étude expérimentale et modélisation numériquede vibrations induites dans un tunnel de méiro

F. CHAPELChef de TravauX, Ecole Centrale des Arts et Manufactures*

D. LEFEBVREChercheur, Ecole Centrale des Arts et Manufactures*

AVANT-PROPOS

Le réseau rerré de la R.A.T.P. comprend 250 km delignes souterraines, implanté,es à proximité des im-meubles riverains. La circulation des trains provoquedes vibrations qui se transnnettent à traver! le iol,accompagnées de grondements sourds qui sont d'autantplus sensibles que I'exploitation des lignes ne s'arrêteque pendant quatre heures tente la nuit. Afin demieux lutter confue les nuisances, la R.A.T.P. asouhaité pouvoir disposer d'un outil lui permettant demieux connaître les phénomènes de propagation enfonction de la nature des sols. Elle â fait âppel auLaboratoire de Mécanique des Sols-Structur-es ducentre de recherche de I'Ecole Centrale des Arts etManufactures et, sous la direction du ProfesseurBIAREZ, une équipe de recherche a étê rormê,e,animée par MM. CHAPEL et LEFEBVRE. Ainsi a vule jour une nouvelle application de méthodes numéri-ques à I'analyse des phénomènes vibratoires dans lessgls- avec pour objectif final I'amélioration de la qualitéde la vie de centaines de riverains.

* 92290 Chatenay-Malabry.

INTRODUCTION

Le problème des vibrations induites par les rames demétro dans le sol et les immeubles riverains étaitordinairement abordé au cas par cas, de façonempirique. Le développement ré,cent des méthodesnun-iériques appliqu é,es à la mécanique des milieuxcontinus nous a permis d'envisager une approchedifférente, s'inscrivant dans une méthodologiè plusgénérale, qui est celle de la mécanique deJ miheuxcontinus appliquée aux sols.

Nous avons ainsi eu recours à un modèle de calculdans lequel les matériaux en présence (sol, béton... )

sont supposés être des maténaux continus, dotéschacun d'une loi rhéologique, soumis à des effortsexténeurs (passage du tuain) et à des conditions altxIimites bien définies. Ce modèle pourra servir d'outilprévisionnel et curatif des vibrations dues au métro.

Les recherches ayant conduit à la mise au point et à lavalidation numérique et expérimentale de ce modèleont été, réalisées grâce au concours actif de laR.A.T.P., Direction des Services Techniques, Servicedes Etudes, Division Environnement et Confort.

50 N" 29

Nous remercions particulièrement Madame Lizerandoinsi que Messieurs Flahaut et Colline pour I'appuiconstant qu'ils nous ont prodigué tout au long de cetteétude.

1. METHODOLOGIE DE RECHERCHE

Pour cela, les équations fondamentales de la dynami-que ont été résolues à I'aide d'un code de calculEléments Finis dont le principe est détaillé plus loin($ I.4) et pour lequel une loi de comportementviscoélastique linéaire a été adoptée.

1.1. Principe de validation d'un code decalcul par des essais in situ

L'exploitation industrielle ultérieure du code de calculest subordonnée à sa fiabilité par rapport à la réalité insitu. D'un point de vue fondamental, cette fiabilités'appuie sur:

la validation de I'hypothèse de la visco-élasticitélinéaire, fondée elle-même sur l'hypothèse de petitesdéformations;

notre capacité à estimer les valeurs des paramèhesd'enfrée du modèle de calcul, que l'on peut ranger enhois classes :

o les propriétés mécaniques du sol et des matériauxdu tunnel ;

o la géométrie du système tunnel/sol ;

o l'excitation à la source (à la base des rails).

Nous nous sommes attachés dans cette éfude audeudème point après avoir accepté, I'hypothèse decomportement viscoélastique linéaire pour l'ensembledes composants du système sol-tunnel. Pour l'explici-ter, nous avons êté conduits à concevoir un pland'essai de validation en grandeur réelle, par étapesdécouplant au maximum les effets des différentsparamèhes. Ce plan est précisé par I'organigramme dela figure 1.

Remarquons qu'un tel programme expérimental devalidation, du fait du grand nombre de voies demesure qu'il suppose (16 dans notre étude) et duvolume du traitement ultérieur, doit ëtre réalisé à I'aided'un procédê d'acquisition P.C.M. (u Pulse Code Mo-dulation ") compatible avec un micro-ordinateur adap-té,: le schéma de la chaîne d'acquisition et dehaitement utilisée est donné sur la figure 2.

L.2. Essais sismiques pour la recherche despropriétés du sol

Les paramètres de la loi viscoélastique linéaire ont étémesurés par des essais sismiques entre sondages(" cross hole,) de type différentiel (voir figure 3). Cesessais, fondés sur I'examen des signaux sismiques [1]se propageant à partir d'une source impulsionnellesituée au sein du massif de sol, ont I'avantage:

REVUE FRANçA|SE DE CÉOTECHNTOUE

d'êÛ:e compatibles avec les essais de laboratoire autriaxial cyclique, dans le domaine des faibles déforma-tions (epar les problèmes de nuisances;

d'être bien adaptés aux mesures d'hétérogénéitésdynamiques par couches, contrairement à tous lesessais sismiques de surface (sismique-réfraction, essais

" surface-sondage, ou u down hole u) ;

de conduire à la connaissance des deux vitessesd'ondes P et S du milieu, donc des deux paramèfues

de l'élasticité linéaire G (module de cisaillement) el v(coefficient de Poisson), à condition:o d'utiliser une source d'impulsion qui engendre unecomposante S repérable facilement dans les trainsd'ondes,o d'éviter, par un positionnement convenable de lasource et des capteurs, I'interférence au niveau descapteurs de différents Çpes d'ondes (réflexions etréfractions dues aux hétêrogénéités),

de constituer dans un avenir proche, uD moyen demesure de la viscosité, à condition d'analyser les

signaux, non seulement en termes de temps depropagation, mais aussi en termes d'évolution de formeet de contenu fréquentiel.

Le troisième paramètre de la loi rhéologrque adoptée,la viscosité, est estimé en laboratoire par mesure del'amortissement dans l'essai hiaxial cyclique.

Le dépouillement des essais sismiques conduit doncaux paramètres de la loi viscoélastique qui font partiedes données à intuoduire dans le code de calcul.

1.3. Code de calcul t3I

Le problème à traiter est celui de la détermination dusignal induit par un train et de son transfert dans lescôuches de sol lusqu'aux strucfures concernées par les

nuisances. Grâce à l'hypothèse de linéarité des proprié-tés du sol, le problème sera circonscrit lorsque serontconnues, dans le domaine fréquentiel, les fonctions detransfert enhe la source et les points de mesure.

A partir de là, la mesure de la vibration en un pointdu sol peut permefh€, par la résolution du problèmeinverse, de trouver l'excitation due au train, puis laréponse en tout point du sol. Ainsi, dans des condi-tions idéales, les calculs à mener pour modéliser lecomportement dynamique du tunnel et du sol environ-nant devraient prendre en compte le caractère tridi-mensionnel du problèffi€, I'interaction entre les diffé-rents composants ainsi que I'hétéro généité du sol.

Afin de déterminer plus aisément les rôles des diffé-rents paramèhes, il aurait été intéressant de pouvoirdiviser l'ensemble sol-structure en sous-stucfures mais,au vu de l'hétérogénéitê, du sol, de la forme du tunnelet de la présence de sol injecté sous le radier, lescomposants se sont avérés trop nombreux et com-plexes.

Une méthode numérique directe s'est ainsi imposée: laméthode des éléments finis est adaptée à ces pro-blèmes fortement hétérogènes puisque chaque élément,

REVUE FRANçAIsE DE cÉorecHNtouE N" 29

}MSUREPROPRIETES S ISMIOUES

I

cf $I.2

I UXU t'I'A'I'I0N d 'un SYSTEME I

I Rsnr par vrnnnun I

MODELISATIONdu SYSTEI'{E REEL par MODELE MATHEMATTOUE

CT D I.4 cf $I.3

SES

MESURE de la REPONSEcle la STRUCTURE e r du SOL

@I DES REPON

cr 4 r.3

COMPARAISONESSAI_CALCUL

c II.

SAT ISFAISANT

OUI

NOI.I

MO

drunEXC I

RE de la REPONSESYSTEME REEL à une

TATION REELLE

MODEL I SAT .

du SYSTEI,IE I

DELE MATHEI'{I(testé)

toNIEEL par le\TIOUE DEFINITIFcf sr.

EVENTUELLEMENT, TRAITEMENTSTATISTIQUE des REPONSES

MESUREES

EXCITA]ave c miA T'] Tr|D LT C

CALCUL desde TRAI{SFERT

de MES

FONCTIONSaux POINTSURE

c

IONse en

TtïtrT Tr A l.Im

CALCUL de 1 t

REELLE MOYENNE6rririlo....o Ânn D^D

I (- rJ .|- rrr\â 'l.tJ J. l\lJ\) Ilr I L utllI\ I

SUT 1 ' EXCITATION Ct ELIMINATIONdes PARAI'IETRES ALEATOIRES

EXPLOTÎATION DU PROGRAI'{ME

de CALCULc

Fig. 1. organigramme de recherche pour tavalidation du code de calcul par confiontation

avec un programme d'essais in situ.

en cas extrême, peut disposer de propriétés mécani-ques propres.

Cependant, un calcul réellement tridimensionnel rested'un coût prohibitif lorsque le domaine concerné estde dimension infinie dans une ou plusieurs directions.

Les calculs ont pour cette raison été menés à I'aided'un code éléments finis bidimensionnels à déformationplane. Cette limitation importante a eu une forteincidence sur la méthodologie des essais afin que lesrésultats de ceux-ci puissent être comparés aux valeurscalculées. Le code de calcul résout les équations del'élastodynamique stationnaire. Les conditions aux li-mites de radiation de l'éner$e aux frontières artificiellessont prises en compte par des amortisseurs d'ondes P

et S pour la frontière horizontale et par des amortis-seurs neutralisant les modes propres discrétisés devibration horizontale et verticale de la frontière latérale(frontières consistantes).

Des essais harmoniques ont été mis en æuvre afind'obtenir la validation du code de calcul et de sesparamètres d'entrée. Ils servent ensuite à la détermina-tion des fonctions de transfert dans le sol et au calculinverse conduisant à l'excitation clue au train.

L.4. Essais harmoniques

La validation expérimentale du code de calcul supposeune bonne modélisation de la sollicitation dynamique,

52

Accé1éromètrespiezoélectriquesEHI[=--+ 2

EI--> 3

+--+16

N" 29

Fig. 2. Schéma deet de traitement

REVUE FRANçA|SE DE CÉOTECHNIOUE

Driclencher,ænt base - bern ps

la chaîne de saisiedes données.

-Têrnss 0(Choc du rnarbeau)

Fig. 3. Enregistrement de l'essai sismique entresondages à deux voies.

Essai réalisé dans du calcaire à Parisâ 14 m de profondeur.

Echelles : abscisse 2ms/divisionordonnée 1 1mV/division.

Unité centrale decalculateur numérique

16 bits

qalrt{o)c,É+rÉcdOU

.rl 'rlf, t+{.r{ .r{"O r-{ÉÊ.oEu0d

cquisition PCM

multiplexée1,2 bits

Te rmina Ide commande

signal Mémo i rerincipalevolat i le Mémoire de

masse(d isquet te )

Horloge

ConvertisseurNumé rique /Ana 1og ique

4 vo ies

0scilloscope dec ont rô 1e

Enregis[reunExcitaLïon

GhebesLée

REVUE FRANçAIsE DE cÉorecHNrouE

Fig. 4. Equivalence d'une excitation linéiquerépartie et d'une suite discrète d'excitations

ponctuelles.

donc une bonne maîhise de l'excitation à mettre enæuvre in situ. Pour cela, nous avons eu recours à unechaîne d'excitation asservie délivrant un signal quasiponctuel sinusoidal de fré,quence et d'arnplitude pilo-tables. Se pose donc le problème de pouvoir repro-duire correctement à l'aide de ce matériel les hy-pothèses de base du modèle de calcul, soit:

L'hypothèse d'harmonicité facilement accessible etstable dans un domaine de fréquences défini par lacourbe du vibreur (soit 0 à 100 Hz).

L'hypothèse de bidimensionalité avec répartitionlinéique continue et constante de I'excitation le long deI'axe des rails, sur le radier. Cette force répartiep = po exp (i o t) (fig. a) a étê reproduite expérimen-talement par une suite discrète de forces quasi ponc-tuelles q appliquêes aux points d'ancrage successifs 4du vibreur:

O, = Pj exP i (olt + tl'i)où Vi est le déphasage fictif découlant de la dérive del'instant initial d'enregistement au cours des différentsenregistrements.

Les accélêrations fi engendrées en un point de mesureB par chaque force ponctu elle séparêe Qi s'écrivent :

fj-Texpi(olt+t|l:+0i)où 0j est le déphasage enhe la force appliquée etl'accëlêration mesurée. Ces accêlérations sont recom-posées pour donner l'accélération linéique f autour dupoint B due à la fois à la force linéiquep - po exp ,tt*a,:

, _,.r - ,è- "-ït'" exP i(ort + oi)

grandeur véritablement calculée par le modèle decalcul bidimensionnel à déformation plane.

Dans la pratique, la conhibution de 4 devient négli-geable devant la contribution cumulée de Ao,4r...,4-' lorsque j > 3 avec \ - 4m.

53

1.5. Excitation due au passage d'un train

Les tests expérimentaux de fiabilité du code de calculétant réalisés, il reste à définir la méthode d'estimationde I'excitation réelle due au passage d'un hain. Pourcela, on observe en un point B situé à prodmité dutunnel l'évolution au cours du temps de l'accélérationponctuelle y (t).

Pour utiliser cette information dans la recherche deI'excitation due au passage du train, on dispose d'uncode de calcul bidimensionnel à déformation plane qui,à partir de la transformé,e de Fourier P(f) d'un signallinéique p(t), calcule la transformê,e de fourier A(f) del'accélération linéique a(t) au point B grâce à lafonction de tuansfert H(f) :

A(f) -H(f) .P(f)f +*

a(t) - h(t) * p(t) _ l__

h (t) p (t-t) dt

Par résolution du problème inverse, la connaissance dea (t) conduit à la connaissance de l'excitation p (t). Afind'appliquer cette démarche à la détermination deI'excitation due au train, il est nécessaire de satisfaireles hypothèses de base du modèle de calcul :

Iinéanté: on admet qu'il n'y a pas d'interactionentre les fréquences contenues dans le signal, d'où lapossibilité de décomposition et de recomposition par latransformation de Fourier;

bidimensionn alité: le problème n'étant pas réelle-ment bidimensionnel, il est nécessaire de recourir à

certaines hypothèses simplificatrices ou/et à des calculsaudliaires pour déduire de la fonction de transfertbidimensionn elle la fonction de transfert tridimension-nelle.

o Une première méthode consiste à approcher, pen-dant le passage du train, le signal induit au niveau desrails par la même fonction u(t) en tout point. Dans lazone consid érê,e, de dimension petite par rapport à lalongueur du train, le problème est alors bidimension-nel.

o Une deudème méthode, que nous avons adoptée,consiste à supposer que chaque point M des rails,d'abscisse x, subit la même excitation mais avec uncertain déphasage x/V.

u(x,t) - u(t À1

V,où V est la vitesse du train.

M (x)

Le problème est alors hidimensionnel et si nousappelons

v(x,t) le signal au point B dû à I'excitation en M,

V(f,x) sa transformé,e de Fourier,

U(f) la transformée de Fourier de u(t) et

H(f,x) la fonction de transfert entre M et B,

alors

V(f,x) - H(f,x) U(f) exp (- 2 inf></V)

N" 29

xB

.BIIII

b

N" 29 REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE

couche 2

exp (iznft)

Si nous appelons w(t) le signal au point B dû aupassage du bain et W(f) sa transformée de Fourier,

I f** 'l

W(f) _ l,J _ _ H(f,x) exp (- 2inf*1v) d*l U(f)

Or, nous disposons par le biais du calcul bidimension-nel de la fonction de transfert q (f)

f * *Tl (fl :

J_ _ H(f,x) dx

dont nous aimerions déduire la fonction de kansfert/r+ æ

K (f) _ | H(f,x) exp (- 2infxlv) dxJ _æ

obtenue par l'expéience in situ.

Pour calculer K (f ), nous définissons un problèmeauxiliaire axisymékique qui donnera une approximationde la forme de la fonction H(f,x) en fonction de x: onconsidère le demi espace hétérogène de mêmespropriétés que le site du tunnel (qui respecte donc lasymétrie de révolution) et on applique sur I'axe desyméhie une force d'amplitude unité et de fréquence f,à une profondeur égale à celle des rails sur le site.L'amplitude de la réponse h(f,x) en un point de mêmeprofondeur que le point B et distant de x de I'axe desymétie, est proche de la fonction de bansfert H(f,x).On peut supposer, en première approdmation qu'elleen respecte la forme en fonction de x.

H(f,x) - A h(f,x) ; A constante

Connaissant la forme de H(f,x) et ayant calculé

f * * f * *Tl (fl _

J__ H(f,x)dx- A J__ h(f,x)dx

on peut facilement déduire A et la fonction de hansfertréelle

f + *K (f) - I H(f,x) exp (- 2lnfxlv) dxJ-*

Fig. 5. Détermination de la formede transfert H(f,x).

de la fonction

qui ouvre la voie à la résolution du problème inverse:

U(f) _W(f) /x(f)

2. nÉnI-ISATION PRATIQUE DE LA VALI-DATTON DU CODE DE CALCUL t4l

La validation du code de calcul a été réalisê,e sur unsite se trouvant à Paris près de la station Ported'Auteuil.

2.t Conditions des essais

Les essais sismiques ont permis d'interpr,éter le sol àI'aide d'un modèle tricouche comportant une couchede remblai, une couche de mames et calcairesremaniés avec inclusions de silex, une couche de craiesous la nappe (fig. 6).

La zone de sol traitée par injections, située autour dutunnel a dû être dotée de propriétés mécaniquesdifférentes de celles du calcaire environnant. Lespropriétés des matériaux en présence ont étê réuniesdans le tableau I; elles résultent des calculs effectués àpartir du profil sismique brut présenté à la figure 7.

Le calcul a été, conduit avec une excitation harmoniqueverticale sifuée sur l'axe du tunnel, d'où la possibilitéde réduire les maillages de moitié, pour des raisons desyméhie. Nous avons parcouru le domaine de fré-quences 10-100 Hz avec un pas de 10 Hz. Pourréaliser un compromis optimurn entre la précision ducalcul (taille de la maille inférieure a l"r/8, si 1,, est lalongueur d'onde des ondes de cisaillement) et soncoût, nous avons choisi un maillage pour les fré-quences 10 à 40 Hz et un auhe maillage, plus fin,pour les firéquences 50 à 100 Hz.

h(frx)

couche

REVUE FRANçA|SE DE GEOTECHNIOUE

Fig. 6. Modèle tricouchedu site de la Porte d'Auteuil.

Les essais harmoniques ont été réalisés aux mêmesfréquences, I'enregistrement du champ vibratoire induitse faisant à partir d'accélomètres piézoélectiques fixésen différents points du tunnel (radier, piedroits et toit)et du sol (en surface et dans des sondages).

La comparaison essai-calcul a ainsi étê faite parconfrontation des courbes de réponse calculées et descourbes de réponse mesurées en différents points dumodèle (points C, E, N, G de la figure 6), mais aussipar le calage des profils horizontaux calculés u ampli-tude-distance à l'axe du tunnel " sur les quelquespoints mesurés de ces mêmes profils.

2.2. Courbes de réponse

L'étalonnage des courbes de réponse calculées sur lescourbes de réponse mesurées est subordonné d'abordau choix des modules des différents matériaux (étalon-nage des fréquences de résonance, étalonnage grossierdes amplitudes) et ensuite au choix de l'amortissement(qui conditionne un étalonnage plus fin des amplitu-des) ; d'où la dualité des courbes calculées présentéessur la fig. 8 correspondant à un calcul sans amortisse-ment (cf. tableau I) et à un calcul avec amortissement(B _ 57" pour les matériaux 1, 2,3, 5 du tableau I).

2.2.7. IuIodèle sans amortissement

Dans le tunnel (point C), calculs et essais se rejoignentpour metke en évidence une résonance peu marquéeà 40 Hz et une auhe plus marquée à 90 Hz. Lesamplitudes calculées étant plus faibles que les ampli-

55

10

Z(m)

Fig. 7. Profils des yifesses sismiqueset coupe lithologique ; interprétation

par un modèle tricouche.* Vitesses de cisailtement mesuréesO Vitesses de compression mesurées

vitesses de cisaillement moyenne par coucheVitesses de compression moyenne par couche.

fudes des mesures, une diminution du module dubéton serait souhaitable.

Dans le sol (points E, N, G), les fonctions de hansfertcalculés sont de façon générale moins amorties queleurs analogues mesurées:

Au niveau du radier (point E), il n'y a pas derésonance expérimentale franche mais un faible maxi-mum relatif apparaît vers 20 Hz et un autre plus net à90 Hz. Le pic à 40 Hz prévu par le calcul n'est pasdécelable expérimentalement. Les amplitudes calculbeset les amplitudes mesurées sont comparables.

A la surface du sol (point N), le comportementvibratoire expérimental peut être raisonnablement pré-vu par le calcul jusqu'à 60 Hz (faible résonance à40 Hz) mais les écarts essais-calculs deviennent impor-tants au-delà de 60 Hz (résonance calcul à 100 Hz tropmarqu ée).

Au niveau des piedroits (point G), essais et calculsdonnent une évolution parallèle jusqu'à G0 Hz aveccependant surestimation par les essais par rapport aux

N" 29

calcaire O

Type de matériauN u méro

dematériau

Module decisa illement

c (MPa)

Coefficientde Poisson

V

AmortissementB%l

Massevolu m iqueP (kg/m')

Remblai 1

2345

671 2935 670

12 6003 500

0,3700,3150,4200,1 600.300

00000

2 0002 0202 1002 5402 675

Calcaire remaniéCalcaire sous la nappeBéton...Calcaire + injections

56

40

Y ,m/rr

30

2A

10

o

40Y,m7.r

30

2A

10

o

10o

N" 29

Tableau l. Propriétés dynamiquesdes matériaux en présence

REVUE FRANçAISE DE CÉOTECHN|OUE

20

Y,m/s

15

10 l,Hz 1OO

t,mlsl

8. - Fonctions de transfert en accélérations verticales (excitation : 106 N/ml) en différentspoints de mesure:

L Mesures interprétées en bidimensionnela Calculs sans amortissements

---- Calculs avec amortissements (Ê : 5o/o).

o

Fig.

calculs; au-delà de 60 Hz, la résonance à 90 Hzprévue par le calcul n'est absolument pas vénhéeexpérimentalement.

2.2.2. Modèle avec amortissement

L'amortissement visqueux n'agit pratiquement pas surles valeurs des fréquences de résonance mais il influenotablement sur les valeurs des amplitudes aux fué-

100

quences de résonance, surtout lorsque ces résonancessont très marqu,é,es (90 Hz).

Sur le tunnel, le spectre calculé avec amortissement esttrop étalé par rapport au specte mesuré.

Dans le sol, la prise en compte d'un amortissement estûès favorable à une meilleure concordance essais-calculs (point E par exemple).

1

o

REVUE FRANçA|SE DE GEOTECHNTOUE N" 29

2.2.3. Conclusion

Il y a globalement un bon accord entre essais et calculs(sauf très localement) à condition d'ajuster les mo-dules: la non linéarité du sol justifie, pâr exemple, dechoisir un module deux fois plus petit que celui qu'il aété en N, au-delà de 60 Hz, à cause de l'ordre degrandeur important des déformations et de l'alluredécroissante des courbes module-déformation l2l; maisla diminution du module conduisant à une augmenta-tion trop consid érable des amplitudes, un amortisse-ment plus grand devra être choisi pour compensercette tendance.

3. UTILISATION DU CODE DE CALCULPOUR LA MISE EN ÉVTOENCE DES PA-RAIVTÈTRES ESSENTIELS DU PROBI-ÈTUE

A côté des paramètres propres au tunnel (formes,dimensions, profondeur) ou de paramètres artificielsdestinés à atténuer les vibrations (revêternent amortis-sant, écran isolant, tranchées, etc. ), ce sont essenti elle-ment comme le monfue bien le calcul lesparamètres caractéristiques du sol qui jouent un rôleprimordial dans les phénomènes de générafion et depropagation des vibrations dues au métro: c'est ce quenous allons voir dans ce paragraphe en examinantY effet de différents paramètres sur les courbes deréponse en surface du sol (point N défini plus haut).

Acc.ho r.(m/sz )

s0

10

0o lo Fr6guence(Hz)

3.1. Paramètres de la loi rhéologique

Comme nous I'avons déjà entrevu lors de l'étalonnagedes courbes de réponse calculées sur les courbesmesurées, la connaissance de la raideur et de I'amortis-sement est essenti elle; le coefficient de Poisson pré-sente une moindre importance.

3.7.7. Influence de Ia raideur (module)

Lorsque le module de cisaillement G augmente (voirfig. 9), le contenu en fréquences tend vers unerépartition plus uniforme comme si, globalement, onaugmentait les impédances complexes (amortissementglobal) d'interaction sol-tunnel. Sachant que le calculsurestime les fréquences élevé,es (voir ç 2.21 et quecertaines résonances sont dues aux réfledons sur le toitdu tunnel (entrée en résonance de la zone de solsituée au-dessus du tunnel, vers 80 Hz, pour G -200 MPa), nous considérerons que les phénomènesd'interaction tunnel-sol se manifestent dans le domaine0 - 70 Hz. Sur cette plage de fréquences, l'efifet deI'augmentation de G, tout à fait équivalent en accéléra-tions verticales et en accélérations horizontales est <( uneffet de rigidification, se traduisant par une augmenta-tion des fréquences de résonance (voir tabl. II) ; ladiminution des amplitudes à la résonance que l'onattendrait normalement est ici occultée à cause deI'augmentation du coefficient d'amortissement.

Ainsi, toute méthode d'amélioration du sol visant àaugmenter le module sera à conseiller:

Le compactage peut être une solution appropnê,edans la mesure où il s'applique non seulement au sol

Acc, vert.( n/s2 )

s0

t0

0100 0r0 100Fr6qrence(Hz)

Fig' 9. - Comparaison des courbes de réponse en surtace du sol, en accélération horizontales (a) etverticales (b) pour une excitation linéique sur le radier de 106 N/mt.

.-.G=200Mpa,B:S%+... +...+... G : 400 Mpa, B : 3%o--o__o G: 4000 MPa, B: I%.

G(MPa)

B(%l

Fréq.(Hz)

Ampl.(m/s2)

200400

4 000

531

405070

172310

58

Tableau ll. lnfluence de l'augmentationde cisaillement sur les courbes de

en accélérations verticales

du moduleréponse

de surface mais aussi au sol de fondation du tunnel(en profondeur) et que I'augmentation du module quien découle soit suffisante (ce qui est possible si lemodèle de départ est faible) : dans la pratique, ce serale cas pour les tunnels construits à fouille ouverte etdont la fouille est ensuite remblayée.

L'injection de matériaux spéciaux rigidifiants autourdu tunnel, si elle provoque la rigidification d'une zonesuffisamment étendue enserrant le tunnel, peut êtrebénéfique.

3.7.2. Influence de I'amortissement

Comme nous I'avons vu lors de l'étalonnage du codede calcul, I'amortissement agit peu sur le contenu enfréquences (voir fig. 8) mais il affecte beaucoup lesamplitudes de résonance (voir fig. 9).

I s'ensuit que toute méthode d'amélioration du solvisant à augmenter I'amortissement est à conseiller en

Acc. hor. m /?s0

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE

cas de résonances très marqu é.es: hétérogénéités lo-cales, injection de matériaux amortissants, etc.

3.7.3. Influence du coefficient de Poîsson

Contrairement au module et à I'amortissement,coefficient de Poisson a une action assez faible surcourbes de réponse (cf. fig. 10: v - 0,30 et v -0,485). Jusqu'à 60 Hz, l'effet est quasiment nul.Au-delà de 60 Hz, la variation de v n'intervient pas entant que cause intrinsèque d'une évolution quelconquedes courbes de réponse mais plutôt en tant que causeindirecte conduisant à l'établissement d'hêtérogénéitésdans le sol (voir $ 3.2.5).

3.2. Influence des hêtêrogénéités

3.2.1.. L'homogénéisation d'un milieu stratifié telque celui qui représ ente le site de la Porte d'Auteuil(cf. fig. 6), c'est-à-dire le remplacement de ce milieuhêtêrogène par un milieu homogène de propriétésmécaniques u équivalentes u, est un procêdé, decalcul simplificateur très courant en mécanique dessols. La figure 11 présente les courbes de réponseen surface (point N) du modèle tricouche et dumodèle homogène équivalent, en supposant que lespropriétés mécaniques équivalentes résultent de lamoyenne des propriétés des trois couches:

N" 29

leles

G-794MPa v_0,355 p-

I-'hom ogénéisation tend à favoriserd'une résonance très marquée, surtout

Acc. Yert. m /sz

2 000 Kg/-3

l'émergenceen accêIéra-

100

s0

r0

0010 010

Fr6quence (Hz)

Fig. 10. Comparaison des courbes de réponse en surface du sol,et verticales (b) pour une excitation linéique verticale sur

- . - . - . v : 0,3 gravier sec

FaFrêquence (Hz)

en accélérations horizontaleste radier de 106 N/mt.

+ ... + ... sol bicouche: graviers avec nappe phréatique sous le radiero -- o -- o v : 0,485 gravier saturé, nappe phréatique au-dessus du tunnel.

(a)

REVUE FRANçAIsE DE cÉorecHNrouE

BO

70

60

50

40

50

20

10

0

Acc hor (t421

10 Fréquence (Hz)

N" 29

1000Fréquence ( Hz )

100

Fig. 11. - Comparaison des courbes de réponse en surface du sol, en accélérations horizontates (a)et verticates (b) pour une excitatioi ,î^iXâ!ioa1,Jî,r?"fffj te radier du tunnet de to6 N/mt.

+ ... + ... + ... Modètà rrornoôcnâ êquivatent.

tions verticales (cf. fig. 11) à 55 Hz. Mais lesfréquences de couches sont systématiquement occul-tées.

Dans Ie cas présent d'une source entenêe, il fautdonc envisager l'homogénéisation avec beaucoup deprudence, l'équivalence modèle hétérogène - mo-dèle homogène loin de la source n'étant pastoujours assurée de façon satisfaisante.

3.2.2. Le substratum rigide influe d'abord sur lafréquence de résonance d'interaction du système tun-nel-sol comme un agent rigidifiant de ce système àmesure que le substrafum est plus u lié " au tunnel. Lafigure 12 montre bien I'augmentation des fréquencesde résonance et la diminution simultanée des ampli-tudes calculées, en accêlérations, à la surface du sol :

voir tabl. Iil.

Un autre effet de la présence du substatum est l'effetde réflecteur des ondes de compression et de cisaille-ment, avec amplification très forte à certaines fré-quences, dites résonances de couche (ici 80 Hz, dansle cas où le substratum sert de soubassement à unecouche d'alluvions de 9 m).

Tableau lll. Effet du substratum rigide i la ré-ponse, résultante esf une superposition de la ré-ponse d'interaction sol-tunnel, de la réponse proprede la couche de matériau meuble située au-dessusdu substratum et de la réponse propre de la zonede sol située au-dessus du tunnel. Les deux modess'occLtltent parfois, d'où des résonances peu percep-tibles.

59

Accélérationsho rizo nta les

Accélé rationsve rtica les

Fréq.(Hz)

Ampl.1m/s2)

Fréq.(Hz)

Ampl.(m/s2)

Su bstratu mtrès profondSu bstratu msans radier

Substratum audessus du toit

30

40

60(peu

percep-tible)

15

10

7,5

35

50(peu

percep-tible)

70

17 ,5

12,5

10

60

Acc hor (n/r2)s0

10

0010

La présence d'un substrafum rigide sera donc unélément à surveiller avec beaucoup d'attention enfonction de sa position par rapport à celle du funnel eten fonction des résonances de couches auxquelles ilpeut donner lieu. Dans la pratique, il est toujoursfavorable d'implanter le tunnel dans le substrafumlui-même.

3.2.3, La position de Ia nappe phréatique (définiecomme milieu à coefficient de Poisson élevél aglt assezpeu sur I'interaction sol-tunnel comme le monhe bienla figure 10, pour les fréquences inférieures à 60 Hz.En revanche, la nappe peut jouer le rôle de rêflecteurd'ondes de compression (voir fig. 10b), avec desrésonances de couches très marqu,ê,es en accêlérationsverticales. La remontée de la nappe sera donc unparamèhe à surveiller essentiellement de ce point devue et non du strict point de vue de la transformationdes propriétés qu'elle entraîne.

CONCLUSION

En résumé, oh obtient une bonne concordance essais-calculs si l'on accepte le préalable indispensable d'uneconnaissance satisfaisante des propriétés des différentsmatériaux en présence et, de manière prépondérante,du sol.

Ce dernier peut être entièrement défini pour leproblème qui nous intéresse par des essais sismiques insitu de type < cross hole , complétés par des essais delaboratoire (cycliques ou de colonne résonante).

Acc50

10

0

Frequence ( Hz)100 o 10

Fr6quence ( Hz )100

REVUE FRANÇA|SE DE CÉOTECHNIOUE

Yert .(^/12 )

L'outil de calcul, ainsi mis au point et validé, conduit àde larges possibilités d'études paraméhiques de pré-vention pour le comportement vibratoire des funnelset, donc, de test pour les méthodes curatives duproblème de la hansmission des vibrations du métroau milieu environnant.

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N" 29

Fig. 12. - Comparaison des courbes de réponse en surface du sol, en accélérations horizontales (a)

et verticales (b) pour une excitation verticale linéique sur le radier du.tunnel de 106 N/ml.. - Pas de substratum (couche d'alluvions semi-in.finie)

+ ... + ... + ... Substratum au niveau du radier (couche d'alluvion de 9 m)o -- o -- o -- Substratum affleurant (tunnel dans le substratum).