Espérance mathématique

et

Jeu équitable

Espérance mathématique

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire est la valeur de cette variable aléatoire multipliée par sa probabilité d’apparition.

Exemple: Le premier prix d’une loterie est de 10 000 $. La probabilité de gagner est 1/1 000.

La valeur espérée de ce billet est donc :

11 000

X 10 000 $ = 10 $

Dans le cas d’un jeu avec une probabilité de gain et une probabilité de perte, l’espérance mathématique se nomme plus souvent espérance de gain.

Cette espérance de gain est un indicateur de ce qu’un joueur pourrait gagner ou perdre en moyenne s’il jouait un grand nombre de fois.

Espérance de gain

P(gain) x gain net - P(perdre) x perte =Espérance de gain =

( gain – mise initiale) mise initiale

L’espérance de gain se calcule à l’aide de la formule suivante:

Reprenons l’exemple de la loterie:

Le premier prix d’une loterie est de 10 000 $. La probabilité de gagner est 1/1 000, le billet coûte 20 $.

P(gain) x gain net - P(perdre) x perte =

( gain – mise initiale) mise initiale

1 0001

X 9 980 $

= - 10 $

- 999

1 000 20 $ =X

9, 98 $ 19,98 $Probabilité de gagner Probabilité de perdre

Ce jeu est donc désavantageux pour le joueur !

( 10 000 $ – 20 $ )-

Probabilité de gagner Probabilité de perdre

Espérance de gain

P(gain) x gain net - P(perdre) x perte =Espérance de gain =

L’espérance de gain se calcule à l’aide de la formule suivante:

Reprenons l’exemple de la loterie:

Le premier prix d’une loterie est de 10 000 $. La probabilité de gagner est 1/1 000, le billet coûte 5 $.

P(gain) x gain net - P(perdre) x perte =

( gain – mise initiale) mise initiale

1 0001

X 9 995 $

= 5 $

- 999

1 000 5 $ X

9, 995 $ 4,995 $Probabilité de gagner Probabilité de perdre

Ce jeu est donc avantageux pour le joueur !

( 10 000 $ – 5 $ ) -

=

Espérance de gain

Exemple 1 : Dans un jeu de roulette, une personne ayant misé 10 $ sur un numéro gagnant reçoit 35 fois sa mise en plus de se voir remettre sa mise initiale. Les cases de la roulette sont numérotées de 0 à 36.

P(gain) x gain net - P(perdre) x perte =

Espérance de gain =

37

1-

37

36x 350 x 10 =

37

-10≈ - 0,27 $

Si la personne jouait plusieurs fois, elle perdrait en moyenne 0,27 $.

35 fois la mise donc

35 X 10 $On n’a pas, ici, à soustraire la mise puisqu’on nous la redonne.

350

37 37

360 =-De 0 à 36, donc 37 possibilités.

Espérance de gain

Exemple 2 : Dans un jeu de roulette, une personne tourne la roue et gagne le montant d’argent indiqué par la pointe lorsque la roue s’immobilise.

5$

15$5$

25$

20$

La mise est de 10$

P(gain) x gain net - 0 =Espérance de gain =

8

2+

8

1X 5 X 10 +

8

1X 15 +

8

4X - 5 =

8

10+

8

10+

8

15-

8

20 =

815

≈ 1,88 $

Espérance de gain positive;avantageux pour le joueur.

2 chances sur 8 de gagner 5$car je perds ma mise (10$).

Une chance sur 8 de gagner 10$car je perds ma mise (10$).Une chance sur 8 de gagner 15$car je perds ma mise (10$). 4 chances sur 8 de perdre 5$car je perds ma mise (10$).

Remarque: Dans ce jeu-ci, il est impossible de ne pas toucher un secteur ; la probabilité de perdre est donc nulle.

Une espérance de gain négative indique qu’un joueur est perdant à long terme.

Contrairement, une espérance de gain positive avantage un joueur à long terme.

Nous dirons qu’un jeu est équitable si l’espérance de gain estégale à 0.

Espérance de gain

X ( 10 – 20 )

Jeu équitable

5$

10$5$

60$=+

4

1X 40

4

2X -15 +

4

1X - 10

Exemple : Dans un jeu de roulette, une personne tourne la roue et gagne le montant d’argent indiqué par la pointe lorsque la roue s’immobilise.

La mise est de 20$

=4

40+

4

-30+

4

-10 0

Espérance de gain =

Le jeu est donc équitable !

Remarque: Dans ce jeu-ci, il est impossible de ne pas toucher un secteur; la probabilité de perdre est donc nulle.

=4

1+

4

2X ( 60 – 20 ) X ( 5 – 20 ) +

4

1

Lors d’un tirage, un billet coûte 15 $. Les prix à gagner sont:

un voyage au Mexique d’une valeur de 2 500 $ avec une chance sur 500 de gagner et un écran à plasma d’une valeur de 1 000 $ avec 3 chances sur 500 de gagner.

Quelle est l’espérance de gain pour ce tirage ?

P(gain) x gain net - P(perdre) x perte =

1

500X 2 485 + X 985 - X 15 =

2 485

500

2 955

500+ - 7 440

500=

3

500

496

500

500

- 2 000 = - 4 $

Combien devrait coûter un billet afin que le tirage soit équitable ?

15 $ - 4 $ = 11 $

Recherche d’un jeu équitable

Si le billet coûte 11 $. Les prix à gagner sont:

un voyage au Mexique d’une valeur de 2 500 $ avec une chance sur 500 de gagner et un écran à plasma d’une valeur de 1 000 $ avec 3 chances sur 500 de gagner.

Quelle est l’espérance de gain pour ce tirage ?

P(gain) x gain net - P(perdre) x perte =

1

500X 2 489 + X 989 - X 11 =

2 489

500

2 967

500+ - 5 456

500=

3

500

496

500

500

0 = 0 $

Preuve

Recherche d’un jeu équitable

5$

20$10$

4

1+

4

1X -10 X -5 +

4

1X 5

Exemple : Dans un jeu de roulette, une personne tourne la roue et gagne le montant d’argent indiqué par la pointe lorsque la roue s’immobilise. Si ce jeu est équitable, quel est le dernier montant sur la roulette ?

La mise est de 15$

4

-10 +4

-5+

4

5 = 0

Espérance de gain = 0

+4

1X x

+4

x

= 0

Car le jeu est équitable ! 4

-10

4

x+ = 0

-10 x+ = 0

x = 10Ainsi, la dernière case est 25$, il ne faut pasoublier que le joueur perd sa mise.

25$x

Remarque: Dans ce jeu-ci, il est impossible de ne pas toucher un secteur; la probabilité de perdre est donc nulle.