gmcs078d

SOMMAIRE

le PARTIE : EQUATIONS DE LAGRANGE

Pages

1 - Exemple de puissance virtuelle dveloppe par les actions 2mcaniques

2 - Calcul direct d'une fonction de dissipation. 7Retour au procd de ralisation dfun amortissement visqueuxavec du frottement sec

3 - Pendule de Wilson 10

4 - Dploiement des bras d'un satellite 17

5 - Balance gyrostatique de Kelvin 26

6 - Correcteur d'avance de phase 35

7 - Dispositif bifilaire pour mettre en vidence la rotation 49terrestre

8 - Equations du mouvement de la sphre de Bobylev 59

9 - Equations du mouvement d'un vhicule articul 67

10 - Dtermination d'un torseur de forces intrieures 79

2e PARTIE : EQUATIONS D'APPEL

1 - Variateur de vitesse automatique 94

[JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

1RE P A R T I E

LES E Q U A T I O N S D E L A G R A N G E


- 1 -

INTRODUCTION DE LA PREMIERE PARTIE

Nous allons dans cette partie consacre aux quations de Lagrange,

traiter un certain nombre d'applications. Celles-ci ont t choisies de ma-

nire suivre l'volution du cours.

Les quations de Lagrange sont un puissant outil analytique de mise

en quation lorsqu'on dsire uniquement obtenir les quations du mouvement

d'un systme. Leur utilisation devient plus dlicate lorsqu'on veut dtermi-

ner en plus les actions mcaniques dveloppes dans ce systme. Par contre

les thormes gnraux tudis au chapitre prcdent sont dans ce cas d'une

plus grande efficacit.

Il est gnralement souhaitable d'envisager l'utilisation des deux

mthodes, Lagrange pour le mouvement et thormes gnraux pour les actions

mcaniques, la variation dans le temps de ces dernires tant obtenues plus

aisment quand on connat dj le mouvement.


- 3 -

PUISSANCE VIRTUELLE DEVELOPPEE DANS UNE TRANSFORMATION VIRTUELLE

COMPATIBLE AVEC LES LIAISONS

ENONCE

Considrons la figure donne :

- Le mouvement de la barre (1) est impos ty = a>t.

- La longueur vide du ressort est ln-

- La liaison (S )/(S) est une liaison rotode imparfaite telle que :

C 2 = - C (0f -4,') Z

o

1) Calculer la puissance relle dveloppe par le poids P^.

2) Calculer la puissance virtuelle dveloppe par P? dans une transfor-

mation virtuelle compatible avec la liaison telle qu'elle existe l'instant t.

3) Calculer la puissance virtuelle dveloppe par C dans les mmes

conditions qu'en 2).

4) Calculer la puissance virtuelle dveloppe par l'action du ressort-

sur la barre (2) note F ,^ dans les mmes conditions qu'au 2).


- 4 -

SLUT1ON

I - PUISSANCE REELLE DEVELOPPEE PAR P

?2 = - "S Yg

^/DS = V Vg(G2)

Calculons V8(G2>

-*a d^ -Vg cos wt * cos 0 -y


- 5 -

II - PUISSANCE VIRTUELLE DEVELOPPEE PAR P2 DANS UNE TRANSFORMATION VIRTUELLE

COMPATIBLE AVEC LA LIAISON TELLE QU'ELLE EXISTE A L'INSTANT t :

r~ "i- ID sin cot - y sinQQ1

~*e aV (G?) = a) cos o>t + cos00

f

(relle) 2

0 J R0

La vitesse virtuelle s'crit donc ici :

"- | 0 f*sin e"

~^

- 6 -

IV - PUISSANCE DEVELOPPEE PAR FR/2

~G~~t2

F , - - k (L - ) J_R/2 I^TSl

L = I^Sl

V2="S-~K

r n COS ty + --r- COS 0 - -T- COS ij;

^ G-G = sin ty + y sin 0 - sin i(;

_ L o >gy (COS ty -f COS 6)"

G1G2 = 1 (sin * + Sin 6^ J Rg2 o^ f ? 2 1

L = (cos i|; + cos 0) + (sin ty + sin 6)

F 2 2 2 2 "1- _ cos ^+sin ^ + cos 6-t-sin 6 + 2 cosif; cos6 + 2 sini); sin6

2 p -,= ~ 2 + 2 cos -(e-ifr)

L2 - -y l * cos (&-*)]

- 4 [* -2 ]T 2 2 2 ,6 - NL = cos (j-x)

L = cos (6 ~2 ^)

^ - k L C O S (5-^) - I - (cos ty. + cos 6)d'o : FR/2 L

cos (-yi) ! (s.n ^ + s.n e)

0 RL 4 g


- 7 -

r- Q *-.- | sin ee f

v*(G2) = | cosee'*

0 J Rg

d'o :

x-^* kA LCOS -r1) ~ *0J rfnO = r- ; - (cos i / /+ cose) sin 6 + (sin ^ + sin 6)Is/ 4 /" ~ V\77 cos (~2 }

cos e e1*

* cos ( -i) - A/-^v* k = ii- sin (i//-6) 6'fyP = ~ ~ /e -_*,t7 [ cos

- 9 -

CALCUL DIRECT D'UNE FONCTION DE DISSIPATION.

RETOUR AU PROCEDE DE REALISATION D'UN

AMORTISSEMENT VISQUEUX AVEC DU FROTTEMENT SEC

ENONCE

Reprenons l'nonc et la figure du problme page 76 des thormes

gnraux (Chapitre 6 exercices).

r + + +1Soit le solide S0 auquel est li le repre RQ : 0, XQ, Y , ZQ(Zn vertical ascendant).

Soit un solide S anim d'un mouvement de rotation par rapport Sn

grce une articulation rotode d'axe OYn. S est essentiellement constitu"*"d'un cylindre d'axe OYn et de rayon r.

-> -* +A S on lie le repre R : (0 X Y Z ) tel que

> +Y = Y*1 0-Z arbitraire

X, = Y, A \

-* ->

On repre la rotation de S /S par l'angle (Z , Z ) = 0

Soit un solide S : S est anim d'un mouvement de translation par. o

rapport SQ : OG = y avec h constante. S repose par sa partie infrieureLhJpR0

(plan TT) sur la gnratrice suprieure du cylindre S . S a pour massem.

S est anim d'un mouvement de rotation (8' = co suppose constante).

82 est anim d'un mouvement de translation (paramtre y).

On suppose qu'il y a du frottement au contact (S )/(S?) (coefficient

de frottement f).

Calculer la fonction de dissipation par un calcul direct.


- 10 -

SOLUTION

I - L'ACTION DE CONTACT EST :

- > - > >F T + N*12 12 12

f r0f -]mgf

V/r'e'2*,'2

* v1F,2 = ~ mSf ==

\/r2e'2 + y2

mgfRo

II - LA VITESSE VIRTUELLE EST DANS UNE TRANSFORMATION VIRTUELLE COMPATIBLE :

- r0f* "~M *Vjd) - y'

- JRO

III - LA PUISSANCE VIRTUELLE EST :

xTf = - mgf r 2 e ' e* - mgf ^ y'*

V V / r 2 6 ' 2 . y ' 2 \ / r 2 e ' 2 + y '2

IV - S'IL Y A FONCTION DE DISSIPATION GENERALISEE on doit avoir :

9* c r2 6 ' ....

jr " + mg (Dn 2 2^^r2 6'2 + y'2

^L = mgf . ^ (2)dy ._ - -.

. \/r2 6'2 -H y '2


- 11 -

Intgrons par exemple partir de la dernire relation :

2 2 2 1/2i); = mgf (r 9f + y1 ) + g (61) (g fonction de 0f seulement)

j , mi. '2' * f,^2.'2*,-2'

Par identification -7 - = 0 g = ctedW

i/2

$ = mgf (r 6fZ -H y|Z)

Iv'lV - CAS OU LA VITESSE 6f EST CONSTANTE 0 ' = I

,2 1/2ij; = mgfro) (1 + ^ 2 ^

r a)

y'2 1 vf44 = mgf roo ( 1 + ~ 2 2 " 3" 4 4 * ' * ' ^

r a) r w

Si on se contente du premier terme = c|>

1 mgf ,2* = 2 A y

$=lby'2 I TT T

2 r a)

VI - CONCLUSION

Plus u) est grand plus b est faible. Ce procd est utilis pour

rduire le frottement. Le mouvement de (S ) par rapport (S ) est qualifi

de "louvoyant11. Ce procd du mouvement louvoyant pour rduire le frottement a

t trs employ pour rduire le frottement dans les mcanismes.


- 13 -

PENDULE DE WILSON

ENONCE

Ce problme a t trait par les thormes gnraux au chapitre 6

exercices page 204.

Notre but est alors simplement de retrouver par la mthode de Lagran-

ge les quations du mouvement obtenues et rcapitules page 213.

Pour cela, reprenons l'nonc et la figure.

Considrons le systme compos des 4 solides (Sn), (S ), (S?) et

(S) comme l'indique la figure.

(SQ) est considr comme le bti de l'appareil.

(S ) est un cadre de masse ngligeable (appel armature externe), en

rotation autour d'un axe horizontal An de Sn.

(S-) est un cadre de masse ngligeable (armature interne) en rotation

par rapport (S ) autour d'un axe A orthogonal et concourant avec A au point

Oj = 0.

(S ) est un rotor (gyro) de masse ngligeable en rotation par rapport

(S ) autour d'un axe A orthogonal et concourant avec A au point 0 = 0 .

L'armature interne (S2) comporte une manivelle CB dont l'extrmit B

est relie en A l'armature externe (S ) par un ressort de raideur k.

Toutes les liaisons (S.)/(S.) sont rotodes parfaites.

On procde au reprage suivant :

A (SQ) on lie le repre RQ : |0, XQ, YQ, ZJ galilen tel que

*ZQ dirig suivant la verticale ascendante->XQ port par l'axe de la liaison

- 14 -

A (Sj) on lie le repre Rj : Oj, X , Y , Z tel que

1 5 * -*"

Xl =X0"*"Z port par lfaxe de la liaison (S?)/(S )

Y, - \ A X\

On repre la rotation de R,/Rn par l'angle

0 (V VA (S2) on lie le repre R2 : U>2, X2> Y2> zj tel que

- -Z2 ' Zl->

Y2 port par l'axe de la liaison (S )/(S )

X2 - Y2 A Z2

On repre la rotation de R9/R. par l'angle

g - (xjf x2)

A (S3) on lie le repre R3 : 03, X3> Y , Zj tel que

3 E 2-> ->

Y = Y3 2

->X arbitraire- > - > - >Z 3 = X 3 A Y 3

On repre la rotation de R/R9 par l'anglej -

Y = (X2, X3)

Les dimensions du systme sont telles que :

" 2 - 1 \

B" = r x2

"A = a Xj

= h Zj

Le rotor S. a pour masse m.


- 15 -

Sa matrice d'inertie en 0 exprime dans R- est la suivante :

"" A 0 0 1

f = 0 B 0

[O 0 Aj^

Le ressort de raideur k est sans contrainte pour une longueur L = a-r.

On demande de :

- Calculer l'nergie cintique du systme.

- Calculer la fonction de force.

- Ecrire les quations de Lagrange du mouvement.


- 16 -

SOLUTION

Trois paramtres indpendants a, $, y sont ncessaires la description

du mouvement du systme. Les actions de pesanteur (gyro) et du ressort drivent

d'une fonction de force.

Toutes les liaisons sont considres comme parfaites, donc pas de fonc-

tion de dissipation.

Enfin il n'y a pas de forces donnes.

Dans ce cas les quations de Lagrange s'crivent :

J. / 9T 3T _ 8U _dt Sq' .' "" Bq. 3q.

^ i ni Hi

I - CALCUL DE L'ENERGIE CINETIQUE T

La masse du cadre tant nglige on a :

T0 - T01 3

T'(3)4[7(o3)]2 + iao . r03o

+ -> -> "A/ Qj - 0 + flj + J

= Y' Y2 + 6f Z2 + a

1 X,

- > - > - >X = cos 6 X2 - sin 3 Y2

a' cos 30 = yt . ai sin g

L3' . . . RJ R2->- ->

Le gyro est de rvolution autour de Y9 = Y . La matrice d'inertie est

donc :

"A 0 0 "

03 = 0 B 0

L A J R RR3'R2


- 17 -

On a :

3 ~o3 - n = y [A (a'2 cos2f5 + 6'2) + B (Y' " ' sin B)2 ]

+ H O *- di

- 18 -

On obtient ce qufon appelle une intgrale premire. On a pour habitude

d'appeler la constante rn.

y1 - a1 sin B = rQ (1)

CDB/ Equation oC-(a) :

JL r-lLw il _ J - odt Sa'; 8a " 3a

^T 9 ?T^T = (m* + A cos B) a1 - B sin 6 (y1 - a1 sin 6)OUI

2 2= (m + A cos #) a' - B rQ sin g

-j7 (r) = (m2 4- A cos2B) a" - 2 a1 6' A sin 3 cos g - B rn cos B6f

't oOt U

il- o3a "

3U . = mg sin a

d'o Sf(a)

2 2(2) (m H- A cos g) a" - 2 A a1 -Bf sin g cos B - B r Bf cos B - mg sin a = 0

Dans cette deuxime quation on a dj utilis l'quation (1).

C/ Equation oC(B):

JE. ( 8T ) - II 1 - odt ^8Bf 3B 36

-2-- A6'3B1 3

- (^AB"3T 2TT- = ~ A a1 cos B sin B + B (y.1 - a' sin B) (-a1 cos B)dp

2= - A a' sin B cos B - B rn a

1 cos B

I? - - k r\/r2 + a2 - 2 ar cos B'- (a-r) x ar sin g9B \/ r^ g '

J \/r + a - 2 ar cos g


- 19 -

d f o (B)

2 k LVr +a2-2ar cos (3-(a-r)J ar sin 3

(3) A3" + Aaf sin g cos g + B rn a' cos 3 + * 0U /~~2 2 "~"~

y r -H a - 2 ar cos B

Dans cette 3me quation on a aussi utilise l'quation (1).

IV - CONCLUSION

On retrouve bien ls quations du mouvement obtenues par les thormes

gnraux.

On voit sur cet exemple que la mthode de Lagrange est d'un usage beaucoup

plus systmatique que l'utilisation des thormes gnraux. Il ne faut pas cepen-

dant croire que les thormes gnraux vont tomber en dsutude. Nous traiterons

des exemples comparatifs dans lesquels ils seront rhabilits.


- 21 -

ETUDE DU DEPLOIEMENT DES BRAS D'UN SATELLITE

ENONCE

Pour tudier le dploiement des bras d'un satellite (bras destins au con-

trle de 1'autorotation) on emploie au laboratoire le modle exprimental suivant :

(SQ) est le laboratoire. Le corps du satellite (S.) est en rotation autour

d'un axe fixe et vertical de (S ). (S ) et (S ) sont les bras du satellite. Ce sont

des solides en rotation autour d'axes fixes et parallles de (S ), orthogonaux

l'axe de rotation de (S^/CSg). Toutes les liaisons sont rotodes.

- A (SQ) on lie le repre (RQ) : JO, XQ, YQ, ZQ1 :

0 sur l'axe de la liaison (S,)/(SA)-. l uZQ vertical ascendant port par l'axe de la liaison (S )/(Sn)-*Xn arbitraire

W^- A (sp on lie le repre (Rj) : X J f Y , Z

Oj tel que 00 ~h*^Q-* ->zi = zo->Yj port par l'axe de la liaison (S )/(S )- * > - X, - Y, A Z,

On repre la rotation de (R ) / (R ) par

* - (XQ, X,)

- A (S2) on lie (RZ) : fo2 X2, YZ, zj

02 est situ sur l'axe de la liaison (S^/CSj) et tel que "o = a X

Y s= y2 M

- G2Z9 = 5 G0 centre d'inertie de (S0)^ *

- 22 -

On repre la rotation de (S )/(S ) par

e2 = czr v- A (S3> on lie (R3) : 03> X3, Y^, IJ

083 --a3X,-> ->

Y = Y3 1

- ?3z = G centre d'inertie de (S )

J X/ j O

X3 = Y3 A Z3

On repre la rotation de (R )/(R ) par

e3=(T1>?3)

Les caractristiques d'inertie sont pour chacun des solides :

Masse Centre d'inertie Tenseur d'inertie

FA1 "(Sj) Mj Gj sur l'axe (0, Z{) 0] = 0

Bj

L CJR1 RlA2 0 0 "

(52) M2 G2 IG2 = 0 B2 0

L o c J2 R2

A3 0 0 "

(53) M3 G3 G3 = 0 B3 0

L cJR3Entre (S ) et (S2) agit un ressort tel que

FR2 " %2(02) = - k2 (02 - 620) Yj

De mme entre (S ) et (Sq) agit un ressort tel que

% = 0 %3(03) = - k3 (63 - 63()) Yj

Les liaisons (S )/(S2), (S )/(S ) ne sont pas parfaites et l'on a :

S12(02) *! =- b2 e >2

-> -

Mi3(o3) Yi = " Va

La liaison (S )/(Sn) est suppose rotode parfaite.


- 23 -

On applique en outre des actions connues (S.) et (S,) telles que

1 2-o 1 3-o

S12(02> = M,*, S13(03) = M2?,

1) Mettre en quation le problme par la mthode de Lagrange.

2) Comment peut-on retrouver ces quations par les thormes gnraux ?


- 24 -

SOLUTION

I - METHODE DE LAGRANGE

Trois paramtres ij;, 0~ et 0 indpendants sont ncessaires la descrip-

tion du mouvement du systme.

Les actions de pesanteur et de ressorts drivent d'une fonction de force,

Les liaisons n'tant pas parfaites, il y a fonction de dissipation.

Enfin il y a des forces donnes.

Dans ce cas les quations de Lagrange s'crivent :

J_ (JL JL = 3U JLt.dt ^3q! ' " 3q. 3q. " 3q! iDHi Mi Hi Mi u

A/ Energie cintique TQ du systme

0 pO + pO -f ^0\ m 3

1) Calcul de T^f\

TI-|I['OWI>] 4 -^s, ?^(Gj) = 0

n = * z,

d'o Tj = le, *'2

2) Calcul de T

fy

To _ f VCG n + - Jo f oQX2 2 W2 L 2;J 2 "2 2 2

V(G2) = V(02) + n A

- 25 -

?2 = 12 *2

d'o :

F 2 6 '2V(G2) = (a + 2 sin 6^ i|'

L Vd'o :

T2 = M2r2 622 + (a2 + *2 Sin 62 )2 *' J

+ y JA2 1>'2 sin2 92 + B2 92

2 + C2 ^ '2 cos2 ej

3) Calcul de T

Calcul identique celui de T en remplaant a par - a_

e2 e3

*2 " *3M " MW2 3

A2,B2,C2 A3,B3,C3

T3 " I M3 T3 932 + (" a3 + S Sin 63)2 *'2 1

+ I I A3 *'2 sin2 63 + B3 e32+ C3 *'2 Cs2 63|

4) L'nergie cintique totale s'crit donc :

I I I 0 O O OT = -j < C j + A2 sin 62 + C2 cos 62 + A3 sin 63 + C3 cos Q^

+ M2 (a2 + 2 sin 92)2 + M3 (- ag + H^ sin 63)

2 ij)'2

+ [M2 ^2 + B2]622 + [M3 3 + B3]

632 |


- 26 -

B/ Calcul de la puissance virtuelle dveloppe par les actions mcaniques

1) Fonction de force

U = UPl + Up2 + Up3 + UR2 + UR3

a) Up = cte = C

b) UP2 - - M2gz - - M2g2 cos 62 + C

c) Up3 - - M3gzO - M3g 3 cos03 + C3

d) u = (62 - 62())2 + K2

e) UR3 - - (63 - e3Q)2 + K3

dfo :

U - - M2g 2 cos 02 - M3g 3 cos 63

k k

- T (62 - 620>2 - T (63 * 930)2 + C

2) Fonction de dissipation

Liaisons non parfaites

* - 7 b 2 6 2 2 * 7 b 3 e 3 2

3) Puissance virtuelle des forces donnes

Ce sont ici deux couples :

^D*-^e'* +9^83*

d'o

Qe2D

Q6o -?3D 3


- 27 -C/ Equations de Lagrange

1) Equation! di|; Bip ~" a^1 >D

- #- v -

, d , 9T . ndonc dF (W } =

ai^=cte

C'est une intgrale premire.

On obtient :

E 2 2 2 2^ + A2 sin 62 + C2 cos 02 + A3 sin 63 + C cos 62 21* M2 (a2 + 2 sin Q^ + H^ (- a3 3 sin 63> i(

f - cte

Si l'on pose cette constante gale I if;1 on a

I bfv - *f

- 28 -

d'o f (62) ^

(M2 2 + B2) e"2 - |(A2-C2) sin62 cos62 + M2 (BZ + #2 sin92) 2 cos 0J *'

- M2g A2 sin62 + k2 (62 - 920) + b2 6'2 = %/2

3) Equation ^C(0 )

JL ( 3T N 3T _ BU _ 3j) + Qdt Sef3

; " a03.." 303 " ae!3 ^

93D

S'obtient directement partir de o^(0 )

(M3 3 + B3) 6f l

3 - I (A3 - C3> sin 03 cos 93 + MS (- a^^ sin 03)3 cos03J^f 2

- M3g 3 sin 03 + k3 (03 - 03Q) + b3 6'3 =J^

II - OBTENTION DE CES EQUATIONS PAR LES THEOREMES GENERAUX

Nous avons vu dans le chapitre prcdent que les quations du mouvement,

c'est--dire sans inconnues dynamiques s'obtenaient gnralement en projection sur

l'axe des liaisons du systme. Cette manire de procder est toujours valable ici.

De plus nous n'avons que des solides en rotation. On est donc certain que ces qua-

tions seront donnes par le thorme du moment dynamique.

A/ Thorme du moment dynamique appliqu l'ensemble S U S0 U S en 0' 1 2. J " 1

*0-5tAppliqu l'ensemble on a alors :

"ext(V-V

la liaison S /S tant parfaite on a donc :

+0 +6 (0,) ZQ - 0

mais (0 ) * y^CO.) (0 point de l'axe fixe)

donc f V . V=0

d'o directement ici :

-+Q + ->0 ^

y (Oj) . ZQ - y (Oj) . Zj - cte

Ceci est une intgrale premire.


- 29 -

"* -*oSeule la composante sur l'axe Z de y (0 ) de l'ensemble nous est nces-

saire.

'x> -vv +;s2

- 31 -

BALANCE GYROSTATIQUE DE KELVIN

ENONCE

Un systme est constitu d'un losange OBAC articul en 0, B, A et C

l'aide d'articulations rotodes parfaites d'axes perpendiculaires au plan du lo-

s ange.

Chaque barre du losange contient un rotor tournant (gyro) de masse M

dont l'axe est celui de la barre. La barre OB contient le gyro (S ), la barre BA

le gyro (S2) ; G et G dsignent le centre d'inertie des gyros (S ) et (S ).

Lorsque le losange OBAC est compltement aplati (6 = 0), en supposant le

cadre rduit aux barres, la rotation des 4 gyros sont de mme sens.

Au point A est suspendu un corps (S ) de masse M., et de centre d'inertie

G3'On supposera que la masse des armatures est ngligeable.

On demande de :

1/ Faire le paramtrage du systme.

2/ Calculer l'nergie cintique du systme.

3/ Calculer la fonction de' force U du systme.

4/ A l'aide de la mthode de Lagrange dterminer les quations du mouvement.


- 33 -

SOLUTION

I - PARAMETRAGE

A/ Repre galilen RQ

Etant donn la configuration du systme le repre galilen RQ li au labo-

ratoire sera dfini comme suit :

Origine 0 point fixe->Zn vertical descendant_> ->.Xn perpendiculaire Zn arbitraire

?o = *o A *o

B/ Repre R li au plan du paralllogramme

Le plan du paralllogramme peut tourner autour de l'axe vertical OA. Il

est ncessaire donc de reprer cette rotation. Pour ce on choisit R li ce plan

tel que :

i E 0-* -*zi = zo-> +X. perpendiculaire Z dans le plan du losange

- * - * +Y, - Z, A X,

On repre la rotation de R /Rn par l'angle-> ^ 1 0

* - (X0, Xj)

C/ Repre R li la barre OB

Le paralllogramme tant dformable autour d'un axe perpendiculaire son

plan et la longueur des barres tant constante et gale 2a, le reprage d'une

seule barre est ncessaire. A la barre OB on lie donc R^ tel que :

2 "B"Z2 = 2l> *Y = Y2 1

- > - - > X2 = Y2 A Z2

La rotation est repre par l'angle 6 tel que

6 - (Xj, X2)


- 34 -

D/ Repre R li au gyro (S ) mont sur OBb 1

Ce gyro tant en rotation autour de OB, le repre R li ce gyro seraD

tel que :

G origine

-+ -ZS = Z2"* "*X_ arbitraire perpendiculaire Zb b

?s = zs A xsOn repre la rotation de RC/R0 par l'angle tel que

D Z

* - (x2, xs)

Ce repre R a aussi l'avantage d'tre principal d'inertie pour le gyroD

S dont la matrice pourra alors s'crire :

r -, TA o-IG, - AL J LO cj Rs

E/ Repre R. li la barre AB

Nous avons dit que seul le repre R^ tait ncessaire pour caractriser

la dformation du paralllogramme. Ceci est toujours vrai. Cependant pour le

reprage du 2me gyro (S2>, il est commode de passer par un repre R li AB

tel que :A origine- -Y = Y3 1

y -5"X3 " 2

Z3 - X3 A Y3

On repre la rotation de R/R par l'angle 0 tel que_> _>. J * 1

e, = (z,, z3)Ncessairement les angles 0 et 9 sont lis par la relation 6 = - 0

F/ Reprage R li au gyro (S ) de AB

&Le reprage R est aussi dfini de faon identique R0 :

b 3

G origine

-** ->XS X3" * >*

Y arbitraire perpendiculaire Xb b

-** -+ +#

zs = xs A Ys


- 35 -

La rotation de Rg/R3 est repre par l'angle } tel que

* i ' = ->^.-i11!7^ 4 fis G, -

ns

->0 1 ->-01) V (Gj) = V (Gj) + V^Gj)

--0 - -V (Gj) = a6' X2 + at|)' sin 6 Y2

2) n est exprimer sur R2 car [ J = [ij

0 .2 1 _0

"S = S + S + "l

ng =

- 36 -

oB/ Calcul de T052

0 i r+0 l2 i +0 = +0I S 2 - i M [ v ( G 2 ) J *I ... '^V

->-0 -vl +01) V (G) = V (G2) + V ] (G 2 )

a) V (G2) = V (A) + ft ^ A G2D

4 a 0 f sin 0 cos 6

V (A) = ~^~at = ~ 4a6' sin e Z i = 0dt 1- 4 a 0 1 sin 6

R3

r-4> ?i r a i r o "S ^ A AG! = -ef A o = 0

S* 2

-^ JR L JR Lae!J RR3 R3 R3

b) ^(62) s V j C G j ) = a i(;f sin 6 YS

Finalement :

4 a 6' sin 0 cos 0+0V (G2) a ^ sin 0

a 0 f - 4 a 0 f sin20 _R3

p- -O "1^ ? ? 9 9 9 9 9 92) V (G2) - a 6' + a *' sin 6 + 8 a 6' sin 6

3) peut s'exprimer sur RS car [ij^ - [ij^

--0 -vl ^.0

" -+ '1-e1 + v zL Ja3

- cos 0

z, - o

L s ineJR3donc : [-$ ' -i| ' cos 6

->0n * = -e's* , .

i|' sin 6 LR3


- 37 -

4) Finalement :

TS = I M I *2 6 '2 * sin20"f 8aV2*in2e 1 + y C (4> f + * f cos 0)2

+ 1 A (0'2 + i|/2 sin2 6)

0C/ Calcul de T0S3

0 i F +0 l2

TS3 = 2 M 3 | . V < G 3>J

0 1 2 2 2 T_ = 4 M, . 16 a 6' sin 6

3"

D/ Energie cintique totale

Aprs regroupement et simplification on trouve :

T 2 (a + g sin20) 0f2 -H 2 ai);f2 sin26 + 2 C (f i|;f cos 0)2

2avec a = A + M a

3 - 4 a2 (M+M3)

III - CALCUL DE LA FONCTION DE FORCE DU SYSTEME

II y a fonction de force due aux poids des lments

U = 2 (US] + USz) + Ug3

A/ Calcul de Uc 5j

U Mg z(G ) Mga cos 0bl l

B/ Calcul de U0S2

Uc = Mgz(G0) = Mg (4 a cos 0 - a cos 0)>O ^

Ug = 3 Mga cos 0


- 38 -

C/ Calcul de IL,s3

% = M3gz(G3}

U. = 4 M0ga cos 03

D/ Fonction de force totale

U = 4 ga (2 M + M3) cos 6 + t

IV - EQUATIONS DE LAGRANGE

II y aura 3 quations de Lagrange

cSf (6) , SW et ?(+)

A/ Equation de)o

- 39 -

On a pour habitude de poser cette constante gale XC r . On verra

l'utilit de cette criture

2ail;' sin 0 + C r cos 0 = A C rr o o

Cfest une deuxime intgrale premire.

C/ Equation oC(0)

JL ( aT ) - H - M . odt Se1 30 " 96

T = 4 (a + 3 sin20) 0'du

-r- O r) * 4 (a + 3 sin20) 0" + 8 B0'2 sin 0 cos 0dt 90

3T 2 22i = 460' sin 0 cos 0 + 4a^f sin 0 cos0 - 4 C $' sin 0 (c()f + i^f cos 0)90

^t! - - 4 g (M. + 2 M) sin 6dW O

On a donc aprs simplification :

2 2(a + g sin 0) 0" + 460' sin 0 cos 0 + 44> fsin 0(Cr - ai/;1 cos 0)

+ ga (2 M + MJ sin 0 = 0

D/ Rcapitulation

Nous avons 3 paramtres ip, 0, cf> indpendants ncessaires la description

du systme.

Ils entrent dans 3 quations indpendantes du mouvement qui sont :

f + i|;f COS 0 = r (1)

2ou/;1 sin 0 + Cr cos 0 = XCr (2)

2 2(a + 3 sin 0) 0" + 400f sin 0 cos 0 -H 4t//fsin0 (Cr - onl>' cos 0)

o

+ ga (2 M + M3) sin 0 0 (3)

E/ Remarque

On aurait pu se dispenser d'crire la Sme quation de Lagrange C( )

Une 3me intgrale premire plus intressante peut tre fournie par l'intgrale

des forces vives T = U -H h. On est bien dans son cas d'application. On obtient

alors :


- 40 -

2 (a + 3 sin 0)0' + 2 aipf sin20 + 2 G r 2 = 4 ag (M + 2 M) cos 0 + h

soit encore :

(a + g sin20) 0'2 + aip'2 sin20 = 2 ag (M + 2 M) cos 0 + h

C'est une quatrime quation qui peut se substituer l'une des trois

autres obtenues prcdenrament.

V - CONCLUSION

Nous tablissons ici les quations du mouvement du systme en tant

qu'application directe de la mthode de Lagrange. Nous reprendrons ce problme

par la suite pour justifier l'utilisation de ces quations.

Il va sans dire que les quations obtenues pourraient l'tre aussi par

l'application des thormes gnraux.


- 42 -

ETUDE DYNAMIQUE D'UN CORRECTEUR D'AVANCE DE PHASE

ENONCE

Un systme est compos de 3 solides (SQ), (S ), (S ) disposs comme

l'indique la figure. (S.J est form par la runion de deux cylindres creux co-

axiaux, de sections respectives S et S . (S ) est un cylindre plein, de sections

S et de masse m . (S ) est un cylindre plein, de section S et de masse m . Les

liaisons (SQ)/(S ) et (S2)/(

S0) sont des liaisons prismatiques parfaites. (S )

et (S ) sont relis par un ressort caractristique linaire, de raideur K, et

de masse ngligeable. Lorsque le ressort est sans contrainte, la distance 00

est gale . (S ) est perc d'un orifice circulaire de rayon r. On a en outres. > V

(Sj) et (S2) dlimitent dans (SQ) trois cavits (1), (2), (3) de volumes

respectifs V , V^, V variables. Ces trois cavits sont remplies d'un liquide de

viscosit dynamique y. Les cavits (1) et (3) sont relies par une canalisation.

On admettra les rsultats suivants de la mcanique des fluides :

- l'coulement entre les cavits (2) et (3) est rgi par la loi de Poiseuille.

- la canalisation entre les cavits (1) et (3) entrane une perte de charge

ngligeable, de sorte que p- p .

- les cavits sont suffisamment faibles et les vitesses dans ces cavits suffisam-

ment faibles pour que l'on puisse y considrer la pression uniforme (on nglige

en particulier, ainsi, l'effet de la diffrence de section (S -S ).

On repre les dplacements des pistons (S ) et (S ) par^ -* .+ 1 200 * x X X port par l'axe

\ = X2 *0

fc = , XQ

On choisit le sens de Xfi de telle manire que x et x soient positifs.

Au solide (S ) on applique le torseur :

-> ->F = F Xne e 0

M (A) = 0e


- 43 -

Au solide (S?) on applique le torseur :-> ->F F Xns. s 0

M (B) = 0s

1/ Ecrire les quations de Lagrange du mouvement.

2/ Retrouver ces quations par les thormes gnraux.


- 44 -

SOLUTION

L'appareil prsent ici est utilis dans la technique des systmes asser-

vis. Son rle est essentiellement celui d'un correcteur destin amliorer les

performances statiques (prcision) et dynamiques (amortissement) du systme tout

en le rendant aussi stable que possible.

Comme application de la mthode de Lagrange nous nous bornerons la mise

en quation du mouvement du systme.

I - MISE EN EQUATION PAR LA METHODE DE LAGRANGE

A/ Choix du systme

On considre le systme (S )U(S9). L'union est faite par le ressort.

Remarque : Le liquide qui entoure ce systme ne fait pas partie de (S )U(S ).

B/ Calcul de l'nergie cintique de l'ensemble (S )U(S?)

0 0 0T = T (s,) + T (S2)

0 1 F"*0 12 1 -* = +1 (s^-VovJ 4 i xo, ,

* = xi *o3; = o

+ T(Sj) =^Mj x'2

n 1 --0 2 1 -> = -*-2) T(S2) =lM2 [y (02)J +1 02 . IQ2 . ^2

V(02) = x'2 XQ

^ = 0T(S2)=lM2x'

2

3) D'o finalement

T * -- IM x'2 + M x'2 eni 2 |Uj xr -H M2 x2 j u;


- 45 -

C/ Expression de la puissance virtuelle des actions mcaniques

appliques au systme (S )U(S2) :

Nous sommes dans le cas de solides parfaits et de liaisons parfaites :

* (fdonc c/ =L/ n : puissance virtuelle des forces donnes.

1) Analyse des forces donnes au systme (S )U(S )

- Torseur T appliqu (S )

- Torseur T0 appliqu (SJCi Ci

- Action du ressort

- Action de pression du fluide sur le systme (S^)U(SJJ. Ci

2) Puissance virtuelle dveloppe par T :

Y?4 -* +0* . rJ TI - Fe . V (0,) + ^^

0

;,-'.< | >3) Puissance virtuelle dveloppe par T :

* =F . x'* I (3)J7 T2 S 2

U;

4) Action du ressort

a) 2S_2SS_!_2nt -on e force U du ressort

* My ~ TIci U = - 4" k ( - )2 + cte

z o

/ I V 2 I^2 - oj-- 05; = AI + x 2 - X ]

d'o ( - )2 = (x_ - x, + , - )2o z i i o


- 46 -

d'o U = - y k (x2 - X| + , - Q)2 + cte

., . P* 9U ,* 9U ,*

d U J ' Xi + x^

J R = k (X2 " Xl + *1 - 0) X* - k (X2 " Xl + 1 " 0} X2* (4)

k) SS.2SSait-E-.I-2S22- 2ES2Alors on revient la dfinition de laj

R

(j\ jr > -^O^ -> ->Q*

J R = FR/1 V>,)+FR/2^J

00FR/1 = ' k ( ~ V L-R/1 lO^J

0 0FR/2 - - k U - OR/2 Io,o2 |

->* * "V (0,) = x|* XQ

v* et W = X

5^ J - k ( x 2 - X l + , -y (x j* -x f ) (5)


- 47 -

5) Actions de pressions

Ces actions de pressions s'exercent sur les 2 faces du solide (S^)

et du solide (S )

Nota : On,nglige les diamtres des axes des solides S^ et S^ ainsi que le

diamtre du trou perce dans (S^).

Ces actions de pressions sont rgies par les lois de la statique des

fluides qui nous disent :

- les forces de pression sont normales aux surfaces en contact.

- la pression est uniforme (faible volume).

- les actions lmentaires de pression tant parallles, on peut les remplacer

par un vecteur glissant unique (Thorme de Vaugnon).

a) Les actions_de_ression_sur_le_solide (S )

*P/1 = S1 *l*Q-*l*2*0

' < s p i - W *o*P/1 = Sl *0

' p / i = - si (p2-pMT| (6)

dont le point d'application est 0 .

b) Actions de_gression_sur le solide (S~)

-* - > - 'FP/2 = S2P2 X0 " S2P3 X0

' S2 X0

Mais puisque l'on nglige la perte de charge dans le tube liant les cavits (3)

et (1) on a : P = P

d'o ;p/2 = s2 (p2-Pl) 0 (7)dont le point d'application est CL.

C/ Analyse de la diffrence de pression

11 nous faut maintenant expliciter la diffrence de pression P ""?, au terme

des paramtres cinmatiques dcrivant le mouvement du systme. Cette expression

nous sera fournie par l'hydrodynamique des fluides visqueux. On considre pour cela

que dans l'orifice de rayon r et de longueur e? l'coulement qui se produit est du

type de Poiseuille, c'est--dire un coulement laminaire (lignes de courant parall-

les) se produisant dans une conduite circulaire. (Pour cela il faut admettre que les


- 48 -

forces d'inertie sont ngligeables devant les forces de viscosit du fluide).

Dans ce cas on obtient une relation linaire entre le dbit volumtrique (varia-

tion de volume par unit de temps) et la diffrence de pression de part et d'autre

d'une section droite du tube.

Q = 1 A P

AP = P, - P2

K=i^C8) r

y viscosit dynamique

Nous pouvons ici expliciter la variation algbrique de volume V? par rapport au dV?

temps qui sera gale Q = -*-=- .

Nous avons : V = S } ^ - (X j + )1 + S | x2 - -y 1

V2 = - S 1 X 1 + S 2 X 2 + S 1 * 1 + S l T - S 2 T

Par consquent : ,v

^ = - d T = - S , X ' l + S 2 X < 2

Appelons Q = |Q|

Deux cas peuvent se prsenter :

1er cas : ,Tr_ dvQ = -r - > 0 - AP > 0

dt

donc Q - 1 (Pj-P2)

d'o P2-Pj = R (SjX'j - S2x'2) (9a)

2me cas : ,_ dVQ = =- < 0 - P < 0

dt

donc - Q = 1 (W

donc P2-Pj = R (SjX'j - S2x'2) (9b)

d) Conclusion

En remplaant (9a) et (9b) dans les actions de pression et en exprimant

la puissance virtuelle de ces actions par :


- 49 -

; - P/, . v'(o,,* p/2. ;"on obtient :

y* - -S,R .(SjX', - S2x'2).xJ* + S2R (S ^ ~ S2x'2) x'* (JO)

6) Rcapitulation

On peut donc exprimer la puissance virtuelle de toutes les actions

mcaniques appliques (S )U(S2> '

C?>* (P* *u = J D -J Tj v T2 V R v P

* - Vl + FSX2* + k (X2 - xl + 1 - V (X* - X2*>

- SjR (SjX'j - S2x'2) xj* + S2R (SjX'j - S2x'2) x *

En regroupant :

y* . [FB + k (x2-Xl r0) - SIR (8 ', - s2x'2) ] xj*

+ [FS - k (x2-Xl+rV + S2R (SlX'l - Vf2) ] X'* (n)

D/ Equations du mouvement

Nous avpns ici deux paramtres indpendants x et x_. Nous aurons deux

quations de Lagrange.

1) Ecriture dec>o(x )

rv JL ( 3T ^ 3T - n(X1} * dt Vy 3x, " Qxl

3T ,ap; = m i x id 3T dt "5?Y = mi x i

^=0axlQXJ = Fe + k (XJ-XJ+AJ-AQ) - SJ-R (SjX'j - s2x'2)

d'o l'quation en ordonnant :

mlX"l + S l2 R x ' l + kxl - S1S2 R X '2 - kx2 = Fe + k

- 50 -

2) Ecriture de

. , d r_9T_j. 9T _(V * dt ("9xT/ " " 2

3T ,7 = m2 X 2

d 9T dF te^ = m2 X 2

JL=09x_

QX2 = Fs - k (x2-Xl+r0) + S2R (SjX'j - S2x'2)

dfo l'quation :

m2 X"2 * S22R X'2 "*" kx2 " S1S2 r X tl " kxl = FS "" k (l"V ^13)

(12) et (13) dcrivent compltement le mouvement du systme (S )U(S ).

E/ Remarques

On a remarqu :

- que l'action du ressort drive d'une fonction de force U.

- que les actions de pression sont du type frottement visqueux ce qui doit entra-

ner l'existence d'une fonction de dissipation $ .

- que les paramtres sont indpendants.

A ce moment les quations de Lagrange ont ainsi la forme particulire

suivante :

A ( 9T \ - .IL + * _ au _ 0

dt q'.; 9q'. 3q. Wi

Q. tant le coefficient de la puissance virtuelle des forces donnes qu'on obtient

des quations (2) et (3).

1- Nous avons dj parl de la fonction de force U

u = " I (X2~WV2 + cte2- Cherchons la fonction de dissipation

Nous savons que ^.Q = - 3(Pgi 3qf.-

L'quation (10) nous donnait :

ff * - - SjR (SjX'j - S2x'2) x'* + S2R (SjX', - S2x'2) x *


- 51 -

On a donc : Q = - S 2 R x1 + S S'2R x'2

VW'l -S22RX'2

On a donc :

^-=S12Rx']-SIS2Rx'2

-&- = - S.S,R x' + S 2R x'3x'2 \ .1 \ L *

$ = 4 (Xj, x2)

^-=S12Rx'1-S1S2Rx'2

2X!2donc $ - Sj -i- - SjS2R x'j x'2 + C(x'2)

' - S,V x', * 3F; - - W "', * S22" "'2Identifions termes termes et nous avons

df - = S 2 2 R x l 22 S 2 R x ' 2, c = !

24xi-d'o finalement :

* = I H2 R X2 " 2 S1S2R X? 1 X?2 + S22R X22J

3) Les quations de Lagrange sont donc :

* ^

- 52 -

ou r ' ~~ ~~~

mx'^ + Sj 2 R x ' j + kXj - SjS2 R x'2 - kx2 = F + k (Aj-Ag)

identique (12-) .

~ * < v -^*i^-^-^A. ( 9T ) = m X"

3T

dt V3xy m2 X 2 9x2 = 0

^ - = S 22 R x ' 2 - S 1 S 2 R x ' ]

JNTT

^ L = - k (x2-x1+rV

Qx2 = FS

d'o m2xfl

2 + S22 R x'2 - 8^2 R x

f j + k (XJ-XJ+AJ-AQ) - ?e

ou encore

m2 xl?2 + S2 R X '2 + k X2 " S1S2 R X ? 1 " kxi = Fe " k > ( A rV

identique (l3)

II - VERIFICATION PAR LES THEOREMES GENERAUX

Nous appliquerons successivement le thorme de la somme gomtrique

dynamique (S ) et (S ).

A/ Analyse des actions mcaniques

1) Appliques (S j )

a) Action du ressort ^

Vl - -, u-V j^

FR/1 = k U-()) $0

FR/, - k (x^x^Jlj-^) $0 (14)


- 53 -

b) Action* dpressions

Nous lfavons calcule prcdemment :

FP/I = " SIR (six'i "S2X'2) 'o 05)

c) Actions_exterieures_"donnees"

Le torseur |Tj|est rduit un vecteur glissant unique

***(> 06)

2) Appliques a (S2>

a) Action du ressort n n^ u u -*1

FR/7 = ~ k "V ~" FR/1R/2 0 JQ^| R/l

FR/2 = - k (x t,- ) XQ (/)

^ 2S.-EES2SCalcule prcdemment

Fp/2= S2R (SjX', - S2x'2) (wy

c) 2B-2EEHE.25SLe torseur |T2| se rduit au vecteur glissant unique

Fs = Fs Jo ()

B/ Thorme de la somme gomtrique appliqu (S )

FR/1 +FP/1 + Fe = m. (1>

->o a -> *J-fe V(0 1)=x 1X 0

->

On obtient donc en projection sur l'axe Xn :

k (x2-xI+irl0) - S]R (Sjx-, - S2x'2) + Fe = m, x,

et en ordonnant on obtient :

mlx"l + Sl2 R X>1 + 1 " S1S2 R X2" kx2 = Fe * k ( W (20)

qui est videmment 1fquation[l2]


- 54 -C/ Thorme de la somme gomtrique appliqu (S )

FR/2 + FP/2 +Fs = m2>(02)

>(02)=x2x0

On obtient donc en projection sur lfaxe x

- k (X2-X]+]-^) + s2R (S] x'j - S2 x'2) + Fg = m2x''2

et en ordonnant :

m2X2 + S2 R X2 * k X2 " SIS2 Xl ~ l" WV (2l)

identique (13).

III - EQUATIONS D'EQUILIBRE

A l'quilibre : x = x ; x' = 0 ; x11 = 0

x2 = x2Q ; xV2 = 0 ; x"2 - 0

Appelons F'e - FeQ )) l'quilibre

F = F )rS SO ;

Reportons dans (20) et (2.1)

kX!0 - ^20 - FeO + k

- 55 -

IV - MOUVEMENT AUTOUR DE LA POSITION D'EQUILIBRE

Pour tudier ce mouvement on pose

v Y + Y Y 1 Y f Y l f Y11xl ~ X10 Xl X 1 X 1 x l X 1

. s Y 4- Y v ' = Y f Y l f YlfX2 X20 X2 X 2 . 2 X 2 ~ X 2

Fe = FeO + fe

FS = FSO * f S

m} X"j + Sj2 R X'j + kX, - SjS2 R X'2 - k X2 = f& (24}

m2 X"2 + S22 R X>2 + kX2 " S1S2 R X'l " k Xl = fS (251

V - ETUDE D'UN CAS PARTICULIER

f est connuU

X = Xj(t) connu

A/ Dtermination de X2(t)

L'quation (25) permet cette dtermination

m2 XM2 * S22 R Xf2 + kX2 = fS + S1S2 R Xfl(t) + kXl(t) (26^

Equation diffrentielle du second ordre non homogne coefficients constants.

Solution connue qui donne X? - X9(t).

B/ Dtermination de f

L'quation (24) s'crit

inj X' t) t S R Xj.(t) -H k Xj(t) - SjS2 R X'2(t) - k X2(t) = fe (27)

Puisque X2(t) est connu, cette quation dtermine f .


- 57 -

DISPOSITIF BIFILAIRE POUR METTRE

EN EVIDENCE LA ROTATION TERRESTRE

ENONCE

I.- DESCRIPTION DU REPERAGE TERRESTRE (Figure 1)- - > - >

Soit 0 le centre de la terre. On dsigne par R : I 0 , X , Y , Z ung g L g g g gj

repre galilen tel que->Z port par l'axe terrestre dans le sens nord-sud->X arbitraire dans le plan quatorial- - > - > -Y - Z A Xg g g

* i- ** -** ** TOn dsigne par R : [ 0 , X Y , Z J un repre li la terre tel que

-Ne -*ZT = ZT-NeX-, arbitraire dans le plan quatorial-KU ->* ->-i-Y T = Z T A X T

4fOn repre la rotation de RT/R par l'angle fy tel que

* = est la colatitude = cte)


- 58 -

II - DESCRIPTION DU SYSTEME UTILISE (Figure 2)

Le dispositif est constitu par deux solides (S ) et (S9). (S ) est

une fourche de masse ngligeable articule par rapport la terre au moyen d'une->

liaison verrou parfaite d'axe Z . Cette fourche est d'autre part suspendue dans

le laboratoire terrestre par deux fils BA et B'A' de masse ngligeable. Donc le->

solide (S ) peut tourner par rapport la terre autour de Z et se dplacer! . *dans la direction de Z .

(S?) est un rotor de masse M articul sur (S ) au moyen d'une liaison roto-

de parfaite d'axe perpendiculaire Z . Le centre d'inertie G de ce rotor est sur

l'axe de la liaison rotode.- . - > - > .

- A (S ) on lie le repre R : G, X , Y , Z J tel que-v ->

!!= ZTY port par l'axe de la liaison (S )/(S ) sens positif de G vers B - > - > - xi = Yi A zi

On repre la positionne G par 0 G * z Z- -

On repre la rotation de R./IL, par l'angle a = (X , X )- > - > - > n

- A (S2) on lie le repre R2 : [*G, X2, YZ, Z2 J tel que-> ->Y = YX2 M->X? arbitraire

Z2 = X2 A Y2-> ->

On repre la rotation de R2/R par l'angle 3 = (Z , Z )

On admettra finalement que l'attraction exerce par la terre est reprsen--> ->

table par un torseur assimilable un vecteur glissant unique A = - MG Z passant

par le point G.

Par la mthode de Lagrange, retrouver les quations du mouvement obtenues

l'aide des thormes gnraux au chapitre. 6 exercices(page 63l


- 5 9 -

SOLUTION

I - RAPPEL SUR LE SYSTEME

* 3 paramtres dcrivent le mouvement de (S )U(S ). Ce sont a, 3 et z.

Mais cette fois ils ne sont pas indpendants. Nous avons une relation de liaison

holonome z = f(a). Plus explicitement :

z2 - 2 z + 2 a2 (1 - cos a) = 0 )

2 2 2 a } O)soit z = Jl -\/~le avec k = )l - 4 a sin -r- )

* 2 mthodes sont alors envisageables pour crire les quations du mouve-

ment de (S )U(S ).

A/ La rduction au nombre minimum de paramtres;c'est--dire exprimer des

paramtres en fonction des 2 autres l'aide de l'quation de liaison. Nous aurons

donc 2 paramtres indpendants et utiliserons la mthode de Lagrange paramtres

indpendants.

B/ Ne pas rduire au nombre minimum de paramtres et donc considrer ceux-ci

comme dpendants et utiliser la mthode de Lagrange avec multiplicateurs.

II "" CALCUL DE L'ENERGIE CINETIQUE DU SYSTEME

T8 = Tj8 + T28

* Tj 8 0 ngligeable compar T 8

. l 2 s , l M [ v s < G > ]2

+ i y^y

A/ Calcul de Vg(G)

>c -*T -> eV8(G) = V"(G) + VT

g(G)

a/ ^(6) = z' ZT

b/ VT8(G) = VT

g(0T) + fiT8 A ^G

VTg(0T) = VT

8(Og) + nT8 A ^OT

V g(0 ) = 0o

VTg(G) = nT

g A 5^0T + nTg A ^G

vT8(G) = nT

g A *G


- 60 -

fl| >' ZT* *f (-sin X + cos cj) Z )

5 G - R ZT -H z ZT - (R + z) ZT

donc : ,. . - r n-sinj) 0 0

Vg(G) - $' 0 A 0 - *f (R+2)sin.(()

^cbs _ [R + z_ 0 IL,

Par consquent :

r i r V8(G) = 0 + if/(R+z) sincf) $f w = const.

i n rotation terrestre-. J P ^ n"-- JRT L JRr

j" o

V8(G) = o)(R+z) sin

- 61 -

D/ On a donc finalement :

Tg = 4- M z '2 + u> (R+z)2 sin2

- 62 -

IV - 1re METHODE ; EQUATIONS DE LAGRANGE AVEC REDUCTION AU NOMBRE MINIMUM DE

PARAMETRES

Suivant la forme de l'quation de liaison, nous avons directement exprim

le paramtre z en fonction de

z 6-\/k

, 02 . 2 . 2 ak = - 4 a sin y

2kf = - 2 a sin aa1

k" = - 2 a2 (sin a a" + cos a a'2)

. 3k 0 2 .^ 8 -_ - 2 a sin aa 3ag . . 7 *Nous allons exprimer T ainsi que la puissance virtuel le Jy en termes uniquement

de a et g. Pour cela nous calculons :, i t 2 . 1 kf a sin a .

zt = _ = a2 - V14 2,2 a sin a .2

* k a

On obtient donc de nouvelles expressions pour T et

- 63 -

B/ Equation o (g)

JL (J,) - 11 - Qdt V3a' 8a xa

8T. = 1 M (2 a4 sin2a) , + B (a, + u cos +)

oOt Z K

Jg..[ .**!&..]...,,.,

d , 3T v /M a4 s in2 g . , f 2 M a sin g cos g k g' - M a sin g k y]

_ (_j . ( _ + B ; g + g ^ ^2 J

f /2 a sin a cos a k - a sin a k Yl 2 M a ) (R+- 1/k) sin

- 64 -

V - METHODE DE LAGRANGE AVEC MULTIPLICATEUR

On considre ici les paramtres dpendants et l'nergie cintique sera

donc donne par l'quation (2).

La puissance virtuelle des actions de gravitation sera donne par (3).

Les puissances virtuelles sont telles que l'quation (4) soit vrifie.

A/ Equation oU (g)

* r JL) - il - odt SB1' 36

8T n 3T- - 0 + w - cte

6f + o sin

- 65 -

D/ Elimination du multiplicateur X :

L'quation (12) donne X

- Mz" - Mo)2 (R+z) sin2 (R+z) s in

-f-?Nous connaissons z- par l'quation de liaison (1)

z - = - \fk

Nous avons donc aussi :

,,. . . 1 TJEI - *'2 12 L ^ 2 k \ / k - l

En remplaant dans (14) on a :

^ M , k f l k'2 ,- Mg + - ( )x m Vk 2 k Vk

2Vk

On remplace cette valeur dans (11) pour obtenir :

2 . 2Balf - A a) q sin c|) cos a + B .jw sin c() sin a cos a =

M a2 sin a / k f f _ k'2 1 M g a2 sin a

2 Jk I p : 2 k\[k I J/k

ou encore :

Bafl - A a) q sin cos a + B a) sin sin a cos a jr

r ~ 2 A 2 2 22 a2 (sin a a" + cos aa'2) -H Ma sinq ..4 a4 sin q g' + Mga sina = Q

L J 4 k2 Vk

4 2 4,Ma sin a _ N Ma sin a ,, ^ 2 . 2 N ,2( r + B) a" + 5 (k cos a + a sin a) a

k2 2

+ B co sin sin a cos a (16)

A Mga sin a- A a) q sin cos a + -=B = 0

\P .

i n2 y 2 . 2 aavec k = - 4 a sin

qui est bien la mme quation que (9).


- 66 -

VI - CONCLUSION

On retrouve bien l'quation du mouvement en a de la page 74 du chapitre

6 ex.


- 68 -

EQUATION DU MOUVEMENT DE LA SPHERE DE BOBYLEV

ENONCE

Un systme (figure 1) est constitu de deux solides (S) et (R). Le solide

(S) est une enveloppe sphrique homogne de faible paisseur et de rayon a. On

dsigne par Cc le moment d'inertie de cette enveloppe sphrique par rapport l'unbde ses diamtres et par M sa masse. Le solide (R) est un rotor, corps homogne de

b

rvolution mont dans (S) de telle manire que la liaison (S)/(R) soit une liaison

rotode parfaite, l'axe de rvolution de (R) concidant avec un diamtre de (S),

cet axe commun tant l'axe de la liaison rotode. Les deux solides ont pour centre

d'inertie commun le centre G de (S). La sphre (S) est en contact en I avec le-> -> - > - > - -*

plan (0, XQ, Y ) d'un repre galilen (0, X , YQ, Z ), Z tant vertical ascendant.

A (S) on lie le repre Rg : [ G, Xg, Yg, Zg] tel que+Z port par l'axe de la liaison (S)/(R)D

->

XQ arbitraireo

W*s_On repre G par OG = (Jx, y, a ] RO et l'orientation de (R )/(R ) par i|;f 6 ,

- 69 -

On repre la rotation de (R )/(R ) par :

6 = (Zj, Z2)

Enfin on repre la rotation de (R )/(R ) par :

* -

- 70 -

SOLUTION

I - RAPPELS SUR LE SYSTEME

Les quations du mouvement du systme sont obtenues de la manire suivante :

A/ Reprage du systme

(Rn)~ repre galilen fixe origine 0

(RC)~ repre li la sphre origine Gb s

- coordonnes de G dans(Rn) ; 3 paramtres x, y5z

- orientation de(RJ/$l ) :

3 angles d'Euler type II : if;, 6,

(R_) repre li au rotor

rotation de(Rj/(jO-* 1 paramtre

- 71 -

E/ Equations du mouvement

Le mouvement nous sera donn par des relations diffrentielles uniquement

entre les paramtres angulaires>, 6, et a. Il nous faut quatre relations ce qui es

bien confirm par le degr de libert.

II - CALCUL DE L'ENERGIE CINETIQUE DU SYSTEME

T = T* + T

T; = IMS tnG)]24^.Gs . S; ; ^-~\faf+^i\*i

Ts = IMs (x'2 * y f 2 ) * cs[y2 sin2e + e '2 + (*? + *' cos e)2]

TR = J\ (X '2 * y|2) * llXl *'2 Sin2e * \ 6 '2 * CR (^ f CS 6 + *' + a f ) J

T = i (MR * V (x'2 + y|2) + T(cs+V *'2 sn20 + (Vcs} 0 f 2 * cs (* f^ t cose)2

+ C (i^f cos 0 + c|> f + a')l

T = 1 M (x t 2 + y'2) + | FA (ij; f2 sin20 + 0'2) + Cg ( ' -H ^' cos 0)2

+ CR (

- 72 -

V - EQUATIONS DE LAGRANGE

2 quations de liaison non holonomes.

6 paramtres ncessaires la description du systme.

Equations de Lagrange avec multiplicateurs

JL ( 8T ^ JL = JH + ?dt %'/ " 9q 3q. j-1- j

aj i

Ici i 1 6 j 1 .2

A/ Equation oC:(x)

d f 3T v 3T _ au . . , .dF ("3lr) " al " a * x aix * X2 a2x

On obtient :

Mxtf = X. cos \p - X2 sin i(;

B/ Equation (y)

De la mme faon

My" = X sin ty + X cos ty

Cl Equation oC(a)

d , 3T , 8T 3U A . . ,dF (^T) " 3 = + X l ala + X2 a2a

f i t0 0 0

On a :

C_ Oji1 cos 6 * 4 f a f ) = cte = KK.

D/ Equation (yfc

- 73 -

E/ Equation oC (i|Q-

d , 3T , 9T _ 3UdE (3fr) " "5* " 8* l % X2-a2

t t0 0

- L = AI/;' sin26 + C0 ((()f + ij;' cos 0) cos 0 + CL. (cj>f + i|>' cos 6 + af)cos 0

dlp o K

-j|- Ai|/' sin20 + [c ( < j > f + i j^ f cos 0) + K] cos 8 = 0

D'o l'intgrale premire :

2Aip' sin 0 + (Cr + K) cos 0 = cte

F/ EquationpC^

d ( 3T , 8T _ 3U ' .dt AaFr; " "a? " a? A i a i0 2 a20

i i-a 0

# - ^ *9T 2- = Ai^f sin 0 cos 0 - C ( < f r f + if1 cos 0) \j;f sin 0 - C_ (c))1^' cos 0 + a ' )^ f sin 090 R

d'o

A0" - A^1 sin 8 cos 0 * (Cr + K) i|>' sin 0 = - X a

H/ Rcapitulation

(1) MX" = X cos ty - \ sin

(2) My" X sin if; + X cos ij;

(3) K = constante

(4) (Cr+K) = X2 a sin 0

2(5) Ai|;' sin 0 + (Cr+K) cos 0 constante

2(6) A8" - A if;1 sin 0 cos 0 + (Cr+K)iJ;' sin 0 = - X a

avec r - ()>' + i(;' cos 0

K - Cp (r + a')s\ ~ .


- 74 -

On a donc :

(6 quations de Lagrangequations i & &

( 2 quations de liaison non holonomessolution possible

!

6 paramtres x, y, a, , ty, 0r

2 multiplicateurs X , \~

I/ Elimination des multiplicateurs

On veut exprimer \ et X9 en fonction des 6 autres paramtres.

Immdiatement de (1) et (2) on a :

X = M (x" cos ty + y" sin i|0

\ = M (y" cos ty - xfl sin 1);)

Cependant on voudrait les quations intrinsques du mouvement, c'est-

-dire ne dpendant pas du repre. On veut donc avoir les 4 quations ne dpendant

que des paramtres angulaires. Essayons alors d'exprimer X et \ en fonction des

variables angulaires.

En utilisant les quations de liaison et en les drivant par rapport

au temps on obtient :

x" cos i|> + y" sin + ' (- xf sin ty 4- y1 cos ) - a" = 0

-x" sin ty + yf! cos ty - ' (xf cos ty + yf sin ) -H alf sin 6 + atj'e' cos 0 = 0

soit encore

x" cos ty + y11 sin i); + aij;ff sin 0 - a0lf = 0

-xft sin ty + yf! cos \l> - aip'0' + ac()!! sin 0 + a(j)'0' cos 0 = 0

On a donc immdiatement

X =-Ma ( '

- 75 -

J/ Equations du mouvement

Si l'on limine X et A des quations (4) et (6) on obtient donc 4 qua-

tions du mouvement ne comprenant que les 4 variables angulaires a, ^, 9, qui

sont ; ! __________________-_-^^

K = cte

- (Cr + K) = - Ma2 (!! sin20 + fef sin 0 cos 6 - i|;fe.f sin 0)

oAi^! sin 0 + (Cr+K) cos 0 = cte

A0" - Ai(;f2 sin 0. cos 0 + (Cr+K) i(;f sin 0 = - Ma2 (0fl - 'cf)1 sin 0)

Ces quations sont bien identiques celles obtenues par les thormes

gnraux.


, 77 -

MOUVEMENT D'UN VEHICULE ARTICULE

MISE EN EQUATION PAR LA METHODE DE LAGRANGE

ENONCE

Le systme reprsent sur la figure est un engin de travaux publics dont

la direction est assure l'aide de deux vrins hydrauliques reliant B B et

B B . Le systme est essentiellement form de 6 solides (S ), (S ), (S), (s/.)|(5s /

(S-). La liaison (S2)/(S ) est une liaison rotode parfaite d'axe Z = Z?. Les

roues (S ), (S ), (S_), (S,) de rayon commun R, de masse m, du vhicule, sont en* D O ^ _^

contact avec un plan horizontal (0, XQ, YQ) d'un repre(R )en I , I , I , I et

il y a roulement sans glissement. Le vhicule est construit de manire que l'axe

de liaison rotode soit perpendiculaire au plan horizontal, c'est--dire que > - * - * Zl = Z2 = V

- -* ~* / -> -* 4

- A (Sj) on lie (R : (0, X^ Y]f Z^. Le pln^Oj, T J f Zjjest plan de

symtrie du vhicule et coupe l'essieu avant en son milieu C . On a O C * a Y

(a > 0). SoiiwtA et A^lfts intersections de l'essieu avec le plan mdian des roues.

On a A2AJ = 2 b X .

On repre le mouvement de'(Rj/jk )-par :

00j = [x, y, R] RQ

*i = % V- A (S2) on lie (R2> : (02> X2, YZ,. Z) : 0 s 0J , Z2 = Z} et le plan

(2> Y2 z2)Plan de symtrie de (S2> coupe l'essieu arrire en son milieu C^, tel

que Q2C2 - a (a2 > 0). Soient A^ et A ks intersections de l'essieu avec le

plan mdian des roues. On a A.A * 2 b X?.

On repre le mouvement de (RJ/CFL) par :

' 002 = |if y, R] RQ

*2V(V V

A chaque roue on lie un repre dont l'axe des X est port par l'axe de l'essieu

correspondant. On repre les rotations respectivement pour les roues (S ), (S ),

(S5), (S6) par +I - (Yr Y^, = (Y, ,* Y^, = ' (T T..) et - (Y f Y !


- 78 -

Les lments d'inertie pour chacun des solides sont les suivants :

- solide(S ) : masse M , centre d'inertie G tel que 0 G = d, , h }

A -F ~E~r i ' ] lMatrice d'inertie I_ = -F, B, -D,L G1J ' ' '

L-Ei -D. VR,

- solide(S ) : mmes lments avec l'indice (2).

Solides (S) pour i = 3, 4, 5, 6.

masse m, centre d'inertie A,

fi 0 0"

Matrice d'inertie I = 0 B 0

LO o oj^

On admettra que le systme de commande de la direction est tel qu'il

exerce un torseur +f 2 1 = o

T2l +

M21(Qj) = + kd ( j - 2) Zj

En outre les actions mcaniques extrieures, agissant sur (S ) sont

reprsentes par le torseur :

F = [X, Y, Z] RO

GX M(0,) -[L. M, N]R()

1) Ecrire les relations de roulement sans glissement en I , I , I , I . Montrer

qu'il y a seulement 6 relations non holonomes indpendantes (on conseille d'utili-

ser repsectivement les repres (R ) et (IO).

2) Calculer l'nergie cintique du systme T.

3) Calculer la puissance virtuelle dveloppe par toutes les actions mcaniques.

4) Ecrire les quations de Lagrange avec multiplicateurs.


- 79 -

SOLUTION I

Ecrivons au pralable les matrices de passage

'" XQ " cos ty - sin ty 0 X

YO = sin ty cos ty 0 Y

.zcJ L J Lv

" X o l FCOS *2 S in*2 0 r x 2 '

YQ = sin ty cos i|>2 0 Y2

. z 0 J L U2.I - RELATIONS DE ROULEMENT SANS GLISSEMENT EN I}, ^ 1^, ^

A/ Roue(S3)

S'il y a roulement sans glissement en I on doit avoir :

^l (Ij) - 0

' V j ' d , ) = v (AJ) + nj. A ' ^ I J

V| (Aj) = V ^(A,) + V| (Aj)

V ^ ( A j ) = 0 + V (Aj) - V* (Aj)

V (Aj) = V (Oj ) + A jTj

-> ,o r x1V ( ) - 5_ (00 ) = y'

" L 0 RQ

-v __ r i r b i r - ai M "^j A O j A j = 0 A a} b i|)^

U J . , L O ] E I L JR]cos i(; sin ip 0* x1 "x'cos ip + y f sin i|> "

VI (0.) = - sin ty cos ip 0 y' -xf sin ty + y f cos if;

0 0 1 J LU J ; 0 JR


- 80 -

Donc : ' "

x' cos ty + y1 sin \l> - a. i f i ' .

V (Aj) = -x1 sin ^ + y1 cos i^ + b $'} = (A j )

L 0 JR ]

+ + 1 +n = n, + fi.o j i r, t *- +. *i '

- *{ X j +

- *1 -

D/ Roue S,D

II suffit de changer dans (5) et (6), b en -b et f en f :

xf cos $2 + y1 sin + a2 '2

= (7)

-xf sin 2 + y1 cos 2 - b T(;

f2 + R

- 82 -

donc

(9) T* = |fM, (x'2 + y'2 + ,2 H>\2 - 2 1.x1*1,. cos ij, - 2 y1*1 sini|O + I 4- '] Ii u ^ L * * * i l i 1 1 i j Ui

B/ On obtient T2\ en changeant :

Ml * M2

1 --*2

I -* I On obtient :

*1 - *2

(10) T(2) =l[M2 (x'2 + y'2 +llrf - 2t2 x' cos^,, -22y'j2 * V2> + ^ ]

c/T-^-i.^).]2*!^ A j a ;

"" x f cos i(; y f sin ty - a i(;f_^. 1 1 1 1V(A ) = -xf sin tf; + y1 cos ty + b if;1

L o JR]

^ o o o

[V(A )] = x f + y1 - 2 x f i|;f (a cos i|; + b sin ifr )1 1 1 1 9 9 9

- 2 y' i|;f (a- sin ty - b cos i^^ - i j /J (a^ + b )

"i o oi r^ i^3 ^A ^3 "[*fr -*1]! 0 B 0 0. = I -H B if^2

[o 0 B j R j L*1 J

d'o :

1 F" 9 9T?^ = T m l x ' + y ? '" 2 x f ^ f i (ai cos^,^ b sin* ) - 2 y1*1 (a sin* - b cos* )

( 11 ) (3) L 2 2 2 i 2 2l+ *;Z (a^ + b Z ) ( - H I *p -H B *pj

D/ Pour T v on change b en -b et (j)1 en ^ dans (11 ) :

i r 2 2T(4) " 2" m i x' * y? " 2 x^Jfa j 0 0 8 *! - b sin*^) - 2 y1*^ (a} sin*j + b cos*^

(12) 2 2 2 i 2 2l+ U-p (a,Z + b^) ( + I + B *pj


- 83 -

E/ Pour T on change a en -a^ , ' en ' , en i|>

T(5) = Y I m :JX '2 + y '2 " 2 x l**2 (~a2 C08*2 + b sin^2) ~ 2 y'*'2 (~S2 sin*2~b cos^

(13) + *22 ( a 2

2+ b

2 ) ] + I ^2 + B,2

2]

F/ Pour T on change b en -b et f en f dans (13) :

Tr^ " 7 I m | x f 2 H- y'2 - 2 x f ^ ! 9 (-a cog^ - b sin^0) - 2 yfi(;f0(-a0sini^ +b cos i|O

n / x (6) 2 L ( 2 2 2 2 2 2 2 2

v ' ? 2 9 i ? ?T+ ^Z (a^ + !/)]+ I f,^ + B J

Pour les 4 roues on aura :

T(3J + T(4) + T(5) + T(6) = m [4 (X'2 + y'2) + 2 (ai+l>2) *i2 + 2 (a2+b2)

- 4 x1 V j & j cosipj + 4 x' ip'2 a2 cos 2

- 4 7 ' ^ ^ 3j sin t j + 4y' ^'2 &2 sin ,|,2

+ 71 -i ((MJ" + M2 +~4 m) x'2 +(MJ + M + 4 m) y'

2

*- ^ ^ ^ J|

+ (Ij + Mj Jlj2 + 2 m (aj2 + b2) + 2 B)t ]2

+ (I + M 2 + 2 m (a 2 + b2) + 2 B) !2

v^ z -f i_ ^ l

J2

+ i c*;2 + 2 +

- 84 -

soit encore :

T = y JM (x'2 + y'2) + J] ,j,|2 + J2 ^

2 + I ($j2 + j + 2 K2 y' t|'2 sin ^ J

avec M = M + M + 4 m

J - I j + M j i l j 2 + 2 m (aj2+b2) + 2 B

J2 = I2 + M222 + 2 m (a2

2+b2) + 2 B

K = 2 m a + M

K2 = 2 m a2 + M^

III - PUISSANCE VIRTUELLE DES ACTIONS MECANIQUES

A/ Puissance virtuelle dveloppe par le torseur de direction !

T *" = 21 + 2

M21(0j) = + kd (*j - *2) Z,

* - 2, "2*

*i-*;-*;->1* , .* .*.2 = (^2 ~ *! } Zl

^ = + kd2 (\l>] - i|,2) ( * - i|;J*)

B/ Puissance virtuelle dveloppe par les actions mcaniques extrieures

appliques (S )

^>*X = F V-CO/+5(0,) . 3;*fi'*]

v-^f- y'* ;*-*-* zfl

LO JR0

g )*x = X x'*4- Yy'* + N ^j*


- 85 -

C/ Donc la puissance virtuelle dveloppe par toutes les actions mcaniques

est de la forme :

(2 + b ^* + R * = 0

A6 -x1 sin ;i|;2 -f y

1 cos i^ - b ^* + R '* = 0

En utilisant les multiplicateurs, les quations de Lagrange s'crivent ici :

d / 3T N 9T ?dT^-^T^i^^i xj aji

i = 1,... ,8, nombre de paramtres

j = 1,....,6, nombre d'quations de liaison


- 86 -

A/ Equation o(-x.)

ip- = (Mj-H^+Am) x' - i f / ' j (2 m S] + M^) cos ^ + i|,'2(2ma2+M22)cos i|

(~!rr) = j2 (2 m a j + M j A j ) sin i^ - ^2 (2 ma2 + M22) sinifj^

II- 08x

D f o ^L(x)

(Mj+M2+4 m) xlf - if;1^ (2 ma} + Mj ' i j ) cos $} + $"2 (2 ma2 + M^) cos^

+ i(;j2 (2 maj + M j J l j ) sin i f j - (2 ma2 H- M^) sin ^

= X + A cos ty - \ sin ^ - A sin iK * A, cos if^ - X. sin ^2 - A& sin ^2

B/ Equation oL(y)

CiT

T = (Mj+M2+4 m) y' - if^'j (Mji,+2 maj) sin j + '2 (2 ma2 + M22> sin

^ ( "} = ^Mi+M2+4 m) y" ~ *"i (2 maj+Mj^]) sin *, + * 2(2 ma2 + M22} Sin 2

- 4>|2 (2 nu + MjJlj) cos fj + 22(2 ma2+M2A2) cos i 2

||- 0 d'o Sf(y)

(Mj+M2+4 m) y." - ^"j (2 maj + M j A j ) sin i j / j + i|)"2 (2 ma2 + M22> sin ^

- cos ij>2

= Y + X , sin t|i + X cos ij) + X0 cos \l> + X. sin tp + X cos ijj + X, cos if*01 1 2 1 J 1 4 / : > z D /


- 87 -

C/ Equation oC(i|O

Tw-}mji.*'i-*' Ki cos*i - y l Ki sin*i

SE (l V = Jl *"l " Kl CS *1 X" " Kl Sln *l y"

+ xf i(;f K sin $ - y1 ^f K cos i);

T-j- - x1 *! Kj sin

D/ Equation oCdj )

T^p-= J2^'2 +x' K2 cos *2 + y K2 .in+2

& (^} = J2 "2 + K2 CS *2 X" + K2 y" Sin 2

- x' i|>'2 K2 sin i(2 + y' i) KZ cos

-^= -x' t'2 K2 sin^ + y- f2 K2 cos

d'o 5?(*2)

J2 "2 + K2 (cS *2 X" + Sin 2 yll) = + kd2 (*r*2) + 4 a2 + b (X5~X6)

E/ Equation OC() i=l,2,3,4

^

- 88 -

D'o :

* *"3 = R S

SS X *"4 = R X6

V - CONCLUSIONOn se borne ici simplement crire les quations avec multiplicateurs

comme simple application de la mthode de Lagrange. Leur exploitation en vue

d'une utilisation pratique n'entre pas ici dans le cadre de nos proccupations

actuelles.


- 90 -

DETERMINATION D'UN TORSEUR DE FORCES INTERIEURES

ENONCE

+ + + +- Soit (0, X , Y , ZQ) un repre (R ) tel que Zfl soit vertical descendant.

Une barre homogne de masse m, de longueur 2a est assujettie se dplacer dans le-> ->

plan (0, Xn, Z~) de telle manire qu'une extrmit soit fixe en 0..*...->.

- A la barre OA on lie le repre(R): (0, X, Y, Z) tel que :

. QAZ - 2- -4-

Y=Y 0- > - > - > .

X = Y A Z

On repre la rotation de(R)$l0)par :

6 - (XQ, X)

- La liaison(R.j/barre est une liaison rotode parfaite. Au temps t=0, on a

0f = 0 ; 0 = a.

On se propose d'tudier le torseur des forces intrieures dans une section.

Soit un point P, tel que OP = z.Z. La section droite de cot z partage la

barre en deux parties (S ) et (S?) :

(S ) : partie OP

(S2) : partie PA

On dsigne par T . le torseur des actions de contact (S )/(S?). Les coor-

donnes en P du torseur T , sont dsignes par :

M1 / 2(P3 = [0, M, 0]R

F J / 2 - [X, 0, Z]R

A l'aide d'une transformation virtuelle incompatible, dterminer M, X et Z.


- 91 -

SOLUTION J

I - RAPPEL SUR LES EQUATIONS DE LAGRANGE A PARAMETRES NON INDEPENDANTS

Dans le cas le plus gnral l'quation de d'Alembert s'crit :

(Aj " V qj* = A/ Q. - coefficients de la puissance virtuelle dveloppe par les actions

mcaniques dans une transformation virtuelle quelconque.

Qj = QJD + QjC + QjLE + V

Q. = coefficient de la puissance virtuelle dveloppe par les forcesdonnes.

Q. - forces de cohsionJ^

Q. T = liaisons intrieuresjLl

Q. _ = liaisons extrieuresJ LilL

B/ A. ( t ) --jj j = l...n (n paramtres)q j q j

coefficients de la puissance virtuelle dveloppe par les quantits

d'acclration.

C/ On peut crire : A. = Q.

mais ceci ne prsente pas grand intrt car dans une transformation virtuelle

quelconque la puissance virtuelle des actions de liaison ne sera pas nulle, mme si

les liaisons sont parfaites (QiT T + QUI? 0)

Un systme tant gnralement soumis des liaisons, une transformation

virtuelle compatible avec les liaisons telles qu'elles existent l'instant t

(T,V,C) prsente un intrt. Dans une TVC les q! vrifient les (h+&) relations :* "*"

a. . q! 0ij J

avec 9f.

a f = - pour i = 1... h relations holonomesij dq.

a.. = a.. pour i = h+l...m relations non holonomesJ J m - h+

On a donc pour des TVC le systme suivant :

(A. -

- 92 -

Pour que les q! vrifiant les m quations, vrifient une quation supplmentaire,

il faut que cette quation soit une combinaison linaire des m autres, soit donc

(A. - Q.) q!* = A. c,. qj* = 0 V qj*

X. sont les paramtres de Lagrange.

On a donc :

A. = (}. + X. a. .J J i iJ

j = 1... n nombre de paramtres

i = 1. . .m nombre d'quations holonomes ejt non holonomes

Remarque : On aurait pu initialement rduire au nombre minimum de paramtres en

utilisant d'abord les h quations holonomes.

On aurait obtenu dans ce cas :

A/_JI_U JL - n + A adtW.J 3q.j QJ i U

j = l...n-h rduction au nombre minimum

i = 1... nombre d'quations non holonomes

maintenant si,

- liaisons parfaites avec TVC Q + Q = 0

- solides parfaits Q^ = 0

d'o :

JL ( T ) JL - + x dt (^.} 8q..- QjD i aij

D/ Signification des multiplicateurs

1) T.V. Incompatible

JL (_ .) _ JL= Q.dt q'/ 9q.. ^j

2) T.V.C.

d , 3T x 3T TTdt * ?57 ' j + A i a i j

On a donc : Q. * *Q. + A. a. .J J i ij

QjD + QjC + QjLI + QjLE - QjD + V + QjLE + JLI + h aij

TVI pour une TVC


- 93 -

Si maintenant :

- solides parfaits

- liaisons parfaites

V + V = v - v = QJD=^jD

On obtient donc :

QjLE + QjLI = Xi ij

Autrement dit* les coefficients de la puissance virtuelle dveloppe par

les actions de liaison* dans une T.V.I. respectant malgr tout l ftat solide sont

gaux \. a., appel raction de liaison gnralise.^ 1"$On voit donc que l'on peut utiliser les T.V.I. pour calculer les actions

de liaison* en dehors de la mthode classique des multiplicateurs.

II - APPLICATION AU CAS CONSIDERE

A/ Position du problme

On veut dterminer le torseur des forces intrieures dans une section de

ct z (voir figure) au point P.

La mthode la plus classique pour tudier ceci serait d'isoler la partie

(2) et d'utiliser les thormes gnraux.

On peut cependant, utiliser les possibilits d'une transformation virtuelle

incompatible.

Le torseur cherch est de la forme :

FJ2 = [X, 0, Z]RO

T12 _.

M]2(P) = [0, M, 0]R]

La transformation virtuelle incompatible sera telle qu'en plus de dplacer

angulairement la partie (2) par rapport la partie (1), elle la dplacera suivant

X et Z d'une quantit x et z. Cette transformation respectera toutefois l'tat

plan du systme.


Le systme considr sera donc le solide (2). Il sera repr par 4 param-

tres x, z, 0 et 0 . De plus on introduit 3 inconnues dynamiques X, Z, M. On a au

total 7 inconnues.

On pourra crire 4 quations de Lagrange.

De plus on a 3 quations de liaison

x = 0

' z 0 '

fi = fie, e2

- 94 -

On aura donc le schma suivant :


- 95 -

B/ Analyse des actions mcaniques au solide (2)->

- Le poids P

. Z2 +P- = mg x Zn m : masse totale de la barre homogne.

- Action de ( l ) / ( 2 )

F12 = [X, 0, Z]R()

T 9 < ^ R choisi arbitrairement[ M12CV &. M, O]RQ)R]

Remarquons que ce sont les composantes sur (R ) qui nous intressent.

C/ Puissance virtuelle des actions mcaniques

/T/ > : * * ->1*y = P2. v(.c2)*+ F J 2 . v(P2>* M]2 . n2*

n v-(p2) -il ^-^(r, ^72)"O z sin 6

Tj = 0 = 0

WR, 1, cos ej^

V 2 = oLzjRoz sin 6 + x

P^ = 0

z cos 6 + z J1 ! R0

i t T t ** . ""d'o : z, cos 6. 6: + x'-* * ' ' 'v(P2)= o

_-Z] sin 6, e;* + z'*J RQ

2) V(G.) = |1 G.2 dt 2

"T2 = P^ + P^G2

r n r Z 2 -iz sin 6 + x sin 60i l 2

2

= 0 + 0

z cos 6 + zj [^ cos 6 J1 ' R0 2 2 R0


- 96 -

r Z2 . nz sin 6j + x + sin 6?

OG,* = 0Z?z cos 6, + z + _ cos 6

i-l 1 2 2-JRQ

d'o :r i* i* Z2 ,*nz, cos 6j 6j + x' + -j- cos 62 6

V(G2)* - 0. ,* ,* 2 . .*L-ZJ sine, ej + -- .ine2 e^ J^

0 .1 -.0 03) n2 = 2 - i}

T^1* = Cfi'* - fl'*) Yn2 -

- 97 -

On a donc T

T =2TT [< z i c o s ei e l + x ' + T cos 92 62)2Z2 2 l

+ (- Z j sin 6 j 6'J + z' - -y sin 62 p

m z| 2+ 48~7 92

E/ Equations de Lagrange

,vQ3 % . d , 3T, 8T1 ) . e j e j + ^ c o . e 2 o - + ^ )

($-> = T^ (Z1 COS 6! 6 + T CS 62 82 + X" - 21 Sin 61 6I2 - T Sin62 622)

|I=09x

QX = X

d'ouSf^x)

m Z2 Z2 2 Z2 22 a (z, cos 6j 6'j' + -j- cos 02 6j - z} sin 6j 6j - - sin 62 6^ + x") - X (1)

^\S^(-,\ d t 3T 3T n2 >

- 98 -

l>ff = T1T [ Z i 2 e ' i + z i (x> c o s e , - z ' sinV '^cos (62-9,) e-2]

(^~} ' TT [z i2 e + zi (x" cosei - z" sinei - x ' e i sinei - z ' e i COSVZ Z Z Z ""1

- -Li sin (62-Bj) (e'2-eV e'2 + - 6"2 cos (e e,)!

3T m Z9 F Z9

--2T [- 2 sin (62~61)

Z1Z2= - mg -= sin6 + X z cos6 - Z z sin - MZ 3. 1 1 1 1 1

>Sf = ^

- 99 -

qui devient :

2 2mz_ r z z z2 z z2 i

ff- " 77 [-T "S < W 6I * T COS62) "~T 6'l 6>2 Sin (92"ei)J

Finalement : Z2

Q = - mg - sin 6_ + M0 ~ H 3. .

D'o cL(62) :

2m Z9 r z? s-55 | -j- 6"2 + - (x" cos62 - z" sin62 - x' 6'2 sin62 - z

1 6'2 cose2)

+ !i cos ^ ellj _ V2 sin (V0]) (e,2_el]) 6

- 100 -

( 1 ) donne :

m Z2 F 2 Z2 2 1- - Zj (cosee" - sinee' ) + -~- (cosGe" - sinoe' ) = x

m Z2 Z2 2x = -=. (Zj + - > (cosee" - sinee1*) (5)

(2) donne :

m z z 2 z- -5 (Zj + -y- ) (sinee11 H- cosee1 ) - z + mg J

m z - z -z - - -~ I g f (z, + -y-) (sinee" + cosee'z) I (6)

(3) et (4) donnent :

m Z2 F 2 Z1Z2 1 Z1Z2(3)+ -=-= z. + !r-=- 6" - - mg --= sin 6 + X z, cos 6 - Z z, sin 6 - M (7)

2a |_ 1 2 J 2a 1 1

2 2m Z2 PZ2 Z1Z2 1 Z2(4)-. . |-|- + -Ll je = - mg __ sin e + M (8)

Nous avons donc maintenant 4 quations notre disposition pour dterminer

X, Z, M et le mouvement du systme.

G/ Recherche du mouvement

Si on porte (5) et (6)ldans (7) on obtientet (8) J

m Z2 T 2 21Z2 1 Z1Z2 m Z1Z2 Z2 2 ,1~2T Zl ~T^ 6" = ~ mg ~~IT Sin 6 + 2 a

(Z1+ T)(GOS 6" ~sin 9 COS 6 J mZ]Z9 Z9 9 9 mg Z1Z9 sin6

+ ~ ( Z j + -j- ) (s in6e" + sine cos 6 6 'z) + 'g

mz P z 2 z z -, z 2

--il [^- + -J e"-^ri s ine

ou encore2 2

m Z2 f 2 Z1Z2 Z2 Z2 Z1Z? 1 m& Z9Trt'i T1 -z,

- 101 -

Z Z

2

- 102 -2

mg (2a - z ) . r -iM 7 s i n e - yi- z ,4 a L 4 a 1 J

(2a - Z j ) 2

M = - mg ! ;r- z sineI

f t i6 a

M a la mme expression sur R- etM - f (z ,6) sur R j

3) Calcul de T : composante suivant X et de N : composante suivant Z

On a :

" T 1 ["cos e 0 - sin e] f x "

0 0 1 0 0

N sin e 0 cos e Z L JR r L L JRQ

On a donc :

T = X cos 6 - Z sin e

N X sin e + Z cos e

Selon (5) et (6) on obtient :

m z z mz r za) T = -^ (z. + - f ) (cos ee f f - sine cosee1 )+ -r-^ g sine+Xz.^Xsin ee l f-i-sine

^a i L ^ ^ L 1 ^ 2"!cosee1)

m z z mg z sin e -IT = TT

- 103 -

Sachant que 6' = & (cos 6 - cosO ) on obtient :2. 3. U

N = 2i_ (2a - z-) + 4 a cos 0 + 3 (2a + z )(cos 6 - cos Q)8 a > -J

C/ Remarque :

On voit que M et T sont indpendants des conditions initiales alors que

N en dpend. On retrouverait ces rsultats par application des thormes gnraux

(Voir chapitre 6 cours p.435-438).

III - CONCLUSION

Cette application nous montre que l'utilisation des transformations

virtuelles incompatibles pour dterminer les actions mcaniques est trs dlicate.

Pour cette dtermination on leur prfre les thormes gnraux.


- 104 -

2ME P A R T I E

LES E Q U A T I O N S D ' A P P E L


- 105 -

INTRODUCTION A LA DEUXIEME PARTIE

Nous ne prsentons dans cette partie qu'un seul exemple d'application

de la mthode d'Appel. Cela est suffisant pour prsenter cette technique d'cri-

ture des quations du mouvement d'un systme.

Bien sur un certain nombre de problmes traits en premire partie

sur la mthode de Lagrange pourrait tre repris par la mthode d'Appel, en

particulier ceux qui concernent les multiplicateurs.


- 107 -

ETUDE D'UN VARIATEUR DE VITESSE AUTOMATIQUE

( vitesse de sortie constante)

|" 1NONCE _ i

Le systme est compos de six solides (So), (S ) , ( S ) , ( S ~ ) , ( S , ) ,

(S,.) disposs comme l ' indiquent les figures 1 et 2. Les liaisons (S ) / (S 0 ) ,

(S , ) / (S ), (S,-)/(So) sont rotodes d'axe commun. (S2) est fixe dans le

bti (So). (S) sert au rglage. La liaison ( S , ) / ( S C . ) est prismatique,

l faxe tant le mr.e que l'axe des liaisons rotodes prcdentes (autre-

ment dit ( S , ) et (S s) sont solidaires en rotation). (S,.) est une sphre

de rayon R en contact en A, B, D, C avec (S ), (S2) , (S^), ( S - ) . Le

contact est maintenu par deux ressorts de raideur K et K choisis de

manire qu'il y ait toujours entranement par friction.

( S / ) et (Ss) solidaires en rotation constituent "l'arbre" d 'entre

du variateur ; (S..) l'arbre de sortie ; ( S , ) et (S ) entranent (S )

en rotation qui lui mme entrane (S,.).

* (SQ) on lie (RQ) : [0, XQ, YQ, ZQ]

0 l'axe des liaisons rotodes

Xo port sur l'axe

YQ arbitraire

*o - *o A ?o

* [0, X, Y, Z] dsigne un repre li chacun des solides

x = x0Z dans le plan G, A, B, C, D

Y = Z A X

La figure est faite dans le plan [0, X, Z*]

* (Sj) - (Rj) : [ Sj, Xj, Yj, Zj]

* (S4) - (R4) : [ S4, X4, Y4, Z4]

'!5 = * (^ ) -* C R ) ' f S X Y ? "J ' Y = Y5 v^-^/ L 3^9 A^> i^j ^^j . i^ L^

[55 = \Les lments dimensionnels ncessaires sont ports sur la figure 2.


- 109 -

I. Etude des relations de liaison.

A. Relations holonormes

1 - Relation entre x et z

2 - Relation entre x1 et z

3 - Relation entre x. et z

4 - Relation entre x,- et z

B. Relations non holono.mes en projection sur lfaxe Y perpendiculaire

au plan de figure

1 - Relation de roulement sans glissement en A

2 - Relation de roulement sans glissement en B

3 - Relation de roulement sans glissement en D

4 - Relation de roulement sans glissement en C

Pour ces relations on nfannulera que la composante suivant lfaxe des

Y perpendiculaire au plan de figure.

II. Fonctionnement du variateur au plan de figure

A. Dterminer la vitesse fL de la bille. Dterminer la valeur du rap-

port p = Y1 ../Y1, en fonction de z.

B. Expliquer comment, si la vitesse Y1/ varie, la vitesse Y1- peut de-

meurer sensiblement constante.

III. Etude dynamique.

Mettre en quation le systme. On introduira les actions mcani-

ques ncessaires ainsi que les lments d1inertie.

On conseille Remploi des quations d'Appel. Paramtres (z et Y,.)


- 110 -

SOLUTION

I. Relations de liaison.

A. Holono .mes.

1 - Relation eritre_x et z.

Exprimons OG de deux manires diffrentes :

xQG = 0

zR

b = S2 -* S^B + BG

OS2 = a X

-P2 cos c*2

S^B = 0

P2 sin a2

: RR sin &

BG = 0R cos 0^2 R

a - p2 cos o>2 -f R sin c*2 a - p 2 ^ - - f R ^ y

OG = 0 = 0\/2 \/2

P2 sin

- 111 -

3 - Relation entre x, et z

OG = OS, * sTtr + lx;4 4

*1 X4 - ?4 cos 4 = g

m '-pi f - i i0 0

H b-.fL Jk

1/7-on en tire p, = 2(z -f R -y- )

x4 = ( 4 / 3 - 1 ) 2 4 - 3 - 3 - R(2 -f 4/2) en utilisant x = -z 4- a -fR l/I

4 - Relation entre Xj. et z

OG = OS5 4- S"5^+ CG

x x5 -f p5 cos S HH R sin c^c

0 = 0 avec ac = TD o^ z l p5 sin cv5 - R cos ^5

4l

xl I"x5 + p5 f +|

0 0zl 5 ^

2 " R T-1- - R

On en tire p5 = 2(z -f R &--)

x5 = -(1 -f\/3)z + a + R( \" - 2) en utilisant x = - z - - a - f R ^ 2

B. Relations non holonormes

1. J uJ-ement sans glissement en A

\ (A) =TO


- 112 -

V(A) - V^(A) = 0

V^A) = V^G) + flg A GA

V^(G) = \^(G) + v(G)

[x1] f-z'"

V^CG) = 0 = 0 car x = - z + a + RV/2~

z' z*Lzi Lz io

\(G) = f AG = 9')? A (xX + zZ) = - z 0' Y = -z 6'

0

''-z' 1

V(G) = -z 0'

zL -R

'"^1 J"R~ 0

B A GA = U)2 A 0 = u)3R

U). 0 -U) RL -I L 4i

_ n L JR-z'

\ (A) = -z'91 + UJ3R

z1 - tl)2R

R

. vJ(A) = vJCSj) +C A^A

"X'| "f'll " "

0 + 0' A 0

0 0 zR R L

x' j 0 -z'

_ 0 + -zY' = -zY' car X j = -z 4- a + R ( V~2 + l)

0 0 0


- 113 -

0

V^(A) = -z 6' + U3R + z Y 1

. -z - u)2 R R

d'o la relation - z G1 + u>3 R + z Y*! ==

suivant l'axe des Y

2. Rou lement_ sans_g_li.ssement^ en B.

V3(B) = 0 V^(B) - v(B) = 0

. V^ (B) = V^(G) + fi^ A GB

r -, r 1 r /2 1^ - R cos a2 "

R T 2

? A GB = U)2 A 0 = R^ (Wj - (U3>

[0)3] [ - R s i n a 2 R| ^L JR

_ TT

- R T 2

V^(B) = .20 + R (GUj - U)3)

z ' + R f * 2-JR

. V^(B) = 0

D^ la relation -z 0f -f R ^r- (a) - CD ) = 0

3. ^uLement _san_ g 1 i s s ement^en JD.

. V^(D) = 0 V^(D) - V^(D) = 0

V^(D) = V^(G) + f A G D

0). R sin a, 0)2 R cos Q^

-*0 *n A GD = 9 A 0 = a). R sin or, - 0), R cos o/.^ ^ 3 4 1 4

Q R cos a, -U)0 R sin &.j\ 4 2 4


- 114 -

\*%

= ^ f> 4 -5

' ""2 | R

-z + R J U)

V^(D) = -z& + | 3 - 1 y/3)

- | *2 R

V>) = V^(S4) + Q A Sj

' x >4 " r 4 J f-P 4c o s c *4~j I" x'4

0 + 0 A 0 = -p4 Y'4 s i n a4

0 0 p, sin a, 0

TTa4= 6

( ^3 - 1) z

V^(D) = .(Z +R J^) Y'4

0

" -z + R u>2 - ( l/3~- 1) z

V^(D) = -ze1 +1 (u)3 - OBJ i/5) -f (z + R ) r4

_ z' - | 2

D'o la relation :

- ze - R (j +1 o>3 + (z + R Y' > ^"4=4. Rou lement sans lisement_en _C

. v3(c) = o v (c) - y (c) = o


- 115 -

V^(C) = ?+ c A GC

! -R s in &5 UD R cos a

Q3 A GC = i2 A 0 = -u^Rcos 3 R sin c*5

3 R cos 5 R U)2 R sin a R

TTavec r = T

eu R ^2 K 2

C A G C = -JjR^f - cu3 |

. "2 f J R

-2' + u>2 R

^(0= -z9' - ^R^f - 3|

z ' + a ) , |L 2 2 JR

. V(C) = V^CSp+c AS^

X5 YI4J f P 5 cs a5 1 |"-( /3-- l ) z

= + A 0 = - p5 sina5 Y 4

. J PS sin 5 O R

" -(\/3 + l )z

- C + R ^ ) Y'4 p 5 = 2 ( z + R ^ " )

0 JR

~ - z + o>2 R Y+ ( V/3 + i)z t

V35(C) = .29. -Vf - 3 | + ( , + R ^ " ) T . 4

z' +"2-|-

JR


- 116 -

D f o la relation

-z 6' - R -y Ottj - (U3 |+ (z + R y") Y' 4 = 0

II. A - En rsum nous avons les relations

(1) x = -z + a + R 41

(2) x1 = - z + a + R( x/T + 1)

(3) x4 = ( vJ3 - l)z + a 4- R y/2( \/2 + l)

(4) x5 = -( fi + l)z + a + R \ f2(l - \J2)

(5) -z0 + (3R + z Y ' j = 0

\/2(6) -z0'+ R-j- (u> - u>3) = 0

(7) -ze1 - R y UJj + | UJ3 + (z + R ) Y 4 = 0

(8) -z9! - R -y Bj - | U)3 + (z + R -y )y4 = 0

de (7) et (8) on tire U) = 0

de (5) Y ' j = 8'

R V2 ^2de (6) 6' = j ("j u BJ = z Y1 uj indtermin

de (7) ou de (8) on tire Y'4

-z Y' 1 - R -^ ^ z Y j + (z + R ) Y' 4 = 0

- Y' z(l + ~ ) + Y 1 , (z + R & = 01 \/2

Y , i 8 0JL)!B:,4(B + R|)

]" Y^ \f z + R ^ n / ^ \ _ ! _ _ IPU; - -^- - + ^3- . z |

K--f--' f i |3 0)2 6' = Y ' j

U)- = 0L J -lR


- 117 -

*'! VI Z + R T

B. Etude de la fonction p(z) = = ^_* 4 \/2~+x/3

/ N/2 , R N/3\p ( z ) = ~

- 118 -

III. Etude dynamique.

Mise en quation.

A - Analyse des actions mcaniques.

^* Puissance virtuellle dveloppe par les couples d'entre et de

sotie_.

P - C j Y'*

(?*= C, r*J 2 2 4

!_i=p(z) . Y,* =^ n*p

_ (?* = L- Yi*^ 2 p (z) Tl

O

- S** = + ] Y|*

2. Frottements au niveau des articulations.

Frottements de type visqueux en (4) et (5), ngligs partout

ailleurs.

s = i b [ ]2 = i b [ v^ - 7^]2

-4V Y t - V *V5 X 5 4

x5 = -( \/3 + l)z + a + R \/2 (1 - i/2)

-> x'5= -( \/3 + l ) z

x'4 = + ( J3 - 1) z1

-, [ V^ ]2 = (- x/3 - 1 - \/3+ l)2 z'2

= 12 z '2

$ = | 12 b z'2 - Q = - 12 b z'


- 119 -

3. Action_des ^ressorts.

V "l + "2

Ul - - { Kl

- 120 -

x4 - X j =( ^3 - l)z + a + R \/2( ^/-J- l) + z - a - E( >/2 + 1)

= ^3 z + R

U2 = - | K2 ( yfj z -h R - \/3 z0 - R)2

U2 = - \ K2 3(z - zQ)2

UR = U1+ U2=- | ( 1 2 K1 + 3 K 2 ) ( Z - Z0)2

^* ^?J^?IL ^e-J-a pGs^nt^ur

U = - m g ZG

z-, = z cos 0 ngligeableo

5, Ac t i on s jie^ con t a et

billes - cnes -* ngligeables

B - Energie d'acclration.

s = s 0 + s 1 + ... + s5

s0. i. [3(c)]2 + X>2(c. G . ) +1 a?. G .

+ 43 * $^3T - F - E V f 1 1 1 1

1 2 1q == -1 m xn -f- F V f f O O 1 -F B - D OSl 2 1 1 2 L Yl' J 1 1 1

."EI " DI GI J L .s i = I mi x2 + \ h n>2

1 2 1 2c = m x

l f -f I V!!b4 2 4 X4 2 4 Y4

c = i. m xl! 4- I M71'S5 2 5 X5 2 5 Y4


- 121 -

x"4 = ( Va - i) z"

x"5 = -( \J3 + l)z"

, = w, N / 2 + N / 3 z4 1 VJ . + JL.

\/I + \l3 z VT+ >/3 r z? zz*yn ._- ^n y . ^^ v j ^ . ^f v ^ ^^ y j r -,*- i ^ rn?- ' ^r ,+ S- ^7i^;2]

S4 + S5= | { z"2[m4( \|T - l)

2 + m5( JJ + l)2]

2 ( \ /2"+N/3)2 2

+ d4 + i ) [ r:2 5 . ^

r * R ^3 ^(z + j~ ^

( \}~2 + \/3)2 R \/3" zz Y '+ ^-T^-*"^1

(2" + z)

S = I m T 1(C)12 -I- 1 d 0 f d BS3 2 m 3 L J ( G ) J + I _ n 3 . I G Q3

J(G) = JR(G) + jJ(G) + 2 A (G)

x"

^(G) = 0

z" R

3^ (G) = J^(0) + ^ ^ A G + ^ A ( ^ A d G )

6'1 f X

n= G = o. 0^ R z R

0 6" x 0d -O - ^ A O G = 0 A O = - z e "

0 z O R


- 122 -

o r g 1 o on A G = - z 6f f A (G? A OG) = 0 A -z 0' = 0

0 R L _ -Z0'2 R

0

J?(G) = -z e f 2-z 0* R

ef 1 x f o2 Q A V^G) = 2 0 A 0 = 2 -z'61

0 z f O R

x" x" = - z"

rjO(G) = -z6" - 2z t e i * ef = Y2

y ! ' . y f P" J Q = Y

A

- t J(G) ]2 = z"2 4- Y^'2 z2 + 4 zz'Yjf'j' + z"2 - 2zz"Y2

tu' 1 i" '

^ ^ - - %- "0 J R O R

^2 Vl1= T z Y 'l

\/2'j = (z r'j + z Y ' J )

", 1 d T

- 123 -

l'nergie d'acclration a pour expression :

S = \ { &>! + ( >/3 - D2 m4 + ( p + D2m5 + 2m3J z

2

-a.,.*'2, 4- [^ +(I4 4- I5) ijfLtJll! . _zl_^ + 2] 23 1 1 ^ 5 2 RX/3 .2

D J X

(z 4- -^;

( x/2 + JJ)2 R v/3

+ C(i4 + i5) 2 ' / ? . + T ^ z z 'Y f iY"i?

(z+i^)3

C. Equations d'Appel

1 2 = | . 12 b z'

U = - |(12 KX + 3 K2)(z - zQ)2

>*= tc1+^-]r*

^ -oz ~ Qz

[mj + ( v/J - I)2m4 + ( \/3 + I)2m5 + 2m3]z" - 2m zYj

2 =

- 12 bz' -(12KJ + 3K2)(z-z0)

M = QSY^' vj

( \ /2+\ /3) 2 z2 _ ,[I, + (I4 + I5) 2 + | m3 z

2 ] Y

(z+5_|l)2

1 ( N / 2 + ^/3)2 R->/3 ,fl C0

+ 2 t (I4 + V 2 ' ^-/f +f m3 ^ ^i = Cl +-T( 2 + Y3)3 p(z)


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