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Estimation des ressources min érales d’un gisement d ’uranium par Krigeage Disjonctif Discret

X FREULON*, A. LECUREUIL*, C. DEMANGE*, J. RIVOIRARD***AREVA Mines, Paris la Défense, France**Centre de Géosciences, Mines-ParisTech, Fontainebleau, France

Journées de Géostatistique 2013 - Fontainebleau

Journées de géostatistique 12-13 Septembre 2013 – p.2

Sommaire

Ressources minérales : In Situ ou récupérables

Pourquoi utiliser un Krigeage Disjonctif Discret ?

Mise en œuvre pour l’estimation des ressources récupéra bles

Illustration sur un gisement d’uranium

Conclusions et perspectives


Ressources min érales :In Situ ou récup érables

Modèle de ressources “long terme” Modèle de ressources “court terme”

Teneur du panneau estimée à partir des forages Teneur du SMU estimée à partir des tours de tir

⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗

⊗⊗⊗⊗

⊗⊗⊗⊗

xxx x x

xxx x x

xxx x x

xxx x x

xxx x x

Les ressources récupérables anticipent le modèle “c ourt terme” sur la base 1) des forages2) les hypothèses de sélectivité (SMU+ information u ltime, Bloc Equivalent)Elles fournissent : - la proportion des BE passant l a teneur de coupure : tonnage du minerai, T(tc)

- le métal contenu dans le minerai sélectionné, Q (t c)- la teneur du minerai sélectionné M(T c) = Q(tc)/T(tc)

Panneau

Forages

SMU

Trous de tir


Pourquoi utiliser le Krigeage Disjonctif Discret ? (1/2)

Sur un gisement d’uranium, il s’agissait de vérifie r que les ressources estimées par CU ne dépendaient pas trop de la méthode

� Effet zéro

� Teneurs contrastées

Pourquoi une approche discrète ?� Flexibilité

• Calage du modèle sur les données et non modèle a priori� Robustesse

• Réduction des fluctuations statistiques induites par les données extrêmes => effet de pépite ou écrêtage

� Disponibilité de données sous forme de codes

• Teneur codée sur des données historiques, seuil de détection, effet zéro


Pourquoi utiliser le Krigeage Disjonctif Discret ? (2/2)

Utilisation des modèles discrets :� Simulation d’une variable discrète (Gaussiennes Tro nquées, SIS, modèles booléens ou génétique)

• Représentation de l’hétérogénéité d’un réservoir pour la simulation d’écoulement et de transport réactif

• Contrôle d’une variable continue (teneur, porosité ou perméabilité) par une variable discrète (litho-facies)

• Génération de modèles possibles cohérents avec les observations- Statistiques « empiriques » sur un échantillon de simulations conditionnelles

� Krigeage des indicatrices (ou MIK pour Multiple Ind icator Kriging) pour l’estimation des ressources récupérables

• Limitations- Modélisation des variogrammes complexes entrainant des simplifications abusives- Pas de changement de support mais une correction a posteriori

Des développements peu exploités par l’industrie mi nière :� Equivalence formelle entre le Krigeage Disjonctif D iscret et le cokrigeage de indicatrices (G. Mathero n 1980)� Modèles iso-factoriels discrets et changement de su pport

• Diffusion discrète - Méthodologie générale (G. Matheron, 1984) et - Application à un contexte minier (Ch. Lajaunie et Lantuéjoul, 1989)

• Modèle à résidus d’indicatrices orthogonaux (J. Rivoirard, 1989)� Analyse factorielle par MAF (P. Switzer et A. Green , 1984)


Mise en œuvre pour l’estimation des ressources récup érables (1/2)

1. Discrétisation de la teneur1. Choix des teneurs de coupure 2. Calcul des paramètres des classes de teneur

2. Test de l’hypothèse iso-factorielle1. Analyse par MAF des indicatrices

=> L’hypothèse iso-factorielle est-elle raisonnable ?

2. Caractérisation du premier facteur pour le choix du modèle (RI ou Diffusion)

3. Variographie des facteurs ponctuels1. Calcul des facteurs définis en fonction du modèle r etenu2. Ajustement du variogramme des facteurs

(Uniquement le premier facteur pour une diffusion discrète)

3. Calcul du variogramme de la teneur discrète

4. Estimation des ressources in situ1. Krigeage Simple des facteurs2. Calcul de la teneur moyenne des panneaux (combinais on linéaire de l’estimation des facteurs)


Mise en œuvre pour l’estimation des ressources récup érables 2/2

(Cas d’une diffusion discrète)

5. Estimation globale des ressources récupérables1. Réduction de variance par régularisation du modèle de la teneur

ponctuelle

2. Etablissement du coefficient de changement de suppo rt

3. Calcul de la courbe de sélectivité

6. Estimation locale des ressources récupérables1. Ajustement du variogramme des facteurs des blocs

2. Etablissement du modèle de covariance POINT-BLOC

3. Cokrigeage des facteurs de blocs structurés (KS des facteurs ponctuels et normation)

4. Calcul du tonnage et du métal par panneaux d’estima tion en fonction de la teneur de coupure


Illustration sur un gisement d ’UraniumDiscrétisation de la teneur

Teneur discrétisée ∑=

≥≥ +−×=

N

izZzZi ii

zZ0

)11(ˆˆ1

Courbe de sélectivité

9876543210

Index

4.0710.95%[2, Inf [1.736.26%[1.5, 2 [1.2312.91%[1, 1.5 [0.869.78%[0.75, 1 [0.6213.76%[0.5, 0.75 [0.456.06%[0.4, 0.5 [0.373.04%[0.35, 0.4 [0.323.47%[0.3, 0.35 [0.283.88%[0.25, 0.3 [0.1229.89%[0, 0.25 [

Teneur moyenne

ProportionTranche de teneur

0.561.211.39460.97764.07070.11637 524Discrète 0.591.953.65140.977649.16520.00007 524ContinueGiniCVVarianceMoyenneMaximum Minimum NombreTeneur

Contrôle sur les statistiques élémentaires de la pe rte d’information

Paramètres : nombre et valeurs des coupuresChoix : - minimiser la réduction de la sélectivité

- contraintes opérationnelles (teneur des coupures)


Test de l’hypoth èse iso -factorielle (1/2)

► Min/Max Autocorrelation Factors des indicatrices (Switzer an Green 1984)

� Les coefficients, aji, sont calculés pour que :• Les facteurs Fj soient centrés et normés• Les corrélations entre facteurs soient nulles pour h = 0 et minimale en h0

L’hypothèse iso-factorielle est-elle raisonnable ?

Visualisation des indicatrices dans les plans factorielspour différentes valeurs de h0 (0.5m, 1m, 1.5m, 8.8m)

A Characterisation of Symmetric IsofactorialModels(A. Subramanyam and H. S. Panalai, 2001).

Précédentes utilisations dela décomposition par MAF

Setting up the general methodology for discrete isofactorialmodels (Lajaunie, Ch., and Lantuéjoul, Ch., 1989)

))1(

)(()(

,...1∑

= −×−=

Ni ii

iijij

TT

TIaF

αα


Test de l’hypoth èse iso -factorielle (2/2)

► Caractérisation du premier facteur pour le choix du modèl e� Le 1er facteur est

• monotone ⇒ Modèle de diffusion discrète• un échelon ⇒ Modèle à résidus d’indicatrices• Sinon ? la question est ouverte…

� Choix du modèle sur le premier facteur et vérificat ion sur les facteurs d’ordre plus élevé

Une diffusion discrète est adaptée !

Un processus de diffusion est défini par :- la loi marginale et - le premier facteur monotone (MAF-1)⇒ Les valeurs propres ( λλλλi)0≤≤≤≤i≤≤≤≤N

Les facteurs de diffusion ( χχχχi)0≤≤≤≤i≤≤≤≤N

(MAF-1 = χχχχ1)


Variographie des facteurs ponctuelsDiffusion Discrète (1/2)

))(exp()( 11 hth ×−= λρ

{ } 2)())(exp()( 122λρλρ hhth =×−=

{ } 3)())(exp()( 133λρλρ hhth =×−=

Variogramme horizontal Variogramme vertical

χχχχ1

χχχχ2

χχχχ3

Modèle des covariances

11 =λavec

)(ht un variogramme

“Ajustement dans EXCEL (seuls les modèles stables sont disponibles dans ISATIS)”


Variographie des facteurs ponctuelsDiffusion Discrète (2/2)

Le variogramme de la teneur se déduit de ceux des fact eurs

{ } nhchCN

nn

λρ )()( 11

2 ×=∑=

Utilisation des modèles ponctuels pour la géostatis tique linéaire

Variogramme horizontal Variogramme vertical

)()(ˆ1

0 xccxZ n

N

nn χ×+= ∑

=⇒⇒⇒⇒


Estimation de la teneur des blocs par KDD

KD Discret de la teneurKrigeage Simple des facteurs ponctuels

c1111××××χχχχ1KS c2××××χχχχ2

KS

Application possible aux estimations “court terme”:- La robustesse des indicatrices- La simplicité de l’ajustement (le facteur le plus co ntinu)

+ =+ c3333××××χχχχ3KS UKDD


Estimation des ressourcesDiffusion discrète (1/3)

► Régularisation du modèle de la teneur ponctuelle ( C �� Cv)1. Réduction de variance

2. Ajustement du variogramme du premier facteur des bl ocs

s

n

N

nncvZVar

+×=∑

= λµµ

1

2))(ˆ(

Variogramme de la teneur des blocs 5x5x2

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0 50 100 150 200 250 300 350

h (m, direction horizontale)

Var

iogr

amm

e

Variogramme régulariséVarianceModèle

Variogramme de la teneur des blocs 5x5x2

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0 5 10 15 20 25

h (m, direction verticale)

Var

iogr

amm

eVariogramme régulariséVarianceModèle

{ } nhchC v

s

n

N

nnv

λρλµ

µ)()(

1

2 ×

+×=∑

=

Coefficient de changement

de support ( s > 0)



► Modèle de changement de support� Courbe de sélectivité

⇒ Ressources globales

� Corrégionalisation des facteurs ponctuels et des bl ocs

⇒ Ressources locales par KD

Courbe de sélectivité

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Tonnage (%)

Mét

al (‰

)

POINT

BLOC

{ } { } nhhhxxCov v

s

n

s

nnn

λρλµ

µδλµ

µχχ )()()1()(),( 0 ×

++×

+−=+

{ } { } nhhxxCov v

s

n

snn

λρλµ

µχχ )()(),(2

×

+=+



► Ressources récupérables pour SMU =5x5x2m 3

� Modèle d’estimation «court terme» 5x5x2m 3 / maille 12.5mx12.5m centrée

� Modèle d’estimation «long terme» 25x25x2m 3/ maille 50mx50m centrée• Conditionnement Uniforme du modèle Gaussien• Krigeage Disjonctif Discret pour un modèle de diffusion

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 10 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0

Tonnage (%)

Mét

al (

‰)

P2 - CU SMU=5x5x2

P2 - KDD SMU= 5x5x2

P2 - KDD Plan de tri

1%0%1%KDD/CU

0%-2%-2%KDD/Tri

-1%-2%-4%CU / Tri

Teneur (%)Tonnage (%)Métal (%)Tc= 0.3

- Les modèles « long terme » sont prédictifs !- Dans ce cas le KDD pour une diffusion est cohérent avec le CU (effet zéro + écrêtage)


Conclusions et perspectives

Le KDD est une méthode adaptée à l’estimation des re ssources minérales. Il étend le krigeage des indicatrices ou Multiple Indicator Kriging (MIK) en assurant une modélisation cohérente

� des covariances entre indicatrices � du changement de support

Le KDD peut être utilisé pour� l’estimation « long terme » des ressources in situ et récupérables

• Modèle établi à partir d’une analyse des MAF• Effet zéro, écrêtage, données hétérogènes ou codées, robustesse et flexibilité

� le calcul des modèles « court terme » pour guider la p roduction (contrôle géologique)• Méthode robuste et simple pour établir les plans de tri

Les questions ouvertes sont� L’effet d’information

• Comment intégrer la sélection indirecte sur une estimation ?� Les modèles iso-factoriels plus généraux

• Sommes nous restreints aux deux modèles disponibles (RI ou diffusion discrète) ?• Comment traiter la non stationnarité ?

� Ressources récupérables multi-variables• Règle multi-variable de sélection du minerai en fonctions des coproduits et des pénalisants

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