(croce) math 1

Module complmentaire I de Mathmatiques

Dpartement de Gnie Electrique et Informatique Industrielle

IUT du Havre

Gisella Croce

Table des matires

1 Avant-propos 2

2 Oprateurs diffrentiels 32.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Intgrales curvilignes 53.1 Dfinition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Champs qui drivent dun potentiel 84.1 Dfinition et rsultats thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Thorme de la divergence dans le plan 115.1 Dfinition et nonc du thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Intgrales de surface 136.1 Dfinitions et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7 Thorme de Stokes 147.1 Enonc du thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8 Appendice 1 : exemples de courbes et surfaces 158.0.1 Exemples de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.0.2 Exemples de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9 Appendice 2 : exemple dinterrogation crite et exemple de DS 189.1 Exemple dinterrogation crite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.2 Exemple de DS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

10 Corrigs 1910.1 Corrig des exercices du chapitre Intgrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010.2 Corrig des exercices du chapitre Champs qui drivent dun potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.3 Corrig des exercices du chapitre Thorme de la divergence dans le plan . . . . . . . . . . . . . 2610.4 Corrig des exercices du chapitre Intgrales de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.5 Corrig des exercices du chapitre Thorme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

11 Retrouver ce cours sur le web : EUREKA 32

1

Chapitre 1

Avant-propos

Ce polycopi a t labor partir du livre B.Dacorogna et C.Tanteri Analyse avance pour ingnieurs, Pressespolytechniques et universitaires romandes, 2002. Les figures ont t ralises avec le logiciel Winfig.Mme sil a t contrl plusieurs fois, ce polycopi pourrait contenir des imprcisions. Merci aux tudiants quivoudront me signaler les erreurs ventuelles.

Gisella Croce

2

Chapitre 2

Oprateurs diffrentiels

2.1 Dfinitions

Soit un domaine de Rn ; on notera x = (x1, x2, .., xn) un point de . Les deux dfinitions suivantes concernentdes fonctions f : R.

Dfinition 2.1.1 (Gradient) Si f C1(), on dfinit pour x le gradient de f comme

f(x) =(

f

x1,f

x2, ...,

f

xn

)

Rn .

Exemple 2.1.2 Si f(x1, x2) = x1 x22 alors f = (x22, 2x1 x2).

Dfinition 2.1.3 (Laplacien) Si f C2(), on dfinit pour x le laplacien de f comme

f(x) =n

i=1

2f

x2i=

2f

x21+

2f

x22+ ..+

2f

x2n R .

Exemple 2.1.4 Il est facile de montrer que f(x1, x2) = x1 x22 possde f = 0.

Nous allons maintenant considrer des champs vectoriels, cest--dire des applications

F : Rn(x1, ..xn) F (x) = (F1(x1, ..xn), F2(x1, ..xn), ..Fn(x1, ..xn)) = (F1(x), F2(x), .., Fn(x)) .

A noter que F (x) est un vecteur.On peut imaginer un champ vectoriel de la manire suivante : pour chaque point x on trace une flche dontlorigine est x et la direction est donne par F (x).

Dfinition 2.1.5 (Divergence) Soit F (x) = (F1(x), F2(x), .., Fn(x)) C1(;Rn). On dfinit pour x ladivergence de F comme

divF (x) =

n

i=1

Fixi

=F1x1

+F2x2

+ ..Fnxn

R .

Exercice 2.1.6 Soit F (x1, x2) = (x1 + x32, x1 cos(x1 + x2)). Alors divF = 1 x1 sin(x1 + x2).

Dfinition 2.1.7 (Rotationnel)

1. Soit F : R2 R2 C1(;R2). On dfinit pour x le rotationnel de F comme

rotF (x) =F2x1

F1x2

= dt

(

x1

x2

F1 F2

)

R .

3

2. Soit F : R3 R3 C1(;R3). On dfinit pour x le rotationnel de F comme

rotF (x) = dt

e1 e2 e3

x1

x2

x3F1 F2 F3

.

Exemple 2.1.8 Soit F (x, y, z) = (x2, z, ln(z + x)). Alors

rotF (x) = dt

e1 e2 e3x

y

z

x2 z ln(z + x)

= (1,(z + x)1, 0) .

Remarque 2.1.9 En R3 rotF F .

2.2 Exercices

Exercice 2.2.1 Soit F (x, y, z) =(

y2 sin(xz), ey cos(x2 + z), log(2 + cos(xy)))

= (f1, f2, f3).Calculer :a) grad f1, grad f2, grad f3b) divFc) rotF.

Exercice 2.2.2 Si f : R3 R est C1(R3) et F : R3 R3 est C1(R3;R3),alors quelles sont parmi les expressions suivantes celles qui ont un sens ?

i) grad f ii) fgrad f iii) < F ; grad f > iv) div fv) div (fF ) vi) rot (fF ) vii) rot f viii) frotFix) rot divF.

Exercice 2.2.3 Montrer que :soient f C1() et g C2() ; alors

div(fgrad g) = fg + grad fgrad g;

si f, g C1() alorsgrad(fg) = fgrad g + ggrad f.

4

Chapitre 3

Intgrales curvilignes

3.1 Dfinition et proprits

Dfinition 3.1.1 Soit : [a, b] Rn une courbe simple rgulire. On notera

(t) = (1(t), 2(t), .., n(t))

(t) = (1(t), 2(t), ..,

n(t))

et

||(t)|| =

n

i=1

(i(t))2 =

(1(t))2 + (2(t))

2 + ..(n(t))2 .

1) Soit f : R une fonction continue. Lintgrale de f le long de est dfinie par

f dl =

b

a

f((t))||(t)||dt .

2) Soit F = (F1(x), F2(x), .., Fn(x)) : Rn un champ vectoriel continu. Lintgrale de F le long de estdfinie par

F dl = b

a

F ((t)) (t) dt .

Exemple 3.1.2 Soit (t) = (cos t, sin t), avec t [0, ]. Soit f(x1, x2) = x1 x2. Alors f((t)) = cos t sin t et||(t)|| = 1; par consquent

f dl =

0

cos t sin t dt = 0 .

courbe

fonction f

5

Remarque 3.1.3

dl =

b

a

||(t)||dt

nous donne la longueur de la courbe .

Remarque 3.1.4 Soit : [a, b] R2 une courbe simple rgulire. Soit f : R une fonction positive.

f dl

est laire de la surface que lon obtient si on lve, en chaque point (x, y) de la courbe un mur grand f(x, y)( remarquer que le mur est ondul !).

Exemple 3.1.5 Soit (t) = (t, 1 t) avec t [0, 1]. Soit F (x1, x2) = (0,x1). Alors

F dl = 1

0

(0,t) (1,1) dt = 12.

Remarque 3.1.6 Dun point de vue gomtrique,

F dl consiste additionner la composante du champ F

tangente la courbe . On peut donc dire que

F dl est une mesure de combien F est align . Si est

ferme,

F dl est une mesure de combien de rotation fait F autour de . Pour cette raison cette quantit est

aussi appele "circuitation".

Remarque 3.1.7 Dans les calculs dune integrale curviligne on utilise par fois la remarque suivante. Soit legraphe dune fonction f : [a, b] R. Si lon parcoure cette courbe de (b, f(b)) (a, f(a)) une paramtrisationest alors (a+ b t, f(a+ b t)) pour t [a, b].

3.2 Exercices

Exercice 3.2.1 Soit f(x, y) = x2 + y2. Calculer

f dl dans les cas suivants :

1. = segment entre (0, 0) et (M, 0) ;

2. = segment entre (0, 0) et (, ) ;

3. = bord du carr (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).

Exercice 3.2.2 Calculer


1. f(x, y) = x; (t) = (cos t, sin t), 0 t 2 ;2. f(x, y) =

y ; (t) = (t sin t; 1 cos t), 0 t 2.

Exercice 3.2.3 Calculer


1. f(x, y) = x; (t) = (t, t2), 0 t a ;2. f(x, y) = y2; (t) = (t, et), 1 t 3 ;3. f(x, y) = x1+y2 ; (t) = (cos t, sin t), 0 t 2 ;

4. f(x, y) =

1 y2 ; (t) = (cos t; sin t), 0 t .

Exercice 3.2.4 Soit f(x, y) = x+ 2y. Calculer

f dl si est le bord du trapze (0, 0), (2, 0), (1, 1), (0, 1).

Exercice 3.2.5 Soient F (x, y) = (x+ y,x) et ={

(x, y) R2 : y2 + 4x4 4x2 = 0, x 0}

.

1) Montrer que (t) = (sin t, sin 2t) avec t [0, ] est une paramtrisation de .

2) Calculer

F dl.

Exercice 3.2.6 Soit F (x, y) =(

xy, y2 x)

. Calculer

i

F dl, pour

6

1 = {(t, t) : t [0, 1]}2 = {(t, et) : t [0, 1]}3 =

{(t, t2

)

: t [1, 2]}

.

Exercice 3.2.7 Soit C le cercle de centre (0, 0) et rayon 1. Soit F (x, y) = (x2, y+x). Soit n(t) = (cos(nt), sin(nt)),t [0, 2] avec n 1. Vrifier que

n

F dl = n

1

F dl .

Exercice 3.2.8 Soit T le triangle de sommets (0, 0), (2, 2), (2, 2). Soit F (x, y) = (x2 + 3, y + x). Calculer

T

F ds

Exercice 3.2.9 Soit C le cercle de centre (0, 0, 3) et rayon 2 qui se trouve sur le plan z = 3. Soit F (x, y, z) =(x+ 3, y + x, z + x). Calculer

C

F ds

Exercice 3.2.10 Soit T le triangle de sommets (0, 0, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 1). Soit F (x, y, z) = (y+z, x,3z+y).Calculer

T

F ds

Exercice 3.2.11 Soit (t) = (t2,t+ 1, t 2), t [0, 1]. Soit F (x, y, z) = (y + z 1, 3x,3z + y). Calculer

F ds

Exercice 3.2.12 Soit C = {(x, y, z) R3 : x2+y2 1, z = 2, x 0, y 0}. Soit F (x, y, z) = (x+3, y+x, z+x).Calculer

C

F ds

7

Chapitre 4

Champs qui drivent dun potentiel

4.1 Dfinition et rsultats thoriques

Dfinition 4.1.1 Soit F = (F1(x), F2(x), ..Fn(x)) un champ vectoriel. On dit que f drive dun potentiel sur sil existe une fonction f C1() telle que

F (x) = f =(

f

x1,f

x2, ..,

f

xn

)

x .

(la fonction f est appel potentiel).

Exemple 4.1.2 F (x, y) = (y2, 2xy) est gal au gradient de la fonction f(x, y) = xy2.

Dfinition 4.1.3 Un ensemble est convexe si pour tout point A,B le segment joignant A B appartient .

Exemple 4.1.4 Rn est convexe ; un triangle est convexe ; une toile nest pas convexe.

Thorme 4.1.5 Soit F un champ vectoriel de classe C1(;Rn), n = 2, 3.1) Si F drive dun potentiel alors rotF = 0.2) Si le domaine est convexe et rotF = 0 alors F drive dun potentiel.

Thorme 4.1.6 Soit F : Rn un champ continu. Les affirmations suivantes sont quivalentes :1. F drive dun potentiel sur .

2. Pour toute courbe simple ferme, rgulire

F dl = 0

3. Soient 1,2 deux courbes simples fermes, rgulires joignant A B. Alors

1

F dl =

2

F dl .

Remarque 4.1.7 (Une application) Considrons un corps de masse m. Sa force poid est F = (0, 0,mg), gtant lacclration de gravit. Cette force drive du potentiel f(x, y, z) = mgz, (z est la hauteur laquelle le

corps se trouve). Depuis la physique on sait bien que le travail de cette force, cest--dire

F dl, ne dpendpas du chemin, mais seulement du point de dpart et du point darrive...cest exactement ce que le thorme4.1.6 nous dit.

8

A B

exemple de domaine non convexe

exemple de domaine convexe

9

4.2 Exercices

Exercice 4.2.1 Soit F (x, y) = (4x3 y2, 2x4 y + y). Montrer que F drive dun potentiel sur R2 et trouver untel potentiel.

Exercice 4.2.2 Soit F (x, y) =

(

yx2 + y2

,x

x2 + y2

)

. Trouver le domaine de dfinition de F . Soient

1. 1 = {(x, y) R2 : y > 0}2. 2 = {(x, y) R2 : y < 0}3. 3 = R

2 \ {(x, y) R2 : x 0 , y = 0}4. 4 = R

2 \ {(0, 0)}

F drive-t-il dun potentiel sur i ? Si oui, trouver tel potentiel, sinon trouver i tel que

f dl 6= 0

Exercice 4.2.3 Soit F (x, y, z) = (2x sin z, zey, x2 cos z + ey). Montrer que F drive dun potentiel sur R3 ettrouver un tel potentiel.

Exercice 4.2.4 Soit F (x, y, z) =

(

2xy +z

1 + x2, x2 + 2yz, y2 + arctgx

)

. Le champ F drive-t-il dun potentiel

sur R3 ? Si oui, trouver ce potentiel.

Exercice 4.2.5 Soient les champs

F (x, y) =

( x(x2 + y2)2

,y

(x2 + y2)2

)

et

G(x, y) =

(

y3

(x2 + y2)2,

xy2(x2 + y2)2

)

et soit = R2 \ {(0, 0)}. Drivent-ils dun potentiel sur ? (Si oui, trouver tel potentiel, si non justifier votrerponse).

Exercice 4.2.6 Dmontrer que les champs suivants drivent dun potentiel

1. F (x, y) =

(

x+ 2y

(x+ y)2,

y

(x+ y)2

)

2. F (x, y) =

(

x

x2 + y2,

y

x2 + y2

)

3. F (x, y) =(

3x2y 2y2, x3 4xy)

.

Exercice 4.2.7 Soit lquation diffrentielle :

f2 (t, u(t))u(t) + f1 (t, u(t)) = 0, t R. (4.1)

i) Soit F (x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)) un champ vectoriel qui drive dun potentiel f sur R2. Montrer quune

solution u = u(t) de (1) sous forme implicite est donne par :

f (t, u(t)) = constante, t R.(

Suggestion : Calculerd

dtf (t, u(t))

)

.

ii) En dduire une solution de :{

u2(t)u(t) + sin t = 0.u(0) = 3.

10

Chapitre 5

Thorme de la divergence dans le plan

5.1 Dfinition et nonc du thorme

On dit que R2 est un domaine rgulier si son bord est une courbe simple ferme et rgulire par morceaux.On dit que est orient positivement si le sens de parcours de laisse le domaine gauche.

Thorme 5.1.1 Soit R2 un domaine rgulier dont le bord est orient positivement. Soit la normaleunite externe au bord de . Soit

F = (F1(x1, x2), F2(x1, x2))

un champ vectoriel de classe C1(;R2). Alors

divF (x1, x2)dx1 dx2 =

(

F1x1

+F2x2

)

dx1 dx2 =

F dl

Remarque 5.1.2

F dl est appel flux de F travers .Quelle est lutilit du thorme de la divergence ? Si on veut calculer le flux de F travers une courbe en R2,il suffit de calculer

AdivF o A est laire dlimite par .

Remarque 5.1.3 1. Comment on calcule la normale au bord de ? Si (t) = (x(t), y(t)), t [a, b] est uneparamtrisation du bord de , la normale est un vecteur orthogonal (t) = (x(t), y(t)). Par consquent(t) = (y(t), x(t)) ou (t) = (y(t),x(t)). Pour que la formule de la divergence soit vrifie, il fautchoisir, entre (y(t), x(t)) ou (y(t),x(t)) pour que la normale soit externe !

2. F est une fonction et pas un champ vectoriel !

Exemple 5.1.4 Soit le triangle de sommets (1, 0), (0, 1), (1, 0). Soit F (x, y) = (x, y + 2). La divergence deF vaut 2 ; par consquent

divF = 2. Dailleurs est compos par

1. 1(t) = (t, 0) avec t [1, 1] ;2. 2(t) = (1 t, t) avec t [0, 1] ;3. 3(t) = (t, 1 t) avec t [0, 1] ;

donc

F dl =

1

F dl +

2

F dl +

3

F dl .

On a

1

F dl = 1

1(t, 0) (0,1)dt = 0;

2

F dl = 12

1

0

(1 t, t) (1, 1)2dt = 1

et

3

F dl = 12

1

0

(t, 1 t) (1, 1)2dt = 1.

11

5.2 Exercices

Exercice 5.2.1 Vrifier le thorme de la divergence dans les cas suivants :

1. A = triangle (0, 0), (1, 0), (0, 1), et F (x, y) = (x, y).

2. A = {(x, y) R2 : x2 + y2 < 1} et F (x, y) = (y2, x).3. A = {(x, y) R2 : 1 < x2 + y2 < 4} et F (x, y) = (x2 y, 2xy).4. A = {(x, y) R2 : x2 + (y 1)2 < 1}, F (x, y) = (x2y, xy2).5. A =

{

(x, y) R2 : x > 0 et x2 + y2 < 1}

, F (x, y) = (x, (y)) avec C1(R).6. A = {(x, y) R2 : x2 + y2 < 1} et F (x, y) = (xy, y2).

12

Chapitre 6

Intgrales de surface

6.1 Dfinitions et proprits

On donne des prliminaires sur les surfaces R3.

Dfinition 6.1.1 On dit que R3est une surface rgulire sil existe1. A R2 un ouvert born dont le bord A est une courbe simple ferme rgulire par morceaux.2. une paramtrisation : A , injective, de classe C1, (u, v) = (1(x, y), 2(x, y), 3(x, y)) telle que la

normale

x y = det

e1 e2 e31x

2x

3x

1y 2y

3y

6= (0, 0, 0) .

On va donner la dfinition dintgrale de surface dun champ vectoriel.

Dfinition 6.1.2 Soit R3 une surface rgulire (avec = ((x, y)), (x, y) A comme paramtrisation).Soit F : R3 un champ continu. Alors on dfinit le flux de F travers comme

F ds =

A

F ((x, y)) (x y) dx dy .

Exemple 6.1.3 Soient (x, y) = (x+ y, 2y, x+ y) avec (x, y) (0, 1) (0, 1). Soit F (x, y, z) = (x+1, y, z 2).Alors x y = (2, 0, 2). Par consquent

F ds =

(0,1)(0,1)

(x+ y + 1, 2y, x+ y 2) (2, 0, 2) dx dy = 6 .

6.2 Exercices

Exercice 6.2.1 Soit

={

(x, y, z) R3 : z = 6 3x 2y; x, y, z 0}

. Soit F (x, y, z) = (0, z, z). Calculerle flux qui passe par cette surface.

Exercice 6.2.2 Soient F (x, y, z) = (y,x, z2) et = {(x, y, z) R3 : z2 = x2 + y2 et 0 z 1}. Calculer leflux passant travers .

13

Chapitre 7

Thorme de Stokes

7.1 Enonc du thorme

Thorme 7.1.1 Soit R3 une surface rgulire avec (x, y), (x, y) A une paramtrisation. Soit F : R3 de classe C1(;R3). Soit (x(t), y(t)), t [a, b] une paramtrisation de A telle que A est orientpositivement. Alors

rotF ds =

F dl.

Remarque 7.1.2 Le thorme de Stokes nous dit que pour calculer la circuitation dun champ F le long dunecourbe il suffit de choisir nimporte quelle surface dont le bord est et calculer

rotF ds .

Exemple 7.1.3 Soit (t) = (cos t, sin t, 3) avec t [0, 2]. Soit F (x, y, z) = (x+ y, z, z+1). Si on veut calculerla circuitation de F le long de il suffit de choisir (r, ) = (r cos , r sin , 3) avec r [0, 1] et [0, 2], etcalculer, grce au thorme de Stokes

rotF ds. On trouve

rotF ds = .

7.2 Exercices

Exercice 7.2.1 Vrifier le thorme de Stokes dans les cas suivants :

1. ={

(x, y, z) R3 : x2 + y2 = z2; 0 < z < 1}

et F (x, y, z) = (z, x, y).

2. ={

(x, y, z) R3 : x2 + y2 = z2; 0 < z < 1}

et F (x, y, z) = (x2y, z2, 0).

3. ={

(x, y, z) R3 : x2 + y2 = z4; 0 < z < 1}

et F (x, y, z) = (x2y, z, x).

4. ={

(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = R2; z > 0}

et F (x, y, z) = (x2y3, 1, z).

5.

= le triangle de sommets A = (1, 0, 0), B = (2, 2, 0), C = (1, 1, 0) et F (x, y, z) = (0, x2, 0).

6.

={

(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = 4;x, y 0; 1 z 3}

et F (x, y, z) = (0, z2, 0).

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Chapitre 8

Appendice 1 : exemples de courbes et

surfaces

8.0.1 Exemples de courbes

1. Soit f : [a, b] R une fonction. Son graphe est une courbe, dont une paramtrisation est(t, f(t)) , t [a, b] .

2. Un cercle est une courbe, dont une paramtrisation est

(cos t, sin t), t [0, 2] .

3. (t sin t, 1 cos t) pour t [0, 3] (cyclode).

8.0.2 Exemples de surfaces

1. Soit f : A R2 R une fonction. Son graphe est une surface, dont une paramtrisation est(x, y, f(x, y)) , (x, y) A .

2. (x2 + y3, 3y, sin(x y)) , (x, y) [0, 1] [0, 1] est une surface.3. Une sphre de centre (0, 0, 0) et de rayon r est une surface, dont une paramtrisation est

r(cos cos, cos sin, sin ) , (, ) [

2,

2

]

[0, 2] .

Remarque 8.0.2 Pourquoi cela est une paramtrisation dune sphre ? Soit P = (x, y, z) un point surla sphre de rayon 1 et centre (0, 0, 0) (voir dessin). On rappelle que les points de la sphre satisfontx2+y2+z2 = 1. Soit H la projection de P sur le plan z = 0 : alors le triangle PHO est rectangle. Soit [

2 , 2]

langle POH : on a que |PH| = sin et |OH| = cos . Or, H est un point qui se trouve sur le cerclede centre (0, 0, 0), rayon cos , dans le plan z = 0. Par consquent on peut dterminer H laide dun angle [0, 2] : H = (cos cos, cos sin, 0). Alors P = (x, y, z) = (cos cos, cos sin, sin ) , (, ) [

2 , 2]

[0, 2].

4. (, z) = (r0 cos , r0 sin , z) , (, z) [0, 2] [0,H] est la surface latrale dun cylindre de rayon r0,hauteur H, axe laxe z.

Remarque 8.0.3 Pourquoi cela est une paramtrisation dun cylindre ? Il suffit dimaginer un cylindrecomme lunion de cercles de rayon r0, centre (0, 0), hauteur z [0,H]. Langle sert dterminer laposition dun point sur lun des cercles qui composent le cylindre.

5. (z, ) = (z tan0 cos , z tan0 sin , z) , (z, ) [0,H] [0, 2] est la surface latrale dun cne dontlangle douverture est 0, la hauteur est H, laxe est laxe z et le sommet est le point (0, 0, 0).

Remarque 8.0.4 Pourquoi cela est une paramtrisation dun cne ? Soit P = (x, y, z) un point sur lasurface latrale du cne. Alors P appartient un cercle de centre Pc = (0, 0, z) qui se trouve sur un planparallle au plan xy auteur z. Combient vaut le rayon |PPc| de ce cercle ? On observe que le triangleOPcP est rectangle. Par consquent |PPc| = z tan0. Pour dterminer la position de P sur ce cercle decentre Pc et rayon z tan0 on utilise langle .

15

Remarque 8.0.5 Les points P = (x, y, z) dun cne dont langle douverture est 0 et la hauteur est Hsatisfont x2 + y2 = z2 tan2 0.

6. Soit (t) = (x(t), y(t)) , t [a, b] une courbe dans R2. Si lon fait une rotation autour de laxe y on obtientune surface. Une paramtrisation de la surface latrale est

(x(t) cos , x(t) sin , y(t)) , (t, ) [a, b] [0, 2] .

Remarque 8.0.6 La sphre, le cylindre et le cne sobtiennent de la rotation dun demi-cercle, la droite(r0, z), la droite (t, at) respectivement.

16

xy

z

P(x,y,z)

HO

cos

sin

rayon du cercle=

cos

O

H

1

1

plan z=0

plan z=0

17

Chapitre 9

Appendice 2 : exemple dinterrogation

crite et exemple de DS

9.1 Exemple dinterrogation crite

Les documents et les calculatrices sont interdits. Toutes vos rponses doivent tre justifies et bien prsentes.

Dure : 1 heure 30

Exercice 9.1.1 (6 points)

1. Soit F (x, y) = (x+ y, x3 ey). Calculer divF et rotF .2. Soit F (x, y, z) = (x2 + y z, x+y, lnx2 z). Calculer divF et rotF .


Soient f(x, y) = x+ 3y et (t) le bord du carr de sommets (1, 0), (1, 0), (0, 1), (0,1). Calculer

f ds.


Soit F (x, y) =(

x y, y2 x)

. Calculer

F dl, pour ={

(t2, et) : t [0, 1]}

.

9.2 Exemple de DS

Les documents et les calculatrices sont interdits. Toutes vos rponses doivent tre justifies et bien prsentes.

Dure : 1 heure 30

Exercice 9.2.1 (8 points) Soit

F (x, y) =

(

yx2 + y2

,x

x2 + y2

)

.

1) Trouver le domaine de dfinition de F .2) Soit = {(x, y) R2 : y > 0}. Montrer que F drive dun potentiel sur . Aprs, trouver un tel potentiel.

Exercice 9.2.2 (12 points) Vrifier le thorme de Stokes pour

F (x, y, z) = (x2y, z2, 0)

et = {(x, y, z) R3 : x2 + y2 = z2, 0 z 1} .

18

Chapitre 10

Corrigs

19

10.1 Corrig des exercices du chapitre Intgrales curvilignes

Corrig de lexercice 3.2.1 Soit f(x, y) = x2 + y2. Calculer

f ds dans les cas suivants :

= segment entre (0, 0) et (M, 0) ;

On a (t) = (t, 0), avec t [0,M ]. Par consquent

f ds =

M

0

t2 1dt

= segment entre (0, 0) et (, )

On a (t) = (t, t) avec t [0, ]. Par consquent

f ds =

0

[

t2 +2

2t2]

1 + 2/2dt

= bord du carr (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)

= 1 2 3 4 o1(t) = (t, 0), avec t [0, 1] ;2(t) = (1, t), avec t [0, 1] ;3(t) = (1 t, 1), avec t [0, 1] ;4(t) = (0, 1 t), avec t [0, 1].

Par consquent il suffit de faire la somme des quatre intgrales suivantes :

1f ds =

1

0t2

1dt

2f ds =

1

0[1 + t2]

1dt

3f ds =

1

0[(1 t)2 + 1]

1dt

4f ds =

1

0(1 t)2

1dt

Corrig de lexercice 3.2.2 Calculer

f ds dans les cas suivants :

f(x, y) = x; (t) = (cos t, sin t), 0 t 2 ;On a

f dl =

2

0

cos t

( sin t)2 + (cos t)2dt

f(x, y) =y ; (t) = (t sin t; 1 cos t), 0 t 2.

On a

f dl =

2

0

1 cos t

(1 cos t)2 + (sin t)2dt

Corrig de lexercice 3.2.3 Calculer


1. f(x, y) = x; (t) = (t, t2), 0 t a ;On a

f dl =

a

0

t

1 + 4t2dt = ...onpose1 + 4t2 = s

2. f(x, y) = y2; (t) = (t, et), 1 t 3 ;on a

f dl =

3

1

e2t

1 + e2tdt = ...onpose1 + e2t = s

3. f(x, y) = x1+y2 ; (t) = (cos t, sin t), 0 t 2 ;on a

f dl =

/2

0

cos t

1 + sin2 t1dt = ...onpose sin t = s

20

4. f(x, y) =

1 y2 ; (t) = (cos t; sin t), 0 t .on a

f dl =

0

1 sin2 t 1dt = ...trigo!

Corrig de lexercice 3.2.4 Soit f(x, y) = x+2y. Calculer

f dl si est le bord du trapze (0, 0), (2, 0), (1, 1), (0, 1).

On a = 1 2 3 4 ou1. 1(t) = (t, 0), t [0, 2]2. 2(t) = (3 t, t 1), t [1, 2]3. 3(t) = (1 t, 1), t [0, 1]4. 4(t) = (0, 1 t), t [0, 1]

Par consequent

f dl =

1

f dl +

2

f dl +

3

f dl +

4

f dl

1.

1f dl =

2

0t1

2.

2f dl =

2

1[3 t+ 2(t 1)]

2

3.

3f dl =

1

0[1 t+ 2]

1

4.

4f dl =

1

02(1 t)

1

Corrig de lexercice 3.2.5 Soient F (x, y) = (x+ y,x) et ={

(x, y) R2 : y2 + 4x4 4x2 = 0, x 0}

.

1) Montrer que (t) = (sin t, sin 2t) avec t [0, ] est une paramtrisation de .

2) Calculer

F dl.

On a, puisque (t) = (cos t, 2 cos(2t))

F dl =

0

(sin t+ sin(2t), sin t) (cos t, 2 cos(2t))dt = 83

Corrig de lexercice 3.2.6 Soient :

F (x, y) =(

xy, y2 x)

1 = {(t, t) : t [0, 1]}2 =

{

(t, et) : t [0, 1]}

3 ={(

t, t2)

: t [1, 2]}

.

Calculer

i

F dl, pour i = 1, 2, 3.

1

F dl = 1

0

(t2, t2 t) (1, 1)

2

F dl = 1

0

(t et, e2t t) (1, et)

3

F dl = 1

0

(t2t, t4

t) ( 1

2t, 2t)

21

Corrig de lexercice 3.2.7 Soit C le cercle de centre (0, 0) et rayon 1. Soit F (x, y) = (x2, y + x). Soitn(t) = (cos(nt), sin(nt)), n 1. Vrifier que

n

F dl = n

1

F dl

En effet,

n

F dl = 2

0

(cos2(nt), sin(nt) + cos(nt)) (n sin(nt), n cos(nt))dt

1

F dl = 2

0

(cos2 t, sin t+ cos t) ( sin t, cos t)dt

Il suffit maintenant dexpliciter le produit scalaire et aprs dutiliser la priodicit des fonctions trigonomtriques.

Corrig de lexercice 3.2.8 Soit T le triangle de sommets (0, 0), (2, 2), (2, 2). Soit F (x, y) = (x2+3, y+x).Calculer

T

F ds

On a T = 1 2 3, o1 = (t, t), t [0, 2]2 = (2 t, 2), t [0, 4]3 = (2 + t,t+ 2), t [0, 2]Par consquent

1

F ds = 2

0

[t2 + 3, 2t] (1, 1)dt

2

F ds = 4

0

[(2 t)2 + 3, 4 t] (1, 0)dt

3

F ds = 2

0

[(t 2)2 + 3, 0] (1,1)dt

Il suffit maintenant dadditionner les trois intgrales.

Corrig de lexercice 3.2.9 Soit C le cercle de centre (0, 0, 3) et rayon 2 qui se trouve sur le plan z = 3. SoitF (x, y, z) = (x+ 3, y + x, z + x). Calculer

C

F ds

C = {(2 cos t, 2 sin t, 3), t [0, 2]}. Par consquent

C

F ds = 2

0

(2 cos t+ 3, 2 cos t+ 2 sin t, 3 + 2 sin t) (2 sin t, 2 cos t, 0)dt = ...

Corrig de lexercice 3.2.10 Soit T le triangle de sommets (0, 0, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 1). Soit F (x, y, z) =(y + z, x,3z + y). Calculer

T

F ds

On a T = 1 2 3, o1 = (t, t, 1), t [0, 2]2 = (2 t, 2, 1), t [0, 4]3 = (2 + t,t+ 2, 1), t [0, 2]Par consquent

1

F ds = 2

0

[t+ 1, t,3 + t] (1, 1, 0)dt

2

F ds = 4

0

[3, 2 t,3 + 2] (1, 0, 0)dt

22

3

F ds = 2

0

[t+ 2 + 1,2 + t,3 t] (1,1, 0)dt

Il suffit maintenant dadditionner les trois intgrales.

Corrig de lexercice 3.2.11 Soit (t) = (t2,t+1, t 2), t [0, 1]. Soit F (x, y, z) = (y+ z 1, 3x,3z+ y).

Calculer

F ds

F ds = 1

0

(t+ 1 + t 2 1, 3t2,3(t 2) +

t+ 1) (2t, 1/2

t, 1)dt = ...

Corrig de lexercice 3.2.12 Soit C = {(x, y, z) R3 : x2 + y2 1, z = 2, x 0, y 0}. Soit F (x, y, z) =(x+ 3, y + x, z + x). Calculer

C

F ds

C = 1 2 3 ou1. 1(t) = (t, 0, 2) avec t [0, 1]2. 2(t) = (cos t, sin t, 2) avec t [0, /2]3. 3(t) = (0, 1 t, 2) avec t [0, 1]

Par consquent

1.

1F ds =

1

0(t+ 3, t, 2 + t) (1, 0, 0)

2.

2F ds =

1

0(cos t+ 3, cos t+ sin t, 2 + cos t) ( sin t, cos t, 0)

3.

3F ds =

1

0(3, 1 t, 2) (0,1, 0)

Il suffit maintenant dadditionner ces trois integrales.

23

10.2 Corrig des exercices du chapitre Champs qui drivent dun po-

tentiel

Corrig de lexercice 4.2.1 Soit F (x, y) = (4x3 y2, 2x4 y+y). Montrer que F drive dun potentiel sur = R2

et trouver un tel potentiel.F drive dun potentiel f car son ensemble de dfinition est R2 qui est convexe, et le roteur de F est nul. Pourtrouver f on crit

f

x= 4x3y2

f

y= 2x4y + y

En intgrant la main on trouve

f(x, y) = x4y2 +y2

2+ c

Corrig de lexercice 4.2.2 Soit F (x, y) =

(

yx2 + y2

,x

x2 + y2

)

. Trouver le domaine de dfinition de F .

Soient

1. 1 = {(x, y) R2 : y > 0}2. 2 = {(x, y) R2 : y < 0}3. 3 = R

2 \ {(x, y) R2 : x 0 , y = 0}4. 4 = R

2 \ {(0, 0)}F drive-t-il dun potentiel sur i ? Si oui trouver tel potentiel, sinon trouver i tel que

f dl 6= 0

Le domaine de dfinition de F est R2 \ {(0, 0)} = 4. Le roteur de F est 0.1 est convexe. Par consquent F drive dun potentiel sur 1. Tel potentiel est, par simple intgration la

mainf(x, y) = arctan x

y+ +

2 : la mme analyse que dans le cas prcdent conduit

f(x, y) = arctan xy+

3 nest pas convexe, donc on ne peut pas dire priori que F drive dun potentiel. Puisque le roteur est nul,cherchons la main un potentiel f . Sil existe tel potentiel on doit avoir que f = arctan xy + + poury > 0 et arctan xy + pour y < 0. Il reste savoir si lon peut trouver des constantes + et telles que F est continue. Cela est possible : il suffit de faire les limites pour y 0+ et pour y 0

4 nest pas convexe. Montrons que f ne drive pas dun potentiel : il suffit de choisir comme courbe lecercle de centre 0 et rayon 1.

N.B. : Comment on a eu lintuition que F ne drive pas dun potentiel sur 4 ? Il suffit de faire les limitespour y 0+ et pour y 0 quand x < 0 !

Corrig de lexercice 4.2.3 Soit F (x, y, z) = (2x sin z, zey, x2 cos z+ey). Montrer que F drive dun potentielsur R3 et trouver un tel potentiel.rot F = 0 et R3 est convexe. Donc F drive dun potentiel sur R3. Par simple intgration on trouve f(x, y, z) =x2 sin z + zey + c

Corrig de lexercice 4.2.4 Soit F (x, y, z) = (2xy +z

1 + x2, x2 + 2yz, y2 + arctgx). Le champ F drive-t-il

dun potentiel sur R3 ? Si oui, trouver ce potentiel.Le potentiel est f(x, y, z) = x2y + z arctanx+ y2z + c

Corrig de lexercice 4.2.5 Soient les champs

F (x, y) =

( x(x2 + y2)2

,y

(x2 + y2)2

)

et

G(x, y) =

(

y3

(x2 + y2)2,

xy2(x2 + y2)2

)

et soit = R2 \ {(0, 0)}. Drivent-ils dun potentiel sur ? (Si oui trouver ce potentiel, si non justifier votrerponse).

24

1. Le roteur de F est nul, mais nest pas convexe, donc on ne peut pas dire priori que F drive dunpotentiel f . Toutefois, si on le cherche la main, on trouve f = 12(x2+y2) + c

2. Le roteur de F est nul, mais nest pas convexe, donc on ne peut pas dire priori que F drive dunpotentiel f . En effet si C est le cercle de centre (0, 0) et rayon 1, on a que

C

G dl 6= 0 .

Corrig de lexercice 4.2.6 Dmontrer que les champs suivants drivent dun potentiel

1. F (x, y) =

(

x+ 2y

(x+ y)2,

y

(x+ y)2

)

2. F (x, y) =

(

x

x2 + y2,

y

x2 + y2

)

3. F (x, y) =(

3x2y 2y2, x3 4xy)

.

Dans les trois cas on a que le roteur est 0.

1. Le domaine de dfinition de F nest pas convexe. Toutefois, cherchons un potentiel la main. Pour que fsoit un potentiel pour F on doit avoir que

f

y=

y

(x+ y)2=

1

x+ y x

(x+ y)2

dof(x, y) = ln |x+ y|+ x

x+ y+ c

2. Le domaine de dfinition de F nest pas convexe. Toutefois, cherchons un potentiel la main : on trouve,par simple intgration,

f(x, y) =

x2 + y2 + c

3. Le domaine de dfinition de F est convexe, et donc F drive dun potentiel. En intgrant la main ontrouve

f(x, y) = x3y 2y2x+ c

Corrig de lexercice 4.2.7 Soit lquation diffrentielle :

f2 (t, u(t))u(t) + f1 (t, u(t)) = 0, t R. (10.1)

i) Soit F (x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)) un champ vectoriel qui drive dun potentiel f sur R2. Montrer quune

solution u = u(t) de (1) sous forme implicite est donne par :

f (t, u(t)) = constante, t R.(

Suggestion : Calculerd

dtf (t, u(t))

)

.

ii) En dduire une solution de :{

u2(t)u(t) + sin t = 0.u(0) = 3.

i) facile !

ii) on doit avoir f2(t, u(t)) = u2(t) et f1(t, u(t)) = sin(t). Par consquent

f2(x, y) = y2 f1(x, y) = sinx

do f(x, y) = cosx+ y33 + c. Il suffit dimposer maintenant la condition initiale.

25

10.3 Corrig des exercices du chapitre Thorme de la divergence

dans le plan

Corrig de lexercice 5.2.1

1. La divergence de F vaut 2. Par consquent

divF dx dy = 2mes(A) = 1.

Calculons

A

F dl

A est compos par

(a) 1(t) = (t, 0) avec t [0, 1](b) 2(t) = (1 t, t) avec t [0, 1](c) 3(t) = (0,t) avec t [1, 0]La normale unite extrieure est (0,1), 1

2(1, 1) et (1, 0) respectivement. Par consquent il suffit dad-

ditionner

1

F dl = 1

0

(t, 0) (0,1)1dt = 0

2

F dl = 12

1

0

(1 t, t) (1, 1)2dt = 1

3

F dl = 0

1(0,t) (1, 0)

1dt = 0

2. A est le cercle de centre (0, 0) et rayon 1. La divergence de F vaut 0. Par consquent

divF dx dy = 0.

Calculons

A

F dl

On a A = (cos t, sin t) avec t [0, 2]. La normale unite extrieure est (cos t, sin t). Par consquent

A

F dl = 2

0

(sin2 t, cos t) (cos t, sin t)

sin2 t+ cos2 tdt = 0

3. A est la couronne circulaire de centre (0, 0), de rayons 1 et 2. La divergence de F vaut 2xy + 2x. Alors,en utilisant les coordonnes polaires

A

divF dx dy =

B

(22 cos sin + 2 cos )d d = 0.

si B = {(, ) : [0, 2], [1, 2]}. Calculons

A

F dl .

A est compos par deux cercles : C2, de rayon 2 et C1 de rayon 1. Le premier doit tre parcouru au sensanti-horaire, le deuxime au sens horaire. Calculons

C2

F dl,

26

C2(t) = (2 cos t, 2 sin t) avec t [0, 2]. La normale unite extrieure est (cos t, sin t). Par consquent

C2

F dl = 2

0

(4 cos2 t 2 sin t, 2 2 sin t 2 cos t) (cos t, sin t)

4 sin2 t+ 4 cos2 tdt = 0

Par ailleurs, calculons

C1

F dl

C1(t) = (cos t, sin t) avec t [0, 2]. La normale unite extrieure est ( cos t, sin t). Par consquent

C1

F dl = 2

0

( cos2 t sin t,2 cos t sin t) ( cos t, sin t)


4. A est le cercle de centre (0, 1) et rayon 1. La divergence de F vaut 0. Par consquent

A

divF dx dy = 0.

Calculons

A

F dl .

On a A = (cos t, sin t+ 1) avec t [0, 2]. La normale unite extrieure est (cos t, sin t). Par consquent

A

F dl = 2

0

( cos2 t(sin t+ 1), cos t(sin t+ 1)2) (cos t, sin t)


5. A est le demi-cercle de centre (0, 1) et rayon 1. La divergence de F vaut 1 + (y). Par consquent

divF dx dy =

2+

A

(y)dx dy.

Or, A = {(x, y) R2 : 1 y 1, 0 x

1 y2} Par consquent

divF dx dy =

2+

1

1(y)

1 y2dy.

Calculons

A

F dl .

A = S C o S(t) = (0,t) avec t [1, 1] et C(t) = (cos t, sin t) avec t [/2, /2]. La normaleunite extrieure est (1, 0) et (cos t, sin t) respectivement. Par consquent

S

F dl = 1

1(0, (t)) (1, 0)

1dt = 0

C

F dl =

/2

/2(cos t, (sin t)) (cos t, sin t)

sin2 t+ cos2 tdt

En faisant le changement de variables sin t = x et aprs en intgrant par parties, on trouve 2+ 1

1 (y)

1 y2dy.6. A est le cercle de centre (0, 0) et rayon 1. La divergence de F vaut 3y. En utilisant les coordonnes polaires

((, ) [0, 1] [0, 2]), on a

A

divF dx dy = 0.

Dautre cot on a A = (cos t, sin t) avec t [0, 2]. La normale unite extrieure est (cos t, sin t). Parconsquent

A

F dl = 2

0

(cos t sin t, sin3 t) (cos t, sin t)


27

10.4 Corrig des exercices du chapitre Intgrales de surface

Corrig de lexercice 6.2.1 Soient F (x, y, z) = (y,x, z2) et = {(x, y, z) R3 : z2 = x2 + y2 et 0 z 1}.Calculer le flux passant travers .On pose (, z) = (z cos , z sin , z) avec (, z) A = [0, 2] [0, 1]. On obtient z = (z cos , z sin ,z).Par consquent

F ds =

A

(z sin ,z cos , z2) (z cos , z sin ,z)dz d

Corrig de lexercice 6.2.2 Soit

={

(x, y, z) R3 : z2 = x2 + y2; 0 z 1}

. Soit F (x, y, z) = (x2, y2, z2).Calculer le flux qui passe par cette surface.On pose (, r) = (r cos , r sin , r) avec (, r) A = [0, 2] [0, 1]. On obtient r = (r cos , r sin ,r).Par consquent

F ds =

A

(r2 cos2 , r2 sin2 , r2) (r cos , r sin ,r)dr d

28

10.5 Corrig des exercices du chapitre Thorme de Stokes

Corrig de lexercice 7.2.1

1. Le roteur de F est (1, 1, 1). Une paramtrisation de est (, z) = (z cos , z sin , z) avec (, z) A =[0, 2] [0, 1]. On a que z = (z cos , z sin ,z). Par consquent

rotF ds = 2

0

d

1

0

(1, 1, 1) (z cos , z sin ,z)dz =

Si on parcours le bord de A de facon positive on a

(a) (t, 0) avec t [0, 2](b) (2, t) avec t [0, 1](c) (2 t, 1) avec t [0, 2](d) (0, 1 t) avec t [0, 1]Par consquent (A) est

(a) (0, 0, 0)

(b) (t, 0, t) avec t [0, 1](c) (cos t, sin t, 1) avec t [0, 2](d) (1 t, 0, 1 t) avec t [0, 1]et donc

F dl est la somme des intgrales suivantes :

(a) 0

(b) 1

0(t, t, 0) (1, 0, 1) dt =

1

0t dt

(c) 2

0(1, cos t, sin t) ( sin t, cos t, 0) =

2

0[ sin t cos2 t] =

2

0[ cos2 t]

(d) 1

0(1 t, 1 t, 0) (1, 0,1) dt

2. On a rot F = (2z, 0,x2) Une paramtrisation de est (, z) = (z cos , z sin , z) avec (, z) A =[0, 2] [0, 1]. On a que z = (z cos , z sin ,z). Par consquent

rotF ds = 2

0

d

1

0

(2z, 0,z2 cos2 ) (z cos , z sin ,z)dz = 4


(a) (t, 0) avec t [0, 2](b) (2, t) avec t [0, 1](c) (2 t, 1) avec t [0, 2](d) (0, 1 t) avec t [0, 1]Par consquent (A) est

(a) (0, 0, 0)

(b) (t, 0, t) avec t [0, 1](c) (cos t, sin t, 1) avec t [0, 2](d) (1 t, 0, 1 t) avec t [0, 1]et donc


(a) 0

(b) 1

0(0, t2, 0) (1, 0, 1) dt = 0

(c) 2

0( sin t cos2 t, 1, 0)( sin t, cos t, 0) =

2

0[sin2 t cos2 tcos t] =

2

0[sin2 t cos2 t]dt =

2

014 [sin 2t]

2 dt

(d) 1

0(0, (1 t)2, 0) (1, 0,1) dt = 0

3. On a rot F = (1,1,x2). Une paramtrisation de est (r, ) = (r2 cos , r2 sin , r) avec A = (r, ) [0, 1] [0, 2]. On a que r = (r2 cos ,r2 sin , 2r3). Par consquent

rotF ds = 1

0

dr

2

0

(1,1,r4 cos2 ) (r2 cos ,r2 sin , 2r3)d = 4


29

(a) (r, 0) avec r [0, 1](b) (1, ) avec [0, 2](c) (1 r, 2) avec r [0, 1](d) (0, 2 ) avec [0, 2]Par consquent (A) est

(a) (r2, 0, r) avec r [0, 1](b) (cos , sin , 1) avec [0, 2](c) ((1 r)2, 0, 1 r) avec r [0, 1](d) (0, 0, 0)

et donc


(a) 1

0(0, r, r2) (2r, 0, 1)dr =

1

0r2

(b) 2

0(cos2 sin , 1, cos ) ( sin , cos , 0)

(c) 1

0[(1 r)20, 1 r, (1 r)2] [2(1 r), 0,1]dr =

1

0(1 r)2

(d) 0

4. On a rot F = (0, 0,3x2y2). Une paramtrisation de est (, ) = R(cos sin, sin sin, cos) avec(, ) A = [0, 2] [0, /2]. On a que = R2 sin(cos sin, sin sin, cos). Par consquent

rotF ds =

A

(0, 0,3R2 cos2 sin2 R2 sin2 sin2 )(R2 sin2 cos ,R2 sin2 sin ,R2 sin cos)

= 3R6

A

cos2 sin2 sin5 cos .


(a) (, 0) avec [0, 2](b) (2, ) avec [0, /2](c) (2 , /2) avec [0, 2](d) (0, /2 ) avec [0, /2]Par consquent (A) est

(a) R(0, 0, 1) avec [0, 2](b) R(sin, 0, cos) avec [0, /2](c) R(cos , sin , 0) avec [0, 2](d) R(sin(/2 ), 0, cos(/2 )) = R(cos, 0, sin) avec [0, /2]et donc


(a) R 2

0() (0, 0, 0)d = 0

(b) R /2

0(0, 1, R cos) (cos, 0, sin)

(c) R 2

0[R5 cos2 sin3 , 1, 0] [ sin , cos , 0]

(d) R /2

0(0, 1, R sin) ( sin, 0, cos)

5. On a rot F = (0, 0, 2x). Une paramtrisation de est (x, y) = (x, y, 0) avec (x, y) A = {(x, y) R2 :1 x 2, 2x 2 y x}. On a que x y = (0, 0, 1). Par consquent

rotF ds =

A

(0, 0, 2x) (0, 0, 1) = 43


(a) (x, 2x 2) avec x [1, 2](b) (2 x, 2 x) avec x [0, 1](c) (1, 1 y) avec y [0, 1]Par consquent (A) est

(a) (x, 2x 2, 0) avec [1, 2]

30

(b) (2 x, 2 x, 0) avec [0, 1](c) (1, 1 y, 0) avec [0, 1]et donc


(a) 2

1(0, x2, 0) (1, 2, 0)

(b) 1

0(0, (2 x)2, 0) (1,1, 0) =

1

0(2 x)2

(c) 1

0(0, (1)2, 0) (0,1, 0) =

1

01

6. On a rot F = (2z, 0, 0). Une paramtrisation de est (, ) = 2(cos sin, sin sin, cos) avec(, ) A = [0, /2][/6, /3]. On a que = 22 sin(cos sin, sin sin, cos). Par consquent

rotF ds =

A

(4cos, 0, 0) (4 sin)(cos sin, sin sin, cos) = 23 2

3


(a) (, /6) avec [0, /2](b) (/2, ) avec [/6, /3](c) (/2 , /3) avec [0, /2](d) (0, /2 ) avec [/6, /3]Par consquent (A) est

(a) 2(cos sin(/6), sin sin(/6), cos(/6)) = (cos , sin ,3) avec [0, /2]

(b) 2(cos(/2) sin, sin(/2) sin, cos) = (0, 2 sin, 2 cos) avec [/6, /3](c) 2(cos(/2 ) sin(/3), sin(/2 ) sin(/3), cos(/3)) = (sin

3, cos

3, 1) avec [0, /2]

(d) 2(cos, 0, sin) avec [/6, /3]et donc


(a) /2

0(0, 3, 0) ( sin , cos , 0)d = 0

(b) /3

/6(0, 4 cos2 , 0) (0, 2 cos,2 sin)

(c) /2

0[0, 1, 0] [

3 cos ,

3 sin , 0]

(d) /3

/6(0, 4 sin2 , 0) 2( sin, 0, cos)

31

Chapitre 11

Retrouver ce cours sur le web : EUREKA

Eureka est un site Internet, o (entre autres) les enseignants de Mathmatiques au Dpartement de GnieElectrique et Informatique Industrielle de lIUT du Havre ont mis les documents des cours de la premire anneet de la deuxime anne : rsums des cours avec exercices (et corrigs), interrogations crites, DS.Voici les cours de Mathmatiques donns en GEII que lon peut trouver sur Eureka : GEII mathmatiques semestre 1 (1re anne) GEII mathmatiques semestre 2 (1re anne) GEII S2-Mathmatiques Numriques (1re anne) GEII mathmatiques semestre 3 (2me anne) GEII-MCM1-Analyse vectorielle (module complmentaire 2me anne) GEII-MCM3-Probabilits et statistiques infrentielles (module complmentaire 2me anne)

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(croce) math 1

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