ÉVALUATION DE LA PERFORMANCE D’UN PORTEFEUILLE et le reporting de gestion

1

I- Mesure de rendement II- Effectuer les bonnes comparaisons III- Moyenne géométrique versus moyenne

arithmétique IV- Mesures de performance ajustées pour

le risque—Ratio de Treynor V- Mesures de performance ajustées pour le

risque—Ratio de Sharpe VI- M-carré (Modigliani et Miller) VII- Le ratio d’information VIII- Le reporting, qu'est-ce que c'est ? IX- Comment Réussir son reporting ? EXEMPLE Market timing

2

Le rendement réalisé par un investisseur n’est pas nécessairement le même que le rendement réalisé par le portefeuille dans lequel son argent est investi:Le rendement réalisé par l’investisseur

dépend du timing des entrées et sorties d’argent.

Le rendement du portefeuille correspond au rendement des titres dans lesquels le portefeuille est investi ainsi que des proportions investies dans chaque titre.

3

Il existe deux mesures de rendement Rendement monétaire, ou rendement

pondéré selon les flux monétaires, ou taux de rendement interne (dollar-weighted return, money-weighted return, internal rate of return): Utilise une approche d’actualisation des flux

monétaire. Pondéré selon la taille du portefeuille ainsi que

les entrées et sorties d’argent. Rendement temporel, rendement pondéré

selon le temps (time-weighted return): Correspond au rendement des titres dans le

portefeuille. Indépendant de la taille du portefeuille.

4

Le tableau suivant montre les dépôts et retraits d’un investisseurs dans un fonds (le portefeuille) ainsi que les rendements annuels du fonds sur un période de quatre ans: Quel est le rendement monétaire annuel moyen de

l’investisseur (dollar-weighted return)? Quel est le rendement annuel moyen du portefeuille (time-

weighted return)?

Année 1 Année 2 Année 3 Année 4Dépôt (retrait) au début de l'année $10,000 $2,000 -$3,000 $1,000Valeur du portefeuille au début de l'année $10,000 $13,200 $9,672 $11,446Rendement du portefeuille 12% -4% 8% 16%Valeur du portefeuille à la fin de l'année $11,200 $12,672 $10,446 $13,277

5

Le rendement annuel moyen est le suivant (moyenne géométrique):

Le rendement monétaire est tel que:

%73.7116.108.196.012.1 41 TWR

%17.7

01

277,131

000,11

000,31

000,2000,10 432

DW

DWDWDWDW

R

RRRR

6

1)1(/1

1

nn

ttrr

Le rendement monétaire dépend du timing des flux monétaires (dépôts et retraits du fonds).

Par exemple, supposons que les dépôts et retraits soient comme dans l’exemple suivant:

Année 1 Année 2 Année 3 Année 4Dépôt (retrait) au début de l'année $10,000 -$4,000 $2,760 $1,000Valeur du portefeuille au début de l'année $10,000 $7,200 $9,672 $11,446Rendement du portefeuille 12% -4% 8% 16%Valeur du portefeuille à la fin de l'année $11,200 $6,912 $10,446 $13,277

7

Notez que l’investisseur termine l’exercice avec un portefeuille ayant la même valeur que dans l’exemple précédent même si ses dépôts nets (dépôts moins retraits = 9760$) sont légèrement moins élevés que dans l’exemple 1 (10 000$).

Dans ce cas-ci, nous avons:

%94.8

01

277,131

000,11

760,21

000,4000,10

%73.7116.108.196.012.1

432

41

DW

DWDWDWDW

TW

R

RRRR

R

8

Le rendement temporel moyen du portefeuille est le même dans l’exemple 2 que dans l’exemple 1 mais le rendement monétaire dans l’exemple 2 est plus élevé que dans l’exemple 1 dû à un meilleur timing des dépôts et retraits.

Comme de fait, l’exemple 2 génère une valeur terminale de portefeuille identique à celle de l’exemple 1 tout en injectant moins d’argent.

9

Considérons maintenant l’exemple suivant (même injection totale d’argent que dans l’exemple 1, soit 10 000$, mais avec un meilleur timing):

Année 1 Année 2 Année 3 Année 4Dépôt (retrait) au début de l'année $10,000 -$2,000 $2,000 $0Valeur du portefeuille au début de l'année $10,000 $9,200 $10,832 $11,699Rendement du portefeuille 12% -4% 8% 16%Valeur du portefeuille à la fin de l'année $11,200 $8,832 $11,699 $13,570

10

L’investisseur termine l’exercice avec une valeur de portefeuille plus élevée que dans l’exemple 1.

Dans ce cas-ci, nous avons:

%32.8

01

750,131

01

000,21

000,2000,10

%73.7116.108.196.012.1

432

41

DW

DWDWDWDW

TW

R

RRRR

R

11

Dans les trois exemples précédents, le rendement temporel est le même, seul le rendement monétaire varie.

Le rendement monétaire dépend de la décision de l’investisseur d’acheter ou de vendre des parts du fonds.

La performance du gestionnaire du fonds correspond au rendement temporel du fonds puisque celui-ci n’est pas responsable du timing des entrées et sorties d’argent du fonds, ces décisions étant prises par les investisseurs.

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Dans l’exemple suivant, les dépôts et retraits sont effectués à chaque trimestre. Quel est le rendement annuel (time-weighted

return) du portefeuille? Quel est le rendement monétaire (dollar-weighted

return) annuel du portefeuille?T1 T2 T3 T4

Dépôt (retrait) au début du trimestre $10,000 $600 $1,000 -$400Valeur du portefeuille au début du trimestre $10,000 $11,000 $11,890 $12,203Rendement du portefeuille 4% -1% 6% 3%Valeur du portefeuille à la fin du trimestre $10,400 $10,890 $12,603 $12,570

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Les rendements en question sont:

%64.1210302.1 %02.3

01

570,121

4001

000,11

600000,10

:monétaireRendement %41.12103.106.199.004.1

:annuelRendement

4,

4,

3,

2,,

DWTDW

TDWTDWTDWTDW

TW

RR

RRRR

R

%41.12102968.1et

%968.2103.106.199.004.1

par donnéest moyen el trimestriegéométriqurendement Le :Note

4

41,

TW

TTW

R

R

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PerformanceDoit être évaluée sur une base relative et non sur

une base absolueLe portefeuille de référence doit être approprié

Portefeuille de référence Doit être approprié et réalisable (il est possible d’investir

dans un tel portefeuille ou dans un portefeuille répliquant les rendements du portefeuille de référence).

Doit refléter les objectifs du portefeuille (ex: 20% obligations, 80% actions).

Aide à comparer le rendement ainsi que le risque.

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Nous avons vu précédemment qu’un indice boursier peut être pondéré de différentes façons: Pondéré selon les prix Pondéré selon la capitalisation boursière Pondéré également

L’indice choisi doit être cohérent avec la façon d’investir (les pondérations du portefeuille).

Si le portefeuille géré contient des obligations, l’indice de référence doit lui aussi en contenir (ex: 20% indice obligataire, 80% TSX Composite)

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La moyenne géométrique d’une série de rendements se calcule comme suit (rendements annuels):

Elle correspond au rendement constant équivalent aux multiples rendements réalisés (même FV pour une PV donnée). Idéal pour la mesure de performance.

La moyenne arithmétique d’une série de rendements se calcule comme suit:

La moyenne arithmétique est parfois utilisée pour prédire les rendements futurs.

11111 1321 n

ng rrrrr

nrrrrr n

a

321

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Treynor (1965) a développé la première mesure de performance de portefeuille qui prend en compte le risque.

Il a introduit la notion de droite caractéristique du portefeuille, qui définit la relation entre le taux de rendement d’un portefeuille en particulier et le taux de rendement du portefeuille de marché.

α : représente le rendement unique du portefeuille. β : est la pente qui mesure la volatilité du rendement du portefeuille

par rapport au rendement du marché.

Le ratio de Treynor (reward-to-volatility ratio) calcule le rendement ajusté pour le risque de marché:

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tppp ,tM,tp, RR

évaluationd' période ladurant leportefeuildu Beta

moyen risque sansRendement

leportefeuildu moyen Rendement où

p

f

p

p

fpp

ar

ar

ararRVOL

19

•Le ratio de Treynor (reward-to-volatility ratio) calcule le rendement ajusté pour le risque de marché:

Un plus grand est meilleur pour les investisseurs, pour n’importe quel niveau d’aversion aux risques. RVOL

Il mesure la différence entre le rendement effectif d’un portefeuille et son rendement attendu par le marché.

L’alpha d’un titre est donné par:

excès de rentabilité sur un benchmark de même risque systématique.

Si nous anticipons que le rendement procuré par alpha va durer, alors le rendement espéré du titre est:

fmpfpp arararar

fmppfp rrErrE

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Ratio de Sharpe: Rendement ajusté selon le risque total. Le risque total est donné par l’écart-type des

rendements du portefeuille; Ce ratio fait référence à la « capital market line

(CML) »

p

fpp

ararSR

21

Le M-carré d’un portefeuille p mesure le rendement obtenu en épargnant ou en empruntant au taux sans risque et en investissant dans un portefeuille possédant: Le même niveau de risque que le portefeuille du

marché; Le même rendement par unité de risque que le

portefeuille p.

mp

fpfp

arararM

2

22

Si le M-carré obtenu est inférieur au rendement du portefeuille du marché, alors le portefeuille p a sous-performé relativement au portefeuille m quant au rendement ajusté pour le risque, et vice versa.

La mesure M-carré mène aux mêmes conclusions que la comparaison du ratio de Sharpe d’un portefeuille avec celui du portefeuille du marché.

Le M-carré peut être réécrit comme suit:

mpfp SRarM 2

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En utilisant une régression historique, le RI (ratio d’information) prend la forme de :

Où le numérateur est l’Alpha de Jensen et le dénominateur est l’erreur standardisée de la régression. Avec :

ppRI

tptfpp r ,,tM,tf,tp, RrR

24

Le ratio d’information tient compte du risque non systématique, qui pourrait, en théorie, être éliminé par la diversification.

ER

bpp

R R =IR

25

Mesures de rendement excédentaire par rapport à un portefeuille de référence.

Le ratio de Sharpe est un cas particulier où l'indice de référence est égal àà l’actif sans risque.

Le risque est mesuré comme l'écart type du rendement excédentaire (rappelons que c'est l'erreur de réplication)

Pour un portefeuille géré activement, nous voulons probablement maximiser l'excédent de rendement par unité de risque non systématique.

Rendement excédentaire relatif au portefeuille b

Moyenne du rendement excédentaire Variance de la différence excédentaire

Erreur de réplication

26

tbtpt RRER ,,

T

ttER

TER

1

1

2

1

2

11

T

ttER ERER

T

2ERER

Le rendement excédentaire démontre la capacité du gestionnaire à utiliser l’information et son talent pour générer du rendement excédentaire.

Les fluctuations du rendement excédentaire représentent le bruit aléatoire qui est interprété comme le risque non systématique.

Ratio information -bruit.

RI annualisé pp IR T =IR

27

ER

bpp

R R =IR

Rendement excédentaire relatif au portefeuille b

Moyenne du rendement excédentaire Variance de la différence excédentaire

Erreur de réplication

28

tbtpt RRER ,,

T

ttER

TER

1

1

2

1

2

11

T

ttER ERER

T

2ERER

Le rendement excédentaire démontre la capacité du gestionnaire à utiliser l’information et son talent pour générer du rendement excédentaire.

Les fluctuations du rendement excédentaire représentent le bruit aléatoire qui est interprété comme le risque non systématique.

Ratio information -bruit. RI annualisé pp IR T =IR

29

ER

bpp

R R =IR

Le ratio de Sharpe mesure le rendement ajusté pour le risque total, incluant le risque unique (spécifique).

Ainsi, il est possible qu’un portefeuille ait mieux performé que le marché suivant le ratio de Treynor mais qu’il ait sous-performé suivant le ratio de Sharpe (exemple: un portefeuille avec un beta faible mais un écart-type élevé).

Les deux mesures peuvent ainsi donner des résultats contradictoires lorsque l’on compare deux portefeuilles différents.

Pour un portefeuille bien diversifié, les deux mesures donnent ordinairement le même classement de portefeuilles puisque le risque unique est alors minime.

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Roll: Les mesures ajustées pour le risque font souvent référence à un portefeuille du marché représenté par un indice boursier : L’indice boursier utilisé n’est pas le portefeuille

du marché auquel la théorie fait référence; L’utilisation d’un indice différent peut modifier

le classement de portefeuilles. Il est difficile, a posteriori, de séparer la

chance du talent. Le taux sans risque utilisé peut aussi

avoir une incidence sur les résultats.31

Définition : Le terme "Reporting" désigne une famille d'outils de Business intelligence destinés à assurer la réalisation, la publication et la diffusion de rapports d'activité selon un format prédéterminé. Ils sont essentiellement destinés à faciliter la communication de résultats chiffrés ou d'un suivi d'avancement.

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Ça dépend. Si P ou Q représente l'ensemble du

portefeuille, Q sera préférable ayant un ratio Sharpe plus élevé et un meilleur M2.

Si P ou Q représente un sous-ensemble d’un portefeuille, Q sera encore préférable, car il a un ratio de Treynor plus élevé.

Pour un portefeuille géré activement, P peut être préféré, car son ratio d'information est plus grand (en d’autres mots, il maximise le rendement relatif au risque non systématique, ou l'erreur de réplication).

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