans tous les cas on représente toujours le point M qui est à la même place dans lesdifférentes représentations (face initiale, sol, face du patron). De quel rapport parle-t-on ?




Dans la face du sol $APt_{23}Pt_{24}Pt_{21}$, on a vu que les segments $[M_2I_{21}]$ et $[Pt_{24}Pt_{21}]$ sontparallèles, de même pour $[M_{2v}M_{21}]$ et $[v_{24}v_{21}]$ et surtout leurs rapports sont égaux puisque c'est ladistance de M à l'arête [AB] sur la face ABCD par rapport à la longueur DA de la face.

Autrement dit $\displaystyle \frac{d([M_{2v}, M_{21})}{d([v_{24}, v_{21})} = \frac{d([M_{2}, I_{21})}{d([Pt_{24},Pt_{21})}$ ce qu'il convient de transformer en expression algébrique précise (en particulier pour le signe).

Mais même arrivé jusque là, il n'est pas évident que les élèves trouvent une écriture correcte pour $M_{2v}$. Onpeut alors envisager une autre fin de l'activité en proposant une première écriture (qui serait alors à justifier) etdemander aux élèves de proposer d'autres écritures possibles comme dans le QRM ci-dessous :

Compte tenu de l'écriture de $M_{2v}$ ci-dessous, indiquer, dans le QRM suivant d'autres expressions de ce point.

Différentes écritures du point de la face




Cocher les autres écritures correctes pour $M_{2v}$ (5 pts) M21+((M2[0]-Pt21[0])/(Pt24[0]-Pt21[0]))*(v24-v21) M21+((M2[0]-Pt21[0])/(Pt23[0]-Pt21[0]))*(v24-v21) M21+((M2[0]-Pt21[0])/(Pt24[0]-A[0]))*(v23-A) M21+((M2[0]-A[0])/(Pt24[0]-A[0]))*(v24-A) M21+((M2[0]-A[0])/(Pt24[0]-A[0]))*(v24-A)

Autre méthode â€” complément

Ce complément peut avoir différentes utilisations (application, mise en oeuvre, remédiation, évaluation...)

Au lieu de travailler en « ordonnée puis abscisse », on peut travailler en « abscisse puis ordonnée ». On ne construitpas le point de la figure $I_{23}$ mais on calcule directement les coordonnées du point $M_{23}$ de cette figure :

Et on en déduit celles de $M_{2v}$.

Autres écritures de $M_{2v}$




Cocher les autres écritures correctes pour $M_{2v}$ (3 pts) M2+(M23[2]/v23[2])*(v23-Pt23) M23+((M2[1]-A[1])/(Pt24[10]-Pt23[0]))*(v24-v23) M23+((M2[1]-Pt21[1])/(Pt21[1]-A[1]))*(v21-A) M2+(M23[2]/v24[2])*(v24-Pt24) M23+((M2[1]-Pt23[1])/(Pt21[1]-A[1]))*(v24-v23)

Bilan de cet onglet

Après les écritures algébriques et les coordonnées des points du sol de l'onglet 1, les activités de cet ongletréinvestissent la géométrie repérée et les écritures algébriques dans des écritures parfois moins élémentaires àformuler, car mélangeant coordonnées et écriture algébrique de points.

Plusieurs pistes ont été proposées pour construire des activités scolaires avec ce questionnement. (Elles seronttestées dans un environnement de préparation au concours PE dans les prochains mois. Un retour sera ajouté à cetarticle.)

L'activité montre aussi l'intérêt de la géométrie repérée dans son économie de moyens : alors que géométriquementil faudrait tracer de deux à quatre objets supplémentaires par point à construire (face et arête), on arrive au mêmerésultat avec, selon les cas un ou aucun objet intermédiaire.


Bilan et perspectives

Le thème initial de cet article, la longueur d'un trajet par les faces entre deux points d'une boite, est présent danstous les manuels scolaires de lycée et de lycée professionnel, de manière arithmétique (avec des longueurs bienprécises). En simulant le problème posé dans un logiciel de géométrie dynamique - à l'origine pour illustrer cesexemples arithmétiques en préparation à l'oral du CAPES et du CAPLP - il vient naturellement à l'esprit une analyseplus approfondie de cette figure, et la question de sa transformation en activités scolaires plus approfondies (tâchescomplexes, défis mathématiques ...)





Algébrisation conceptualisante

Il en résulte que cet article propose un regard plus algébrique que d'ordinaire sur la géométrie repérée. Construitessur la base de coordonnées de plan à partir d'une position dans l'espace, les premières activités accompagnent, defait, un regard conceptualisant sur l'espace et les relations entre positions spatiales et emplacement sur un patron.

Avec la géométrie dynamique, les résultats des élèves sont immédiatement testables sur les figures de travail, ce quipermet des corrections - d'élèves - ou des analyses d'erreur - de l'enseignant - en temps réel.

L'algèbre utilisée est élémentaire puisque l'on reste dans le premier degré, même avec l'utilisation du théorème dePythagore. L'algèbre intervient ici comme outil de résolution de problème. Comme tel, elle s'installe dans un rapportd'opérationnalité, de compétences.

Le retour à la simulation est toujours présent. Même dans les activités sur les longueurs de trajets égales, on peuttoujours tester ses résultats sur la figure en aimantant le point M sur les solutions trouvées.

Perspectives

Dans cet article, on a testé à peine le quart des possibilités des égalités de longueur pour les trajets sur les différentspatrons. Cette situation initiale contient donc peut-être d'autres résultats intéressants, voire d'autres surprises. Mercide communiquer vos résultats à la revue par exemple dans les commentaires.

Documents attachés à l'article et apprentissage deDGPad

Téléchargement

Le dossier zip contient 19 figures intermédiaires, les fichiers wxmaxima associés, les fichiers textes de conversiondes données (et le bonus proposé ci-dessous)

Il n'y a pas de « fiche élève ». Elles sont à construire selon des choix individuels tellement variés...

La webApp et les iApp DGPad

Comme vous l'avez vu dans cet article DGPad est une web App, donc nécessite une connexion internet pour uneutilisation en classe. Il est conseillé de regarder les premières vidéos du site de l'auteur pour l'apprentissage de soninterface.

DGPad est aussi une iApp sous Android et sous iOS. On peut donc la télécharger sur tablette et transférer lesfichiers texte sur tablettes. Cela évite de travailler en ligne.

Utilisation du dossier


http://www.dgpad.net/



En pratique, les activités proposées ici sont conçues pour travailler sur ordinateur : les copier-coller en particulier ysont plus simples. Le fait de disposer de deux claviers est pratique aussi. Sur ordinateur (en tout cas sous Mac OS) un simple glissé des fichiers .txt des figures dans la fenêtre du navigateur(quand DGPad est lancé bien entendu) suffit à ouvrir la figure.Sinon il faut charger la figure en utilisant simplement le nuage descendant.

Apprentissage de DGPad

Il y a encore peu de documentation sur DGPad... mais l'IREM de Toulouse y travaille...

Un ancien article centré sur la géométrie, est paru pour accompagner la naissance de l'application. Mais celle-ci abien progressé depuis. L'article est en partie obsolète. Et en particulier sa méthode de mise en ligne des figures.Bien entendu l'apprentissage de l'interface, son analyse, et la comparaison avec les choix de Sketchometry restentd'actualité.

Un complément sur les scripts a été écrit au même moment. Il peut être intéressant, mais reste un peu geek car ondevrait pouvoir tout refaire, plus simplement, dans les expressions de DGPad, qui n'existaient pas au moment de sarédaction.

Un article plus récent revient sur la gestion très originale de la 3D de DGPad. Il propose quelques figures 3D etrappelle, dans son dernier paragraphe, la façon d'enregistrer les figures mises en ligne.

Depuis quelques mois, plusieurs articles â€” même ceux sur Geogebra â€” de Alain Busser dans mathémaTICEpeuvent être illustrés de figures DGPad car la webApp à télécharger ne fait que 800 Ko (au lieu des 6 Mo pourGGBW).

Un bonus

Et pour terminer en beauté, un joli bonus : http://goo.gl/ea8psJ (très fun sur tablette)(cette figure ne nécessite que 170 lignes de code â€” au sens de programme de construction â€” ce qui montre uneréelle efficacité de DGPad dans la gestion de la 3D.


http://revue.sesamath.net/�509



�http://revue.sesamath.net/spip.php?page=recherche&recherche=Busser&x=0&y=0

http://goo.gl/ea8psJ
