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André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Fonction puissanceet modélisation

Fonction puissanceet modélisation

Introduction

On peut, à partir de la forme obtenue en représentant graphiquement des données expérimentales, faire l’hypothèse d’une variation directement proportionnelle au carré, d’une variation inversement proportionnelle ou inversement proportionnelle au carré.

Pour confirmer une telle hypothèse, il faut appliquer un critère algébrique qui nous permet également de déterminer la constante de proportionnalité.

C’est la procédure que nous étudierons maintenant, mais rappelons

tout d’abord les caractéristiques de ces variations.

Lien directement proportionnel au carré

Pour modéliser des données expérimentales, on peut faire l’hypothèse d’un lien directement proportionnel au carré entre les variables lorsque les conditions suivantes sont satisfaites :

Un lien directement proportionnel au carré est de la forme :

y

x

On peut donc confirmer ou infirmer l’hypothèse, en calculant le quotient de chaque valeur de la variable dépendante sur le carré de la valeur correspondante de la variable indépendante. L’hypothèse est confirmée lorsque ces quotients sont relativement constants, la valeur moyenne de ces quotients est la constante a.

• la variable dépendante est nulle lorsque la variable indépendante est nulle;

• la représentation graphique des données expérimentales donne une courbe croissante et concave vers le haut.

y = ax2, d’oùy x2 = a, si x ≠ 0 et y = 0 lorsque x = 0.

Lien inversement proportionnelPour modéliser des données expérimentales, on peut faire l’hypothèse d’un lien inversement proportionnel entre les variables lorsque les conditions suivantes sont satisfaites :

Un lien inversement proportionnel est de la forme :

On peut donc confirmer ou infirmer l’hypothèse, en calculant le produit des valeurs correspondantes des deux variables. L’hypothèse est confirmée lorsque ces produits sont relativement constants, la valeur moyenne de ces produits est la constante a.

• la relation n’est pas définie lorsque la variable indépendante est nulle;

• la représentation graphique des données expérimentales donne une courbe décroissante et concave vers le haut.

y = a x , d’où l’on tire yx = a

y

x

Lien inversement proportionnel au carré

Pour modéliser des données expérimentales, on peut faire l’hypothèse d’un lien inversement proportionnel au carré entre les variables lorsque les conditions suivantes sont satisfaites :

Un lien inversement proportionnel est de la forme :

On peut donc confirmer ou infirmer l’hypothèse, en calculant le produit des valeurs correspondantes de la variable dépendante et du carré de la variable indépendante. L’hypothèse est confirmée lorsque ces produits sont relativement constants, la valeur moyenne de ces produits est la constante a.

• la relation n’est pas définie lorsque la variable indépendante est nulle;

• la représentation graphique des données expérimentales donne une courbe décroissante et concave vers le haut.

y = a x2 , d’où l’on tire yx2 = a

y

x

Exemple 3.3.1On a relevé expérimentalement les correspon-dances ci-contre.

Déterminer un modèle mathématique décrivant la correspondance entre les variables.

S

Représentons graphiquement les données.

La relation est définie à x = 0 et la valeur correspondante est y = 0.

Calculons les quotients pour tester notre hypothèse.

SS

0

4

6

11

15

20

24

27

0,0

2,3

9,0

16,9

32,0

56,2

80,4

102,4

x y

–

0,14375

0,14063

0,13967

0,14222

0,14050

0,13958

0,14047

y/x2

y

120

80

40

x8 16 24

La représentation graphique donne une courbe croissante et concave vers le haut. On peut donc faire l’hypothèse d’un lien directement proportionnel au carré.

Les quotients sont relativement constants et la valeur moyenne est a = 0,14097.

Le modèle mathématique est :

y = 0,14097x2

À l’aide du modèle, déterminer la valeur correspondante lorsque la variable indépendante prend la valeur 13.

Si x = 13, on trouve alors en substituant dans la relation :

y = 0,1409

Compte tenu de la précision des données, on retiendra 24 comme valeur de la variable dépendante.

Conclusion

Exemple 3.3.2On a relevé expérimentalement les corres-pondances ci-contre.

Déterminer un modèle mathématique décrivant la correspondance entre les variables.

S

Représentons graphiquement les données.

La relation ne semble pas définie à x = 0.

Calculons les produits pour tester notre hypothèse.

SS

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

9,62

2,41

1,07

0,60

0,38

0,27

0,20

x y

3,848

1,928

1,284

0,960

0,760

0,648

0,560

yx

y

12

8

4

x0,8 1,6 2,4

La représentation graphique donne une courbe décroissante et concave vers le haut.

On peut donc faire l’hypothèse d’un lien inversement proportionnel.

Les produits ne sont pas constants, ce qui infirme l’hypothèse.

À l’aide du modèle, déterminer la valeur correspondante lorsque la variable indépen-dante prend la valeur 1,4.

1,539

1,542

1,541

1,536

1,520

1,555

1,568

yx2

Faisons maintenant l’hypothèse que le lien est inversement proportionnel au carré et vérifions celle-ci par les produits yx2.

Les produits sont relativement constants et la valeur moyenne est 1,543.

Le modèle mathématique est :

y = 1,543

x2

S

Si x = 1,4, on trouve alors en substituant dans la relation :

Compte tenu de la précision des données, on retiendra 0,79 comme valeur de la variable dépendante.

Conclusion

1,543

y = = 0,787244...

Exemple 3.3.3On a relevé expérimentalement les correspon-dances ci-contre.

Déterminer un modèle mathématique décrivant la correspondance entre les variables.

S

Représentons graphiquement les données.

La relation est définie à x = 0 et la valeur correspondante est y = 0.

Cependant, nous ne sommes pas en mesure de confirmer ou d’infirmer cette hypothèse car nous ne disposons pas de critère algébrique pour le faire.

0,0

3,2

5,5

7,3

9,2

11,4

12,7

13,8

0,0

4,3

5,7

6,6

7,4

8,2

8,7

9,0

x y

y

12

8

4

x4 8 12

La représentation graphique donne une courbe croissante et concave vers le bas. On peut donc faire l’hypothèse d’un lien de puissance y = axb, où 0 < b < 1.

Pour déterminer un modèle décrivant ces données, il faut avoir recours à la régression.

Conclusion

Il existe des critères algébriques simples permettant de confirmer algébriquement l’hypothèse d’une relation de la forme :

y = axb pour b {–2; –1; 1; 2

Cependant, lorsque l’exposant est différent des valeurs de cet ensemble, il n’existe pas de critère simple. Il faut alors avoir recours à la méthode de régression que nous verrons dans la présentation intitulée Régression logarithmique.

La représentation graphique de données expérimentales suggère une ou des hypothèses quant au lien entre les variables. Pour confirmer ou infirmer ces hypothèses, il faut avoir recours à un critère algébrique.

Exercices

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 3.4, p. 85 à 86.

Lecture

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 3.3, p. 80 à 84.