Essai sur la thorie deseaux courantes / par J.

Boussinesq

Source gallica.bnf.fr / Bibliothque nationale de France

Boussinesq, Joseph (1842-1929). Essai sur la thorie des eaux courantes / par J. Boussinesq. 1877.

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MEMOIRESPRSENTS PAR DIVERS SAVANTS

L'ACADMIE DES SCIENCES DEiMSWFfF DE FRANCE.

UXTfiI DES TOMES;XXiL;ET^X*lV;\

LA THOME-A*VJ^:B#B#IJ#BSfQ*;-

PARIS.

IMPRIMERIE NATIONALE.

M DGCC I.XXVII.

PRSENTS PAR piVERS^SATONTS .. .

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ETINTITUL

:Wmi. SUR LA, THORIE; DE&^Um.: COURANTES.

. Commissait-es : %,

MM. Bonnet, Phillips, de Saint-Venant, rapporteur '''.

i. Une premire rdaction de ce grand travail a t l'objet d'unelecture faite l'Acadmie le 15 avril 1872. Son titre tait: De Vinfluencedes forces centrifuges sur l'coulement de l'eau, dans les canaux pismatiquesde grande'largeur 1. On y trouvait l'tablissement, sur les bases ration-nelles poses dans des notes rcentes'3', des quations du mouvement

"' tic rapport est du 1/1 avril 1873 (Comptes-rendus des sances de l'Acadmie des sciences[I.LXXVI, p. 924).

n RAPPORT.

vari permanent des eaux par filets supposs d'abord sensiblement rec-

tilignes; ensuite l'auteur calculait les effets des forces centrifuges dansles endroits o la surface fluide et, par suite, les filets eux-mmes offrentune courbure verticale prononce. Il en appliquait les rsultats l'tudedes ondulations et des autres circonstances qui accompagnent le passagede l'tat uniforme a l'tat vari, et rciproquement : ce qui le conduisait un premier classement des cours d'eau en rivires et en torrents dedeux sortes.

La-rdaction-nouvelle comprend la fois les tuyaux et les canaux;elle embrasse des sections (luides de diverses formes, notamment cellesqui sont rectangles de largeur trs-grande, constante ou graduellementvariable, et celles qui sont circulaires ou demi-circulaires, considrescomme offrant le second des deux cas en quelque sorte extrmes entre

lesquels on peut, au moins pour l'valuation de certains coefficients,intercaler les autres formes de section par une sorte d'arbitrage trs-suflisant dans les calculs pratiques. L'auteur y traite les cas o le fond,dit canal prsente longitudinalement, comme la surface de ses eaux,une courbure sensible, mme ondule. Des considrations y sont pr- .sentes pour rapprocher davantage des faits, en tenant compte de plu-sieurs lments, les rsultats de l'application du.'thorme de perte deforce vive, de Borda, et de la formule du ressaut. Enfin il y traite, avec

tendue, des mouvements non permanents, comme sont ceux qu'offrentles rivires en temps de crue, ainsi que les parties de leurs cours quisont atteintes par la mare; et, en intgrant ces quations pour de-m-diocres degrs de non-permanence, il trouve des lois conformes aux ex-

priences sur la propagation des ondes et intumescences la surlacedes eaux, eu gard aux pentes, aux frottements et aux courbures quipeinent influer sur cette propagation.

'2. Les problmes du mouvement vari qu'affectent le plus habituel-lement: les eaux courantes sont, en effet, ceux auxquels il importe le

plus aujourd'hui aux hydrauliciens de s'appliquer. Les formules empi-riques qui ont t dresses pour donner des relations entre les quantitscoules, les sections et les pentes, ou, ce qui revient au mme, entreles vitesses de dbit et les frottements moyens de l'eau contre les paroisentre lesquelles elle coule, ne sont relatives qu'aux mouvements uni-formes. Il faut absolument, pour les calculs de mouvements varis, oles rapports mutuels des vitesses en un mme endroit ont d'autres va-

RAPPORT. ru

leurs, considrer en dtail celles que prennent individuellement lesdivers filets; et, par une suite ncessaire, il faut connatre les intensitsde leurs actions latrales muluelles, appeles les frottements intrieursdu fluide.

La question de l'valuation de ces frottements des filets ou des cou-ches fluides a t longtemps, comme On a.eu occasion de le dire ailleurs W,une vritable nigme dont on cherchait mal, et par suite vainement, lemot. On supposait les mouvements molculaires toujours continus etrguliers, et l'on voulait que les intensits des frottements des filets lesuns contre les autres ne dpendissent que de leurs vitesses relatives,bien que de nombreux faits tendissent les faire dpendre aussi des di-mensions des sections fluides' 2' et, chose plus singulire, des vitessesabsolues(3). L'auteur du mmoire que nous examinons a su tout concirlier, et il a donn, pour les frottements fluides, des expressions d'inten^-sils s'accordant avec les diverses expriences, en faisant une distinctionentre les mouvements tout fait rguliers, continus et simples, tels queceux qui doivent avoir lieu dans l'coulement par de trs-petits tubes

polis, et les mouvements tournoyants et tumultueux( 4) se produisantinvitablement (ainsi qu'il le prouvait dj en 1868 *5') dans des espacesd'une certaine tendue transversale, espaces o l'on n'observe une va-riation continue et rgulire que dans les vitesses moyennes, locales quirgissent, en chaque endroit, Ja translation des lments ou l'coulementdu fluide, en abstrayant ses rotations et oscillations. Dans ces espaces-l,t;t vu les brusques changements de grandeur des vitesses relles d'un

point des points voisins, le frottement mutuel des couches est d'unetout autre nature que dans les espaces capillaires. Son coefficient, ou ce

par quoi il faut, pour en avoir l'intensit, multiplier la diffrence desvitesses'locales de translation des filets conligus, est normment plus

m On peut voir ce sujet un Mmoire sur l'hydrodynamique des cours d'eau aux Comptesrendus, ?.C fvrier, /i, 11 cl 18 mars 1872, t. LXX1V, p. 570, G/ig, Cn3, 770.

tsJ Comptes rendus, 16 fvrier 18/iG, t. XX11, p. 3oy. Ibid. 2 G aot i85o, t. XXXI,j). 286. Annales des mines, l. XX, i85i, p. 219, ou n 1/1 du mmoire : Formules et tablesnouvelles pour les eaux courantes. Darcy, Recherches sur les mouvements de l'eau dans lestuyaux, cli. v, Observations gnrales, p. 181.

(3) Bazin, Recherches hydrauliques, 1"partie, i8C5; Introduction, p. 3o.(i' l'oneelet. Introduction la mcanique industrielle, n" 376.>5' Mmoire sur l'influence des frottements dans les mouvements rguliers des fluides, fin du S i.\

p.4o2, au Journal de M. Liouvillc, t. XIII. Voyez aussi le mmoire cit sur l'Iiydrodynumiquides cours d'eau, 4e article (18 mars 1872), n 1 i,p. 771 du tome LXX1V des Comptes rendus.

A.

iv RAPPORT. .

considrable que dans les tubes de moins d'un millimtre de diamtresur lesquels feu Poiseuille a fait ses expriences. Au lieu d'tre constant,il dpend, en chaque endroit, comme a dit M. Boussinesq, de l'intensitde l'agitation tourbillonnire et des pertes ou dissimulations considrablesde force vive qu'elle entrane. Il peut varier du simple au centuple et

plus, suivant les dimensions transversales de l'espace o les tourbillonsont la facult de se dvelopper, suivant les vitesses contre les parois oils prennent naissance, et suivant mme la forme du Contour de lasection et les distances ce contour, partir duquel les tourbillons vonttantt converger, tantt diverger en se propageant dans les autres par-ties du mme espace.

3. L'auteur, aprs un prambule qui rsume clairement son m-moire, dmontre d'abord ( i et n) que les quations de l'hydrodyna-mique peuvent tre poses pour les vitesses qu'on vient d'appelermoyennes locales, autour desquelles oscillent en chaque point, avec unesorte de priodicit, les vitesses molculaires relles; qu'on peut mme

composer avec leurs drives, pour avoir les actions intrieures, aussi

moyennes locales, qui sont dveloppes en ces points, les six formulesde composantes de pression, tant normales que tangentielles, dePoisson, Cauchy etNavier; mais pourvu que l'on regarde comme variabled'un point . l'autre ce coefficient de frottement intrieur e qui y affecteles vitesses de glissement, ainsi que les diffrences, deux deux, decelles d'extension!l).

Puis ( m), faisant, pour l'intensit tourbillonnire sur laquelle di-vers faits concordent fournir des documents', des suppositions plau-sibles et raisonnes, il attribue ce coefficient s des expressions dontl'une, relative aux canaux ou tuyaux section rectangle trs-large, est:

proportionnelle la fois la profondeur totale et la vitesse au fond,el^dont l'autre, relative aux sections circulaires ou demi-circulaires, l'estau rayon, la vitesse contre la paroi, enfin au rapport du rayon ladistance de chaque point au centre, o les tourbillons vont en quelquesorte s'accumuler avant de se dtruire (comme disait Lonard de Vinci),ou de se rsoudre en vibrations calorifiques.

'I] Ainsi qu'il a t dil ailleurs. Note sur la dynamique des jluides, aux Comptes rendus,27 novembre i843, t. XVII, p. 12/10. Rapport sur un mmoire de M. Kleili, 12 fvrier

1872, t. LXXIV, p. 426. Mmoire cil sur l'hydrodynamique des cours d'eau, icr article,26 fvrier 1872, t. LXXIV, p. 072.

RAPPORT. v

Ces suppositions se trouvent justifies ( Vit et vm) par la mise enquation, d'abord, du mouvement uniforme ou par filets tous parallles;car il en rsulte pour les vitesses individuelles, diverses distances dela surface libre dans le premier cas, et du centre dans le deuxime, deslois reprsentes par des paraboles du deuxime degr et du troisime

degr respectivement; ce qui se trouve .conforme, ainsi que d'autresrsultats du calcul, aux expriences hydromtriques, convenablementdiscutes, de Dary, de M. Bazin, de M. Bileau, etc.

C'est mme de l et des rsultats moyens d'expriences de jaugeagedes courants que M. Boussinesq dduit les valeurs approches ou

moyennes o,ooo6386 et 0,0008094 attribuer deux certains nom-bres, l'un A, entrant dans ses deux formules du frottement intrieur,l'autre B, par lequel il multiplie le carr de l Aotesse aa contre les paroisdu canal, pour avoir, en. chacun des points de ces parois, le frottementretardateur qu'elles exercent par unit superficielle, divis par le poidsde l'unit de volume du fluide. Ces deux nombres, au reste, varient avecle degr de rugosit du sol, et aussi, le second surtout, un peu avec le

rayon moyen de la section, ainsi qu'avec a0 elle-mme.h. Muni des expressions ainsi construites des deux sortes de frotte-

ments, l'auteur peut aborder la mise en quation du problme du mou-vement vari permanent.

On sait qu'une solution de cet important problme a t proposeds 1828 par M. Blangeru) et par Poncelet(2), qui, pour un courantcontenu dans un lit prismatique, ont introduit dans l'quation du mou-vement un terme valuatif des inerties mises en jeu par le changementde la vitesse moyenne d'une tranche l'autre. Vauthier, en i83(i(3), arendu cette solution applicable un lit de forme quelconque; et, lamme anne, Coriolis l'a modifie(4), en observant que, dans le termequi provient de l'inertie ou du changement de grandeur de la force vivedes tranches fluides, on doit, en raison de l'ingalit des vitesses de cesdivers filets, affecter le carr de la vitesse moyenne d'un coefficient

(1) Essai sur la solution de quelques problmes relatifs au mouvement, permanent des eaux cou-rantes, hr. m-/i, 1828.

(2) Cours (ultrieurement lithographie) de l'cole de Metz. Levers d'usines.(3) Annales des ponts cl chausses, 1" semestre de i836 : De la thorie du mouvement, perma-nent, des eaux.

(4) Annaks des ponts et chausses, mme cahier 1 Sur l'tablissement de la formule qui donne tafigure des remous et de la correction y introduire.

vi'

RAPPORT.

numrique, appel a, un peu plus grand que l'unit, et mesurant lo

rapport moyen des cubes des vitesses individuelles au cube de cette

moyenne.Tout le monde peu prs, depuis, a pos l'quation la manire

de Coriolis, par le principe des forces vives, en supposant, expliciterment ou implicitement, que les frottements tant intrieurs qu'extrieursont, dans chaque tranche, la mme intensit qu'ils auraient dans unmouvement uniforme, pour les mmes sections et la mme vitesse

moyenne travers chacune, en sorte qu'on pt. calculer la somme totalede leurs travaux en multipliant le seul frottement des parois, tel quel'valuent les formules empiriques du cas de l'uniformit, par l'espaceparcouru en vertu de cette vitesse moyenne'".

M. Boussinesq a fait voir, ds 1870 et 1871, que cette suppositionrelative aux travaux des frottements est doublement inexacte. Aussi ilne se sert point du thorme des forces vives, dont l'emploi parat de-voir tre ici abandonn; car rien n'enseigne apriori, dans le mouvementnon uniforme, quel doit tre le travail des forces intrieures. H fait

usage du thorme des quantits de mouvement, ou, ce qui revient, au

mme, il pose, la manire d'Euler, les trois quations de l'quilibredynamique, dans une direction longitudinale sensiblement horizontaleet dans deux directions perpendiculaires, dont l'une est sensiblementverticale, d'un lment fluide rectangle, sous l'action de la pesanteur, del'inertie, des pressions normales, enfin des frottements ou pressionstangentielles qui sollicitent ses faces.

Il se borne considrer le mouvement graduellement vari-, en appe-lant ainsi celui dont la non-uniformit dpend de quantits dont lescarrs et les produits ensemble sont supposs ngligeables dans les cal-culs; telle est, parmi ces quantits, l'inclinaison de la surface du fluidesur le fond du lit o il coule.

5. En ne s'occupant d'abord que des portions de courant dans les-

quelles la courbure des filets est insensible, en sorte qu'on puisse abs-traire les forces centrifuges, on lire de deux des quations diffrentielles,

pour la pression, sa valeur purement hydrostatique. En la substituantdans la premire des trois et en intgrant tous les termes depuis la sur-face jusqu'au fond ou aux parois, il ne reste d'autre frottement que celuiqu elles exercent sur les filets fluides coulant le long de leurs surfaces.

(0 Cours fait l'cole centrale par M. Blanger, lithographie en 1846, S xi cl xu.

RAPPORT. vu

L'inertie qui dpend d l'acclration longitudinale est exprime par la

somme de trois termes diffrentiels, que l'auteur rduit un seul au

moyen de l'quation de continuit ou de conservation des volumes, en y

joignant la supposition., ici suffisamment approche, que la petite incli-naison des filets fluides varie linairement depuis la surface ou depuisson filet central jusqu'au fond ou aux bords.

11 arrive ainsi une quation de mouvement qui a de l'analogie aveccelle que fournit le thorme des forces vives; mais il s'y trouve, deuxdiffrences essentielles.

L'une consiste en ce que le terme provenant des inerties est gal ladrive longitudinale d la hauteur due la vitesse moyenne, multi-

plie , non pas par le coefficient a de Coriolis, mais par un autre nombredont l'excs sur l'unit se trouve environ trois fois moindre, et qui estle rapport moyen des carrs des vitesses individuelles au carr de la vi-tesse moyenne travers une mme section transversale, au lieu d'trecelui des cubes des mmes vitesses.

L'autre diffrence provient du frottement retardateur du fond ou des

parois. Ce frottement dpend des vitesses des filets qui leur sont con-

tigus : or elles ont, dans le mouvement vari, d'autres rapports avec lavitesse moyenne que dans le mouvement uniforme. Il faut donc, pouravoir la vraie valeur du frottement en question, ou de ce qu'il exigede pente de superficie pour tre surmont, ajouter au terme exprimantla valeur qu'on lui attribue pour mme vitesse moyenne dans le mouve-ment uniforme un autre ternie, qui dpend du degr de convergenceou de divergence des filets fluides. Comme la quantit par laquelle ce

degr se mesure est suppose assez petite, ainsi qu'on vient de le dire,pour que son carr soit ngligeable, on trouve que le terme, ou la penteadditionnelle dont il s'agit, revient la drive de la hauteur due lavitesse moyenne, multiplie encore par un coefficient numrique, quiest lgrement variable avec la forme de la section fluide du coursd'eau dont on s'occupe.

En appelant ce second coefficient, et 1 +>; le premier (celui qui,dans l'expression de l'inertie, vient de l'ingalit des vitesses traverschaque section), I la pente de superficie, qu'on peut aussi dsigner par(7s' a"v^e' Par rapporta l'abscisse longitudinale 5, de l'ordonne dela surlaee fluide au-dessous d'un plan horizontal fixe, enfin p la densit, ,7

vin RAPPORT.

la gravit et F l'intensit moyenne du frottement de l'unit superficielledu fond et des parois autour de la section dont l'abscisse est s, telle queserait cette intensit dans un mouvement uniforme pour mme vitesse

moyenne U, mme superficie coet mme contour mouill % del section,

l'quation nouvelle dont nous parlons est

6. Pour calculer les deux coefficients i +>7 et , devant affecter la

drive longitudinale de la hauteur due la vitesse de dbit U du fluide,il faut connatre, pour chaque section, les Altesses individuelles dontelle est la moyenne. La dtermination d'une quelconque de ces vitesses

dpend d'une quation diffrentielle du deuxime ordre dont le secondmembre contient, au carr, l'inconnue engage dans une intgrale quiest affecte de la petite quantit mesurant le degr dans-lequel le mou-vement est vari. Elle ne peut pas s'intgrer exactement; mais l'auteurla rsout par un procd ingnieux d'approximations successives. Il con-siste remplacer d'abord par zro ce second membre, c'est--dire

effacer provisoirement les termes dus la non-uniformit; tirer alorsde l'quation, au moyen dune double et facile intgration de ses termes

pour toute l'tendue de la section fluide * une premire approximationfournissant ce qu'est, dans le mouvement uniforme, la vitesse particu-lire cherche; puis en substituer l'expression, qui est un binme du

second degr, dans le deuxime membre rtabli. Les intgralions de

termes, aprs cette substitution, sont aussi faciles que quand ce membre

n'existe pas, et l'on obtient ainsi, pour la vitesse une profondeur quel-

conque, une expression du sixime degr ou du neuvime degr, sui-

vant que la section est rectangulaire large ou est circulaire ; et cette ex-

pression conduit la deuxime, approximation de ce qu'on cherche. Orcelle-ci est suffisante dans la question pose; car si, par le mme pro-cd, on construisait (ce qui serait aussi facile) une expression de troi-sime approximation, elle ne diffrerait de ce que donne la deuxime

que par des termes affects de ces carrs et produits de quantits trs-

petites qui ont t ngligs dans tout le cours du calcul.

Les coefficients numriques 1 -f- J; et sont faciles tirer de l. On

reconnat qu'ils sont fonctions du seul rapport -r- des deux nombres A,

B entrant respectivement (n 3) dans les expressions attribues au frot-

RAPPORT. ix

tement intrieur ou mutuel des filets, et au frottement extrieur ou des

parois.Pour les sections rectangles considrablement plus larges que pro-

fondes, on a

et, pour les sections circulaires ou demi-circulaires, on a _

fi 'ou, respectivement, en adoptant -j- = 1,267/1, donn, comme on a dit,

par des rsultats moyens des expriences sur le mouvement uniforme,

11 en rsuite (i,o85i dans les canaux rectangles larges,

( 1,138o dans les canaux demi-circulaires.

La moyenne arithmtique de ces deux nombres est 1,11. Elle estapproche de la valeur que plusieurs ingnieurs adoptent, dans la pra-tique, pour le coefficient a de Coriolis, affectant comme 1 -\->)-\- la.

Il 2drive de dans l'quation du mouvement. Cette concordance appa-rente ne doit point faire penser que la manire nouvelle d'tablir ce quiest relatif au mouvement permanent revienne le moins du inonde l'autre, que nous avons dit tre entache de deux erreurs. Coriolis, qui.d'aprs des donnes hypothtiques sur la distribution des vitesses desfilets fluides, portait la valeur de jusqu' 1,1 8 et mme 1,l\j (l), n'au-rait trouv que i,o5i5 s'il avait dtermin, comme ci-dessus, ce quecette distribution peut tre dans un lit rectangle offrant, comme la plu-

(1) Mmoire cit de i836, p. 327 et 33o.SAV. KTIUNG. t. XXIII. N 1. u

x RAPPORT.

part des cours d'eau naturels, une largeur considrablement plus grandeque. la profondeur; en sorte que la concordance des rsultats n'existerellement pas plus que l'accord des principes/

M, Boussinesq remarque aussi qu'on a peu prs : :.

== 3,85-v

pour l'une comme pour /.l'autre des deux forms extrmes de sections, et

que ce rapport 3,85 de >; subsiste trs-peli prs lorsqu'on fait va-

t'ier trs-sensiblenint la valeur numrique de j Cette particularitfournit le moyen de dduire approximativement de >;, qui- est plusfacile calculer pour des sections de toute forme, puisqu'il ne dpend, l'approximation o l'on se tient, que ds distributions de vitesses ducas de 1uniformit du mouvement.

Au reste, comme la drive de la hauteur due la vitesse moyenneest faible dans le mouvement que nous avons appel graduellemenlvari,de petites erreurs sur les valeurs des coefficients >j et ont peu d'in-fluence; et l'on a pu, sans craindre d'altrer sensiblement les rsultats,

faire entrer dans le calcul du rapport -r- dont ils dpendent l'emploi

d'une formule qui, comme celle de Tadini -I= o,ooo/i U2, ne fait

que reprsenter une moyenne de rsultats d'un grand nombre d'observa-tions sur des cours d'eau de toute dimension avec parois en terre.

CeT emploi n'empche nullement de se servir de formules empiriquesplus prcises, telles que celles de M. Bazin, pour fixer la valeur du

terme principal de l'quation du mouvement, savoir : la partie &s de

la pente de superficie qui serait due au frottement total des parois pourmme vitesse moyenne dans le mouvement uniforme.

On voit aussi, et ce n'est pas une des moins utiles consquences del'examen analytique auquel s'est livr M. Boussinesq, qu'il n'y a pasbeaucoup lieu de s'inquiter, comme on fa fait quelquefois(i), d'oprerl'intgration, par coordonnes courbes ou par d'autres moyens diffi-

ciles, d'une quation aux vitesses pour des sections de diverses formes.

Il est penser qu'on n'en tirerait pas, pour ce qui doit affecter ^- () >

m Rapport sur un mmoire de M. Kleitx, du i -i fvrier 1872 [Comptes rendus, t. LXXIV,p. 4aG).

RAPPORT.- xi

des nombres s'cartnt sensiblement de ceux qui viennent;_d'tredonns11'. , .......:;. .-

T. L'auteur tire (-xiii, xiv) de l'quation ainsi tablie diverses con-squences gnrales. i. .-,--.;_

Une alimentation constante en amont et un mode d'vacuation ou dedbouch,constant en aval dterminent la permanence, et mme, le

plus ordinairement, sur de longues portions, un mouvement assez gra-duellement vari pour tre rgi par l'quation qui vient d'tre donne;en spr;te qu'il suffit, avec le dbit, de connatre, en un point, ou la

profondeur d'eau, s'il s'agit d'un canal dcouvert, o la pression, s'il s'agitd'un tuyau,"pour dduire numriquement tout le reste de proche en

proche. Mais ces portions peuvent, mme avec un fond et des parois

coupe longitudinale rectiligne, tre spares par des portions pluscourtes, o fcoulement suit d'autres lois, pit ou point connues, aux-

quelles cependant on supple avec approximation , en invoquant deux

principes, savoir : pour ls tuyaux, celui de perte de force vive de Borda ,et, pour les canaux, celui de la formule du ressaut de M. Blanger;car ils fournissent une relation, soit entre les pressions, soit entre les

profondeurs d'eau en amont et en aval de ces parties. L'auteur apporte ces deux principes un perfectionnement par la mise en compte, im-mdiatement en aval comme en amont, des ingalits de vitesse desdivers filets fluides, et surtout de la partie du frottement des parois quiprovient, comme on a dit, de ce que le mouvement y est vari. Il arriveainsi des rsultats dans un accord trs-satisfaisant avec l'exprience,car il obtient, par exemple, le vrai coefficient o,8a del dpense four-

{ 1) M. Boussinesq a dmontr depuis {n 45 bis du mmoire) que l'on a pour toute forme dela section :

n dsignant la vitesse a travers l'lment quelconque da de la section a-, dans toute l'tendue

de laquelle les deux intgrales sont prises; et la moyenne U tant | Cela est sensi-blement d'accord avec (3 3,85 r/, vu qu'on a. a H-2,p,2 5> plus approximativement quel+3>?. On voit que le coefficient total i + >; + , qui entre dans l'quation nouvelle dumouvement permanent, excde l'unit presque { fois plus que no. fait le coefficient

xii RAPPORT.

nie par les ajutages cylindriques, tandis que le principe de Borda, telqu'on l'applique ordinairement, donne o,85.

Ensuite ( xv, xvi) il considre le cas particulier d'un canal dontle lit est prismatique, ou au moins est tel que l'eau puisse y couler d'un

mouvement peu prs uniforme. L'uniformit tend s'y tablir; mas, moins de dispositions tout exceptionnelles l'origine et l'embou-chure, il se trouve toujours deux portions plus ou moins longues, versamont et vers aval, o le rgime uniforme ne saurait avoir lieu. 11 y a,donc gnralement un endroit du courant o le rgime uniforme s'ta-blit, et un autre o il se dtruit. La destruction, du ct d'aval j s'opresans ressaut ou avec ressaut, selon que la vilesse de rgime uniforme estinfrieure ou suprieure celle qu'acquerrait un corps tombant libre-ment d'une hauteur gale la demi-profondeur moyenne rpondant-aumme rgime, cette hauteur tant divise par le coefficient, Un peu au-dessus de l'unit,: appel i -+- ;4- ci-dessus.

Si. l'on admet, comme le remarque l'auteur, que le. frottement moyendu fond par unit superficielle, dans le mouvement uniforme, a pourmesurele produit du carr de la vitesse moyenne par un nombre cons-tant, le caractre distinctif des deux cas revient ce que la pente soit,pour l'un, au-dessous, pour l'autre, au-dessus du quotient de ce nombre

par la densit de l'eau et par le mme coefficient i -f->j + . Cela fait, il' -j o.ooolfd o.oooi t),8oq n raveciesdonnes moyennes ci-dessus, -'='. M,{.'^==0,00001,

>'.+Jj+ i,o85

pour la pente de sparation des deux espces de cours d'eau, auxquelsl'un de nous a propos, en 1851 et en 1S70, d'affecter les deux dno-minations de rivire et de torrent^, parce que leurs proprits comparessont bien en rapport avec l'ide gnralement attache ces deux ex-

pressions. .8. Aprs une digression (S xvn) relative aux effets produits la longue

par l'action des eaux sur le sol terrestre, auquel elles donnent la formed'une surface particulire divise en versants, ainsi que sur le vritablecaractre des lignes de fate et de thalweg, qui sparent ceuxLci, et aprsavoir ( x'v'in, xix, xx) tabli l'quation du mouvement eu gard aux

(,) 1 Antudes des mines, i85i, 4e srie, t. XX, p. 320 ; n 38 du mmoire: Formules ettables nouvelles pour les eaux courantes ;

Kl 20, pour mieux motiver ces dnominations, Comptes rendus, 18 juillet 1870, t. LXXI .p. 19'L

'

:" "

RAPPORT.'

xni

courbures et aux forces centrifuges, M. Boussinesq revient ( xxi), enmettant en oeuvre ce dernier lment, sur les circonstances qui pr-cdent l'tablissement et la destruction du rgime uniforme; et il

prouve la ncessit de distinguer une classe intermdiaire de cours

d'eau, qu'il a appels torrents depente modre. Il trouve qu'il faut abaisserd'environ o,ooo3 la limite.suprieure del pente des rivires (ou larduire o,oo33 moyennement), si l'on veut que les circonstances dela destruction du rgime uniforme, vers aval, puissent se calculer sansavoir tenir compte de la courbure de la surface fluide.

Dans les mmes cours d'eau de la premire classe (les rivires),l'uniformit s'tablit, vers l'amont,; o le rgime passe, en descendant,de l'tat vari l'tat uniforme, avec des ondulations de superficie, parconsquent avec des courbures sensibles,,auxquelles;il y a lieu d'avoir

gard.Dans les torrents de pente rapide, dont il faut alors porter la limite

infrieure moyenne o,oo3g, le rgime uniforme, au contraire, s'ta-blit graduellement, sans intervention sensible des courbures; et il sedtruit, vers l'aval, rapidement ou avec ressaut, comme on a dit.

Enfin, dans les cours d'eau intermdiaires, dont la pente de fondserait renferme entre des limites o,oo33 et o,oo3g, l'influence delcourbure des filets fluides ne peut tre nglige ni l'endroit o le

rgime s'tablit, ni .celui o il se dtruit pour faire place, vers aval,au rgime vari; en sorte que ces torrents de pente modre tiennent,sous le rapport dont il s'agit, des deux autres catgories de coursd'eau.

9. L'auteur arriv ( XVIII, xix) l'quation complte dont nousvenons de parler, tenant compte des courbures, en conservant dans lescalculs la partie dynamique des pressions due aux composantes trans-versales d'acclrations ou aux inerties dviatrices. Elles sont exprimespar trois termes diffrentiels, qu'il peut rduire un seul au moyen del'quation de continuit lorsque le canal est suppos de largeur cons-tante.

Le calcul de ces forces, et surtout son rsultat, serait d'une exces-sive complication, si on l'oprait en ayant gard exactement aux diff-rences entre les vitesses des divers filets fluides. Aussi l'auteur se borne en indiquer la marche; et, comme les termes dus aux forces centri-fuges sont, au demeurant, assez petits par rapport aux autres dans les

jtiv RAPPORT.

conditions que l'on suppose remplies, il remplace, dans l'valuation destermes nouveaux , toutes ces vitesses par leur moyenne U.

Il trouve par deux approximations obtenues comme ci-dessus que, sii reprsente la pente du fond du canal, h la profondeur d'eau et, par

consquent, y-la courbure du fond, -p==-p-^ celle del surface,

il suffit, vu l'quation de conservation des volumes/tU = const., de re-

trancher du terme (i 4- y -j-) -=- () de l'quation (nn 5) du mouvement

par filets rectilignes l'expression

pour avoir l'quation du mouvement avec filets courbes.Cette quation se prte, aussi bien que celle qui est relative aux cas

des filets rectilignes, dterminer numriquement de proche en prochela suite des pentes de superficie qu'un dbit donn fera prendre uncourant, moyennant un peu plus de donnes initiales.

10. Mais elle peut fournir aussi plusieurs consquences gnrales.Si l'on suppose, en effet, d'abord (S xx) que le fond n'a pas de cour-

bure, ou qu'il n'y en a qu' la surface de l'eau, on la change en une

quation diffrentielle du troisime ordre en h et s, qui devient linaireet intgrable quand, au lieu de la hauteur d'eau variable U, on prend

pour inconnue la proportion

RAPPORT. Xun profil rectiligne asymptotique, autour duquel serpentait le profilainsi ondul.

Ls exponentielles sont exposant rel, et il n'y a pas d'ondulations l'endroit o s'tablit le rgime Uniforme, pour les torrents classsci-dessus comme rapides, et aussi dans tous les endroits o ce rgimese dtruit, doucement pour les rivires et avec ressaut pour ls."tor-rents.' '':."

Mais les ressauts ds torrents:, ou modrs o.u- pas trop rapides, ne

s'oprent pas d'un seul bond. En effet, dans l'quation diffrentielle

qui leur est relative, et o se trouve engage au troisime ordre la pro-portion is du rehaussement, il faut, pour obtenir celle-'ci jusqu' unecertaine grandeur, conserver le plus influent des termes qui empchentl'quation d'tre linaire. Alors on la rsout par un procd d'approxi-mations successives : ce procd fournit une expression qui, par,saforme,met mme d'tudier une une les diverses parties del coupelongitudinale du ressaut.

Ces parties j qui se raccordent l'une avec l'autre, sont alternativementconcaves et convexes. L'auteur parvient, par d'autres artifices d'ap-proximation , caleulerles ordonnes des points hauts et des points basde ces ondulations, qui s'lvent par gradins jusqu'au niveau suprieurdu ressaut.

Les expriences de M. Bazin apportent une remarquable confirma-tion cette thorie. Les nombreux ressauts que cet ingnieur a observssont, les uns longs, les autres courts. Les premiers se produisent dansdes torrents peu rapides et sont sillonns toujours transversalementd'ondulations, comme si l'ascension de feau tait hsitante et mal assu-re. Les seconds, produits exclusivement dans des cours d'eau d'unegrande pente, sont les seuls dans lesquels la surface de l'eau s'lve sansosciller, d'un seul bond et comme pousse fortement par ce qui prcde,bien quil y ait parfois encore, mais aprs le gonflement et non au bas,un certain nombre d'ondulations transversales.

11. Deux articles intressants sont consacrs tudier, en rtablissantki courbure du fond, l'influence qu'elle peut avoir, surtout lorsqu'elle estalternative ou de deux sens opposs, sur la surface fluide, les profon-deurs moyennes tant peu au-dessus ou au-dessous de celles du rgimeuniforme pour mme dbit et mme pente gnrale ou moyenne du fond.L'intgration est surtout facile quand les courbures du fond offrent des

xvi RAPPORT.

ondulations toutes d'une mme longueur, suppose sensiblement plusgrande que la profondeur d'eau. Et si elles sont aussi de mme hauteur,le rsultat apprend que l surface prsentera elle-mme des ondulations

rgulires, gnralement en. avance sur celles du fond, mais concor-dantes dans un cas remarquable. ,,;

De tous ls cours d'eau, les torrents de pente modre sont ceux dontla surface reflte avec le plus d'amplification les ondulations rguliresdu fond. Les torrents rapides viennent ensuite; et ceux qui ont le plusd pente en amoindrissent l'amplitude verticale, etc.

12. La troisime et dernire partie du mmoire de M. Boussinesq.( xxvr, la fin) traite du mouvement non permanent, suppos toujoursgraduellement vari. Dupuit, le premier, en a cherch les quations'" :l'une des deux qu'il a poses, celle qui exprime la continuit ou ia^on-servation du volume des tranches fluides, est exacte, mais applicableseulement un canal rectangle., avec des vitesses supposes toutes

gales travers une mme section. Il s'est tromp pour l'autre, et l'unde nous a tabli, dans des termes diffrents(2), cette quation princi-pale, qui est celle o entrent la pente, l'inertie et le frottement dufond.

M. Boussinesq, aprs l'avoir vrifie pour le cas nonc, ainsi quel'extension qui avait t donne la premire pour toute forme de sec-tion et toute distribution des vitesses, est parvenu tablir l'quationprincipale, en ayant gard aussi l'ingalit ds vitesses des divers filets,et mme ensuite leur courbure, en se servant dos mmes formulesde frottement intrieur et extrieur, ainsi que del mme mthode d'ap-proximations successives dont il avait fait usage pour le mouvement

permanent.Cette quation et celle de continuit, exprimes avec les notations

ci-dessus, sauf un nouveau coefficient numrique,

'"' tudes thoriques et pratiques sur le mouvement des eaux, deuxime dition ( i863 ), eh. v,n 102.

(2' Comptes rendus, 17 et 2/1 juillet 1871, t. LXXIII, p. i5i-i5i, 238-/IO.

RAPPORT. xvn

sont, pour un canal rectangle, vu que -=t> et en abstrayant d'abord

les courbures,

Il transforme la premire de ces deux quations au moyen de la se-

conde, et, en introduisant la pente de fond

en mme temps qu'il attribue au frottement du fond Ftl du cas de l'uni-

formit une valeur pgbU"*, o b est un coefficient suppos, comme ci-

dessus, peu variable, il en tire plus loin diverses consquences.

Lorsque le fond et Ja surface suprieure ont des courbures de gran-, .,1 1,1 di dl di d*h -i r , i ,deur sensible, reprsentes par-,-,

-r==T'l^' "- aut' en valuant

de la mme manire que ci-dessus leur petite influence comme si toutes

les vitesses taient gales la moyenne U, ajouter au second membredel premire quation le terme

Mais l'auteur remarque, plus loin ( xxxvi), qu'il y a des circonstances par exemple quand on a faire le calcul de la propagation d'ondes dansun sens contraire au mouvement de l'eau d'un canal, o l'ingalitdes vitesses peut influer sur la grandeur des forces centrifuges; et ildonne les rsultats de longs calculs dont il rsulte alors des termes af-fects des drives secondes de h, outre ceux qui le sont des drivestroisimes.

13. Sans entrer dans les nombreux dtails, soigneusement tudis,

que contient cette partie dlicate et difficile de son mmoire, parlonssuccinctement de l'application qu'il fait des quations du mouvementnon permanent la recherche de la propagation des ondes et intumes-cences dans des canaux en pente, o l'eau est anime d'un mouvement

permanent approchant d'tre uniforme.

SAV. iVni.iNG. t. XXJ1J. N" j. 0

xviit RAPPORT.

Il trouve, pour la petite lvation h' de l'eau au-dessus de sa surface

primitive,

Fx et Fg tant deux fonctions arbitraires, et les deux co0 tant donns

par une formule double signe revenant approximativement

o TJPest la vitesse moyenne primitive de l'eau, H est sa profondeur,enfin r) est le petit nombre, d'une Valeur moyenne 0,017/1, dfini ci-dessus (n 5), et dont la prsence dans cette formule mesure l'influencede 1-ingalit de vitesse des filets fluides travers chaque section.

Cette expression de co0donne, en valeur absolue, la vitesse avec la-

quelle une onde se propage dans le canal, suivant qu'elle descend ou

qu'elle remonte le courant. Elle se rduirait, sans les ingalits de vitesse

des filets fluides, l'expression U0iv/^H de Lagrange et de J. Scott

Russell(]), qui suffit en beaucoup de cas, mais non pas lorsqu'il s'agitd'ondes remontant un courant avec-une petite vitesse; et M. Bazin avait

reconnu, en effet, qu'alors l'expression y gWU donne des valeurs tropfortes(2). - .

M. Boussinesq trouve aussi que des ondes de petite hauteur peuventremonter le cours d'une rivire, mais non celui d'un torrent, ce qui estencore conforme aux expriences de M. Bazin(3).

14, Aprs des considrations sur la rflexion des ondes, produisantdes effets composs, qui sont reprsents parla somme des deux fonc-tions arbitraires F, et F2 ci-dessus, M. Boussinesq passe ( xxix) l'ap-proximation plus grande rsultant de la mise en compte des courbures.A cet effet, dans l'quation o se trouvent engags la petite hauteurd'onde ou d'intumescence et le petit accroissement de vitesse horizon-tale qui rsulte de sa formation, il rend linaires les termes qui ne lesont pas, en y mettant pour ces deux inconnues les valeurs de premireapproximation qui avaient t obtenues. L'quation alors s'intgre faci-

l.'l Report ofllie fourlcntli Meeting oj" llw Britisli Association for thc avancement, of Sciences,held al York in seplcmbcr 18ii, London 1845.

[2' Recherches hydrauliques, 2e partie, cli. i, fin des n' 22 et 27.('1> Recherches hydrauliques, 1" partie, Introduction ,.p. 3/i.

RAPPORT. xix

lement, en y introduisant, comme nouvelle inconnue (ainsi qu'il avaitt fait un prcdent mmoire (l))., la vitesse ou clrit de propaga-tion relative chaque endroit, vitesse apparente, qu'il dfinit nettement

par l'espace dont avance, dans l'unit de temps, un plan vertical trans-versal ayant toujours devant lui le mme volume de l'eau tumfie. 11 obtientainsi, pour cette clrit &>, l'une de celles appeles tout l'heure,

multiplie par un trinme dont le premier terme .est-1, dont le secondest affect de la hauteur de fin tumescence au mme endroit particu-lier, le troisime de sa drive seconde par rapport l'abscisse longi-tudinale, avec des coefficients numriques qui, dans le mmoire cit,avaient une expression simple et seulement approche, parce qu'il n'ytait pas tenu compte des diffrences de vitesse des filets fluides.

15. Considrant en particulier ( xxx) le cas d'ondes qui se propa-gent dans un liquide en repos, l'auteur en dtermine toutes les circons-tances, telles que la hauteur de leur centre de gravit, la clrit de

propagation propre ce centre, l'nergie de l'onde, ou le travail qu'elleproduirait en s'afissant si le fluide revenait au repos, son moment d'ins-tabilit, en appelant ainsi ( xxxu) la tendance se dformer en s'avan-ant, et mme se partager en plusieurs autres ondes, enfin la formecourbe de sa surface.

Cette forme est stable, et le moment dont on vient de parler est sonminimum pour l'onde particulire appele solitaire par M. Russell.

C'est la seule qui ne se dforme pas en se ijropageant ou qui jouissede cette longvit que lui attribue le mme exprimentateur.

M. Boussinesq trouve aussi (n .161), ce qui est encore conforme des expriences'2', que, lorsqu'une onde se propage dans un canal dontla profondeur dcrot dans le sens de la propagation, comme elle rsultede la superposition d'une partie directe et d'une partie rflchie et crois-sante, elle devient, en avanant, moins volumineuse et plus leve, parsuite, plus courte, etde moins en moins stable, jusqu' ce qu'elle manquede base et produise ce dferlement qui s'observe sur les plages en pentedouce, phnomne bien connu, qui n'avait pas encore t si complte-ment expliqu.

Le contraire aurait lieu si la profondeur d'eau allait en augmentant."' Mmoire prsent le i3 novembre 1871 et imprim au Journal de mathmatiques pures

ci appliques, 1872, 1. XVII, S II.(2> Recherches hydrauliques, 2' partie, ch. 1,11 12, etfig. 2 de la plancheII de l'atlas.

xx RAPPORT.

16. Lorsqu'une intumescence est suppose continue ( xxxin), commecelles que produit l'effusion, aussi continue, d'une quantit d'eau cons-tante en un point d'un canal eau primitivement stagnante, la mme

analyse prouve que sa Altesse de propagation, ou la longueur dont elle

augmente par unit de temps, est environ y g (l-f-|-/i'), si H est la pro-fondeur d'eau primitive, et h' la hauteur peu prs constante d l'intu-mescence. Mais si l'on considre ce qui doit, se passer sa tte ou danscette partie de l'intumescence qui marche ei avant, on reconnat quela hauteur n'y peut pas tre la mme que dans le reste, car elle a n-cessairement une courbure qui, d'aprs la formule parenthse trinmedont on vient de parler, y rendrait la vitesse plus petite que dans la

partie qui suit. Celle partie postrieure inonderait la partie antrieureet la rehausserait jusqu' ce que sa vitesse, accrue par cela seul, devntla mme. Ainsi s'explique l'onde initiale saillante qui a t constammentobserve par M. Bazin.

Mais ce n'est pas tout. Cette tte ou onde initiale ne pourra se rac-corder avec le reste que par une surface ayant une partie concave, d-terminant, par un dveloppement, de force centrifuge, un accroissementde vitesse qui tend la dtacher : d'o une suite de parties alternative-ment concaves et convexes, ou des ondulations de moins en moins hautesen reculant; ce que l'exprience montre encore.

La mme loi d'ingalit des vitesses de propagation des diffrentes

parties d'une onde, selon leur hauteur et leur courbure, rend encore

compte de l'altration plus prompte de lit forme des ondes ngatives ou

ayant des creux au lieu de saillies.

17. Lorsque des ondes continues, successivement formes et se su-

perposant, n'ont qu'une courbure insensible, on peut, au moyen d'une

intgration facile, obtenir la courbe forme, un instant donn quel-conque, par l'ensemble de leurs ttes. C'est une solution des problmesdes mares fluviales et des crues, mais ne donnant des rsultats srs quelorsque la hauteur totale du rehaussement n'est qu'une mdiocre fractionde la profondeur d'eau primitive. Quand, elle est plus grande, il faut unautre genre de solution.

Dans trois articles subsquents ( xxxv, xxxvi, xxxvn), l'auteur d-termine les modifications que les conclusions subissent quand on tient

compte la fois des pentes primitives, des courbures, des frottements

RAPPORT. xxi

enjeu et des ingalits des vitesses. Il trouve ( xxxvi) que les ondes se"propageant sur un courant diminuent graduellement de hauteur, surtout

lorsqu'elles le remontent, et d'autant plus que la vitesse du courant est

plus grande. C'est encore ce que M. Bazin a observ(1).Quant l'effet, non plus sur la hauteur, mais sur la clrit" de pro-

pagation, des frottements et de la pente du fond, il est de la diminuerou de l'augmenter par rapport un observateur anim de la vitesse du

courant, selon qu'il s'agit d'ondes descendantes ou d'ondes montantes.La partie antrieure d'une onde continue assez longue avance ainsi g-nralement plus vite que le corps; d'o il rsulte que l'onde s'amincitde manire tourner vers le haut sa concavit ou sa convexit, suivant

qu'elle est positive ou ngative. C'est l'effet que M. Bazin a observ sur'des ondes ascendantes trs-longues(2), et il est perceptible mme sur desremous propags le long d'un canal horizontal(3).

18. Ces nombreux rsultats dune analyse leve, fonds sur une dis-cussion circonstancie, ainsi que sur des comparaisons judicieuses dequantits de divers ordres de petitesse, tantt conserver, tantt n-

gliger ou abstraire, et leur constante conformit aux rsultats obtenus

par les exprimentateurs et les observateurs les plus soigneux, nous ont

paru des plus remarquables(4).Ce qui y sert de fondement, savoir : les formules dont on a parl

dans la premire partie de ce rapport, formules bases sur une distinc-tion de deux genres de mouvement des liquides et tablies par l'auteur,aprs avoir propos, pour l'valuation des frottements mutuels de leurscouches ou filets, des expressions qui prennent en considration leurtat tourbillonnire d'intensit diverse, et qui donnent aussi des rsultatsque les faits vrifient, nous parat rsoudre d'une manire nouvelle etheureuse, avec l'approximation dsirable, autant qu'il est possible d'enjuger dans l'tat actuel de nos connaissances, des questions importantes

(l) Recherches hydrauliques, 2 partie, cli. 1, n" >.?>.I2' Ibid. ch. m, .1.1" 5o et 56 ; et atlas, pi. IV, fig. 3 et /,.Ibid. ch. ir,findun3i.

xxn RAPPORT.

intressant la pratique, et qui ont t souvent l'objet de-longs et strilesttonnements.

Le travail de l'auteur est, comme on voit aussi, conu et excut dansun esprit constamment positif et concret, bien qu'appelant son aideles ressources d'une thorie avance.

Nous le regardons donc comme trs-digne de votre approbation, etnous en proposons l'insertion au Recueil des Savants trangers.

ESSAI

SUR LA THORIE DES EAUX GOURANTES,

PAR M. J. BOUSSINESQ

2 J. BOUSSINESQ.

veloppenl. des mouvements aussi rguliers est extrmement petit,et, si une telle continuit existait dans les tuyaux de conduite ou

iicult qu'on prouve bien scher, par des moyens mcaniques, tout solide mouill,el la rupture invitable que l'on produit dans une masse fluide quand on essayede In sparer d'un solide avec lequel elle a quelque adhrence suffisent d'ailleurs

pour tablir que l'adhsion est plus grande entre un fluide el un solide mouill

qu'entre deux couclies fluides conligus, et pour dmontrer, par consquent, que,dans tous les mouvements continus des fluides, Ja vitesse des particules adjacentesaux parois mouilles doit tre fort petite, comparable tout au plus celle avec la-

quelle deux couches fluides trs-voisines glissent l'une sur l'autre, pour que lefrottement extrieur fasse quilibre au frottement intrieur du fluide sur son en-

veloppe. C'est mme en supposant la gane liquide immobilise par adhsion surles parois mouilles une paisseur sensible (comparable, chez les liquides peu vis-queux, tin demi-millime de millimtre) et d'ailleurs variable en sens inverse dela pression motrice el avec la nature ou la temprature des substances en contact, queM. Duclaux a pu expliquer, soit les anomalies aux lois de Poiseuill que prsentel'coulement dans les tubes les plus fins, soit l'impermabilit, au-dessous de cer-taines pressions ou certains liquides, de membranes pores troits ou dj plusou moins obstrus de gaines laisses par d'autres liquides. (Voir, aux Recherches sui-tes lois des mouvements des liquides dans les espaces capillaires, par M. E. Duclaux, le

chapitre intitul: Ecoulement de divers liquides au travers des espaces capillaires. An-nales de chimie el de physique, 4e srie, t. XXV, 1872.)

L'hypothse de Navier, d'aprs laquelle la vitesse aux parois serait finie et d'ail-leurs proportionnelle, dans les mouvements bien continus, au frottement extrieur,doit tre fort peu prs admissible quand il s'agit, d'une paroi non mouille, commel'est celle d'un lujje en verre dans lequel coule du mercure. Toutefois, dans ce cas,il me parait extrmement probable que le frottement, extrieur crot avec la pres-sion. Jl est, en effet, naturel que ce frottement du fluide sur la paroi soit propor-tionnel au nombre des molcules de la paroi rencontres par le fluide dans l'unitde temps, c'est--dire la vitesse, et augmente en outre avec le rapprochementproduit, entre le liquide et le solide, rapprochement que la facilit avec laquelle unliquide se moule instantanment sur un solide doit rendre indpendant del vitesse,mais qui n'en doit pas moins crotre avec la pression. Les choses se passent aulre-menl quand on considre : 1 soit deux solides plus ou moins rugueux, glusaull'un sur l'autre, el dont le rapprochement, d'autant plus grand que l'est la pressionnormale, mais d'autant moindre que la vitesse est plus considrable, rend en sommeleur frottement mutuel (qui est en outre en raison directe de la vitesse ou dunombre des molcules frottantes rencontres dans l'unit de temps) proportionnel la pression el sensiblement indpendant de la vitesse; 2 soit deux couches liquidesconligus, dont le rapprochement ne dpend ni de la vitesse relative avec laquelleelles glissent l'une sur l'autre, ni de la pression, suppose assez modre pour nepas augmenter sensiblement la densit; d'o il rsulte que le frottement est simple-

ESSAI SUR LA THORIE DES EAUX COURANTES. 3.dans les canaux dcouverts, les filets fluides trs-voisins devraient

acqurir.,, surtout prs des parois, des diffrences de vitesse

ment gal, sous l'unit de surface, au produit de la vitesse relative de glissementpar un coefficient, indpendant de la pression. . .

Les formules de Navier rendent galement compte de deux fois sur l'coulement

permanent de l'eau travers les sables et autres milieux poreux, dcouvertes parMM. Darcy et Riller (Les fontaines publiques de la ville de Dijon, par M. H. Darcy,i856, p.'5ao), vrifies depuis par M. Duclaux (mmoire dj cit), et dont Japremire l'a t en outre par M. Bazin (Recherches hydrauliques, i" partie, note A)et par M. Becquerel (Comptes rendus, t. LXXV, p. 5o, 8' juillet 1872) : elles consis-tent ence que la dpense, par chaque mtre carr de Jwse d'une couche poreusehomogne, est proportionnelle la pression qui produit l'coulement et en raisoninverse de l'paisseur de la couche. En effet, si l'on assimile une couche pareille un rseau de tubes troits disposs, suivant les trajectoires des molcules liquides,tubes dont la longueur moyenne sera videmment proportionnelle l'paisseur dela couche et dont la forme et les dimensions dpendront de sa nature, ces deux loisdcouleront immdiatement des deux premires de M. Poisuille, relatives la

pression et la longueur des tubes, dj trouves antrieurement par Girard el quisubsistent,la premire pour cls tubes de forme quelconque, la seconde toutes lesfois que les tubes considrs sont dco m posa bls en petites parties sensiblementpareilles les unes aux autres, mais d'ailleurs irrgulires. C'est ce que j'ai dmontrau S vm d'un mmoire Sur l'influence des frottements dans les mouvements rguliersdes fluides (Journal de M. Liotiville, I. XIII, 1868).

Dans tout coulement pareil, la pression varie conformment la loi hydrosta-tique le long de tout chemin perpendiculaire aux filets fluides (voir les deux der-nires formules (6), Su,, du mme mmoire), el on pourra la supposer rgie par cetteloi dans toute l'tendue de chaque section normale d'un tuyau de conduite ou d'uncanal dcouvert remplis tle sable, lorsque le liquide y transpirera par filets presquedroits el parallles ( part de petites sinuosits locales).

Arrtons-nous un instant ce problme de l'coulement pur un tuyau ou par uncanal dcouvert remplis de saille, problme trs-important, soit dans la thorie.desfiltres, soit dans l'tude de la marche des eaux souterraines, tt prenons un axelongitudinal des abscisses * dirig le long de l'axe mme du tuyau ou, quand "lecanal est dcouvert, suivant le profil longitudinal de la surface libre du liquide(d'ailleurs cache par le milieu poreux). J'appellerai: p la densit du liquide; si 11Ila pente, gnralement un peu variable avec s, de l'axe des abscisses ;/) la, pressionaux divers points de cet axe et qui se rduirait celle de l'atmosphre dans le casdu canal dcouvert. D'un point l'autre d'une mme section c normale l'axe des .s,la pression -i-, estime en hauteur de liquide, variera livdroslaliqementcl crotra.

PS'

par suite, de la mme quantit que l'ordonne verticale, du point considr au-dessous d'un plan horizontal fixe : l'rxs de - sur cette ordonne sera donc, pour

P9'

SAV, KTf.ANG. I. XXIII. N 1. ,

a J. BOUSSINESQ.normes : j'ai montr, par exemple, au ix d'un mmoire Surl'influence des frottements dans les mouvements rguliers des fluides

[Journalde M. Liouville, t. XIII, 1868), que le filet central, dansun canal demi-circulaire de 1 mtre d rayon et d'une pente galeseulement 0,0001, devrait avoir une vitesse de 187 mtres par

toute la section, le mme qu'au point o celle-ci coupe l'axe des s et o p gale p0.

L'augmentation que reoit cet excs le long d'un mme filet, quand s crot de ds,

pourra ainsi tre mesure sur l'axe mme des abscisses et vaudra | {-^sin I)ds.1 dp ^

ds "'ou bien, rapporte l'unit de longueur s, ~p _ sin I. Cela pos, la seconde for-

mule (24) du mmoire cit donne, pour ladpense d'un des petits tubes forms parles pores permables du milieu travers, une quantit directement proportionnelle

cet accroissement'chang de signe, sinl , et rciproquement proportion-pq as

ii'elie la valeur moyenne du carr de l'inverse de la section du tube et un coeffi-

cient dpendant de sa forme. En faisant la somme des dpenses de-tous les tubes qui

composent ensemble un faisceau de dimensions sensibles et en divisant cette somme

par celle de leurs sections intrieures, on aura la vitesse moyenne locale tt de

transpiration du liquide dans la rgion considre. On voit que cette moyenne lo-

cale sera proportionnelle la diffrence sin I . -fs et un coefficient , dpcn-P9ds, y-

dant de la nature des couches poreuses traverses et d'autant plus petit que celles-ci seront plus compactes. (D'aprs les expriences de Darcy, (x serait gnralementcompris, pour l'eau qui filtre travers divers sables, entre 1000 et 10000, les

units de longueur et de temps tant le mtre et la seconde.) Si U dsigne, par con-

squent, la vitesse moyenne sur toute la section cr et que, pour plus de simplicit,le milieu poreux soit suppos sensiblement homogne dans toute cette tendue, ilviendra

C'est l'quation du mouvement. On y joindra : 1 si l'coulement est permanent, larelation

qui exprime l'invariabilit de la dpense totale Q travers les diverses sections eto m. dsigne le rapport de la somme des sections vives des tubes suivant lesquelscoule le liquide la section fluide apparente er; 2 si fc mouvement est non per-manent, la formule

analogue celle (/) du S xxvi ci-aprs (n 126), el qui se dmontre de la mme.

ESSAI SUR LA THORIE DES EAUX COURANTES. 5

seconde, mme en supposant nulle la vitesse la paroi, pour queles frottements dvelopps entre les couches fluides pussent faire

quilibre la petite composante de leur poids suivant l'axe du

canal. Or, bien avant que de pareilles vitesses aient pu tre prises,les glissements des filets les uns sur les autres, combins avec les

mouvements oscillatoires ou de ballottement que rend possibleset invitables une tendue suffisante de la section, dterminentdans le fluide une foule de ruptures. Celles-ci se produisent sur-tout prs des parois, o les glissements atteignent leurs plusgrandes valeurs, et o des chocs continuels ont lieu, soit causedes rugosits plus ou moins visibles de la paroi mme, soit prin-cipalement, comme il vient d'tre dit, par suite des oscillationsdont toute la masse se trouve constamment anime dans lesgrandes sections. Des volumes finis de fluide se dtachent doncsans cesse du fond et des bords, en tournoyant sous la doubleaction de la paroi et de la translation gnrale, et il se formeainsi des tourbillons nombreux qui, sillonnant en tous sens lereste du fluide, glissent avec des vitesses relatives finies sur ce

qui les environne. Il est clair que de pareils glissements doivent

dvelopper des rsistances sans comparaison plus grandes que lesfrottements dus des mouvements continus, et un rgime d'unetout autre nature que celui qu'on observe dans des tubes capil-laires, avec des vitesses transitoires bien moindres, s'tablit peu

manire : j'appelle m' le rapport de l'espace occup par les pores permables dumilieu son volume apparent total, rapport qui est sans doute un peu suprieur m, cause des pores non disposs suivant les trajectoires des molcules fluides eto le liquide doit rester sensiblement slalionnaire.

La relation (a) permettra d'liminer U de.la formule (/3) ou (y) : il sera facileensuite d'amener celle-ci ne plus contenir qu'une seule fonction inconnue, dont;elle dterminera les variations, el qui est p., s'il s'agit d'un tuyau, u dans le. cascontraire d'un canal dcouvert.

Dupuit, au chapitre vm de ses Eludes sur les eaux courantes (2e dit.), a su tirerparti de l'quation (/3) el de l'quation (a) (qu'il a d'ailleurs tablie d'une autre ma-nire et sans lenir compte de la troisime loi de Poiseuille) pour expliquer les mou-vements des eaux souterraines et, en particulier, diverses circonstances relativesaux filtrations qui se font loul autour des puits, ordinaires, absorbants ou artsiens.

6 J. BOUSSINESQ. peu. Au reste, cette production d'une agitation tourbillonnireau sein de toute masse fluide qui s'coule travers des sectionsd'une certaine tendue n'est pas seulement trs-vraisemblableu priori: elle a t observe depuis longtemps, surtout dans les li-

quides, et remarque, en particulier, par MM. Poneelet, de Saint-Venant, Boileau, Darcy, Bazin, qui Font signale comme un moyenpuissant employ par la nature pour teindre l forc vive {c'est--dire plutt pour la changer en nergie interne ou en chaleur).

Il est vrai que des savants estimables ont tent, tout rcemmentencore, d'expliquer l'coulement dans les conduites et dans les ca-naux dcouverts en supposant, du moins une premire approxi-mation, la continuit parfaite des mouvements du fluide. Mais unetelle hypothse me parat tre devenue compltement inadmissible

depuis les expriences si prcises du docteur Poiseuille sur l'-coulement dans les tubes capillaires, expriences qui prouvent:d'une-part, l'exactitude des expressions des frottements intrieursdonnes par Navier pour les mouvements continus; d'autre part,l'excessive petitesse du coefficient constant, de ces frottements,qui est comme nul en comparaison de ceux que l'exprience obligede prendre en hydraulique. Et il est bien inutile de joindre auxformules de Navier, pour en dduire l'explication de faits qui leursont trangers, des termes contenant, soit les puissances sup-rieures des drives premires des vitesses, soit surtout les dri-ves secondes, troisimes, de celles-ci; car toutes ces drives

atteignent, dans la plupart des coulements tudis par M. Poi-seuille, o l'influence des termes complmentaires dont il s'agitn'a pu mme tre souponne, des valeurs plus grandes que dansles mouvements, supposs peuprs continus, des eaux courantes.

Commenton peut leniv

compteanalytjueniunl

de l'agitationtourbillonnire.

n'jimonmfnmie.

II. Il faut donc, si l'on veut que l'hydraulique cesse d'tre,suivant l'expression de M. de Saint-Venant, une dsesprantenigmeW : i" regarder les vitesses vraies, l'intrieur d'un fluide

''' Sur l'hydrodynamiquedescours'd'eau ,n \ 2 (Comptes rendus-, t. LXXIV, 26 fvrier, , 11 et 18 mars 1872). Voir aussi la page 3o de l'introduction aux Recherchas

ESSAI SUR LA THORIE DES EAUX COURANTES. 7

qui s'coule, comme rapidement ou mme brusquementvariables

d'un point l'autre, capables, en un mot, de produiredes frot-

tements d'un tout autre ordre de grandeur que dans le cas de

mouvements continus; 2 faire dpendre les actions moyennesexerces travers utt lment plan fixe .non-seulement des vitesses

moyennes locales, ou plutt de leurs drives d premier ordre

qui mesurent les glissements relatifs moyens des couches fluides,mais encore de l'intensit en chaque point de l'agitation tourbillon-

nire qui y rgne ; 3 rechercher, par consquent, les causes dont

peut dpendre, aux divers points d'une section, Fagitation tourbil-

lonnire , et faire varier avec ces causes le coefficient des frottements

intrieurs^; 4 choisir, enfin, pour quations du mouvement, non

pas les relations qui expriment un moment donn l'quilibre

dynamique des divers volumes lmentaires du fluide, mais les

moyennes de ces relations pendant un temps assez court, ou ce quel'on peut appeler les quations de l'quilibre dynamique moyen des

particules fluides qui passent successivement par un mme point.

hydrauliques de MM. Darcy et Bazin (Savants trangers, t. XIX, i865) : La questionse complique el s'obscurcit donc davantage, mesure que des expriences plusnombreuses et plus prcises paratraient devoir y jeter une plus grande lumire...Nous ne possdons pas encore de notions saines sur les mouvements intrieurs desfluides et sur les actions mutuelles de leurs molcules.

(l) M. de Saint-Venant me parat avoir le premier signal l'influence de l'agitationtourbillonnire sur le coefficient des frottements intrieurs; car il dit, la fin dun i4 (p. 49) de ses Formules el tables nouvelles (Annales des mines, 4 srie, t. XX,i85i) : Si l'hypothse de Newton, reproduite par Navier et Poisson, et qui con-siste prendre le frottement intrieur proportionnel la vitesse relative des filets

glissant les uns devant les autres, peut tre applique approximativement pour lesdivers points d'une mme section fluide, tous les faits connus portent infrer qu'ilfaut faire crotre le coefficient de celte proportionnalit avec les dimensions dessections transversales ; ce qui s'explique jusqu' un certain point, en remarquant queles filets ne marchent pas paralllement entre eux avec des vitesses rgulirementgradues de l'un l'autre, et que les ruptures, les tourbillonnements el les autresmouvements compliqus ou obliques, qui doivent beaucoup influer sur la grandeurdes frottements, se forment et se dveloppent davantage dans les grandes sections. Il a aussi, dans un article des Comptes rendus (t. XXII, p. 309, 16 fvrier 1846), ex-prim cette pense que le coefficient du frottement intrieur peut varier d'un point l'autre d'une mme section.

8 J. BOUSSINESQ.

C'est le problme que j'ai essay de rsoudre dans ce mmoire,poru le cas o le fluide peut tre suppos incompressible et ol'inclinaison mutuelle des filets, aux divers points d'une mme

section, est une petite quantit. Des considrations simples per-mettent d'ailleurs d'obtenir, pour ce cas, des expressions suffi-samment approches du coefficient des frottements intrieurs :ces expressions sont tout fait explicites, cela prs qu'elles con-tiennent un coefficient lentement variable avec le rayon moyen,lorsque les mouvements se font paralllement un plan ou sym-triquement tout autour d'un axe, c'est--dire travers des sections

rectangulaires trs-larges ou travers des sections circulaires. Ellescontiennent une fonction inconnue des coordonnes transversales,

quand les sections ont d'autres formes; mais celles-ci se trouvant,dans la pratique, gnralement comprises entre les deux prc-dentes, qui ne conduisent pas d'ailleurs des rsultats bien dif-frents en tout ce qui concerne les vitesses moyennes ou les d-

penses, une dtermination plus prcise de celte fonction n'est pasabsolument ncessaire.

Le problme physique du mouvement se trouve ainsi ramen une question de calcul intgral, qui peut tre rsolue par ap-proximations successives, grce la petitesse suppose de l'incli-naison relative des filets. La premire approximation donne leslois du rgime uniforme telles qu'elles rsultent des expriencesde MM. Darcy et Bazin, tant pour la dpense que pour la rpar-tition des vitesses aux divers points des sections;,la seconde con-tient les lois du mouvement vari, qui sont le principal objet dummoire.

Mouvement

permanent^rarluettemcnl vari.

Divisiondes cours d'eau

en deux classes

principales,rwirct et torrents.

111. J'tudie d'abord le mouvement permanent, et surtout celui

qui est graduellement vari, c'est--dire tel, qu'on puisse ngliger dansles formules gui le rgissent, vis--vis des termes comparables l'in-clinaison mutuelle desfilets fluides, ceux quisont, oude l'ordre du carrde celte inclinaison, ou de l'ordre de la courbure des mmes filets. L'-

quation que j'obtiens pour le reprsenter diffre de celle qu'a

ESSAI SUR LA THORIE DES EAUX COURANTES. 9tablie M. Blanger et qu'a modifie Coriolis, en ce que le coef-

ficient du terme a4- /p\ (qui exprime, dans l'quation de

Coriolis, l'influence des inerties) doit tre remplac par un autreun peu plus grand, ', compos de deux parties: la premire,

laquelle Coriolis aurait rduit son coefficient, s'il avait pu valuerexactement le travail des frottements, et que je reprsente pari

-\-y, est le rapport du carr moyen des vitesses sur une sectionau carr de la vitesse moyenne t tandis que l'a de Coriolis (ouplutt de Poncelet et Lesbros) dsigne le rapport du cube moyendes vitesses au cube de la vitesse moyenne et vaut environ i + 3y ;la seconde, gale peu prs 3,85)7 et nglige par Coriolis,provient de ce que le frottement du fond ou des parois, exprimen fonction de la vitesse moyenne et rapport l'unit de section,contient, quand le mouvement est vari, de plus que lorsqu'il est

uniforme, un terme valant environ 3,85rj -r- ()'Un tuyau ou un canal se compose, en gnral, de parties plus

ou moins longues dans l'tendue desquelles le rgime est gra-duellement vari, relies les unes aux autres par d'autres partiescourtes, o la courbure des filets n'est pas ngligeable et o mme

parfois leur inclinaison mutuelle cesse d'tre petite. La dtermi-nation de l'iat hydraulique du tuyau ou du canal n'est possiblequ'autant que l'on connat, pour chacune de ces dernires partiesauxquelles l'quation prcdente n'est pas applicable, une loi sp-ciale, permettant de calculer le changement total qu'y subit la

pression, dans le cas d'un tuyau, ou la section fluide, dans le casd'un canal dcouvert. Les deux plus importantes de ces lois sont,avec les formules de l'coulement par les orifices et par les d-versoirs, le principe de Borda et la formule du ressaut. La miseen compte, sur la section d'aval ou sur les deux sections d'amontet d'aval, suivant les cas, de l'ingalit de vitesse des filets, etsurtout de la partie du frottement extrieur qui provient de lavariation du mouvement, m'a permis d'apporter ces deux prin-cipes un perfectionnement au moyen duquel les rsultats qu'ils

10 .1. BOUSSINESQ.donnent ne diffrent pas sensiblement de ceux de l'exprience.J'arrive, par exemple, au vrai coefficient 0,82 de la dpensefournie par des ajutages cylindriques, tandis que le principe deBorda, tel qu'on l'applique d'ordinaire, donne o,85.

Je montre ensuite qu'on peut, en combinant l'quation du mou-vement permanent graduellement vari avec la formule du ressautet avec certaines consquences simples d'un principe de. Stabilit

du mouvement, dont l'nonc gnral est encore inconnu, mais

dont l'admission me parat invitable, rsoudre sans aucune ind-

termination le..problme de l'tat hydraulique de tout canal d-

couvert qui est susceptible d'un rgime uniforme, c'est--dire dontle lit a une forme assez peu diffrente de celle d'un prisme, oud'un cylindre.

Cette tude me conduit examiner la division bien connue des

cours d'eau en deux principales catgories, cours d'eau de faible

pente et cours d'eau de forte pente, ou encore rivires et torrents,se distinguant les uns des autres par la manire dont le rgimeuniforme s'y tablit l'amont des points o il existe, et surtout

par la manire dont il se dtruit l'aval des mmes points. Leur

principale diffrence, trouve par M. Blanger ds 1828,-consisteeii ce que le rgime uniforme se dtruit assez graduellement dansles premiers, pour que la forme des remous de gonflement et d'abais-

sement, produits aux points o s'opre cette destruction, puissetre dtermine au moyen de l'quation du mouvement perma-nent graduellement vari, tandis que, dans les seconds, dont lesremous de gonflement sont des ressauts, le mme rgime se dtruit

trop rapidement pour que la courbure des filets fluides soit ngli-geable aux mmes endroits. On peut y joindre un autre caractre,en quelque sorte inverse, consistant en ce que l'tablissement du

rgime uniforme se fait graduellement dans les torrents, et troprapidement ou avec trop d'ondulations, dans les rivires, pour

qu'on puisse y ngliger la courbure des filets fluides.Nous verrons un peu plus loin qu'il y a, outre ces deux prin-

cipales classes de cours d'eau, une espce intermdiaire, ne com-

ESSAI SUR LA THORIE DES EAUX COURANTES. 11

prenant .que des cours d'eau dont les pentes de fond tombent entre

deux limites rapproches, mais peu prcises (o,oo33 et o,oo3g.en moyenne), et pour lesquels ces caractres deviennent indcis,par la raison que l'influence des courbures, tout en n'y tant n-

gligeable, ni aux points o le rgime uniforme s'tablit, ni ceuxo il se dtruit, produit cependant des effets moins frappants quedans les rivires aux premiers endroits, ou que dans les torrents

aux seconds^ C'est la valeur moyenne des pentes, de fond de cescours d'eau que l'on peut prendre pour pente limite sparant lesrivires des torrents : cette valeur, moyennement gale o,oo-36,est, en ralit, assez variable avec la nature des parois, avec le

rayon moyen et mme avec la forme de la section.J'ai cru devoir rattacher la question de la classification des

cours d'eau une courte esquisse des effets produits la longue parle conflit de l'enveloppe fluide de notre plante et de son corce

solide, soit aux endroits o les eaux coulent sur le soi en nappesd'une certaine paisseur et tendent se faire assez rapidement.,quand elles ne le trouvent pas tout form, un lit d'une rsistance

proportionne leur vitesse, soit mme aux autres points de lasurface du globe, o leur action modifie galement sa forme,quoique plus lentement et par intermittences, en se combinantavec celles de l'air, de la pesanteur et des variations de la tem-

prature. Par suite du travail incessant de tous ces agonis, la sur-face de la terre.s'esl divise presque partout en bassins d'une grandetendue, ou mme en versants allongs, dont l'tude comprendcelle de lignes remarquables appeles thalwegs, faites, lignes desdclivits maxima ou riunima, jouissant de proprits gomtriquesintressantes.

IV. Les parties d'un cours d'eau o l'influence de la courburedes filets n'est pas ngligeable par rapport celle de leur inclinai-son mutuelle, suppose petite, sont, on vient de le voir, asseznombreuses et assez importantes pour faire dsirer une quation dumouvement permanent o on en tiendrait compte. Cette quation

SAV.ETIUNCI.XX.III. X" 1. 2

Influence(l'une courbure

sensible(te ta surface libn

Circonstances

(jne prsentent.l'tablissement

12 J. BOUSSINESQ.

s'obtient facilement quand on raisonne dans la supposition trs-

probable que l'influence des courbures dpend peu des diffrencesde vitesse, habituellement modres, des filets fluides, et lorsqu'onse borne au cas, le plus ordinaire, d'un canal dcouvert de grandelargeur, dont le fond a son profil longitudinal droit ou courbe,mais sensiblement contenu dans un plan vertical. Elle diffre decelle du mouvement graduellement vari en ce que le terme

a'4-( j y est diminu de l'expression

o h dsigne la profondeur d'eau et i la pente du lit.

Supposant d'abord ngligeable la courbure longitudinale dufond, j'tudie les circonstances que prsentent rtablissement etla destruction du rgime uniforme, circonstances que l'on observe,les premires immdiatement en amont, el les secondes imm-diatement en aval des endroits o ce rgime existe. Je parviensainsi, non-seulement retrouver les caractres indiqus ci-dessus,mais encore dterminer la forme de la surface aux endroits ol'influence des courbures n'est pas ngligeable. Qu'on me permettede citer, entre autres.rsultats intressants:

i La dmonstration de l'existence, aux points o s'tablit Je

rgime uniforme dans les rivires, d'une srie d'ondulationstransversales de la surface, ondulations d'une longueur constanteet peu considrable, d'autant plus petite que la pente de fondest plus faible, et d'une hauteur qui diminue de chaque ondula-tion la suivante, quand on suit le cours de l'eau, avec d'autant

plus de rapidit que cette pente est plus grande;2 La dtermination de la forme qu'affectent, leur partie

infrieure, les ressauts qui se produisent dans les torrents rapidesaux endroits o une cause retardatrice, en dtruisant le rgimeuniforme, donne naissance un gonflement; la surface s'y relve

presque brusquement et sans aucune inflexion;

et la destructiondu rgime uniforme

ou ,

plus gnralement,de tout rgime

graduellement vari.

ESSAI SUR LA THORIE DES EAUX COURANTES. 13

3 La gnralisation des deux rsultats prcdents, qui sont

compris dans une mme loi, consistant en ce que, aux endroitsd'un canal dcouvert o un rgime graduellement vari s'tablit ouse dtruit, rapidement, la surface prsente des ondulations ou n'en

prsente pas, suivant que le courant y est Ytat tranquille ou l'tat torrentueux, c'est--dire trop peu rapide ou assez rapide pourpouvoir s'y relever en ressaut s'il survenait, en aval une cause de

gonflement;l\" L'tablissement de l'existence d'une classe de cours d'eau

que j'appelle torrents de pente modre, intermdiaire entre celledes rivires et celle des torrents proprement dits ou torrents ra-

pides, et caractrise par ce fait que l'influence de la courbure desfilets n'y est ngligeable, ni aux points o le rgime uniforme se

dtruit, ni ceux o il s'tablit;5 Enfin la dtermination approche de la forme des ressauts

allongs et ondulex que prsentent, aux endroits o un gonfle-ment fait suite au rgime uniforme, les torrents peu rapidesdont la pente de fond dpasse cependant la moyenne de cellesdes torrents de pente modre W. L'analyse montre que les ondu-lations transversales dont sont sillonns ces ressauts ont sensible-ment, du moins les premires ou les plus basses, la forme desondes solitaires observes par M. Scott Russcll et par M. Bazin,et dont je donne plus loin la thorie, que j'avais dj exposedans un mmoire public au Journal de M. Liouville (t. XVII.l872)-

Des expriences de M. Bazin confirment, la division, en deuxclasses, des ressauts qui se produisent au bas des torrents : ressautslongs et ondulex, quand le torrent est peu rapide; ressautscourts, sans inflexion leur partie infrieure, el ne pouvant pr-senlerdes ondulations qu'aprs le relvement de la surface, quandle torrent est, au contraire, de forte pente'2'.

11> Ou pour lesquels on a y> o; voir aux S xxi et xxn.(-> Recherches hydrauliques entreprises par H. Darcy el continues par M. Bazin (Sa-vants trangers, t. XIX), impartie, dernier chapitre, n 19.

14 X BOUSSINESQ.V. Prvenant ensuite au cas plus gnral d'un fond qui prsente

des courbures longitudinales assez petites, mais sensibles, jetraite de l'effet que produit sur le rgime une srie d'ondulationsdu fond, principalement quand elles sont rgulires ou sinuso-

dales, et aussi des formes courbes qu'on peut donner au fond,

prs de l'entre ou de la sortie d'un canal, sans que la- surfacelibre cesse d'y tre la mme qu'avec un fond plat.

Dans le premier de ces problmes, qui est aussi le plus impor-tant, je trouve que les ondulations du fond dterminent la forma-tion, sur la surface, d'ondulations de mme longueur, produitesd'autant plus en amont de celles du fond que la pente moyennede ce dernier est plus petite, mais qui s'en rapprochent et passentmme leur aval quand celte pente atteint ou dpasse une valeur

s2particulire, moyennement gale 0,0002 -JT-I S et H dsignant

respectivement la longueur d'une ondulation complte et la pro-fondeur moyenne. L'avance des ondulations de la surface sur

celles du fond a donc sa valeur la plus grande quand la pentemoyenne de celui-ci est trs-petite, et elle se trouve alors, dumoins en gnral, peu infrieure une demi-longueur d'onde,de manire que les convexits de la surface correspondent presqueexactement aux concavits du fond.

Le rapport de l'amplitude des ondulations de la surface celledes ondulations du fond, nul quand la pente moyenne de ce der-

nier est nulle, et peu sensible tant qu'elle est intrieure un

demi-millime environ, ce qui est le cas ordinaire de toutes les

grandes rivires'1', grandit rapidement quand la pente approched'une certaine valeur gnralement peu diffrente de celle quispare les rivires des torrents; il atteint alors une valeur maxi-

mDnpnit (Eaux courantes, p. 81 ), citant M. Valle (Du Rhne cl du lac de Genve,

p. 19), dit que la plus forte pente de superficie du Rhne est 0,00074 dans lesparties navigables, el qu'elle u'alleinl la valeur o,OoB8, dans les parties non navi-

gables, qu'au point appel la perle du Rhne, o le fleuve a pour lit un souterrain

naturel creus dans Je rocher. D'aprs M. Parliot (p. 43 du mmoire Sur les sablesde la Loire, aux Annales des ponts et chausses, 1871), la pente moyenne de la Loire,

Influenced'une courbure

.sensible du fond.Cas d'un fond

rgulirementondul.

ESSAI SUR LA THORIE DES EAUX COURANTES. 15mum considrable et diminue ensuite, d'abord rapidement,puis lentement, en tendant vers une limite plus petite quel'unit, mais qui lui est ordinairement peu infrieure. La valeurabsolue de ce rapport, bien qu'assez complique, peut tre

presque toujours rduite, avec une approximation suffisante, celle de h^> o im dsigne la pente moyenne du fond et

0,00061, ni J

o le nombre o,oo36 n'est qu'une sorte de moyenne laquelleil sera bon de substituer, pour chaque nature de paroi et chaquevaleur du rayon moyen, la pente limite qui spare les riviresdes torrents. Enfin une des deux valeurs de im qui rend ce rap-port gal 1 se confond avec celle pour laquelle les ondulationsde la surface ne sont ni en avance, ni en retard sur celles du

fond, de manire que la courbure de ce dernier n'a alors aucuneinfluence sur les variations de la profondeur d'une section l'autre,et que cette profondeur est constante une certaine distance desdeux extrmits.

Les cours d'eau que j'ai appels torrents de pente modre sontceux qui refltent leur surface, avec le plus d'amplification, desondulations rgulires et successives de leur fond.

VI. Une troisime partie du mmoire est consacre l'ludedu mouvement non permanent.

Quand ce mouvement est graduellement vari, son quationdiffre peu de celle que M. de Saint-Venant a donne en supposantl'galit de vitesse de tous les filets fluides(1); mais quand il faut,tenir compte de la courbure des filets et qu'on tudie la propaga-tion, le long d'un canal rectangulaire o se trouve tabli un rgimeuniforme ou trs-graduellement vari, d'ondes ou de remous

dans Jcs dpartements du Loiret, de Loir-et-Cher, d'Indre-et-Loire, de Maine-et-Loire, est respectivement; o,ooo45 , o,ooo3g, o,ooo3a, 0,00028. M. Baumgarl.en, la page 21 de sa Notice sur la Garonne (mmes Annales, n de juillet et. aot i848),donne pour pente moyenne de celle dernire rivire, sur une longueur de55)io mtres en aval de l'embouchure du Lot, 0,00026625.

(1) Comptes rendus, 17 e! ?.4 juillet 1871,1. LXXIII, p. 1/17 et 237.

Du mouvementnon permanent.

Propagationt\na ondes

le long d'un canalcontenant

une eau en repos.

16 J. BOUSSINESQ.

n'ayant qu'une hauteur mdiocre, dont les drives successives,

par rapport l'abscisse, sont de plus en plus petites, les termes

reprsentant l'influence de cette courbure ont de tout autres ex-

pressions, suivant que l'on suppose aux filets fluides de trs-petitesdiffrences de vitesse, ou suivant qu'on leur suppose les ingalitsde vitesse dont ils sont affects dans les canaux en pente ordinaires.Ds qu'il y a en effet, entre les vitesses, des diffrences un peugrandes, il s'introduit, ct de termes qui ne dpendent pasde celles-ci et qui contiennent des drives du troisime ordre,d'autres termes, affects de drives du second ordre et, par suite,

beaucoup plus influents que les prcdents dans le problme dela marche des ondes et des remous de petite hauteur.

Le premier cas, o l'on peut supposer les vitesses peu ingalesaux divers points des sections, se trouve ralis dans les canaux fond sensiblement horizontal et dont le liquide est en repos avantl'instant o les ondes tudies s'y propagent; ce cas est rgi, quandon nglige les frottements, qui n'y ont, en gnral, qu'une in-fluence peu sensible, par des lois simples, que j'avais dj dduitesdes quations de l'hydrodynamique rationnelle dans un mmoire,

prcdemment cit, Sur les ondes et les remous, ete. [Journal deM. Liouville, t. XVII, 1872), et dont plusieurs ont t expri-mentalement dcouvertes, les unes, A'ers 1842, par M. Scolt Rus-

sell, les autres, vers 1 85g, par MM. Darcy et Bazin.Les belles recherches exprimentales dont je parle, et que

connaissent tous les ingnieurs'1', concernent:1" La production et la propagation de l'onde de translation ou

solitaire, remarquable par la symtrie de son profil longitudinal, deux inflexions, situ lout en relief au-dessus de la surface libre

primitive du liquide, et par sa longvit, qui lui permet de franchirde grands espaces sans se dformer beaucoup;

20 La vitesse de propagation de cette onde, vitesse dont lecarr est le produit de la gravit

ESSAI SUR LA THORIE DES EAUX COURANTES. 173 La vitesse, donne peu prs par la mme formule, des

ondes ngatives, c'est--dire qui sont constitues, au contraire, pardes dpressions du liquide au-dessous de son niveau primitif;

4 Le peu de stabilit de ces dernires ondes, dont la tte s'al-

longe sans cesse, tandis qu'il se forme leur queue une sried'ondes plus petites, alternativement convexes et concaves, et

qui sont, les premires positives ou situes au-dessus de la sur-face libre primitive, les secondes ngatives ou situes au-dessousde la mme surface ;

5 les perturbations dont se trouve atteinte la loi prcdentedes vitesses de propagation, ds que la hauteur des intumes-cences approche d'tre gale la profondeur primitive; les solu-tions de continuit qui se produisent alors frquemment au seinde la masse fluide et. en particulier, le dferlement des ondes po-sitives, dont la base diminue sans cesse quand elles se propagentdans une eau de moins en moins profonde, et dont le sommet,o les molcules liquides sont moins retenues par les frottementsdu fond, finit par surplomber et par tomber en avant;

6 Le morcellement ncessaire de toute intumescence positivetrs-longue, mais limite son arrire, en plusieurs ondes soli-taires distinctes, qui sont parfois suivies de quelques ondes nga-tives.

Tels sont les faits observs en premier lieu par Scott Russellet rcemment, sur une plus grande chelle, par M. Bazin, qui atudi en outre la propagation de ce qu'il appelle des remous,c'est--dire des gonflements illimits produits par l'injection con-tinue et uniforme, l'entre d'un canal, d'une quantit indfiniede liquide. Ces gonflements, en se propageant sur l'eau immo-bile du canal, offrent l'apparence d'une lame fluide de hauteursensiblement constante, qui glisserait par-dessus, prcde d'unesrie de convexits et de concavits de grandeurs dcroissantes,respectivement situes au-dessus et au-dessous de la face sup-rieure de la lame liquide qui suit, mais toutes positives, c'est--dire plus leves que la surface libre primitive: la premire con-

18 J. BOUSSINESQ.

vexit, appele par M. Bazin onde initiale, est environ une fois etdemie plus haute que la lame qui suit. Le carr de la vitesse de

propagation de celle-ci et de l'onde initiale est gal au produit dela gravit g par la profondeur primitive, augmente d'une fois etdemie la hauteur de la lame considre. Enfin ces lois cessent dese vrifier quand la hauteur de l'intumescence dvient comparable la profondeur primitive : alors l'onde initiale dferle sans cesse;sa hauteur n'est plus suprieure celle de la laine qui suit et, cause sans doute de l'exagration des frottements du fond ou des

bords, le carr de la vitesse de propagation n'gale plus environ

que le produit de g par la distance de la face suprieure de cettelame au fond.

Le calcul n'avait fourni jusqu' ces dernires annes, sur tousces phnomnes intressants, que la loi simple et de premireapproximation de Lagrange, d'aprs laquelle la vitesse de propa-gation des ondes et des remous dont il s'agit devait tre sensible-ment la mme pour toutes leurs parties et peu diffrente de laracine carre du produit du nombre g par la profondeur primi-tive. J'ai pu dmontrer, non-seulement les rsultats d'expriencerappels ci-dessus (ou du moins tous ceux qui concernent desondes d'une mdiocre hauteur), mais encore un grand nombre delois, relatives respectivement :

i Aux vitesses de propagation, gnralement ingales, desdiverses parties d'une intumescence quelconque, positive ou n-

gative;2 A la vitesse de propagation du centre de gravit gnral

d'une onde, vitesse dont le carr est le procluil du nombre g parla somme de la profondeur initiale et du triple de la hauteur dece centre au-dessus de la surface libre primitive;

.3 A la valeur de Ynergie totale d'une intumescence, nergieconstante quand on fait abstraction des frottements et qui est pro-portionnelle la fois au volume de l'intumescence et la hauteurde son centre de gravit au-dessus de la surfa