exercice de rappel sur la cinématique et la statique des

Sciences industrielles TD Cineacutematique - Statique

CPGE MP - PSI - 27 - Prof AELFARH

Exercice de rappel sur la cineacutematique et la statique des solides

Echelle Pivotante Automatique agrave commande Seacutequentielle

Une EPAS est une Echelle Pivotante Automatique agrave commande Seacutequentielle

Ce systegraveme conccedilu et commercialiseacute par la socieacuteteacute CAMIVA est monteacute sur le chacircssis drsquoun camion de pompiers et permet de deacuteplacer une plate-forme pouvant recevoir deux

personnes et un brancard le plus rapidement possible et en toute seacutecuriteacute

Le deacuteplacement de la plate-forme est reacutealiseacute suivant trois axes voir figure 2

bull Le deacuteploiement du parc eacutechelle (axe 1) Chaque plan de lrsquoeacutechelle peut se

translater par rapport aux autres seul le quatriegraveme plan drsquoeacutechelle est

solidaire du berceau

bull Le pivotement autour de lrsquoaxe Y (axe 2) La tourelle 1 peut pivoter par rapport

au chacircssis autour drsquoun axe vertical

bull La rotation autour de lrsquoaxe Z (axe 3) Le berceau peut tourner par rapport agrave la

tourelle 2 autour drsquoun axe horizontal

Un systegraveme de seacutecuriteacute peut agrave tout moment stopper le deacuteplacement de la plate-forme

srsquoil y a un risque de basculement du camion porteur

Des capteurs drsquoefforts placeacutes sur le parc eacutechelle permettent de tenir compte de la charge

dans la plate-forme

Des capteurs de position sur les trois axes permettent de deacutefinir la position de la plate-

forme

Des capteurs inductifs deacutetectent la position de sortie des stabilisateurs

Figure 1 Diagramme de contexte


CPGE MP - PSI - Page 227 - Prof AELFARH

ETUDE DE LrsquoAXE 3

Le systegraveme de dressageabaissement reacutealise la rotation de la plate-forme autour drsquoun axe horizontal Z

On propose le parameacutetrage sur le systegraveme de la figure 3 puis sur le scheacutema cineacutematique de la figure 4

Figure 2



Parameacutetrage

Le repegravere ( )00000 zyxOR

= est lieacute au chacircssis fixe (0) avec 00 yaAO= et 00 xbBO

=

Le repegravere ( )0555 zyxAR

= est lieacute agrave lrsquoensemble parc eacutechelle (5) avec ( )0 5 0 5 ( )x x y y = =

5OA dx= 5xcAC= 5xHAD

=

Le repegravere ( )0333 zyxBR

= est lieacute agrave la tige du veacuterin (3) avec 3( )BC y t y= ( )0 3 0 3 ( )x x y y = =

Les liaisons aux points A B et C sont des liaisons pivots drsquoaxe 0z

Le cylindre creux du veacuterin (4) est en liaison pivot glissant drsquoaxe ( )3C y avec la tige (3)

La plate forme (6) de centre drsquoinertie Gp est en liaison pivot drsquoaxe ( )0D z avec le parc-

eacutechelle (5) 0 0p G GDG x x y y= +

On tiendra compte dans cette partie du fait que la plate-forme reste toujours horizontale

Partie I Etude Cineacutematique

Notation preacuteconiseacutee On utilisera lrsquoeacutecriture suivante pour les torseurs cineacutematiques du

mouvement du solide par rapport au solide ( )

( )( )

M

j ij i

V M j i

=

Questions

Q1 Tracer les figures planes de calcul

Q2 Ecrire au point A le torseur cineacutematique (5 0)A

puis deacuteduire au point O le

torseur cineacutematique (5 0)O

O0 0x

0y

A

C

D

5x

5y

3x

3y

PARC ECHELLE (5)

CHASSIS (0)

TIGE VERIN (3)

CYLINDRE VERIN (4)

PLATE-FORME (6)

B

O

Figure 4 Scheacutema cineacutematique

Gp



Q3 Calculer le vecteur vitesse 0( 5 )V D R

Q4 Quelle est la nature de mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0)

Q5 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 6 )PV G R

Q6 Calculer le vecteur vitesse 0( 3 )V C R

Q7 Calculer le vecteur vitesse ( 4 3)V C

Q8 En deacuteduire le vecteur vitesse 0( 4 )V C R

Q9 En faisant une fermeture geacuteomeacutetrique deacuteterminez la position ( )y t en fonction de

lrsquoangle ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques

Q10 En faisant une fermeture de chaicircne cineacutematique deacuteterminez la vitesse de sortie

du veacuterin ( )y t en fonction de la vitesse angulaire ( )t et des paramegravetres geacuteomeacutetriques

Partie II Etude statique

Lrsquoobjet de cette eacutetude est de

- Deacuteterminer lrsquoeffort du veacuterin qui permet de maintenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoeacutechelle et la charge

- Deacuteterminer le couple du moteur permettant de maintenir la plate forme horizontale

Le problegraveme sera consideacutereacute plan

Toutes les liaisons seront consideacutereacutees parfaites et sont listeacutees comme suit

L(03) liaison pivot drsquoaxe 0(Bz ) L(56) liaison pivot drsquoaxe 0(Dz )

L(05) liaison pivot drsquoaxe 0(A z ) L(34) liaison pivot glissant de direction 3y

L(54) liaison pivot drsquoaxe 0(Cz )

Le problegraveme eacutetant plan donc lrsquoaction meacutecanique dans une liaison entre deux solides (i) et (j) sera modeacuteliseacutee par le glisseur

avec R(i j)rarr situeacutee dans le plan

On propose le parameacutetrage suivant



=


= est lieacute agrave lrsquoensemble parc eacutechelle(5) avec ( )0 5 0 5 ( )x x y y = =


=

Le parc-eacutechelle (5) est de masse m et de centre de graviteacute G tel que 5532

yh

xL

OG+=


= est lieacute agrave la tige du veacuterin hydraulique (3+4) avec 3( )BC y t y=

( )0 3 0 3 ( )x x y y = = La masse du veacuterin est neacutegligeacutee devant les autres masses

Lrsquohuile sous pression du veacuterin hydraulique (3+4) devra exercer un effort modeacuteliseacute par

un glisseur de reacutesultante v v 3F F y= permettant de garder lrsquoensemble (5) en eacutequilibre



La plate forme chargeacutee (6) Pendant le dressage ou lrsquoabaissement la plate-forme reste toujours horizontale

Sa masse une fois chargeacutee sera noteacutee M et son centre de graviteacute est le point GP tel

que 0 0p G GDG x x y y= +

La plate forme (6) est maintenue horizontale gracircce agrave un moteur exerccedilant un couple

moteur m 0 D

0(Moteur 6)

C z

rarr =

Lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur 0g = -gy

Questions

Q11 Etablir le graphe drsquoanalyse des actions meacutecaniques

Q12 Ecrire lrsquoexpression du torseur drsquoaction meacutecanique de la pesanteur sur le parc

eacutechelle (5) au point G

Q13 Ecrire la forme des torseurs drsquoactions meacutecaniques transmissibles dans les

liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan i i(x y )

Q14 Montrer que la reacutesultante de lrsquoaction meacutecanique du cylindre (4) du veacuterin sur

lrsquoeacutechelle (5) peut se mettre sous la forme rarr 45 3R(4 5)=R y

Q15 En appliquant le theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection

sur 3y exprimer R45 en fonction de Fv

Q16 En isolant lrsquoensemble (E) = 56 et en appliquant le theacuteoregraveme de votre choix

deacuteterminer lrsquoeffort Fv du veacuterin

Q17 Deacuteterminer le couple moteur Cm Expliquez la deacutemarche (lrsquoisolement et le theacuteoregraveme

appliqueacute)

Partie I Corrigeacute





0 3 5z z z= =

0x

0y

5x

5y 3x

3y



0(5 0)(5 0)

( 5 0) 0A

A A

z

V A

== =

(5 0)

(5 0)( 5 0)

O

OV O

==

On a

0 0 0 5

5

( ) ( )( 5 0)

RR R

dO O d O A AO d a y dxV O d y

dt dt dt

+ minus = = = = minus

0

5

(5 0)

O

O

z

d y

==

minus


0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR

d O A AD d a y HxV D R H y

dt dt

+ + == = =


Mouvement de la plate forme (6) par rapport au chacircssis (0) Translation circulaire


0 0 0

uml 0

( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P

pivot

V G R V D R V D V D R

=

= = +

0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =


0 0 0 3 0 3

0

( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )

pivot

V C R V B R CB R y t y z y t x

=

= + = minus = minus


33

3

3

( ( ) )( )( 4 3) ( )

RR

d y t yd BCV C y t y

dt dt

= = =


0 0 3 3( 4 ) ( 4 3) ( 3 ) ( ) ( ) V C R V C V C R y t y y t x = + = + minus



Fermeture geacuteomeacutetrique

0 0O B BC CA AO 0+ + + = ce qui srsquoexprime en fonction du parameacutetrage



0 3 5 0b x y(t) y c x a y 0+ minus minus =

En projection respectivement sur 0x

et sur 0y

0

0

Pr oj x b y(t)sin ccos 0

Pr oj y y(t) cos csin a 0

minus minus =

minus minus =

y(t)sin b ccos (1)

y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

( ) ( )2 2

y(t) b ccos csin a = minus + +



0 0

uml 0

( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0

pivot

V C V C V C R V C R

=

= + minus =

On a 0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR

d O A AC d a y c xV C R c y

dt dt

+ + == = =

Donc 3 3 5( ) ( ) 0y t y y t x c y minus minus =

Proj 3 y 5 3( ) cos( ) (3)y t c y y c = = minus

( ) ( ) cos cos sin siny t c = +

Drsquoapregraves la question 9 y(t)sin b ccos (1)

y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

b ccossin

y(t)

csin acos

y(t)

minus=

+ =

Ce qui donne ( )( ) sin cos cos sin( )

cy t c a b c

y t == + + minus

( )( ) cos sin( )

cy t a b

y t == +

Partie II corrigeacute


0

3 5

4

Pivot ( )0 zB

Pivot ( )0 zA

Pivot glissant ( )BC Pivot ( )0 zC

6

Pesanteur

Huile

Moteur

( )0Pivot Dz





Q13 Ecrire la forme des torseurs des actions meacutecaniques transmissibles dans les

liaisons au point C dans lrsquoespace et dans le plan

Liaisons

Torseurs des actions

meacutecaniques transmissibles

dans lrsquoespace

Torseurs des actions meacutecaniques

transmissibles dans le plan i i(x y )

L4-5

L4-5



On applique le theacuteoregraveme du moment statique au point B sur le veacuterin (3+4)

( ) ( ) ( ) ( )B C C

0 pivot dans le plan 0 pivot dans le plan

M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0

= =

rarr + rarr = rarr + rarr =

la reacutesultante ( )R 5 4rarr est porteacutee par la droite (BC) = ( )3Cy

Donc 5 4 rarr 54 3R( )=R y 4 5 rarr 45 3R( )=R y



Theacuteoregraveme de la reacutesultante statique au cylindre (4) en projection sur 3y

( ) ( ) ( )3

3 3 3

0 y

54 v 54 v

R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0

R F 0 R F

= pivot glissant daxe

=-

rarr + rarr + rarr =

+ =

45 vR F =





Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point A sur lrsquoensemble (E) = 56

( ) ( ) ( ) ( )A A A A

0

M 4 5 M 0 5 M pesanteur 5 M pesanteur 6 0

pivot=

rarr + rarr + rarr + rarr =

( ) ( ) ( ) ( )A C 5 45 3 45 0M 4 5 M 4 5 AC R 4 5 cx R y cR cos z rarr = rarr + rarr = = minus

( ) ( )A G 0 5 5 0

0

L hM pesanteur 5 M g 5 AG mg y d x y mg y

2 3

rarr = rarr + minus = minus + minus

( )A 0

L hM Pesanteur 5 mg d cos sin z

2 3

rarr = minus minus minus

( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0

0

M pesanteur 6 M g 6 AG Mg y Hx x x y yrarr = rarr + minus = + + 0Mg y minus

( ) A G 0M pesanteur 6 Mg Hcos x z rarr = minus +

On peut eacutecrire

( ) 45 0 0 G 0

L hcR cos z mg d cos sin z Mg Hcos x z 0

2 3

minus minus minus minus minus + =

On a 45 vR F = la relation (3) cos( ) = ( )c y t minus ( )( ) cos sin( )

cy t a b

y t == + et

119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )

( )

2 2cos sin1

cos( ) ( ) cos sin

b c c a

c y t c a b

minus + + = =

minus +

Donc

( ) ( )

( )

2 2

v G

b ccos csin a L hF mg d cos sin Mg Hcos x

c a cos bsin 2 3

minus + + = minus minus + +

+


appliqueacute)

Theacuteoregraveme du moment statique appliqueacute au point D sur (6)

( ) ( ) ( )m 0 0

D D D

C z 0 Mgy

M Moteur 6 M 5 6 M pesanteur 6 0

p pivot = DG= = minus


m 0 0 0 C G Gz x x y y + +( ) 0 0Mgy minus = m 0 0 C 0Gz Mgx z minus =

Sciences industrielles Cours Cineacutetique


(S)

O

G

˟P

Cineacutetique des systegravemes mateacuteriels

1 Masse et inertie

La cineacutetique est lrsquoeacutetude des caracteacuteristiques drsquoinertie

11 Notions drsquoinertie

La masse ne suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation Pour un

mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en compte la reacutepartition de cette

masse sur le solide

Lrsquoinertie caracteacuterise la reacutesistance qursquooppose un corps par sa nature propre agrave une variation de mouvement

La masse suffit pour caracteacuteriser lrsquoinertie que dans le cas drsquoun mouvement de translation mais pour un

mouvement de rotation ou un mouvement quelconque il faut prendre en consideacuteration la reacutepartition de

cette masse sur le solide

12 Principe de conservation de la masse

Un ensemble mateacuteriel (E) veacuterifie le principe de conservation de la masse si tout sous

ensemble mateacuteriel (e) de lrsquoensemble (E) a une masse m(e) constante au cours du temps soit

Conseacutequence

Pour un systegraveme mateacuteriel consideacutereacute comme un ensemble de points P chacun de

masse eacuteleacutementaire dm et sur lequel on a deacutefini une fonction vectorielle on peut alors deacutemontrer que

pour tout repegravere R

13 Centre drsquoinertie drsquoun solide

131 Deacutefinition

Pour un solide S de masse m on appelle centre drsquoinertie

le point G deacutefini par

Ce qui donne

Forme du solide Expression de dm Centre drsquoinertie

Volume

Surface

Ligne

1 OG OP d

L=

NB Le centre drsquoinertie appartient agrave la symeacutetrie caracteacuterisant les solides

Applications 1 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R



2 Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-disque homogegravene de rayon R

132 Centre drsquoinertie drsquoun ensemble mateacuteriel

Soit un ensemble mateacuteriel E constitueacute de n solides Si et

Exemple

Deacuteterminer le centre drsquoinertie du solide (S) composeacute drsquoun cylindre creux (S1) et drsquoun paralleacuteleacutepipegravede (S2)

On note

mi masse et Gi centre drsquoinertie du solide (Si)

a

b

h

Ri

Re

O=G1

O

R

O

P

dθ

θ

G appartient agrave lrsquoaxe de symeacutetrie donc yG

r

O

P

dθ

θ


R

(S2)

(S1)

G2



avec et

On aura donc

133 Theacuteoregravemes de Guldin

Lrsquoutilisation de theacuteoregraveme de Guldin permet de simplifier le calcul de la position du centre drsquoinertie pour les

solides ayant un axe de reacutevolution

a) Premier theacuteoregraveme de Guldin

Lrsquoaire de la surface engendreacutee par une courbe plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant

pas est eacutegale au produit de la longueur de la courbe par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de

graviteacute

Deacutemonstration

0n considegravere une courbe (C) de longueur L de centre drsquoinertie G

Soit un point courant P de la courbe tel que

En projection sur un axe contenu dans la plan contenant

La courbe et la droite (Δ)

On a et donc (1)

Soit un eacuteleacutement de surface ds=rdθdℓ

La surface engendreacutee par la rotation de la courbe

drsquoougrave la relation (2)

(1)=(2) rarr

Exemple

Deacutetermination du centre de graviteacute drsquoun demi-fil homogegravene de rayon R

b) Deuxiegraveme theacuteoregraveme de Guldin

Le volume engendreacute par une surface plane tournant autour drsquoun axe de son plan ne la traversant pas est eacutegal

au produit de lrsquoaire de la surface par le peacuterimegravetre du cercle deacutecrit par son centre de graviteacute

r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O

La rotation du demi fil de longueur (L) autour de lrsquoaxe

engendre une sphegravere creuse de surface (S)

1er theacuteoregraveme de Guldin

On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration

0n considegravere une surface hachureacutee (S) drsquoaire S de centre drsquoinertie G

Soit un point courant P de la surface tel que

En projection sur un axe appartenant au plan contenant

La surface et la droite (Δ)

On a et donc (1)

Soit un eacuteleacutement de volume dv=dsrdθ

Le volume engendreacute par la rotation de la courbe


(1)=(2) rarr

Exemple


2 Moments et produits drsquoinertie

Les moments et produits drsquoinertie caracteacuterisent la reacutepartition

de la masse sur un solide

21 Moment drsquoinertie par rapport agrave un point

On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave un

point A la quantiteacute positive

22 Moment drsquoinertie par rapport agrave une droite

On appelle moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave une droite la quantiteacute positive

En faisant intervenir le point H projection du point P sur la droite (Δ)

on deacuteduit donc

23 Moments drsquoinertie Dans un repegravere carteacutesien

Soit un repegravere et P un point quelconque de (S) Posons

- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport au point O

x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O

La rotation du demi disque de surface (S) autour de lrsquoaxe

engendre une sphegravere pleine de volume (S=V)

2egraveme theacuteoregraveme de Guldin

On aura donc

R



- Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe

Donc on peut eacutecrire

Moment drsquoinertie du solide (S) par rapport agrave lrsquoaxe



Relation entre les moments drsquoinertie

24 Produits drsquoinertie

Les produits drsquoinertie caracteacuterisent lrsquoabsence de la symeacutetrie dans la reacutepartition de la masse

La deacutetermination des produits drsquoinertie sera deacuteduite du calcul de lrsquoopeacuterateur drsquoinertie

3 Opeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide

31 Deacutefinition

Lrsquoopeacuterateur drsquoinertie drsquoun solide (S) en un point O est lrsquoopeacuterateur qui agrave tout vecteur fait correspondre le

vecteur cet opeacuterateur est lineacuteaire donc repreacutesentable par une matrice

32 Matrice drsquoinertie

La matrice drsquoinertie du solide (S) au point O relativement agrave la base ( ) x y z srsquoobtient en disposant en colonne

les composantes des vecteurs transformeacutes des vecteurs de base par lrsquoopeacuterateur drsquoinertie

Et on peut aussi deacuteduire lrsquoopeacuterateur drsquoinertie agrave partir de la matrice drsquoinertie

Deacuteterminons les colonnes de la matrice drsquoinertie



On note




Par convention on pose

Une matrice drsquoinertie deacutepend de la base et du point de calcul il est donc important de preacuteciser ces donneacutees

33 Deacutetermination du moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque

On cherche agrave deacuteterminer une relation entre le moment drsquoinertie par rapport agrave un axe quelconque passant par

O lrsquoorigine du repegravere et la matrice drsquoinertie

On sait que

Donc le moment drsquoinertie drsquoun solide par rapport agrave un axe

4 Proprieacuteteacutes de la matrice drsquoinertie 41 Matrice et base principale drsquoinertie

La matrice drsquoinertie eacutetant symeacutetrique rarr diagonalisable Il existe donc pour tout solide de forme

quelconque une base principale drsquoinertie dans laquelle la matrice drsquoinertie prend la forme simplifieacutee



suivante Les vecteurs unitaires de cette base sont les vecteurs propres

de la matrice drsquoinertie et les termes diagonaux sont les valeurs propres correspondantes

- Les axes sont appeleacutes axes principaux drsquoinertie du solide S au point O

- Les moments drsquoinertie AP BP CP sont appeleacutes moments principaux drsquoinertie du solide S au point O

42 Influence des symeacutetries sur la forme de la matrice drsquoinertie

a) Un plan de symeacutetrie

Un plan de symeacutetrie permet drsquoannuler deux produits drsquoinertie comportant la normale agrave ce plan

Exemple

Le plan est plan de symeacutetrie

On deacutecompose le solide (S) en deux demi solides symeacutetriques

(S1) et (S2) donc agrave chaque point P(xyz)є S1 correspond symeacutetriquement

un point Prsquo(xyz-)є S2

On effectue un changement

de variable z rarr -z pour calculer la deuxiegraveme inteacutegrale drsquoougrave

On deacutemontre de mecircme E=0

Donc

b) Deux plans de symeacutetrie

Si un solide possegravede deux plans de symeacutetrie en choisissant drsquoeacutecrire la matrice drsquoinertie en un point O de la

droite drsquointersection des deux plans et dans une base respectant cette symeacutetrie alors les trois produits

drsquoinertie sont nuls

La matrice est donc diagonale

Exemple

et sont les deux plans de symeacutetrie

- plan rarr D=0 et E=0 (effets des z de signes opposeacutes)

- plan rarr E=0 et F=0 (effets des y de signes opposeacutes)

Lrsquoaxe perpendiculaire au plan de

symeacutetrie est un axe principal drsquoinertie

G

P

Prsquo

G



Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede rectangle au centre drsquoinertie G

On a trois plans de symeacutetrie qui sont ce qui permet drsquoannuler les trois

produits drsquoinertie

On a avec = = =m

dm dv dv dv dx dy dzv

De mecircme on deacutemontre

Matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede en G

c) Axe de reacutevolution

Tout plan passant par lrsquoaxe de reacutevolution est un plan de symeacutetrie

La matrice est donc diagonale dans toute base contenant lrsquoaxe de

reacutevolution et en tout point de cet axe

Pour lrsquoexemple ci-contre lrsquoaxe est lrsquoaxe de reacutevolution

Les axes x et y sont interchangeables sans modification de la

disposition de la matiegravere donc les moments drsquoinertie par rapport

aux axes et sont eacutegaux

Le solide a donc une matrice drsquoinertie de la forme

La notation indique que la matrice drsquoinertie reste la mecircme dans toute base orthonormeacutee

admettant lrsquoaxe sz comme troisiegraveme vecteur

y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c



Application Deacutetermination de la matrice drsquoinertie au centre drsquoinertie G drsquoun cylindre de reacutevolution plein de rayon R et

de hauteur H

Lrsquoaxe ( )G z est un axe de reacutevolution rarr Forme de la matrice drsquoinertie

On utilise les coordonneacutees cylindriques On a

Matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein en G

d) Centre de symeacutetrie

Le centre de symeacutetrie est lrsquointersection drsquoune infiniteacute drsquoaxes de reacutevolution

que possegravede le solide

Les produits drsquoinertie sont nuls et les moments drsquoinertie sont eacutegaux donc

la matrice est exprimeacutee au centre de symeacutetrie et dans toute base srsquoeacutecrit

sous la forme suivante

G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R



Exemple Sphegravere creuse de rayon R de centre G

On sait que avec O origine du repegravere

Soit O=G

Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere creuse en G

Application

Deacutetermination de la matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine de rayon R au centre drsquoinertie G

La forme de la matrice drsquoinertie

On utilise les coordonneacutees spheacuteriques

On a

Matrice drsquoinertie drsquoune sphegravere pleine en G

5 Changement de point Theacuteoregraveme de Huygens geacuteneacuteraliseacute

Le theacuteoregraveme de Huygens permet la recherche de la matrice drsquoinertie en un point quelconque A agrave partir de la

matrice drsquoinertie au point G (centre de graviteacute du solide)

G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ



Soit un solide (S) de masse m et de centre de graviteacute G avec

On note

Donc

Avec matrice drsquoinertie au point A du point mateacuteriel G de masse m(S)

On a

De mecircme

et

Remarque Le calcul reste le mecircme si on remplace par

51 Theacuteoregraveme drsquoHYGHENS particulier

6 Associativiteacute des matrices drsquoinertie

Il peut ecirctre inteacuteressant dans certains cas de faire une partition drsquoun solide en plusieurs solides eacuteleacutementaires

dont les matrices sont simples agrave calculer

Pour un ensemble de solides Σ =( S1hellipSn) on a

Application

Le solide (S) de masse m est composeacute de

- Cylindre creux (S1) de masse m1 de hauteur h de rayon exteacuterieur Re et de rayon inteacuterieur Ri

- Paralleacuteleacutepipegravede (S2) de masse m2 de longueur a de largeur b et de hauteur c

(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions

1 Donner la forme simplifieacutee de la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base

2 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun cylindre plein deacuteduire la matrice drsquoinertie du cylindre creux

(S1) au point O et dans la base

3 Connaissant la matrice drsquoinertie drsquoun paralleacuteleacutepipegravede deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S2) au

point O et dans la base

4 Deacuteduire la matrice drsquoinertie du solide (S) au point O et dans la base

Reacuteponses

Q1 Le solide (S) admet un plan de symeacutetrie la forme de la matrice drsquoinertie srsquoeacutecrit donc

Q2 Le solide (S1) admet un axe de reacutevolution avec G1=O

O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique

Solide S11(cylindre plein de

rayon Re et de hauteur h)

Masse volumique ρ

Volume V11

Masse

Solide S12 (cylindre plein de

rayon Ri et de hauteur h)

Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec

Q3 On applique le theacuteoregraveme de Huygens

On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7

Cylindre creux drsquoaxe de reacutevolution

de rayon exteacuterieur Re de rayon inteacuterieur Ri et de hauteur h

Paralleacuteleacutepipegravede rectangle

De longueur a de largeur b et de hauteur c

Matrices drsquoinertie des solides usuels

G

Ri=0 h=0 Ri= Re

Cylindre plein Enveloppe cylindrique

Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b



8 Torseur cineacutetique

81- Deacutefinition

Le torseur cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout

point A quelconque le torseur suivant

Soit O lrsquoorigine du repegravere R et G le centre drsquoinertie de lrsquoensemble mateacuteriel (E)

82- Relation de changement de point du moment cineacutetique

Soit B un point de (E) cherchons la relation entre et

83- Cas du solide indeacuteformable

Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere

Soit A un point lieacute au solide (S) On peut eacutecrire

On a

est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice drsquoinertie du solide S en A et du

vecteur rotation rarr Ces deux grandeurs doivent donc ecirctre exprimeacutees dans la mecircme base

Remarques importantes

- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse peut se faire par deacuterivation

ou par changement de point

- Si le point A nrsquoappartient pas mateacuteriellement au solide le calcul de la vitesse doit ecirctre fait par

changement de point

Cas particuliers

- Si le point A est confondu avec G

- Si le point A est fixe (A є mateacuteriellement agrave (S))

- Si le mouvement du solide (S) est une translation

Relation de changement de point (Passant par G)



9 Torseur dynamique

Le torseur dynamique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport agrave un repegravere R est en tout


Relation de changement de point

10 Relation entre le moment cineacutetique et le moment dynamique

Il est souvent plus simple de deacuteduire le moment dynamique du moment cineacutetique

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R

E R P R P RAp E p E p E p E

R RR

d AP Vd V d APAP dm AP dm dm V dm

dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R

d d AO OPAP V dm V dm

dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +

E RAE R A R P R P RA R

p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

E R E RA AE R A R P R A R G RA

p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante

- Le point A nrsquoest pas neacutecessairement fixe dans lrsquoensemble (E) donc le calcul de la vitesse ( )V A R

doit ecirctre fait par deacuterivation ( )( )

A R

R

d OAV

dt

=

- Si le point A est fixe dans le solide (S) le calcul de la vitesse ( )V A R peut se faire par deacuterivation

ou par changement de point dans ce cas ( )V A R = ( )V A S R

Cas particuliers

Le point A est fixe dans R ( )

( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=

Le point A est confondu avec G ( )

( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=



11 Energie cineacutetique Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble mateacuteriel (E) dans son mouvement par rapport

agrave R est le scalaire suivant


Soit un solide (S) de masse m de centre drsquoinertie G en mouvement par rapport agrave un repegravere ( )R O x y z

Soit A un point lieacute au solide (S) Par deacutefinition on a

Lrsquoeacutenergie cineacutetique est le comoment entre le torseur cineacutetique et le torseur cineacutematique

Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne deacutepend pas du point de calcul du comoment il est donc preacutefeacuterable drsquoappliquer cette

relation dans des points particuliers

- En G centre drsquoinertie

- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun point fixe O

- Pour un mouvement de rotation autour drsquoun axe fixe (Ou) avec Iu moment

drsquoinertie du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u) et wu vitesse de rotation du solide (S) agrave lrsquoaxe (O u)

- Pour un mouvement de translation

12 Eleacutements cineacutetiques drsquoun ensemble de solides Soit (E) un systegraveme de n solides (Si) en mouvement par rapport au repegravere R

13 Inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe

131 Deacutefinition

Dans le cas drsquoun systegraveme comportant plusieurs piegraveces en rotation agrave des vitesses de rotation diffeacuterentes

(et eacuteventuellement certaines en translation) on appelle inertie eacutequivalente rameneacutee agrave un axe Δ lrsquoinertie IeacuteqΔ

que devrait avoir cet axe en rotation pour que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme de piegraveces en rotation soit

eacutegale agrave Ecsystegraveme= ougrave wΔ repreacutesente la vitesse de rotation de lrsquoaxe Δ

Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoaxe moteur permet drsquoestimer rapidement le dimensionnement drsquoun

actionneur

Meacutethode

1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique de chaque sous-ensemble cineacutematique

1048722 Ecriture des relations liant les paramegravetres cineacutematiques des sous-ensembles

1048722 Ecriture de lrsquoeacutenergie cineacutetique totale en fonction de la vitesse de lrsquoactionneur



Remarque On peut aussi deacutefinir la masse eacutequivalente rameneacutee sur un axe en utilisant le mecircme principe

132 Exemple 1

On considegravere un systegraveme de transformation de mouvement composeacute de

Moteur + reacuteducteur + systegraveme vis-eacutecrou + charge

Lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoensemble en mouvement par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen R0 lieacute au bacircti

Scheacutema eacutequivalent 2

0 1

1( )

2 = eqT R J w

Lrsquoinertie eacutequivalente rameneacutee agrave lrsquoarbre moteur est

133 Exemple 2 Veacuterin + pignon-creacutemaillegravere

Scheacutema eacutequivalent

La masse eacutequivalente rameneacutee sur lrsquoaxe du veacuterin est

Moment drsquoinertie I2

I1

Loi entreacutee sortie cineacutematique

Reacuteducteur

Pas p

Mc

Creacutemaillegravere (1)

de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq

- rapport de reacuteduction

du reacuteducteur 21

1

=w

rw

- vitesse de

deacuteplacement de la

charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



ETUDE DE LrsquoAXE 3

Le systegraveme de dressageabaissement reacutealise la rotation de la plate-forme autour drsquoun axe horizontal Z

On propose le parameacutetrage sur le systegraveme de la figure 3 puis sur le scheacutema cineacutematique de la figure 4

Figure 2



Parameacutetrage



=




=











( )( )

M

j ij i

V M j i

=

Questions





O0 0x

0y

A

C

D

5x

5y

3x

3y

PARC ECHELLE (5)

CHASSIS (0)

TIGE VERIN (3)

CYLINDRE VERIN (4)

PLATE-FORME (6)

B

O


Gp



























=




=


yh

xL

OG+=












moteur m 0 D

0(Moteur 6)

C z

rarr =


Questions













appliqueacute)






0 3 5z z z= =

0x

0y

5x

5y 3x

3y



0(5 0)(5 0)

( 5 0) 0A

A A

z

V A

== =

(5 0)

(5 0)( 5 0)

O

OV O

==

On a

0 0 0 5

5

( ) ( )( 5 0)

RR R


dt dt dt


0

5

(5 0)

O

O

z

d y

==

minus


0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR


dt dt

+ + == = =




0 0 0

uml 0

( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P

pivot


=

= = +

0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =


0 0 0 3 0 3

0

( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )

pivot


=

= + = minus = minus


33

3

3

( ( ) )( )( 4 3) ( )

RR


dt dt

= = =











et sur 0y

0

0



minus minus =

minus minus =

y(t)sin b ccos (1)

y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

( ) ( )2 2




0 0

uml 0

( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0

pivot

V C V C V C R V C R

=

= + minus =

On a 0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR


dt dt

+ + == = =





y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

b ccossin

y(t)

csin acos

y(t)

minus=

+ =


cy t c a b c

y t == + + minus

( )( ) cos sin( )

cy t a b

y t == +



0

3 5

4

Pivot ( )0 zB

Pivot ( )0 zA


6

Pesanteur

Huile

Moteur

( )0Pivot Dz







Liaisons



dans lrsquoespace



L4-5

L4-5




( ) ( ) ( ) ( )B C C


M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0

= =







( ) ( ) ( )3

3 3 3

0 y

54 v 54 v

R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0

R F 0 R F


=-


+ =

45 vR F =






( ) ( ) ( ) ( )A A A A

0


pivot=



( ) ( )A G 0 5 5 0

0


2 3


( )A 0


2 3


( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0

0



On peut eacutecrire

( ) 45 0 0 G 0


2 3



cy t a b

y t == + et

119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )

( )

2 2cos sin1

cos( ) ( ) cos sin

b c c a

c y t c a b

minus + + = =

minus +

Donc

( ) ( )

( )

2 2

v G


c a cos bsin 2 3


+


appliqueacute)


( ) ( ) ( )m 0 0

D D D

C z 0 Mgy







(S)

O

G

˟P


1 Masse et inertie





masse sur le solide








Conseacutequence





131 Deacutefinition



Ce qui donne


Volume

Surface

Ligne

1 OG OP d

L=








Exemple


On note


a

b

h

Ri

Re

O=G1

O

R

O

P

dθ

θ


r

O

P

dθ

θ


R

(S2)

(S1)

G2



avec et

On aura donc







graviteacute

Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple





r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O




On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



Parameacutetrage



=




=











( )( )

M

j ij i

V M j i

=

Questions





O0 0x

0y

A

C

D

5x

5y

3x

3y

PARC ECHELLE (5)

CHASSIS (0)

TIGE VERIN (3)

CYLINDRE VERIN (4)

PLATE-FORME (6)

B

O


Gp



























=




=


yh

xL

OG+=












moteur m 0 D

0(Moteur 6)

C z

rarr =


Questions













appliqueacute)






0 3 5z z z= =

0x

0y

5x

5y 3x

3y



0(5 0)(5 0)

( 5 0) 0A

A A

z

V A

== =

(5 0)

(5 0)( 5 0)

O

OV O

==

On a

0 0 0 5

5

( ) ( )( 5 0)

RR R


dt dt dt


0

5

(5 0)

O

O

z

d y

==

minus


0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR


dt dt

+ + == = =




0 0 0

uml 0

( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P

pivot


=

= = +

0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =


0 0 0 3 0 3

0

( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )

pivot


=

= + = minus = minus


33

3

3

( ( ) )( )( 4 3) ( )

RR


dt dt

= = =











et sur 0y

0

0



minus minus =

minus minus =

y(t)sin b ccos (1)

y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

( ) ( )2 2




0 0

uml 0

( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0

pivot

V C V C V C R V C R

=

= + minus =

On a 0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR


dt dt

+ + == = =





y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

b ccossin

y(t)

csin acos

y(t)

minus=

+ =


cy t c a b c

y t == + + minus

( )( ) cos sin( )

cy t a b

y t == +



0

3 5

4

Pivot ( )0 zB

Pivot ( )0 zA


6

Pesanteur

Huile

Moteur

( )0Pivot Dz







Liaisons



dans lrsquoespace



L4-5

L4-5




( ) ( ) ( ) ( )B C C


M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0

= =







( ) ( ) ( )3

3 3 3

0 y

54 v 54 v

R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0

R F 0 R F


=-


+ =

45 vR F =






( ) ( ) ( ) ( )A A A A

0


pivot=



( ) ( )A G 0 5 5 0

0


2 3


( )A 0


2 3


( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0

0



On peut eacutecrire

( ) 45 0 0 G 0


2 3



cy t a b

y t == + et

119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )

( )

2 2cos sin1

cos( ) ( ) cos sin

b c c a

c y t c a b

minus + + = =

minus +

Donc

( ) ( )

( )

2 2

v G


c a cos bsin 2 3


+


appliqueacute)


( ) ( ) ( )m 0 0

D D D

C z 0 Mgy







(S)

O

G

˟P


1 Masse et inertie





masse sur le solide








Conseacutequence





131 Deacutefinition



Ce qui donne


Volume

Surface

Ligne

1 OG OP d

L=








Exemple


On note


a

b

h

Ri

Re

O=G1

O

R

O

P

dθ

θ


r

O

P

dθ

θ


R

(S2)

(S1)

G2



avec et

On aura donc







graviteacute

Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple





r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O




On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



























=




=


yh

xL

OG+=












moteur m 0 D

0(Moteur 6)

C z

rarr =


Questions













appliqueacute)






0 3 5z z z= =

0x

0y

5x

5y 3x

3y



0(5 0)(5 0)

( 5 0) 0A

A A

z

V A

== =

(5 0)

(5 0)( 5 0)

O

OV O

==

On a

0 0 0 5

5

( ) ( )( 5 0)

RR R


dt dt dt


0

5

(5 0)

O

O

z

d y

==

minus


0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR


dt dt

+ + == = =




0 0 0

uml 0

( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P

pivot


=

= = +

0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =


0 0 0 3 0 3

0

( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )

pivot


=

= + = minus = minus


33

3

3

( ( ) )( )( 4 3) ( )

RR


dt dt

= = =











et sur 0y

0

0



minus minus =

minus minus =

y(t)sin b ccos (1)

y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

( ) ( )2 2




0 0

uml 0

( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0

pivot

V C V C V C R V C R

=

= + minus =

On a 0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR


dt dt

+ + == = =





y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

b ccossin

y(t)

csin acos

y(t)

minus=

+ =


cy t c a b c

y t == + + minus

( )( ) cos sin( )

cy t a b

y t == +



0

3 5

4

Pivot ( )0 zB

Pivot ( )0 zA


6

Pesanteur

Huile

Moteur

( )0Pivot Dz







Liaisons



dans lrsquoespace



L4-5

L4-5




( ) ( ) ( ) ( )B C C


M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0

= =







( ) ( ) ( )3

3 3 3

0 y

54 v 54 v

R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0

R F 0 R F


=-


+ =

45 vR F =






( ) ( ) ( ) ( )A A A A

0


pivot=



( ) ( )A G 0 5 5 0

0


2 3


( )A 0


2 3


( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0

0



On peut eacutecrire

( ) 45 0 0 G 0


2 3



cy t a b

y t == + et

119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )

( )

2 2cos sin1

cos( ) ( ) cos sin

b c c a

c y t c a b

minus + + = =

minus +

Donc

( ) ( )

( )

2 2

v G


c a cos bsin 2 3


+


appliqueacute)


( ) ( ) ( )m 0 0

D D D

C z 0 Mgy







(S)

O

G

˟P


1 Masse et inertie





masse sur le solide








Conseacutequence





131 Deacutefinition



Ce qui donne


Volume

Surface

Ligne

1 OG OP d

L=








Exemple


On note


a

b

h

Ri

Re

O=G1

O

R

O

P

dθ

θ


r

O

P

dθ

θ


R

(S2)

(S1)

G2



avec et

On aura donc







graviteacute

Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple





r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O




On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq







moteur m 0 D

0(Moteur 6)

C z

rarr =


Questions













appliqueacute)






0 3 5z z z= =

0x

0y

5x

5y 3x

3y



0(5 0)(5 0)

( 5 0) 0A

A A

z

V A

== =

(5 0)

(5 0)( 5 0)

O

OV O

==

On a

0 0 0 5

5

( ) ( )( 5 0)

RR R


dt dt dt


0

5

(5 0)

O

O

z

d y

==

minus


0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR


dt dt

+ + == = =




0 0 0

uml 0

( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P

pivot


=

= = +

0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =


0 0 0 3 0 3

0

( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )

pivot


=

= + = minus = minus


33

3

3

( ( ) )( )( 4 3) ( )

RR


dt dt

= = =











et sur 0y

0

0



minus minus =

minus minus =

y(t)sin b ccos (1)

y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

( ) ( )2 2




0 0

uml 0

( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0

pivot

V C V C V C R V C R

=

= + minus =

On a 0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR


dt dt

+ + == = =





y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

b ccossin

y(t)

csin acos

y(t)

minus=

+ =


cy t c a b c

y t == + + minus

( )( ) cos sin( )

cy t a b

y t == +



0

3 5

4

Pivot ( )0 zB

Pivot ( )0 zA


6

Pesanteur

Huile

Moteur

( )0Pivot Dz







Liaisons



dans lrsquoespace



L4-5

L4-5




( ) ( ) ( ) ( )B C C


M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0

= =







( ) ( ) ( )3

3 3 3

0 y

54 v 54 v

R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0

R F 0 R F


=-


+ =

45 vR F =






( ) ( ) ( ) ( )A A A A

0


pivot=



( ) ( )A G 0 5 5 0

0


2 3


( )A 0


2 3


( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0

0



On peut eacutecrire

( ) 45 0 0 G 0


2 3



cy t a b

y t == + et

119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )

( )

2 2cos sin1

cos( ) ( ) cos sin

b c c a

c y t c a b

minus + + = =

minus +

Donc

( ) ( )

( )

2 2

v G


c a cos bsin 2 3


+


appliqueacute)


( ) ( ) ( )m 0 0

D D D

C z 0 Mgy







(S)

O

G

˟P


1 Masse et inertie





masse sur le solide








Conseacutequence





131 Deacutefinition



Ce qui donne


Volume

Surface

Ligne

1 OG OP d

L=








Exemple


On note


a

b

h

Ri

Re

O=G1

O

R

O

P

dθ

θ


r

O

P

dθ

θ


R

(S2)

(S1)

G2



avec et

On aura donc







graviteacute

Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple





r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O




On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



0(5 0)(5 0)

( 5 0) 0A

A A

z

V A

== =

(5 0)

(5 0)( 5 0)

O

OV O

==

On a

0 0 0 5

5

( ) ( )( 5 0)

RR R


dt dt dt


0

5

(5 0)

O

O

z

d y

==

minus


0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR


dt dt

+ + == = =




0 0 0

uml 0

( 6 ) ( 6 ) ( 6 5) ( 5 )P

pivot


=

= = +

0 0 5 ( 6 ) ( 5 ) PV G R V D R H y = =


0 0 0 3 0 3

0

( 3 ) ( 3 ) (3 ) ( ) ( )

pivot


=

= + = minus = minus


33

3

3

( ( ) )( )( 4 3) ( )

RR


dt dt

= = =











et sur 0y

0

0



minus minus =

minus minus =

y(t)sin b ccos (1)

y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

( ) ( )2 2




0 0

uml 0

( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0

pivot

V C V C V C R V C R

=

= + minus =

On a 0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR


dt dt

+ + == = =





y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

b ccossin

y(t)

csin acos

y(t)

minus=

+ =


cy t c a b c

y t == + + minus

( )( ) cos sin( )

cy t a b

y t == +



0

3 5

4

Pivot ( )0 zB

Pivot ( )0 zA


6

Pesanteur

Huile

Moteur

( )0Pivot Dz







Liaisons



dans lrsquoespace



L4-5

L4-5




( ) ( ) ( ) ( )B C C


M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0

= =







( ) ( ) ( )3

3 3 3

0 y

54 v 54 v

R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0

R F 0 R F


=-


+ =

45 vR F =






( ) ( ) ( ) ( )A A A A

0


pivot=



( ) ( )A G 0 5 5 0

0


2 3


( )A 0


2 3


( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0

0



On peut eacutecrire

( ) 45 0 0 G 0


2 3



cy t a b

y t == + et

119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )

( )

2 2cos sin1

cos( ) ( ) cos sin

b c c a

c y t c a b

minus + + = =

minus +

Donc

( ) ( )

( )

2 2

v G


c a cos bsin 2 3


+


appliqueacute)


( ) ( ) ( )m 0 0

D D D

C z 0 Mgy







(S)

O

G

˟P


1 Masse et inertie





masse sur le solide








Conseacutequence





131 Deacutefinition



Ce qui donne


Volume

Surface

Ligne

1 OG OP d

L=








Exemple


On note


a

b

h

Ri

Re

O=G1

O

R

O

P

dθ

θ


r

O

P

dθ

θ


R

(S2)

(S1)

G2



avec et

On aura donc







graviteacute

Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple





r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O




On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq





et sur 0y

0

0



minus minus =

minus minus =

y(t)sin b ccos (1)

y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

( ) ( )2 2




0 0

uml 0

( 4 5) 0 ( 4 3) ( 3 ) ( 5 ) 0

pivot

V C V C V C R V C R

=

= + minus =

On a 0 0 5

0 5

( ) ( )( 5 )

RR


dt dt

+ + == = =





y(t) cos csin a (2)

= minus

= +

b ccossin

y(t)

csin acos

y(t)

minus=

+ =


cy t c a b c

y t == + + minus

( )( ) cos sin( )

cy t a b

y t == +



0

3 5

4

Pivot ( )0 zB

Pivot ( )0 zA


6

Pesanteur

Huile

Moteur

( )0Pivot Dz







Liaisons



dans lrsquoespace



L4-5

L4-5




( ) ( ) ( ) ( )B C C


M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0

= =







( ) ( ) ( )3

3 3 3

0 y

54 v 54 v

R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0

R F 0 R F


=-


+ =

45 vR F =






( ) ( ) ( ) ( )A A A A

0


pivot=



( ) ( )A G 0 5 5 0

0


2 3


( )A 0


2 3


( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0

0



On peut eacutecrire

( ) 45 0 0 G 0


2 3



cy t a b

y t == + et

119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )

( )

2 2cos sin1

cos( ) ( ) cos sin

b c c a

c y t c a b

minus + + = =

minus +

Donc

( ) ( )

( )

2 2

v G


c a cos bsin 2 3


+


appliqueacute)


( ) ( ) ( )m 0 0

D D D

C z 0 Mgy







(S)

O

G

˟P


1 Masse et inertie





masse sur le solide








Conseacutequence





131 Deacutefinition



Ce qui donne


Volume

Surface

Ligne

1 OG OP d

L=








Exemple


On note


a

b

h

Ri

Re

O=G1

O

R

O

P

dθ

θ


r

O

P

dθ

θ


R

(S2)

(S1)

G2



avec et

On aura donc







graviteacute

Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple





r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O




On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq







Liaisons



dans lrsquoespace



L4-5

L4-5




( ) ( ) ( ) ( )B C C


M 5 4 M 0 3 0 M 5 4 BC R 5 4 0

= =







( ) ( ) ( )3

3 3 3

0 y

54 v 54 v

R 5 4 y R 3 4 y R Huile 4 y 0

R F 0 R F


=-


+ =

45 vR F =






( ) ( ) ( ) ( )A A A A

0


pivot=



( ) ( )A G 0 5 5 0

0


2 3


( )A 0


2 3


( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0

0



On peut eacutecrire

( ) 45 0 0 G 0


2 3



cy t a b

y t == + et

119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )

( )

2 2cos sin1

cos( ) ( ) cos sin

b c c a

c y t c a b

minus + + = =

minus +

Donc

( ) ( )

( )

2 2

v G


c a cos bsin 2 3


+


appliqueacute)


( ) ( ) ( )m 0 0

D D D

C z 0 Mgy







(S)

O

G

˟P


1 Masse et inertie





masse sur le solide








Conseacutequence





131 Deacutefinition



Ce qui donne


Volume

Surface

Ligne

1 OG OP d

L=








Exemple


On note


a

b

h

Ri

Re

O=G1

O

R

O

P

dθ

θ


r

O

P

dθ

θ


R

(S2)

(S1)

G2



avec et

On aura donc







graviteacute

Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple





r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O




On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq






( ) ( ) ( ) ( )A A A A

0


pivot=



( ) ( )A G 0 5 5 0

0


2 3


( )A 0


2 3


( ) ( )PA G P 0 5 G 0 G 0

0



On peut eacutecrire

( ) 45 0 0 G 0


2 3



cy t a b

y t == + et

119910(119905) = radic(119887 minus 119888 119888119900119904 120579)2 + (119888 119904119894119899 120579 + 119886)2 ( ) ( )

( )

2 2cos sin1

cos( ) ( ) cos sin

b c c a

c y t c a b

minus + + = =

minus +

Donc

( ) ( )

( )

2 2

v G


c a cos bsin 2 3


+


appliqueacute)


( ) ( ) ( )m 0 0

D D D

C z 0 Mgy







(S)

O

G

˟P


1 Masse et inertie





masse sur le solide








Conseacutequence





131 Deacutefinition



Ce qui donne


Volume

Surface

Ligne

1 OG OP d

L=








Exemple


On note


a

b

h

Ri

Re

O=G1

O

R

O

P

dθ

θ


r

O

P

dθ

θ


R

(S2)

(S1)

G2



avec et

On aura donc







graviteacute

Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple





r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O




On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



(S)

O

G

˟P


1 Masse et inertie





masse sur le solide








Conseacutequence





131 Deacutefinition



Ce qui donne


Volume

Surface

Ligne

1 OG OP d

L=








Exemple


On note


a

b

h

Ri

Re

O=G1

O

R

O

P

dθ

θ


r

O

P

dθ

θ


R

(S2)

(S1)

G2



avec et

On aura donc







graviteacute

Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple





r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O




On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq






Exemple


On note


a

b

h

Ri

Re

O=G1

O

R

O

P

dθ

θ


r

O

P

dθ

θ


R

(S2)

(S1)

G2



avec et

On aura donc







graviteacute

Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple





r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O




On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



avec et

On aura donc







graviteacute

Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple





r

dℓ

dθ

O

rG

G

r

O




On aura donc

R

(Δ)



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



Deacutemonstration





On a et donc (1)




(1)=(2) rarr

Exemple











on deacuteduit donc




x

y

O

z (Δ)

i

P

H

(S) A

G

rG

r

r

O

P

dθ

(Δ)

O




On aura donc

R













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq













31 Deacutefinition










On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

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rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



On note









On sait que














Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

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rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq










Exemple








Donc






Exemple






G

P

Prsquo

G






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq






On a avec = = =m















y

G

dy

x

dx

z

dz

G

a

b

c




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq




de hauteur H










G

G

dθ

z

dz

θ

r

dr

G

R





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq





Soit O=G


Application




On a





G

dθ

θ

rsinφ

dr

dφ

φ

r

rco

sφ




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq




On note

Donc


On a

De mecircme

et







Application




(Δrsquo)

G

(Δ)

(S) d bull



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



Questions







Reacuteponses



O

O

O

O

Solide S1

Masse m1= m11- m12

Volume V1= V11- V12

Masse volumique



Masse volumique ρ

Volume V11

Masse



Masse volumique ρ

Volume V12

Masse

c

a

h

Ri

Re

O=G1

O

(S1)

(S2)

G2

b



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



On aura donc avec


On a avec

On a Ce qui donne

On note tel que

Q4



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



7






G

Ri=0 h=0 Ri= Re


Tige rectiligne

Disque creux

h=0 R=0 h=0

Disque plein Cercle

a=b=c c=0

a=0

b=0

c=h

Cube Plaque

G

a

b

c

a

b




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq




81- Deacutefinition









On a







changement de point

Cas particuliers







9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq



9 Torseur dynamique






( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )P RP R


R RR


dt dt dt

= = = minus

( )( ) ( ) ( )( )

E R P R P RAp E p E

R R


dt dt

+ = minus

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

+

= minus minus

= +


p ER

E RAA R P R

p ER

dV V V dm

dt

dV V dm

dt

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )


p ER R

d dV V dm V mV

dt dt

= + = +

( )( ) ( ) ( )

( )E RAA

R

E R A R G Rd

dtmV V

= +

Remarque importante



A R

R

d OAV

dt

=



Cas particuliers


( )( )E RA

A

R

E Rd

dt

=


( )( )E RG

G

R

E Rd

dt

=


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq


















131 Deacutefinition






actionneur

Meacutethode







132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq




132 Exemple 1





0 1

1( )

2 = eqT R J w






I1


Reacuteducteur

Pas p

Mc


de masse M1

Pignon (2) de rayon

R et de moment

drsquoinertie I2

M

Charge

Mot Jeq



1

=w

rw

- vitesse de


charge de masse Mc

2v2

=p

w

Veacuterin Meq

exercice de rappel sur la cinématique et la statique des

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