gele5223_chapitre1
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GELE5223 Chapitre 1 :Propagation d’ondes
Gabriel Cormier, Ph.D., ing.
Universite de Moncton
Automne 2010
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 1 / 66
Introduction
Contenu
Contenu
Revision des concepts de base : ligne de transmission
Coefficient de reflexion
Abaque de Smith
Desadaptation a la source
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 2 / 66
Lignes de transmission
Ligne de transmission
Structure pour guider des ondes electromagnetiques
Exemples :
Cable coaxialFil de cuivreLigne microruban
Une onde EM prefere se propager sur des centaines de km plutot quetraverser quelques mm d’isolant.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 3 / 66
Lignes de transmission Cable coaxial
Cable coaxial
Le type le plus commun.
conducteur
diélectrique
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Lignes de transmission Deux fils
Deux fils
De moins en moins utilise.
conducteurs
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Lignes de transmission Plaques paralleles
Plaques paralleles
Peu utilise, mais utile dans certains cas.
conducteurs
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 6 / 66
Lignes de transmission Microruban
Microruban
Le type le plus commun pour les circuits integres.
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Lignes de transmission Coplanaire
Coplanaire
Le deuxieme type le plus commun pour les circuits integres.
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Lignes de transmission Modelisation
Modelisation d’une ligne de transmission
+
−v(z, t)
i(z, t)
∆z z
On analyse une petite section
∆z de la ligne.
On utilise deselements ideauxpour modeliser laligne.
− −
+
R∆z L∆z+
G∆z C∆zv(z, t) v(z + ∆z, t)
∆z
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Lignes de transmission Modelisation
Modelisation
Dans le modele precedent,
R = resistance en serie [Ω/m]. Represente les pertes du conducteur.
L = inductance en serie [H/m].
G = conductance parallele [S/m]. Represente les pertes dudielectrique.
C = capacitance parallele [F/m].
Dans une ligne sans pertes, R = G = 0.
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Lignes de transmission Modelisation
Modelisation
On relie la tension et le courant a z et z + ∆z, et dans la limite ou∆z → 0, on obtient :
dV (z)
dz= −(R+ jωL)I(z)
dI(z)
dz= −(G+ jωC)V (z)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 11 / 66
Lignes de transmission Modelisation
Modelisation
On solutionne :
d2V (z)dz2
− γ2V (z) = 0
d2I(z)dz2
− γ2I(z) = 0
V (z) = V +0 e−γz + V −0 e
γz
I(z) = I+0 e−γz + I−0 e
γz
ouγ = α+ jβ =
√(R+ jωL)(G+ jωC)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 12 / 66
Lignes de transmission Modelisation
Impedance caracteristique
Lien entre la tension et le courant :
Z0 =V +0
I+0=R+ jωL
γ=
√R+ jωL
G+ jωC
L’impedance caracteristique Z0 represente le rapport entre la tension et lecourant sur la ligne.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 13 / 66
Lignes de transmission Modelisation
Longueur d’onde
Represente la distance parcourue par une sinusoıde pendant 1 periode.
λ =2π
β
La longueur d’onde est reduite dans un dielectrique.
λg =λ0√εr
ouλ0 =
c
f
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 14 / 66
Lignes de transmission Modelisation
Vitesse de phase
Represente la vitesse a laquelle se deplace un point de phaseconstante.
vp =ω
β= λgf
La vitesse de phase est reduite dans un dielectrique.
vp =c√εr
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 15 / 66
Lignes de transmission Modelisation
Ligne sans pertes
R = G = 0
Les equation se simplifient :
Z0 =
√L
C(Z0 est reel)
γ = jβ = jω√LC
On obtient aussi :
β = ω√LC λ =
2π
ω√LC
vp =1√LC
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 16 / 66
Lignes de transmission Modelisation
Parametres des lignes de transmission
Ligne coaxiale 2 fils Plaques paralleles Unite
Lµ
2πln
(b
a
)µ
πcosh−1
(D
2a
)µd
wH/m
C2πε′
ln(b/a)
πε′
cosh−1(D/2a)
ε′w
dF/m
RRs
2π
(1
a+
1
b
)Rs
πa
2Rs
wΩ/m
G2πωε′′
ln(b/a)
πωε′′
cosh−1(D/2a)
ωε′′w
dS/m
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 17 / 66
Lignes de transmission Modelisation
Parametres des lignes de transmission
La constante dielectrique d’un milieu peut etre complexe :
ε = ε′ − jε′′ = ε′(1− j tan δ)
ou
tan δ est le facteur de pertes dielectriques,ε′ = εrε0ε′′ = ε′ tan δ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 18 / 66
Lignes de transmission Modelisation
Resistance de surface
Rs est la resistance du conducteur en supposant que tout le courantcircule a une profondeur egale a la profondeur de penetration δs.
Rs =1
σδs=
√ωµ
2σ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 19 / 66
Lignes de transmission Modelisation
Effet de peau
Plus la frequence augmente, plus le courant circule pres de la surfaced’un conducteur.
La densite de courant diminue en se rapprochant du centre duconducteur.
La profondeur a laquelle la densite atteint 37% (1/e) de sa valeur a lasurface est :
δs =1
α=
1√πfµσ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 20 / 66
Lignes de transmission Modelisation
Transport de puissance
Ligne sans pertes :
puissance transportee par les champs electriques et magnetiquesaucune puissance transportee dans les conducteurs.
Ligne avec pertes :
une partie de la puissance entre dans le conducteurdissipation sous forme de chaleur.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 21 / 66
Theorie des lignes de transmission
Theorie des lignes de transmission
Comment integrer une ligne de transmission dans un circuit ?
Quel est l’impact sur les composantes ?
L’effet principal est la reflexion d’onde.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 22 / 66
Theorie des lignes de transmission
Ligne sans pertes terminee par une charge
On applique une onde V +0 e−jβz a la ligne, a z < 0.
V +0 e−jβz
−
+
VL
IL
ZL
z
0l
Z0, β
V (z), I(z)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 23 / 66
Theorie des lignes de transmission
Ligne sans pertes terminee par une charge
On applique une onde V +0 e−jβz a la ligne, a z < 0.
V +0 e−jβz
−
+
VL
IL
ZL
z
0l
Z0, β
V (z), I(z)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 23 / 66
Theorie des lignes de transmission
Ligne sans pertes terminee par une charge
Le rapport tension-courant sur la ligne est egal a Z0.
A la charge, si ZL 6= Z0, il faut que le rapport tension-courant soitegal a ZL. Que se passe-t’il ?
Une partie de l’onde est reflechie sur la ligne pour que le rapporttension-courant a la charge soit ZL.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 24 / 66
Theorie des lignes de transmission
Tension sur la ligne
L’onde reflechie est : V −0 ejβz
L’onde totale sur la ligne :
V (z) = V +0 e−jβz + V −0 e
jβz
V +0 se propage vers la charge (onde incidente),V −0 se propage vers la source (onde reflechie)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 25 / 66
Theorie des lignes de transmission Coefficient de reflexion
Coefficient de reflexion
Le coefficient de reflexion est le rapport entre l’onde reflechie et l’ondeincidente :
Γ =V −0V +0
=ZL − Z0
ZL + Z0
et donc : −1 ≤ Γ ≤ 1.
Coefficient de reflexion
Γ =ZL − Z0
ZL + Z0
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 26 / 66
Theorie des lignes de transmission Coefficient de reflexion
Coefficient de reflexion
La tension sur la ligne est :
V (z) = V +0
(e−jβz + Γejβz
)
Tension max sur la ligne : Vmax = |V +0 |(1 + |Γ|)
Tension min sur la ligne : Vmin = |V +0 |(1− |Γ|)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 27 / 66
Theorie des lignes de transmission Coefficient de reflexion
Rapport d’onde stationnaire
C’est le rapport entre Vmax et Vmin.
SWR =VmaxVmin
=1 + |Γ|1− |Γ|
1 ≤ SWR ≤ ∞SWR = Standing Wave Ratio
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 28 / 66
Theorie des lignes de transmission Coefficient de reflexion
Puissance
Puissance moyenne sur la ligne :
Pavg =1
2
|V +0 |2
Z0
(1− |Γ|2
)La puissance moyenne est constante et independante de z.
Si ZL 6= Z0, la puissance de la source ne se rend pas toute a lacharge. Ce sont les pertes par reflexion :
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| [dB]
RL = Return Loss
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 29 / 66
Theorie des lignes de transmission Coefficient de reflexion
Pertes de desadaptation
Represente combien de gain de plus on aurait si la charge etait adaptee(ZL = Z0) :
ML = −10 log(1− |Γ|2
)[dB]
ML = Mismatch Loss
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 30 / 66
Theorie des lignes de transmission Exemple
Exemple
Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.
|Γ| = SWR− 1
SWR+ 1= 0.2
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dB
ML = 1− |Γ|2 = −10 log(1− |Γ|2
)= 0.96 = 0.18 dB
Selon les chiffres, 4% de la puissance est reflechie et 96% est absorbee parla charge. Si la charge etait adaptee, on aurait 0.18dB de puissance deplus a la charge.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 31 / 66
Theorie des lignes de transmission Exemple
Exemple
Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.
|Γ| = SWR− 1
SWR+ 1= 0.2
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dB
ML = 1− |Γ|2 = −10 log(1− |Γ|2
)= 0.96 = 0.18 dB
Selon les chiffres, 4% de la puissance est reflechie et 96% est absorbee parla charge. Si la charge etait adaptee, on aurait 0.18dB de puissance deplus a la charge.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 31 / 66
Theorie des lignes de transmission Exemple
Exemple
Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.
|Γ| = SWR− 1
SWR+ 1= 0.2
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dB
ML = 1− |Γ|2 = −10 log(1− |Γ|2
)= 0.96 = 0.18 dB
Selon les chiffres, 4% de la puissance est reflechie et 96% est absorbee parla charge. Si la charge etait adaptee, on aurait 0.18dB de puissance deplus a la charge.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 31 / 66
Theorie des lignes de transmission Exemple
Exemple
Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.
|Γ| = SWR− 1
SWR+ 1= 0.2
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dB
ML = 1− |Γ|2 = −10 log(1− |Γ|2
)= 0.96 = 0.18 dB
Selon les chiffres, 4% de la puissance est reflechie et 96% est absorbee parla charge. Si la charge etait adaptee, on aurait 0.18dB de puissance deplus a la charge.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 31 / 66
Theorie des lignes de transmission Exemple
Exemple
Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.
|Γ| = SWR− 1
SWR+ 1= 0.2
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dB
ML = 1− |Γ|2 = −10 log(1− |Γ|2
)= 0.96 = 0.18 dB
Selon les chiffres, 4% de la puissance est reflechie et 96% est absorbee parla charge. Si la charge etait adaptee, on aurait 0.18dB de puissance deplus a la charge.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 31 / 66
Theorie des lignes de transmission Impedance d’une ligne
Impedance d’une ligne de transmission
L’impedance vue a l’entree de la ligne de transmission :
Impedance de la ligne
Zin = Z(−l) = Z0ZL + jZ0 tan(βl)
Z0 + jZL tan(βl)
ZLZ0, β
Zinl
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 32 / 66
Theorie des lignes de transmission Impedance d’une ligne
Impedance d’une ligne de transmission
Zin = Z0ZL + jZ0 tan(βl)
Z0 + jZL tan(βl)
Equation tres importante : la ligne transforme l’impedance de lacharge.
Plusieurs cas speciaux :
Charge : circuit ouvert, court-circuitLongueur : λ/4, λ/2, infinie
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 33 / 66
Theorie des lignes de transmission Impedance d’une ligne
Exemple
Soit une ligne de transmission de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche unecharge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l’impedance d’entree ?
βl =
(2π
λ
)(0.3λ) = 0.6π
ZLZ0, β
Zin0.3λ
Zin = Z0ZL + jZ0 tan(βl)
Z0 + jZL tan(βl)
= 5075 + j50 tan(0.6π)
50 + j75 tan(0.6π)
= 35.2 + j8.6 Ω
L’impedance de la ligne est reelle, l’impedance de la charge est reelle, maisl’impedance d’entree est complexe.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 34 / 66
Theorie des lignes de transmission Impedance d’une ligne
Exemple
Soit une ligne de transmission de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche unecharge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l’impedance d’entree ?
βl =
(2π
λ
)(0.3λ) = 0.6π
ZLZ0, β
Zin0.3λ
Zin = Z0ZL + jZ0 tan(βl)
Z0 + jZL tan(βl)
= 5075 + j50 tan(0.6π)
50 + j75 tan(0.6π)
= 35.2 + j8.6 Ω
L’impedance de la ligne est reelle, l’impedance de la charge est reelle, maisl’impedance d’entree est complexe.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 34 / 66
Theorie des lignes de transmission Impedance d’une ligne
Exemple : Implications
Selon l’exemple precedent, on peut faire l’equivalence suivante :
Vg
Zs
75Ω Z0 = 50Ω
source
Vg
Zs
source
Zin 35.2+j8.6Ω
Du point de vue de la source, rien n’a change. L’equivalence est seulementvalide a la frequence calculee.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 35 / 66
Theorie des lignes de transmission Impedance d’une ligne
Exemple : a faible frequence
On reprend l’exemple, mais a faible frequence : f = 1kHz, et l = 5cm(longueur commune sur planchette).
Vg
Zs
75Ω Z0 = 50Ω
source
5cm
λ =c
f=
3× 108
1× 103= 3× 105
βl =2π
λl = 2π
5× 10−2
3× 105= 1.05× 10−6
Zin = 5075 + j50 tan(1.05× 10−6)
50 + j75 tan(1.05× 10−6)
= 75− j0.0006 Ω
La longueur de la ligne n’a pas d’importance : Zin = ZL.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 36 / 66
Theorie des lignes de transmission Cas speciaux
ZL = 0
Avec un court-circuit (ZL = 0),
Γ = −1SWR = ∞L’equation de la ligne est :
Zin = jZ0 tan(βl)
Si 0 ≤ l ≤ λ/4, l’impedance est inductiveSi λ/4 ≤ l ≤ λ/2, l’impedance est capacitive
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 37 / 66
Theorie des lignes de transmission Cas speciaux
ZL = 0
Variation de l’impedance pour une ligne court-circuitee
− 54λ −λ − 3
4λ −λ2 −λ4 0−5
0
5
z
Xin
Z0
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 38 / 66
Theorie des lignes de transmission Cas speciaux
ZL =∞
Avec un circuit ouvert(ZL =∞),
Γ = 1SWR = ∞L’equation de la ligne est :
Zin = −jZ0 cot(βl)
Si 0 ≤ l ≤ λ/4, l’impedance est capacitiveSi λ/4 ≤ l ≤ λ/2, l’impedance est inductive
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 39 / 66
Theorie des lignes de transmission Cas speciaux
ZL =∞
Variation de l’impedance pour une ligne avec circuit ouvert
− 54λ −λ − 3
4λ −λ2 −λ4 0−5
0
5
z
Xin
Z0
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 40 / 66
Theorie des lignes de transmission Cas speciaux
l = λ/2
Si la ligne est de longueur λ/2,
L’equation de la ligne est :
Zin = ZL
Il n’y a pas de transformation d’impedance
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 41 / 66
Theorie des lignes de transmission Cas speciaux
l = λ/4
Si la ligne est de longueur λ/4 + nλ/2,
L’equation de la ligne est :
Zin =Z20
ZL
C’est un transformation de quart de longueur d’onde (quarter-wavetransformer).C’est un cas tres important.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 42 / 66
Theorie des lignes de transmission Cas speciaux
Transformateur λ/4
Zin =Z20
ZL
Si ZL = 0,
Zin =∞Si ZL =∞,
Zin = 0
L’impedance de la ligne n’est pas importante.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 43 / 66
Theorie des lignes de transmission Cas speciaux
Ligne branchee a une autre ligne
Z1Z0Ligne infinie (outerminee par Z1)
z0
Γ T
Reflexion :
Γ =Z1 − Z0
Z1 + Z0
Transmission :
T = 1 + Γ =2Z1
Z1 + Z0
Pertes d’insertion :
IL = −20 log |T |
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 44 / 66
Theorie des lignes de transmission Cas speciaux
Ligne branchee a une autre ligne
Z1Z0Ligne infinie (outerminee par Z1)
z0
Γ T
Reflexion :
Γ =Z1 − Z0
Z1 + Z0
Transmission :
T = 1 + Γ =2Z1
Z1 + Z0
Pertes d’insertion :
IL = −20 log |T |
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 44 / 66
Theorie des lignes de transmission Cas speciaux
Ligne branchee a une autre ligne
Z1Z0Ligne infinie (outerminee par Z1)
z0
Γ T
Reflexion :
Γ =Z1 − Z0
Z1 + Z0
Transmission :
T = 1 + Γ =2Z1
Z1 + Z0
Pertes d’insertion :
IL = −20 log |T |
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 44 / 66
Theorie des lignes de transmission Cas speciaux
Ligne branchee a une autre ligne
Z1Z0Ligne infinie (outerminee par Z1)
z0
Γ T
Reflexion :
Γ =Z1 − Z0
Z1 + Z0
Transmission :
T = 1 + Γ =2Z1
Z1 + Z0
Pertes d’insertion :
IL = −20 log |T |
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 44 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith
Outil graphique tres utile
Permet de visualiser le comportement des lignes de transmission etdes circuits micro-ondes.
Developpe en 1939 par P. Smith
C’est un graphe polaire de Γ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 45 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 46 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith
Developpement de l’abaque de Smith : On commence avec l’equation de
Γ :
Γ =ZL − Z0
ZL + Z0
On normalise zL = ZL/Z0 :
Γ =zL − 1
zL + 1
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 47 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith
On isole pour zL :
zL =1 + |Γ|ejθ
1− |Γ|ejθ
puis on separe en parties reelles et imaginaires (Γ = Γr + jΓi).
zL = rL + jxL =(1 + Γr) + jΓi(1 + Γr)− jΓi
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 48 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith
On separe les composantes reelles et imaginaire en deux equations :(Γr −
rL1 + rL
)2
+ Γ2i =
(1
1 + rL
)2
(Γr − 1)2 +
(Γi −
1
xL
)2
=
(1
xL
)2
Ce sont deux equations de cercles. Rappel :
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 49 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de resistance
-1
1
1
-1
0
r = 0 r = 0.33 r = 1 r = 3
Si rL = 0 : Γ2r + Γ2
i = 1→ Centre : (0,0), rayon = 1
Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2
i = (0.75)2
→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75
Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2
i = (0.5)2
→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5
Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2
i = (0.25)2
→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 50 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de resistance
-1
1
1
-1
0
r = 0
r = 0.33 r = 1 r = 3
Si rL = 0 : Γ2r + Γ2
i = 1→ Centre : (0,0), rayon = 1
Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2
i = (0.75)2
→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75
Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2
i = (0.5)2
→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5
Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2
i = (0.25)2
→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 50 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de resistance
-1
1
1
-1
0
r = 0 r = 0.33
r = 1 r = 3
Si rL = 0 : Γ2r + Γ2
i = 1→ Centre : (0,0), rayon = 1
Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2
i = (0.75)2
→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75
Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2
i = (0.5)2
→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5
Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2
i = (0.25)2
→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 50 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de resistance
-1
1
1
-1
0
r = 0 r = 0.33 r = 1
r = 3
Si rL = 0 : Γ2r + Γ2
i = 1→ Centre : (0,0), rayon = 1
Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2
i = (0.75)2
→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75
Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2
i = (0.5)2
→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5
Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2
i = (0.25)2
→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 50 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de resistance
-1
1
1
-1
0
r = 0 r = 0.33 r = 1 r = 3
Si rL = 0 : Γ2r + Γ2
i = 1→ Centre : (0,0), rayon = 1
Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2
i = (0.75)2
→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75
Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2
i = (0.5)2
→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5
Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2
i = (0.25)2
→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 50 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de reactance
-1
1
1
-1
0
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
Si xL = 0.33 :(Γr − 1)2 + (Γi − 3)2 = (3)2
→ Centre : (1,3), rayon = 3
Si xL = 1 :(Γr − 1)2 + (Γi − 1)2 = (1)2
→ Centre : (1,1), rayon = 1
Si xL = 3 :(Γr − 1)2 + (Γi − 0.33)2 = (0.33)2
→ Centre : (1,0.33), rayon = 0.33
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 51 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de reactance
-1
1
1
-1
0
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
Si xL = 0.33 :(Γr − 1)2 + (Γi − 3)2 = (3)2
→ Centre : (1,3), rayon = 3
Si xL = 1 :(Γr − 1)2 + (Γi − 1)2 = (1)2
→ Centre : (1,1), rayon = 1
Si xL = 3 :(Γr − 1)2 + (Γi − 0.33)2 = (0.33)2
→ Centre : (1,0.33), rayon = 0.33
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 51 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de reactance
-1
1
1
-1
0
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
Si xL = 0.33 :(Γr − 1)2 + (Γi − 3)2 = (3)2
→ Centre : (1,3), rayon = 3
Si xL = 1 :(Γr − 1)2 + (Γi − 1)2 = (1)2
→ Centre : (1,1), rayon = 1
Si xL = 3 :(Γr − 1)2 + (Γi − 0.33)2 = (0.33)2
→ Centre : (1,0.33), rayon = 0.33
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 51 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de reactance
-1
1
1
-1
0
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
Si xL = 0.33 :(Γr − 1)2 + (Γi − 3)2 = (3)2
→ Centre : (1,3), rayon = 3
Si xL = 1 :(Γr − 1)2 + (Γi − 1)2 = (1)2
→ Centre : (1,1), rayon = 1
Si xL = 3 :(Γr − 1)2 + (Γi − 0.33)2 = (0.33)2
→ Centre : (1,0.33), rayon = 0.33
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 51 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles combines
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On combine les cercles de resistanceet d’admittance.
Les cercles de resistance et dereactance sont orthogonaux.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 52 / 66
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles combines
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On combine les cercles de resistanceet d’admittance.
Les cercles de resistance et dereactance sont orthogonaux.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 52 / 66
Abaque de Smith Ligne de transmission
Effet d’une ligne de transmission
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
Equation d’une ligne en fonction deΓ :
Zin = Z01 + Γe−j2βl
1− Γe−j2βl
qu’on normalise :
ZinZ0
=1 + |Γ|ej(θ−2βl)
1− |Γ|ej(θ−2βl)
La difference est le facteur e−j2βl.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 53 / 66
Abaque de Smith Ligne de transmission
Effet d’une ligne de transmission
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
Le facteur e−j2βl represente unerotation de 2βl dans le sens horaireautour du centre de l’abaque.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 54 / 66
Abaque de Smith Ligne de transmission
Exemple
Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ωsur la ligne. Quelle est l’impedance d’entree ?
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On normalise :
zL =ZLZ0
=75
50= 1.5 + j0
La rotation est :
θ =0.3
0.25· 180 = 216
Le nouveau point est≈ 0.7 + j0.18, ou 35 + j9 Ω
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 55 / 66
Abaque de Smith Ligne de transmission
Exemple
Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ωsur la ligne. Quelle est l’impedance d’entree ?
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On normalise :
zL =ZLZ0
=75
50= 1.5 + j0
La rotation est :
θ =0.3
0.25· 180 = 216
Le nouveau point est≈ 0.7 + j0.18, ou 35 + j9 Ω
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 55 / 66
Abaque de Smith Ligne de transmission
Exemple
Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ωsur la ligne. Quelle est l’impedance d’entree ?
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On normalise :
zL =ZLZ0
=75
50= 1.5 + j0
La rotation est :
θ =0.3
0.25· 180 = 216
Le nouveau point est≈ 0.7 + j0.18, ou 35 + j9 Ω
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 55 / 66
Abaque de Smith Ligne de transmission
Exemple
Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ωsur la ligne. Quelle est l’impedance d’entree ?
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On normalise :
zL =ZLZ0
=75
50= 1.5 + j0
La rotation est :
θ =0.3
0.25· 180 = 216
Le nouveau point est≈ 0.7 + j0.18, ou 35 + j9 Ω
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 55 / 66
Abaque de Smith Admittances
Cercles d’admittance
-1
1
1
-1
0
g = 3 g = 0.33g = 1
j3
−j3
j1
−j1
j0.33
−j0.33
g =∞
g = 0
Pour des admittance y = g + jb, onpeut aussi tracer des cercles.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 56 / 66
Desadaptation a la source
Desadaptation a la source
Qu’arrive-t-il si la source n’est pas adaptee a la ligne (Z0 6= Zg) ?
Zg
Vg−+
−
+
Vin
−
+
VL
IL
ZL
z
0l
Z0
Zin
ΓLΓ
Il y a reflexion a l’entree de la ligne.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 57 / 66
Desadaptation a la source
Desadaptation a la source
Zg
Vg−+
−
+
Vin
−
+
VL
IL
ZL
z
0l
Z0
Zin
ΓLΓVin =
ZinZin + Zg
Vg
La puissance a la charge est :
P =1
2ReVinI∗in =
1
2|Vin|2Re
1
Zin
=
1
2|Vg|2
∣∣∣∣ ZinZin + Zg
∣∣∣∣2Re
1
Zin
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 58 / 66
Desadaptation a la source
Desadaptation a la source
On substitue Zin = Rin + jXin et Zg = RG + jXg,
P =1
2|Vg|2
Rin(Rin +Rg)2 + (Xin +Xg)2
On analyse deux cas. Cependant, Zg est fixe.1 Charge adaptee (ZL = Z0)2 Source adaptee (Zin = Zg)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 59 / 66
Desadaptation a la source
Cas 1 : charge adaptee
ZL = Z0 ⇒ ΓL = 0
Zin = Z0,
P =1
2|Vg|2
Z0
(Z0 +Rg)2 +X2g
Pour P max, il faut que Zg soit faible.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 60 / 66
Desadaptation a la source
Cas 2 : source adaptee
Zin = Zg ⇒ Γ = 0
P =1
2|Vg|2
Rg4(R2
g +X2g )
Meme si Γ = 0, il peut quand meme y avoir des ondes stationnairessur la ligne.
La puissance a la charge n’est pas necessairement plus grande que lecas 1.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 61 / 66
Desadaptation a la source
Cas 2 : source adaptee
Pour maximiser la puissance :
∂P
∂Rin= 0 et
∂P
∂Xin= 0
Ce qui donne, pour un transfert maximum de puissance,
Zin = Z∗g
La puissance est alors :
P =1
2|Vg|2
1
4Rg
Γ et ΓL ne sont pas necessairement 0.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 62 / 66
Ligne avec pertes
Ligne avec pertes
Dans le cas d’une ligne avec des faibles pertes, α 6= 0, et doncl’equation de la ligne est :
Zin = Z0ZL + Z0 tanh(γl)
Z0 + ZL tanh(γl)
ouγ = α+ jβ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 63 / 66
Ligne avec pertes
Ligne avec pertes
Le coefficient de reflexion est :
Γ(l) = ΓLe−2γl
La puissance a l’entree de la ligne (z = −l) est :
Pin =|V +
0 |2Z0
(1− |Γ(l)|2
)e2αl
La puissance fournie a la charge est :
Pin =|V +
0 |2Z0
(1− |ΓL|2
)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 64 / 66
Conclusion
Conclusion
Ce chapitre forme la base du cours. Il est essentiel de bien comprendretous les elements, en particulier :
Ligne de transmission : coefficient de reflexion, puissance.
Abaque de Smith : utilisation.
Cas speciaux de ligne de transmission.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 65 / 66
Problemes suggeres
Problemes suggeres
Dans le manuel de Pozar :
2.2, 2.6 a 2.15, 2.17 a 2.25, 2.30
Et aussi les exemples du PDF.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 66 / 66