Université Ferhat Abbas Sétif -1- 2ème

Année LMD- ST

Faculté de technologie 09 janvier 2017

Département de Génie civil Temps alloué: 1h30

Examen du module Physique 3 (Vibrations et ondes)

Exercice 01 : (10 points)

Un disque homogène roule sans glisser sur un plan horizontal

autour de son centre O.

Le disque est relié avec un ressort de constante de raideur et un

amortisseur de coefficient de frottement visqueux en un point B.

Un autre ressort de constante de raideur est attaché en l’une de ses

extrémités au centre O du disque.

L’autre extrémité A est soumise à un déplacement excitateur

horizontal sinusoïdal (Figure 1).

A l’équilibre , On prendra :

1. Ecrire l’équation du mouvement forcé amorti.

2. Déduire la valeur de la force correspondante.

3. Calculer les expressions de l’amplitude A et de la phase de la

solution particulière représentant le régime permanent.

4. Donnez les valeurs de et .

5. Déduire la solution générale de l’équation différentielle.

Exercice 02 : (10 points)

Système A : Système libre non amorti

Un ressort, de constante de raideur , est accroché en l’une de ses extrémités

à un point fixe; à l’autre extrémité, on suspend une masse . Au mouvement

et sous l'action de la masse, le ressort subit un allongement (Figure 2).

1. Trouver l’équation différentielle du mouvement.

2. Donner la solution.

Système B : Système libre amorti

Un système mécanique comprenant une barre horizontale de

masse négligeable et de longueur 2L qui peut pivoter sans

frottement autour d’un axe passant par son milieu (Figure 3).

Dans le cas des oscillations de faibles amplitudes :

1. Trouvez le système équivalent.

2. Trouver l’équation différentielle du mouvement.

3. Donner la solution dans le cas .

Système C : Couplage Elastique

Les 2 sous-systèmes A et B sout couplés par le ressort (Figure 4).

Le nouveau système est repéré à l’instant t par les coordonnées

généralisées et supposées de faibles amplitudes.

On prendra : et

1. Trouvez les équations différentielles du mouvement

du système couplé.

2. On néglige l’effet d’amortissement ( , écrire

les équations du mouvement sous la forme matricielle :

, trouvez les valeurs de a, b, c et d.

Bonne Chance

Figure 1

O O

B S(t)

A

X

Y

Figure 3

Figure 2

Figure 4

Corrigé examen physique 3 (2016-2017)

Le disque effectue un mouvement de

rotation+translation :

Le centre O se déplace avec

Le 1er ressort k

L’amortisseur :

Le 2eme ressort k

1. L’équation différentielle du mouvement :

L’énergie cinétique:

+

L’énergie potentielle:

o La fonction de dissipation :

o La fonction de Lagrange :

L’équation de la grange:

(pas de

force appliquée sur la masse)

On remplace dans l’équation de Lagrange:

1. La valeur de la force correspondante :

Le 2 ème

membre de l’équation différentielle du

mouvement ( correspond au moment

de la force , donc : , tel

que : R est la distance droite d’action de la force

On divise par :

et on trouve:

; Tel que :

1. Les expressions de l’amplitude A et de la

phase de la solution particulière

représentant le régime permanent : Après

calcul (voir cours) on trouve :

et

2. La solution générale de l’équation

différentielle :

.

Exercice 02 :

Système A :

La fonction de Lagrange :

L’équation de Lagrange :

Avec :

:

Equation différentielle du second ordre

Sa solution :

ou

Système B :

1. Le système équivalent : les 2 ressorts sont en

parallèles donc :

2. L’équation différentielle du mouvement :

La masse

Figure 1

O O

B S(t)

A

X

Y

0.5

01

0.5

0.5

0.25

0.25

01

01

0.5 0.5

0.5

0.5

01

01

01

01

Figure 2

01

01

01 01

0.5

0.5

La masse

Le ressort :

Le ressort :

L’énergie cinétique du système :

=

L’énergie potentielle du système :

o La fonction de dissipation :

o La fonction de Lagrange :

o L’équation de la grange:

o

l’équation de Lagrange:

Dans le cas des faibles amplitudes :

, on aura :

On divise par : et on trouve:

0 tel que :

1. La solution dans le cas :

Avec

Système C :

et

Les 2 sous systèmes A et B sous couplés par le

ressort 2k : :

1. Les équations différentielles du mouvement du

système couplé :

L’énergie cinétique du système :

L’énergie potentielle du système :

=

La fonction de dissipation :

o La fonction de Lagrange :

Les 2 équations de la grange:

2. Ecrire le système d’équation sous la forme

matricielle :

On fait l’hypothèse que le système admet des

solutions harmoniques :

=

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.25

0.25

0.25

0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

1pt

Figure 4

0.5 0.5

0.5

0.5

01