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E L E C T R O T E C H N I Q U E

Travaux dirigés Première année

E. Clavel, N. Devismes, M. Oddon Département de Génie électrique et Informatique Industrielle 1

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S O M M A I R E Semaine 0 : Révisions

Chap. I : Circuits Monophasés

Chap. II : Puissance Monophasée

Chap. III : Circuits Triphasés

Chap. IV : Puissance triphasée

Chap. V : La force de Laplace – 2ème loi de l'électromagnétisme du vide

Chap. VI : Force électromotrice (FEM)

Chap. VII : Les circuits magnétiques

Partie A : Milieux magnétiques et circuits magnétiques

Partie B : Circuits magnétiques à 1 enroulement et à 2

enroulements

Chap. VIII : Le transformateur monophasé

Chap. IX : Le transformateur triphasé

Chap. X : Le redressement

Chap. XI : Le moteur à courant continu

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Semaine 0 : Simulations sur PSIM de dispositifs simples

Travail sur la représentation des signaux sinusoïdaux - Rappels Préambule : Pour cette manipulation, on va utiliser le logiciel PSIM. Se reporter à la fin de ce document pour obtenir un « petit guide » utilisateur.

1- Définition d’une source alternative sinusoïdale monophasée On souhaite définir la tension d’alimentation domestique 230 V efficace, 50 Hz.

a- Rappel de vocabulaire – Définitions Signal alternatif : …………………………………………………………… Valeur efficace : ……………………………………………………………. b- Définition temporelle

v(t) = Vmax sin (ωt). Donner la relation entre Vmax et Veff. Calculer Vmax. Que représente ω ? Valeur de ω.

2- Courant dans une charge

On branche sur cette prise une charge. On désire dans cette partie visualiser le courant et calculer sa valeur en fonction de la charge.

a- Convention récepteur / générateur

Convention d’orientation« récepteur » Convention d’orientation « générateur »

chargeI

U

chargeI

U

chargeI

U

chargeI

U

Le dipôle reçoit de l’énergie. Le dipôle fournit de l’énergie.

Rem : si I>0, U>0 en convention récepteur. si I>0, U>0 en convention générateur.

Pour notre cas, on travaille sur des charges qui reçoivent de l’énergie.

b- Composants de base On va brancher sur la tension définie précédemment une charge élémentaire R puis L puis C. Pour chaque charge, on désire : - visualiser la tension à ses bornes u(t), - visualiser le courant i(t) - mesurer Imax, - calculer Vmax/Imax. Comment s’appelle cette grandeur ? - mesurer le déphasage temporel (puis angulaire) entre les deux signaux u(t) et

i(t) - les puissances (avec un wattmètre et un varmètre). Que représentent ces

différentes puissances ? Attention dans PSIM il faut spécifier la fréquence du varmètre. Prendre la même que la source.

R = 10 Ω R = 20 Ω R = 30 Ω Imax Vmax/Imax Déphasage (ϕ) P Q f = 50 Hz f = 1 kHz L (H) 0.1 0.05 0.001 0.1 0.05 0.001 Imax Vmax/Imax Déphasage (ϕ) P Q

I(t)

U(t)

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f = 50 Hz f = 1 kHz C 1 mF 100 µF 10 µF 1 mF 100 µF 10 µF Imax Vmax/Imax Déphasage (ϕ) P Q Dans chaque cas donner l’expression de i(t). Et la mettre sous forme d’un sinus. Rappels sur les relations entre sinus et cosinus : cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).

c- Récepteur quelconque Dans cette partie on refait le même travail mais le récepteur est constitué d’une résistance R = 10 Ω en série avec L = 50 mH.

Rappels définitions : Mise en série de composants : ………………………………………… Mise en parallèle de composants : ………………………………………. Une maille : …………………………………………………………………….. Un nœud : ……………………………………………………………………….. Faire un schéma Refaire le même tableau. Donner l’expression de i(t). Dans ce cas on a une maille, visualiser la tension aux bornes de chaque composant. Dans le cas d’un récepteur quelconque, on se rend compte que cette écriture est compliquée. On va donc préférer une autre représentation. Les éléments importants dans la représentation temporelle sont : l’amplitude et le déphasage, à condition de se donner une référence et de tout exprimer en sinus (par exemple). L’outil mathématique qui permet ceci est le vecteur.

3- Représentation vectorielle : Fresnel

a- Composants de base Pour les composants de base précédents, faire une représentation vectorielle du courant et de la tension.

b- Charge R-L

Faire le même travail pour la charge R-L précédente. Traduire en vectoriel la maille constituée par ce récepteur. Montrer qu’on doit faire une somme vectorielle pour obtenir la tension globale aux bornes du récepteur. Attention : interdiction de faire la somme des amplitudes des tensions. Pourquoi ? Cette somme vectorielle peut être effectuée de plusieurs manières :

- graphiquement, - en utilisant les coordonnées des vecteurs

Mais si on utilise les coordonnées des vecteurs dans le plan, on peut alors écrire les vecteurs sous forme complexe.

4- Représentation complexe

Rappels : Forme algébrique d’un nombre complexe : …………………………………………… Forme exponentielle d’un nombre complexe : ……………………………………… Pour les différents cas précédents, R, L, C et R-L, écrire sous forme complexe :

- u, - i, - v/i : que représente cette grandeur ?

5- Etude d’installations électriques

a- Premier cas On branche sur la même prise une lampe et un radiateur. Ces deux éléments se comportent comme des résistances pures appelées respectivement R1 et R2.

- faire le schéma du dispositif, - de quel type d’association s’agit-il ? - la lampe consomme 100 W, calculer R1. - Le radiateur consomme 3 fois plus que la lampe, calculer R2. - Faire la simulation sur PSIM et vérifier. - Vu de l’alimentation, comment se comporte ce récepteur ? - Donner son impédance équivalente.

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b- Second cas On réalise le montage suivant. L = 1 mH, f = 50 Hz, R inconnu. On veut déterminer R telle que le courant dans R représente un tiers du courant total.

R

L

RI

LI

V

Ir

o Sans calcul, donner, dans le plan, une représentation vectorielle des grandeurs du dispositif en prenant la tension comme référence des phases.

o Déterminer le courant iL. o Calculer alors iR. o Déterminer ensuite R. o Vérifier par la simulation sur PSIM. o Qualitativement, que se passe-t-il sur la représentation de Fresnel si on branche

en parallèle un condensateur ? - au niveau de l’amplitude du courant total, - au niveau du déphasage entre le courant total et la tension

d’alimentation.

6- QCM Aller sur le site suivant http://f.leplus.free.fr/Theorie/theorie.htm : Effectuer les QCM suivants :

- QCM sur les grandeurs sinusoïdales, - QCM1 sur le régime sinusoïdal - QCM sur les valeurs moyennes (excepté les 2 dernières questions un peu dures) - QCM sur les valeurs efficaces

7- Utilisation de PSIM

Psim est un logiciel de simulation dont la version de démonstration (gratuite) permet de simuler le comportement de nombreux circuits en ayant recours à des composants électroniques classiques. (R, L, C, Diodes, Thyristors, Mos, ponts redresseurs etc...).

Lancer le logiciel PSIM qui permet de tracer le schéma structurel « schématic » du montage à étudier.

Placer vos composants (disponibles pour la plupart dans la barre de menu en bas de l’écran ou dans le menu éléments). Un petit rond indique la borne comptée

positive de votre composant. Clic droit pour effectuer une rotation de π/2. ESC pour changer de composant.

Placer la masse (GND) et les différents appareils de mesure qui vont correspondre aux signaux que voulez visualiser après la simulation (voltmètre et ampèremètre dans la rubrique sensors).

o Remarque: On peut ne pas mettre d’ampéremètre car on peut visualiser le courant dans n’importe quel élément du circuit en le signalant lors de sa caractérisation (voir plus loin).

Tracer les fils de liaison à l’aide du crayon.

Caractériser chaque élément du montage (Double clic sur l’élément à

caractériser) en précisant la valeur initiale des tensions ou courants le cas échéant. Si vous voulez visualiser le courant dans le composant, mettre la rubrique Current Flag à 1

Placer le « Simulate control » (Menu Simulate) sur votre page et donner le

temps total de simulation et le pas de calcul (Double clic puis Total Time et Time Step).

o On peut décider de ne visualiser qu’une partie de la simulation. A ce moment là, on remplit la rubrique « Print Time » en précisant l’instant à partir duquel on veut visualiser (pratique pour un régime permanent par exemple).

Lancer le moteur de calcul Psim (Menu Simulate Run Psim ou l’icône) et

corriger les éventuelles erreurs signalées.

Lancer Sim View (Menu Simulate Run Psim View ou l’icône) qui permet de sélectionner les signaux temporels à visualiser. (Ne pas mélanger courants et tension sur le même écran car il n’y a qu’une échelle en Y).

o On peut rajouter des écrans de visualisation en faisant Screen Add Screen.

o On peut rajouter ou effacer des siganux dans un écran en faisant Screen Add/Remove curves. On sélectionne alors les grandeurs à ajouter (Add) ou à effacer (Remove).

o Après chaque simulation, penser à remettre à jour les données en cliquant sur l’icône data (Re-load data).

On peut changer les axes (X et Y), mesurer des temps (DT en cliquant sur le

bouton droit de la souris), mesurer des valeurs moyennes et efficaces.

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ETUDE du CHAPITRE I 1 - Calculer Smoy et Seff des signaux représentés ci-dessous en fonction des paramètres définis sur les figures.

T tT/2

-E

E

0

S1(t)

T t

S2(t)

αT

E

0

T t

S3(t)

αT

2E

-E

0

Rep. : S1moy = 0, S1eff = E, S2moy = α E, S2eff = α E, S3moy = (3α-1) E, S3eff = ( )1α3 + E

2 - Démontrer que, pour un signal alternatif sinusoïdal s(t), Smoy = 0 et Seff = Sm/ 2 .

Rep. : Utiliser la relation 2

212 )x.cos()]x[sin(

−=

3 - Représenter : u(t) = 10 sin(ωt+π/3) i(t) = 5 sin(ωt-π/2) 4 - Exercice

i2C

R

L

i1A B

iD

Un tronçon AD comporte entre A et B une self pure de valeur L, entre B et D une dérivation comportant une résistance pure R et une capacité C. On applique entre A et D une tension sinusoïdale v de valeur efficace V.

R = 100 Ω ; L = 0,12 H ; C = 100/3 µF ; V = 180 V ; ω = 400 rd/s 1°) Calculer les intensités efficaces I 1, I2, I dans les 3 branches.

2°) Calculer la tension efficace V AB entre A et B. 3°) Calculer les déphasages des intensités et des t ensions par rapport à la tension VAD prise

comme origine des phases. REP. : I = 5 A ; I1 = 3 A ; I2 = 4 A ; VAB = 240 V ; (i,v) = 0 ; (i1,v) = 53° ; ( i2,v) = - 37°; (v,v AB) = 90° 5- Remplir le tableau suivant :

L1 L2

Inductance équivalente L .

L1B

L2

A

Inductance équivalente L ?

C1 C2

Capacité équivalente C ?

C1

C2

Capacité équivalente C ?

R1 R2

Résistance équivalente R ?

R1

R2

Résistance équivalente R ?

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Exercices Chapitre I I.1 Etablir la condition qui doit être vérifiée pour que le circuit ci-dessous soit équivalent à une résistance pure r lorsqu'il est alimenté par une tension sinusoïdale de pulsation ω.

C

R

L

A

iB

V Donner l’expression de r en fonction de R , L, C et ω. On donne R = 100 Ω et on veut r = 36 Ω. Quelles sont les impédances de L et C ?

Rep. : ( )2ω1 RC

Rr

+= et 1/Cω = 38.3 Ω, Lω = 93.24 Ω.

I.2 Deux bobines identiques (résistance R, inductance L) sont alimentées en parallèle par une même source de tension alternative sinusoïdale de pulsation ω. On veut que les courants i1 et i2 soient en quadrature et aient même module. A cet effet, on monte en série avec l'une des bobines un condensateur de capacité C.

1) Quelle relation doit-il exister entre R et Lω ? 2) Calculer C.

A. N. : R = 400 Ω, f = 50 Hz Rep. : R = Lω = 1/(2Cω)

C

R

L

R

Lv

i i1i2

I.3 On considère le circuit ci-après dans lequel e1 et e2 sont des fem sinusoïdales de pulsation ω = 105 rd/s.

e1 est prise comme origine des phases et a un module de 2 volts.

e2 a un module de 2 volts et est en avance de π/4 par rapport à e1. Déterminer le courant i. A. N. : L1 = 20 mH, C2 = 10 nF, R = 1000 Ω, C = 5 nF

R

L

i2i

i1

C C2

e2e1

I.4 Trois générateurs délivrant des tensions sinusoïdales de même fréquence ont les valeurs et les phases initiales suivantes :

°∠= 0 V80 E1 , °∠= 150 V100 E2 , °∠= 45 V40 E3

Trouver, par construction vectorielle, la tension résultante. I.5 Un moteur électrique consomme un courant de 10 A quand il est alimenté par une source de tension (120 V, 60 Hz). Ce courant est en retard sur la tension d'un angle de 30 °. Une capacité pure, en parallèle avec le moteur, consomme un courant de 5 A. 1) Faire un schéma et le diagramme de Fresnel du montage. 2) Déterminer, par construction graphique, le courant total fourni par la source. I.6 Quelle est l'impédance à 60 Hz d'un circuit constitué d'une inductance pure de 0.5 H, d'une résistance de 100 Ω et d'un condensateur de capacité de 26.5 µF, tous ces éléments étant branchés en parallèle ? Rep. : Z = [90.9 Ω, 25.17°] , I.7 Le circuit de la figure ci-dessous est constitué de deux dipôles AB et BC montés en série. Il

est alimenté par une tension )tsin(2100)t(v ω= . R' et L' sont des grandeurs réglables et :

R = 10 Ω L = 0,01 H

V(t)

R

L

iR ’ L ’A B C

1°- La pulsation de la tension v(t) étant ω = 1000 rad/s, on règle R' = R et L' = L. a)- Calculer l'impédance équivalente du circuit (module et argument)

b)- Déterminer les courants i, iL et iR et représenter leur vecteur de Fresnel sur un même diagramme en prenant l'axe porté par iR comme axe de référence.

c)- Représenter sur un même diagramme les vecteurs de Fresnel de v et i. 2°- On règle R' et L' de façon que les deux dipôles AB et BC présentent la même impédance. a)- Donner les expressions de R' et L' en fonction de R, L et ω.

b)- Déterminer en fonction de R et L la pulsation ωo pour laquelle ce réglage est tel que : R'/ R = L'/ L

c)- Quelles sont alors les valeurs de R' et L' ? Rep. : 1- Z = [21.21 Ω, 45°], I = [4.7 A, -45°], I R = [3.33 A, 0°], I L = [3.33 A, -90°]

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ETUDE du CHAPITRE II Résumé Remplir le tableau suivant, en donnant toutes les définitions possibles et en adoptant que chaque composant est alimenté sous la tension V de pulsation ω et est parcouru par le courant I.

Composants Puissance Active Puissance Réactive

Résistance R

Inductance L

Condensateur C

Impédance Z

1 - Démontrer que la puissance instantanée s'écrit : p(t) = -VI sin2ωt dans le cas d'une inductance pure p(t) = VI sin2ωt dans le cas d'un condensateur parfait. Montrer que, dans le cas généra, l’expression de la puissance instantanée est : p(t) = V I (1 - cos2ωt) cos ϕ - V I sin2ωt sinϕ. 2 - Calculer la puissance dissipée dans le circuit AD (exercice de l'étude du chapitre I). Ce calcul peut se faire de différentes manières. Rep. : P = 900 W 3 - Exercice : Un atelier branché sur un réseau monophasé 220 V, 50 Hz comporte : * un moteur de 4,8 kW, cosϕ= 0.74 à pleine charge, * un moteur de 10 kW, cosϕ = 0.76 à pleine charge, * 20 lampes de 50 W chacune. 1°) Déterminer le courant absorbé et le facteur de puissance de l'atelier (moteurs à pleine charge). 2°) A pleine charge, on désire relever le facteur d e puissance jusqu'à 0.9. Calculer la capacité de la batterie de condensateurs nécessaire ainsi que le nouveau courant absorbé par l'atelier. Rep. : I = 92.75 A, cos ϕ = 0.774 AR, C = 346 µF, I’ = 79.8 A

Exercices Chapitre II II.1 Une inductance pure L de 0.2 H est branchée en parallèle avec une résistance de 50 Ω. L'ensemble est alimenté sous V = 220 V, 50 Hz. 1) Calculer la puissance active et la puissance réactive absorbées :

a) par l'inductance L, b) par la résistance R.

2) Calculer les puissances active, réactive et apparente absorbées par l'ensemble. 3) Calculer le facteur de puissance ainsi que l'intensité absorbée par ce récepteur (module et

déphasage par rapport à la tension d’alimentation V). 4) Donner l’impédance équivalente de dipôle (module et argument) ainsi que les courants RI et LI

dans la résistance et l’inductance. Faire un diagramme de Fresnel. Rep. : PL = 0, QL = 770.3 VAr = Qt, PR = 968 W = Pt, QR = 0, St = 1237 VA, cos ϕ = 0.78 AR, I = [5.6 A, -38°5 ], Z = [39.3 Ω, 38°5], I R = [4.4 A, 0°], I L = [3.5 A, -90°] II.2 Une installation est composée de 2 récepteurs A et B consommant lorsqu'ils sont alimentés sous V = 127 V, 50 Hz : A : P = 2 kW, Q = 3 kVAr B : P = 2.5 kW, Q = 1 kVAr 1) Quel est le courant absorbé par l'installation récepteur I (module et déphasage par rapport à la

tension d’alimentation V)? 2) Sachant que l'installation est alimentée par une ligne de résistance totale r = 0.2 Ω et dont

l'inductance est l = 0.7 mH. Calculer la tension à appliquer en tête de ligne V’ pour que l'installation soit alimentée sous V = 127 V.

3) Faire un diagramme de Fresnel faisant figurer V, V’, IA, IB et I. Rep. : I = [47.4 A, -41°6], V’ = 135.6 V II.3 Une installation électrique monophasée, 220 V, 50 Hz, est composée de :

- 6 tubes fluorescents de 48 W chacun, cos ϕ = 0.85, - 2 lampes à incandescence de 75 W chacune, cos ϕ = 1, - 1 moteur consommant 4 A de cos ϕ = 0.6.

1) Calculer la puissance active et la puissance réactive consommées par l'installation. 2) Calculer le courant absorbé par l'installation (module et déphasage par rapport à la tension

d’alimentation) et le facteur de puissance de l’installation. 3) On désire que le facteur de puissance de l'installation soit de 0.9 :

a) Quelle doit être la valeur du condensateur mis en parallèle sur l'installation pour qu'il en soit ainsi ?

b) Quelle est la valeur du courant absorbé par l'installation ? Rep. : P = 966 W, Q = 882.5 Var, I = [5.95 A, -42.4°], co s ϕ = 0.74 AR, C = 27.27 µF, I’ = [4.88 A, -25.84°]

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II.4 Soit le circuit ci-contre alimenté par une source de tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz et de valeur efficace 220 V. Les impédances à 50 Hz ont les valeurs suivantes :

Lω = 200 Ω, R = 100 Ω, Ω=ω

100C1

C

R

L

v(t)

I3

I2

I1

C

1) Calculer l'impédance totale du circuit (module et argument). 2) Déterminer les trois courants I1, I2 et I3. Donner les modules et phases par rapport à la tension

V. Les représenter sur un diagramme vectoriel. 3) Calculer de deux manières différentes :

a) la puissance active consommée par ce récepteur, b) la puissance réactive liée à ce récepteur (donner son signe).

Rep. : Z = [255 Ω, -78.7°], I 1 = [0.86 A, 78.7°], I 2 = [1.36 A, 97°], I 3 = [0.61 A, -56.4°], P = 37.2 W, Q = -185.53 VAr II.5 Le circuit ci-dessous comporte 3 éléments :

- un condensateur C, - un récepteur Z tel que sa puissance active consommée vaut PZ = 2200 W

avec un facteur de puissance de 0,5 AR, - une résistance R = 11 Ω.

C RU

i i3

i2

Z

i1

L’ensemble est alimenté par une source de tension sinusoïdale de valeur efficace U = 220 V et de fréquence 50 Hz. On veut que le courant total I soit en phase avec la tension U. Calculer : 1) Les puissances active et réactive P et Q relatives à l'installation. 2) La puissance réactive fournie par le condensateur C. 3) La valeur de la capacité du condensateur C. 4) Le courant total I. 5) Les courants I1, I2 et I3. 6) Représenter ces 4 courants sur un diagramme de Fresnel. Rep. : P = 6600 W, Q = 0, QC = -3810.5 Var, C = 250 µF, I = 30 A, I1 = 17.3 A, I2 = 20 A, I3 = 20 A,

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ETUDE du CHAPITRE III Couplage étoile 1 - Pour un montage étoile, démontrer, par construction graphique, les relations :

°−=

=

=

30V,UV,UV,U 331223112

V3U =

2 - Trouver, par construction graphique, les angles :

231123312 V,U,V,U,V,U

Démontrer les résultats obtenus.

3 - Si le récepteur est équilibré, montrer que : 0III 321

r

=++

Couplage triangle 1 - Pour un montage triangle, démontrer, par construction graphique, les relations :

°+=

=

=

30J,IJ,IJ,I 313232121

J3I =

2 - Trouver, par construction graphique, les angles :

231123312 I,J,I,J,I,J

Démontrer les résultats obtenus. Récepteur équilibré Soit le récepteur suivant, alimenté par un système de tensions triphasées équilibrées 127 V/220 V.

R L

R

L

R

L

R = 10 Ω Lω = 10 Ω

Représenter le diagramme de Fresnel correspondant (U, V, I, J). Même question si le récepteur est couplé en triangle.

Exercices Chapitre III III.1 Une source triphasée équilibrée 127/220 V, 50 Hz, alimente successivement les récepteurs suivants : A- Récepteur R, C équilibré, B- Récepteur R, L équilibré, C- Récepteur R, L, C déséquilibré

CR

R

R

CC

1

2

3

R = 55 Ω ; 1/Cω = 31,75 Ω

Récepteur A

R

L

1

2

3

L

R

R

R = 50,8 Ω ; Lω = 114,9 Ω

Récepteur B

R

C

L

1

2

3

RV

LV

CV

N

P

H

R = 12,7 Ω = 1/Cω = Lω

Récepteur C

1) Déterminer pour les récepteurs A et B : c) Le courant en ligne, d) Le facteur de puissance, e) La puissance dissipée.

2) Déterminer pour le récepteur C raccordé au neutre : a) Les courants en ligne,

b) Le courant hI dans le fil de neutre (solution graphique). L’exprimer sous forme polaire.

3) Le récepteur C n’est plus raccordé au neutre et on veut déterminer la tension hV qui apparaît aux bornes de H quand celui-ci est ouvert.

a) Calculer l’impédance Zh équivalente à R, L, C en parallèle,

b) A l’aide du théorème de Thévenin, trouver une relation entre hV , hI et Zh,

c) En déduire hV . Exprimer cette tension sous forme polaire.

d) Déterminer les tensions RV , LV , CV aux bornes de R, L C (pour une solution graphique

prendre 1 cm pour 20 V et 1 cm pour 2 A) e) En déduire les courants en ligne, f) Montrer que les tensions entre fils de phase restent inchangées.

4) Mêmes questions qu’au 2) en inversant les positions de L et C. Conclure

5) Mêmes questions qu’au 3) en inversant les positions de L et C. Conclure

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ETUDE du CHAPITRE IV Une source triphasée équilibrée 220 V / 380 V – 50 Hz, alimente 3 récepteurs suivant le schéma ci-dessous.

Réc

epte

ur 3

Récepteur 2

RR R

L L L

Récepteur 1

Les données sont : Récepteur 1 : R = 2 Ω, Lω = 1,5 Ω Récepteur 2 :P = 100 kW, cosϕ = 0,8 AR Récepteur 3 : I = 200 A, cosϕ = 0,5 AR 1- Pour chaque récepteur, déterminer la puissance active et réactive ainsi que le facteur de

puissance. 2- Par un bilan des puissances en déduire la puissance active totale, la puissance réactive totale,

le facteur de puissance total et le courant total. Rep. : P1 = 138.6 kW, Q1 = 104 kVAr, cos ϕ1 = 0.8 AR, P2 = 100 kW, Q2 = 75 kVAr, cos ϕ2 = 0.8 AR, P3 = 65.8 kW, Q3 = 114 kVAr, cos ϕ3 = 0.5 AR Pt = 304.4 kW0.72, Qt = 293 kVAr, cos ϕt = 0.72 AR

Exercices Chapitre IV IV.1 Une ligne triphasée 4 fils 127/220 V, 50 Hz, alimente l’installation triphasée équilibrée

suivante : - 120 lampes de 100 W réparties entre phases et neutre, - un moteur triphasé absorbant une puissance de 15,2 kW avec un facteur de puissance de

0,8 AR, - 3 enroulements de résistance R = 5 Ω et d’inductance L = 27,5 mH montées en triangle.

1) Déterminer les courants en ligne correspondant à chaque récepteur en précisant leur

déphasage. 2) Déterminer le courant total dans une phase et le facteur de puissance de l’installation. 3) Calculer la capacité d’un élément d’une batterie de condensateurs montés en triangle et

susceptibles de ramener le facteur de puissance à 0,866 AR. Rep. : IL = [31.5 A, 0°], I M = [49.86 A, -36.8 °], I Z = [38.17 A, 60°], I t = [110.27 A, -34.85°], C = 90 µF IV.2 Un réseau triphasé équilibré 127/220 V, 50 Hz alimente un récepteur déséquilibré monté

en étoile et ainsi constitué :

- phase 1 : impédance Z1 = 0127 ∠ : résistance pure,

- phase 2 : impédance Z2 = °+∠ 60127 : impédance inductive

- phase 3 : impédance Z3 = °−∠ 60127 : impédance capacitive

1- Le neutre étant raccordé, déterminer les courants dans chacun des fils de phase et dans le

neutre. Indiquer le déphasage par rapport à la tension qui leur donne naissance. 2- Calculer l'impédance équivalente aux 3 impédances Z1, Z2 et Z3 en parallèle.

En déduire la valeur de la tension qui apparaît entre le point commun de l'étoile et le neutre si ce dernier n'est plus raccordé.

3- Représenter, dans ce cas, par un diagramme de Fresnel les tensions aux bornes de chaque récepteur et les courants dans les fils de phase.

4- Quelle est la puissance dissipée par le récepteur ainsi alimenté ? Rep. : I1 = [1A, 0°], I2 = [1 A, -60°], I3 = [1 A, 60°], In = [1A, 180°], Z = [63.5 Ω, 0°], V = Z*In = [63.5 V, 180°], V’1 = [190.5 V, 0°], I’1 = [1.5A, 0°] dép hasage par rapport à V1, V’2 = [110 V, -90°], I’2 = [0.866A, -150°] déphasage par rapport à V1, V’3 = [ 110 V, 90°], I’3 = [0.866A, 150°] déphasage par rapport à V1, P = 381 W IV.3 Une source triphasée équilibrée 220 / 380 V – 50 Hz, alimente un récepteur équilibré

monté en triangle comportant dans chaque branche une résistance R = 2 Ω et une inductance telle que Lω = 1,5 Ω (voir figure 1).

1-

a) Calculer le courant en ligne Ir

(module et argument). b) Déterminer la puissance active et la puissance réactive de ce récepteur en précisant les

signes. 2- On rajoute entre les phases 1 et 2, une résistance (figure 2).

12

a) Par une construction graphique, déterminer les modules des nouveaux courants en ligne : I1, I2 et I3.

b) Calculer les nouvelles puissances active et réactive.

R

L

R

L

R

L1

2

3

Ir

RL

R

L

R

L1

2

3

1I

2I

3I

R

Figure 1 Figure 2

Rep. : I = [263.3 A, -37°], P = 139 kW, Q = 104 kVAr, I1 = 380 A, I2 = 450 A, I3 = 263.3 A inchangé, P’ = 211 kW, Q = 104 kVAr inchangé. IV.4 Une source triphasée équilibrée 220 / 380 V – 50 Hz, alimente un récepteur déséquilibré

suivant le montage ci-dessous.

RL

1

2

3

1I

2I

3I

RC

Avec R = Lω = 1 / Cω = 10 Ω

1- Calculer les trois courants circulant dans les éléments R, C et R+L (module et phase). 2- En déduire les trois courants en ligne (module et phase). 3- Calculer les puissances active et réactive consommées par ce récepteur. Rep. : IR = [38 A, 0°] par rapport à U 12, IC = [38 A, 90°] par rapport à U 23, IRL = [26.9 A, -45°] par rapport à U31, I1 = [40.5 A, -40 °] par rapport à U 12, I2 =[19.7 A, -105°] par rapport à U 12, I3 = [51.94 A, 120°] par rapport à U 12, P = 21676 W, Q = -7204 VAr

IV.5 Un atelier industriel est alimenté par un réseau triphasé équilibré 380/660 V, 50 Hz. Sa consommation est de 114 kW avec un courant de 200 A sur chaque phase.

1- Quels sont le facteur de puissance et le sens du déphasage sachant que les récepteurs sont en

majorité inductifs ? On désire compenser le facteur de puissance à 0,8 AR en ajoutant une batterie de 3 condensateurs identiques. 2- Quel est le courant circulant dans les fils de ligne alimentant cette batterie de condensateurs ?

Quel est le courant total en ligne délivré par la source ? 3- Quelle est la capacité de chacun des 3 condensateurs sachant qu'ils sont montés en triangle ? La batterie effectivement mise en place a une capacité par branche de 270 µF, mais son fil d'alimentation connecté à la phase 3 est coupé.

C

C

C

1sI1

2

3

2sI

3sI

1rI

2rI

3rI

Réc

epte

urs

équi

libré

s

1cI 2cI 3cI

Défaut éventuel

4- Quel est le courant consommé par la batterie sur les phases 1 et 2 ? 5- Quels sont les courants fournis par la source pour chaque phase ? 6- Le compteur de mesure d'énergie appliquant le principe de mesure de la méthode des 2

wattmètres, donne-t-il dans ce cas une indication valable ? Justifier. 7- Quelle est la tension qui apparaît aux bornes de la coupure du fil ? Rep. : cos ϕ = 0.5 AR, IC = 98 A, IS = 125 A, C = 273 µF,

13

ETUDE du CHAPITRE V

I - LOI de LAPLACE : BdIdFr

l ∧= . Retrouver les unités.

. Essayer de comprendre la signification de la formule, en particulier ce qu'implique le produit

vectoriel. - pour la direction de la force, - pour son sens,

- pour son intensité : exprimer le module de dF en fonction de Idl, B et α. . Lire et écrire la loi en utilisant les noms des grandeurs et des opérations contenues dans la

formule.

. Réécrire les règles pratiques qui donnent le sens de dF (règles des trois doigts, du bonhomme d'Ampère par exemple).

. Analyser l'expression pour y trouver l'élément différentiel et comprendre le caractère : local,

élémentaire qu'il implique. En déduire l'opération à effectuer pour obtenir la force sur l'ensemble du circuit. Comment varie cette force avec le courant, quelle que soit la forme du circuit ?

. Quelles sont les conditions qui doivent être remplies nécessairement par le circuit (sa forme ?) et

par le champ pour que la relation particulière soit vérifiée ? (l est la longueur totale du circuit).

F = BIl II - UTILISATION DE LA LOI DE LAPLACE . L'expression qui donne la force qui agit sur une charge dq animée d'une vitesse v

r et soumise à

un champ Br

s'écrit : BvdqdFrr

∧= Montrer que la loi de Laplace peut être déduite de cette relation.

III - TRAVAIL DES FORCES ELECTROMAGNETIQUES

- Remarquer que la normale nr

définie par le produit vectoriel lddx ∧ est orientée vers l'extérieur

de la surface engendrée par le déplacement du circuit, comme la normale cn au circuit.

Réfléchissez à ces orientations si le sens du courant (ou du déplacement) est changé.

- Montrer que produit vectoriel lddx ∧ a bien pour module l'aire du parallélogramme construit sur dx et dl (aire hachurée)

- Dans le cas de la figure ci-contre, bien vous représenter la surface totale balayée dans le déplacement dx de (C) et les lignes de champ interceptées par cette surface et qui donnent naissance au flux coupé.

ldI

nr

dxcn

Br

(C)

CIRCUIT INDEFORMABLE

- Faire la démonstration du théorème ( ) ∆Φ=Φ−Φ=Φ= IIIW ifc , c'est-à-dire montrer que φc =

φf - φi (attention au sens des normales et aux signes des flux). - Lire et écrire l'énoncé du théorème en utilisant les noms des grandeurs et des opérations qui

interviennent. - Si le flux a diminué, quel est le signe du travail ? - Règle du flux maximal. Dans l'exemple

proposé, quel est le sens du déplacement du circuit C ? Quelle est sa position d'équilibre ?

(C) - Couple électromagnétique : démontrer la relation dW = Γdα (exprimer pour ceci le déplacement

dl des forces en fonction de r et dα). - Circuit dans un champ uniforme. Pourquoi ne peut-il y avoir de translation ? (réponse facile,

réfléchir au flux). Quel est le seul mouvement possible, jusqu'à quelle situation ? CIRCUIT DEFORMABLE - Quelle condition doit vérifier la valeur de l'intensité I pour que l'on puisse traiter le problème

comme pour un circuit indéformable et écrire : dW = Idφ

dφ étant le flux coupé (et aussi la variation du flux à travers le circuit) dû seulement au champ

appliqué Br

? MOMENT MAGNETIQUE - Réfléchir à l'analogie entre le moment magnétique en électricité et le moment cinétique en

mécanique.

- Détailler le passage de la relation Γ = I αΦ

dd

à BMrr

∧=Γ .

14

Exercices Chapitre V V.1 Forces sur un conducteur rectiligne Une portion de conducteur rectiligne horizontal MN, de longueur L = 1m est parcourue par un courant

d'intensité I = 100 A. Ce conducteur est placé successivement dans trois champs d'induction )x(B toujours orientés verticalement vers le haut, mais dont le module varie le long de MN selon des lois B(x) représentées sur les figures 1 à 3. fig. 1 : le champ est constant et égal à 0,5 T fig. 2 : le champ varie par paliers comme indiqué, de 0,5 à 1,2 T fig. 3 : le champ a une variation parabolique B(x) = a x2 de 0 à 1,2 T

1 x (m)M N

O

B(T)0.5

)x(B

I Fig. 1

1 x (m)M N

O

B(T)

0.5

)x(B

1.2

0.8I

Fig. 2

1 x (m)M N

O

B(T)

0.5

)x(B

1.2

I Fig. 3

1°-Dans chaque cas, la direction et le sens de la f orce de Laplace sont les mêmes. Indiquer, en les

justifiant, cette direction et ce sens sur la figure 1. 2°-Quelle est la valeur de la constante a de la fig . 3 ? En quelle unité doit-on l'exprimer ? 3°-Calculer, pour chacune des situations des 3 figu res, la force qui s'exerce sur le conducteur MN.

Faire l'application numérique (la position du point d'application des forces n'est pas demandée). Rep. : [a] = Tm-2, F1 = 50 N, F2 = 64 N, F3 = 40 N V.2 Définition de l'Ampère Deux conducteurs rectilignes de longueur infinie, parallèles et distants de a sont parcourus par les courants I et I'. Exprimer la force exercée par un des conducteurs sur la portion de longueur l de l'autre. Représenter sur des figures la direction et le sens des forces exercées par les conducteurs l'un sur l'autre dans les 2 cas : I et I' dans le même sens, I et I' de sens contraire. A. N. : I = I' = 1 A, l = 1 m, a = 1 m

V.3 On considère une portion AB de fil rectiligne parcouru par un courant d'intensité i. Dans le plan médiateur de AB se trouve un fil X'X rectiligne, de longueur infinie, parcouru par un courant d'intensité I (voir figure). O est le milieu de AB et ω est le point de X'X situé dans le plan de la figure. La plus courte distance des 2 fils est D. 1) On pose OM = l, OωM = α, exprimer B créée par X'X en M.

Représenter B sur la figure. Faire de même en M' symétrique de M par rapport à O.

A

i

Mω

Sensde I

αD

B

O

2) Calculer la force df exercée par X'X sur l'élément ld situé en M. Caractériser la direction et le

sens de df .

Faire de même pour 'dl situé en M'. 3) Montrer que la résultante des forces appliquées à AB n'est soumise qu'à un couple.

Calculer le moment de ce couple par rapport à O (poser AB = 2a).

A. N. : i + I = 10 A, a = D = 20 cm, V.4 La configuration étudiée est représentée figure 1. Elle comprend :

- deux conducteurs rectilignes, parallèles, L1 et L2 de grande longueur (considérée comme infinie), distants de d, parcourus par des courants d'intensité I et de sens contraire,

- un circuit (C) de forme rectangulaire MNPQ, de largeur PN = MQ = d, de longueur PQ = MN = l, dans lequel circule un courant i. Le plan du circuit est parallèle au plan des fils L1 et L2, situé à la distance d de ces fils.

i

l

P

N

M

Q

(C)

I

L1

L2

dd

Vue générale

L1

L2 N, M

P, Q

I i

I i

d

d

d

d

Figure dans le plan perpendiculaire aux fils L1

et L2

Fig. 1

1) Retrouver l'expression de l'induction Br

créée par L1 parcouru par I, à la distance x du conducteur.

Représenter Br

sur la figure 2.

2) En déduire l'expression de la force Fr

exercée par L1 parcouru par I sur un conducteur parallèle, parcouru par i, de longueur l, à la distance x de L1.

Représenter Fr

sur la figure 2.

15

3) a) Représenter les forces suivantes sur la figure 3 et exprimer les modules de ces forces :

- 1F exercée par L1 parcouru par I sur le côté PQ parcouru par i,

- 2F exercée par L2 parcouru par I sur le côté PQ parcouru par i,

- 3F exercée par L1 parcouru par I sur le côté MN parcouru par i,

- 4F exercée par L2 parcouru par I sur le côté MN parcouru par i.

b) Représenter alors sur la figure 3 la résultante 5F des forces exercées par L1 et L2 sur les

côtés PQ et MN.

c) Calculer le module de 5F : il est conseillé pour cela d'utiliser les projections des différentes

forces mises en jeu sur des axes horizontaux et verticaux. 4)

a) Sans faire de calcul, représenter la direction et le sens des forces suivantes sur la figure 4.

- '1F exercée par L1 parcouru par I sur le côté MQ parcouru par i, en admettant que le

point d'application de '1F est K1,

- '2F exercée par L2 parcouru par I sur le côté MQ parcouru par i, en admettant que le

point d'application de '2F est K2,

- '3F exercée par L1 et L2 sur le côté MQ, préciser son point d'application.

b) De même, représenter sur la figure 5 les forces suivantes :

- '4F exercée par L1 parcouru par I sur le côté PN parcouru par i, en admettant que le

point d'application de '4F est K'1,

- '5F exercée par L2 parcouru par I sur le côté PN parcouru par i, en admettant que le

point d'application de '5F est K'2,

- '6F exercée par L1 et L2 sur le côté PN, préciser son point d'application.

c) De l’analyse des deux figures, en déduire la résultante 'F7 des forces exercées par L1 et

L2 parcourus par I sur les côtés MQ et PN.

5) Déterminer le module de la force Rr

exercée par L1 et L2 parcourus par I sur le cadre MNPQ parcouru par i.

6) Donner sur la figure 6 l'allure des lignes de champ d'induction créée par les courants I parcourant L1 et L2, dans le plan perpendiculaire à ces conducteurs.

7) A partir de quelle loi bien connue pourrait-on trouver directement la direction et le sens de la

force Rr

exercée par L1 et L2 sur le cadre MNPQ ? Quelle serait alors la position d'équilibre du cadre s'il était libre de se déplacer (masse négligeable) ?

8) Déterminer la valeur de la circulation du vecteur champ magnétique sur chacune des courbes fermées de la figure 7, en tenant compte des sens de circulations indiqués.

9) Calculer la valeur algébrique des flux Φ1 et Φ2 envoyés respectivement par L1 et L2 parcourus par I à travers le cadre MNPQ dans lequel i = 0 (figure 8).

L1I i

x

Fig. 2

L1

L2 N, M

P, Q

I i

I i

Fig. 3

L1

M

QI

i

K1

L2 M

Q

I

i

K2

L1

M

Q

i

K1

L2I

K2

Fig. 4

L1

N

PI

i

K ’1

N

P

i

L2I

K ’2

L1

N

PI

i

K ’1

L2I

K ’2

Fig. 5

L1

L2

I

I

Fig. 6

I

I

i

C1

i

C5

C4

C2

C3

Fig. 7

16

L1

N, M

P, Q

I

L2 N, M

P, Q

I Fig. 8

Rep. : 1

F5

F = , 07 ='F , 1FR =r

, Γ1 = i, Γ2 = 0, Γ3 = -I ; Γ4 = 0 ; Γ5 = 0

V.5 Une bobine plate, de 20 cm2 de section, 10 spires, est placée dans un champ d'induction uniforme de 0.1 T. Son axe fait un angle de 60° ave c la direction de l'induction. Elle est parcourue par un courant de 10 A. Calculer la valeur du couple tendant à faire pivoter la bobine. Quelle est l'influence du sens du courant sur la valeur de ce couple ? Rep. : Γ = 1.732 10-2 Nm

17

ETUDE du CHAPITRE VI I - CHAMP ET POTENTIEL

- Réfléchir au sens de Fr

par rapport au signe de q dans un Er

donné. Conséquence par exemple

sur les électrons libres d'un conducteur ( EqFe

r

= ).

- VBA = VB – VA = - ∫ ⋅)AB(

dE l : Quelle est la valeur de la circulation de E le long d'une courbe

fermée ? - Comment est dirigé E par rapport au sens de croissance des potentiels ? - Si la circulation n'est pas calculée le long d'une ligne de champ, que vaut -dV/dl ? (penser à

l'angle entre Er

et ld ). II - EXPRESSION DE LA FEM INDUITE

. Représenter Fr

par un vecteur sur la figure ci-contre, dans le cas d'une charge positive.

. En déduire les polarités (+ ou -) des extrémités P et Q du barreau, et donc :

. le sens croissant des potentiels,

. la direction du champ électrique Er

,

. la direction de la force électrostatique eF qui agit sur une

charge positive.

P

Q

O vr

Br

III - EXPRESSION ALGEBRIQUE DE LA FEM EN FONCTION D U FLUX - Représenter la normale à la surface balayée. - Le flux coupé est-il > 0 ou < 0 ? - Combien vaut la fem dans les conducteurs de

liaison AD et BC et pourquoi ?

O x

y

z

A

B C

D

1B

2B

vdx

IV – RELATION AVEC L'EXPRESSION FONCTION DU FLUX

- Démontrer la relation e = - dt

dΦ. Ce résultat est-il en accord avec la convention initiale e > 0 ?

- Préciser la cause de l'apparition de la fem.

- Chercher par quelle action et d'après quelle loi de l'électromagnétisme l'opposition à cette cause va se manifester.

- Refaire un dessin en montrant "la cause" et "l'opposition" à cette cause V - GENERALISATION - Représenter la normale au circuit de la figure précédente compte tenu du sens positif du courant.

Sachant que le déplacement dx du circuit s'effectue dans le sens des inductions décroissantes,

représenter une direction possible avec son sens pour le vecteur Br

. - Dans le cas général d’un circuit mobile dans B fonction du temps, analyser les causes d'apparition

de la fem induite et justifier la formule en utilisant les conclusions des cas précédents. - Dans l'expérience illustrée sur la figure ci-dessous, une spire tombe dans un champ magnétique

fixe dont le sens est indiqué sur les lignes de champ. Indiquer en le justifiant le sens du courant induit.

VI - FEM D'AUTO-INDUCTION Etablissement et coupure d'un courant - Etablir les lois de variation du courant i(t) données au § VI.3. - Calculer i pour t = 5 τ. - Estimer le temps nécessaire pour atteindre le régime permanent. Les courants de foucault Citer des exemples d'application de ce phénomène. Expliquer les exemples cités dans le cours.

18

Exercices du Chapitre VI VI.1 Soient deux conducteurs rectilignes, parallèles, de longueurs infinies, de rayon r et parcourus par un courant I circulant en sens inverse (voir figure). Ils sont séparés de la distance D (entre axes).

1) Exprimer l'induction magnétique Br

créée par ces deux fils au point M distant de x de l'axe du 1er fil.

2) On considère une longueur l de fil. Ecrire, en justifiant, le

flux Φ de Br

à travers une surface élémentaire de longueur l et largeur dx (voir figure).

3) En déduire le flux de Br

à travers la portion de plan située entre les deux fils, de longueur l.

4) En déduire de ce flux l'inductance propre, par unité de longueur, de la ligne bifilaire ainsi formée.

A. N. : D = 2 cm, R = 6 mm Rep. :

r

rDln

I −= lπ

µ0Φ L, = 0.34 µH/m

II

l dxx

M

D

VI.2 Cadre en mouvement dans un champ (DS 26/11/94) Un cadre rectangulaire conducteur MNPQ (longueur L = 0,5 m, largeur l = 0,2 m, résistance R = 0,1 Ω) se déplace à vitesse constante v = 10 m/s dans un plan horizontal XOY. A l'instant t = 0, il pénètre dans une zone (longueur L'>L, largeur a = 2l) où règne un champ

d'induction Br

de module 1 T orienté comme indiqué sur la figure 1.

Par convention, on oriente la normale au cadre dans le même sens que Br

.

Le champ Br

est uniforme 1°-Donner les expressions du flux à travers la surf ace du cadre en fonction du temps lorsque l'abscisse x = vt du point P est telle que : • 0 < x < a/2 (fig. 1a) • a/2 < x < a (fig. 1b) • a < x < 3a/2 (fig. 1c) 2°-Quelle est la valeur algébrique de la fem dans l es 3 cas précédents ? 3°-Représenter fig. 2 les variations de cette fem e n fonction du temps en indiquant les valeurs des temps remarquables. 4°- Indiquer sur la figure 3 la force de Laplace qu i s'exerce sur PQ. Quel est son module ? 5°- Pendant un intervalle de 20 ms on observe que l e courant dans le cadre circule de P vers Q. Indiquer en justifiant votre réponse entre quelles abscisses se trouve alors le point P.

L

l

M

N Q

P

v

Fig. 1

M

N Q

P

v

O Xa

Y

Br

lx

Fig. 1.a

M

N Q

P

v

O Xa

Y

Br

l x

Fig. 1.b

M

N Q

P

v

O Xa

Y

Br

l x

Fig. 1.c

e (V)

O t (ms)t1 = t2 = t3 =

Fig. 2

M

N Q

P

O Xa

Y

Br

lx

r

dr

Fig. 3

VI.3 Cadre dans un champ (DS 25/11/95) Un cadre rectangulaire conducteur MNPQ (longueur L = 0,5 m, largeur l = 0,2 m, résistance R = 0,1 Ω) est placé horizontalement dans un champ magnétique vertical. La normale au plan est orientée vers le haut, comme le champ. Le côté MP se trouve à la distance a(t) de l'axe Oy. Le module du champ, constant selon Oy (fig. 1) varie en fonction de x selon la loi :

B (x) = Bo (1-αx ) avec Bo = 1,5 T et α = 0,5 unité S. I.

19

1°-Le cadre est immobile : a(t) = constante = a o = 10 cm (fig. 1)

a)- Dans quelles unités S.I. exprimeriez-vous x et α ? b) - Exprimer le flux magnétique élémentaire à travers la surface élémentaire du cadre d'abscisse x. c) - En déduire le flux total à travers le cadre en fonction de Bo, l, L, ao et α. d) - Calculer la valeur de ce flux.

XO

Z

Y

a0

L

l)x(B

M N

QP

nr

Fig. 1

XO

Z

Y

)x(B

M N

QP

Fig. 2

2°-Le cadre oscille autour de la position précédent e (fig. 2). La distance OM varie selon la loi :

a(t) = ao (1 - sin ω t) avec ω = 314 rad / s a)- Montrer que le flux total à travers le cadre peut se mettre sous la forme : Ø(t) = Øo + Ømsin ω t

Exprimer Øo et Øm en fonction de Bo, l, L, ao et α . b)- Donner l'expression de la fem induite dans le cadre. c)- Calculer sa valeur maximale. Pour quelle valeur de a(t) est-elle atteinte ? En déduire la valeur maximale du courant induit. VI.4 Cadre dans un champ (DS 30/11/96) Les questions 6°, 7° et 8° peuvent être traitées à partir du résultat donné à la question 5°, même si les questions 4° et 5° n'ont pas été faites . Un cadre rectangulaire conducteur MNPQ (longueur L = a = 0,4 m, largeur l = 0,25 m) est placé horizontalement dans un champ magnétique vertical (fig. 1) dont l'amplitude varie suivant x selon une loi périodique de période 2a = 0,8 m comme indiqué sur la figure 2. Sa valeur maximale est Bo = 0,5 T. La normale au cadre est orientée vers le haut. Le cadre se déplace à vitesse constante v = 20 m/s dans la direction Ox. La position du cadre est repérée par l'abscisse x = vt du côté MQ (fig. 1).

B = B0 B = 0 B = 0 B = B0B = -B0

NM

Q P

nr

a

l Etc ...

xO a 2a2a

2a3

Fig. 1

B0 = 1.5 T

a xO

-B0

2a2a

2a3

Fig. 2

1- A l'instant initial (t = 0) le flux magnétique Øo dans le cadre est-il positif ou négatif ? Pourquoi ? 2- Calculer sa valeur littérale puis numérique. 3- Quelle est la plus petite valeur de x pour laquelle le flux est nul ? (une simple représentation du

cadre dans cette position suffit à comprendre). Au bout de combien de temps ceci a-t-il lieu ? 4- Pour une position x du cadre comme indiqué fig. 1, avec x appartenant à l'intervalle (0, a/2),

exprimer Ø(x), flux de B à travers le cadre. 5- Montrer, à partir de Ø(x), que, dans l'intervalle (0, a/2), la loi de variation du flux en fonction du

temps t s'écrit : Ø(t) = Øo(1- 4vt / a)

6- Représenter le cadre dans une position M'N'P'Q' pour laquelle le côté M'Q' se trouve dans l'intervalle (a/2, a). Que vaut alors le flux dans le cadre ?

7- En déduire la représentation sur la figure 2 de la variation du flux dans le cadre en fonction de t, dans l'intervalle (0, 2a). Donner la période T du flux en millisecondes.

8- Représenter avec une couleur différente sur la même figure les variations e(t) de la fem induite dans le cadre.

9- Exprimer la valeur maximale EM de cette fem en fonction de Bo, l, v. Calculer EM. Comment peut-on retrouver très rapidement ce résultat ?

VI.5 Sur 2 rails conducteurs, parallèles, formant un plan horizontal, peut se déplacer, sans frottement, un cavalier de longueur l. Les deux rails sont connectés à une source de tension de valeur E. La résistance du circuit ainsi constitué est indépendante de la position du cavalier. Sa valeur est R. Un champ d'induction uniforme, perpendiculaire au plan des rails, existe dans tout l'espace. Sa valeur est B. Valeurs numériques : l = 10 cm, E = 1 V, R = 0.05 Ω, B = 0.1 T 1) Le cavalier étant au repos, calculer la force

électromagnétique qui s'exerce sur lui. 2) En supposant qu'une force f (f = 0.15 N)

s'oppose à la force électromagnétique, calculer la vitesse limite que prendrait le cavalier libre de se déplacer.

3) Etablir l'équation du mouvement du cavalier, sachant que sa masse m est de 10 g.

Br

Br

Fr

fr

4) Le cavalier ayant atteint sa vitesse limite, la tension E devient brutalement nulle. Calculer la

force de décélération. 5) Ecrire la nouvelle équation du mouvement et en déduire la distance de freinage (entre Vmax et

V = 0). Nota : Dans tout le problème on néglige l'effet du courant sur l'induction B.

20

VI.6 Soit le système représenté sur la figure ci-dessous. Dans un même plan se trouvent :

- un conducteur A rectiligne, infini, parcouru par un courant I = 100 A,

- deux rails parallèles B et C de résistance électrique nulle et reliés à un générateur de tension V = 10 mV,

- un conducteur DE de résistance R = 0.1 Ω. Ce conducteur est guidé et se trouve toujours perpendiculaire aux deux rails.

On donne a = 0.1 m et L = 0.2 m E

DB

A

C

v

I

L

a

dx 1) Calculer le force électromagnétique créée par le conducteur A sur le conducteur DE. On

négligera les inductions créées par les deux rails. 2) Le conducteur DE peut se déplacer sur les deux rails.

a) Exprimer le flux coupé dΦc par le conducteur DE lorsqu'il se déplace de dx pendant le temps dt en fonction de I, a, L et dx.

b) Calculer la vitesse d'équilibre que prendrait le conducteur DE s'il se déplaçait sans frottement sur les deux rails.

VI.7

1) Un conducteur rectiligne (MN), de longueur L, se déplace à la

vitesse vr

dans un champ d'induction uniforme Br

perpendiculaire au plan défini par MN et v

r (figure 1).

a) Calculer la valeur de la fem qui apparaît aux bornes du conducteur MN.

b) Déterminer son sens en indiquant les polarités respectives (+ et -) de M et N.

c) Calculer la force (direction, sens et module) qui agirait sur le conducteur si les bornes M et N étaient reliées à un circuit de résistance totale R.

A. N. : B = 1 T, v = 10 m/s, L = 1 m, R = 1 Ω

2) A partir du conducteur MN, on forme une spire carrée MNQP de

côté L (figure 2). L'ensemble se déplace à la vitesse v précédente. a) Quelles sont les fem qui apparaissent respectivement sur

les 4 conducteurs MN, NQ, PQ et PM ? b) Quel est le courant qui circule dans la spire

MNPQ ? 3) Le conducteur MN précédent est maintenant placé

parallèlement à un fil de longueur infinie et parcouru par un courant I = 100 A (figure 3). On suppose que le conducteur MN s'éloigne du fil à une vitesse constante v à partir d'une position initiale où les deux fils étaient en contact (x = 0). a) Quelle est, à un instant quelconque t, l'expression de la

fem qui apparaît aux bornes de MN ? b) Quelle aurait été, au même instant t, cette fem si le

conducteur s'était déplacé à une vitesse 10 fois plus

Br

M

N

vr

Fig. 1

Br

M

N

vr

P

Q

Fig. 2

IM

N

vr

x

grande ? c) Calculer sa valeur si t = 10 s.

4) On considère maintenant la spire carrée MNQP de côté L. Cette

spire se déplace à la vitesse constante v à partir de la position initiale où le côté MN était en contact avec le fil infini (x = 0). a) Calculer, à un instant quelconque t, les fem qui

apparaissent respectivement sur les 4 conducteurs MN, NQ, PQ et PM.

b) En déduire l'expression de la fem totale dans la spire en fonction de I, v, L et t.

c) Calculer la valeur du courant i que cette fem fait circuler dans la spire de résistance R. Indiquer son sens sur une figure.

A. N. : I = 100 A, v = 10 m/s, t = 10 s, L = 1 m, R = 1 Ω

5) On suppose qu'à un instant quelconque t, la spire occupe la

position indiquée sur la figure 5 et qu'elle est parcourue par le courant i. a) Indiquer sur une figure le sens des forces qui s'exercent

sur chacun des conducteurs MN, PQ, PM et NQ dues à l'interaction des deux courants I et i.

b) Donner l'expression de ces 4 forces.

Fig. 3

M

N

vr

P

Q

I

x

Fig. 4

M

N

vr

P

Q

I

a i

Fig. 5

21

ETUDE du CHAPITRE VII

I - MILIEUX MAGNETIQUES

. Justifier que 0Bdip

r

= dans le cas où la matière n'a jamais été placée dans une induction

extérieure.

. Etablir l'unité de l'intensité d'aimantation Jr

.

. Justifier l'équivalence entre Jr

et Hr

.

. Champ magnétique Hr

: Bien comprendre l'application du théorème d'Ampère. . Montrer que le champ magnétique H est proportionnel aux ampères-tours : NI. A partir des dipôles, justifier :

- la forme de la courbe de 1ère aimantation - le cycle d'hystérésis - les pertes par hystérésis

II - REFFRACTION DES LIGNES D'INDUCTION Etablir les relations (1) et (2).

Ht1 = Ht2 (1)

Bn1 = Bn2 (2)

III - CIRCUITS MAGNETIQUES Justifier les relations : Hl = NI ; φ = B.S. et B = µH

Etablir l'expression de la réluctance équivalente : eq

1ℜ

= ∑ℜi i

1

IV - CIRCUIT MAGNETIQUE A 1 ENROULEMENT Tracer l'allure du courant dans le cas d'un matériau non saturable IV - CIRCUIT MAGNETIQUE A 2 ENROULEMENTS

. Reprendre le calcul en partant de l'enroulement 2 et calculer M21. Conclusion.

. Etablir les expressions de M12 et M21.

. En exprimant les coefficients d'Hopkinson en fonction des réluctances ℜ1, ℜp1, ℜ2 et

ℜp2, montrer que M12 = M21.

. Montrer que k2 = 21

1

νν .

Exercices Chapitre VII

VII.1 Un circuit magnétique est composé d'une armature de fer (perméabilité µr = 100), de 20 cm de longueur moyenne et de 4 cm2 de section. Il comporte un entrefer de 1 mm (et de 4 cm2 de section).

1) Calculer la réluctance d'un tel circuit magnétique. 2) Quelle serait la réluctance du circuit magnétique considéré si la perméabilité relative du fer était

µr = 10000. VII.2 Un circuit magnétique est composé de trois colonnes (1, 2 et 3) identiques (longueur 10 cm, section 4 cm2, perméabilité relative µr = 1000) reliées par des culasses de réluctance nulle. La colonne 1 est entourée par une bobine formée de 300 spires (on néglige les fuites magnétiques). 1) Calculer la réluctance que voit la bobine. 2) La bobine étant parcourue par un courant de 2 A, calculer :

a) le flux magnétique existant dans la colonne 1, b) le flux magnétique existant dans la colonne 2, c) en déduire l'induction régnant dans ces colonnes, d) cette induction vous paraît-elle possible ?

VII.3 On considère le circuit magnétique de l'exercice précédent. Sur la colonne 1 se trouve une bobine A de 500 spires. Sur la colonne 2 se trouve une bobine B de 50 spires. 1) Calculer l'inductance propre des bobines A et B. 2) Calculer le coefficient d'inductance mutuelle entre ces bobines. VII.4 Un circuit magnétique est formé de 3 colonnes A, B et C de réluctance :

ℜA = ℜ0, ℜ B = 2 ℜ 0, ℜC = ℜ 0 Ces colonnes sont reliées par deux culasses de réluctance nulle. Les spires de la bobine 1 entourent à la fois la colonne A et la colonne B. Cette bobine est formée de N1 spires. Les spires de la bobine 2 entourent à la fois la colonne B et la colonne C. Cette bobine est formée de N2 spires.

1

2A

B

C

1) La bobine 1 est parcourue par un courant de i ampères. Calculer (en fonction de i) le flux

magnétique existant dans les colonnes A, B et C. 2) Calculer le coefficient propre de la bobine 1. 3) Calculer le coefficient d'inductance mutuelle entre les bobines 1 et 2. A. N. : ℜ 0 = 106 (MKSA), N1 = 300 spires, N2 = 200 spires

22

VII.5 Calcul d'une self inductance 1) Calculer le coefficient d'induction propre L' et L''

dans les deux hypothèses de fonctionnement pour lesquelles µr vaut :

µr = 1000 et µr = 10000

n = 500

l = 10 cm

s = 1 cm2

2) On coupe le circuit magnétique par un entrefer de 1 mm. Calculer dans les deux hypothèses précédentes les coefficients d'inductance propre L' et L''.

VII.6 Un circuit magnétique peut être décomposé en 3 parties.

Partie 1 : longueur moyenne du fer l1 = 0.3 m entrefer e = 1 mm section S1 = 4 cm2 Partie 2 : longueur moyenne du fer l2 = 0.1 m section S2 = 8 cm2 Partie 3 : longueur moyenne du fer l3 = 0.3 m Section S3 = 4 cm2

e

(1)

(2)

(3)

La partie 2 porte une bobine de N2 = 500 spires et le fer a une perméabilité relative µr = 1000 (matériau linéaire). 1) Calculer la réluctance vue par la bobine 2. 2) En déduire son inductance propre L2. 3) On place un enroulement de N3 = 50 spires sur la partie 3. Calculer l'inductance mutuelle entre

les 2 bobines. VII.7 Un circuit magnétique comporte 3 parties (figure ci-dessous) :

(1) : L1 = 30 cm, S1 = 4 cm2 (2) : L2 = 10 cm, S2 = 8 cm2 (3) : L3 = 30 cm, S3 = 4 cm2

(1)

(2)

(3)

L2

L3L1

Pour B < 1.5 T, le matériau est linéaire avec µr = 104. On place un enroulement A autour de la partie (2) avec Na = 200 spires. Cet enroulement est parcouru par un courant continu Ia. 1) On veut déterminer le courant maximal admissible dans A pour que le circuit magnétique reste

linéaire.

Calculer : - la réluctance vue par l'enroulement A, - les flux ϕ1, ϕ2 et ϕ3 dans les parties (1), (2) et (3) du circuit magnétique, en

fonction de Ia, - en déduire les inductions B1, B2 et B3 en fonction de Ia, - et le courant Ia maximal.

2) Calculer l'inductance propre La de l'enroulement A. 3) On place un enroulement B autour de la partie (3) avec Nb = 200 spires. Calculer son

inductance propre Lb et le coefficient d'inductance mutuelle entre les deux enroulements. VII.8 Un relais est constitué comme indiqué sur la figure ci-dessous. La section de la partie fixe et de la partie mobile du circuit magnétique est de 4 cm2. La longueur moyenne du circuit est de 24 cm. La perméabilité relative du fer relative qui compose le circuit magnétique est égale à µr = 100. L'ouverture de l'armature mobile fait apparaître deux entrefers de longueur e et de section 4 cm2.

Bobine

e

Le relais est fermé quand e est nul. Le relais est ouvert quand e est maximal, e est alors égal à 3 mm. La bobine d'excitation du relais comporte 2000 spires de fil de cuivre (résistivité ρ = 1.7 10-6 Ωcm) de section circulaire ( φ = 5/10 mm). La longueur moyenne d'une spire est 12.5 cm. 1) Calculer la réluctance du circuit magnétique vue de la bobine.

a) en fonction de e, pour e quelconque, b) quand le relais est fermé, c) quand le relais est ouvert.

2) Calculer l'inductance a) en fonction de e, pour e quelconque, b) quand le relais est fermé, c) quand le relais est ouvert.

3) La bobine étant alimentée en courant continu et traversée par un courant d'intensité i ampère. Calculer en fonction de i la force, en grandeur et en signe, s'exerçant sur l'armature mobile (on rappelle que la force se calcule par le principe des travaux virtuels – le travail élémentaire produit par un déplacement de de l'armature étant fonction de la variation dL de l'inductance de la bobine) : a) pour une position quelconque e de l'armature, b) quand le relais est fermé, c) quand le relais est ouvert.

4) La bobine du relais est alimentée par une source de tension continue V = 5 Volts. a) calculer l'intensité du courant traversant la bobine, b) la force sur l'armature mobile en position fermée c) la force sur l'armature mobile en position ouverte

23

ETUDE du CHAPITRE VIII I - LE TRANSFORMATEUR PARFAIT Quelle est la valeur du coefficient de couplage m d’un transformateur parfait ? II – LE TRANSFORMATEUR INDUSTRIEL 1 – Equations Retrouver que le rapport de transformation est égal au rapport des tensions à vide secondaire sur primaire. 2 – Schémas équivalents Ecrire les équations électriques relatives au circuit et au diagramme de Fresnel suivants.

Transfo. parfait

2I

2U2E1U

1I

1E

Z1=R1+jXf1 Z2=R2+jXf2

1E

2E

1I

2Iϕ1

ϕ2 Φ

1U

2U

11IR

11f IjX

22IR

22f IjX

3 – Différents types de fonctionnement Citer des exemples d’utilisation des deux types de fonctionnement présentés 4 – Etude énergétique Pourquoi est-il nécessaire de limiter le courant pendant l’essai en court-circuit (faire une petite étude qualitative) ? 5 – Etude indirecte Bien comprendre le passage entre toutes les équations des schémas ramenés au primaire et au

secondaire. Tracer le triangle des impédances du schéma équivalent. Quelle est la relation entre ce triangle et le triangle de Kapp ? 6 – Couplage des transformateurs Le transformateur T’ a les caractéristiques suivantes : z’2 = 0,055 Ω, ϕ’cc = 30°, S’ = 44 kVA. Le transformateur T’’ a les caractéristiques suivantes : z’’2 = 0,11 Ω, ϕ’’cc = 60°, S’’ = 22 kVA. Le réseau alimentant les deux transformateurs en parallèle est 5000 V / 200 V. Quelles sont les valeurs des courants I’2 et I’’2 débités par chacun des transformateurs si le courant total It2 dans la charge commune est égal à 300 A ? Ce débit est assuré dans une charge purement résistive, quels sont les déphasages propre ϕ’ et ϕ’’ des transformateurs ? 7 – Transformateurs spéciaux Bien comprendre le fonctionnement de ces transformateurs.

24

Exercices Chapitre VIII VIII.1 Un transformateur monophasé porte sur sa plaque signalétique les indications suivantes :

50 kVA ; 2000 / 120 V ; 50 Hz On procède aux essais suivants : - Essai à vide : U10 = 2000 V ; U20 = 125 V ; I10 = 1 A ; P10 = 1000 W, - Essai en court-circuit : U1cc = 80 V ; I2cc = 400 A ; P1cc = 1200 W A- Caractéristiques du transformateur 1) Calculer les intensités nominales du transformateur 2) Calculer son rapport de transformation. Rendre cohérente les valeurs précédentes. 3) Lors de l’essai en court-circuit, le primaire étant supposé parfait, Calculer :

- La valeur du courant primaire, - La valeur de la fem secondaire, - La chute de tension résistive vue du secondaire.

4) En déduire les éléments du triangle de Kapp : - Exprimés en Volts pour I = In, - Exprimés en Ohms.

5) Calculer la tension secondaire lorsque le transformateur débite In avec cos ϕ = 1 ; cos ϕ = 0,8AR ; cos ϕ = 0,8 AV. Discuter et conclure.

6) Le transformateur est raccordé à une charge résistive de 0,4925 Ω. Quel est le point de fonctionnement ?

B- Etude énergétique 1) En admettant que les pertes par effet Joule dans les enroulements primaire et secondaire ont

même valeur, calculer la résistance de chaque enroulement. 2) Déterminer et tracer la courbe de rendement η = f(I1) pour un déphasage de 0,8 AR.

(prendre I1 = I0 ; In /4 ; In /2 ; 3In /4 ; In) 3) Déterminer le débit pour lequel le rendement est maximal. Calculer sa valeur. 4) Ce transformateur débite de façon cyclique 400 A pendant 12 heures et 326 A pendant les 12

autres. Calculer le rendement journalier. Discuter et conclure. C- Couplage en parallèle Pour augmenter la puissance disponible, on veut coupler en parallèle sur le premier transformateur T’, un second transformateur T’’ de mêmes caractéristiques externes : 50 kVA ; 2000 / 120 V ; 50 Hz. 1) La plaque signalétique de ce transformateur indique ucc = 5 % et pcc = 4 %. En déduire les

éléments du triangle de Kapp. 2) Indiquer les conditions à respecter pour pouvoir effectuer le couplage en parallèle. Quel est le

transformateur qui atteint le premier l’intensité nominale ? Quel est alors le courant du second ?

3) Quel est le courant dans la charge ? 4) La charge étant purement active, quel est le facteur de puissance propre à chacun des deux

transformateurs ? Quelle est la tension commune ?

5) On veut que les courants dans chaque transformateur se répartissent dans le rapport des puissances apparentes et pour cela on ajoute en série avec l’un d’entre eux une réactance pure d’équilibrage jxe. Indiquer où cette réactance peut être ajoutée. Calculer sa valeur. Un résultat semblable aurait-il pu être obtenu avec une résistance re ? Quelle en serait la conséquence ?

VIII.2 Distribution électrique (DS du 27/03/82) Une distribution électrique destinée à l’alimentation de locaux commerciaux (éclairage) est constituée comme ci-dessous :

Réseau amont 20 000 V Réseau aval 220 V par câble

On désire vérifier si les dispositions réglementaires régissant la distribution basse tension destinée à l’éclairage ( )%6%u ≤∆ sont dans tous les cas satisfaites. A- Caractéristiques du transformateur Le constructeur propose un transformateur dont les caractéristiques sont les suivantes :

11 kVA ; 20000 / 220 V ; 50 Hz, ucc = 4 % ; pcc = 2 % 1) En admettant que les tensions indiquées correspondent aux tensions à vide, quel doit être le

rapport 1

2

n

n des nombres de spires du transformateur ?

2) L’essai en court-circuit est réalisé sous tension réduite U1cc pour limiter le courant débité à sa valeur nominale I2n.

- Calculer la tension de court-circuit primaire U1cc et fem secondaire E2cc, - Calculer les courants primaire I1 et secondaire I2 circulant dans cet essai. - En déduire l’impédance interne vue du primaire z1 ou du secondaire z2. Vérifier si

le rapport 2

1

zz

a la valeur prévue.

3) Le transformateur est alimenté sous la tension nominale U1n et un défaut de court-circuit apparaît entre les bornes secondaires. En l’absence d’appareils de protection et en négligeant les éventuels phénomènes transitoires, calculer :

- Les courants de court-circuit I1cc et I2cc, - La puissance apparente Scc mise en jeu au niveau du primaire.

4) Pour déterminer les grandeurs correspondant à un défaut de court-circuit avec U1 = U1n, les manuels pratiques proposent les formules suivantes :

100uI

Icc

ncc ⋅= ; 100

uS

Scc

ncc ⋅= ;

cc

2n

SU

z = (grandeurs primaires ou secondaires).

Retrouver ces formules à partir des relations toujours vraies : n

cc

I

Uz = et

zU

I ncc =

5) Montrer que %U

Iz%u

n

ncc = et que %

UIr

%pn

ncc = (grandeurs primaires ou secondaires).

6) Le récepteur est constitué par des tubes fluorescents dont le facteur de puissance est compensé à 0,866 AR. Déterminer graphiquement et directement la chute de tension ∆u en % quand le plus grand nombre de tubes admissibles est alimenté par le transformateur (échelle conseillée : 1 cm pour 1 %)

B- Influence du réseau amont L’ensemble de la distribution peut être représenté par le schéma équivalent suivant : Le distributeur (EDF) indique que le réseau amont, compte tenu de sa configuration, peut délivrer une puissance apparente en court-circuit SRcc = 1,1 MVA.

25

Transfo.

zR1 z2 zc

Réseau amont Câble de distribution

1) Calculer l’impédance interne zR1 présentée par ce réseau (on peut utiliser les formules pratiques

de la question A-4). 2) Calculer la valeur de cette impédance zR2 ramenée au secondaire du transformateur.

3) Sachant que 21

zr

R2

R2 = , comparer les arguments de zR2 et de z2 du transformateur. Calculer la

valeur de l’impédance totale zt2 vue du secondaire du transformateur. 4) En déduire la valeur à laquelle est limité le courant de court-circuit I’2cc au secondaire. 5) Pour la charge maximale admissible, tracer la triangle de chute de tension correspondant à

l’impédance totale ramenée au secondaire zt2. En déduire la nouvelle chute de tension réduite en % (échelle conseillée 1 cm pour 2 V) .

C- Influence de la distribution aval Le câble alimentant les différents tubes fluorescents a les caractéristiques suivantes :

résistance par mètre rc/m = 1,35 10-3 Ω ; réactance négligeable La chute de tension maximale admissible en bout de câble est de 6 %. 1) Calculer la tension minimale U2m en bout de câble. 2) Rechercher la chute de tension maximale admissible dans le câble (on conseille une solution

graphique 1 cm pour 2 V) 3) En déduire la longueur maximale admissible pour ce câble. 4) Proposer une (ou plusieurs) solution(s) susceptible(s) de réduire la chute de tension en bout de

câble sans modifier le nombre de tubes fluorescents en service.

26

Exercices Chapitre IX IX.1 Un transformateur triphasé est constitué de trois transformateurs monophasés. Le primaire, de montage triangle, est alimenté sous 10 kV à la fréquence 50 Hz. Il consomme à vide 750 W avec un facteur de puissance de 0,18. Le secondaire, monté en étoile, donne alors une tension de 395 V = U20. Dans l’essai en court-circuit, le transformateur alimenté sous 450 V consomme 4000 W et débite un courant secondaire de 380 A. A- On se propose d’étudier le fonctionnement du transformateur pour un débit inductif au secondaire de 380 A, avec un facteur de puissance de 0,8 lorsque le primaire est alimenté sous 10 kV. 1) Exprimer, en fonction des tensions entre bornes U1 et U2, les tensions par colonne au primaire

et au secondaire. Exprimer de même les courants par colonne en fonction des courants de ligne I1 et I2.

2) Calculer mc, le rapport de transformation « par colonne ». 3) Donner, pour une colonne, l’équation vectorielle de fonctionnement du transformateur (on

notera z2C l’impédance par colonne ramenée au secondaire). 4) Déterminer graphiquement et algébriquement le valeur ∆UC de la chute de tension. En déduire

∆U2 et U2. 5) Quel est le rendement du transformateur ? 6) Quel est le courant en ligne primaire ?

B- L’induction maximale à vide dans le fer est de 1,5 T. Le champ dans le fer est alors de 60 Am-1. Le nombre de spires de chaque bobine primaire est de 1800. Calculer : 1) La section utile de chaque noyau. 2) L’entrefer total de chaque noyau, sachant que la ligne de force moyenne a une longueur de

2,2 m. 3) Le nombre de spires de chaque bobine secondaire.

IX.2 On désire modéliser un transformateur triphasé sec enrobé afin de prévoir son fonctionnement en charge. La documentation concernant le transformateur choisi est donnée en annexe. Le réseau triphasé 50 Hz est direct (A,B,C) et équilibré. Modèle choisi : Sn= 800kVA et tension composée primaire U1n = 20kV. La température de fonctionnement est120°C. 1) Représenter le couplage du transformateur sur la figure 1, puis flécher et identifier tous les

courants et les tensions (convention récepteur au primaire (A,B,C) et générateur au secondaire (a,b,c).

2) Calculer les valeurs nominales des courants en ligne primaire et secondaire ainsi que celles dans les enroulements.

3) Calculer le rapport de transformation mc par colonne de ce transformateur. 4) Exprimer VA tension simple primaire en fonction de mc et Va. En déduire le rapport de

transformation externe m et justifier l'indice horaire donné dans la documentation pour ce transformateur.

5) Donnez un schéma équivalent (simplifié) de ce transformateur par colonne ramené au secondaire. (Rf, Lp, rs, xs) en précisant ce que représente chaque élément. (flécher courants et tensions)

6) A l'aide des données constructeur calculer les valeurs numériques des différents éléments de ce modèle (Rf, Lp, rs, xs).

7) Exprimer le rendement du transformateur triphasé alimenté sous tension nominale primaire. Pour quel régime de charge ce rendement est-il maximum ?

8) Remplir le tableau suivant pour différents régimes de charge (calculs avec l'hypothèse de Kapp) et pour un cos ϕ = 0,8 (inductif) de la charge.

9) Comparer la chute de tension pour un courant nominal et cos ϕ = 0,8 à celle mesurée par le constructeur. A quoi peut servir le réglage hors tension de +- 2% signalé dans la documentation ?

Etude du transformateur à vide et lors de l'enclenc hement :

Soit )tsin(U)t(UAB ω= prise comme origine des phases, N1 le nombre de spires de l'enroulement primaire.

1) Si le transformateur est connecté au réseau à l'instant t=t1, exprimer le flux φ

(dans la colonne

correspondante) en fonction de U , N1,ωt et t1. 2) En quoi l'instant de connexion influe t-il sur le courant d'enclenchement ? Comment peut-on

arriver à un courant à vide de 10 fois le courant nominal ? Donner une réponse précise et illustrée.

3) D'où provient la constante de temps donnée dans la documentation constructeur ? 4) La section d'une colonne du circuit magnétique est de 250 cm2 et le champ d'induction

maximum est Bmax=1,7 T. Calculer le nombre de spires N1 d'un enroulement primaire. En déduire le nombre de spire N2 d'un enroulement secondaire.

A vide In/4 In/2 In

Chute de tension simple secondaire 2∆V

Tension composée secondaire 2U

Rendement η (%)

27

A B C

a b c

* * *

* * *

Figure 1

28

Exercices Chapitre X X.1 Débit sur charge inductive A- Une source alternative sinusoïdale vs(ωt) de valeur efficace

Vs = 70 V, alimente une résistance Ω= 325R en série avec une inductance L présentant à la fréquence de la source 50 Hz une impédance Lω = 25 Ω.

1- Calculer la valeur efficace et la valeur maximale du courant

i(ωt) traversant la charge. Déterminer son déphasage ϕ par rapport à la tension vs(ωt).

2- Donner l’expression de i(ωt) et tracer selon les mêmes axes les signaux vs(ωt). et R i(ωt) à une échelle laissée au choix.

vS

R

L

R i

B- Le même récepteur est alimenté à travers un

thyristor T amorcé pour un angle θ = π/6. 1- Représenter le courant R ic(ωt) dans la charge

en justifiant son allure. 2- En déduire l’allure des signaux uc(ωt) et vT(ωt). 3- Calculer la valeur moyenne de la tension uc(ωt). 4- En déduire la valeur moyenne et la valeur

efficace du courant ic(ωt). vS

vT

iC

R

L

R iC

uC

C- L’angle d’amorçage du thyristor étant maintenu égal à π/6, on ajoute une diode de roue libre

DRL au montage précédent, et on majore l’inductance de telle façon que le courant dans la charge puisse être considéré comme constant i’c(ωt) = I’c = constante.

1- Reproduire le schéma précédent et le compléter par la diode de roue libre convenablement

connectée. 2- Calculer les nouvelles valeurs de la tension moyenne U’cmoy et du courant moyen I’cmoy relatives

à la charge. 3- Représenter les signaux i’T(ωt) et i’DRL(ωt). 4- Calculer leurs valeurs moyennes et efficaces. X.2 Montage redresseurs élémentaires On désire procéder à l’étude systématique des différents circuits redresseurs élémentaires selon : - la nature du semi-conducteur, - la nature de la charge : résistance, inductance, force électromotrice. Dans tous les cas, la source alternative sinusoïdal 50 Hz est la même et a pour expression :

( )tsinV)t(v m ω= avec volts2127Vm =

A- Redresseur monophasé à diode Le montage étudié est le suivant : 1) La charge est constituée par une résistance

pure R = 20 Ω. a) Représenter les signaux u(ωt) = R i(ωt) et

vD(ωt), Les positionner par rapport à v(ωt).

b) Donner la valeur maximale de la tension inverse vD.

c) Déterminer les expressions de Imoy et Ieff. Calculer leur valeur.

v

vD

i

u

Charge

2) La charge est constituée de la résistance précédente en série avec une inductance L présentant en régime sinusoïdal 50 Hz une réactance Lω = 20 Ω.

a) Rechercher l’expression de i(t) ou i(ωt) dans le cas général et représenter l’allure de i(ωt) ou R i(ωt) dans le cas des valeurs du montage.

b) En déduire et représenter les signaux u(ωt) et vD(ωt). c) Comment se modifient ces signaux quand la charge est purement inductive (R -> 0). d) Montrer que la relation Umoy = R Imoy est vérifiée.

3) La charge est constituée par une résistance R en série avec une fem continue 2

VE m= .

a) La borne (+) de la fem est reliée à la cathode, représenter les signaux R i(ωt), u(ωt) et vD(ωt).

b) Mêmes questions lorsque la fem est inversée. c) Rechercher l’expression de Imoy dans les deux cas d) Calculer R pour que Imoy soit limité à 3 A.

B- Redresseur monophasé à thyristor Le montage étudié est le suivant : 1) La charge est constituée par une résistance

pure R = 20 Ω. a) Représenter les signaux u(ωt) = R i(ωt) et

vT(ωt) pour un angle d’amorçage θ = π/2, b) Déterminer l’expression de Imoy = f(θ) et

tracer le graphe correspondant. c) La diode de roue libre DRL modifie-t-elle

le fonctionnement précédent ?

v

vT

iT

u

Charge

iRL

DRL

K

i

2) La charge est constituée de la résistance précédente en série avec une inductance L présentant en régime sinusoïdal 50 Hz une réactance Lω = 20 Ω.

a) Rechercher l’expression de i(ωt) dans le cas où

ω=θR

LArctg et représenter l’allure de

R i(ωt) dans le cas des valeurs du montage. b) Donner l’expression de la pente à l’origine (ωt = θ) de R i(ωt) dans le cas général. Montrer

que le graphe R i(ωt) coupe celui de v(ωt) en un point à tangente horizontale. c) Représenter l’allure de R i(ωt) pour θ = 0 et θ = π/2.

29

d) Représenter les signaux u(ωt) et vT(ωt) pour les 3 valeurs de θ considérées.

3) La diode de roue libre est connectée en parallèle sur la charge R-L précédente. a) Représenter les signaux u(ωt), R i(ωt) et vT(ωt) pour un angle d’amorçage θ = π/4, b) Déterminer l’expression de Umoy = f(θ). En déduire la valeur de imoy dans les conditions du

montage. c) Représenter les signaux iT(ωt) et iRL(ωt).

4) Le récepteur comprend en plus de la résistance et de la réactance précédentes, un élément

actif 2

VE m= dont la borne positive est reliée à la cathode du thyristor.

v

vT

u

Charge

i

E

a) Représenter les signaux u(ωt), R i(ωt) et vT(ωt) pour un angle d’amorçage θ = π/4, b) Justifier la relation Umoy = E + R Imoy . c) Entre quelles limites peut-on faire varier l’angle d’amorçage θ pour que le courant moyen

soit non nul ? 5) Le montage comprend les mêmes éléments qu’à la question B-4 mais les polarités de E sont

inversées.

v

vT

u

Charge

i

E

a) Représenter les signaux u(ωt), R i(ωt) et vT(ωt) pour un angle d’amorçage θ = π/4 et θ = π. b) Indiquer dans chaque cas dans quel sens se fait l’échange d’énergie entre la source

alternative v et la source continue E. Conclure. c) La réponse est-elle modifiée si la diode de roue libre est en service ?

X.3 Montage redresseur biphasé On considère un montage redresseur biphasé à cathodes communes alimenté sous Vp = 220 V.

T1

uc

ic

vs (ns)

ip

T2

R, L

-vs (ns)

vp (np)

1) Représenter le signal uc(ωt) pour θ = 0,

Calculer Vs pour avoir Ucmoy = 120 V.

Calculer le rapport de transformation p

s

n

nm =

2) La tension aux bornes de la charge pour θ = 0 s’écrit par décomposition de Fourier

( ) ( )∑∞

−ω

π−=ω

12

maxscmoyc

1n4

tn2cosV4Utu

Calculer Ic0moy pour R = 8 Ω. Calculer la valeur de crête, la valeur efficace et la fréquence du premier harmonique uc1(ωt). En se limitant à cet harmonique, calculer l’inductance L pour que la valeur crête à crête de ic1(ωt) soit limitée à 10 % de Ic0moy.

3) Le thyristor T2 ne s’amorce pas, quelle est la forme de uc(ωt) ? 4) Le thyristor T1 est détruit (conduction permanente) que se passe-t-il si :

- T2 ne s’amorce pas ? - T2 s’amorce ?

X.4 Redresseur en pont monophasé Un pont monophasé à thyristors est destiné à alimenter un récepteur passif sous une tension moyenne Ucmoy(θ) réglable et dont la plus grande valeur est Uc0moy = 120 V. Il est raccordé à un réseau alternatif sinusoïdal 220 V, 50 Hz par l’intermédiaire d’un transformateur d’adaptation. A- Etude vis-à-vis de la charge La charge passive consomme une puissance maximale PM de 1200 W et doit être parcourue par un courant dont le taux d’ondulation est réduit ic(t) = Ic = constante.

30

1- Représenter la tension uc(ωt) pour θ = π/6 en admettant l’hypothèse énoncée pour le courant, Rappeler l’expression de Ucmoy(θ), l’exprimer en fonction de Uc0moy. Comment se modifie uc(ωt) si l’on court-circuite l’inductance ? Comment pourrait-on obtenir le même résultat en conservant un taux d’ondulation réduit ?

2- Quelle est la valeur maximale Ic0 du courant Ic(θ) ? 3- Quelle est la résistance R de la charge ? 4- Quelle est la valeur de l’inductance L de la charge si on admet que τ = T (période de uc(ωt)) 5- Quelle est l’expression du courant Ic(θ) et de la puissance P(θ) en fonction de Uc0moy et Ic0 si l’on

admet que l’hypothèse sur la forme du courant se conserve quelle que soit la valeur de θ ?

Charge

T’2T’1

T1 T2

uc

icvs

P Q

iT1

iT’1

iT2

is

vT1

vT’2

vp

ip

B- Choix des thyristors 1- Pour θ = π/6 et un courant dans la charge Ic(θ) supposé constant, représenter les courants

iT1(ωt) et iT2(ωt) traversant les thyristors T1 et T2. En déduire leurs valeurs moyenne et efficace en fonction de θ.

2- Représenter dans les mêmes hypothèses la tension vT1(ωt). 3- Choisir dans un catalogue constructeur un type de thyristor susceptible de constituer le pont. C- Performances du montage en pont 1- Dans les hypothèses définies au B-1, représenter le courant is(ωt) consommé par le pont.

En déduire sa valeur efficace en fonction de θ. 2- Donner l’expression de la puissance apparente S(θ) vue de l’alimentation du pont en fonction de

Uc0moy et Ic0. Calculer sa valeur la plus élevée. En déduire l’expression du facteur de puissance f(θ) du montage en pont. Calculer sa valeur la plus élevée.

D- Détermination du transformateur 1- Déterminer le rapport de transformation m. 2- Déterminer la forme du courant primaire ip(ωt). 3- Calculer la puissance apparente au primaire Sp(θ). Comparer avec la puissance apparente

secondaire Ss(θ). Justifier.

X.5 Montage redresseur en pont mixte Une charge est constituée par une résistance R et une inductance L montées en série dont les valeurs sont : R = 10 Ω et L = 0.5 H. Elle doit être alimentée sous une tension moyenne réglable dont la plus grande valeur est : Uc0moy = 150 V. Pour cela on utilise un pont monophasé mixte raccordé à un réseau alternatif sinusoïdal (Vp = 220 V, f = 50 Hz) par l’intermédiaire d’un transformateur d’adaptation (voir figure).

RL

D4T2

T1 D3

uc

icvsvp

isip

A- Régime de conduction 1- Calculer la constante de temps τ de la charge.

La comparer à la période de la tension uc(ωt) aux bornes de la charge. 2- Que peut-on en conclure quant à la forme du courant ic(ωt) dans la charge. B- Etude des différents signaux 1- Pour un angle d’amorçage θ = π/3, représenter uc(ωt).

Préciser en les justifiant, les intervalles de conduction des 4 éléments semi-conducteurs. 2- Représenter les courants iT1(ωt), iT2(ωt), iD3(ωt) et iD4(ωt).

En déduire la forme du courant dans le secondaire is(ωt) 3- Donner la forme de la tension vT1(ωt) aux bornes du thyristor T1. C- Etude au niveau de la charge 1- Calculer l’expression Ucmoy(θ). Montrer qu’elle est maximale pour θ = 0.

En déduire la tension Vs au secondaire du transformateur. 2- Calculer la valeur Ic du courant circulant dans la charge pour θ = 0. D- Détermination des différents éléments du montage 1- Déterminer les courants moyen et efficace circulant dans le thyristor T1 ainsi que sa tension

inverse maximale. Montrer que les 3 autres éléments semi-conducteurs possèdent les mêmes caractéristiques (Imoy, Ieff et Vinv max). Choisir les semi-conducteurs dans le catalogue du constructeur.

2- Calculer le rapport de transformation m du transformateur ; Déterminer la puissance apparente du secondaire ainsi que le facteur de puissance.

31

X.6 Alimentation par un pont mixte Un récepteur passif doit être parcouru par un courant sensiblement constant dont l’amplitude Ic peut être variable. Pour cela on choisit de l’alimenter par un pont mixte raccordé à une source industrielle par l’intermédiaire d’un transformateur d’adaptation. Le récepteur présente une résistance R = 15 Ω et peut être traversé par un courant maximal Icmax = 10 A. La source a pour caractéristiques : Vp = 220 V, f = 50 Hz.

Charge

vp

Transformateur

vs

Pont mixte

uc A- Etude de la Charge 1) Pour que la courant dans la charge soit sensiblement constant ic(ωt) = Ic, on majore l’inductance

L de celle-ci pour que la constante de temps τc soit égale à deux fois la période T de uc(ωt). En déduire la valeur de l’inductance totale.

2) Calculer la plus grande valeur Uc0 moy de la tension moyenne Uc moy aux bornes de la charge. B- Etude du pont 1) Représenter le pont mixte sachant que les deux thyristors sont montés cathodes communes. 2) Sachant que la plus grande valeur de la tension de sortie correspond à θ = 0, calculer la tension

efficace d’alimentation du pont. 3) Enoncer les grandeurs caractéristiques des semi-conducteurs.

a. Rechercher leur valeur. b. Proposer des composants choisis dans un catalogue.

C- Etude du transformateur 1) Calculer le rapport de transformation. 2) Calculer le courant efficace dans le secondaire et le primaire du transformateur (valeurs les plus

élevées). 3) En déduire sa puissance apparente.

L, R

uc

icvs

L, R

uc

icvs

D- Etude des signaux Le pont mixte est en réalité selon l’un des 2 schémas ci-dessous. Dans tous les cas l’inductance L de la charge est suffisamment élevée pour que le courant ne s’interrompe jamais. Représenter en le justifiant l’allure du signal uc(ωt) quand θ = 45° dans les deux cas de figure précédents.

Valeurs crêtes Caractéristiques électriques à Tamb = 25 °C Types I0

(A)

VDWM =

VRWM (V)

VRSM

(V)

ITSM 10 ms

(A)

VGT

(V)

IGT

(mA)

IH à RGK = ∞

(mA)

VTM (V)

IRM à VDWM = VRWM (mA)

tgt (µs)

tq (µs)

dV/dt à 60 % VDWM (V/µs)

di/dt

(A/µs) 7,4 Aeff (rms) / t case = 75°C, t Vj = 110 °C, i²t = 35 A²s

ITM = 15 A

tVj = 110 °C

tVj = 110 °C iT = 6 A

tVj = 110 °C

TM 507

TM 1007

TM 2007

TM 3007

TM 4007

TM 5007

TM 6007

TM 8007

4,7

50 100 200 300 400 500 600 800

75 150 300 400 500 600 700 900

60

3

40

60

2

2

2

25

20

8 Aeff (rms) / t case = 75°C, t Vj = 110 °C, i²t = 35 A²s

ITM = 15 A

tVj = 110 °C

tVj = 110 °C iT = 6 A

tVj = 110 °C

TY 508

TY 1008

TY 2008

TY 3008

TY 4008

TY 5008

5

50 100 200 300 400 500

75 150 300 400 500 600

80

3

40

60

2

2

2

25

200

10 Aeff (rms) / t case = 75°C, t Vj = 110 °C, i²t = 50 A²s

ITM = 20 A

tVj = 110 °C

tVj = 110 °C iT = 6 A

tVj = 110 °C

TY 510

TY 1010

TY 2010

TY 3010

TY 4010

6,4

50 100 200 300 400

75 150 300 400 500

100

3

40

60

2

2

2

25

200

15 Aeff (rms) / t case = 75°C, t Vj = 125 °C, i²t = 120 A²s

ITM = 30 A

TVj = 125 °C

tVj = 125 °C iT = 10 A

tVj = 125 °C

2N1043A

2N1844A

2N1846A

2N1848A

2N1840A

2N1850A

TR 6010

TR 7010

TR 8010

TR 9010

10

50 100 200 300 400 500 600 700 800 900

75 150 300 400 500 600 700 800 900 1000

150

3

80

20

2,2

5

2

100

100

100

32

Exercices Chapitre XI XI.1 Convertisseur électromécanique à courant continu Caractéristiques de la machine étudiée Plaque signalétique : 300 V, 90 A, 600 tr/mn Caractéristique à vide relevée en excitation séparée : E = f(Id) courbe ci-contre Résistance de l'induit : Ra = 0,1 Ω Résistance de l'inducteur Rd = 40 Ω Pertes fer et mécaniques négligeables Réaction magnétique d'induit négligeable.

Ed (V)

Id (A)0 1 2 3 4 5 6 70

100

200

300

400

500

N = 600 tr/mn

La machine est entraînée à la vitesse nominale et fonctionne en génératrice à vide, excitation Id est réglée à 3 A. 1- On augmente la vitesse de 33,33 %, que devient la fem ? 2- On augmente l'excitation de 33,33 % (vitesse initiale inchangée), que devient la fem ? On alimente cette machine en moteur à vide à excitation séparée. 3- La tension appliquée est de 300 V et l'excitation est réglée à 3 A. Quelle est la vitesse de

rotation à vide ? 4- L'excitation étant inchangée, on augmente la tension d'alimentation jusqu'à 350 V, que devient

la vitesse ? 5- La tension étant maintenue à sa valeur initiale (300 V), on majore l'excitation jusqu'à 4 A. Que

devient la vitesse ? Ce moteur est destiné au levage. Le récepteur présente un couple constant quelle que soit la vitesse. 6- Le moteur, alimenté sous 300 V et soumis à une excitation constante de 3 A, tourne pendant la

montée uniforme de la charge à une vitesse de 582 tr/mn. Quel est le courant consommé ? 7- Quelle est la valeur du couple ? 8- Quelle est la tension minimale à appliquer à l'induit pour assurer le décollage de la charge ? Pour freiner la descente de la charge, on ferme le circuit d'induit de la machine sur une résistance R. 9- Quelle est la valeur du courant traversant la résistance ? 10- Quelle est la vitesse minimale de rotation si l'induit est en court-circuit (R=0) XI.2 Moteur à excitation séparée Une machine à courant continu a les caractéristiques suivantes :

Un = 120 V In = 50 A Nn = 1500 tr/mn Lorsqu'elle tourne à vitesse nominale avec une excitation de 2 A, sa fem est de 100V. Sa résistance d'induit est de 0,4 Ω, son moment d'inertie J = 2 MKSA. La réaction magnétique d'induit est négligeable.

A Fonctionnement initial La machine fonctionne en moteur à excitation séparée sous tension nominale avec une excitation de 2 A. Le récepteur lui oppose un couple constant égal à 32 Nm. 1- Quelle est l'intensité consommée par ce moteur ? 2- Quelle est la vitesse de rotation ? B Modification des paramètres Le moteur ayant le fonctionnement initial décrit, on modifie brusquement l'un de ses paramètres : - en insérant une résistance R = 0,6 Ω dans le circuit de l'induit. - en réduisant la tension d'alimentation aux ¾ de sa valeur initiale. On suppose que le moment d'inertie J de l'induit est très important et que son inductance L est négligeable. 1- Quelle est la valeur prise par le courant au moment de la modification ? Quel est le couple

moteur correspondant ? Conclure. 2- Déterminer le nouveau point d'équilibre : couple, courant, vitesse. 3- Tracer les caractéristiques N(I), Γ(I), Γ(N), correspondant aux 3 fonctionnements précédents.

Indiquer dans le plan de ces courbes le trajet effectué par le point de fonctionnement : - quand ∞→J et 0L → , - quand 0J → et ∞→L , - quand 0J ≠ et 0L ≠ . C Freinage rhéostatique Le moteur ayant le fonctionnement initial décrit, on déconnecte son induit du réseau d'alimentation et on le relie à une résistance RF = 1,6 Ω. 1- Quelle est la valeur prise par le courant au moment de la modification ? Quel est le couple

correspondant ? Conclure. 2- Déterminer le nouveau point d'équilibre : couple, courant, vitesse. 3- On veut bloquer la machine quand sa vitesse passe par zéro, au bout de combien de temps

faut-il agir ? XI.3 Machine CC avec récepteur ΓΓΓΓ(ΩΩΩΩ) linéaire Un moteur à courant continu, à excitation séparée et constante, a les caractéristiques suivantes :

Uan = 300 V ; Ian = 100 A ;Nn = 1800 tr/mn ;Ra = 0.1 Ω ;Id = cte = 2 A 1- Calculer la FEM (Ed) pour le point nominal. 2- Ce moteur entraîne un récepteur mécanique dont le couple varie avec la vitesse selon la loi :

ΓR = -(αΩ + β) (α et β sont des constantes positives) a) Déterminer β sachant que la tension permettant le démarrage vaut Uadem = 5V . b) Pour Ua = 300 V, le moteur se trouve au point nominal (Ian = 100 A et Nn = 1800 tr/mn).

Calculer α. 3- Pour la suite du problème prendre : ΓR = -(0.41 Ω + 76.9)

Le moteur entraînant le récepteur mécanique est alimenté sous 300 V (point nominal). On diminue cette tension à 100 V. a) Déterminer le nouveau point d’équilibre (Γ, N, Ia). b) En supposant :

- que la variation de tension est instantanée, - que l’inertie J du système est grande, - que l’inductance L du circuit est faible,

33

Déterminer le point de fonctionnement (Γ, N, Ia) à l’instant où la tension diminue dans les deux cas suivants : - la source d’alimentation est réversible, - la source d’alimentation n’est pas réversible.

c) En supposant que la variation de tension est instantanée, - que l’inertie J du système est faible, - que l’inductance L du circuit est grande, déterminer le point de fonctionnement (Γ, N, Ia) à l’instant où l’on diminue la tension.

d) Sans décrire les équations et dans un diagramme N = f(Ia), indiquer les trajets effectués par les points de fonctionnement dans les trois cas ci-dessus.

4- Le moteur entraînant le récepteur mécanique est alimenté par un pont mixte. L’inductance du circuit est telle que la conduction sera toujours continue. a) On veut obtenir la tension Umoy = Ua = 300 V pour θ = 0. Déterminer la valeur efficace de la

tension d’alimentation du pont mixte (Va). b) Déterminer l’angle d’amorçage permettant le démarrage du groupe.

XI.4 Machine CC alimentée par redresseurs Une machine à courant continu porte sur sa plaque signalétique les indications suivantes :

Pn = 6 kW ; Un = 120 V ; In = 50 A ; Nn = 1500 tr/mn ; Idn = 2 A On procède aux essais suivants : 1er essai : Machine à l'arrêt, alimentation en courant continu

induit : Ua = 10 V, Ia = 50 A, inducteur : Ud = 50 V ; Id = 1 A

2nd essai : Machine à l'arrêt, alimentation en alternatif sinusoïdal 50 Hz induit : Ua = 10 V ; Ia = 27 A, inducteur : Ud = 50 V ; Id = 0,04 A

3ème essai : Machine entraînée à 1500 tr/mn pour Id = 2 A ; U0 = 110 V

On veut alimenter cette machine à partir d'une source alternative sinusoïdale 220 V, 50 Hz. inducteur : pont à diodes, induit : pont complet à thyristors. A Etude du circuit inducteur 1- Calculer la constante de temps τd du circuit inducteur. 2- Calculer la valeur efficace Vd de la tension vd(ωt) pour avoir Id = Idn.

Comparer τd à la période Td de la tension ud(ωt) appliquée à l'inducteur et en déduire l'allure du courant d'excitation id(ωt). Que peut-on dire du flux dans ces conditions ?

3- Calculer la valeur efficace du courant isd dans le transformateur d'alimentation du pont. En déduire sa puissance apparente et le facteur de puissance.

B Etude du circuit d'induit On souhaite que le courant dans l'induit soit ininterrompu dans une large plage et pour cela on choisit pour le circuit d'induit une constante de temps aa T2≅τ (Ta : période de la tension

d'alimentation de l'induit ua(ωt)). Le courant inducteur est Id = 2 A. 1- Calculer la valeur de l'inductance de lissage Lf ? 2- Les mesures voisines de la pleine charge du moteur ont montré que le facteur de forme du

courant est Ff = 1,075.

Quelle est la plus grande valeur de Imoy admissible ? 3- Quel est alors le plus grand couple résistant qui peut être opposé à ce moteur ? 4- On veut que dans ces conditions le moteur tourne à 1500 tr/mn.

a) Quelle doit être la tension Uamoy ? b) Quelle doit être la valeur efficace Vs de la tension vs(ωt) appliquée au pont si pour cette

valeur on a θ = 0 ? c) Que devient la vitesse si on supprime la charge ? d) Quelle doit être la valeur de θ pour trouver la vitesse nominale ?

5- Le couple résistant étant constant et égal à la valeur calculée au 3, rechercher et tracer la relation N = f(θ). Préciser la valeur de θ permettant le démarrage.

6- Le moteur est soumis aux conditions de fonctionnement suivantes : - θ = π/4 (en dehors des fonctionnements transitoires en limitation de courant), - couple résistant proportionnel à N2 (avec Γ = 30 Nm pour N = 1500 tr/mn).

Déterminer le point de fonctionnement du moteur : couple, vitesse, courant consommé.