8/18/2019 Etude Fonction Irrat2

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1 Étude d’une fonction irrationnelle

1. Domaine de définition

 f   (x )= 

x 2−4x +3x +1   .

Forme factorisée :   f   (x )= 

x 

2

−4x +3(x +1)   .Le radicande doit être positif, ainsi il faut que x  3 et 1 x .

x    −∞   1   3   +∞Signe de

x 2−4x +3 +   −   +

Le domaine de définition de la fonction est D  f   = R\ ({−1}∪]1;3[).

2. Parité f   (−x )=  f   (x ) et   f   (−x ) =− f   (x ) : la fonction n’est ni paire, ni impaire.

3. Zéros de la fonction et tableau de signesL’equation   f   (x )= 0 admet 2 solution(s) : S = {1;3}.

x    −∞   −1 1   3   +∞Signe de (x 2−4x +3 + + +

Signe dex +1   −   + +

Signe de f   (x )

  −   + +

4. Éventuelles asymptotes verticaleslim

x →−1− f   (x )=   30− =−∞

limx →−1+

 f   (x )=   30+ =+∞La courbe admet une asymptote verticale d’equation x =−1

5. Éventuelles asymptotes affines

limx →−∞ f   (x )=   limx →−∞

−x · 

1−4/x +3/x 2x ·(1+1/x )   =   limx →−∞

− 

1−4/x +3/x 21+1/x    =−1

limx →+∞ f   (x )=   limx →+∞

x · 

1−4/x +3/x 2x ·(1+1/x )   =   limx →+∞

 1−4/x +3/x 2

1+1/x    = 1.

La courbe admet une asymptote horizontale d’equation  y =−1 vers −∞La courbe admet une asymptote horizontale d’equation  y = 1 vers +∞

6. Points critiques et tableau de variations

 f   ′(x )= (3x −5) 

x 2−4x +3(x 4−2x 3−4x 2+2x +3) .

L’équation   f   ′(x )= 0 admet 2 solution(s) : S = {1;3}.

x    −∞   −1 1   3   +∞Signe de

 f   ′(x )  − −   +

 Variations de f  

−1

−∞

+∞

0 0

1

 Année 2010/2011

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pas d’extremum

La dérivée peut aussi s’écrire :   f   ′(x )= 3x −5(x +1)2 ·

 x 2−4x +3

. Son signe dépend uniquement de 3x −5.

7. Éventuels points d’inflexion et tableau de courbure

 f   ′′(x )= (−6x 3+33x 2−60x +29) x 2−4x +3(x 7−5x 6+ x 5+19x 4−5x 3−23x 2+3x +9) .

x    −∞   −1   0.751517   1 3   +∞Signe de

 f   ′′(x )   −   +   0   − −

−⇒ la courbe est concave, et, +⇒ la courbe est convexe.L’équation   f   ′′(x )= 0 admet 3 solution(s) : S = {0.751517;1;3}.

point d’inflexion en (0.75;0.428571).

En simplifiant la seconde dérivée, on obtient : −6x 3+33x 2−60x +29(x +1)3 (x 2−4x +3)3/2

.

8. Graphe de la fonction

O

1   31   3

0.751517

1   3

−6   −4   −2 0 2 4 6−10

−5

0

5

10

15

20

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