f. bruneau • m. cavelier • c. delacour • e. jahier c ... · impédance 15 – synthèse et...

F. Bruneau • M. Cavelier • C. Delacour • E. Jahier C. Jorssen • Y. Lozier • M. Marchand-Hartog • Ph. Ribière

PHYSIQUECHIMIE

PSI/PSI*

VUIBERT

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Vrai/fauxPremière étape vers l’entraînement, des vrais/faux sont proposés pour permettre detester rapidement la compréhension du cours.

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III

Table des matières

I. Électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chapitre 1. Puissance électrique en régime sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Association de dipôles 3 – 2. Facteur de puissance 9 – 3. Puissance moyenne reçue par uneimpédance 15 – Synthèse et méthodes 17 – Exercices 18 – Corrigés 23

Chapitre 2. Stabilité des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1. Caractérisation des systèmes linéaires 30 – 2. Passage temporel↔ fréquentiel 37 – 3. Stabi-lité 44 – Synthèse et méthodes 48 – Exercices 49 – Corrigés 58

Chapitre 3. Rétroaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1. Présentation de l’ALI 74 – 2. Exemples de montages linéaires 79 – 3. Association en cascadede deux blocs 89 – Synthèse et méthodes 91 – Exercices 92 – Corrigés 97

Chapitre 4. ALI en régime non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1. Comparateur simple 107 – 2. Comparateurs à hystérésis 109 – 3. Oscillateur de relaxation 114 –4. Oscillateur quasi-sinusoïdal 118 – Synthèse et méthodes 126 – Exercices 128 – Corrigés 135

Chapitre 5. Électronique numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1. Principe de la conversion analogique-numérique. 147 – 2. Restitution d’un signal analogique àpartir du signal échantillonné 152 – 3. Filtrage numérique 158 – 4. Oscillateur à porte logique 161– Synthèse et méthodes 165 – Exercices 166 – Corrigés 171

Chapitre 6. Modulation et démodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

1. Transmission d’un signal codant une information 175 – 2. Modulation d’amplitude 179 –3. Modulation de fréquence 183 – 4. Démodulation synchrone d’un signal modulé en ampli-tude 184 – Synthèse et méthodes 187 – Exercices 188 – Corrigés 192

II. Phénomènes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Chapitre 7. La diffusion thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

1. Transfert thermique 201 – 2. Équation de la diffusion thermique 203 – 3. Application dela diffusion 208 – 4. Onde thermique 213 – Synthèse et méthodes 216 – Exercices 217 –Corrigés 226

Chapitre 8. La diffusion de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

1. Approche du phénomène 239 – 2. Équation de la diffusion 240 – 3. Cas particuliers 244 –Synthèse et méthodes 246 – Exercices 247 – Corrigés 252

IV

Table des matières

III. Mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Chapitre 9. Cinématique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

1. Étude des fluides 265 – 2. Conservation de la matière 270 – Synthèse et méthodes 278 –Exercices 279 – Corrigés 282

Chapitre 10. Actions de contact dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

1. Introduction sur un exemple modèle 287 – 2. Description de l’écoulement au voisinaged’un obstacle 289 – 3. Étude du cas particulier de la statique des fluides 292 – Synthèse etméthodes 300 – Exercices 301 – Corrigés 305

Chapitre 11. Nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

1. Écoulements laminaire, turbulent - Nombre de Reynolds 320 – 2. Pertes de charge régulières— Résistance hydraulique 328 – 3. Écoulement externe autour d’un obstacle : forces de traînéeet de portance - notion de couche limite 334 – Synthèse et méthodes 345 – Exercices 347 –Corrigés 354

Chapitre 12. Bilans macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

1. Bilans thermodynamiques 363 – 2. Bilans d’énergie mécanique 367 – 3. Bilans cinétiques 378– Synthèse et méthodes 384 – Exercices 385 – Corrigés 396

IV. Électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Chapitre 13. Champ électrique en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

1. Le champ électrique 409 – 2. Potentiel scalaire électrique 411 – 3. Théorème de Gauss 414– 4. Propriétés topographiques 414 – 5. « Symétries » du champ électrique 418 – 6. Calculs dechamps électrostatiques et de potentiels électriques 425 – 7. Condensateur plan 431 – 8. Champgravitationnel 433 – Synthèse et méthodes 435 – Exercices 436 – Corrigés 441

Chapitre 14. Transport de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

1. Les charges électriques 449 – 2. Le courant électrique 450 – 3. Équation de conservation dela charge 452 – 4. Courant dans les conducteurs ohmiques 455 – Synthèse et méthodes 467 –Exercices 469 – Corrigés 475

Chapitre 15. Champ magnétique en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

1. Le champ magnétique 483 – 2. Conservation du flux magnétique 484 – 3. Théorème d’Am-père 485 – 4. « Symétries » du champ magnétique 486 – 5. Champs magnétiques engendrés parquelques distributions modèles 488 – 6. Actions de Laplace 494 – Synthèse et méthodes 499 –Exercices 500 – Corrigés 504

Chapitre 16. Électromagnétisme dans l’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

1. Courant de déplacement 511 – 2. ARQS magnétique 512 – 3. Induction 513 – 4. Courants deFoucault 521 – Synthèse et méthodes 524 – Exercices 525 – Corrigés 529

V

Table des matières

Chapitre 17. Milieux ferromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

1. Le modèle du dipôle magnétique 535 – 2. Description mésoscopique d’un milieu magné-tique 537 – 3. Équation de Maxwell-Ampère dans un milieu magnétique 538 – 4. Classificationdes milieux magnétiques 540 – 5. Circuit magnétique 543 – 6. Exemples de circuits magné-tiques 543 – Synthèse et méthodes 552 – Exercices 554 – Corrigés 560

V. Conversion de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

Chapitre 18. Transformateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

1. Description d’un transformateur monophasé 569 – 2. Modèle du transformateur mono-phasé idéal 569 – 3. Approche électromagnétique 570 – 4. Approche électrocinétique 573 –5. Quelques applications des transformateurs 575 – Synthèse et méthodes 580 – Exercices 581– Corrigés 585

Chapitre 19. Contacteur électromagnétique en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

1. Électroaimant de levage 589 – 2. Expression de la force électromagnétique 590 – 3. Application :fonctionnement d’un relais 594 – Synthèse et méthodes 595 – Exercices 596 – Corrigés 598

Chapitre 20. Machine synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

1. Effet moteur d’un champ magnétique tournant 603 – 2. Machine synchrone à pôles lissesdiphasée bipolaire à excitation séparée 605 – 3. Champ magnétique engendré dans l’entrefer parun des enroulements 606 – 4. Champs magnétiques dans l’entrefer de la machine synchrone 608– 5. Énergie et couple 610 – 6. Condition de synchronisme 611 – 7. Modélisation électrociné-tique 612 – 8. Conversion réversible de l’énergie 614 – 9. Et si la condition de synchronismen’est pas satisfaite ? 616 – Synthèse et méthodes 618 – Exercices 620 – Corrigés 625

Chapitre 21. Machine à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

1. Moteur à courant continu à entrefer plan 633 – 2. Machine à courant continu à pôles lissesbipolaire à excitation séparée 636 – 3. Analogie avec la machine synchrone 637 – 4. Modélisationélectrocinétique 641 – 5. Conversion électro-magnéto-mécanique 642 – 6. Comportementélectro-mécanique 643 – 7. Réversibilité 645 – Synthèse et méthodes 646 – Exercices 647 –Corrigés 652

Chapitre 22. Conversion électronique statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

1. Structure d’un convertisseur électronique de puissance 659 – 2. Interrupteurs électroniques 660– 3. Dipôles de type « source idéale » 662 – 4. Dipôles en régime commuté permanent : lissage 663– 5. Hacheur 667 – 6. Redressement double alternance 670 – 7. Onduleur 673 – Synthèse etméthodes 676 – Exercices 678 – Corrigés 684

VI. Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689

Chapitre 23. Propagation unidimensionnelle, équation de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . 691

1. Équation de propagation pour la corde vibrante 692 – 2. Ondes progressives : régime librepour une corde infinie 699 – 3. Ondes stationnaires : régime libre pour une corde finie 704 –

VI

Table des matières

4. Modes propres d’une corde fixée aux deux extrémités 708 – 5. Propagation dans un câblecoaxial 713 – Synthèse et méthodes 726 – Exercices 728 – Corrigés 734

Chapitre 24. Ondes sonores dans les fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743

1. Approximation acoustique 743 – 2. Équation de propagation 749 – 3. Célérité des ondessonores 752 – 4. Ondes acoustiques planes progressives monochromatiques 754 – 5. Énergieacoustique 763 – 6. Ondes sphériques 768 – 7. Effet Doppler 771 – Synthèse et méthodes 776– Exercices 778 – Corrigés 782

Chapitre 25. Ondes électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

1. Introduction - spectre électromagnétique 790 – 2. Équations de propagation pour le champélectromagnétique 791 – 3. Étude des ondes électromagnétiques planes progressives monochro-matiques 796 – 4. Énergie électromagnétique 800 – Synthèse et méthodes 808 – Exercices 810– Corrigés 813

Chapitre 26. Dispersion et absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821

1. Introduction aux phénomènes de dispersion et absorption 821 – 2. Effet de la dispersion :propagation d’un paquet d’ondes 827 – 3. Effet de peau dans un conducteur ohmique 835– 4. Propagation dans un plasma dilué 840 – Synthèse et méthodes 851 – Exercices 852 –Corrigés 858

Chapitre 27. Réflexion et transmission d’ondes sur un dioptre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869

1. Réflexion/transmission d’onde sonore 869 – 2. Réflexion d’une onde électromagnétique surun conducteur parfait 881 – Synthèse et méthodes 889 – Exercices 891 – Corrigés 896

VII. Thermochimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903

Chapitre 28. Application du premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905

1. Premier principe de la thermodynamique 905 – 2. La fonction enthalpie 909 – 3. Effetsthermiques d’une transformation isobare 915 – Synthèse et méthodes 921 – Exercices 922 –Corrigés 927

Chapitre 29. Second principe : potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935

1. Les fonctions thermodynamiques 935 – 2. Potentiel chimique 938 – 3. Présentation duphénomène 943 – 4. Application et utilisation du phénomène 945 – Synthèse et méthodes 947– Exercices 948 – Corrigés 951

Chapitre 30. Équilibre chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957

1. Grandeurs chimiques de réaction 957 – 2. Équilibre chimique d’un système en réaction 961 –Synthèse et méthodes 969 – Exercices 971 – Corrigés 975

Chapitre 31. Optimisation d’un procédé chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985

1. Variance 985 – 2. Optimisation 991 – 3. Présentation générale 995 – 4. Fabrication indus-trielle 997 – Synthèse et méthodes 1001 – Exercices 1002 – Corrigés 1007

VII

Table des matières

Chapitre 32. Systèmes binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1015

1. Généralités 1015 – 2. Équilibre solide-liquide avec miscibilité totale 1016 – 3. Équilibresolide-liquide avec miscibilité nulle 1021 – Synthèse et méthodes 1024 – Exercices 1025 –Corrigés 1029

VIII. Électrochimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035

Chapitre 33. Courbes intensité-potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037

1. Étude cinétique des réactions électrochimiques 1037 – 2. Lecture des courbes et informationsà recueillir 1040 – Synthèse et méthodes 1044 – Exercices 1045 – Corrigés 1050

Chapitre 34. Électrochimie et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057

1. Phénomène de corrosion humide 1057 – 2. Conversion d’énergie et stockage 1064 – 3. Histo-rique 1070 – 4. Accumulateur au plomb 1071 – 5. Accumulateur nickel-hydrure métallique 1071– 6. Accumulateur lithium-ion 1072 – Synthèse et méthodes 1074 – Exercices 1075 – Corri-gés 1083

Annexe - Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1091

1. L’opérateur gradient 1091 – 2. L’opérateur divergence 1092 – 3. L’opérateur rotationnel 1093– 4. Combinaison d’opérateurs 1093

VIII

Remerciements

Les auteurs souhaitent particulièrement remercier leur famille pour leur soutien sans failleau cours des longues heures de travail passées à l’élaboration de ce livre, les techniciens delaboratoire qui ont toujours répondu présent lorsqu’il s’agissait de réaliser des expériences,aux protocoles parfois exotiques, servant d’illustrations (en particulier Jean-François Dondonpour les photos de la partie ondes) et enfin les collègues et parents qui ont accepté de relire,souvent en des temps records, les épreuves et qui ont permis, par leurs remarques, d’améliorerconsidérablement la qualité de ce que le lecteur trouvera dans ces pages.

Un grand merci à Christophe Jorssen pour son expertise technique, sa maîtrise des arcanes deLATEX.

Nous tenons également à remercier les éditions Vuibert pour la confiance qu’ils nous ontaccordée, en particulier à Aurélie Farfarana pour la qualité de son accueil et le suivi de ce projet.Merci à Sébastien Mengin pour sa patience et sa disponibilité.

Merci enfin à ceux qui nous ont gracieusement permis d’utiliser des documents qu’ils ontproduits.

Nous accueillerons avec reconnaissance toutes les remarques pour les erreurs qui subsiste-raient dans cet ouvrage, à l’adresse suivante :

[email protected]

Les auteurs

IX

Première partie

ÉLECTRONIQUE

Chapitre 1Puissance électrique en régime sinusoïdal 3

Chapitre 2Stabilité des systèmes linéaires 29

Chapitre 3Rétroaction 73

Chapitre 4ALI en régime non linéaire 107

Chapitre 5Électronique numérique 147

Chapitre 6Modulation et démodulation 175

COURS

1Chapitre

Puissance électrique enrégime sinusoïdal

Dans la plupart des réseaux de transports d’électricité, l’énergie électrique est distribuée àl’aide d’un courant sinusoïdal et d’une tension sinusoïdale, variant à une fréquence de 50 Hz ou60 Hz selon les pays.

L’analyse de Fourier indique qu’un signal périodique quelconque peut s’écrire comme unesomme de signaux sinusoïdaux, ainsi l’étude du comportement d’un système linéaire en régimesinusoïdal forcé permet d’en déduire le comportement en régime périodique quelconque parcombinaison linéaire.

Ce chapitre présente quelques résultats concernant la puissance électrique reçue par un dipôleen régime sinusoïdal forcé et en régime périodique quelconque après avoir rappelé les notionsrelatives à un dipôle électrique en régime sinusoïdal forcé et les règles d’association de dipôles.

1. Association de dipôles

1.1. Intensité et tension pour un dipôle

•A

dipôle •B

i

u =VA −VB

Figure 1.1. Schéma d’un dipôle

Définition 1.1. Dipôle électrique

Un dipôle électrique est un composant pouvant être connecté à d’autres éléments viadeux bornes de connexion (notées A et B sur la figure 1.1).

3

Partie 1 – Électronique

Définition 1.2. Intensité du courant électrique

L’intensité du courant électrique i qui traverse un dipôle est définie en un point du filconstituant la borne de connexion et à travers la section Sfil orientée dans le même sensque l’intensité i . L’intensité du courant électrique à l’instant t notée i (t ) est obtenue encomptabilisant algébriquement le nombre de chargesδq qui traverse la section Sfil pendantune durée élémentaire dt : ce sont les charges qui traversent Sfil entre les instants t et t +dt .Les charges (algébriques) sont comptées positivement si elles traversent Sfil dans le senspositif, négativement sinon. L’intensité du courant électrique à l’instant t est alors :

i (t ) =δq

dt.

L’intensité du courant électrique est une grandeur algébrique (c’est à dire qui peut prendredes valeurs positives ou négatives) qui s’exprime en ampères (A).

Remarque

Les charges négatives qui traversent la section Sfil dans le sens négatif ont une contributionpositive au courant. Autrement dit, les charges négatives se déplacent dans le sens inversedu courant positif.

Dans le cadre de l’ARQS (Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires), l’intensité i (t ) estla même en tout point des deux fils de connexion de part et d’autre du dipôle.

Définition 1.3. Tension entre les deux bornes d’un dipôle

La tension u (t ) entre les deux bornes du dipôle est la différence des potentiels des deuxbornes de connexion du dipôle u (t ) =VA(t )−VB (t ). Le signe de la différence de potentielsdépend du sens de la flèche de tension.

La tension est une grandeur algébrique qui s’exprime en volts (V).

La différence de potentiels aux bornes d’un fil de connexion est nulle : tous les points reliéspar des fils de connexion sont au même potentiel.

Le potentiel électrique en un point M de l’espace et à l’instant t noté V (M , t ) est relié àl’énergie potentielle électrique notée Ep ,él (c’est-à-dire l’énergie potentielle associée à la forcede Lorentz électrique) d’une charge q0 située au point M à l’instant t par la relation Ep ,él =q0V (M , t ). Comme l’énergie potentielle, le potentiel électrique est défini à une constante près.Cette constante peut être déterminée en imposant l’origine des potentiels en un point donné ;en électricité cela revient à imposer une masse au circuit électrique.

Définition 1.4. Convention générateur et récepteur

Lorsque les flèches de l’intensité et de la tension sont dans le même sens, le dipôle estdit en convention générateur. En revanche lorsqu’elles sont en sens opposés comme sur leschéma de la figure ??, le dipôle est en convention récepteur.

4

Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal

COURS1.2. Lois de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff permettent de relier les différentes intensités et les différentes tensionsintervenant dans un circuit électrique contenant plusieurs dipôles reliés.

Un nœud est un point de connexion du circuit électrique relié à un ou plusieurs dipôles. Unebranche est une portion du circuit électrique située entre deux nœuds consécutifs. Une mailleest un ensemble de branches distinctes d’un circuit électrique constituant une boucle fermée(et permettant ainsi de revenir au nœud de départ en passant une seule fois par chaque nœud) :une maille peut être parcourue dans un sens ou dans un autre, elle est alors orientée.

Loi 1.1. Loi des nœuds

La somme algébrique des intensités électriques arrivant en un nœud est égale à zéro.∑εk ik = 0 avec εk = +1 si l’intensité ik est orientée vers le nœud considéré et εk = −1

sinon.

Loi 1.2. Loi des mailles

La somme algébrique des tensions électriques le long d’une maille est égale à zéro.∑εk uk = 0 avec εk =+1 si la flèche de la tension uk est dans le même sens que le sens de

parcours de la maille et εk =−1 sinon.

1.3. Dipôle électrique en régime sinusoïdal

1.3.1. Impédance et admittance complexe

Lorsqu’un dipôle linéaire est en régime sinusoïdal forcé, l’intensité du courant i (t ) qui letraverse et la tension à ses bornes u (t ) sont sinusoïdales. En notantω la pulsation des signaux,ils peuvent s’écrire :

u (t ) =U0 cos(ωt +ϕu ) et i (t ) = I0 cos(ωt +ϕi ).

Les fonctions complexes associées à ces grandeurs sinusoïdales sont respectivement :

u (t ) =U0 exp j (ωt +ϕu ) et i (t ) = I0 exp j (ωt +ϕi ),

où j est le nombre complexe tel que j 2 =−1.

Souvent, la dépendance temporelle de ces fonctions complexes n’est pas précisée et la notationusuelle est plutôt u et i .

Définition 1.5. Impédance et admittance complexe

L’impédance complexe associée au dipôle notée Z est par définition Z =u

i, elle dépend

a priori de la pulsationω.

L’admittance complexe associée au dipôle notée Y est l’inverse de l’impédance complexe

Y =1

Z.

5


1.3.2. Dipôles linéaires fondamentaux : conducteur ohmique, condensateur idéal,bobine idéale

La relation courant-tension uR (t ) = R iR (t ) (loi d’Ohm) pour un conducteur ohmique derésistance R en convention récepteur comme sur la figure 1.2 devient en notation complexe

uR =R iR , ainsi ZR =1

YR=R .

RiR (t )

uR (t )

Figure 1.2. Conducteur oh-mique en convention récep-

teur.

CiC (t )

uC (t )

Figure 1.3. Condensateur enconvention récepteur.

iL (t )

uL (t )

L

Figure 1.4. Bobine idéale enconvention récepteur.

La relation courant-tension iC (t ) = Cd uC (t )

d tpour un condensateur idéal de capacité C en

convention récepteur comme sur la figure ?? devient en notation complexe iC = j CωuC , ainsi

YC =1

ZC= j Cω.

La relation courant-tension uL (t ) = Ld iL (t )

d tpour une bobine idéale d’inductance L en

convention récepteur comme sur la figure 1.4 devient en notation complexe uL = j LωiL , ainsi

ZL =1

YL= j Lω.

1.4. Dipôles en série et diviseur de tension

Des dipôles sont en série lorsqu’ils sont dans une même branche du circuit électrique et qu’ilssont parcourus par la même intensité du courant électrique.

1.4.1. Impédance équivalente à un ensemble de dipôles en série

Considérons N dipôles d’impédances Z1, Z2, .... ZN en série comme sur la figure 1.5 constituantune branche aux bornes de laquelle la tension est égale à u . Les dipôles sont numérotés à l’aided’un indice k variant de 1 à N : l’impédance du dipôle numéro k est notée Zk et la tension auxbornes du dipôle numéro k est notée uk .

Par définition de la tension u =N∑

k=1

uk et par définition des impédances complexes uk = Zk i , on

en déduit u =

N∑

k=1

Zk

i = Zéqi (en factorisant par i ), ce qui donne l’expression de l’impédance

6


COURSéquivalente d’un ensemble de dipôle en série Zéq =

N∑k=1

Zk .

Propriété 1.3. Dipôles en série

L’impédance équivalente d’un ensemble de dipôles en série est la somme des impédances

de chaque dipôle Zéq =N∑

k=1

Zk .

iZ1

u1

Z2

u2

iZN

uN

u

iZéq

u

Figure 1.5. Dipôle équivalent à un ensemble de dipôles en série.

1.4.2. Diviseur de tension

Lorsque deux dipôles sont en série, parcourus par la même intensité du courant électrique icomme sur la figure 1.6, la tension s s’exprime à l’aide de la tension e et des deux impédancesZ1 et Z2 (qui peuvent être des impédances équivalentes à un ensemble de dipôles associés ensérie ou en dérivation).

En effet, par définition des impédances complexes e = (Z1+Z2)i donc i =e

Z1+Z2et s = Z2i ,

on en déduit deux expressions de la formule du pont diviseur de tension :

Propriété 1.4. Formule du pont diviseur de tension

s =Z2

Z1+Z2e =

e

1+Z1Y2

Z2

iZ1

e s =Z2

Z1+Z2e

Figure 1.6. Formule du pont diviseur de tension.

7


Remarque

Cette relation dite du « pont diviseur de tension » est utile pour déterminer la fonction de

transfert notée H définie par H =s

ed’un quadripôle en sortie ouverte (lorsque l’intensité

en sortie du quadripôle est nulle).

1.5. Dipôle en dérivation et diviseur de courant

Des dipôles sont en dérivation lorsqu’ils sont situés entre les deux mêmes nœuds d’un cir-cuit électrique : les différences de potentiels entre leurs deux bornes de connexion sont alorsidentiques, la tension est la même aux bornes des différents dipôles.

1.5.1. Admittance équivalente à un ensemble de dipôles en dérivation

N dipôles d’admittances Y1, Y2, ..,Yk ,.. YN en dérivation comme sur la figure 1.7 sont considérés :la différence de potentiels aux bornes de l’ensemble de ces dipôles est notée u . Les dipôles sontnumérotés à l’aide d’un indice k variant de 1 à N : l’admittance du dipôle numéro k est notée

Yk =1

Zket l’intensité traversant le dipôle numéro k (en convention récepteur) est notée ik .

La loi des nœuds donne i =N∑

k=1

ik et par définition d’une admittance complexe i =

N∑

k=1

Yk

u

(en factorisant par l’intensité commune aux bornes de l’ensemble des N dipôles), on en déduit

i = Yéqu avec Yéq =N∑

k=1

Yk .

Propriété 1.5. Dipôles associés en dérivation

L’admittance équivalente d’un ensemble de dipôles en dérivation est la somme des

admittances de chaque dipôle Yéq =N∑

k=1

Yk ⇔ 1

Zéq=

N∑k=1

1

Zk.

i

Y1 Y2 Yk YN

i1 i2 ik iN

i

u Yéq

i

u

Figure 1.7. Dipôle équivalent à un ensemble de dipôles en dérivation.

8


COURS1.5.2. Diviseur de courant

La tension est notée u aux bornes de deux dipôles associés en dérivation comme sur la figure1.8. L’intensité i2 traversant le deuxième dipôle s’exprime à l’aide de l’intensité i et des deuxadmittances Y1 et Y2 (qui peuvent être des admittances équivalentes à un ensemble de dipôlesassociés en série ou en dérivation).

En effet, d’après la loi des nœuds i = i1 + i2 = (Y1 + Y2)u donc u =i

Y1+Y2et i2 = Y2u , on en

déduit deux expressions de la formule du pont diviseur de courant :

Propriété 1.6. Formule du pont diviseur de courant

i2 =Y2i

Y1+Y2=

i

1+Y1Z2

i

Y1 Y2

i1 i2

i

u

Figure 1.8. Formule du pont diviseur de courant.

2. Facteur de puissance

2.1. Valeur moyenne et valeur efficace

Définition 1.6. Valeur moyene et valeur efficace

Lorsqu’une grandeur s (t ) est périodique de période T =2π

ω, sa valeur moyenne Smoy

également notée ⟨s (t )⟩ est définie par :

∀t0 Smoy = ⟨s (t )⟩= 1

T

∫ t0+T

t0

s (t )d t .

Sa valeur efficace Seff est définie par :

Seff =p⟨s 2(t )⟩.

Remarquons que les résultats ne dépendent pas de l’instant t0 choisi pour le calcul.

La grandeur ⟨s 2(t )⟩ est aussi appelée moyenne quadratique et en anglais la valeur efficace sedit « Root Mean Square » (RMS) pour « racine carrée de la moyenne quadratique ».

9


Exemple (Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal sinusoïdal)

Pour un signal sinusoïdal de la forme s (t ) = A cos(ωt +ϕ), en prenant t0 = 0 et en remar-quant queωT = 2π :

⟨s (t )⟩= 1

T

∫ T

0

A cos(ωt +ϕ)d t =1

T

A sin(ωt +ϕ)

ω

T

0

=A

2π

sin(ωT +ϕ)− sin(ϕ)

=

A

2π

sin(ϕ)− sin(ϕ)

= 0

Calcul de la moyenne quadratique en prenant t0 = 0 et en utilisant la formule de trigono-métrie suivante 2 cos2(x ) = 1+ cos(2x ) pour la linéarisation de A2 cos2(ωt +ϕ) :

⟨s 2(t )⟩= 1

T

∫ T

0

A2 cos2(ωt +ϕ)d t =A2

2T

∫ T

0

1+ cos(2ωt +2ϕ)

d t =

A2

2.

Résultat 1.7. Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal sinusoïdal

La valeur moyenne d’un signal sinusoïdal s (t ) = A cos(ωt +ϕ) est nulle : ⟨s (t )⟩ = 0. Sa

valeur efficace est égale à l’amplitude A divisée parp

2 : Seff =Ap

2.

Application (Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal créneau)

Le signal créneau périodique de période T suivant est considéré :

s (t ) =

E si 0≤ t <T

2,

−E siT

2≤ t < T .

On obtient ⟨s (t )⟩= 0 et ⟨s 2(t )⟩= E 2 donc Seff = E .

Remarque

La valeur moyenne et la valeur efficace d’un signal constant indépendant du temps de laforme s (t ) = S0 sont égales ⟨s (t )⟩= Seff = S0.

Propriété 1.8. Décomposition en série de Fourier d’un signal périodique

Dans le cas d’une fonction périodique s (t ) quelconque de période T =2π

ω0, d’après la

théorie de Fourier, celle-ci peut s’écrire comme la somme (infinie, on parle donc de série)

de fonctions sinusoïdales s (t ) = Smoy+∞∑

k=1

Sk cos(kω0t +ϕk ) où les termes de la série sont :

• pour k = 1 : S1 cos(ω0t +ϕ1) est le fondamental, il oscille avec la même période T =2π

ω0que le signal s (t ) ;

• pour k 6= 1 : Sk cos(kω0t +ϕk ) est l’harmonique de rang k , qui a une pulsation kω0

multiple du fondamental et donc une période2π

kω0.

10


COURSPropriété 1.9. Moyenne quadratique d’un signal périodique quelconque

La moyenne quadratique Seff d’un signal périodique quelconque de période T est lasomme des moyennes quadratiques des signaux sinusoïdaux qui le composent, avec lesnotations utilisées pour la décomposition en série de Fourier :

S 2eff = S 2

moy+∞∑

k=1

S 2k

2;

Remarque

La valeur moyenne est le résultat de la mesure donnée par un multimètre numériquelorsqu’il est utilisé en mode « DC » et la valeur efficace est le résultat de la mesure lorsqu’ilest utilisé en mode « AC+DC » (pour les multimètres de type « True RMS », les multimètresclassiques qui ne sont pas de type « True RMS » affichent uniquement la valeur efficace dela partie alternative en mode « AC ». ).

2.2. Puissance instantanée reçue par un dipôle

Lorsqu’il existe une différence de potentiels u (t ) aux bornes d’un dipôle traversé par un courantd’intensité électrique i (t ) allant de A vers B comme sur la figure ??, il reçoit une puissanceélectrique liée à la variation d’énergie potentielle électrique des charges qui le traversent.

Définition 1.7. Énergie potentielle électrique

L’énergie potentielle électrique d’une charge q0 en un point M de potentiel électriqueV (M ) est la suivante Ep ,él = q0V (M ).

Ainsi, lorsque le dipôle est traversé pendant d t par une quantité de charges δq = i (t )d t allantde A vers B, il reçoit le travail électrique δWél =δq (VA(t )−VB (t )) = i (t )(VA(t )−VB (t ))d t , ce quipermet d’identifier la puissance électrique notée p (t ) reçue par le dipôle δWél = p (t )d t , on endéduit p (t ) = i (t )(VA(t )−VB (t )) = i (t )u (t ).

Propriété 1.10. Puissance électrique reçue par un dipôle

La puissance instantanée reçue par un dipôle en convention récepteur comme sur lafigure 1.9 est égale à p (t ) = u (t )i (t ), et pour un dipôle en convention générateur commesur la figure 1.10 elle est égale à p (t ) =−u (t )i (t ).

dipôlei (t )

u (t )

Figure 1.9. Dipôle en convention récepteur.

dipôlei (t )

u (t )

Figure 1.10. Dipôle en convention générateur.

11


Remarque

La puissance fournie par un dipôle notée pf (t ) est l’opposé de la puissance reçue par ledipôle qu’il soit en convention générateur ou récepteur pf (t ) =−p (t ).

2.3. Puissance moyenne reçue par un dipôle

Le notion de puissance moyenne reçue par un dipôle intervient lorsque le dipôle a un fonction-nement périodique de période T . La puissance moyenne notée P est alors la valeur moyennetemporelle de la puissance instantanée.

Définition 1.8. Puissance moyenne reçue par un dipôle

∀t0, P = ⟨p (t )⟩= 1

T

∫ t0+T

t0

p (t )d t .

Pour un dipôle en régime sinusoïdal forcé et en convention récepteur :

u (t ) =U0 cos(ωt +ϕu ) et i (t ) = I0 cos(ωt +ϕi ).

Calcul de la puissance moyenne reçue par le dipôle en prenant t0 = 0 et en rappelant T =2π

ω

ainsi que la formule de trigonométrie cos(a )cos(b ) =cos(a + b ) + cos(a − b )

2:

P = ⟨u (t )i (t )⟩= 1

T

∫ T

0

u (t )i (t )d t =U0I0

2T

∫ T

0

cos(2ωt +ϕu +ϕi ) + cos(ϕu −ϕi )

d t =

U0I0

2cos(ϕu−ϕi ).

On remarque queU0I0

2=UeffIeff car Ueff =

U0p2

et Ieff =I0p

2.

Définition 1.9. Facteur de puissance

La puissance moyenne reçue par un dipôle en régime sinusoïdal forcé est de la forme :

P =UeffIeff cos(ϕ),

où cos(ϕ) = cos(ϕu −ϕi ) = cos(ϕi −ϕu ) est le cosinus du déphasage entre l’intensité ducourant traversant le dipôle et la tension aux bornes du dipôle.

cos(ϕ) est appelé facteur de puissance.

Au niveau du réseau de distribution de la puissance électrique en France, la tension efficace estfixée à Ueff = 220 V. Pour une intensité efficace donnée, plus le facteur de puissance est élevé, plusla puissance moyenne consommée sera élevée. Ainsi on peut dire que le facteur de puissancecaractérise la possibilité qu’a un dipôle à consommer de la puissance lorsqu’il est traversé parun courant donné. À puissance donnée, plus le facteur de puissance est élevé, plus l’intensitéefficace sera faible ce qui limite les pertes par effet Joule en ligne. Le distributeur d’électricité,qui facture la puissance moyenne consommée et pour lequel les pertes en ligne correspondent àde la puissance perdue non facturée, oblige les consommateurs à avoir un facteur de puissance

12


COURSsupérieur à une valeur minimale. Lorsque les installations ne respectent pas cette condition, ilexiste des techniques permettant de relever le facteur de puissance.

Lorsqu’un dipôle linéaire est soumis à une tension périodique quelconque de période T =2π

ω0,

sa décomposition en série de Fourier est de la forme :

u (t ) =Umoy+N∑

k=1

Uk cos(kω0t +ϕu ,k ).

Par linéarité l’intensité du courant qui traverse le dipôle est de la forme :

i (t ) = Imoy+N∑

k=1

Ik cos(kω0t +ϕi ,k ).

La puissance moyenne reçue par le dipôle est alors la somme des puissances moyennescorrespondant à chaque pulsation contenue dans le spectre en tension :

P =UmoyImoy+N∑

k=1

UK Ik

2cos(ϕu ,k −ϕi ,k ).

Cette puissance moyenne peut également s’exprimer à l’aide des valeurs efficaces Ueff,k =Ukp

2,

Ieff,k =Ikp

2et des facteurs de puissance cos(ϕk ) = cos(ϕu ,k −ϕi ,k ) définis pour chaque pulsation

contenue dans le spectre de la tension u (t ).

Propriété 1.11. Puissance moyenne reçue par un dipôle en régime périodique quelconque

P =UmoyImoy+N∑

k=1

Ueff,k Ieff,k cos(ϕk ).

2.4. Formes de puissance électrique

En électrotechnique (ou en électronique de puissance), une grandeur (tension ou intensité)est dite continue lorsqu’elle est indépendante du temps, c’est-à-dire constante dans le temps ouque sa valeur moyenne est non nulle. Une grandeur (tension ou intensité) est dite alternativelorsque sa valeur moyenne est nulle.

Remarquons que ces définitions n’ont rien en commun avec la continuité au sens mathé-matique du terme (égalité des limites de part et d’autre en chaque valeur de l’ensemble dedéfinition).

Définition 1.10. Puissances continue et alternative en électrotechnique

En régime périodique de période T , une puissance électrique p (t ) = u (t )i (t ) est dite« continue » lorsque ⟨p ⟩ 6= 0, ⟨u⟩ 6= 0 et ⟨i ⟩ 6= 0.

En régime périodique de période T , une puissance électrique est dite « alternative »lorsque ⟨p ⟩ 6= 0, ⟨u⟩= 0 et/ou ⟨i ⟩= 0.

13


2.5. Représentation de Fresnel

La représentation de Fresnel est un outil graphique, qui donne une représentation vectoriellede grandeurs sinusoïdales qui ont toutes la même fréquence. Elles est particulièrement adaptéeà l’étude des associations de dipôles linéaires en régime sinusoïdal forcé.

La représentation de Fresnel consiste à associer à chaque grandeur sinusoïdale un vecteur,selon :

• l’une des grandeurs sinusoïdales (une tension ou un courant) est choisie comme originedes phases, le vecteur correspondant est représenté selon l’axe des abscisses ;

• il existe plusieurs conventions pour la norme associée à chaque vecteur, soit elle corres-pond à l’amplitude de la fonction sinusoïdale, soit elle correspond à sa valeur efficace ;

• les autres vecteurs sont représentés qualitativement en tenant compte de leurs déphasages(algébrique) par rapport à la grandeur choisie comme origine des phases (les angles positifssont représentés dans le sens trigonométrique) ;

• la loi des mailles se traduit graphiquement par des vecteurs associés aux tensions, misbout à bout, pour représenter leurs sommes ;

• de même la loi des nœuds se traduit graphiquement par des vecteurs associés aux intensitésdes courants, mis bout à bout, pour représenter leurs sommes.

Exemple (Déphasage dans un circuit RL)

Dans le circuit R L suivant, l’intensité i (t ) est prise pour origine des phases de la formei (t ) = I0 cos(ωt ), on cherche le déphasage ϕ =ϕu −ϕi de la tension u (t ) =U0 cos(ωt +ϕ)par rapport à l’intensité.

Les vecteurs associés à l’intensité i (t ) et à la tension u (t ) dans le diagramme de Fresnelsont notés respectivement

#»I et

#»U . La convention adoptée est telle que ‖#»

I ‖= I0 et ‖#»U ‖=U0

(les normes des vecteurs sont confondues avec les amplitudes des signaux sinusoïdaux).

On commence par tracer le vecteur#»I . Le vecteur

# »UR associé à la tension uR (t ) =R i (t )

est colinéaire au vecteur#»I car les deux grandeurs sinusoïdales sont en phase.

Le vecteur# »UL associée à la tension uL (t ) = L

di (t )dt

=−L I0ωsin(ωt ) = L I0ωcos(ωt +π

2)

est orthogonal au vecteur#»I car la tension uL (t ) est déphasée de

π

2par rapport à l’intensité

i (t ).

Ri (t )

uR (t )

uL (t )u (t ) L

Figure 1.11. Circuit RL.

#»I

# »UR

# »UL#»

U

ϕ

Figure 1.12. Diagramme de Fresnel corres-pondant au circuit RL.

14


COURSEnsuite la loi des mailles permet d’écrire

#»U comme la somme suivante

#»U =

# »UR +

# »UL et

finalise la représentation du diagramme de Fresnel.

L’exploitation graphique permet alors d’en déduire ‖#»U ‖2 = ‖# »

UR‖2+‖# »UL‖2 = (R 2+(Lω)2)I 2

0

ainsi que le facteur de puissance cos(ϕ) =‖# »UR‖‖#»U ‖ =

RpR 2+ (Lω)2

.

La représentation de Fresnel permet de voir rapidement dans ce circuit R L que le dépha-sage de l’intensité par rapport à la tension est négatif ϕi −ϕu < 0.

Dans un diagramme de Fresnel, en associant la valeur efficace aux normes des différentsvecteurs, la puissance moyenne correspond au produit scalaire des vecteurs associés à l’intensitédu courant traversant le dipôle et de la tension aux bornes du dipôle : P =

#»U .

#»I =UeffIeff cos(ϕ).

Remarques

Une dérivée temporelle se traduit par un déphasage deπ

2.

Les résultats obtenus « graphiquement » à l’aide de la représentation de Fresnel sont iden-tiques aux résultats que l’on peut obtenir en utilisant la notation complexe et les propriétésdes grandeurs complexes.

3. Puissance moyenne reçue par une impédance

3.1. Différentes expressions de la puissance moyenne

En régime sinusoïdal forcé, l’intensité du courant électrique qui traverse le dipôle et la tensionà ses bornes peuvent s’écrire à l’aide de la notation complexe :

u =U0 exp j (ωt +ϕu ) et i = I0 exp j (ωt +ϕi ),

ou encore en introduisant les grandeurs efficaces :

u =Ueff

p2 exp j (ωt +ϕu ) et i = Ieff

p2 exp j (ωt +ϕi ).

Rappel

Pour le nombre complexe z = a + j b (où a est la partie réelle de z : a =Re(z ) et b sa partieimaginaire b = Im(z )), le conjugué de z est le nombre complexe noté z ∗ tel que z ∗ = a − j b .

Si le nombre complexe z est écrit à l’aide d’une exponentielle complexe z = r exp( jθ ),son complexe conjugué est égal à z ∗ = r exp(− jθ ).

Enfin on rappelle que z z ∗ = |z |2 = r 2, où |z | désigne le module du nombre complexe z .

Les nombres complexes conjugués de u et i sont notés respectivement u ∗ et i ∗ et ont pourexpressions :

u ∗ =Ueff

p2 exp(− j (ωt +ϕu )) et i ∗ = Ieff

p2 exp(− j (ωt +ϕi )).

On remarque que u ×u ∗ =U 20 = 2U 2

eff, de même i × i ∗ = I 20 = 2I 2

eff.

15


Les résultats des produits u × i ∗ = 2UeffIeff exp j (ϕu −ϕi ) et u ∗× i = 2UeffIeff exp j (ϕi −ϕu ) sontindépendants du temps et leurs parties réelles sont reliées à la puissance moyenne. En effet,

P =UeffIeff cos(ϕu −ϕi ) =1

2Re(u ∗× i ) =

1

2Re(u × i ∗).

En utilisant les définitions de l’impédance complexe u = Z i et de l’admittance complexei = Y u , deux autres expressions de la puissance moyenne s’en déduisent :

Propriété 1.12. Autres expressions de la puissance moyenne

P =Re(Z )I 2eff =Re(Y )U 2

eff.

Ces relations s’obtiennent également en remarquant que Re(Z ) = |Z |cos(ϕ) avec |Z |= Ueff

Ieffou

encore Re(Y ) = |Y |cos(ϕ) avec |Y |= Ieff

Ueff.

Propriété 1.13. Autres expressions du facteur de puissance

cos(ϕ) = cos(ϕu −ϕi ) =Re(Z )|Z | =

Re(Y )|Y | .

3.2. Cas d’un dipôle purement réactif.

Un dipôle purement réactif est un dipôle dont l’impédance complexe associée est imaginairepure, l’admittance complexe associée est alors aussi un imaginaire pur (on appelle réactance dudipôle la partie imaginaire de son impédance Im(Z )). Une bobine idéale ou un condensateuridéal sont par exemples des dipôles purement réactifs.

Ce type de dipôle n’absorbe aucune puissance en moyenne car Re(Z ) =Re(Y ) = 0.

Propriété 1.14.

Un dipôle purement réactif d’impédance Z = j X absorbe en moyenne une puissancenulle : P = 0 W.

16

SYNTHÈSE


Synthèse et méthodesPuissance électrique en régime sinusoïdal

É En régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes d’un dipôle est de la forme u (t ) =p2Ueff cos(ωt +ϕu ) et l’intensité qui le traverse en convention récepteur est de la forme

i (t ) =p

2Ieff cos(ωt +ϕi ), les notations complexes associées à ces deux grandeurs sont res-pectivement u =

p2Ueff exp j (ωt +ϕu ) et i =

p2Ieff exp j (ωt +ϕi ). L’impédance complexe

du dipôle Z =u

iet l’admittance complexe Y =

i

usont alors définies. Leurs expressions

dans le cas des trois dipôles linéaires fondamentaux sont rappelées dans le tableau suivant :

Dipôle Condensateur idéal Bobine idéale Conducteur ohmique

Impédance complexe (en Ω) ZC =1

j CωZL = j Lω ZR =R

Admittance complexe (en S) YC = j Cω YL =1

j LωYR =

1

RÉ Lorsque deux dipôles d’impédance Z1 et Z2 sont en série, parcourus par la même intensité

du courant électrique, la tension s aux bornes du dipôle d’impédance Z2 s’exprime à l’aide

de la tension e aux bornes de l’ensemble des deux dipôles selon s =Z2

Z1+Z2e .

É La valeur moyenne Smoy et la valeur efficace Seff d’un signal s (t ) périodique de période Tsont définies par :

∀t0, Smoy =1

T

∫ t0+T

t0

s (t )d t ,

Seff =p⟨s 2(t )⟩.

É La puissance instantanée p (t ) reçue par un dipôle en convention récepteur est égale auproduit de la tension à ses bornes et de l’intensité du courant qui le traverse p (t ) = u (t )i (t ).

É Lorsque le dipôle est en régime sinusoïdal forcé, la puissance moyenne reçue par ce dipôleest égale à :

P =UeffIeff cos(ϕ),

où cos(ϕ) est le facteur de puissance.É Cette puissance moyenne peut s’exprimer à l’aide de la notation complexe :

P =Re(Z )I 2eff =Re(Y )U 2

eff.

É Ainsi un dipôle purement réactif (dont la partie réelle de l’impédance est nulle) n’absorbepas de puissance en moyenne.

17

ExercicesPuissance électrique en régime sinusoïdal

Vrai ou faux ?

Vrai Faux

a) L’admittance complexe d’un condensateur réel caractérisépar une capacité C et une résistance de fuite en dérivation R

a pour expression Y C =1

R+ j Cω.

b) Une impédance complexe peut être associée à tout type dedipôle.

c) L’expression de la fonction de transfert d’un quadripôle notée

H =s

ene dépend pas de l’intensité du courant dans la

branche de sortie du quadripôle.

d) La valeur efficace d’un signal sinusoïdal est égale à la tensioncrête-à-crête divisée par

p2.

e) Le résultat de la mesure de la tension à l’aide d’un voltmètreen mode « DC » est nul pour un signal purement sinusoïdal.

f) Les vecteurs associés à l’intensité et la tension pour unebobine idéale sont orthogonaux dans une représentation deFresnel.

g) La puissance instantanée p (t ) reçue par un dipôle dont latension à ses bornes est égale à u (t ) et l’intensité du courantle traversant en convention générateur est égale à i (t ) estégale à p (t ) = u (t )i (t ).

h) La puissance moyenne P reçue par un dipôle dont la tensionet l’intensité en convention récepteur sontu (t ) =U0(1+ cos(ωt +ϕ)) et i (t ) = I0(1+ cos(ωt )) est égale àP =U0I0(1+ cos(ϕ)).

18


Exercices guidés

Exercice A (5 min.)

Un dipôle inconnu est alimenté par un signal purement sinusoïdal de fréquence f = 50 Hz, lespectre en amplitude de la tension aux bornes du dipôle est représenté sur la figure 1.13.

Fréquence (en Hz)

Amplitude (en V)

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 50 100 150 200 250 300

Figure 1.13. Spectre en amplitude de la tension aux bornes d’un dipôle inconnu.

1. À partir de l’observation du spectre en amplitude, que peut-on déduire quant à la linéaritédu dipôle ?

2. Calculer numériquement la valeur efficace de la tension aux bornes du dipôle.

Exercice B (15 min.)

Un signal créneau e (t ) est défini par :

e (t ) =

E 0< t <T

2,

0T

2< t < T ,

avec E = 5,0 V.

1. Calculer la valeur moyenne notée Emoy et la valeur efficace notée Eeff du signal créneaue (t ).

2. Un conducteur ohmique de résistance R est alimenté par la tension créneau e (t ). Quelleest l’expression de la puissance moyenne Pmoy reçue par le conducteur ohmique ?

3. Un condensateur idéal de capacité C est alimenté par la tension créneau e (t ), quelle est lapuissance moyenne reçue par le condensateur ?

La valeur efficace du signal précédent mesurée avec un voltmètre numérique est égale à Emes =2,78 V.

Pour comprendre ce résultat, on décrit dans la suite le principe de la mesure d’une tensionefficace à l’aide d’un voltmètre. Pour afficher la valeur efficace d’un signal sinusoïdal de la formes (t ) = S0 sin(ωt )+Smoy, un voltmètre « classique » (c’est à dire qui n’est pas « TRMS » pour TrueRoot Mean Square) effectue la série d’opérations suivante :

• la valeur moyenne du signal sinusoïdal est filtrée ;• la tension sinusoïdale s (t )−Smoy est redressée, en sortie du montage redresseur on obtient

la tension s ′(t ) = |s (t )−Smoy| correspondant à la valeur absolue de s (t )−Smoy ;

• le résultat de la mesure de la valeur efficace correspond à Smes =π⟨s ′(t )⟩

2p

2.

4. Obtenir l’expression de ⟨s ′(t )⟩ en fonction de S0. Justifier l’expression de Smes.

19

EXERCICES


5. Expliquer le résultat de la mesure pour Emes. L’utilisation d’un voltmètre en mode « AC »pour mesurer la tension efficace d’un signal périodique non sinusoïdal est-elle pertinente ?

Exercice C (15 min.)

Un dipôle linéaire inconnu d’impédance complexe Z = R + j X est associé en série avec unconducteur ohmique de résistance R0 connue selon le schéma de la figure 1.14 . L’ensemble esten régime sinusoïdal forcé, l’intensité du courant électrique qui traverse les deux dipôles estprise pour origine des phases et a pour expression i (t ) = I0

p2 cos(ωt ).

i (t )R0

u1(t )

dipôle

u2(t )

u3(t )

Figure 1.14. Association en série d’un conduc-teur ohmique avec un dipôle inconnu.

ri (t )

u (t )

L

R

Figure 1.15. Alimentation d’une installationdomestique par le réseau électrique.

1. Représenter sur un diagramme de Fresnel, les vecteurs associés aux tensions u1(t ), u2(t )et u3(t ). Faire apparaître sur ce diagramme le déphasage notéϕ de u2(t ) par rapport à i (t ).

2. Obtenir, à l’aide du diagramme de Fresnel, l’expression du facteur de puissance du dipôle,en fonction des valeurs efficaces U1, U2 et U3 des tensions u1(t ), u2(t ) et u3(t ).

3. En déduire l’expression de la puissance moyenne Pm consommée par ce dipôle en fonctionde R0, U1, U2 et U3.

4. En déduire une méthode permettant de mesurer expérimentalement cette puissance àl’aide de multimètres. Dans quel mode faut-il utiliser ces multimètres ?

Cette méthode est mise en œuvre pour une bobine réelle de résistance R et d’inductanceL , la fréquence des signaux est égale à 50 Hz, R0 = 10Ω et les tensions efficaces mesurées sontU1 = 1,1 V, U2 = 0,44 V et U3 = 1,4 V.

5. Évaluer numériquement le facteur de puissance et la puissance moyenne consommée parla bobine.

6. En déduire les valeurs numériques de la résistance R de la bobine et de son inductancepropre L .

Exercices

Exercice 1 (20 min.)

Une installation domestique est modélisée par une bobine réelle d’inductance pure L et derésistance R . Elle est alimentée, via une ligne de résistance r = 50Ω, par une tension u (t ) de

20


valeur efficace U = 220 V à la fréquence 50 Hz comme représentée sur la figure 1.15. L’installationdomestique seule consomme une puissance Pm = 150 W. La valeur efficace de l’intensité ducourant i (t ) dans le circuit vaut I = 2,0A.

1. Déterminer les valeurs numériques de L et R .2. Quelle est la valeur numérique du facteur de puissance cosϕ de l’installation ?3. Pourquoi n’est-ce pas intéressant pour le distributeur d’électricité d’avoir un facteur de

puissance faible pour les installations domestiques ou industrielles ?4. Évaluer numériquement le rendement en puissance de la ligne, défini comme le rapport

de la puissance consommée par l’installation domestique sur la puissance totale fournie.

Une méthode permettant de relever le facteur de puissance consiste à placer un condensateuren dérivation au niveau de l’installation domestique.

5. Calculer la valeur de la capacité C d’un condensateur à placer en dérivation sur l’installa-tion domestique permettant de relever le facteur de puissance à cosϕ′ = 1.

6. Calculer dans ce cas les valeurs de l’intensité efficace I ′ qui traverse la résistance r et lerendement de la ligne.


Un sèche-cheveux peut être modélisé par un conducteur ohmique de résistance réglable RC

(résistance chauffante) associé en dérivation avec le moteur de la soufflerie modélisé par uneassociation série d’un conducteur ohmique de résistance r et d’une bobine d’inductance L selonle schéma de la figure 1.16.

i1(t )i2(t )

RC

i (t )

u (t )

L

r

Figure 1.16. Modélisation d’une résistancechauffante associée à un moteur de soufflerie.

Figure 1.17. Capture d’écran d’oscilloscope.

L’intensité du courant électrique qui traverse le sèche-cheveux en convention récepteur est dela forme i (t ) = I

p2 cos(ωt +ϕ) et la tension à ses bornes est de la forme u (t ) =U

p2 cos(ωt ).

1. Quelle est l’impédance complexe Z du sèche-cheveux ?

Un commutateur permet de sélectionner trois valeurs différentes pour la résistance RC :

• la résistance RC est déconnectée (ou infinie), ce qui donne un fonctionnement sans chauf-fage de la soufflerie (mode froid) ;

• RC =R1 (chauffage moyen) ;• ou RC =R2 (chauffage fort).

21

EXERCICES


Les puissances électrique moyennes P consommées par le sèche-cheveux dans les différentsmodes sont répertoriées dans le tableau 1.2 (lorsque U = 220 V et pour une fréquence corres-pondant à celle du réseau de distribution) :

Table 1.2. Puissance moyenne consommée et déphasage pour les différentsmodes de fonctionnement du sèche-cheveux.

Mode Froid Moyen FortP (en kW) 0,50 1,0 2,0

Déphasage du courant total par rapport à la tension ϕF ϕ1 ϕ2

2. Représenter sur un diagramme de Fresnel les vecteurs associés à la tension u (t ) et lesintensités des courants i (t ), i1(t ) et i2(t ). Représenter sur ce même schéma le déphasageϕ de l’intensité i (t ) par rapport à u (t ) et préciser le signe de ce déphasage.

3. Donner l’expression de la puissance moyenne consommée par le moteur de la soufflerienotée Pmot en fonction de r , L ,ω et U . Quelle est sa valeur numérique ?

Lorsque le sèche-cheveux est en mode froid, les tensions u (t ) et ur (t ) = r i2(t ) sont visualiséessimultanément à l’aide d’un oscilloscope. La capture d’écran d’oscilloscope visualisée sur lafigure 1.17 est obtenue.

4. Identifier u (t ) et ur (t ) pour les deux signaux visualisés en justifiant. Obtenir numérique-ment à l’aide de cette capture d’écran, la fréquence f des signaux, l’amplitude de chacunedes deux tensions et le déphasage ϕF .

5. Calculer numériquement R1 et R2.6. Donner qualitativement l’évolution du déphasage ϕ lorsque la résistance RC diminue.


Un haut-parleur est assimilé à un conducteur ohmique de résistance R0 = 4,0Ω. Il émet leson correspondant à une tension démodulée en amplitude (cf. chapitre « Modulation et démo-dulation ») : pour cela, la tension modulée vm (t ) = V0 cos(2πF t )(1+ cos(2π f t )) est multipliéepar la tension dite « porteuse » vp (t ) = V0 cos(2πF t ) pour obtenir en sortie du multiplieur lesignal démodulé de la forme vd (t ) = k vm (t )× vp (t ). Les données numériques sont les suivantes :F = 100 kHz, f = 2,5 kHz, V0 = 20 V et k = 0,10 V−1.

1. Obtenir et tracer le spectre en amplitude de la tension vd (t ). Parmi ces fréquences, quellessont celles entendues par l’oreille humaine ?

2. Calculer numériquement la puissance moyenne Pm consommée par le haut-parleur lors-qu’il est alimenté directement par la tension vd (t ).

Un quadripôle peut-être placé à la sortie du multiplieur, faisant l’effet d’un filtre en tension, de

fonction de transfert H =G0

1+ j

f

fc

n avec G0 > 0 et fc = 20 kHz. Pour déterminer les paramètres

G0 et n du filtre employé, deux mesures du gain en décibel ont été réalisées à deux fréquencesdifférentes : GdB = 0,0 dB à 1,0 kHz et GdB =−100 dB à 200 kHz.

3. Déterminer à partir des mesures G0 et n .4. Quelle est la puissance moyenne P ′m consommée par le haut-parleur après filtrage ? Com-

menter.

22

CORRIGÉS

CorrigésPuissance électrique en régime sinusoïdal

Corrigés des Vrai/Faux

a) Vrai. Les admittances complexes de deux dipôles en dérivation s’additionnent.b) Faux. La notion d’impédance ou d’admittance complexe est utilisée uniquement pour les

dipôles linéaires.c) Faux. L’expression de la fonction de transfert (obtenue par exemple à l’aide de la formule

du pont diviseur de tension) est valable lorsque le quadripôle est en sortie ouverte, c’est-à-direque l’intensité du courant dans la branche de sortie du quadripôle est nulle.

d) Faux. La valeur efficace d’un signal sinusoïdal est égale à l’amplitude (tension crête-à-crête divisée par 2) du signal divisée par

p2 (encore faut-il que la valeur moyenne de ce signal

sinusoïdal soit nulle).e) Vrai. La tension moyenne (mesurée par un voltmètre en mode « DC ») d’un signal purement

sinusoïdal est nulle.f) Vrai. La tension et l’intensité du courant pour une bobine idéale sont en quadrature de

phase.g) Faux. Lorsque la tension aux bornes du dipôle et l’intensité traversant le dipôle sont définies

en convention récepteur, la puissance p (t ) = u (t )i (t ) correspond à la puissance électriquefournie par le dipôle.

h) Faux. Il faut sommer les puissances moyennes des différentes composantes spectrales,

c’est-à-dire P =U0I0(1+1

2cos(ϕ)).

Corrigés des exercices guidés

Exercice A1. L’apparition de fréquences différentes de f = 50 Hz dans le spectre en amplitude de la

tension aux bornes du dipôle est caractéristique d’un dipôle non linéaire.

2. La tension efficace se calcule à l’aide de la formule Ueff =

√√√U 2moy+

∑k

U 2k

2. Sur le spectre

en amplitude de la tension, on peut lire Umoy = 1,3 V ; U1 = 2,7 V ; U2 = 1,0 V ; U3 =U5 = 0,10 V etU4 = 0,2 V, on en déduit Ueff = 2,4 V.

23


Exercice B1. Par définition de la valeur moyenne et de la valeur efficace d’un signal périodique, on

obtient :

Emoy = ⟨e (t )⟩= 1

T

∫ T

2

0

E d t =E

2= 2,5 V;

et

⟨e 2(t )⟩= 1

T

∫ T

2

0

E 2d t =E 2

2

donc Eeff =Ep

2= 3,5 V.

2. La loi d’Ohm nous donne e (t ) =R i (t ) et par définition de la puissance moyenne reçue par

un dipôle : Pmoy = ⟨e (t )i (t )⟩= ⟨ e2(t )R⟩= E 2

eff

R=

E 2

2R

3. La relation courant-tension pour un condensateur idéal est i (t ) =Cde (t )

dtdonc ⟨e (t )i (t )⟩=

C ⟨e (t )de (t )dt⟩= 0, un condensateur idéal ne consomme pas de puissance en moyenne.

4. La valeur moyenne du signal redressé est égal à :

⟨s ′(t )⟩= 1

T

∫ T

0

S0|sin(ωt )|= 2

T

∫ T

2

0

S0 sin(ωt ) =−2S0

T

cos(ωt )ω

T

20=

2S0

π.

Le résultat de la mesure est donc égal à Smes =S0p

2ce qui est bien la valeur efficace pour la partie

sinusoïdale du signal.

5. La série d’opérations appliquée au signal e (t )donne pour résultat Emes =πE

4p

2, ce qui donne

bien 2,78 V. Pour un signal périodique quelconque, la mesure de la tension efficace à l’aide d’un

voltmètre classique donne pour résultatπ⟨|e (t )−⟨e (t )⟩|⟩

2p

2, ce qui ne correspond pas à sa valeur

efficace. L’utilisation d’un voltmètre non TRMS en mode « AC » est pertinente uniquement pourun signal sinusoïdal.

Exercice C1. La tension u1(t ) et i (t ) sont en phase d’après la loi d’Ohm u1(t ) =R0i (t ) et la loi des mailles

permet d’écrire u3(t ) = u1(t ) +u2(t ), le diagramme de Fresnel de la figure 1.18 s’en déduit.

2. ‖# »U3‖2 = ‖# »

U1+# »U2‖2 = ‖# »

U1‖2+ ‖# »U2‖2+2

# »U1.

# »U2 cos(ϕ), on en déduit cos(ϕ) =

U 23 −U 2

1 −U 22

2U1U2.

3. Pm = U2I0 cos(ϕ) et l’intensité efficace est reliée à la tension aux bornes du conducteur

ohmique I0 =U1

R0. On en déduit Pm =

U 23 −U 2

1 −U 22

2R0.

4. Les multimètres sont des appareils à masse flottante donc il suffit de les brancher pourobtenir les tensions efficaces U1, U2 et U3 en mode voltmètre « AC ».

24

CORRIGÉS


#»I

# »U1

# »U2# »

U3

ϕ

Figure 1.18. Diagramme de Fresnel représentant les tensions u1(t ), u2(t ) et u3(t ).

5. En utilisant les formules obtenues précédemment cos(ϕ) = 0,575 et Pm = 27,8 mW.

6. La puissance moyenne reçue par la bobine s’écrit aussi Pm = Re(Z )I 20 = Re(Z )

U1

R0

2

et

la partie réelle de l’impédance de la bobine est égale à sa résistance notée R , on en déduit

R =R 2

0 Pm

U 21

= 2,3Ω.

Le facteur de puissance s’exprime aussi cos(ϕ) =Re(Z )|Z | où |Z | est le module de l’impédance

complexe de la bobine réelle qui est égale Z =R + j Lω en notant L l’inductance propre de labobine. On en déduit :

|Z |=pR 2+ (Lω)2 =R

cos(ϕ)= 4,0Ω,

et :

L =1

2π f

Æ|Z |2−R 2 = 10 mH.

Corrigés des exercices

Exercice 11. La puissance moyenne consommée par l’installation domestique s’exprime à l’aide de la

partie réelle R de l’impédance complexe caractérisant l’installation selon Pm =R I 2, on en déduit

R =Pm

I 2= 37,5Ω. Par ailleurs,

U

I=p(R + r )2+ (Lω)2, donc L =

1

ω

√√U

I

2

− (R + r )2 = 0,21 H.

2. cosϕ =Re Z

|Z | = 0,49 avec Z =R + j Lω, l’impédance complexe de l’installation domestique.

3. À puissance moyenne consommée et tension efficace fixées, un faible facteur de puissanceentraîne une intensité efficace élevée, ce qui augmente la puissance perdue par effet Jouler I 2 lors du transport électrique. Par ailleurs, la puissance moyenne consommée facturée parle distributeur a pour expression Pm = UeffIeff cosϕ : un faible facteur de puissance limite lapuissance facturée.

Remarque

Une autre manière de limiter les pertes par effet Joule en ligne consiste à transporter

25


l’électricité à l’aide de lignes hautes tensions en utilisant deux transformateurs (en entréede ligne et en bout de ligne) : cf. chapitre « Transformateur ».

4. Le rendement de la ligne noté η est égal à η=Pm

Pm + r I 2= 0,43.

5. cosϕ′ =Re(Y ′)|Y ′| avec Y ′ = j Cω+

1

Z=

R

R 2+ (Lω)2+ j

Cω− Lω

R 2+ (Lω)2

, le facteur de

puissance est unitaire lorsque Im(Y ′) = 0, ce qui donne C =L

R 2+ (Lω)2= 36µF.

6. La valeur efficace de l’intensité du courant I ′ dans la ligne s’obtient en écrivant :

U = |r +Z ′|I ′ =

r +R +(Lω)2

R

I ′

On en déduit I ′ = 1,1A. La puissance moyenne consommée par l’installation est donc égale

à P ′m = Re Z ′I ′2 = 179 W et le rendement de la ligne est égal à η′ =P ′m

P ′m + r I ′2= 0,75 > η. Le

relèvement du facteur de puissance permet de limiter les pertes en ligne, il permet également audistributeur de facturer une consommation plus élevée.

Exercice 2

1. L’impédance complexe du sèche-cheveux est Z =RC (r + j Lω)RC + r + j Lω

.

2. Le diagramme de Fresnel est représenté sur le schéma 1.19, i1(t ) =u (t )RC

est en phase avec

la tension u (t ) et le déphasage de i2(t ) par rapport à la tension u (t ) est négatif comme obtenudans l’exemple page 14 du cours. Le vecteur représentant le courant d’intensité i (t ) est obtenuen sommant les vecteurs représentant les courants d’intensités i1(t ) et i2(t ) par application de laloi des nœuds. On observe qualitativement d’après le diagramme de Fresnel que le déphasage

#»U

#»I1

#»I2

#»I

ϕ

Figure 1.19. Diagramme de Fresnel représentant la tension u (t ) et les courants d’intensités i (t ),i1(t ) et i2(t ).

ϕ est négatif : ϕ < 0.3. La puissance moyenne consommée par le moteur de soufflerie d’admittance complexe

Y =1

r + j Lωest égale à Pmot =U 2 Re(Y ) =

U 2r

r 2+ (Lω)2. Cette puissance correspond à la puissance

moyenne consommée par le sèche-cheveux en mode froid pour lequel la résistance RC est infiniedonc i1(t ) = 0 et i (t ) = i2(t ), on en déduit Pmot = 0,50 kW.

4. ϕ < 0 donc le courant d’intensité i (t ) = i2(t ) est en retard de phase par rapport à la tensionu (t ), ainsi le signal de la voie CH1 correspond à u (t ) et le signal de la voie CH2 correspond àur (t ).

26

CORRIGÉS


La période des signaux est égale à 8 × 2,5 ms = 20 ms ce qui correspond à une fréquencef = 50 Hz. L’amplitude de u (t ) est égale à 8,0 V et l’amplitude de ur (t ) est égale à 1,0 V.

La durée entre deux maxima des deux signaux est égale à∆t = 1,2×2,5 ms, ce qui donne undéphasage de ϕF =−2π f ∆t =−54 ˚.

5. La puissance consommée lorsque la résistance RC est connectée est égale à :

P = ⟨u (t )(i1(t ) + i2(t ))⟩= ⟨u (t )i1(t )⟩+ ⟨u (t )i2(t )⟩= U 2

RC+Pmot.

Lorsque RC =R1, P = P1 = 1,0 kW =U 2

R1+Pmot donc R1 = 97Ω.

Lorsque RC =R2, P = P2 = 2,0 kW =U 2

R2+Pmot donc R2 = 32Ω.

6. Lorsque la résistance RC diminue, la valeur efficace de i1(t ) augmente alors que celle de i2(t )reste fixée (car elle ne dépend que des valeurs de U , L , r etω). Ainsi, d’après le diagramme deFresnel, on peut en déduire que la valeur absolue du déphasage ϕ diminue lorsque la résistanceRC diminue (ce qui est en accord avec une puissance consommée plus grande, car le facteur depuissance cosϕ augmente).

Exercice 31. La tension démodulée vd (t ) s’écrit comme une somme de fonctions sinusoïdales en utilisant

la formule de trigonométrie cos(a )cos(b ) =cos(a + b ) + cos(a − b )

2, on obtient :

vd (t ) =k V 2

0

2

§1+ cos(2π f t ) + cos(2πF t ) +

1

2cos(2π(2F + f )t ) +

1

2cos(2π(2F − f )t )

ª.

Le spectre en amplitude en fonction de la fréquence s’en déduit, il est représenté sur la figure1.20. Seule la fréquence f = 2,5 kHz fait partie du domaine audible par l’oreille humaine.

20 V

10 V

spectre de vd (t )

0 f F 2F − f 2F + f

Figure 1.20. Spectre en amplitude en fonction de la fréquence de la tension vd (t ) (l’échelle enfréquences n’est pas respectée pour une meilleure lisibilité).

2. La puissance moyenne consommée par le haut-parleur a pour expression Pm =V 2

d ,eff

R0où

V 2d ,eff est la moyenne quadratique de vd (t ) c’est-à-dire la somme des moyennes quadratiques

des différentes composantes spectrales de vd (t ). On obtient, après calcul, V 2d ,eff =

9k 2V 40

16donc

Pm = 225 W.

27


3. Le gain en décibel du filtre a pour expression GdB = 20 logG0−10 log

1+

f

fc

2n.

À 1,0 kHz,f

fc=

1

20donc GdB ' 20 logG0 = 0,0 dB donc G0 = 1,0.

À 200 kHz,f

fc= 10 donc GdB '−20n log

f

fc

=−100 dB donc n = 5,0.

4. En sortie, seules les fréquences 0 et f sont conservées (avec un gain unitaire), les trois autresfréquences sont suffisamment atténuées pour pouvoir considérer qu’elles sont nulles. Ainsi

P ′m =3k 2V 4

0

8R0= 150 W. Le filtrage permet de limiter la puissance consommée par le haut-parleur

en n’émettant pas certaines fréquences qui ne correspondent pas au domaine audible. Cettepuissance pourrait être encore limitée en filtrant la composante continue du spectre de vd (t ) (àl’aide d’un filtre passe-haut).

28

VUIBERT

SOMMAIRE :Partie I : Électronique. 1. Puissance électrique en régime sinusoïdal – 2. Stabilité des systèmes linéaires – 3. Rétroaction – 4. ALI en régime non linéaire – 5. Électronique numérique – 6. Modulation et démodulation. Partie II : Phénomènes de transport. 7. La diffusion thermique – 8. La diffusion des particules. Partie III : Mécanique des fluides. 9. Cinématique des fluides – 10. Actions de contact dans un fluide – 11. Nombre de Reynolds – 12. Bilans macroscopiques. Partie IV : Électromagnétisme. 13. Champ électrique en régime stationnaire – 14. Transport de charge – 15. Champ magnétique en régime stationnaire – 16. Électromagnétisme dans l’ARQS – 17. Milieux ferromagnétiques. Partie V : Conversion de puissance. 18. Transformateurs – 19. Contacteur électromagnétique en translation – 20. Machine synchrone – 21. Machine à courant continu – 22. Conversion électronique statique. Partie VI : Ondes. 23. Propagation unidimensionnelle, équation de d’Alembert – 24. Ondes sonores dans les fluides – 25. Ondes électromagnétiques dans le vide – 26. Dispersion et absorption – 27. Réflexion et transmission d’ondes sur un dioptre. Partie VII : Thermochimie. 28. Application du premier principe – 29. Second principe : potentiel thermodynamique – 30. Équilibre chimique – 31. Optimisation d’un procédé chimique – 32. Systèmes binaires. Partie VIII : Électrochimie. 33. Courbes intensité-potentiel – 34. Électrochimie et applications

Annexe : analyse vectorielle

Les auteursFrédéric Bruneau est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Victor Grignard à Cherbourg.

Marc Cavelier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Joliot-Curie à Rennes.

Claire Delacour est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Paul Constant à Montluçon.

Erwan Jahier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Chateaubriand à Rennes.

Christophe Jorssen est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Jacques Decour à Paris.

Yann Lozier est enseignant dans le secondaire, détaché en classes préparatoires scientifiques.

Mathilde Marchand-Hartog est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Jacques Decour à Paris.

Philippe Ribière est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Stanislas à Paris.

, des ouvrages pour faire la différence :– Des cours complets pour acquérir les connaissances indispensables ;– Des fiches de synthèse et de méthode pour réviser l’essentiel et acquérir

les bons réflexes ;– De nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner :

Vrai/faux, exercices guidés et exercices d’application ;– Des sujets de concours corrigés pour se mettre en situation d’épreuve

PHYSIQUE – CHIMIEPSI/PSI*

ISBN : 978-2-311-40031-1

www. .fr

f. bruneau • m. cavelier • c. delacour • e. jahier c ... · impédance 15 – synthèse et...

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