Divisibilité dans ℤ

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1 Multiples et diviseurs

a) Définition

Soit a et b deux entiers relatifs.

On dit que a est un multiple de b ,ou que b est un diviseur de a, s’il existe un entier relatif k

tel que a=kb. On dit encore dans ce cas que a est divisible par b ou que b divise a.

Notation : On écrit aussi a|b pour dire que a divise b.

Exemples

19 divise -323 parce que -323=19×(-17).

n étant un entier relatif quelconque, montrer que l’entier n+3 divise l’entier n2–9.

Réponse : n2–9= (n–3)(n+3) où n–3 est un entier relatif.

b) Quelques remarques

a étant un entier relatif.

① Les multiples de l’entier a sont tous les nombres ka où k est un entier relatif ; ce sont les

nombres 0, a, –a, 2a, –2a,…

② ∗ a=1×a= –1×-a ; 1, a, -1et -a sont automatiquement des diviseurs de l’entier a.

Comme |a| et -|a| donnent les nombres a et -a, on peut dire que 1, -1, |a| et -|a| sont des

diviseurs de a.

③ ∗ Si a est nul, a=k×0 pour tout k de ℤ ; tous les entiers relatifs sont des diviseurs de a.

∗ Si a est non nul :

Pour tout diviseur b de a, on peut écrire a=kb avec k dans ℤ ; k et b sont des entiers non nuls.

De cette manière |a|=|kb|=|k||b| où |a|, |k| et |b| sont des entiers naturels non nuls. Forcément

|b| |a| soit -|a| b |a| où -|a| et |a| sont des diviseurs de a.

De plus comme kb≠0, on a aussi b≠0..

D’où l’énoncé suivant :

Tous les entiers relatifs sont des diviseurs de 0.

Si a est un entier relatif non nul, tous les diviseurs de a sont des entiers non nuls, compris

entre -|a| et |a| qui sont aussi des diviseurs de a.

④ On peut vérifier sans difficulté que :

a et -a ont dans ℤ les mêmes diviseurs et mêmes multiples.

Un entier relatif b est un diviseur de a que si sa valeur absolue est un diviseur de a

Exemple : Trouver les diviseurs de -16.

On cherche d’abord les diviseurs positifs de -16 ou 16 entre 0 et 16 : Seuls 1, 2, 4, 8 et 16

conviennent.

Les diviseurs de -16 sont les entiers dont la valeur absolue est égale à ces 5 derniers

nombres. Finalement l’ensemble des diviseurs de -16 est {-16 ; -8 ; -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ;4 ; 8 ;

16}

2 Propriété de la divisibilité dans ℤ

a) Transitivité

Énoncé

Soit a, b et c 3 entiers relatifs tels que a divise b et b divise c alors a divise c.

Démonstration

Par hypothèse on peut écrire b=ka et c=lb où k et l sont 2 entiers relatifs. On a alors

c=l(ka) d’où c=(lk)a avec lk entier relatif. C’est la preuve que a divise c.

b) Effet de la multiplication dans ℤ

Énoncé

a, b et k étant 3 entiers relatifs, si a divise b alors ka divise kb. Dans le cas où k est non nul, la

réciproque est vraie.

Démonstration

∗ Si a divise b, on peut écrire b=na avec n dans ℤ d’où kb = k(na)=n× ka. C’est la preuve que

ka divise kb.

∗ Si k ≠ 0 et si ka divise kb, on peut écrire kb=nka avec n dans ℤ. On simplifie par k non nul

et on obtient b = na d’où a divise b.

c) Opérations sur les multiples

① Exercice

a, b et c sont des entiers relatifs tels que a et b sont des multiples de c.

u et v étant 2 entiers relatifs, prouver que ua+vb est un multiple de c.

Résolution :

On peut écrire a=ck et b=cl où k et l sont 2 entiers relatifs et ainsi :

ua+vb= uck + vcl d’où ua+vb=c(uk+vl) où uk+vl est un entier relatif. C’est la preuve que

ua+vb est un multiple de c.

Avec u=1=v, on a :ua+vb= a+b et avec u=1 et v= -1 on obtient ua+vb = a–b.

② Théorème

Si a, b et c sont des entiers relatifs tels que c divise a et b, c divise aussi la somme a+b, la

différence a–b et plus généralement toute combinaison linéaire ua+vb ( où u et v sont des

entiers relatifs).

On a démontré ce théorème au paragraphe précédent.

3 Exercice

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 9n–2

n est multiple de 7.

Résolution

Soit pour n entier naturel la proposition P(n) : «9n–2

n est multiple de 7 ».

∗ 90–2

0 = 0 : C’est un multiple de 7 , d’où P(0) est bien vérifiée.

∗ On suppose que n est un entier naturel donné tel que P(n) est vérifiée.

n+1 ℕ et 9n+1

–2n+1

= 9×9n–2×2

n= (7+2)×9

n–2×2

n= 7×9

n + (9

n–2

n)×2.

De cette manière 9n+1

–2n+1

est une combinaison linéaire à coefficients entiers de 7 et 9n–2

n qui

sont des multiples de 7 : Forcément 9n+1

–2n+1

est aussi un multiple de 7 et P(n+1) est bien

vérifiée.

∗ Finalement, on a bien démontré par récurrence que la proposition P(n) est vérifiée pour

tout n de ℕ.

Ainsi : Pour tout n de ℕ, 9n–2

n est multiple de 7 .

Corrigés d’exercices sur la divisibilité

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1er

exercice

Déterminer les entiers relatifs n tels que n–1 divise n+17, en remarquant que :

n+ 17 = (n –1) +8.

Résolution

a) On a n+17=(n–1)+18 soit 18 = n+17 – (n–1).

∗ Si n–1 divise n+17 :

n–1 divisant n+17 et n–1, n–1 divise aussi la différence n+17 – (n–1) soit n–1 divise 18.

∗ Si n–1 divise 18 :

n–1 divisant 18 et n–1, n–1 divise aussi la somme 18 + (n–1) soit n–1 divise n + 17.

Conclusion On a obtenu l’équivalence : (n–1) | n+17 n–1 | 18 .

b) L’ensemble des diviseurs de 18 est {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 18 ; -1 ; -2 ; -3 ; -6 ; -18}= E. D’après a),

on a l’équivalence :

(n–1) | n+17 n–1= e avec e dans E

d’où : (n–1) | n+17 n = 1+e avec e dans E .

En ajoutant 1 à tous les éléments de E, on obtient F={2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 19 ; 0 ; -1 ; -2 ; -5 ; -17}et

F est l’ensemble de tous les entiers n tels que (n–1) divise n+17.

2ème

exercice Déterminer les entiers relatifs n tels que n – 4 divise 3n +24.

Résolution

a) On commence par remarquer que 3n+24 = 3(n–4)+36.

∗ Si n–4 divise 3n+24, n–4 divisant aussi n–4, n–4 divise la combinaison linéaire

3n+24 – 3(n–4) = 36.

∗ Si n–4 divise 36, n–4 divisant aussi n–4, n–4 divise la combinaison linéaire 3(n–4)+36 = 36.

Conclusion : On a obtenu l’équivalence (n–4)|(3n+24) (n–4)|36 .

b) L’ensemble des diviseurs de 36 est {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36 ; -1 ; -2 ; -3 ; -4 ; -6 ;

-9 ; -12 ; -18 ; -36}=E.

D’après a), on a l’équivalence (n–4)|(3n+24) (n–4=e où eE) qui s’écrit aussi

(n–4)|(3n+24) (n = 4+e où eE) .

En ajoutant 4 à tous les éléments de E, on obtient F= {-32, -14 ; -5 ; -2 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ;

8 ; 10 ; 13 ; 16 ; 22 ; 40} et F est l’ensemble de tous les entiers tels que (n–4) divise (3n+24).

3ème

exercice

Résolution

1. On remarque que n2–9= (n–3)(n+3) d’où (n–3) divise n

2–9.

a) ∗ Si n–3 divise n2+3 : n–3 divise aussi la différence ( n

2+3 ) – (n

2–9) = 12.

∗ Si n–3 divise 12 : n–3 divise aussi la somme (n2–9) +12 = n

2+3.

On vient de démontrer l’équivalence : (n–3)| (n2+3) (n–3)| 12.

b) L’ensemble des diviseurs de 12 est {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 12 ; -1 ; -2 ; -3 ; -6 ; -12}= E. D’après a),

on a l’équivalence :

(n–3) | (n2+3) n–3= e avec e dans E

d’où : (n–1) | n+17 n = 3+e avec e dans E .

En ajoutant 3 à tous les éléments de E, on obtient F={4 ; 5 ; 6 ; 9 ; 15 ; 2 ; 1 ; 0 ; -3 ; -9}et F

est l’ensemble de tous les entiers n tels que (n–3) divise n2+3 :

F={-9 ;-3 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 ; 15 } .

2 a) Après développement, on trouve que (n–3)(n2+3n+9)= n

3–27. C’est la preuve que :

n–3 divise n3–27.

b) On remarque d’abord que n3–3 = n

3–27 + 24.

) ∗ Si n–3 divise n3–3, n–3 divise la différence (n

3–3) – (n

3–27)=24.

∗ Si n–3 divise 24, n–3 divise l’addition (n3–27) + 24.

On vient de démontrer l’équivalence : (n–3)| (n3–3) (n–3)| 24 .

) L’ensemble des diviseurs de 24 est E= {1 ; 2 ; 3 ; 4 : 6 ; 12 ; 24 ; -1 ; -2 ; -3 ; -4 : -6 ; -12 ;

-24}.

On a l’ équivalence suivante : (n–3)| (n3–3) ( n–3 = e avec e dans E)

soit : (n–3)| (n3–3) ( n= e+3 avec e dans E).

On ajoute 3 à tous les nombres de E pour obtenir F= {4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 15 ; 27 ; 2 ; 1 ; 0 ; -1 ;

-3 ; -9 ; -21} qui est l’ensemble de tous les entiers n tels que (n–3) divise n3–3 .

F= {-21 ; -9 ; -3 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 15 ; 27 }.

4ème

exercice

Résolution

a) (n+1)2+(n+1)–2=n

2+2n+1 + n+1 – 2 = n

2 + 3n.

b) On suppose que a est un entier divisant n+1 et n2 + 3n +19.

∗ n+1 divise (n+1) et (n+1)2= (n+1)×(n+1) donc n+1 divise la somme (n+1)

2+(n+1) ; comme

a divise n+1, a divise (n+1)2+(n+1)

∗ n2 + 3n +19=(n+1)

2+(n+1)–2 +19= (n+1)

2+(n+1)+17.

a divisant n2 + 3n +19 et (n+1)

2+(n+1), divise aussi la différence

n2 + 3n +19 – [(n+1)

2+(n+1)] =17 soit a divise 17.

5ème

exercice

Résolution

On remarque que (n+1) (n+2) =n2+3n+2 et ainsi n

2+3n+13 – (n+1) (n+2)= 11.

Si a est un entier divisant les entiers n2+3n+13 et n+2, a divise aussi la combinaison linéaire

de ces 2 nombres n2+3n+13 – (n+1) (n+2) soit a divise 11.

6ème

exercice

b ) Sans utiliser la calculatrice, démontrer que 38 369 est divisible par 37.

Résolution a) On remarque que 10(a–11b)=10a –110 b et 3 b ×37=111b alors :

10(a–11b)+(3b)×37=10a+b=n.

Si 37 divise a–11b, 37 divisant 37, 37 divise aussi la combinaison linéaire

10(a–11b)+(3b)×37, soit 37 divise n.

b) On remarque que 38 369= 10×3 836 + 9 : On prend ici a=3 836 et b=9 donnant

n=10a+b = 38 369.

a–11b= 3 836 – 11×9 = 3 836–99 = 3737 =37×101 d’où 37 divise a–11b.

D’après la question a) 37 divise aussi n =38 369 .

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7ème

exercice

Résolution Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18, -18, -9, -6, -3, -2, -1.

a) On suppose que x et y soient 2 entiers tels que (x–1)2y=18.

Forcément 18= (x–1)×(x–1)y = (x–1)2y ; le nombre x–1 est alors un diviseur de 18 ainsi que

son carré. On ne peut trouver que :

x–1= -1 donnant x=0 et 1y=18 d’où y=18,

x–1 = 1 donnant x=2 et 1y=18 d’où y=18,

x–1 = -3 donnant x=-2 et 9y=18 d’où y=2,

x–1 = 3 donnant x=3 et 9y=18 d’où y=2.

b) Réciproquement on vérifie en calculant directement (x–1)2y qu’avec :

x=0 et y=18, x=2 et y=18, x= -2 et y=2 ou x=3 et y=2 on obtient bien (x–1)2y = 18.

Conclusion Les nombres x et y vérifiant (x–1)2y = 18 sont donnés dans le tableau suivant :

x y x y

-2 2 2 18

0 18 3 2

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8ème

exercice

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1, le nombre est

divisible par 9.

Résolution

On note pour tout n de ℕ*, un =22n

+6n–1 : un est un entier relatif.

a) u1= 22+6–1=9 : u1 est bien divisible par 9.

b) On suppose que p est un entier naturel non nul tel que up est divisible par 9 :

u(p+1) =22(p+1)

+6(p+1)–1=22p+2

+6p+5 où 22p+2

=22p

×22=4×2

2p ainsi :

u(p+1)= 4×22p

+6p+5.

up=22p

+6p–1 d’où 4up= 4×22p

+24p–4 , or u(p+1) = 4×22p

+24p–4 –18p+9 d’où

u(p+1) = 4up +(1–2p)×9 et u(p+1) est une combinaison linéaire de up et 9 qui sont divisibles par

9. De cette façon u(p+1) est aussi divisible par 9.

Conclusion : On vient de montrer par récurrence que pour tout n de ℕ*, le nombre un =2

2n+6n–1 est divisible par 9.

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9ème

exercice

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1, le nombre est

divisible par 11.

Résolution

On note pour tout n de ℕ, un =44n+2

–3 n+3

: un est un entier relatif.

a) u0 = 42–3

3= 16–27= -11 : u0 est bien divisible par 11.

b) On suppose que p est un entier naturel tel que up = (44p+2

–3 p+3

) est divisible par 11 :

u(p+1) = 44(p+1)+2

–3 (p+1)+3

où 44(p+1)+2

= 44p+2+4

= 44p+2

×44 = 256×4

4p+2

et 3 (p+1)+3

= 3p+3+1

= 3p+3

×3 = 3×3p+3

.

Ainsi u(p+1) =256×44p+2

– 3×3p+3

, or 256up = 256(44p+2

–3 p+3

)=256×44p+2

–256×3 p+3

,

de cette manière u(p+1) = 256×44p+2

–256×3 p+3

+253×3 p+3

donne u(p+1) = up + 3 p+3

×253.

253 = 11×23 alors u(p+1) est alors combinaison linéaire des 2 nombres up et 253 divisibles par

11, forcément u(p+1) est aussi divisible par 11.

Conclusion : On vient de montrer par récurrence que pour tout n de ℕ, le nombre

un =44n+2

–3 n+3

est divisible par 11.

Division euclidienne dans ℤ

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1 Problème fondamental

Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.

Prouver qu’il existe un unique couple d’entiers relatifs (q, r) tel que a = bq+ r où 0 r< b

(on pourra faire intervenir la fonction partie entière).

Résolution

① Démonstration de l’unicité de q et r :

On suppose que (q,r) sont un couple d’entiers relatifs tels que a = bq+ r où 0 r< b.

0 r< b donne bq bq+ r<bq+b=b(q+1) d’où bq a<b(q+1) où 0<b, d’où q b

a< q+1 .

q étant entier, forcément q= E(b

a) et finalement a = bq+ r donne r=a–bq=a–b E(

b

a).

q et r sont donc uniques.

② Démonstration de l’existence de q et r :

On choisit directement q= E(b

a) et r= a–bq : q et r sont bien des entiers relatifs.

q= E(b

a) donne bien q

b

a< q+1. Comme 0<b, on a : bq a<b(q+1)=bq+b d’où

0 a–bq<b soit : 0 r<b.

r= a–bq donne aussi a = bq+ r .

On a bien démontré l’existence des entiers relatifs q et r tels que a = bq+ r où 0 r< b.

2 Théorème de la division euclidienne dans ℤ

Énoncé

Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.

Il existe un unique couple d’entiers relatifs (q, r) tel que a = bq+ r où 0 r< b

On appelle division euclidienne de a par b l’opération qui, au couple (a, b) associe le couple

(q, r) : q est le quotient, r est le reste.

De plus le quotient q est la partie entière du rapport a/b; le reste r est alors déterminé par :

r= a–bq.

Démonstration : Elle a été faite au paragraphe précédent.

3 Complément

Avec a et r entier relatifs, b entier naturel tels que 0 r<b, on a les équivalences :

b| (a–r) Il existe q dans ℤ tel que : a–r = bq

Il existe q dans ℤ tel que : a = bq +r

r est le reste de la division euclidienne de a par b.

On retiendra bien que :

b ne divise a–r que si r est le reste de la division euclidienne de a par b.

En particulier pour r=0, on a le résultat suivant :

b ne divise a que si 0 est le reste de la division euclidienne de a par b.

Problèmes de divisibilité d’un entier par un autre

1er

énoncé : Combinaison linéaire

On souhaite déterminer les entiers naturels n tels que n + 1 divise c) Conclure.

Résolution

a) n2+3n+7–(n+1)(n+2) = n

2+3n+7–[n

2+3n+2] soit n

2+3n+7–(n+1)(n+2) =5 .

b) ∗ Supposons que n+1 divise n2+3n+7, n+1 divisant (n+1)(n+2) divise aussi la différence

n2+3n+7–(n+1)(n+2) =5.

∗ Réciproquement si n+1 divise 5, n+1 divisant (n+1)(n+2) divise aussi la somme

(n+1)(n+2) +5 = n2+3n+7.

L’ensemble des diviseurs de 5 est {5, 1, -1, -5}= E ; on vient de démontrer l’équivalence

(n+1)| (n2+3n+7) (n+1)| 5 soit : (n+1)| (n

2+3n+7) n+1 = e où eE soit :

(n+1)| (n2+3n+7) n=e–1 où e E.

On ajoute -1 à tous les éléments de E pour obtenir F= {4, 0, -2, -6} et F est l’ensemble de tous

les entiers n tels que n+1 divise n2+3n+7.

2ème

énoncé : Division euclidienne

c) Conclure.

Résolution

Avec n dans ℕ*, 2n+3 et 5n+3 sont des entiers strictement positifs.

a) On fait une démonstration par l’absurde .

Supposons que 3 soit le quotient de la division euclidienne de 5n+3 par 2n+3 : On aurait alors

5n+3 = 3 (2n+3) + r avec r ℤ tel que 0 r < 2n+3, d’où 5n+3= 6n +6 +r soit -n–3 =r.

-n–3 <0 d’où r<0. Ce qui est absurde.

Forcément 3 n’est pas le quotient de la division euclidienne de 5n+3 par 2n+3.

b) Il s’agit de déterminer quotient et reste de la division euclidienne de 5n+3 par 2n+3.

∗ Cas où n=1 : 5n+3 = 8 et 2n+3 =5 ; 8 = 1×5 + 3 soit :

(5n+3) = 1×(2n+3) + 3 avec 0 3 < 2n+3 . Le reste 3 de la division euclidienne de5n+3 par

2n+3 étant non nul, 2n+3 ne divise pas 5n+3.

∗ Cas où n=2 : 5n+3 = 13 et 2n+3 =9 ; 13= 1×9+4 soit :

(5n+3) = 1×(2n+3) + 4 avec 0 4 < 2n+3 . Le reste 4 de la division euclidienne de5n+3 par

2n+3 étant non nul, 2n+3 ne divise pas 5n+3.

∗ Cas où 3 n. On remarque que 5n+3 = 2 (2n+3) + n–3 et on a ici 0 n–3 .

D’autre part (2n+3)–( n–3)= n+6 > 0 d’où n–3< 2n+3 .

Finalement 5n+3 = 2 (2n+3) + n–3 où 0 n–3<2n+3 .

n–3 est le reste de la division euclidienne de 5n+3 par 2n+3 et 2n+3 ne divise 5n+3 que si n–3

est nul soit n=3.

c) D’après l’étude des 3 cas du b), 2n+3 ne divise 5n+3 que si n=3.

3ème

énoncé : Factorisation et divisibilité

n désigne un entier naturel.

Résolution

Avec n entier naturel, n+1 est un entier naturel supérieur ou égal à 1.

a) n2+5n+4 =(n+1)(n+4) et n

2+3n+2=(n+1)(n+2) et n+1, n+4 et n+2 sont des entiers.

n+1 divise ainsi n2+5n+4 et n

2+3n+2.

b) On remarque que 3n2 + 15 n+ 19 = 3(n

2+5n+4)+7

∗ Si n+1 divise 3n2 + 15 n+ 19, n+1 divisant n

2+5n+4 divise aussi la combinaison linéaire

3n2 + 15 n+ 19 –3(n

2+5n+4)=7.

∗ Réciproquement si n+1 divise 7, n+1 divisant n2+5n+4 divise aussi la combinaison linéaire

3(n2+5n+4)+7=3n

2 + 15 n+ 19.

Finalement n+1 ne divise 3n2 + 15 n+ 19 que si n+1 se trouve dans l’ensemble E des diviseurs

entiers naturels de 7 : E= { 1, 7 }.

On enlève 1 à tous les éléments de E pour obtenir F={ 0, 6}qui est l’ensemble des entiers

naturels tels que n+1 divise 3n2 + 15 n+ 19. L’ensemble des entiers naturels cherchés est

donc {0, 6}.

c) On fait une démonstration par l’absurde.

Avec n entier naturel :

Supposons que n2+3n+2 divise 3n

2 + 15 n+ 19, comme n+1 divise n

2+3n+2 on aurait aussi

(transitivité de la divisibilité) l’entier n+1 qui diviserait 3n2 + 15 n+ 19, et ainsi l’entier

naturel n serait un des 2 nombres 0 ou 6.

Comme n + 2 divise aussi n2+3n+2, par transitivité de la divisibilité, n+2 divise aussi

3n2 + 15 n+ 19.

On a la situation suivante pour n= 0 ou n=6 :

valeur de

n

valeur de

n+2

valeur de

3n2 + 15 n+ 19

n+2 divise t’il

3n2 + 15 n+ 19 ?

0 4 19 Non

6 8 217 Non

n prenant forcément la valeur 0 ou 6: n+2 ne divise pas 3n2 + 15 n+ 19 .

On arrive ainsi à une contradiction : Forcément avec n entier naturel,

n2+3n+2 ne divise pas 3n

2 + 15 n+ 19 pour tout n de ℕ.

4ème

énoncé : Raisonnement par récurrence et divisibilité

utiliser un raisonnement par récurrence).

2. Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.

Résolution

1. Pour tout n de ℕ, soit un= 23n

–1, vn = 23n+1

–2 et wn= 23n+2

–4 : ce sont des entiers relatifs.

a) Vérifions par récurrence si un est divisible par 7 :

① u0=20–1=0 d’où u0 est divisible par 7.

② On suppose que p est un entier naturel tel que up est divisible par 7. On a up+1 = 23(p+1)

–1

soit up+1 = 23p+3

–1= 23p

×23 –1= 8×2

3p–1 ; or 8up = 8×2

3p–8 d’où 8up +7=8×2

3p–1 =up+1.

up et 7 sont divisibles par 7 alors la combinaison linéaire 8up +7 est divisible par 7 soit

up+1 est divisible par 7.

Conclusion : On a vérifié par récurrence sur n que

un = 23n

–1 est divisible par 7 pour tout n de ℕ .

b) Pour tout n de ℕ, vn = 23n

×2–2=(23n

–1)×2=2un alors un divise vn.

Comme 7 divise un, 7 divise aussi vn= 23n+1

–2, pour tout n de ℕ .

c) Pour tout n de ℕ, wn = 23n

×22–4=(2

3n–1)×4=4un alors un divise wn.

Comme 7 divise un, 7 divise aussi wn= 23n+2

–4, pour tout n de ℕ .

2. Pour tout p de ℕ, les restes possibles de la division euclidienne de p par 3 sont 0, 1, 2 et

ainsi on peut écrire p=3n ou p=3n+1 ou p=3n+2 où n est le quotient de la division

euclidienne de p par 3.

∗ Dans le cas où p=3n : 7 divisant 23n–1=2

p–1, le reste de la division euclidienne de 2

p par 7

est 1.

∗ Dans le cas où p=3n+1 : 7 divisant 23n+1

–2=2p–2, le reste de la division euclidienne de 2

p

par 7 est 2.

∗ Dans le cas où p=3n+2 : 7 divisant 23n+2

–4=2p–4, le reste de la division euclidienne de 2

p

par 7 est 4.

3. On garde les notations de la question 2., avec p dans ℕ :

a) Dans le cas où p=3n avec n dans ℕ : Ap = 2

3n+2

6n+2

9n = 2

3n +2

3(2n)+ 2

3(3n) alors Ap –3 =2

3n –1+2

3(2n)–1+ 2

3(3n)–1.

n, 2n et 3n sont dans ℕ et d’après la question 1. 7 divise chacun des entiers 23n

–1, 23(2n)

–1 et

23(3n)

–1, alors par addition de ces 3 entiers 7 divise Ap –3.

Dans ce cas 3 est le reste de la division euclidienne de Ap par 7.

b) Dans le cas où p=3n+1 avec n dans ℕ : Ap = 2

3n+1+2

6n+2+2

9n+3 = 2

3n+1+2

3(2n)+2+2

3 (3n+1) .

Ap – 7 = (23n+1

–2)+ (2 3(2n)+2

–4)+(23 (3n+1)

–1) d’où Ap = (23n+1

–2)+ (2 3(2n)+2

–4)+(23 (3n+1)

–1) +7

n, 2n et 3n+1 sont dans ℕ et d’après la question 1. 7 divise chacun des entiers 23n+1

–2,

23(2n)+2

–4 et 23(3n +1)

–1, et bien sûr 7.

alors par addition de ces 4 entiers7 divise Ap.

c) Dans le cas où p=3n+2 avec n dans ℕ : Ap = 2

3n+2+2

6n+4+2

9n+6 = 2

3n+2+2

3(2n+1)+1+2

3 (3n+2) .

Ap – 7 = (23n+2

–4)+ (2 3(2n+1)+1

–2)+(23 (3n+2)

–1) d’où

Ap = (23n+2

–4)+ (2 3(2n+1)+1

–2)+(23 (3n+2)

–1) +7

n, 2n+1 et 3n+2 sont dans ℕ et d’après la question 1. 7 divise chacun des entiers 23n+2

–4,

23(2n+1)+1

–2 et 23(3n +2)

–1, et bien sûr 7.

alors par addition de ces 4 entiers 7 divise Ap.

Congruences dans ℤ

_______________

1 Définition

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

a et b étant 2 entiers relatifs, on dit que a et b sont congrus modulo n lorsque a et b ont le

même reste dans la division euclidienne par n.

« a et b sont congrus modulo n » est noté : a b (modulo n), a b (mod. n), a b [n] ou

encore a b (n).

Conséquences immédiates

De par sa définition, la relation de congruence vérifie les propriétés suivantes analogues à

celles de l’égalité : Avec a, b et c entiers relatifs,

a a (n) ;

Si a b (n) alors b a (n) ;

Si a b (n) et b c (n) alors a c (n).

2 Une propriété fondamentale

n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

∗ Exercice

a et b étant 2 entiers relatif :

1) Montrer que si a et b sont congrus modulo n alors a–b est un multiple de n.

2) Prouver que si a–b est un multiple de n, alors a et b sont congrus modulo n.

Résolution

1) Dans le cas où a et b sont congrus modulo n, ils ont le même reste r dans la division

euclidienne par n : On écrit ces divisions a=nq+r et b=nq’+r avec q et q’ entiers relatifs.

On obtient : a–b=nq–nq’ soit a–b = n(q–q’) : a–b est bien un multiple de n.

2) Si a–b est un multiple de n, on peut écrire a–b = kn où k est un entier relatif ; a=b + kn.

Écrivons la division euclidienne de b par n : b = qn+ r où q et r sont des entiers avec 0 r<n.

On obtient a=qn+r +kn d’où a = (q+k)n+r où q + k et r sont des entiers avec 0 r<n : On

vient d’écrire la division euclidienne de a par n.

Dans la division euclidienne par n, a et b ont le même reste soit ab (n).

∗ Théorème fondamental

Avec a et b entiers relatifs, ab (n) si et seulement si a–b est un multiple de n.

Ce théorème a été démontré dans la résolution de l’exercice précédent.

∗ Remarque Avec a, r entiers relatifs tels que 0 r<n :

On a déjà vu l’équivalence suivante :

r est le reste de la division euclidienne de a par n a–r est un multiple de n.

Cela donne d’après le théorème fondamental précédent :

r est le reste de la division euclidienne de a par n ar (n).

3. Congruence et division euclidienne

On retiendra que :

Avec a, r entiers relatifs,

r n’est le reste de la division euclidienne de a par n que si : ar [n] et 0 r<n .

4 Opérations usuelles et congruences

n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

∗ Exercice

a, a’, b et b’ sont des entiers relatifs vérifiant aa’ (n) et bb’ (n).

1) Vérifier si a+b a’+b’(n).

2) Calculer b(a–a’)+a’(b–b’). En déduire que ab a’b’ (n).

Résolution

Par hypothèse a–a’ et b–b’ sont des multiples de n

1) (a–a’) + (b–b’) est aussi un multiple de n, alors (a+a’)–(b+b’) est un multiple de n, soit

a+b a’+b’(n).

b) b(a–a’)+a’(b–b’) = ab–a’b+a’b–a’b’= ab –a’b’ ; c’est une combinaison linéaire à

coefficients entiers de a–a’ et b–b’ d’où ab –a’b’ est aussi un multiple de n et ainsi

ab a’b’ (n).

∗ Théorème

a, a’, b et b’ sont des entiers relatifs vérifiant aa’ (n) et bb’ (n).

On a aussi : a+b a’+b’(n) et ab a’b’ (n).

Le théorème a été justifié par la résolution de l’exercice précédent, on le résume en disant

que : « La relation de congruence est compatible avec l’addition et la multiplication dans ℤ ».

- En faisant éventuellement plusieurs multiplications des mêmes termes dans ℤ, on montre

aussi en utilisant la compatibilité de la congruence avec la multiplication :

Si a et a’ sont 2 entiers relatifs, si k est un entier naturel non nul, aa’ [n] entraîne

a k

a’

k [n] .

(Si a et a’ sont non nuls, on a automatiquement a0 a’

0 [n].)

- En utilisant la compatibilité de la congruence avec la multiplication et l’addition des entiers,

on vérifie encore que :

Si a, a’, b et b’ sont des entiers relatifs vérifiant aa’ (n) et bb’ (n), alors

avec et entiers, a a’ [n] et a + b a’ + b’ [n] ,

a–b a’–b’ [n] .

Quelques exercices les congruences Exercice 1 : Soit n un entier naturel. Montrer que 10

n–(-1)

n est divisible par 11.

Résolution : ∗ Si n=0, 10n–(-1)

n= 1–1=0 donc 10

n–(-1)

n est divisible par 11.

∗ Désormais n est un entier naturel non nul.

10 –(-1 ) = 11 est divisible par 11 d’où 10 -1 [11] alors 10n (-1)

n [11]

10n–(-1)

n est divisible par 11.

Finalement, pour tout n de ℕ, 10n–(-1)

n est divisible par 11.

Exercice 2 : Déterminer le reste de la division euclidienne de a= 264

–1 par 7.

Résolution : On remarque que 23

= 8 = 1×7+1 : 1 est le reste de la division euclidienne de 23

par 7 ainsi : 23 1 [7].

On fait la division euclidienne de 64 par 3 : 64 = 3×21+1 et ainsi

264

= 23×21+1

=23×21

×21= (2

3)21

×2.

23 1 [7] donne (2

3)21 1

21 [7] soit (2

3)21 1 [7]. Par multiplication par 2 : (2

3)21

×2 1×2 [7]

soit 264

2 [7]. On ajoute -1 : 264

–1 2 –1 [7] soit 264

–1 1 [7] d’où :

1 est le reste de la division euclidienne de 264

–1 par 7.

Exercice 3 : Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, a=2n2+n+1 n’est pas divisible par 3.

Résolution : Soit r le reste de la division euclidienne de n par 3 : r{0 ; 1 ; 2}.

n r [3] d’où n2 r

2 [3] et 2 n

2 2 r

2 [3]

n r [3] donne aussi n +1 r +1 [3] et par addition 2n2+n+1 2r

2+r+1 [3] .

Cela signifie que 2n2+n+1 et 2r

2+r+1 ont le même reste dans la division euclidienne par 3.

Cas où r =0 : 2r2+r+1=1 et 2n

2+n+1 1 [3] .

Cas où r=1 : 2r2+r+1= 4 d’où (2r

2+r+1) – 1 = 3 est divisible par 3 et ainsi 2r

2+r+1 1 [3] .

On a ainsi 2n2+n+1 1 [3].

Cas où r= 2 : 2r2+r+1= 2×4+2+1 = 11 alors (2r

2+r+1) – 2 = 9 est divisible par 3 et ainsi

2r2+r+1 2 [3].

On a ainsi 2n2+n+1 2 [3].

Conclusion : On vient de vérifier que le reste de la division euclidienne de a=2n2+n+1 par 3

est égal à 1 ou 2 : Ce reste est non nul donc : a n’est pas divisible par 3.

Exercice 4

a. Déterminer l’ensemble E des entiers x tels que x+5 3 [8].

b. Déterminer l’ensemble F des entiers x tels que 3x 5 [8].

Résolution de a. : On se sert de la compatibilité de la congruence avec l’addition .

x+5 3 [8] x+5 – 5 3–5 [8] x -2 [8] , comme 8 0 [8] on a finalement

x+5 3 [8] x+0 -2+8 [8] soit x+5 3 [8] x 6 [8]

E est ainsi l’ensemble des entiers qui ont 6 comme reste par la division euclidienne par 8,

E est l’ensemble des entiers 8k+6 avec k entier.

Résolution de b. : Pour tout x de ℤ, soit r le reste de la division euclidienne de x par 8 :

0 r<8 et x r [8] alors par compatibilité de la congruence avec la multiplication,

3x 3r [8].

Soit R le reste de la division euclidienne de 3r par 8 : 0 R<8 et 3r R [8]. On a alors

3x R [8] où 0 R<8 : R est le reste de la division euclidienne de 3x par 8.

Pour trouver F, l’ensemble des entiers x tels que R = 5, on peut dresser le tableau exhaustif

suivant :

r , le reste de la division

euclidienne de x par 8 0 1 2 3 4 5 6 7

3r 0 3 6 9 12 15 18 21

R, le reste de la division

euclidienne de 3x par 8 0 3 6 1 4 7 2 5

F est ainsi l’ensemble de tous les entiers relatifs qui ont 7 pour reste dans la division

euclidienne par 8, F est l’ensemble des entiers 8k+7 avec k entier relatif.

Exercice 5 : Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de 5n par 13 pour n

entier naturel.

Résolution : On a 52=25 d’où 5

2–(-1) = 26 est divisible par 13 : 5

2 -1 [13] et alors

(52)2 ( -1)

2 [13] soit 5

41 [13] .

Pour tout entier naturel n, on fait la division euclidienne de n par 4 : n=4q + r où q et r sont

des entiers naturels avec 0 r < 4.

5n = 5

4q + r = 5

4q . 5

r = (5

4)q . 5

r

541 [13] et q entier naturel donne (5

4)q 1

q [13] soit 5

4q 1 [13]. Alors 5

4q × 5

r 1× 5

r [13]

soit 5n 5

r [13].

Cas où r=0 : 50 =1 et 5

n 1 [13]. 1 est le reste de la division euclidienne de 5

n par 13.

Cas où r=1 : 51= 5 et 5

n 5

[13]. 5 est le reste de la division euclidienne de 5

n par 13.

Cas où r=2 : 52= 25= 1×13 +12 : 12 est le reste de la division euclidienne de 5

r par 13.

5n 5

r [13] signifie que le reste de la division euclidienne de 5

n par 13 est aussi 12.

Cas où r =3 : 52 -1 [13] donne 5× 5

2 5× -1 [13] soit 5

3 -5 [13]

0 13 [13] par addition

53 8 [13]. De plus 5

n 5

3 [13] d’où 5

n 8 [13] . 8 est le reste de la division euclidienne de 5

n

par 13.

Lorsqu’on fait la division euclidienne de 5n (avec n dans ℕ), les restes possibles sont 1, 5, 12

et 8.

Problème sur les congruences

Résolution 1. a) 2

4 = 16 = 3×5 +1 d’où 1 est le reste de la division euclidienne de 16 par 5 ; soit

241 (mod. 5) .

b) Pour tout entiers naturels k et r : 241 (mod. 5) entraîne (2

4)k 1

k (mod. 5) soit

24k1 (mod. 5). On multiplie par l’entier naturel 2

r pour obtenir 2

4k × 2

r 1×2

r (mod. 5) soit :

24k+r

2r (mod. 5) pour tous entiers naturels k et r.

c) On fait la division euclidienne de l’entier naturel n par 4 : n=4k+r où k et r sont des

entiers naturels et 0 r< 4. r est le reste de la division euclidienne de n par 4.

r {0 ; 1 ; 2 ; 3} et d’après b) 2 n 2

r (mod. 5).

∗ Cas où r=0 : 2r =1 et on obtient 2

n 1 (mod. 5) . 1 est le reste de la division euclidienne de

2n par 5.

∗ Cas où r=1 : 2r =2 et on obtient 2

n 2 (mod. 5) . 2 est le reste de la division euclidienne de

2n par 5.

∗ Cas où r=2 : 2r =4 et on obtient 2

n 4 (mod. 5) . 4 est le reste de la division euclidienne de

2n par 5.

∗ Cas où r=3 : 2r = 8 et on obtient 2

n 8 (mod. 5). 2

n et 8 ont le même reste par la division

euclidienne par 5, or 8=1×5+3 : 3 est le reste de la division euclidienne de 8 par 5.

Donc 3 est le reste de la division euclidienne de 2n par 5 et 2

n3 (mod. 5).

2. ∗ 17= 3×5+2 : 17–2 est divisible par 5 et 172 (mod. 5) .

4p+2 est un entier naturel non nul d’où 174p+2

24p+2

(mod. 5).

L’entier 4p +2 a pour reste dans la division euclidienne par 4 automatiquement 2, alors

d’après un cas de la question 1.c) on a 24p+2

4 (mod. 5).

On a alors 174p+2

4 (mod. 5).

∗ 32= 25 et 5= 1×4+1 : 1 est le reste de la division euclidienne de 5 par 4 et d’après 1.c)

2 5 2 (mod. 5) soit 32 2 (mod. 5) d’où 32

4p+3 2

4p+3 (mod. 5)

L’entier 4p +3 a pour reste dans la division euclidienne par 4 automatiquement 3, alors

d’après un cas de la question 1.c) on a 24p+2

3 (mod. 5) d’où 32 4p+3

3 (mod. 5).

∗ On a aussi 33 (mod. 5) alors :

174p+2

+ 324p+3

+3 4 + 3 + 3 (mod. 5) soit 174p+2

+ 324p+3

+3 10 (mod. 5).

Comme 100 (mod. 5), on a aussi 174p+2

+ 324p+3

+3 0 (mod. 5).

Dans ce cas 174p+2

+ 324p+3

+3 est divisible par 5 .