Fonction en escalier

Les fonctions en escaliers sont des fonctions constantes par morceaux.

Elles servent à représenter des situations dans lesquelles la variable dépendante reste constante pendant une certaine variation de la variable indépendante.

On les appelle ainsi à cause de leur forme ressemblant à un escalier.

Chacune des sections pouvant être comparée à une marche.

Le coût d’utilisation d’un téléphone cellulaire variant selon la durée de l’appel.

La première minute coûte 1,00$ et les minutes supplémentaires coûtent 0,50$ la minute.

Temps ( min )

Coût ( $ )

Coût d’utilisation d’un téléphone cellulaire

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

4,504,003,503,002,502,001,501,000,50

Qu’on utilise le téléphone pendant 10 secondes, 30 secondes, 40 secondes, 50 secondes ou 60 secondes, le coût est toujours 1,00$.

De 61 secondes jusqu’à deux minutes, le coût passe subitement à 1,50$.

Exemple

Le taux d’imposition payé au gouvernement est une fonction en escalier.

Toutes les personnes gagnant entre 1,00$ et 29 590$  paient 17 % de leur salaire en impôt.

Toutes les personnes gagnant entre 29 950,01$ et 59 180$  paient 26% de leur salaire en impôt.

Toutes les personnes gagnant au-dessus de 59 180$  paient 29 % de leur salaire en impôt.

Exemple

Les échelons de classement des travailleurs dans leur corps de métier est une fonction en escalier.

Exemple

Regardons quelques aspects de cette fonction.

Utilisons l’exemple suivant pour illustrer les explications.

Une entreprise de location d’outils affiche à son comptoir la tarification suivante pour la location d’un couteau à céramique:

Coût de location d’un couteau à céramique

Heures

Coût ($)

10

20

30

40

50

1 2 3 4 65 7Voici le graphique représentant cette table de valeurs.

] 0, 1 ] 10

] 1, 2 ] 20

] 2, 4 ] 30

] 4, 7 ] 35

Durée de location (h) Frais de location ($)

Coût de location d’un couteau à céramique

] 0, 1 ] 10

] 1, 2 ] 20

] 2, 4 ] 30

] 4, 7 ] 35

Durée de location (h) Frais de location ($)

x y

La variable indépendante ( x ) représente la durée de location .

La variable dépendante ( y ) représente le coût de location.

Le premier intervalle de la variable indépendante ] 0, 1 ] correspond à 60 minutes.

Un client voulant louer ce couteau à céramique paiera 10,00$; qu’il loue le couteau pour 1 minute, 10 minutes, 30 minutes ou 60 minutes, il paiera 10,00$.

Dans cet intervalle, la variable indépendante ( x ) varie mais la variable dépendante ( y ) ne varie pas.

] 0, 1 ] 10

] 1, 2 ] 20

] 2, 4 ] 30

] 4, 7 ] 35

Durée de location (h) Frais de location ($)

x y

Dans l’intervalle ] 0, 1 ],

ce crochet est ouvert pour exclure 0 puisque qu’à 0 minute, il n’y a pas de frais de location; à partir de 1 seconde, le tarif sera de 10,00$.

Ce crochet est fermé pour inclure 1 car jusqu’à concurrence de 1 heure, le tarif sera le même.

Dans l’intervalle ] 1, 2 ],

ce crochet est ouvert pour exclure le 1 ( le 1 faisant parti de l’autre intervalle ); à partir de 1 heure et 1 seconde, le tarif sera de 20,00$.

Ce crochet est fermé pour inclure 2 car jusqu’à concurrence de 2 heures, le tarif sera le même.

Et, ainsi de suite.

] 0, 1 ] 10

] 1, 2 ] 20

] 2, 4 ] 30

] 4, 7 ] 35

Durée de location (h) Frais de location ($)

x y

Sur le segment,

la borne est vide car le crochet est ouvert;0 est exclus.

À l’autre extrémité du segment,

la borne est pleine car le crochet est fermé;1 est inclus.

Attention:

Selon les situations à représenter, les bornes peuvent être disposées autrement.

ou

Il faut lire attentivement la mise en situation pour bien représenter les informations.

Coût de location d’un couteau à céramique

Heures

Coût ($)

10

20

30

40

50

1 2 3 4 65 7

Exemples:

Ici, la borne est vide, car si tu ne gagnes pas d’argent, tu ne paies pas d’impôt.

Ici, la borne est pleine car à 29 590$, tu paies encore 17% de ton salaire.

Ici, la borne est pleine, car dès l’engagement, le travailleur est classé échelon 0.

Ici, la borne est vide, car dès le début de la deuxième année, il est classé échelon 1.

Sur un même intervalle, la variable indépendante varie mais la variable dépendante est constante.

Exemple: Entre 2 heures et 4 heures; le coût est constant, soit 30,00$.

Coût de location d’un couteau à céramique

Heures

Coût ($)

10

20

30

40

50

1 2 3 4 65 7

Les valeurs de la variable indépendante pour lesquelles la fonction varie subitement,

Coût de location d’un couteau à céramique

Heures

Coût ($)

10

20

30

40

50

1 2 3 4 65 7

sont appelées valeurs critiques.

Ici, les valeurs critiques sont { 1 , 2 , 4 }.

Fonction en escalier 

Fonction qui est constante sur des intervalles de la variable indépendante et qui change brusquement pour certaines valeurs de cette variable indépendante. Ces dernières sont appelées valeurs critiques.

Le graphique cartésien est formé de segments ou paliers horizontaux, habituellement fermés à une extrémité et ouverts à l’autre.

Comme la courbe ne peut être tracée sans lever le crayon, on dit que la fonction est discontinue.