Étude en courbure des guides a grande distance, cas des guides hélicoidaux (3e partie — fin)

273

I~TUDE EN COURBURE DES GUIDES A GRANDE DISTANCE, CAS DES GUIDES H~LICOIDAUX (3~ partie- fin)*

par

Marc B R A Y E R

Docteur As sciences phys iques **

et Jean ine Y H U E L

Ing6nieur E.P.F. ***

TROISII~ME PABTIE

GI~N~RALISATION AUX COUBBUI:tES NON CII:tCULAII:tES

I I I . 1 Etude g6om6trique des courbures n o n eirculaires.

Lorsqu 'un guide est soumis h u n prof i l de eourbure a rb i t ra i re , on sai t d6finir, en ehaque po in t de son abscisse curvil igne, un centre et un r a y o n de eourbure loealis6s (cf. annexe F). L a no t ion de guide t angen t associ6 peu t encore s ' appl iquer , et pe rmet , e o m m e en eourbure cireulaire , la cons t ruc t ion du systbme diff6- rent ie l des ampl i tudes d 'ondes (Kirehoff). Le coeffi- c ient m6t r ique

e a = 1 - - r c o s O c ( x 3 )

y fa i t in terveni r la courbure localis6e, de sorte que les coefficients de couplage en d6pendent , et s '6cr ivent f inalement :

(57) Cis(x3) = Kls C(Xa).

Le fac teur de eouplage K,S , qui ne d6pend que dn guide, s ' expr ime en rad ian , e t a 6t6 uti l is6 pr6c6- d e m m e n t sous l ' appe l l a t ion de coefficient de couplage normalis6.

F ina lement , l '6 tude 61ectromagn~tique d 'une courbure progress ive se ram6ne, comme en deuxi6me par t ie , h la r6solut ion d ' un syst6me (19) donnan t les ampl i tudes A](x3), et l ' exposan t add i t ionne l AYi. L ' a p p r o x i m a t i o n au 2 ~ ordre (cf. annexe C) reste suffisante en pra t ique , et le lecteur en t rouve ra quelques appl ica t ions par t icul i6res dans les r6f6rences [11, 18, 19 et 20].

Nous fflmes plus pa r t i cu l i6 rement int6ress6s pa r l ' exce l len t ar t ic le de S. Taheri et H. Barlow [21],

p r 6 v o y a n t une r6duct ion impor t an te du niveau de pa ras i t e due h l ' a b a n d o n sys t6mat ique du profi l circulaire. Nous avons done approfondi ee problbme, et regroup6 dans le pr6sent pa rag raphe quelques-uns des profils non eireulaires qui furent utilis6s.

Tout profi l de eourbure (C) eurvil igne se r appor t e , dans son p lan oseulateur , h u n r6f6rentiel eart6sien dont l ' axe 0X se confond avee la t angen te ini t iale orient6e (Fig. 28). I1 est alors d6fini pa r ses eoordonn6es param6t r iques :

I X(x3) ,

(C) + - Y(x3 ) ,

Flu. 28. - - Quelques exemples de courbures normalis6es. en m6daillon : variations relatives des c(x3).

Ouverture totale : | =- 90~

qui v6rif ient l ' 6qua t ion diff6rentielle des courbures :

d2Y d X d Y d2X (g8)

dxa 2 dx a dx B dxa 2

I/d Y/21812 e(x ) o .

Comme l'abscisse curv i l igne repr6sente ici le param~tre fondamenta l x a , l '616ment m6t r ique

* Le r6sum~, le plan, la p remiere et la deuxi6me pa r t i e de cet ar t ic le ont pa ru darts le num6ro des Annales des Tdldcommuni- cations de mars -av r i l 1973, pp. 139-172.

** Ing6nieur cou t rac tue l an CNET-Lann ion , g r o u p e m e n t TRA.NSMISSIONS, SYSTEMES DE MODULA'TION et A.COUSTIQUE, d d p a r t e m e n t I~QUIPEMENTS DE TRANSMISSIONS ET LASERS.

*** Ingdnieur con t rac tue l au CNET-Lann ion , g roupemen t C~LCUL I~LECTRONIQUE ET INFORMA.TIQUE, d6pa r t en len t CA.LCULATEURS ET SYSTI~MES INFORMA.TIQUES.

1/10 A. T~L~C., 28, n ~ 5-6, 1973

274 M . B R A Y E R . - - G U I D E S n t ~ L I C O i D A U X

ds = ~/(-X;)Z + (Y')2 dx a s ' ident i f ie h dx a lui-m6me, de sorte que (58) se r6dui t au syst~me diff6rentiel :

I Y " X ' - - Y ' X " = e(x a) , (59) (X') ~ § (Y')~ = 1 .

On l ' in t6gre en in t rodu i san t un a rgumen t var iab le

~0(xa) tel que :

X ' = cos ~0(xa) X" = - - ~ ' sin ~(xa) ,

(60) Y' = sin T(xa) ~ Y" = ~ coso ' (xa ) ,

d'ofi, avec (59) :

(61) q)(xa) = c(u) du + O ,

la eons tan te @ 6 tan t d~termin6e pa r les condi t ions initiales. Une seconde int6grat ion donne, pa r (60), les coordonn6es reehereh6es et pour lesquelles l ' int6- gra t ion formelle n ' e s t ma lheureusemen t possible que dans eer ta ins cas (cf. annexe F) :

X(xa) = f cos q~(xa) dx a + X 0 , (62)

Y(xa) = / sin q~(x3) dx a + Yo" .2

E n pra t ique , on simplifie au m a x i m u m la cons- t ruc t ion du t rac6 en imposan t des coordonn6es

normalis6es :

(63) x(xa) = X(xa)lL, 0 ~ x <~ 1, y(xa) Y(xa)[L, 0 <~ g <~ 1,

et en u t i l i san t des pa ram~t res r6duits , d~finis p a r :

(64) ~ = xaL , 0 <~ ~: ~ 1 ,

-- OL CoL - - - 0 ~<O~ ~< 1/2. (65) OL -- 2 7: 2 7: '

Les pr ineipales courbures normalis6es ut i l i sables en

p ra t ique

c(xa) c(xa) L (66) e(xa) -- --

Co f~ C(X3) dx3

sont rassembl6es au t ab l eau X I I .

TA, BLE&U X I I

Courbures normalisdes

Num6ro de r6f6rence

D6finition de c(xa)

0 1 1 4 x3lL 0 ~ x 3 <. LI2

4 (I - - xalL) LI2 ~ xa <. L 2 1 - - cos (2 ~xalL) = 2 sin ~ (2 ~xalL)

T~ 5 ~ sin(~xalL)

7: sin (n Xa]L ) A ~/~- (1 + cos ~ (~ x3lL))al~

et ]es t rac6s cor respondants , indiqu6s figure 18 sont

r e spee t ivemen t d6finis p a r les 6quat ions pa ram6t r iques (cf. annexe F) :

Profil 0

x('O - (67)

y(~:) =

Profil 1

(68-1)

avec

sin (27: OL ~)

2 7 : 0 L

[1 - - cos (27: OL~) ]

2 7 : 0 L

1 x(~) = ~ C[2~ zl 0 ~< z ~< 112,

1 x( '0 = ~ _ [cos ~ C{2~ ( ~ - - 1} +

s in~S(2 ~ ( ~ - - 1)} § (1 § cos~) C{~}+ sin~ S{~)],

: ~ / 2 ~ L ,

= 2 7 : O L = O L ,

et les int6grales de Fresnel :

C{z}= cos ~ t ~ d r , (68-2)

1/2 ~< ~ < 1 ,

(68-3)

y ( z ) = Dual x(~), C{}-~S{}, 0 ~< v ~< 1 /2 ,

y(~:)= Dual x(v), avec C(}-+S{} S{)--~C(}, 1 / 2 ~ < ~ < 1 , cos ~-~-- cos ~.

Profil 2

1 ~o Jn(OL) x ( ~ ) = ~ E ( - 1)n(OL+n) x

n = - - O o

sin {27:(OL + n) ~} , (69)

1 r Jn(OL) y(~)= ~ . ~ _ ~ E ( - 1)n (~L+n) •

[1 - - c o s {27: (OL + n)~:}] ,

avec la fonct ion de Bessel de 1 re esp~ce Jn(z).

Profit 5

(70)

Profil A

(71)

2 oo (__ 1) n x ( ~ : ) = - E - - Jn(7:OL) X

cos - ~ - ( 1 - - ' 0 + 7 : 0 L sin - - ' ~ ,

2 ~o (-- Ip

Y ( ~ ) = - • - - J n ( 7 : O L ) • 7 : ~ = - - o o n

x(~)=

y(~)--

(OL = 114) .

1 J 2 h ( 0 ) [7:~ + sin (7: x ) ] ,

1 ~ztu~'=h "~" [7:~ - - sin (7: z ) l ,

A. T~L]~r 28 n ~ 5-6 , 1 9 7 3 2/10

M . B R A V E R . - - G U I D E S H t ~ L I C O i D A U X 275

a v e c

: A ~ - 2 7 ~/1 + cos 2(t § ?) dr. h(?)

Les profils (C-i) de la figure 28 correspondent h des variat ions maximales de leurs courbures normalisdes. On peu t les adoucir en in t roduisan t une courbure r~siduelle constante c l , dont la valeur normalis~e est X = CdCo. Par exemple les profils n os 1 et 2, par l ' interm~diaire des lois de variat ions :

i 4 ( 1 - + z , o .< .< L / 2 , c ( x 3 ) = / ~ . \

, 4 ( 1 - - Z ) ~ 1 - - ~ ) + Z, L/2 <<- x3 <<- L ,

C(X3)= Z + ( 1 - - Z ) L I - - c 0 s ~ X 3 ~

se t ransforment avec X, et r~alisent une t rans i t ion cont inue entre les profils (C-i) in i t iaux et le profil commun d'arriv~e (C-0) (Fig. 29). L 'am~liorat ion du

I y �9 C-2 C-1 ...... I ......................

Id. _~-0.5 I

. . . . . . . . ]~:-- x = o

---- \ X\~:l

/ �9 /

X

FIG. 29. - - Influence d'une courbure r6siduelle sur les prolils (C-l) et (C-2).

Le trac5 en pointill6 repr~sente la demi-circonf6rence du profil (C-0). I1 correspond h X ~ 1.

Ouverture totale : O L = 180 o.

180"

0,5

9o" C-1

eo �9 / /

i / j 4S"

0,5 1

FIG. 30. - - lqepr6sentation des profils lin6aires (C-l). En l~ointill6 : profils circulaires moyen,, de m6me ouverture.

0,5

) C -2

6o"

4a"

0,5 1

Fro. 31. - - Repr6sentation des profils optimaux (C-2). En pointilld : profils circulaires moyens de m~me ouverture.

proches de (C-l), donc favorables. Des profils dissy- m~triques peuven t ~galement ~tre construits , comme par exemple, le profil lin~aire de la figure 32. Ils ne sont pas r~ciproques, et le sens AB est de bien meilleur r endement que le sens r~trograde BA.

rendement , lorsque Z tend vers 0 provient de l 'am6- nagement progressif de la courbure.

I1 est possible, th6or iquement , d '~tudier un profi. poss6dant le m i n i m u m d'affaiblissement, par une ouverture donn6e. I1 est l 'homologue d 'une t rans i t ion non conique de diam~tres (pour guides circulaires) dont le coefficient de r~flexion est rendu minimal , pour une longueur donn6e. Mais de meme que cette t ransi- t ion pose, pour conserver la loi de var iat ion de son rayon, d ' impor tan t s probl~mes d 'usinage, un profil opt imal en courbure exige un trac6 tr~s pr6cis, qu ' i l peu t ~tre parfois impossible de rdaliser sur le terrain.

A t i t re indicatif, et pour bien situer le probl~me, on comparera les trac6s de la figure 30 h ceux de la figure 31, qui en r6alisent une optimalisat ion. En

prat ique, l 'emploi de guides souples, n o t a m m e n t dans

les t~tes de ligne, permet des courbures 61astiques,

0,5

B

0,5 1

FIG. 32. - - Exemple de protil lin~aire dissym6trique. Ouverture totale : OL ~ 45~

Plus g~n6ralement on peut former, en j ux t aposan t

les courbures pr&6dentes , des profils tr6s complexes,

3/10 A. T ~ L ~ c . , 28, n ~ 5-6 , 1 9 7 3

276 M. B R A Y E R . - - G U I D E S H E L I C O i D A U X

et en pa r t i cu l i e r de n o m b r e u x t y p e s de se rpen t ines . L ' i n t 6 r 6 t de cos courbures n ' e s t pas dans leur g6o- m6t r ie re la t ive , naais darts le fa i t qu 'e l les am61iorent le f o n c t i o n n e m e n t de leur cou rbu re c i rculaire m o y e n n e . Comme les coudes r6els sur le t e r ra in , p lus ou moins contr616s pa r leurs voles d 'acc~s, o n t des al lures p lus

proches des t rae6s (C-i) pr~c6dents que du cireulaire, l ' u t i l i s a t i o n c lass ique du r a y o n m o y e n R = 11% c o n d u i t g6n6ra lemen t , c o mme nous le p r fc i se rons , une e s t i m a t i o n pess imis te de l ' a f fa ib l i s sement addi -

t i onne l en courbure .

A~INEXE F

I. Supposons q u ' u n guide h grande distance soit courbd, part ir d 'une abscisse arbitraire Xo, selon un profil cur-

viligne (C). A tout point M d'abscisse xa >/ x| correspond, darts le plan osculateur de la courbure, une normale

principale N (x3) qui d6termine l 'angle d 'ouverture localis6 :

(F-I) O(x3) = (N(x3), N(xo) ) .

On ea ddduit, par ddfinition m~me, l 'expression de la courbure intrins6que au point M :

d O/xa) (F-2) c(x3) : dx 3 ,

d'ofi, par analogie /~ la relation classique dx = BdO du profil circulaire, le rayon de courbure localisd :

i dx 3 (F-3) R ( x 3 ) - c(xa ) -- dO"

Le centre de courbure O(x3) se construit alors, algdbri- quement, sur la normale principale convenablement orientde.

L 'ouverture initiale O(x3) 6tant nulle, l 'ouverture totale du profil s 'obt ient en intdgrant (F-2) :

| o + L) = | = f xO+L C(X3) dxa , J*-5r o

et s'dcrit encore, en in t roduisant la courbure moyenne co :

1 f xo+L 1 (F-4) Co= ~ . ) x ~ c(/a) dx~--

B o '

sous la forme :

L (F-5) O L = CoL= Ro"

IL L' intdgration de (59) est immddiate dans le cas d 'une courbure constante co. On a en effet, avec (61) :

~(x3) = cox3 + (P.

La tangente initiale imposant :

X'(0) > 0 (I)= 2p r : , ( p = 0 ; + 1 ; + 2 ; . . . ) ,

v ' /o) = o

il vient, avec (62) :

l X(x3) = - - sin(coxa)+ Xo,

CO (F-6)

- - 1 Y(x3) - - - c~ + Yo-

CO

Le profil devant passer par l 'origine, on prend : X| = 0 et Y| = l [ co , et on retrouve ainsi les 6quations paramdtriques d 'un arc de circonfdrence de rayon B = l]co, et d 'ouver ture totale @L = coL. Une simple normalisat ion donne (67).

I I I . Dans le cas d 'un profil lin6aire, on part de :

c(xa)= 2 a x a + 2 b ,

qui s'int~gre, avec (6t) et la nouvelle constante d' int6gra- t ion c, par :

T(x3)= axa 2 + 2bx a + c.

Le signe de a n 'es t pas quelconque, et s ' interpr6te correc- tement en t ransformant le syst6me diffdrentiel (60) en :

I X' : cos(sig a ~(x3)),

Y' = sig a sin(sig a q~(x3) ) .

avec s ign = signe de a .

En dcrivant alors :

s iga~?(xa)= ~ - ~ s i g a ( a x 3 + b) - - \ la I / ,

7~ _ ~ 2 _ 8 ,

2

ce syst6me se ddcompose :

= cos 8 cos ~ + sin 8 sin ~ ~2,

~ = s i g a s i n ~ c o s ~ e o s ~ s i n ~ - ~ ,

et, par l ' interm~diaire de la relation diffdrentielle :

d() d ( ) d~ ~ 2 I n I d( ) dx 3 - d~ dx a ~ / ~- d ~ '

s'int6gre en ~, par (68-2), sous la forme :

X = c o s S C { ~ } + s i n S S ( ~ ) + Xo,

(F-~)

Y = siga 2 -~ [ c o s ~ S { ~ } - - s i n S C { ~ } ] + Yo.

Pour achever la ddtermination du profil, il faut consi- ddrer les deux rdgions sdpardment :

l a = 2 co/L, 0 <~ x a <~ L]2: c(x3)= ~x3/L ==~ b-= O;

l a = - - 2 c J L , L/2 ~< xa ~< L : c (x3)=~( l - -x3 /L) :=~ b = 2/c o.

Dans la premiere, les conditions h l 'origine entrainent , comme prdcddemment : c = 0, et X| = Y| = 0. Cela entraine ~ = 0, et les expressions correspondantes de (68) s 'obt iennent de (F-7) par une normalisation. Dans la seconde, on utilise les conditions de continuitd, pour x3 = L]2, des coordonndes X, Y e t de leurs ddrivdes. I1 vient ainsi :

c ~ - - C o L , ~ c o L : 2~Z| ,

~= ~/2 0L ( 2 x a ] r - - 2 ) = ~ 2 ( T - - 1),

L X| - ~ [(t + cos 8) C{~} + sin 8 S{~}],

L Y| = ~ [(1 - - cos 8) S{~} + sin 8 C{~}],

et les expressions (68-3) s 'en ddrivent par une normalisation.

IV. La courbure normalis6e C(Xa) = I - - cos(2r:xa]L ) s'int6gre, avec (61), par :

q~(x3) : CoX 3 - - ~ sin + (I) .

Les conditions initiales imp| comme prdcddeminent, O = 0 e t X o = Y o = 0.

A. T~L~C., 28, n ~ 5-6, 1973 4/10

M, BRAVER. -- GUIDES H]~LICO1DAUX 277

L'intdgration de (62) conduit alors it rechercher les solutions :

1/oX O ( Y(xa) = sin c o t - O L s i n - - dt ,

soit encore l ' intdgrale complexe :

Z(x3) f o x3 J[c~ = e L dr.

A l'aide de la sdrie de Bessel bien connue (fonction gdndratrice) :

oz (F-9) e]~Sin(at = E Jn(~) e jac~

on exprime l ' in tdgrand de (F-8) sous la forme :

cos Jn( - -~L) sin (OL+ n) - - sin =_

dont l 'absolue convergence permet l ' intdgratiou terme it terme, et conduit finalement aux expressions (69) puisque J n ( - - x) = ( - - l )n Jn(x).

V. C'est par la m6me mdthode, mats en ut i l isant la nouvelle sdrie

(F-10) o j~c~176 : ~ jnJn(~) ojn(ot

que le lecteur pourra retrouver les expressions /?O) corres- pondant it la courbure normalis6e c/x3) n]2 sinnx3/L.

VI. Jusqu'ici , nous nous sommes imposds d6s le ddpart, l 'expression de la courbure normalisde ; pour en ddduire, par (62), les dquations paramdtriques du profil corres- pondant . Le processus inverse peut ~tre utilisd, mats la difficultd d ' intdgration se reporte alors sur c(x3) qu'il est souvent impossible d 'obtenir formellement.

Le profil de courbure en forme d'arc de sinusoide, d'ouverture 0 L ~ r~/2, a pour dquations paramdtriques, avec ~ = arc cos{tgOL/2} :

X = OL OL, t c o s ~ - + [sin (t §162 ~

| . , | 0~<t~<r:--2~?. (F-II) i Y= tsin ~---[sinlt+q))--sin~?]cos ~ .

Sa longueur est mesurde par :

h(~) = / ~ - ~ / ~ + cos2(t+ L = q)) d t .

En prenant OL : 7~]2, et en introduisant le param~he :

-- ces dquations se rdduisent aux relations (7~).

La courbure localisde de (F- i l ) s 'obt ient de (58) sous la forme :

Y" X' -- Y' X" c(t) = [(X,)2 + (y ' )~]at2 '

s i n ( t + ~) [l + cos~(t+ ~)]~/~"

Elle s'intdgre assez facilement pour donner la valeur moyenne :

t /'7~ - 2q) t 2 cost? C 0 - - n - - 2q) Yo c(t) dt 7:__ 2q) ~/1 + eos2q )

d'ofi, avec t = nx3lL :

(re - - 2 ~) ~/t + cos-Y(~ sin (~ xa/L + C~) (F-t2) c(x3) = 2 coso [i + cos2nxa/L + r

En prenant 0 L = TC./2, on obtient la courbure normalisde du tableau XII.

Une mdthode analogue peut ~tre utilisde pour l 'dtude du profil d'dquilibre dlastique d 'un guide, placd entre supports dquidistants, et qui est proche du serpentine de pdriode L :

Sa courbure normalisde :

y"(x3) c(~3) = H + (y'(~3)PJ 31~'

est au moths du second degrd, et n 'est pas intdgrale formellement. Cependant, en pratique, ly'(x3)[ est gdndrale- ment assez faible pour que l 'on puisse dcrire l 'approxi- mation :

(F-13) c(x3) ~ y ' ( x 3 ) : ~ 6 6 + t .

Ce serpentine est alors it courbure moyenne nulle, comme le serpentine circulaire dont il ddrive :

l Co, o <~ ~ < L/~ , (F-t4) c(x3)= ]--~ Co, L/4 < x a <~ 3 L /~ ,

f , Co, 3L]~ ~ x 3 <~ L .

La comparaison de ces deux types de courbure est facile, et s 'obt ient sans normalisation. Cependant, puisque sa courbure moyenne est nulle, c(x3) poss~de ndcessairement deux zdros a~, ~ sur [0, L] tels que :

+ L f o a~c(x3) d/3 / 2 c(xa) d x a : / ~ 2c(xa) dxa"

On peut alors retenir, pour nouvelle ddfinition de Co:

l s (F- t5) c ~ (~2- - ~1) [c(x3)[ d x 3 '

soit encore, si la courbure est symdtrique par rapport it L/2 :

2 f o o cr c[(xal] dxa (F-t6) C o : L__(~2__~1 )

C'est le cas pour (F-13), et comme ~1 : _ L (l T 1/~/3-), c~2 2

il vient :

(F-t7) c ~ L ~ 6

d'od la courbure normalisde de (F-t3) :

(F-~8) c(x~) -- ~ + S y

O ~ xa <~ L .

Bien entendu, celle de (F-t4) se rdduit it :

i 1 , 0 <<. x3 ~ L /~ , (F-19) c(x3) = - - ~ , i ] ~ ~ x 3 ~ 3 LILt,

I , 3L/~ ~ x 3 ~ L .

mats c o est alors dgal it (F-17).

III.2. Application ~ l'am61ioration du rendement d'une courbure.

Lorsque l ' on c o n n a i t la courbure c(O(x3) d ' u n profi l I lon circulaire, la r e la t ion (57), et les m6thodes ddve-

5/10 A. T~L~c., 28, n ~ 5-6, 1973

278 M. B R A Y E R . -- G U I D E S H ~ L I C O i : D A U X

lopp6es dans l 'anrtexe C, p e r m e t t e n t d ' en d6duire les ampl i tudes d 'ondes et les propri6t6s g6n6rales en courbure. P a r exemple , on peu t me t t r e (C-12) sous la forme 6quivalente :

1 M + I , . / ' L / ' L (72) A ( t ' ( L ) = - - ~ k~=2/~s~l~ff0 d~Jo c.)(~)c(,)(~)•

e zlkl~-~l d~,

et rechercher les composantes (Ay0e de l ' exposan t addi t ionne] en courbure (cf. plus loin). De m6me, on peu t 6crire (C-13) :

(73) Q(~)(L) = - - K1]c e(I)(u) e - Y l ~ u d u ,

pour ob ten i r le n iveau de l 'onde paras i t e so r t an t du coude.

II est int6ressant , pour eomparer les profils (C-i) entre eux, de r a p p o r t e r chaque ampl i tude Q~) h son homologue Q(ff) du profi l cireulaire moyen. On d6finit ainsi une fonct ion caraet6r is t ique du pro fil :

Q~)(L) (74) F~)(L) = Q~) (L) '

qui mesure l 'am61iorat ion du t a u x de paras i te , et donne urte premiere es t ima t ion de la qual i t6 de son fortctionnemertt . EIle s '6crit , selon le t y p e de courbure ut i l is6 :

(75) F ~I)(L) -- t h (y lg L]4) ( y l k L / 4 ) ' profi l C - l ,

(27:1L) 2 (76) F[~)(L)= (Ylk) 2 + (2~ /L)2 , C -2 ,

(TzIL)2 (ylkL/2) C-5 (77) F(~S)(L)= (Y'g)~ + (~]L) 2 th(yleL[2)'

F(A)(L) : integration num6rique, C-A.

Les variations de la fonetion F (~) assoei6e aux modes EHxn sont donn6es figure 33. Le guide utilis6 rt'est pas du type 6cran, mais h eouehe ext6rieure absorbante ; et est assez proche du cas ~z = 20 de la figure I. En 6crivant :

I F ( T ( L ) I = [ch(~ZltcL/2)--cos(~xlcL]2)lll2 4 t ~ ~ l L 4~ ,~+~ ,~ '

on v6rifie que les osci l lat ions de F(~) d6pendent des longueurs d 'ondes de ba t t emer t t darts le guide, les min imums s ' o b t e n a n t pour ~lkL[2 ~ 2pTz e 'es t -h-dire L ~ 2 p 2 = / ~ 1 k = 2p)~lk- Avec eet te longueur, la zone de for te courbure est excit~e, comme l 'or igine, p a r urt nceud d '6nergie paras i te . Elle ne peu t donc renforcer le couplage, et le for tc t ionnement du coude est op t imal .

Ces osci l la t ions sont r ap idemen t neutral is6es pa r la quant i t6 ch (~ lkL/2) , et le module de F(1) d6croit selon une loi a s y m p t o t i q u e en 1]L. Un fonct ionr tement analogue existe avec les modes HEln, mais la figure 34 mon t r e que les osci l la t ions soar, ce t te fois, plus lortgues

h s '6teindre, /~ cause des valeurs r e l a t i ve me n t faibles des affaibl issements diff6rentiels cqk.

IF"i 10'

Id

10

16

! L/i i ;,-,, ii iiii , I , ,

l ~ i i i % - " . . . . .

~ ..-....... .............

c-1

EH,.

EH,~

................................. EH.

o i 2 3 4 5

FI6. 3 3 . - Variations de la fonction caract6ristique F~)(L) associ6e aux modes EHln. L > 0,20 m => Iv~)l < 1, V k;

I ~ 35 GHz.

C-1

10'

i , . ................. A t t i

\ / o' ' I

!t , : "

]'E,a

I I I l i j

i! ii i~

!iLl

lii ........................................................................................................................... L(m)

1 2 3 4 5

F r o . 3 4 . - - V a r i a t i o n s d e l a f o n c t i o n c a r a c t ~ r i s t i q u e F ~ ( L ) U) a s soc i6e a u x m o d e s H E l n . L > 2 ,10 m => FI~ < 1, V k ;

[ ~-~ 35 G H z .

A. T~L~C., 28, n ~ 5 4 , 1973 6/10

Mo B R A Y E R . -- G U I D E S H ] ~ , L O C O 1 D A U X 279

Avec des guides non h61icoidaux, les oscillations de F (1) s '6 tendent bien au del~ d'ur~e centaine de

m~tres. Mais la d6croissancc en I [ L subsiste, et IF(k~)(L)] devient inf6rieur h 1 d6s que L d6passe 35 m (guide di61ectrique n o [2I), ou 46 m (guide m6tallique).

Pour L fix6, la fonction caract6ristique d6pend aussi de la tr6quence. La figure 35 en pr6cise les

IF"I % l \\, C-,

A. "\ "\ \ ~"\N,

io' T ,.\ -,.... a 'x '--.. ............

/ c," ", .>.( "', "--. ...............

16 2 i] ...................................................................................................................................................................

o .............................................................................................................................................................

�9 356Hz A 80G~ [ ] . fSO(4tz

L,.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fla. 35. - - Variations de la fonetion caraet6ristique F~)(L), h diff6rentes fr~quences. . E H l l , H E I i ,

............ Max, Min, HEz2 ,

[F~)I < 1, pour I L > 5,60 m, (80 GHz), L > 9,30 m, (150 GHz).

var iat ions effectives pour les deux premiers modes, et les seules enveloppes d 'ex t r6mums pour le mode H E r 2 . Les oscillations s'61argissent avec la fr6quence, comme les longueurs d 'ondes de ba t t emen t , h cause de la loi de dispersion du guide. De toute fa~on, le gain obtenu par la fonction caract6rist ique est, pour u n guide h61icoidal, h large bande aux courbures usuelles.

Les autres fonctions caract6ristiques 6voluent de la m6me mani~re, bien que F (~) d6croisse asympto-

t i quemen t comme 1 ] L ~ . Le tableau X I I I permet une rapide comparaison des diff6rents types de cour bure, h 35 GHz.

Les valeurs des I F(~)(L)I t enden t rap idement vers z6ro, et pourra ient faire croire que l'irffiuence du

coude peut disparaitre. E n r6alit6, elles ne renden t compte que de l 'effet de pond6rat ion apport6 par

T A B L E A U X I I I

V a l e u r s d e IF~)(L)I, p o , r L = 10 m (35 GHz)

(i) M o d e E H 1 1

1 , 0 9 . 1 0 - I 8 , 9 2 " 10 - 2 5 , 6 0 . 1 0 - z 1 , 9 6 . 1 0 - 2

M o d e H E l l

4 , 1 8 " 10 - 2 3 , 3 3 - 1 0 - 2 2 , 0 6 " 10 - 2

2 , 8 0 " 10 - a

la forme de la courbure sur le terme exponentiel de couplage, dans (73). Dans le cas l imite d 'une courbure ponctuelle id6ale, cette pond6rat ion est

maximale et (73) impose une d6croissance exponen- tielle h p(0 �9 tandis que (72) condui t h la constante (affaiblissement to ta l de la courbure localis6e) 1 ]Kl I La courbure dissym6trique de la figure 32 poss~de deux fonctions F0 selon qu'ellc est prise dans le sens AB, ou le sens BA (Fig. 36) :

sens A B: F(AB)(L) = 1 - - coth(yt~L/2) + l l ( Y l k L / 2 ) ,

sens BA : F(BA)(L) = 1 + coth(ylkL/2) - - l / (~ ' l kL /2 ) �9

16'

L ira) 1 10' 10 2 10 3

FIG. 36. - - Fonetion caract6ristique d'une courbure dis- sym6trique ........... EHIz , - - H E l l .

Ces r6sultats s ' in terpr~tent faci lement si l 'on remarque

que, lorsque L--~ oo, la courbure AB tend vers une 1

demi-courbure (C-I) ; d'ofl : F(*B) --~ ~ FO). Au

contraire la courbure BA, d6bu tan t h 2 Co, ne peut tendre que vers une courbure (C-0) deux fois plus importante , et F( BA)-+ 2 Q(O)[Q(O) = 2 .

Le profil (C-2) est une forme optimalis6e, au 2 e ordre, des pr6c6dents. Sa fonction caract6ristique tend vers

7/10 A. T~L~C., 28, n og 5-6, 1973

2 8 0 M. BRAYER. -- GUIDES HI~LICOiDAUX

z6ro comme L -S , et ne pr6sente plus d 'osei l la t ions. II existe, pa r contre, une raie r6siduelle, pour L = Zlk , p r o v e n a n t de la pa r t i e rdelle :

~ + (2 7:) ~ [ I l L ~ - I / Z ~ ]

de sort d6nominateur . Elle n ' ex is te d 'a i l leurs que pour des va leurs r e l a t i vemen t faibles de e l~ , eomme pa r exemple sur la f g u r e 37, re la t ive au guide fi rev~-

1 I U I U U ~vvv L(m)

FIG. 37. - - F o n c t i o n c a r a c t e r i s t i q u e o p t i m a l e F~)(L) d u g u i d e

h rev~tement n o ~[. L > 7 m ~ [F'~I < 1, V k ; ] ~ 3 5 GHz.

t e m e n t n ~ ]2~. Avee le guide h61ieoidal de la figure 33, la raie E H n disparaR, t and i s que la raie H E n , & a m p l i t u d e 5, se si tue vers 0,53 m. Le module de F(k~)(L ) est alors infdrieur h uu, d~s que L d6passe 0,75 m.

I1 est possible de rel ier la va leur a s y m p t o t i q u e d 'une fonet ion earaet6r is t ique aux propri6t6s int r in- s~ques de la eourbure. Pour eela, on 6erit (74) :

s L'd(O(u) e Ylku du ylk

F(~)(L) X - - ~ L e - - YlkU du [1 - - e -YI/cL]

L e - Vl/cU du ~(O(u)

puis, en i n t rodu i san t la s~rie de Four ie r representa- t ive de la eourbure normalis~e :

oo -d(O(u) = ~, ~ ) e j2r~nulL ,

~ = - - 0 o

on l ' in t6gre sous la forme : o~ 1

F(~)(L)= Z U~) n=-o~ 1 - - j 2 ~ n / y l ~ L "

Pour L assez grand, ce d~ve loppement s ' a p p r o x i m e p a r :

" [ ' ] F ~ ( L ) ~ Z ~ ) l + ' - - J L71k-- \ L - - / (u + ... n~- -oo

e 'es t -~-dire encore (si la s4rie est r6guli6re ~ l 'origine) :

(~(o(o))' (vo(0))" (78) F(O(L) ~ E(i)(0) + "~lk ~- "~12k -t- . . .

Une eourbure n ' e s t done op t imale au 2 e ordre qu ' en v6rif iant , ~ l 'or igine (et p a r ra ison de symgtr ie ,

l 'extr4mit~) , les condi t ions s imultan~es :

E(O(0) = O,

(~(o(0))' = 0.

En pra t ique , ce sont des eon t ra in tes dures h respecter , ear urte er reur de quelques pour cen t fa i t r a p i d e m e n t perdre le b6n6fiee de l ' op t imal i sa t ion . Toutefois , pour des ouver tures exeept ionnel les sup~rieures 90 ~ un relev~ pr6eis du t rae~ est r6alisable sur le t e r r a in (ef. Fig. 30 et 31).

Ces r~sul ta ts s '~ tenden t aux diff~rents t ypes de serpent ines qui pe uve n t ~tre eons t ru i t s avee les profils (C-i). Par exemple , si on forme un serpent ine

(C~-2) avee deux demi-prof i ls sym6tr iques pa r r a p p o r t

h leur milieu, on ob t ien t une fonet ion Fgg) oseil]ante :

[ (Ylk L)2 1 g ~ ( c ) - t ~ 4 ~ + Z ( ~ I ~ L ) ' - - (~ - - Z) s h 2 ( ~ l k L - / 4 ) ]

[4 7:2 + (yak L) 2

qui ne d6eroR en 1 /L 2 que si Z est s t r i e t ement nul (Fig. 38).

l d

35 GHz

16

lo

IF*I

L(m) O 5 10

FIG. 38. - - Fonctions caract6ristiques des serpentines sy- m6triques.

- - I H E n ' I EHll'

L > 2 ,40 m =:v- I F ( i ) ] < 1 .

A~ TIgLI~C~ 28, n ~ 5-6, 1973 8 / 1 0

M. B R A Y E R . -- G U I D E S H t ~ L O C O 1 D A U X 281

Fina lement , comme il l ' a 6t6 pr6vu dans la r6f6- rence [21], le r endemen t du couplage s'am61iore n e t t e m e n t d6s que la courbure var ie de fa~on pro- gressive. Mais elle n ' es t pas supprim6e pour au tan t , et done l ' a f fa ib l i ssement add i t ionne l qui en r6sulte. Pour l 'ob ten i r , on ut i l ise (C-12) (ou (72)), et on d6termine, pa r (C-19), l ' exposan t add i t ionnc l par t ie l associ~ au mode k.

Avec c(xa) = 1 - - cos (2 ~ xa[L ), on ob t i en t ainsi, sans difficult~s :

(79)

L [ P(L)

('~lkL)~ (1 - - e YlkL) 1 ] P ( L ~ + ~ ('~lk L) ,

avec

P(L) = (ylkL)2 + (2 ~ )e , E(L) = e Y l k L - (1 + ylk L) , ylk ~ Y1 - - Y~"

La valeur a sympto t ique de (79) s '6cri t :

1 (80) (A~(1)k ~ _ IK1kI2 (%)2 2 y l k '

De m~me, le profi l c i rculaire moyen condui t A l 'express ion :

LE(L) (8a) (A~0~ = IK,~I ~ (c0)~ ( ~ L ) ~ '

dont la valeur a sympt6 t ique est :

1 (82) (A~)~ ~ --[K,~[~ (~0) ~ - - .

y~k

On v6rifie imm~diaternent, e~ comparant ces formules, que l'affaiblissement additionnel en courbure est pratiquement r6duit de moiti~ par l'utilisation du profil (C-2). Cettc valeur peut paraltre faible, mais il ne faut pas perdre de rue que, ce faisant, on suppose la courbure moyenn~e invariante. Dbs que cette contrainte disparait, on retrouve nn probl~me d'opti- malisation de franchissement analogue h celui d'une courbure circulaire, et le gain final sur l'affaiblissement devient plus important (el. plus loin).

Une m6thode ~nMogne s'appliqne aux autres profils (C-i). Cependant, des caleu]s num~riques pr6cis, que nous ~t'avons pu programm6s, deviennent indispensables pour obtenir ]'amelioration effective de l'affaiblissement. Par exemple, avec le profil (C-5), on partirait de :

/x ' \ 2 L [ ~2 ( a ' ~ l ) k = ]KI~:]2(C0)2(- ') - - / '~ ( t - l - e Y l k L ) -

\2 t(L) t ~(L) (83)

(~,~ L) ,

avec I(L) = (yl~ L) ~ § ~e,

pour constater que ]e gaill precedent sur l'affaiblissement est rapidement neutralis~, en valeur asymp- totique, par le coefficient de normalisation (7~[2)~. Ii n'y aurait donc amelioration que pour des coudes de faible ]ongueur, tels que 7:2 joue un certain rb]e

dans la va leur de I ( L ) ; e t encore, eu dehors d 'une raie ~ventuelle pour L ~ ~1~]2. Le profi l (C-5) n ' es t doric pas op t imal , mais son affa ibl issement addi t ionnel est p r a t i q u e m e n t le m~me qu 'en profi l circulaire.

Une conc]usion ident ique s ' ob t i end ra i t b pa r t i r du profil (C-1), don t l ' e xposa n t addi t ionnel ,

(84) (Ay1)k= IKlkl 2 16(c~

[ 3§ Y'kL (YIkL)a 4eYlkL]2 ] 12 § eYlkL '

fai t in tervenir un fac teur 4[3 dans le r a p p o r t des affaibl issements asympto t iques .

En tou te r igueur, l ' i n t roduc t ion de la normal isa- t ion pa r la courbure moyenne c o p6nalise abus ivemcn t les profils non circulaires. En effet, s ' il est logique de eomparer entre eux des affaibl issements p r o v e n a n t de courbures de m6me valeur moyenne , les condi t ions r6elles du f ranchissement sont, sur le te r ra in , diff6- rentes pour chacune d 'el les (Fig. 28). Le po in t d 'a r r iv6c de (C-I) , pa r exemple , n ' e s t pas celui de (C-0) effec- t i vemen t utilis6 pour les raccords. Il fau t donc corriger c o d 'un fac teur li6 h la g6om~trie du probl~me, et qui am6liore d i rec tement l ' a f fa ib l issement add i t ionne l de la courbure non circulaire. Bien mieux, si la courbure est contr616e par ie guide lui-m~me (courbure 61astique, en par t icul ier ) , la normal i sa t ion dol t 6tre supprim6e, e t les affaibl issements a sympto t i ques sont f inalement am~lior6s darts les r appor t s : 1 / 8 ; 1/2 et 1/3 pa r la seule forme des profils respectifs (C-2), (C-5) et (C-I) .

G O N a L U S I O N

I1 est cer ta in qu 'un profil curvi l igne bieR ~tudi6 devra i t pe rme t t r e une r6duct io~ impor t au t e de l ' a f fa ib l issement addi t ionnel e[t courbure. Mais sa r~al isat ion exige une tel le precision qu 'el le ne pourra i t ~tre s~rieusement envisagSe qu ' avec un coude rigide, donc de faibles dimensions. I1 serai t alors moins comp~ti t i f que l ' ac tue l coude h miro i r qui, malgr~ quelques per tes suppl6mentai res , est de fabri- ca t ion et de raise en oeuvre bie~l plus faciles.

Mais le probl~mc se repose pour les courbures moyennes , de formes var iables , a ppa ra i s s a n t ~h et lh tou t le long de la ligne. A p a r t i r d ' u a r ayon moyen (d6termin~ par les m6thodes usuelles de franchissement) il est tou jours possible d ' am6nager le t rac6 du coude, sinon en courbure op t imale (sin2), du raDius en in t roduisa l l t p rogress ivement la courbure de l ' ensemble . On am61iore ainsi non seulement le r endemen t ~lectromagn6tique du coude, mais encore l ' espace disponible sur le te r ra in .

Les courbures 61astiques sont v r a i m e n t favorables , n o t a m m e n t en guide souple sous-dimensionn~, comme au d6par t des s ta t ions pa r exemple.

9 / 1 0 A. T~L~C., 28, n ~ 5-6, 1973

282 ~. BRAVER. -- GUIDES H~LICOIDAUX

Fina lement , si l ' emploi du profi l c i rculaire moyen reste indispensable , t a n t dans les p ro je t s que darts les phases pr61iminaires des trac6s, route correct ion natu-

relle p r o v e n a n t de la r~act ion du guide ne devra i t pas poser de probl~me, d ' a u t a n t plus que la souplesse des modules r@ents pe rmet , ]e cas 6ch6ant, d ' am6nager la courbure selon un profi l plus a v a n t a g e u x d6ter- rain6 h l ' avance .

Manuscrit re~u le 7 mars 1973.

BIBLIOGRAPHIE

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Le Direeleur de la publication : M me Y. BOURNAT

hnpr imer i e Jacques et D e m o n t r o n d 26, rue E r n e s t - R e n a n - 25-Besanqon - - Published in France D6p6t 16gal 2 e t r imes t re 1973, n~ 8491

Étude en courbure des guides a grande distance, cas des guides hélicoidaux (3e partie — fin)

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