1

Exercice 1 : Régulation de température d’un dégazeur thermique

Un dégazeur est utilisé pour réduire la concentration en oxygène (O2), et en gaz carbonique

(CO2) dans l'eau. Il est utilisé pour le traitement de l'eau d'appoint des chaudières industrielles.

La diminution des taux d'oxygène et du gaz carbonique réduit les risques de corrosion.

L’élimination se fait par création d’une atmosphère privée de ces gaz à la surface intime de

l’eau de ruissellement. De plus, la propriété des gaz d’être d’autant moins solubles que la

pression est faible et la température est élevée, est utilisée.

Pour cela, l’eau contenue dans le dégazeur est maintenue à une légère pression (0.3 à 0.7 bar)

et à la température d’évaporation correspondante (107 à 115 °C). Elle se trouve ainsi en légère

ébullition (vaporisation). Le mélange de vapeur et du gaz cédé par l’eau d’alimentation, est

évacué à l’atmosphère par un évent, au fur et à mesure qu’il se forme.

La figure 6.60 suivante représente le schéma de régulation de la température réglée en agissant

sur le débit de vapeur.

Fig 6.60

Légende : TE : Sonde pour la mesure de température

TY : Module permettant de convertir un signal tension en signal courant

TIC : Régulateur industriel et indicateur (afficheur des grandeurs)

TV : Vanne de réglage de débit équipé d’un positionneur électro-pneumatique

I : signal courant normalisé 4 – 20 mA

Y : signal de commande normalisé 4 – 20 mA

Le schéma fonctionnel de l’installation est donné par la figure suivante:

U/I

Y

M

TV Evacuation vers

chaudière

Event

Qe

Eau

Qv

Vapeur

T

E

TY

TIC

I

2

Figure 6.61

1. Indiquer la principale source de perturbation justifiant la nécessite de faire la régulation

2. Le régulateur est un PID de structure mixte et de fonction de transfert :

1( ) (1 )p d

i

R p K T pT p

= + +

Afin de procéder à son réglage, on a opté d’utiliser la méthode de réglabilité en se basant sur la

réponse indicielle du procédé seul de fonction de transfert inconnue G(p). Pour ce faire : le

régulateur est déconnecté. On a envoyé une variation ∆I sur l’entrée de 10%, et on a enregistré

la réponse ∆Y exprimé en pour cent comme le montre la figure 6.62.

Fig 6.62

Perturbations

Yc I Y +

-

Régulateur

R(p)

PROCEDE

G(p)

Régulateur industriel

3

- Déterminer le gain statique du procédé.

- Tracer le mieux possible la tangente au point d’inflexion et déterminer les paramètres Tu et

Ta.

- En déduire le rapport de réglabilité r =Tu/Ta.

- A partir du tableau de recommandation, déterminer les paramètres du régulateur R(p)

3. Avec le régulateur obtenu, quelles sont les performances qualitatives en boucle

fermée auxquelles on doit s’attendre ?

Exercice 2 : Etude d’une boucle d’asservissement de vitesse

Le système présenté par la figure 6.63 correspond à une unité de production composée des

parties suivantes :

Un carrousel à quatre postes de travail ;

Un manipulateur de chargement et de déchargement des pièces;

Un convoyeur d’alimentation en pièces brutes et d’évacuation des pièces usinées

fonctionnant pas à pas ;

Une goulette d’évacuation des pièces réputées défectueuses après contrôle.

Fig 6.63

Le carrousel comprend quatre postes de travail dont celui étudié et qui correspond à l’opération

de contrôle d’état de surface des pièces usinées. En effet, ce contrôle est nécessaire et il est

effectué par un palpeur dont on cherche à asservir la vitesse de déplacement le long de la

surface usinée.

Pièces

correctes

Pièces

brutes

Goulette pièces

défectueuses

Convoyeur

Chargement

Déchargement

Perçage

Contrôle

Alésage

Carrousel

Bras manipulateur

4

La figure 6.64 schématise le dispositif mécanique. Il est constitué d’un moteur électrique à

courant continu commandé par sa tension d’induit notée U, d’un système vis-écrou

transformant le mouvement de rotation en mouvement de translation. Ce système permet un

déplacement linéaire de 5 mm par tour du moteur. Un capteur de vitesse angulaire incorporé au

moteur électrique fournit une tension électrique Um= Kc Ω(t) avec Kc= 2.5 v/rd/s.

Fig 6.64

1° Modélisation

On souhaite obtenir un modèle approché pour le système dont l’entrée est la tension de

commande U(t) et la sortie est la tension issue du capteur Um(t). Une étude au préalable à

montré qu’il est possible de modéliser ce système par une fonction de transfert d’ordre 2; soit :

1 2

( )( )

( ) (1 )(1 )

Um p GoG p

U p T p T p= =

+ +,

mais les paramètres G0, T1 et T2 ne sont pas connus.

Pour déterminer expérimentalement ces paramètres, on a envisagé l’expérience suivante :

Le système est inséré dans une boucle fermée contenant un régulateur R(p) comme le montre la

figure 6.65.

Fig 6.65

V représente la vitesse linéaire de déplacement.

Um

V U Uc +

-

Ω Procédé

Régulateur

R(p) K0

Capteur

de vitesse

Palpeur Profil à tester

Moteur

5

1. Le régulateur est un amplificateur de tension; soit R(p) = k. Montrer que la fonction de

transfert en boucle fermée peut s’écrire sous la forme suivante :

2

2 2

( )( )

( ) 2

bf n

n n

KUm pH p

Uc p p z p

ω

ω ω= =

+ + avec :

0

0

1 2

1 2 0

0

1 2

1

1

2 (1 )

1

bf

n

kGK

kG

T Tz

T T kG

kG

TTω

= +

+=

+

+ =

Rappeler la définition et préciser la dimension des paramètres : Kbf , z et ωn.

2. On prend k = 10 et on applique une consigne constante Uc = 5.5 volts. La réponse

indicielle Um(t) est donnée par la figure 6.66.

0.0.

Fig 6.66

A partir de cette réponse, déterminer le gain statique en boucle fermée, le dépassement indiciel

D% et la pseudo-période Tp. En déduire les paramètres Kbf, z et ωn.

3. En déduire que les paramètres du modèle sont approximativement donnés par G0 = 2,

T1= 0.6 s et T2 = 0.5 s.

4. Préciser la vitesse de rotation Ω0 et la vitesse de translation V0 en régime permanent.

6

2ème

partie : Régulation proportionnelle

Le régulateur est un simple amplificateur de gain réglable Kp

1. On souhaite que lors du changement de consigne, le dépassement maximal soit de l'ordre de

5%.

Calculer la valeur de Kp compatible avec cette contrainte. En déduire le temps de réponse à

5%.

2. On souhaite obtenir la même vitesse de déplacement en régime permanent que celle trouvée

précédemment, quelle consigne Uco faut-il appliquer ?

3. Quelle est l’erreur observée en régime permanent ?

3ème

partie : régulation proportionnelle + intégrale 1

L’erreur observée est jugée trop importante compte tenu de la précision souhaitée. On ajoute à

l'action P précédente du régulateur, l'action intégrale; soit: 1

( ) (1 )pi

R p KT p

= + .

1. Calculer en fonction des paramètres G0, Kp, T1, et T2 l'expression de la valeur minimale de Ti

qu'on notera Tic en dessous de laquelle la stabilité n'est plus assurée.

2. La valeur de Kp est celle trouvée en 2.2, calculer Tic.

3. Pour Ti =2 Tic, tracer approximativement la courbe de gain et de phase dans le plan de Bode

de la fonction de transfert en boucle ouverte. Evaluer la valeur de la pulsation pour laquelle le

gain est unitaire. Raffiner cette valeur par un tâtonnement. Calculer la marge de phase.

4. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée. Calculer son zéro et ses pôles. Montrer

qu'elle peut être approchée en première approximation par un modèle d'ordre 2 de pulsation

propre ω0 et de coefficient d'amortissement zo.

5. Evaluer dans ces conditions les performances transitoires (dépassement indiciel et le temps

de réponse à 5%).

4ème

partie : régulation proportionnelle + intégrale 2

Le régulateur est toujours de type PI comme précédemment. On propose pour son calcul, de

s'orienter vers une régulation parfaite (terminologie du cours).

1. Montrer que deux choix sont possibles pour la constante d'intégration permettant d'obtenir

une régulation parfaite.

2. Pour chaque choix de Ti, calculer la valeur de Kp, qui permet d'avoir une marge de phase de

45°.

3. Laquelle des deux valeurs de Ti, celle qui conduit au temps de réponse le plus court ?

7

Discussion

Faire une étude comparative de ces différentes méthodes de réglage en tenant compte des

performances suivantes : Mages de stabilité précision statique, rapidité.

Exercice 3 : Etude d’un système de chauffage domestique

Une pièce d'une unité d'habitation est chauffée par un radiateur électrique. Une partie de la

puissance fournie par le radiateur est perdue par fuites thermiques vers le milieu

extérieur, par les fenêtres et les murs. La puissance non perdue permet d'échauffer l'air

ambiant de la pièce.

On note : θa la température moyenne de l'air de la pièce, θm la température moyenne des murs

de la pièce, et θe la température moyenne du milieu extérieur.

Le modèle thermique de la pièce est représenté par la figure suivante :

Fig 6.67

Le radiateur électrique qui sert au chauffage de la pièce absorbe une puissance électrique

maximale P qui est entièrement dissipée sous forme de chaleur par la résistance chauffante :

Fig 6.68

Radiateur

Autre pièce Autre pièce

Fenêtre

Mur : θm

Air ambiant : θa

Milieu extérieur : θe

Sonde de

mesure

Consigne

Résistance

chauffante

Commande

Flux de chaleur

Air ambiant θa

Piè

ce

8

La mise en équation du système a conduit au schéma fonctionnel suivant :

Fig 6.69

Avec :

1 1 2 22

3 33

1F (p) = K = 25°C F (p) = ; = 450s

1 p

1F (p) = ; = 12000s

1 p

ττ

ττ

+ +

Un capteur de la température θa est placé au centre de la pièce, loin du radiateur. Il fournit une

tension Va proportionnelle à θa telle que Va(t) = K2 θa ; K2 = 0.25 volt/°C.

Le schéma de la boucle de régulation est donné par la figure suivante :

Fig 6.70

La consigne de température θc est convertie en tension électrique Vc selon la loi Vc(t) =K2 θc(t).

R(p) est la fonction de transfert d’un régulateur PID.

Le régulateur est de type proportionnel : R1(p) = Kp1.

1. On suppose que θe = 0 (Fonctionnement en asservissement).

1.1 Calculer la fonction de transfert en boucle fermée θa(p)/ θc(p).

1.2 Déterminer Kp1 de manière à ce que le temps de réponse à 5% soit de 5 mn.

1.3 La consigne est de 25°C, quelle est l’erreur en température observée en régime

permanent ? Est-elle acceptable sachant qu’une erreur maximale de 1°C est acceptable pour le

confort de l’utilisateur ?

2. On suppose que θe ≠ 0 (Fonctionnement en régulation).

2.1 Calculer la fonction de transfert en boucle fermée θa(p)/ θe(p).

Va

Vc +

-

θc θa

θe U

F1(p) F2(p)

K2

K2 Régulateur

R(p)

θm(p)

θa(p)

θe(p)

U(p) F1(p) F2(p) F3(p)

9

2.2 La température à l’extérieur est en fait de 20°C pendant une longue période. Quelle

consigne faut-il appliquer pour avoir une température ambiante de 25°C ?

3. Pendant une froide journée d’hiver, la température à l’extérieur varie lentement mais

entre un maxima diurne et un minima nocturne pendant une période de 24 heures. Cette

variation est supposée décrite par une fonction sinusoïdale de la forme :

e e0

2(t)= sin( t); T = 24heures

T

πθ θ

3.1 Exprimer la température ambiante θa en régime permanent dû à θe.

3.2 Quelle est la variation crête à crête ∆θa

3.3 Que peut-on dire de cette variation pour le confort de l’utilisateur sachant que θe0 =

5°C ?

4. Afin d’améliorer la précision, on remplace le régulateur P par un régulateur PI de

fonction de transfert 2 p2i2

1R (p) = K (1+ )

T p

4.1 Montrer qu’avec un choix judicieux de Ti2, il est possible d’obtenir une régulation

idéale.

4.2 Etablir dans ces conditions l’expression de θa(p) en fonction de θc(p) et θe(p).

4.3 On suppose que θe = 0. Déterminer le gain Kp2 de manière à obtenir le même temps de

réponse que précédemment, c’est-à-dire 5 mn.

4.4 Quelle consigne faut-il appliquer pour avoir une température ambiante de 25°C ?

4.5 Reprendre les situations envisagées en 2.2 et 3.

5. En réalité, le processus d’échauffement de la pièce par un radiateur est plus complexe.

En effet, l’équation de transmission de la chaleur dans l’air de la pièce introduit un retard

temporel entre l’instant où la puissance thermique est fournie par le radiateur et l’instant où la

température amiante est mesurée. De ce fait la fonction de transfert F2(p) devient : -Tp

2 22

F (p) = = 450s T = 120s1 p

eτ

τ+

Le régulateur est toujours de type PI : 3 p3i3

1R (p) = K (1+ )

T pdont on propose de déterminer

ses paramètres.

5.1 On suppose que θe = 0 (Etude en asservissement). Calculer la fonction de transfert en

boucle ouverte en prenant Ti3 = τ2.

10

5.2 Etudier la stabilité de l’asservissement en fonction de Kp3.

5.3 Déterminer Kp3 de manière à obtenir une marge de gain de 15 dB. En déduire la marge de

phase.

5.4 Déterminer le temps de réponse à 5%.

5.5 La précision se trouve t-elle modifiée ?

5.6 Peut-on envisager d’ajouter l’action dérivée ? Si oui dans quel but ?

Exercice 4 : Etude d’une boucle de régulation de débit

Dans un échangeur de chaleur, le circuit primaire véhicule de la vapeur dont on cherche à

réguler son débit. La figure 6.71 représente le schéma de principe de la boucle de régulation de

débit contrôlé par une vanne asservie. Le diagramme fonctionnel de toute l’installation est

donné par la figure 6.72.

Les éléments de ces boucles sont les suivants :

- Une vanne rotative dont la fonction de transfert est: ( ) 4

( ) 1 0.4

Q p

p pθ=

+

- Un débitmètre de dynamique négligeable délivre une tension V proportionnelle au

débit Q : V(t) = 4 Q(t).

- La vanne est entraînée en rotation par un moteur-réducteur (moteur à courant continu à

aimants permanents muni d’un réducteur mécanique). La position angulaire θ est asservie à la

tension U1.

- L’ensemble constitué par l’amplificateur de puissance, le moteur, et le réducteur est

modélisé par la fonction de transfert suivante :

11 1

1

k( )= k = 1 et = 0.5

U( ) p(1+ p)

p

p

θτ

τ

- Le gain du capteur de position est noté kθ =2

Les unités utilisées dans ce problème sont le litre (l) pour le volume, la seconde (s) pour le

temps et le radian (rad) pour les angles.

11

L’objectif à atteindre est le réglage de ce système de commande en calculant :

- le régulateur R2(p) de la boucle d'asservissement de position (boucle secondaire).

- le régulateur R1(p) de la boucle d'asservissement de débit (boucle principale).

Fig 6.71

Fig 6.72

1. Ce système de commande est composé des deux boucles imbriquées. De quelle stratégie de

régulation s’agit-il ?

2. Etude de la boucle secondaire

2.1 Tracer dans le plan de Bode, le diagramme asymptotique du lieu de transfert en boucle

ouverte en prenant R2(p) =1.

2.2 Evaluer la marge de phase. Est-elle suffisante ? Que peut-on dire du comportement

transitoire du système en boucle fermée?

2.3 Calculer la fonction de transfert en boucle fermée θ(p)/U1(p) et la mettre sous sa forme

canonique en dégageant ses paramètres fondamentaux.

Vc +

-

V

ε U

Q =Débit vapeur

contrôlé Vapeur

Débitmètre

Vanne

contrôlée en

tension

Régulateur

R1

U θ

V

Vc + ε

-

U1 + ε1

-

Q Ampli

+

Moteur Vanne

Régulateur

R2(p)

Capteur de

position

Régulateur

R1(p)

Débitmètre

12

2.4 Déterminer le dépassement indiciel et le temps de réponse à 5%.

2.5 On ne souhaite avoir aucun dépassement transitoire de la boucle secondaire. Pour ce

faire, on prend un régulateur R2(p) de type proportionnel de gain k1 réglable.

- Calculer la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée en fonction de k1.

- Déterminer la valeur à donner k1 compatible avec ce choix.

- Faire une estimation du temps de réponse à 5%.

- Argumenter ce choix.

2.6 On propose d’apporter des modifications en insérant un régulateur R2(p) dont le schéma

de réalisation à base des amplificateurs opérationnels est donné par la figure 6.73.

a) Calculer la fonction de transfert U(p)/ε1(p).

b) De quel type de régulateur s’agit t-il ?

c) On notera : T2 = (r + R2) C2 et θ2 = r C2 et k2 =R1/R

On propose de choisir : T2 = τ1 et θ2 = τ1/10. Calculer la nouvelle fonction de transfert en boucle

fermée de la boucle secondaire corrigée (θ/U1) en fonction de k2.

d) Calculer k2 de façon à ce que l'amortissement en boucle fermée soit égal à "1".

e) Faire une estimation du temps de réponse à 5%.

f) Quel est alors l’intérêt de ce réglage par rapport à celui étudié en 2.5.

Fig 6.73

3. Eude de la Boucle principale

L'asservissement de position est réglé de façon à ce que la fonction de transfert en boucle fermée

soit :

21

(p) 0.5=

U (p) (1 0.1 )p

θ

+

ε1

C2

R

R

R2

-

+

R1

-

+

R

-

+

R

r

U

13

3.1 On propose d'utiliser un régulateur PID de fonction de transfert

1

1( ) (1 )(1 )p d

i

R p K T pT p

= + +

Proposer un choix (simple) des valeurs numériques de Ti et Td de manière à obtenir une régulation

idéale, puis déterminer le gain Kp qui permet d’assurer un temps de réponse à la boucle

principale comptable avec celui de la boucle secondaire.

3.2 Sachant que la structure du régulateur disponible est de type mixte. Transformer le

régulateur série obtenu en régulateur PID de structure mixte.

3.3 En s’inspirant du montage ayant permis de réaliser R2(p), proposer une réalisation de R1(p)

sous sa structure mixte.

Exercice 5 : Régulation de la concentration lors de la fabrication du sérum

Présentation du procédé

Le schéma donné en figure 6.74 symbolise la fabrication d'un sérum obtenu par l'addition d'un

soluté solide avec un solvant liquide dans un mélangeur. La fabrication fonctionne en régime

continu.

Un échangeur de chaleur situé à droite du mélangeur recycle une partie de la solution obtenue

permettant ainsi l'homogénéisation de la solution et son maintien à une température fixée.

Le débit Qs, supposé jamais nul, est la principale perturbation (charge de l'installation). Un

agent de conduite le modifie en agissant sur la vitesse de rotation de la pompe P1.

L'étude du système amène à constater que l'on peut connaître l'évolution de la concentration

de la solution à partir de sa masse volumique et pour une température constante du bain. Un

capteur de masse volumique noté DT1 est installé par conséquent sur le mélangeur.

La préparation du sérum est réalisée dans le mélangeur. Le soluté est ajouté au

solvant par l'intermédiaire d'un moteur à vis M1.

Trois conditions sont nécessaires pour assurer un mélange parfait :

- Un volume constant de la solution assuré par une régulation de niveau

- Une homogénéisation du mélange assurée par un circuit de retour sur la cuve (Qr).

- Une température régulée en sortie de mélangeur assurée par un échangeur de chaleur.

14

Fig. 6.74

Légende : DT1 : Transmetteur de la concentration de la solution

M1 : Moteur électrique

P1 : pompe

LT2 : Transmetteur de niveau dans le mélangeur

LCV2 : Vanne de contrôle de niveau

FT3, 4,5 : Transmetteurs de débit

TCV3 : Vanne de contrôle de température

FCV4 : Vanne de contrôle de débit

TT4 : Transmetteur de température

Quatre régulations assurent le contrôle du procédé :

- Boucle n° 1 : Régulation de la concentration du mélange par le moteur M1.

- Boucle n° 2 : Régulation du niveau de la cuve (capteur LT2) par le débit du solvant Qe.

- Boucle n° 3 : Régulation du débit calorifique par le circuit vapeur.

- Boucle n° 4 : Régulation de température de la sortie du mélangeur mesurée par TT4.

1° Conception de boucle de régulation

La pompe P1 assure le débit Qp. Pour permettre l'homogénéité du mélange, on s'assure que le

débit de retour Qr est toujours 1,5 fois plus grand que le débit de soutirage Qs .

Proposer un schéma de principe d'une régulation assurant le rapport de 1,5 entre les débits Qr et

Qs, en modifiant le schéma de la figure 6.74.

Qp

Qe

Mélangeur

P1

FCV4

Vapeur

Qr

Solvant Echangeur de

chaleur

TCV3

Soluté

FT3 M1

FT4

FT5

Qs

LCV2

LT2

DT1

TT4

15

2° Analyse des boucles 3 et 4

Pour les boucle 3 et 4, de quels types de régulation s'agit-il (cascade...) ? Pourquoi ?

3° Etude de la boucle 1

Dans l'étude de ce système, on s'intéresse à la boucle n° 1, c'est-à-dire à la régulation de concentration du

mélange et au réglage de son correcteur PID.

3.1 Compléter la figure 6.74 de manière à faire apparaître la boucle de régulation. Préciser l’entrée et la sortie du

système à régler.

3.2 Au point de fonctionnement du procédé et après stabilisation de la mesure de concentration, la boucle n° 1

est passée en mode manuel et un échelon de commande est envoyé vers le moteur Ml. L'enregistrement

correspondant est fourni sur la figure 6.75.

Tracer la tangente au point d’inflexion et déterminer un modèle approché sous la forme :

( )1

pkeH p

Tp

θ−

=+

3.4 On propose de déterminer un régulateur R(p) par l’une des méthodes empiriques permettant d’assurer une

précision statique parfaite.

En proposant un régulateur de votre choix, donner ses paramètres.

Faire une évaluation dynamique de la boucle de régulation ainsi conçue.