8/9/2019 Formulaire_OEM

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FFOORRMMUULLAAIIRREE RREELLAATTIIFF AAUUXX OOPPRRAATTEEUURRSS

Soient U et V deux champs scalaires etr

a etr

b deux champs vectoriels.

1. Formules portant sur un seul champ:

1.

r

.(r

U) =r

2U soit div(grad

U) = U

2.

r

(

r

U) =r

0 soit rot

(grad

U) =r

0

3.r

. (r

r

a ) =r

0 soit div( rot

r

a ) =r

0

4.r

(r

r

a ) =r

(r

.r

a ) r

2ra soit rot

(rot

r

a ) = grad

(divr

a ) r

a

2. Formules portant sur deux champs:

5.

r

(UV) = Vr

(U) + Ur

(V) soit grad

(UV) = Vgrad

U + Ugrad

V

6.r

. (Ur

a) =r

a (r

U) + U (r

.r

a ) soit div(Ur

a ) = grad

U.r

a + Udivr

a

7.

r

(U

r

a ) = (

r

U)

r

a + U (

r

r

a) soit rot

(U

r

a ) = grad

U

r

a + U rot

r

a

8.r

. (r

a r

b) =r

b. (r

r

a ) r

a. (r

r

b) soit div(r

a r

b) =r

b. rot

r

a r

a . rot

r

b

9.r

(r

a r

b) = (r

.r

b)r

a (r

.r

a )r

b + (r

b.r

)r

a (r

a.r

)r

b

soit rot

(r

a r

b) = (divr

b)r

a (divr

a )r

b + (r

b.grad

)r

a (r

a.grad

)r

b

10.r

(r

a .r

b) =r

a (r

r

b) +r

b (r

r

a ) + (r

b.r

)r

a + (r

a.r

)r

b

soit grad

(r

a .r

b) =r

a (rot

r

b) +r

b (rot

r

a) + (r

b.grad

)r

a + (r

a.grad

)r

b

3. Expressions des oprateurs dans divers systmes de coordonnes:

a. Gradient:

* cartsiennes: grad

U = U

x

r

ex + U

y

r

ey + U

z

r

ez

* cylindriques: grad

U = U

r

r

er +1

r

U

r

e + U

z

r

ez

* sphriques: grad

U =U

r

r

er +1

r

U

r

e +1

rsin

U

r

e

b. Divergence:

* cartsiennes: divr

a =axx

+

ay y

+

azz

* cylindriques: divr

a =1

r

r ar r

+

1

r

a

+

az z

* sphriques: div

r

a =1

r2 r2 ar

r

+

1

rsin

a sin

+

1

rsin

a

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c. Rotationnel:

* cartsiennes: rot

r

a =az y

ayz

r

ex + axz

az x

r

ey + ay x

ax y

r

ez

* cylindriques: rot

r

a =1

r

az

az

r

er + ar z

az r

r

e +1

r

( r a )

r

a r

r

ez

* sphriques:

rot

r

a =1

rsin

(a sin )

a

r

er +1

r

1

sin

ar

( r a )

r

r

e +1

r

( r a )

r

ar

r

e

d. Laplacien:

* cartsiennes: U =

2 U

x2

+

2 U

y2

+

2 U

z2

* cylindriques: U = 2

U r2

+ 1r

U r

+ 1

r2

2

U2

+

2

U z2

* sphriques: U =

2 U

r2

+

2

r

U

r

+

1

r2 sin 2

2 U

2

+

1

r2 sin

sin

U

4. Action des oprateurs sur le tridre de base:

a. coordonnes cylindriques:

rot

r

er =

r

0 ; rot

r

e =

r

ezr ; rot

r

ez =

r

0 pour le rotationnel

divr

er =1r

; divr

e = 0 ; divr

ez = 0 pour la divergence

b. coordonnes sphriques:

rot

r

er =r

0 ; rot

r

e =

r

er

; rot

r

e =cos

rsin

r

er

r

er

pour le rotationnel

divr

er =2

r; div

r

e =1

r tan; div

r

e = 0 pour la divergence