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CALCUL DIFFERENTIEL EXERCICES

EXERCICE 1 :

On considère la fonction f définie sur 2 par ( )( ) ( )

( ) ( )

4 2

6 4 si , 0,0

,

0 si , 0,0

x yx y

f x y x y

x y

= + =

1) Montrer que pour tous réels positifs u et v , 2 uv u v +

2) En déduire que la fonction f est continue sur 2

3) Montrer que la fonction f admet des dérivées partielles d’ordre 1 en tout point de 2

EXERCICE 2 :

Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 des fonctions f suivantes :

1)2 2, 2f x y x xy y ; 2) ( ) 2 2, sin sinf x y x y= + ; 3) ( ), ln 1

xf x y

y

= +

; 4) ( )

2 2

, x yf x y e +=

EXERCICE 3 :

Soit :f → continue sur

Pour tout entier naturel n , on définit la fonction( ) ( )

( )

2

0

:,

!

nn yG x t

x y f t dtn

→ −

1) Montrer que la fonction nG est continue sur 2

2) Montrer que la fonction nG est de classe 1C sur 2

EXERCICE 4 :

Soit la fonction f de 2 dans définie par : 2 2, , , x yx y f x y e

Soit 1,2A et 1 1

,2 2

u

1) Vérifier que u est un vecteur unitaire de 2

2) Déterminer la dérivée de la fonction f dans la direction u au point A

EXERCICE 5 :

Calculer les dérivées partielles d’ordre1 et d’ordre 2 des fonctions f suivantes :

1) ( ) 2,f x y x y= 2) ( ) ( )2 2, lnf x y x x y= + + 3) ( ) ( ),y

f x y x y= +

4) ( )2 2 2

, , x y zf x y z e + += 5) ( ), ,f x y z xy yz zx= + +

EXERCICE 6 :

1) Déterminer le développement limité d’ordre 2 de la fonction ( ) ( ): , ln x yf x y e e+ au

point (0,0)O =

2) Déterminer le développement limité d’ordre 2 de la fonction ( ): , sin( 2 )f x y x y+ au

point (0,0)O =

3) Déterminer le développement limité d’ordre 2 de la fonction ( )2

: , cosxf x y e y au

point (1,0)A =

2

EXERCICE 7 :

Soit la fonction f définie sur 2 par ( ) 2 2,f x y x y xy= + − .Déterminer les extrema locaux de f

et préciser leur nature. Les éventuels extrema sont-ils globaux ?

EXERCICE 8 :

Soit la fonction f définie sur 2 par ( ) ( )2 4 4, 2f x y x y x y= − − + + .

Montrer que f admet 3 points critiques : l’origine O et deux points A, B tels que A ait une

abscisse positive.

Montrer que f admet en A un minimum relatif ; montrer que f n’admet pas d’extremum relatif

en O.

EXERCICE 9 :

Soit f la fonction définie sur 2 par : ( ) ( ) ( ), , x yx y f x y x y e −= −

1) Justifier que f est une fonction de classe 2C sur 2

2) Montrer qu’il existe une infinité de points vérifiant les conditions nécessaires d’un

extremum.

3) A l’aide des variations de la fonctiontt te , montrer qu’en ces points la fonction f

admet un minimum.

EXERCICE 10 : (EDHEC E 2005)

Soit f la fonction définie sur 2 par : (x, y) 2 , f (x, y) = x ex y( )2 1+

.

1) Justifier que f est de classe C 2 sur 2 .

2) a) Déterminer les dérivées partielles premières de f.

b) En déduire que le seul point en lequel f est susceptible de présenter un extremum local

est A = (–1, 0).

3) a) Déterminer les dérivées partielles secondes de f.

b) Montrer qu’effectivement, f présente un extremum local en A. En préciser la nature et la

valeur.

4) a) Montrer que : (x, y) 2 , f (x, y) x e x.

b) En étudiant la fonction g définie sur Par g(x) = x e x, conclure que l’extremum trouvé

à la question 2b) est un extremum global de f sur 2 .

EXERCICE 11 :

Soit ( )

3

:, ,

fx y z xy yz zx xyz

→

+ + −

1) Déterminer les points critiques de la fonction f sur 3

2) Montrer que la fonction n’admet pas d’extremum sur 3

EXERCICE 12 :

Soit ( )

3

2 2 2:

, , 2f

x y z x y z xyz

→

+ + −


4) Montrer que la fonction n’admet pas d’extremum sur 3

3

EXERCICE 13 :

Soit ( )

3

2 3 2:

, , 2 2 3 4 1f

x y z x y z x y z

→

− + − + + +


2) Etudier si la fonction présente un extremum en ces points

EXERCICE 14 :

Soit ( ) ( )

3

2 2 2:

, , ln 1f

x y z x y z

→

+ +


2) Etudier si la fonction présente un extremum en ces points

EXERCICE 15 :

Soit ( ) 2, / 1 1D x y x y= − et f la fonction définie sur D par ( ) ( )2

, 6f x y y x xy= − + .

1) La fonction f admet-elle des extrema sur D ?

2) Déterminer les points critiques de f sur D .Déterminer les extrema de f sur D

EXERCICE 16 :

Soient ( ) ( ) ( ) ( )0,1 ; 1,1 ; 1, 1 ; 0, 1A B C D= = − = − − = − quatre points du plan muni d’un repère

orthonormé ( ), ,O i j .

Soit la fonction f définie sur 2

par ( ) 3 2 2, 2 5f x y x x y= − − − + .

1) Montrer que la restriction de f au rectangle ABCD, notée g, est bornée.

2) Déterminer le maximum et le minimum de g sur le rectangle ABCD.

EXERCICE 17 :

Soit la fonction f définie sur 2

par ( )( )( )2 2

,1 1

x yf x y

x y

+=

+ +

1) On pose 0,1 0,1F = , justifier que la fonction f est bornée sur F et y atteint son

maximum. On pose alors ( )

( ),

max ,x y F

M f x y

=

2) Montrer que si le maximum est atteint en un point de l’ouvert 0,1 0,1= alors

3 3

8M =

3) Déterminer le maximum de la fonction f sur la frontière de F et le comparer à 3 3

8

.Déterminer M

4

EXERCICE 18 :

Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2, ( ) 2 21 1,... , ... 1n

n nF x x x x= + + et la fonction

( ) ( )2

21

1 1

: ,...,n n

n k k

k k

f X x x F f X x x= =

= = −

1) Montrer que la fonction f admet un minimum m et un maximum M

2) Montrer que m et M ne sont pas atteints en un point de

( ) 2 21 1,... , ... 1n

n nE x x x x= + +

3) Montrer que 1m=−

4) Utiliser l’inégalité de Cauchy Schwarz pour prouver que 1M n= −

EXERCICE 19 :

EXERCICE 20 : EDHEC 2014

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EXERCICE 24 :

Etudier les extrema de la fonction ( ) 2 2 2: , , 3 3 2 2f x y z x y z xy− − + + sous la contrainte

2 2 2 1x y z+ + =

EXERCICE 25 :

EXERCICE 26 :

Déterminer les extrema éventuels de la fonction ( )

3

2 2 2:

, ,f

x y z x y z

→

+ +

sous la contrainte

3x y z+ + =

EXERCICE 27 :


3

:, , x y z

fx y z e e e

→

+ +

sous la contrainte

0x y z+ + =

EXERCICE 28 :

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2

Déterminer les extrema éventuels de la fonction ( ) 2

1

1

:,...,

n

n

n k

k

fx x x

=

→

sous la contrainte

1

1n

k

k

x=

=

EXERCICE 29 :

Soit ( )

3

2:

, , 2f

x y z x xy yz y z

→

− + + −

Déterminer les points critiques et les extrema éventuels sous la contrainte2 1

1

x y

x z

− =

+ =

EXERCICE 30 :


4

2 2 2 2:

, ,f

x y z x y z t

→

+ + +

sous la

contrainte2

0

x y

z t

+ =

+ =

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EXERCICE 31 : ECRICOME 2017

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EXERCICE 33 : ORAL ESCP 2019

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EXERCICE 37 : ORAL HEC 2018

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