8/13/2019 Exercice 1 Math

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Thmes : Limite et continuit dune fonction numrique une seule variable relle.

EExxeerrcciiccee11::Dterminer lensemble de dfinition de chacune des fonctions suivantes :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .11

,11ln,1

2)(

,1,1

1,

32

9

654

3 3

33

22

2

1

xx

xx

xx

xfxxxfx

xxf

xxfx

xfxx

xxf

+

+

=++=

=

=

=+

=

EExxeerrcciiccee22::tudier la parit des fonctions suivantes :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

2

42

31

1

11ue,hyperboliqsinus

2

1

11ue,hyperboliqcosinus2

1

xxxfeexshxf

xxxfeexchxf

xx

xx

+===

+=+==

EExxeerrcciiccee33::tudier la priodicit de la fonction ( ) ( )xExxf = , puis la reprsenter graphiquement.

EExxeerrcciiccee 44:: Dterminer lensemble D des valeurs dex pour lesquelles La fonction fg o existe, puis

dterminer ( )xfg o pour tout Dx (mme question pour la fonction gf o )

( ) ( ) xexgetx

xxf =

=

1

12

EExxeerrcciiccee55::Dterminer une fonction quivalente au voisinage du point 1 de la fonction f puis dterminer sa

limite au voisinage du point 1 : ( )( )

.1

12

1

122

2

+

=

x

x

x

xxf

EExxeerrcciiccee66::Dterminer une fonction quivalente au voisinage de linfini et au voisinage de lorigine de la

fonction ( ) R

+

++= ax

x

x

a

xxf ,1

13

2

3

, puis dduire ( )xfx 0lim et ( ).lim xfx +

EExxeerrcciiccee77::Calculer, lorsquelles existent, les limites des fonctions suivantes aux points considrs :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) .0,1ln.,10,lnln

.,2

1.0,,,

11

.,,.0,

65

3 343

21

+

+=>

=

+

+

+=

+=

++=>

=

xxxfaxaetaax

axxf

xxx

xxfxNmn

x

xxxf

xRaxaxxxfaxaxa

xaxf

x

n

mm

Universit Mohammed VAgdal Session : Printemps t 2006/2007Facult des Sciences Juridiques, Semestre : S2conomiques et Sociales, Rabat

Filire de Sciences conomiques et de Gestion Sections : A etBProfesseure: Amale LAHLOU

Module 6 : Mthodes Quantitatives IMatire : Mathmatiques ISrie 1

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Srie 1 / Mathmatiques I / MQI / M 6 S2/ Session Printemps Et 2006/ 2007

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( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) .,.0,cos1

.0,1

ln.,2

1.,

2

11

2

10

98

1ln

1

7

2

2

exex

exxfx

e

xxf

xx

xxfxx

xfxxxf

x

x

x

x

=

=

=+

+=+=

++

EExxeerrcciiccee88::Dterminer les rels ba, et c pour que les fonctions suivantes soient continues sur R :

( ) ] ] ( ) ( )

>+=

>

+

=

0

01lnet

12

1,0

012

21xxec

xxxxxf

x

xbxa

x

xfx

EExxeerrcciiccee99::Dterminer lensemble de continuit des fonctions suivantes :

( )

[ [ ] [ ] [

( ) ] ]

=

+

=

=

=

+

++

=

00

1,02

11

124

01

,11,00,111

1

2

2

2

1

x

xx

xx

xxxfet

x

x

xxx

x

xf

EExxeerrcciiccee1100::Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuit en 0 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .1

sin,1

,ln,3

5

2

4322

2

1 xx

x

ee

xxfet

xxxf

x

exfxxxf

x

xxxf

=

=

==

+=

EExxeerrcciiccee1111::Dterminer lapplication rciproque de ( )1

1

+=x

xxf , puis dduire ( ) { }1, Rxxff o

EExxeerrcciiccee1122::Montrer que lquation 0132 23 =++ xxx admet au moins une racine strictement ngative.

rreetteenniirr::TThhoorrmmeeddeessccrrooiissssaanncceessccoommppaarreess

La fonction logarithme croit moins vite que la fonction puissance ( ) ++

=> 0ln

lim:0,

x

xx

x

La fonction exponentielle croit plus vite que la fonction puissance +=>+

x

ex

x

xlim:0,

UUnnppeettiitttteessttddeeccoonnnnaaiissssaanncceess

Vrai Faux

1. Le domaine de dfinition de ( ) 21

)(

= xxxf est lensemble des rels

2. La partie entire est une fonction priodique

3. Pour toutes fonctions f et g on a fggf oo =

4. La forme0 est une forme indtermine exponentielle

5. Toute application continue admet une application rciproque