1

EXERCICE N°1 1°)Soit g la fonction définie sur ] [+∞,0 par : g(x) = xln(x) – x + 1 .

a) Etudier le sens de variations de g

b) En déduire le signe de g .

2°)On considère la fonction f définie sur ] [+∞,1 par : f(x) = 1x

)xln(

−

a) Etudier les limites de f en +∞ et en 1 .

b) Dresser le tableau de variation de f .

c) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( unité : 2cm)

EXERCICE N°2

1°)Soit f la fonction définie par : pour tout x ≥ 0 : f(x) = ( )2

²xx1xln +−+

a) Etudier les variations de f

b) En déduire que pour tout x ≥ 0 : ( )1xln2

²xx +≤−

2°) Soit f la fonction définie par : pour tout x ≥ 0 : f(x) = ( )3

x

2

²xx1xln

3

−+−+

a) Etudier les variations de f

b) En déduire que pour tout x ≥ 0 : ( )3

x

2

²xx1xln

3

+−≤+

3°)Etudier la limite éventuelle en 0+ de ²x

x)x1ln( −+

EXERCICE N°3

Soit f définie sur ]–1, 1[ par f(x) = (1 – x2).ln(x - 1

x 1 +). Montrer que f est continue. Etudier la parité de f et

montrer que f se prolonge en une fonction continue sur [–1, 1].

EXERCICE N°4

Soit g définie sur { }1R* −+ par g(x) = 1 x

x.ln(x)

− et prolongée par continuité en 0 et en 1.

1°)Que valent g(0), g(1) ?

2°)Etudier la branche infinie de Cg.

EXERCICE N°5

Soit n appartenant à N. gn : ]0, 1[ → R, x →

x

1lnx n

1°)Montrer gn que est continue sur ]0, 1[

2°)Montrer que gn admet un prolongement par continuité fn sur [0, 1].

EXERCICE N°6 On considère la famille de fonctions (fn)n∈N* définies sur ]−1, +∞[ par fn(x) = xn ln(1 + x).

Soit n ∈ N*, on note hn la fonction définie sur ]−1, +∞[ par .x1

x)x1ln(n)x(hn +

++=

1) Etudier le sens de variation des fonctions hn.

2) Calculer hn(0), puis en déduire le signe de hn.

3) Etude du cas particulier n = 1.

a. Après avoir justifié la dérivabilité de f1 sur ]−1, +∞[, exprimer f1'(x) en fonction de h1(x).

b. En déduire les variations de la fonction f1 sur ]−1, +∞[.

4) Soit n ∈ N* \ {1}.

a. Justifier la dérivabilité de fn sur ]−1, +∞[ et exprimer fn'(x) en fonction de hn(x).

b. En déduire les variations de fn sur ]−1, +∞[. On précisera les limites aux bornes.

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2

EXERCICE N°7

Soient dx)x41()1x2(

x2xI

2

1 2

2

∫ −++= et dx

)x41()1x2(

1x2J

2

1 2

2

∫ −++= .

1°) Calculer K = 2I + J et L = 2I – J.

2°) En déduire I et J.

EXERCICE N°8 Partie I.

On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, ∑=

=n

1k

nk

1v .

1°)Montrer que : ∫+

≤+

∈∀1k

kdt

t

1

1k

1 ,*Nk .

2°)En déduire que : 1)nln(v ,*Nn n +≤∈∀ .

Partie II.

On considère une suite (un) définie par son premier terme uo = 1 et par la relation suivante, valable pour tout

entier n : n

n1nu

1uu +=+

a)Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif.

b)En déduire le sens de variation de la suite (un).

2°)a)Pour tout entier k, exprimer 2

k2

1k uu −+ en fonction de 2

ku .

b)En déduire que : ∑−

=

++=∈∀1n

0k2

k

2n

u

11n2u ,*Nn

c)Montrer que: 1n2u ,*Nn2

n +≥∈∀ . En déduire la limite de la suite (un).

3°)a)A l’aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : 1n2

n v2

12n2u −++≤

b)En utilisant la partie 1, établir que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, 2

)1nln(

2

5n2u

2n

−++≤ .

c)En déduire n

ulim n

n +∞→.

EXERCICE N°9

Soit f : ]1, +∞[ → R l'application définie par : ∀x ∈ ]1, +∞[ f(x) = )xln(.x

1.

1°) Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative.

2°) Montrer que pour tout entier k tel que k ≥ 3 : f(k) ≤ ∫ −

k

1kdx)x(f ≤ f(k-1).

Pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 on note Sn = ∑=

n

2k

)k(f .

3°) a) Montrer que pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 : Sn - )nln(.n

1Sdx)x(f

)2ln(.2

1n

n

2−≤≤ ∫ .

b) En déduire que pour tout n ∈ R tel que n ≥ 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) )2ln(2

1)2ln(ln)nln(lnS)2ln(ln)nln(ln n +−≤≤−

c)Calculer alors ( ))nln(ln

Slim n

n +∞→.

4°)Pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 on note : ( ))1nln(lnSu nn +−= et ( ))nln(lnSu nn −=

Montrer que les suites (un)n≥2 et (vn)n≥2 sont adjacentes. On note ℓ leur limite commune.

5°) a) Montrer que pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 : 0 ≤ vn - )nln(.n

1≤ℓ

b) En déduire une valeur approchée de ℓ à 10-2 prés

3

EXERCICE N°10

On pose, pour tout élément n de N* : un = ∑=

n

1pp

1.

1)a. Montrer que : ∀ p ∈ N* , ∫+1p

pt

dt ≥

1p

1

+.

b. En déduire que : ∀ n ∈ N* , un ≤ 1 + ln(n).

2°)On considère la fonction ϕ1 définie sur R+ par :

>+==

0xsi))xln(1(x)x(

0)0(

1

1

φ

φ

Montrer que ϕ1 est continue sur R+.

3°)Pour tout réel x positif et pour tout entier naturel n non nul, on pose : ϕn+1(x) = dt)t(

x

0

n∫φ .

a. Montrer que pour tout élément n de N* la fonction ϕn est parfaitement définie et continue sur R+.

Que vaut ϕn(0) ?

b. Vérifier qu'il existe deux suites (an)n∈N* et (bn)n∈N* telles que:∀ n ∈ N*,∀x∈ R*+ ϕn(x)= xn (an+bn ln x ).

On montrera que : ∀ n ∈ N* an+1 =2

nn

)1n(

b

1n

a

+−

+ et bn+1 =

1n

bn

+.

5°)Calculer bn.

6°)Pour tout élément n de N*, on pose : cn = n! an.

a. Montrer que cn =2- un.

b. En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : cn ≤ 1 + ln(n). c. Conclure que

+∞→nlim an = 0.

EXERCICE N°11 1°) Soit x > -1. Démontrer : ln(1+x) ≤ x .

2°) Soit k dans ]0, 1[ et soit (un) définie par un = ∏=

+n

0p

p )k1(

a) Montrer que (un) est croissante.

b) Montrer que la suite (vn) définie par vn = ln(un) est majorée.

c) Montrer que (un) est convergente.

EXERCICE N°12 Soit u et v les deux suites définies par :

un = 1 + )nln(n

1...

3

1

2

1 −+++ et vn = 1 + )1nln(n

1...

3

1

2

1 +−+++

Montrer que u et v sont deux suites adjacentes. On sera amené à étudier les VARIATIONS, puis le SIGNE des

fonctions f et g définies par :f(x) = 1x

1

1x

xln

++

+ ; g(x) =

1x

1

2x

1xln

++

++

.