expérimentation et démarche dinvestigation en mathématiques Épreuve pratique de mathématiques...
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Expérimentation et démarche d’investigation en mathématiques
Épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat
Expérimentation en mathématiques
Observation
Expérience
Expérimentation
Investigation
Expérimentation en mathématiques
Observation
Le ciel est bleu.
Vu de la lune, le ciel est noir.
Des observations, pas une connaissance
Expérimentation en mathématiques
Expérience Une expérience, c’est poser une question à la nature. Une science expérimentale ne commence pas avec l’observation, mais avec l’interrogation sur l’observation.
Jacques Treiner
Expérimentation en mathématiques
Expérimentation
Une expérimentation numérique interroge le modèle.
Expérimentation en mathématiques
Démarche d’investigation
Le questionnement est premier, pas la théorie.
Expérimentation en mathématiques
En sciences physiques
observation
modèle
expérience
Expérimentation en mathématiques
En mathématiques
expérimentation
conjecture
démonstration
Expérimentation en mathématiques
L’expérimentation prend place à presque tous les
niveaux de l’activité mathématique. Elle englobe toutes
les procédures visant à traiter des cas particuliers d’une
question trop difficile pour être abordée directement.
Expérimentation en mathématiques
L’expérimentation permet notamment :
de trouver d’éventuels contre-exemples ;
de comprendre comment la question se résout dans des cas particuliers et en
quoi les arguments se généralisent ou non ;
de faire des conjectures sur des situations voisines.
BO n°7 du 31 août 2000
Programmes de série scientifique
Expérimentation en mathématiques
Mathématiques et informatique en première et terminale S :
liens entre mathématiques et informatique;
apports des outils logiciels;
modalités de mise en œuvre.
BO n°7 du 31 août 2000
Programmes de série scientifique
Expérimentation en mathématiques
Expérimentation en mathématiques
Expérimentation en mathématiques
Épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat, série S
Les raisons de cette épreuve
Exemples d’épreuves pratiques issus de l’expérimentation
2007
Mise en situation
Les raisons de cette épreuve
Valoriser les 8 moments de l’activité mathématique :
poser un problème, modéliser expérimenter, prendre des exemples conjecturer se documenter bâtir une démonstration mettre en œuvre des outils adéquats évaluer la pertinence des résultats communiquer
Les raisons de cette épreuve
Certaines compétences mathématiques sont
actuellement peu valorisées (conjecture, prise
d’initiatives, utilisation des TICE).
Intérêts, réticences
L’utilisation des TICE permet d’explorer d’autres problèmes:
simulation en probabilités
gestion de données de taille importante en statistiques
étude de problèmes dont la résolution exacte est impossible pour un élève
de terminale (équations différentielles en sciences physiques)
Intérêts, réticences
Les TICE permettent une meilleure interaction entre
les différents registres de représentation (par exemple
en ce qui concerne les fonctions).
Ces différents registres sont indispensables pour
dégager l’objet mathématique étudié.
Intérêts, réticences
L’utilisation d’un logiciel de calcul formel permet de se libérer
de la part purement calculatoire pour mieux réfléchir au sens des
notions travaillées.
L’utilisation des TICE peut faciliter la compréhension de
certaines notions (exemple : la recopie vers le bas du tableur est
intimement liée à la notion de suite récurrente).
Intérêts, réticences
Les allers-retours et interactions entre expérimentation et preuve peuvent redonner de la saveur aux maths et donner aux élèves le goût de la recherche en leur permettant de ne pas se cantonner à une simple application de techniques données par l’enseignant.
Intérêts, réticences
Quand on utilise un logiciel, on ne fait pas de maths.
Et pourtant, si on étudie la méthodologie du travail pratique:
question posée, et éventuels calculs préliminaires mise en place expérimentale (construction, calcul sur tableur) recherche de conjecture, en faisant varier un ou des paramètres mise à l’épreuve de la conjecture retour à la théorie pour valider la conjecture
Intérêts, réticences
La conjecture est une devinette, avant de passer réellement aux mathématiques.
Il s’agit de se poser DES questions, de faire varier les paramètres (terme initial d’une suite par exemple), prendre des initiatives, et on fait réellement des mathématiques.
Exemples de sujets de l’épreuve pratique issus de l’expérimentation 2007
Chaque sujet est composé :
d’un descriptif,
d’une fiche élève,
d’une fiche professeur,
d’une fiche d’évaluation.
Exemples de sujets de l’épreuve pratique issus de l’expérimentation 2007
Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente
Sujet 29: PGCD
Sujet 11: simulation d’une expérience, lois de probabilités
Exemples de sujets de l’épreuve pratique issus de l’expérimentation 2007
Sujet 47 : partage d’un triangle
Sujet 4 : nombre de solutions d’une équation
Sujet 30 : famille de cercles
Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente
Descriptif :
Situation On considère une suite récurrente (un) définie par la donnée de son premier terme un et d’une relation de la forme : pour tout entier naturel n,
un + 1 = un + a x n + b, a et b étant deux nombres réels donnés.
On cherche à déterminer, pour tout entier naturel non nul n, l’expression explicite de un en fonction de n.
L’étude est proposée pour deux valeurs du couple (a , b).
Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente
Compétences évaluées
Compétences TICE : élaborer un processus itératif; représenter graphiquement les termes d’une suite.
Compétences mathématiques : déterminer une fonction polynôme à partir d’informations obtenues sur sa courbe représentative; mettre en place une démonstration par récurrence .
Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente
Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente
Production demandée
Le nuage de points attendu dans la question 1 et la
particularité trouvée à ce nuage.
La stratégie de démonstration retenue à la question 2
ainsi que les étapes de cette démonstration.
Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente
Fiche professeur:
Elle donne des indications sur les intentions de l’auteur,
sur l’analyse du sujet, sur la manière dont doivent être gérés les « appels à l’examinateur », sur l’évaluation.
Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente
Fiche d’évaluation:
Les « fiches évaluation » nécessitent un travail de préparation. Dans chaque établissement l’ensemble des examinateurs utilisera cette fiche et la fiche professeur pour élaborer une grille de notation adaptée aux conditions de passation.
Références bibliographiques
Rapport de la Commission de Réflexion sur
l’Enseignement des Mathématiques : « l’informatique et l’enseignement des mathématiques »
http://www.smf.emath.fr/Enseignement/commission_Kahane
Le rapport sur l’expérimentation, et les sujets posés sont disponibles sur le site de l’Inspection Générale :
http://www.igmaths.net/
Le site educnet qui renvoie à tous les sites académiqueshttp://www2.educnet.education.fr/mathshttp://www.educnet.education.fr/bd/urtic/maths/
Références bibliographiques
Eduscol
http://eduscol.education.fr/D1115/epr_pratique_presentation.htm
http://eduscol.education.fr/D1115/epr_pratique_MATHS2007.htm
Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente
Les élèves ont fait le choix du logiciel Excel (plutôt qu’une calculatrice).
Tous trouvent que la courbe est une parabole. Les difficultés rencontrées relèvent :
d’erreurs dans la constitution du tableau; de lacunes portant sur la parabole et le trinôme du
second degré. Certains savent très bien utiliser la fonction courbe de
tendance sur Excel (utilisée en Physique) et trouvent rapidement l’écriture : Un = n² – 12n.
La plupart des élèves ont l’idée de faire une démonstration par récurrence mais éprouvent des difficultés à la mettre en œuvre.
Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente
Bilan du sujet n°1: