gel-3000 Électronique des composants...
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Filtresactifs¨ Conditions préalables:
§ Lecture du chap. 17, sections 17.1 à 17.5¨ Plan du cours (sujets):
§ Définitions etspécifications defiltres§ Approximationsdefiltres§ Réalisationdefiltresactifsd’ordre1etd’ordre2
¨ Résultats attendus:§ Connaître et comprendre les spécifications et les
approximation de filtres§ Analyser et concevoir des filtres actifs répondant aux
spécifications souhaitées
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Filtresactifs
¨ Fonctiondetransfert
§ Réponsedufiltres =jω(gainetphase):
§ GainendB:
T (s) =Vo (s)Vi (s)
T ( jω) = T ( jω) e jφ (ω )
G( jω) = 20log T ( jω)
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Filtresactifs
¨ But:§ Modifierlecontenufréquentieldusignald’entrée|Vi(s)|enappliquant|T(s)|(Passer/rejeter)
§ Sortiedufiltre:
§ Laphasedusignalestaussichangéeenfonctiondelaphasedufiltreϕ(ω)
Vo ( jω) = T ( jω) Vi ( jω)
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Filtresactifs
¨ Définitions§ Bandepassante:délimitelabandedefréquencesquipassent
§ Banded’arrêt:délimitelabandedefréquencesbloquées
Gainunitaire
Gainnul
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Filtresactifs¨ Spécificationsd’unfiltreréel
𝐴𝐴 𝜔𝜔 = 20log(1/|T(j𝜔𝜔)|)
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Filtresactifs
¨ Spécificationsd’unfiltreréel§ Choixdutypederéponsevoulue−Amax:bornesupérieurepourladéviationde0dBdanslabandepassante(typiquementde0.05dBà3dB)−Amin:facteurd’atténuationminimumdanslabanded’arrêt(typiquementde20dBà100dB)−Bandepassante:ωp
−Bandedetransition:deωp àωs
−Banded’arrêt:ωs
−Facteurdesélectivité:ωs/ωp
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Filtresactifs¨ Approximationdefiltres
§ ApproximationsdeButterworth etChebyshev
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Approximationdefiltre
¨ FiltreButterworth
T ( jω) = 1
1+ε 2 ωω p
!
"##
$
%&&
2N
N:ordreωp:fréquencedecoupure
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Approximationdefiltre¨ FiltreButterworth
§ LefiltrecoupedeplusenplusrapidementàmesurequeNaugmente
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Approximationdefiltre
¨ FiltreButterworth§ Àω =ωp(limitedelabandepassante)
§ Parconséquent,onlieε à l’atténuation maxdanslabandepassante
§ SionconnaitAmax,onpeutdéduireε
T ( jω p ) =1
1+ε 2
Amax = 20log 1+ε 2
ε = 10Amax /10 −1
1/ Amax = 20log1/ 1+ε2
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Approximationdefiltre
¨ FiltreButterworth§ Àω =ωs(limitedelabanded’arrêt)
§ Cetterelationpermetdetrouverl’ordredufiltrerequis:oncherchelepluspetitentierpourlequelA(ωs)≥Amin
A( jωs ) = −20log 1/ 1+ε2 (ωs /ω p )
2N"#$
%&'
=10log 1+ε 2 (ωs /ω p )2N"
#%&
|T(j𝜔𝜔)|_Butterworth
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Approximationdefiltre
¨ FiltreButterworth§ Procédure:
1. DéterminerεpourrencontrerAmax
2. Déterminerl’ordredufiltrepouravoirA(ωs)≥Amin
3. Identifierlespôlesetlepolynômenormalisédufiltre4. Dénormaliser lepolynôme:
5. DéterminerT(s) T (s) = Kω N0
(s− p1)(s− p2 )...(s− pN )
ω0 =ω p (1/ ε)1/N s = s /ω0
Ou forme polynôme k*N(s)/D(s)
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Approximationdefiltre
¨ FiltreButterworth1. Formes “Pôle etzéros”:
2. Forme polynômiale k*N(s)/D(s)(avecCoefficientsai etbi):
T (s) = Kω N0
(s− p1)(s− p2 )...(s− pN )
T (s) = N (s)D(s)
=aM s
M + aM−1sM−1 + ...+ a0
sN +bN−1sN−1 + ...+b0
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Approximationdefiltre¨ CoefficientsdelaréponseButterworth
n Normalised DenominatorPolynomialsinFactoredForm
1 (1+s)
2 (1+1.414s+s2)
3 (1+s)(1+s+s2)
4 (1+0.765s+s2)(1+1.848s+s2)
5 (1+s)(1+0.618s+s2)(1+1.618s+s2)
6 (1+0.518s+s2)(1+1.414s+s2)(1+1.932s+s2)
7 (1+s)(1+0.445s+s2)(1+1.247s+s2)(1+1.802s+s2)
8 (1+0.390s+s2)(1+1.111s+s2)(1+1.663s+s2)(1+1.962s+s2)
9 (1+s)(1+0.347s+s2)(1+s+s2)(1+1.532s+s2)(1+1.879s+s2)
10 (1+0.313s+s2)(1+0.908s+s2)(1+1.414s+s2)(1+1.782s+s2)(1+1.975s+s2)
Ordres impairs:mélanged’unordre 1avecdesordres 2
Forme polynômiale k*N(s)/D(s)
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Approximationdefiltre
¨ FiltreButterworth:exemple§ Trouverlafonctiondetransfertd’unfiltreButterworth satisfaisantlesspécificationssuivantes:−fp =10kHz−Amax =1dB−fs =15kHz−Amin =25dB
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Approximationdefiltre
¨ FiltreChebyshev
Ordres pairs Ordres impairs
T ( jω) = 1
1+ε 2 cos2 N cos−1(ω /ω p )"#
$%
T ( jω) = 1
1+ε 2 cosh2 N cosh−1(ω /ω p )"#
$%
ω ≥ωp
ω ≤ωp
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Approximationdefiltre
¨ FiltreChebyshev (mêmechose)§ Àω =ωp(limitedelabandepassante)
§ Amax danslabandepassanteenfonctiondeε
§ SionconnaitAmax,onpeutdéduireε
T ( jω p ) =1
1+ε 2
Amax = 20log 1+ε 2
ε = 10Amax /10 −1
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Approximationdefiltre
¨ FiltreChebyshev§ Procédure:
1. DéterminerεpourrencontrerAmax
2. Déterminerl’ordredufiltrepouravoirA(ωs)≥Amin
3. CalculerlesNpôlesouidentifierlepolynômenormalisé
4. DéterminerT(s)
T (s) =Kω N
p
ε2N−1(s− p1)(s− p2 )...(s− pN )
pk = −ω p sin2k −1N
π2
"
#$
%
&'sinh
1Nsinh−1 1
ε
"
#$
%
&'
+ jω p cos2k −1N
π2
"
#$
%
&'cosh
1Nsinh−1 1
ε
"
#$
%
&'
k=1,2,…,N
T ( jω) = 1
1+ε 2 cos2 N cos−1(ω /ω p )"#
$%
T ( jω) = 1
1+ε 2 cosh2 N cosh−1(ω /ω p )"#
$%
ω ≥ωp
ω ≤ωp
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Approximationdefiltre
¨ FiltreChebyshev:exemple§ Trouverl’ordredufiltreChebyshev quisatisfaitlesspécificationssuivantes:−fp =10kHz−Amax =1dB−fs =15kHz−Amin =25dB
§ N =5…LefiltreChebyshev estplusefficace
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Avantages/désavantages
¨ Avantagesdesfiltresactifs§ Possèdentungainajustable§ Plusieursparamètresdelafonctiondetransfertsontindépendantsentreeux
§ Impédancedesortiefaible/impédanced’entréeélevée:permetdecascaderplusieursétagesafind’obtenirdesfiltresd’ordressupérieurs
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Avantages/désavantages
¨ Désavantagesdesfiltresactifs§ L’opérationestlimitéeauxbassesetmoyennesfréquencesàcausedeslimitesetimperfectionspetitsignaldel’ampli-op
§ Dissipentplusd’énergiequ’unfiltrepassif
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Filtresencascade
¨ Designdefiltresencascade§ Approche:cascaderdessectionsd’ordre1oud’ordre2afind’obtenirdesfiltresd’ordresélevés
§ Fonctiondetransferttotale:T(s)=T1T2T3…Tn
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Filtresencascade¨ Designdefiltresencascade
§ Ilya§ SiZi2 =∞etZo1 =0
T1(s) =T2 (s) =1
sCR+1
T (s) =V3V1=T1(s)T2 (s) =
1sCR+1
×1
sCR+1=
1(sCR)2 + 2sCR+1
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Filtresdu1er ordre
¨ Alluregénéraledelafonctiondetransfertd’ordre1
§ Pôleàs=- ω0(fréquencedecoupure:ω0)§ Zérodetransmissionàs=-a0/a1§ Gainhautefréquenceè a1§ Lenumérateurdétermineletypedefiltre(passe-bas,passe-haut,etc.)
T (s) = a1s+ a0s+ω0
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Filtresdu1er ordre
¨ Filtrepasse-bas:Fonctiondetransfert§ Formegénérale:
§ GainDC:-R2/R1
§ Fréquencedecoupure:ω0 =1/R2C
Vo (s)Vi (s)
= −Z2 (s)Z1(s)
= −R2 / R1sR2C +1
T (s) = a0s+ω0
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Filtresdu1er ordre
¨ Passe-bas:résumé
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Filtresdu1er ordre
¨ Filtrepasse-haut:Fonctiondetransfert§ Formegénérale:
§ Gainhaute-fréquence:-R2/R1
§ Fréquencedecoupure:ω0 =1/R1C
Vo (s)Vi (s)
= −Z2 (s)Z1(s)
= −sCR2sCR1 +1
T (s) = a1ss+ω0
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Filtresdu1er ordre
¨ Passe-haut:résumé
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Filtresdu1er ordre
¨ Filtrepasse-tout:fonctiondetransfert§ Formegénérale:
§ Gainuniforme:1§ Fréquencedecoupure:ω0 =1/RC§ Intervientsurlaphasedusignal
T (s) = a1s−ω0
s+ω0
T (s) = − s−1/ RCs+1/ RC
a1 > 0
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Filtresdu1er ordre
¨ Passe-tout:résumé
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Filtresd’ordre2
¨ Formegénérale
• Si Q > 0.5: pôles complexesconjugués• ω0: fréquence des pôles• Q:facteurdequalité
Vo (s)Vi (s)
=a2s
2 + a1s+ a0s2 + s(ω0 /Q)+ω
20
p1, p2 = −ω0
2Q± jω0 1− (1/ 4Q
2 )
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Filtresd’ordre2
¨ Passe-bas:
§ Deuxzérosàs=∞§ DépassementsiQ >1/√2
Vo (s)Vi (s)
=a0
s2 + s(ω0 /Q)+ω20
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Filtresd’ordre2
¨ Passe-haut:
§ Deuxzérosàs=0§ DépassementsiQ >1/√2
Vo (s)Vi (s)
=a2s
2
s2 + s(ω0 /Q)+ω20
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Filtresd’ordre2
¨ Passe-bande:
§ Unzéroàs=0etunautreàs= ∞§ Valeurmaximumàω0
Vo (s)Vi (s)
=a1s
s2 + s(ω0 /Q)+ω20
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Filtresd’ordre2
¨ Passe-bande§ Fréquencecentrale=fréquencedespôlesω0
§ Fréquencesdecoupure
§ Bandepassante
§ Lefiltreest+sélectifàmesurequeQ augmente
ω1,ω2 =ω0 1− (1/ 4Q2 ) ±
ω0
2Q
BW =ω2 −ω1 =ω0 /Q
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Filtresd’ordre2
¨ Filtrepassebande:§ Formegénérale:
Vo (s)Vi (s)
=sR2C1
s2 + sR1C1 + R2C2R1R2C1C2
+1
R1R2C1C2
ω0 =1
R1R2C1C2Q = R1R2C1C2
R1C1 + R2C2
Vo (s)Vi (s)
=a1s
s2 + s(ω0 /Q)+ω20
Vo (s)Vi (s)
=R2 ||1/ sC2R1 +1/ sC1
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Filtresd’ordre2
¨ Notch (coupebande)
§ Zérossurl’axejωà±jω0
§ Fréquencedenotch:ω=ω0
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Filtresd’ordre2
¨ Passe-tout
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Applicationsdesamplis-op:filtresactifs
¨ Exercicessuggérés§ SedraandSmith−Exemples17.1,17.2,−Exercices17.3,17.4,17.6,17.10,17.11,17.13,17.14,17.17,17.19−Problèmes17.4,17.5,17.9,17.10,17.12,17.14,17.15,17.16,17.19,17.20,17.25,17.26,17.33,17.40,17.42,17.45
¨ Lecturesàfaire§ Chapitre17,sections17.1à17.6