Gomtrie non euclidienne

On appelle gomtrie non euclidienne une thorie go-mtrique ayant recours tous les axiomes et postulats po-ss par Euclide dans les lments, sauf le postulat des pa-rallles.

La droite d est la seule droite passant par le point M et parallle la droite D. Toute autre droite passant par M (par exemple lesdroites traces en pointill) est scante D.

Les direntes gomtries non euclidiennes sont issuesde la volont de dmontrer le cinquime postulat (lepostulat d'Euclide) qui semblait peu satisfaisant car tropcomplexe, et peut-tre redondant.Ce quoi Saccheri, procdant par l'absurde, avait chou la n du XVIIe sicle.Dans les lments d'Euclide, le postulat ressemble laconclusion d'un thorme, mais qui ne comporterait pasde dmonstration :

Si une droite, tombant sur deux droites, fait lesangles intrieurs du mme ct plus petits quedeux droits, ces droites, prolonges l'inni,se rencontreront du ct o les angles sont pluspetits que deux droits

et qu'on peut comprendre comme :

Par un point extrieur une droite, il passe tou-jours une parallle cette droite, et une seule.

Durant plusieurs sicles, la gomtrie euclidienne a tutilise sans que l'on mette en doute sa validit. Ellea mme t longtemps considre comme l'archtypedu raisonnement logico-dductif. Elle prsentait en ef-fet l'avantage de dnir les proprits intuitives des ob-jets gomtriques dans une construction mathmatiquerigoureuse.

1 Une approche intuitive de la go-mtrie non euclidienne

En 1902, Henri Poincar propose un modle simple danslequel le cinquime postulat dEuclide nest pas valable.La droite est ici dnie par extension comme la courbede plus court chemin qui joint deux points de lespaceconsidr. Supposons, un monde renferm dans une grande sphreet soumis aux lois suivantes : La temprature n'y est pasuniforme ; elle est maximum au centre et elle diminue mesure qu'on sen loigne, pour se rduire au zro abso-lu quand on atteint la sphre o ce monde est renferm.Un objet mobile deviendra alors de plus en plus petit, mesure quon se rapprochera du cercle limite.Observons dabord que si ce monde est limit au point devue de notre gomtrie habituelle, il paratra inni seshabitants. Quand ceux-ci en eet veulent se rapprocheren eet du cercle limite, ils se refroidissent et deviennentde plus en plus petit. Leurs pas deviennent donc de plusen plus petits, de sorte quils ne peuvent jamais atteindrece cercle limite. [1]

tienne Ghys commente ce texte de la faon suivante[2] : Les tres qui habitent dans ce monde ne peuvent pas sa-voir quils rapetissent car sils se mesurent avec un mtreruban, le mtre ruban galement se rapetisse. Nous sa-vons quils se rapetissent mais eux ont une vie tout faitnormale et tout fait cohrente. Sils veulent aller dunpoint un autre par le plus court chemin, nous pensonsquils auront tendance se rapprocher du centre, car leurspas sont plutt plus grands vers le centre.Alors on peut dmontrer que le plus court chemin dunpoint un autre dans cette gomtrie imaginaire est un arcde cercle perpendiculaire au cercle limite. Leurs droites eux sont nos cercles nous. Et vous voyez que dansleur gomtrie, laxiome dEuclide nest pas satisfait. Ladroite rouge est parallle la droite verte mais la droitebleue lest galement (deux droites qui ne se coupent pas

1

2 2 LE DVELOPPEMENT DES GOMTRIES NON EUCLIDIENNES

Ce schma explicite une approche intuitive de la gomtrie noneuclidienne propose par Poincar

sont en eet parallles).Il y a une innit de parallles qui passent par un point.Et ces gens sont raisonnables, ils ne savent pas quils ra-petissent. Mais ils sont tout aussi raisonnables que nousqui ignorons probablement beaucoup dautres choses.La morale de cette petite histoire de Poincar est quonpeut trs bien envisager beaucoup de mondes extrme-ment raisonnables, chacun ayant sa gomtrie, chacunayant sa logique et qui chacun peuvent nous apporter unevision de notre monde concret [...].Le mathmaticien d'aujourdhui pour rsoudre un pro-blme, pour tudier une question, va utiliser une gom-trie, va prendre sa boite outil, et va choisir la gomtriela plus convenable pour comprendre le problme tudi.Voici la phrase de Poincar : Une gomtrie ne peut treplus vraie quune autre, elle peut simplement tre plus com-mode.

2 Le dveloppement des gomtriesnon euclidiennes

Les gomtries n dimensions et les gomtries noneuclidiennes sont deux branches spares de la gom-trie, qui peuvent tre combines, mais pas obligatoire-ment. Une confusion sest tablie dans la littrature po-pulaire propos de ces deux gomtries. Parce que lagomtrie euclidienne tait deux ou trois dimensions,on en concluait, tort, que les gomtries non eucli-diennes comportaient ncessairement des dimensions su-prieures.C'est Gauss qui, ds 1813[3], a formul la possibilit qu'ilexiste d'autres gomtries que celle d'Euclide.

Ce constat fait par Gauss est le terme d'une longue suitede recherches et de tentatives d'claircissement du cin-quime postulat d'Euclide (le postulat des parallles).En eet, ce postulat notamment car il fait appel auconcept d'inni a toujours paru un peu part etnon vident aux mathmaticiens, qui ont cherch soit leremplacer par un postulat plus simple et plus direct, soit le dmontrer partir des autres postulats d'Euclide. Ain-si, les mathmaticiens arabes et perses dont notammentThbit ibn Qurra, Alhazen, et surtout Omar Khayyam onttudi les liens entre le postulat des parallles et la sommedes angles des quadrilatres et des triangles. Khayyampropose ainsi ds le XIe sicle une alternative au cin-quime postulat d'Euclide, et des tentatives de dmons-tration de ce postulat par l'absurde[3].Au XVIIe sicle, John Wallis et surtout Giovanni Giro-lamo Saccheri se sont inspirs des travaux de ces ma-thmaticiens et ont tent de dmontrer le postulat desparallles. Saccheri consacra sa vie entire essayer dedmontrer le postulat des parallles par l'absurde, sans yparvenir. Mais, postulant l'hypothse de l'angle aigu[4],non seulement il n'aboutit aucune contradiction math-matique agrante, mais de plus il dcouvre tout un en-semble de nouveaux thormes, cohrents et riches. Il estsur le point de dcouvrir une gomtrie non euclidienne(par exemple la gomtrie hyperbolique, dans laquellel'espace peut admettre une innit de parallles unedroite donne et passant par un point hors de cette droite),mais il n'acceptera jamais ces nouveaux thormes qu'ilconsidre comme rpugnants [5].Reprenant les travaux de Saccheri en 1766, Johann Hein-rich Lambert reprend l'hypothse de l'angle aigu, mais neconclut pas une contradiction. Il ralise, au moins dansles toutes dernires annes de sa vie, qu'il doit tre pos-sible de btir des gomtries cohrentes, soit partir del'hypothse de l'angle aigu (gomtrie hyperbolique), soitcelle de l'angle obtus[6] (gomtrie elliptique).Lambert obtient notamment la formule ( + + )= C, C tant une constante[7], qui donne l'aire d'untriangle dont les trois angles sont , , dans une go-mtrie fonde sur l'angle aigu (nomme de nos jours unegomtrie hyperbolique).On distingue les gomtries courbure ngative, commecelle de Lobatchevski (1829) et Bolyai (1832) (sommedes angles d'un triangle infrieure 180, nombre in-ni de parallles possibles une droite par un point,par exemple la gomtrie hyperbolique), des gomtries courbure positive comme celle de Riemann (1867)(somme des angles d'un triangle suprieure 180, pa-rallles se rejoignant aux ples, par exemple la gomtrieelliptique).La gomtrie communment appele gomtrie de Rie-mann est un espace sphrique trois dimensions, espaceni et cependant sans bornes, courbure positive rgu-lire, alternative au postulat euclidien des parallles. Rie-mann a conu par ailleurs une thorie tendue des go-

3.2 La gomtrie elliptique 3

mtries non euclidiennes n dimensions (confrence de1854).L'ide de gomtrie non euclidienne sous-entend g-nralement l'ide d'un espace courbe, mais la gom-trie d'un espace courbe n'est qu'une reprsentation dela gomtrie non euclidienne, prcise Duncan Sommer-ville (en) dans The Elements of Non-Euclidean Geometry(Londres, 1914). Il existe des espaces non euclidiens trois dimensions.

3 Les dirents types de gomtrienon euclidienne

Il existe une innit de droites qui, comme d1, d2 et d3, passentpar le point M et sont parallles la droite D.

3.1 La gomtrie hyperbolique

Article dtaill : Gomtrie hyperbolique.

Lobatchevski, Klein et Poincar ont cr des modles degomtrie dans lesquelles on peut tracer une innit deparallles une droite donne et passant par un mmepoint.Il est remarquable que seul le cinquime postulatd'Euclide ait t lev ; les gomtries non euclidiennesrespectent par ailleurs toutes les autres dnitionsd'Euclide. En particulier, une droite est toujours dniecomme la ligne de plus court chemin joignant deux pointssur une surface. Il existe plusieurs modles de gomtriehyperbolique deux dimensions : le disque de Poincar,le demi-plan de Poincar,

Il n'existe aucune droite passant par le point M et parallle ladroite D.

3.2 La gomtrie elliptiqueArticle dtaill : Gomtrie elliptique.

Riemann a introduit un autre modle de gomtrienon euclidienne, la gomtrie sphrique (parfois appelegomtrie elliptique sphrique). Dans ce cas, par un pointextrieur une droite on ne peut mener aucune parallle(autrement dit, toutes les droites passant par un point ex-trieur une droite donne sont scantes cette droite,ou encore toutes les droites de l'espace sont scantes entreelles). Le modle est trs simple :

les points sont les paires de points antipodes d'unesphre ;

les droites sont les grands cercles (c'est--dire direles cercles ayant le mme centre que la sphre).

Cette gomtrie donne une courbure positive de l'espace(la somme des angles d'un triangle est suprieure deuxdroits, ou la somme de deux angles successifs d'un qua-drilatre est suprieure deux droits, ou encore il existeun triangle dont tous les angles sont droits).

4 Notes et rfrences[1] Henri Poincar, La Science et l'Hypothse.

[2] tienne Ghys, mathmaticien, directeur de recherche auCNRS, remet en question les fondements des mathma-tiques : les axiomes

[3] A. Dahan-Dalmedico et J. Peier (lb), Une histoire desmathmatiques Routes et ddales, 1986 [dtail des di-tions].

4 5 VOIR AUSSI

[4] Cette hypothse postule que la somme des angles d'unquadrilatre est infrieure quatre angles droits.

[5] La conclusion de Saccheri est reste clbre : L'hypothse de l'angle aigu est absolument faussecar cela rpugne la nature de la ligne droite.

[6] La somme des angles d'un quadrilatre est suprieure quatre angles droits.

[7] Aujourd'hui, C est nomme la courbure Gaussienne du plan hyperbolique.

5 Voir aussi

5.1 Articles connexes Courbure Gomtrie absolue (en) Gomtrie dans l'espace Gomtrie direntielle Relativit gnrale Thorme de plongement de Nash Quatrime dimension (art)

5.2 BibliographieJean-Pierre Bourguignon, Espaces courbes [dtail des di-tions]Introduction non technique au sujet.

5.2.1 Aspects historiques

Luciano Boi, Le problme mathmatique de l'espace- Une qute de l'intelligible, Springer-Verlag (1995)Une histoire philosophique du concept math-matique d'espace, de la gomtrie euclidienneau dveloppement des gomtrie modernes noneuclidiennes, dont la version riemannienne estindispensable pour la formulation de la relativitgnrale ; niveau premier cycle universitaire mini-mum.

(en) Marvin J. Greenberg, Euclidean & Non-Euclidean geometries - Development & History,W.H. Freeman & Co., New-York (3e dition-1996)Un livre de mathmatiques qui retrace l'histoire etle dveloppement des gomtries non Euclidiennes,essentiellement deux dimensions (gomtriesde Gauss, Bolai et Lobachevsky) ; accessible l' honnte homme cultiv .

(en) Max Jammer, Concepts of space - The historyof theories of space in physics, Dover Publications,Inc. (3e dition-1993)Une histoire rudite du concept d'espace, depuisl'Antiquit jusqu' nos jours ; niveau premier cycleuniversitaire.

5.2.2 Ouvrages de mathmatiques

(en) Norbert A'Campo (de) et Athanase Papado-poulos, Notes on hyperbolic geometry, in : Stras-bourg Master class on Geometry, pp. 1-182, IR-MA Lectures in Mathematics and Theoretical Phy-sics, Vol. 18, Zrich : European Mathematical So-ciety (EMS), 461 pages, 2012 (ISBN 978-3-03719-105-7), DOI :10.4171/105

Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Gomtrie dif-frentielle : varits, courbes et surfaces [dtail desditions]

(en) Marcel Berger, A Panoramic View of Rieman-nian Geometry [dtail de ldition]Comme l'indique son titre, le grand gomtrefranais nous convie ici une longue (824 pages)promenade panoramique dans le monde de la go-mtrie riemannienne ; les divers rsultats sont pourla plupart donns sans dmonstrations dtailles,mais avec les rfrences idoines pour le lecteur quisouhaiterait mettre les mains dans le cambouis ;le dernier chapitre donne les bases techniques dudomaine.

Jean-Marc Daudonnet, Bernard Fischer, Courburedes surfaces. Introduction aux gomtries non eucli-diennes, JIPTO 2009 (ISBN 2-35175-028-4)

Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et SergueNovikov, Gomtrie contemporaine - Mthodes etapplications [dtail des ditions] (Premire partie :gomtrie des surfaces, des groupes de transforma-tions et des champs).Une introduction trs pdagogique la gomtrie,avec des applications la physique, crite par desspcialistes russes. L'approche tant plutt intuitive,cet ouvrage est accessible partir du premier cycleuniversitaire pour un bon tudiant motiv.

(en) Birger Iversen, Hyperbolic Geometry, LondonMathematical Society Student Texts 25, CambridgeUniversity Press, 1992 (ISBN 0-521-43528-5)

(en) Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Trans-lator and Editor : A. Papadopoulos, Heritage of Eu-ropean Mathematics Series, Vol. 4, European Ma-thematical Society, 2010

5.3 Liens externes 5

(en) Michael Spivak, (A Comprehensive Introduc-tion to) Dierential Geometry [dtail des ditions]Trait de rfrence en cinq volumes.

(en) John Stillwell, Geometry of Surfaces, 1992,coll. Universitext (ISBN 978-0-387-97743-0, lireen ligne)

5.2.3 Ouvrages pour physiciens thoriciens

(en) Yvonne Choquet-Bruhat et Ccile DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds and Physics - Part I :Basics, North-Holland, 1989 (ISBN 978-0-44486017-0)

(en) Theodore Frankel, The Geometry of Physics -An introduction, Cambridge University Press, 2004,2e d. rvise et illustre (ISBN 978-0-52153927-2)

(en) Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Phy-sics, Institute of Physics Publishing, 2003, 2e d.illustre (ISBN 978-0-75030606-5)

(en) Charles Nash et Siddhartha Sen, Topologyand Geometry for Physicists, Academic Press, 1983(ISBN 978-0-12514080-5)

5.2.4 Aspects ludiques

Jean-Pierre Petit, Le gomtricon, bande dessine de lacollection Les aventures d'Anselme Lanturlu, d. Belin,

5.3 Liens externes Promenade non euclidienne, confrence donne par

Charles Boubel, ENS Lyon.

Tractrices, pseudosphre Gomtries planes non euclidiennes sur le site uni-

versitaire associ Cabri Gomtre Plan hyperbolique, par Xavier Hubaut

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