exercices sur les suites et séries de fonctions

7/24/2019 Exercices sur les suites et sries de fonctions

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CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

TD 06 Suites et sries de fonctionsK = R ou C

Exercice 1: Soita R. tudier les diffrents types de convergence des suites de fonctions suivantes :

1)fn(x) = 1x+n

sur[1, +[ 2)fn(x) = sin(nx)1+n2 sur R 3)fn(x) = sin x2n sur R et sur[1, 1]4)fn(x) = xx+n sur[1, +[ 5)fn(x) = xn1+nx2 sur[0, 1] 6)fn(x) = sin(nx)nx sur]0, +[7)fn(x) =

n(x3+x)enx

nx+1 sur[0, 1] 8)fn(x) = n+1n(x+1)sur[0, +[ 9)fn(x) =

x2 + 1

nsur R

10)fn(x) =xn ln xsur]0, 1] 11)fn(x) =n2x(1 x)n sur[0, 1] 12)fn(x) =nx2enx sur[0, +[

13)fn(x) =naxenx sur[0, +[ 14)fn(x) =na sinn x cos xsur

0,

2

Exercice 2: Soitf C([0, 1],R)tel quef(1) = 0. Montrer quefn(x) =xnf(x)converge uniformment sur[0, 1].Exercice 3: Montrer quefn(x) = sinnxn sinxconverge uniformment sur tout intervalle[a,

2 ]aveca >0mais pas sur]0,

2 ].

Exercice 4: Soient(fn)une suite de fonctions de R versR qui converge uniformment sur R vers une fonction fet g : R R.1: Montrer que(fn g)converge uniformment sur R versf g.2: Que dire de(g fn) ? et sigest Lipschitzienne?

Exercice 5: SoientXun ensemble et(fn), (gn)deux suites de fonctions bornes de Xvers Kqui convergent uniformmentsurXversfet grespectivement.

1: Vrifier que n N, |fngn f g| |fn f||gn g| + |f||gn g| + |g||fn f|.2: En dduire que(fngn)converge uniformment surXversf g. Que dire si lune seulement est suppose borne ?

Exercice 6: Soitf :x [0, +[ xx2+1

et on considre les suite de fonctions (fn)n1et(gn)n1dfinies par n 1, x 0, fn(x) =f(nx)etgn(x) =f( xn).1: Montrer que les suites de fonctions(fn)n1et(gn)n1convergent simplement sur[0, +[mais pas uniformment.2: Montrer que la suite de fonctions(fngn)n1converge uniformment sur[0, +[.

Exercice 7: SoientAun ensemble non vide,Eun K-espace vectoriel norm de dimension finie,(fn)une suite de fonctions deAversEet f :A F.Montrer que(fn)converge uniformment surAversfsi, et seulement si, (xn) AN, fn(xn) f(xn) 0.

Exercice 8: Soient E, Fdeux K-espaces vectoriels norms de dimensions finies, A E,(fn)une suite de fonctions continuesdeAversFetf :A F.1: Montrer que (fn) converge uniformment sur A vers fsi, et seulement si, (xn) AN,x A, xn x fn(xn) f(x).2: Montrer que la suite de fonctionsfn(x) =

1 nx Si0 x

1

n

0 Sinon ne converge pas uniformment sur[0, 1].

Exercice 9: Soit(fn)une suite de fonctions continues de [a, b]versF. On suppose que(fn)converge uniformment sur[a, b[.Montrer que(fn)converge uniformment sur[a, b].

Exercice 10: SoientAun ensemble non vide,Eun K-espace vectoriel de dimension finie et (fn)une suite de fonctions de AversE.1: (fn)converge uniformment surAssi >0,N N,m, n N, x A, fn(x) fm(x) (Critre de Cauchy).2: En dduire que lespace B(A, E)des applications de AversEbornes surAmuni de la norme est un Banach.

Exercice 11: (Thorme de Weierstrass et polynmes de Bernstein)

Pourf C([0, 1],C)on considre la suite de fonctions polynomiales Bn(f)(x) =n

k=0

Cknf

k

n

xk(1 x)nk.

1: CalculerBn(P)dans les cas P = 1, P =Xet P =X2.

2: Calculern

k=0

Ckn

kn x

2

xk(1 x)nk .

3: Montrer que pour tout >0on a :

nk=0

|x kn |>Ckn

f(x) f

k

n

xk(1 x)nk

f,[0,1]

2n2 .

4: Montrer que(Bn(f))converge uniformment versfsur [0, 1].5: Montrer que toute fonction continue sur un segment [a, b] valeurs dans C est limite uniforme dune suite de polynmes.

6: Application : Soitf C([0, 1],R)tel que n N, 10

tnf(t)dt= 0. Montrer quef= 0.

Exercice 12: Montrer que sifest limite uniforme sur R dune suite de polynme alors fest un polynme.Exercice 13: Soit(P

n)une suite de fonctions polynomiales de R

d[X]qui converge simplement sur un segment [a, b](a < b)

vers une fonctionf. Montrer quefest une fonction polynomiale et que la convergence est uniforme sur[a, b].

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Exercice 14: tudier les diffrents types de convergence des sries de fonctions suivantes :

1)n1

1

n2 + x2 sur R 2)

n1

sin(n2x)

n2 sur R 3)

n1

1

n2 + nxsur R+ 4)

n1

x

n + n2x2 sur R

5)n1

nxnenx sur R+ 6)n0

1

1 + xn sur]1, +[ 7)

n0

enx sur]0, +[ 8)n1

nxn + nx

sur R+

Exercice 15: tudier les diffrents types de convergence des sries de fonctions suivantes :

1)n1

xn(1 x)sur[0, 1] 2)n1

(1)n xn

sur [0, 1] 3)n1

(1)nn + x

sur R+

4)n1

(1)nn + n2x

sur R+ 5)n1

(1)nxn2 + x2

sur R 6)n1

(1)n xnx

sur[0, +[

Exercice 16: Pour quelles valeurs dea R la srien1

(1)nx + na

converge uniformment sur[0, 1].

Exercice 17: Sries alternes de fonctions :Soient A un ensemble non vide et

(1)nfnune srie de fonctions de A vers R.Montrer que si

x

A la suite(fn(x))est dcroissante positive et

fn

,A

0alors la srie(

1)nfnconverge uniform-

ment surA.Exercice 18: (Transformation dAbel pour les sries de fonctions)Soient E, Fdeux K-espaces vectoriels norms de dimen-sions finies,A E,(n) RN et(fn)une suite de fonctions deAde dansF.1: Montrer que si(n)est dcroissante de limite nulle la suite des sommes partielles de la srie

fnest borne pour la norm

alors la srie nfnconverge uniformment sur A.2: Montrer que ]0, [, les sries einx

n converge uniformment sur], 2 [.

Exercice 19: Soit la srie de fonctionsn1

x

n2 + x2. On pose n 1, x R, fn(x) = xn2+x2 etSn(x) =

nk=1

fk(x).

1: Montrer que

fnconverge simplement sur R. La convergence est-elle normale ?2: Montrer que n 1, |S2n(n) Sn(n)| 15 . A-t-on convergence uniforme de la srie ?3: Faire de mme avec les sries de fonctions

n0

nx

1 + n4x2 sur R et

n1

1

n + n2xsur R+.

Exercice 20: Dterminer le domaine de dfinition de la fonction fdans chaque cas :

1)f(x) =+n=1

1

n1+x 2)f(x) =

+n=0

enx

1 + n 3)f(x) =

+n=1

n

1 + nx 4)f(x) =

+n=0

(1)nn + x

5)f(x) =+n=1

ln(1 + nx)

nxn

Exercice 21: Soit la fonctionf(x) =+n=1

x

n + n2x2.

1: Montrer quefest dfinie, continue et impaire sur R.2: Calculer lim

x+f(x)et lim

x+xf(x). En dduire un quivalent defen +.

Exercice 22: Soitf(x) =+

n=1

(1)n

n + n2

x

.

1: Montrer quefest dfinie et continue sur [0, +[.2: Calculer lim

x+f(x)et lim


Exercice 23: Comparaison srie-intgrale : Soit la fonction f(x) =+n=1

1

n2 + x2et on noten 1, x R, fn(x) = 1n2+x2 .

1: Montrer que la fonctionfest dfinie, continue et paire sur R.2: Calculer la limite defen +.3: En remarquant que n N,x R, fn+1(x)

n+1n

dt

t2 + x2 fn(x)dterminer un quivalent simple de fen +.

Exercice 24: Soit la fonction f(x) =+n=0

1

(n + x)2.

1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: Calculer lim

x0+f(x)et trouver un quivalent simple defen 0+.

3: Calculer limx+

f(x)et trouver un quivalent simple defen + (penser une comparaison srie-intgrale).



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Exercice 25: Soitf(x) =+n=1

1

n + n2x.

1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: A-t-on convergence uniforme de la srie

1n+n2x

sur ]0, +[ ?3: Calculer lim

x+f(x)et lim


4: Calculer limx0

+f(x)et trouver un quivalent fen 0+ (penser une comparaison srie-intgral).


1

1 + n2x2.

1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: Calculer les les limites de fen 0+ et+.


enx

1 + n.



xn + n2x2

.

1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: Calculer les les limites de fen 0+ et+.Exercice 29: Soit la fonctionf(x) =

+n=1

ln(1 + nx)

nxn .



nxenx.


Exercice 31: Fonction zta alterne de Riemann :Soit la fonction f(x) =+

n=1

(1)n1

n

x .

1: Montrer quefest bien dfinie et continue sur ]0, +[. Calculer limx+

f(x).

2: Montrer que x >0, 2f(x) 1 =+n=1

(1)n1

1

nx 1

(n + 1)x

.

3: En dduire limx0+

f(x).


xenx

ln n .

1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: Calculer lim

x+f(x)et lim

x0+f(x)(penser la transformation dAbel).

Exercice 33: Soient E , Fdeux K-espaces vectoriels norms de dimensions finies et A Ecompact. Montrer que lespaceC

(A, F)des applications continues de AversFmuni de la norme est un Banach.Exercice 34: Montrer, en utilisant le thorme dinterversion limite-intgral, que les suites de fonctions fn(x) =n2xn(1 x)sur[0, 1]etgn(x) = 2

n

1+n2nx2 sur]0, 1]ne convergent pas uniformment.

Exercice 35: Montrer quefn(x) =nx(1 x)n converge simplement sur[0, 1]mais pas uniformment.Montrer que lim

n+

ba

fn(x)dx=

ba

limn+

fn(x)dx.

Exercice 36: Dterminer le domaine de dfinition de f(x) =+n=0

nenx. Montrer quefest continue sur Df.

Calculer ln 3ln 2

f(x)dx. Lintgrale 10

f(x)dxexiste-t-elle ?

Exercice 37: Montrer que la fonction f(x) =+

n=1

x

n + n2

x

2est dfinie et continue sur R. crire

10

f(x)dx sous forme dune

srie numrique.



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Exercice 38: Soit a, b Rtels que a bet Eun K-espace vectoriel de dimension finie. Lespace C1([a, b], E)muni de lanorme f = max(f, f)est un Banach.

Exercice 39: Montrer quefn(x) = x1+nx2 converge uniformment sur R et que limn+fn= ( lim

nfn)

.

Exercice 40: Montrer que la fonctionf(x) =+n=1

1

n2 + nxest de classe C1 sur[0, +[.

Exercice 41: Montrer que la fonctionf(x) =+

n=0

11 + xn est de classe

C1 sur]1, +[.


1

n2 + x2est de classe C1 sur R.


enx

n .

1: Montrer que la fonctionfest dfinie et de classe C1 sur]0, +[. Calculer limx+

f(x).

2: Donner une expression simple def.

Exercice 44: Soit la fonction f(x) =+n=0

(1)nn + x

.

1: tudier la continuit et la drivabilit defsur R+

.2: Montrer quef(x)0+

1x

etf(x) +

12x

. Tracer la courbe def.

Exercice 45: Soitf(x) =+n=1

(1)n1 ln

1 +x

n

.

1: Montrer quefest dfinie et de classe C1 sur[0, +[.2: Donner un quivalent simple de fen 0+ et+.


1

1 + n2x2est de classe C1 sur]0, +[.


xn + n2x2

est de classe C1 sur]0, +[.

Exercice 48: Montrer que la fonctionf(x) =+

n=0

nxenx est de classe C1 sur]0, +[.


1

n2 + n4x2est dfinie et continue sur R et C1 sur R. tudier la drivabilit

en0.


enx

n2 + 1.

1: Dterminer Dfet montrer que fest continue sur Df.2: Montrer quefest deux fois drivable sur]0, +[et quefvrifie une quation diffrentielle linaire de second ordre.

Exercice 51: Soit0 a 0, xf(x) f(x + 1) =e1 et en dduire que f(x) +

1ex

.

Exercice 53: Soitn

Net A, B

Mn(R). Montrer queA = B si, et seulement si,

t

R, exp(tA) = exp(tB).

Exercice 54: Faire une tude complte de la fonction f(x) =+n=0

1

(n + x)2 sur ]0, +[ (limite, continuit, drivabilit,

monotonie, concavit) et tracer sa courbe.


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