CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

Fonctions de Bessel

Définitions et notationsOn appelle :

– Fonction de Bessel d’ordre n ∈ Z la fonction ∀x ∈ R, Jn(x) =1

π

∫ π

0

cos(x sin t− nt)dt.

– Equation de Bessel d’ordre n ∈ Z l’équation différentielle En : x2y′′ + xy′ + (x2 − n2)y = 0.

Première partiePropriétés des fonctions de Bessel

1: Montrer que ∀n ∈ Z, Jn est définie sur R.2: Montrer que ∀n ∈ Z, J−n = (−1)nJn (Ce qui permet de se restreindre dans la suite au cas n ∈ N).3: Montrer que ∀n ∈ Z,∀x ∈ R, Jn(−x) = (−1)nJn(x). En déduire la parité de Jn.4: Soit x ∈ R et on considère la fonction fx définie sur R par fx(t) = eix sin t.4 - 1: Montrer que fx est développable en série de Fourier sur R.4 - 2: Calculer les coefficients de Fourier de fx en fonction des fonctions de Bessel.4 - 3: Donner le développement de f

xen série de Fourier exponentielle et trigonométrique sur R.

5: Montrer que ∀x ∈ R,+∞∑p=−∞

Jp(x) = J0(x) + 2

+∞∑p=1

J2p(x) = 1.

6: Montrer que ∀x ∈ R,+∞∑p=−∞

J2p (x) = J2

0 (x) + 2

+∞∑p=1

J2p (x) = 1.

7: Soient n ∈ N, x ∈ R et on considère la fonction gx

définie sur R par gx(t) = f

x(t)eint.

7 - 1: Calculer les coefficients de Fourier exponentiels de gx en fonction de ceux de fx.7 - 2: En déduire que ∀x, y ∈ R :

Jn(x+ y) =

+∞∑p=−∞

Jn−p(x)Jp(y)

Deuxième partieDéveloppement en série entière des fonctions de Bessel

1: Montrer que ∀n ∈ Z, Jn est de classe C∞ sur R et donner l’expression de J (p)n sur R pour tout p ∈ N.

2: Montrer que ∀n ∈ Z,∀x ∈ R, J ′n(x) = 12 (Jn−1(x)− Jn+1(x)).

3: Montrer que ∀n ∈ Z,∀x ∈ R, xJn+1(x) + xJn−1(x) = 2nJn(x).4: En déduire que ∀n ∈ Z,∀x ∈ R, xJ ′n(x) + nJn(x) = xJn−1(x).5: Montrer que ∀n ∈ N, Jn est développable en série entière sur R.6: Montrer que ∀n ∈ N, Jn est une solution globale de l’équation En.

7: Soit n ∈ N∗. Montrer que pour tout polynôme trigonométriqueP de degré≤ n−1 on a∫2π

sin(nt)P (t)dt =

∫2π

cos(nt)P (t)dt =

0.8: Montrer que ∀n ∈ N∗,∀k ∈ {0, . . . , n− 1}, J (k)

n (0) = 0.

9: Montrer que ∀n ∈ N∗,∀t ∈ R, sinn t =

(−1)n

2

2n−1cosnt+ P (t) si n est pair

(−1)n−12

2n−1sinnt+ P (t) si n est impair

avec P un polynôme trigonométrique

de degré ≤ n− 1 de même parité que n.10: Montrer que ∀n ∈ N, J (n)

n (0) = 12n .

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11: Soit n ∈ N. Montrer qu’il existe une suite (ap)p∈N de réels telle que ∀x ∈ R, Jn(x) = xn+∞∑p=0

apxp.

12: Déterminer le développement en série entière sur R de Jn (n ∈ N).

Troisième partieZéros des fonctions de Bessel

1: Soit n ∈ N.1 - 1: Montrer que Jn se prolonge de façon unique en une fonction holomorphe sur C.1 - 2: En déduire que les zéros de Jn sont isolés.2: Montrer que ∀n ∈ N les zéros de Jn sur ]0,+∞[ sont simples.Dans la suite, soit n ∈ N et on considère la fonction y : x ∈]0,+∞[ 7→ Jn(x)

√x.

3: Montrer que la fonction y est une solution sur ]0,+∞[ de l’équation différentielle y′′(x) +(1− 4n2−1

4x2

)y(x) = 0.

4: On suppose que n = 0 et soit l’application W : x ∈]0,+∞[7→ y(x) cosx− y′(x) sinx.4 - 1: Calculer W ′ sur ]0,+∞[.4 - 2: Montrer que si on suppose que ∃k ∈ N∗ tel que y ne s’annule pas [kπ, (k+1)π] alors l’application f(x) = (−1)ky(kπ)W (x)est croissante sur [kπ, (k + 1)π].4 - 3: Trouver une contradiction et déduire que ∀k ∈ N∗, y s’annule au moins une fois sur [kπ, (k + 1)π].5: On suppose que n 6= 0 et soit l’application W : x ∈ [n,+∞[7→ 1

2ny(x) cosx2n − y

′(x) sin x2n .

5 - 1: Calculer W ′ sur [n,+∞[.5 - 2: Montrer que si on suppose que ∃k ∈ N∗ tel que y ne s’annule pas [2nkπ, 2n(k + 1)π] alors l’application f(x) =(−1)ky(2nkπ)W (x) est croissante sur [2nkπ, 2n(k + 1)π].5 - 3: Trouver une contradiction et déduire que ∀k ∈ N∗, y s’annule au moins une fois sur [2nkπ, 2n(k + 1)π].6: En déduire que Jn admet une infinité de zéros sur ]0,+∞[.7: Montrer que l’ensemble des zéros de Jn sur ]0,+∞[ est dénombrable (On peux alors numéroter les zéros de Jn).8: On pose (xk)k∈N la suite strictement croissante des zéros strictement positifs de Jn. Montrer que limxk = +∞9: Montrer que ∀n ∈ Z,∀x ∈ R, (xnJn(x))′ = xnJn−1(x).10: En déduire que, pour tout n ∈ N∗, entre deux raçines strictement positifs de Jn il y a une raçine de Jn−1 (On dit que lesraçines de Jn et Jn−1 sont entrelacées).

Quatrième partieFonctions de Bessel de seconde espèce

Soit n ∈ N.1: Montrer que ∃a > 0 tel que Jn ne s’annule pas sur ]0, a].2: Montrer que y est solution de En sur ]0, a] si et seulement si la dérivée de l’application ϕ(x) = y(x)

Jn(x)est solution sur ]0, a]

d’une équation différentielle du premier ordre à déterminer.3: Soit y une solution de En sur ]0, a] et ϕ(x) = y(x)

Jn(x). Montrer que ∀x ∈]0, a],

(xJ2

n(x)ϕ′(x)

)′= 0.

4: Trouver un équivalent simple de∫ a

x

dt

tJ2n(t)

.

5: En déduire l’existence d’une solution y de En sur ]0, a] telle que limx→0+

y(x) = +∞.

6: Montrer que l’équation différentielle En admet une solution Nn sur ]0,+∞[ telle que limx→0+

Nn(x) = +∞.

Nn s’appelle fonction de Bessel de seconde espèce d’ordre n.7: Donner la forme générale des solutions globales de En sur ]0,+∞[.8: Soient a, b ∈]0,+∞[ deux zéros consécutifs de Jn.8 - 1: Montrer que J ′n(a)J

′n(b) < 0.

8 - 2: Montrer que W (a)W (b) = Nn(a)Nn(b)J′n(a)J

′n(b) avec W le Wronskien de Jn et Nn.

8 - 3: Montrer que ∃!c ∈]a, b[, Nn(c) = 0 et en déduire que Nn admet une infinité de zéros.9: Montrer que Jn et Nn n’ont pas de zéros communs sur ]0,+∞[.

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